LỜI GIẢI ĐỀ THI TOÁN 2011 - ĐỀ SỐ 8

tai lieu hay day moi nguoi

http://www.math.vn DIỄN ĐÀN MATH.VN http://www.math.vn LỜI GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2011 Môn thi : Toán Đề số: 08 Câu I. 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho hàm số y = x 4 −2(m +1)x 2 +2m +1, (C m ) (m là tham số). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. Lời giải: Hàm số y = x 4 −4x 2 +3 Bảng biến thiên Đồ thị 1 2 3 −1 1 2−1−2       Câu I. 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Xác định m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt A,B,C,D lần lượt có hoành độ x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 , (x 1 < x 2 < x 3 < x 4 ) sao cho tam giác ACK có diện tích bằng 4, với K(3;−2). Lời giải: x 4 −2(m +1)x 2 +2m +1 = 0 (1). Đặt t = x 2 ,t ≥ 0, ta được t 2 −2(m +1)t +2m +1 = 0 (2) Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì pt (2) có 2 nghiệm phân biệt t > 0 ⇔      ∆  = (m +1) 2 − (2m +1) > 0 S = 2(m +1) > 0 P = 2m +1 > 0 ⇔    m = 0 m > − 1 2 (∗) Với đk (∗) thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ theo thứ tự − √ t 1 ,− √ t 2 , √ t 2 , √ t 1 , với t 1 > t 2 Theo gt: S ACK = 1 2 AC.|y k | = 4 ⇔ AC = √ t 2 + √ t 1 = 4 ⇔ t 1 +t 2 +2 √ t 1 t 2 = 16 Áp dụng định lí Vi-et cho phương trình (2) ta được: 2(m +1) +2 √ 2m +1 = 16 ⇔ m−7 = − √ 2m +1 ⇔  m−7 ≤ 0 m 2 −16m +48 = 0 ⇔ m = 4  Câu II. 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Giải phương trình:  2− 1 sinx  sin  π 6 −2x  = 4sinx−1− 1 2sinx . Lời giải: Điều kiện: sinx = 0. PT ⇔ (4sinx−2)sin  π 6 −2x  = 8sin 2 x−2sinx−1 ⇔ 2(2sinx−1)sin  π 6 −2x  = (2sinx−1)(4sinx +1) ⇔  2sinx−1 = 0 (1) 2sin  π 6 −2x  = 4sinx +1 (2) (1) ⇔ sinx = 1 2 ⇔ x = π 6 +k2 π hoặc x = 5 π 6 +k2 π (2) ⇔ cos2x− √ 3sin2x = 4sinx + 1 ⇔ 4sinx + 2sin 2 x + 2 √ 3sinxcosx = 0 ⇔ sinx + √ 3cosx = −2 ⇔ cos  x− π 6  = −1 ⇔ x = 7 π 6 +k2 π  Câu II. 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Giải hệ phương trình:  (x−2)(2y−1) = x 3 +20y−28 2( √ x +2y +y) = x 2 +x . Lời giải: 1 http://www.math.vn PT thứ hai của hệ ⇔ x +2y +2 √ x +2y +1 = x 2 +2x +1 ⇔ ( √ x +2y +1) = (x +1) 2 ⇔ √ x +2y = x hoặc √ x +2y = −x−2 TH 1: √ x +2y = x ⇔  x ≥ 0 2y = x 2 −x thay vào phương trình thứ nhất ta được 13x 2 −11x−30 = 0 TH2: √ x +2y = −x−2⇔  x +2≤ 0 2y = x 2 +x +1 thay vào phương trình thứ nhất ta được pt bậc 2 theo x  Câu III. (1 điểm) ———————————————————————————————— Tính tích phân I =  π 2 0 5cosx−4sinx (sinx +cosx) 7 dx Lời giải: Đặt x = π 2 −t ta được I =  π 2 0 5sinx−4cosx (sinx +cosx) 7 dx Suy ra 2I =  π 2 0 5cosx−4sinx (sinx +cosx) 7 dx +  π 2 0 5sinx−4cosx (sinx +cosx) 7 dx =  π 2 0 dx (sinx +cosx) 6 = 1 8  π 2 0 dx  cos  x− π 4  6 = 1 8  π 2 0  1 +tan 2  x− π 4  2 d  tan  x− π 4  = 1 8  π 2 0  1 +2tan 2  x− π 4  +tan 4  x− π 4  d  tan  x− π 4  = 1 8  tan  x− π 4  + 2 3 tan 3  x− π 4  + 1 5 tan 5  x− π 4       π 2 0 = 7 15 Vậy I = 7 30  Câu IV. (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho hình lập phương ABCD.A  B  C  D  cạnh a. Trên các đoạn AD  ,BD lần lượt lấy các điểm M,N sao cho AM = DN = x, (0 < x < a √ 2). Tìm x để MN là đoạn vuông góc chung của AD  và BD. Lời giải: Gọi hình vẽ  Câu V. (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho 3 số a,b,c ∈ [0;2] thoả mãn : a +b +c = 3. Tìm giá trị lớn nhất của M = a 2 +b 2 +c 2 ab +bc +ca . Lời giải: Cách 1: +M = a 2 +b 2 +c 2 ab +bc +ca = 9 ab +bc +ca −2 Vì thế ta chỉ cần tìm min của A = ab +bc +ca +ab +bc +ca = −a 2 +3a +bc = f (a), f  (a) = 0 ⇔ a = 3 2 Với a ∈ [0,2] thì −a 2 +3a +bc đạt min khi a = 0 hoặc a = 2 + Với a = 0 ⇒ b +c = 3,A = bc = b(3−b) = −b 2 +3b khi đó b ε [1,2], f (1) = 2, f (2) = 2 ⇒ A ≥ 2 +Với a = 2 A = 2 +bc,b+c = 1 ⇒ A = 2 +b(1−b) = −b 2 +b +2 = f (b) b ∈ [0,1] mà f (0) = f (1) = 2 ⇒ A ≥ 2 ⇒ M ≤ 9 2 −2 = 5 2 Dấu = đạt được khi a,b,c là các hoán vị của (0,1,2)  Cách 2: Ta có: (a−2)(b−2)(c−2) ≤ 0 ⇔ abc−2(ab +bc +ca) +4(a +b +c)−8 ≤ 0 ⇔ ab +bc +ca≥ abc +4(a +b +c)−8 2 ≥ 12−8 2 = 2 A = 9 ab +bc +ca −2 ≤ 9 2 −2 = 5 2 Dấu = xảy ra (a;b;c) = (0;1;2) và các hoán vị  2 http://www.math.vn Câu VIa. 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho ∆ABC có phương trình của trung tuyến xuất phát từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt là: 2x−5y−1 = 0, x +3y−4 = 0. Đường thẳng BC đi qua điểm K(4;−9). Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, biết rằng đỉnh C nằm trên đường thẳng d : x−y−6 = 0. Lời giải: Gọi B(4−3b;b),C(c;c−6) ta có −→ KB(−3b;b +9); −→ KC(c−4;c +3). K,B,C thẳng hàng nên −→ KB = k −→ KC. Từ đó ta tính được b = 7k−9 4 ,c = 27−5k 4k Gọi M là trung điểm BC ta tính được M  −21k 2 +38k +27 8k ; 7k 2 −38k +27 8k  Vì M thuộc đường trung tuyến AM nên ta có tọa độ M thỏa mãn phương trình AM. −77k 2 +258k−81 = 0 Giải ra ta có k = 3 hoặc k = 27 77 Viết phương trình AC tìm A theo hai trường hợp. Phần còn lại là đơn giản các bạn tự giải  Câu VIa. 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho (P) : x +y−z + 1 = 0, d : x−2 1 = y−1 −1 = z−1 −3 . Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trình của đường thẳng ∆ nằm trong (P), vuông góc với d và cách điểm I một khoảng bằng 3 √ 2. Lời giải:  Câu VIIa. (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho số phức z sao cho:     z +i z−3i     = 1. Tìm các số phức z thoả mãn điều kiện: |z +3i−2| = 4 Lời giải: Cách 1: Đặt z = a +bi với a;b ∈ R; (z= 3i). Ta có:     z +i z−3i     = |z +i| |z−3i| = 1 ⇔ |z +i| 2 = |z−3i| 2 ⇔ a 2 + (b +1) 2 = a 2 + (b−3) 2 ⇔ b +1 = ±(b−3) ⇔ b = 1 Vì điều kiện: |z +3i−2| = 4 ⇔ |z +3i−2| 2 = 16 ⇔ (a−2) 2 +4 2 = 16 ⇔ a = 2 Vậy z = 2 +i (thoả)  Cách 2: Gọi A,B,M,I biểu diễn ba số phức z,−i,3i,2−3i trên mặt phẳng phức. Khi ấy A,B thuộc trục ảo và MA = MB nên M nằm trên trung trực AB ⇒ y M = −1 +3 2 = 1. Mặt khác IM = 4 nên M thuộc đường tròn (I;4). Do khoảng cách từ I đến đường thằng (d) : y = 1 bằng 4 nên (d) tiếp xúc với (I) tại M. Suy ra IMOy hay x M = x I = 2. Kết luận M(2;1) hay z = 2 +i là số cần tìm.  Câu VIb. 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết đường cao và trung tuyến xuất phát từ A lần lượt có phương trình: 6x−5y− 7 = 0;x−4y +2 = 0. Tính diện tích ∆ABC, biết rằng trọng tâm của tam giác thuộc trục hoành và đường cao xuất phát từ đỉnh B đi qua điểm E(1;−4). Lời giải: Ta có A(2;1) Gọi G(a;0) vì G thuộc trung tuyến nên suy ra G(−2;0). Gọi M là trung điểm BC ta có −→ AG = 2 −−→ GM. suy ra M  −4; −1 2  Viết được BC : 5x +6y +23 = 0 suy ra B(−1 +6t;−3−5t);C(−7−6t;5t +2). Vì BE vuông góc với AC ta có điều kiện là 61t 2 +42t −19 = 0 ⇔ t = −1 hoặc t = 19 61 Đến đây chia hai trường hợp để giải  Câu VIb. 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— 3 http://www.math.vn Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;2;1), đường thẳng d : x−2 2 = y−2 1 = z−1 2 và mặt cầu (S) : x 2 +y 2 +z 2 +4x−6y +m = 0. Xác định các giá trị của m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho −→ MA = 5 −→ MB. Lời giải:  Câu VIIb. (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho số phức z thoả mãn:     z−i z +3i     = 1. Tìm số phức z sao cho z +1 có một acgumen bằng − π 6 . Lời giải: Cách 1: Đặt z = a +bi với a;b ∈ R;(z = −3i) Ta có:     z−i z +3i     = |z−i| |z +3i| = 1 ⇔ |z−i| 2 =|z +3i| 2 ⇔ a 2 +(b−1) 2 = a 2 +(b+3) 2 ⇔ b−1 = ±(b +3) ⇔ b = −1 z +1 =  (a +1) 2 +1  a +1  (a +1) 2 +1 + −i  (a +1) 2 +1  =  (a +1) 2 +1  cos  − π 6  +isin  − π 6  a +1  (a +1) 2 +1 = cos  − π 6  = √ 3 2 ⇔  a +1 > 0 4(a +1) 2 = 3(a +1) 2 +3 ⇔  a +1 > 0 (a +1) 2 = 3 ⇔ a = √ 3−1 Vậy z = √ 3−1−i (thoả)  Cách 2: Gọi M,A,B biểu diễn ba số phức z +1,1 +i,1−3i trên mp phức. Khi ấy A(1;1) và B(1;−3) và MA = MB nên M ∈ (d), với (d) là trung trực của AB, song song với Oy nên M(x 0 ;−1). Lại có tan  − π 6  = −1 x 0 ⇒ x 0 = √ 3. Suy ra M( √ 3;−1) ⇒ z +1 = √ 3−i ⇒ z = √ 3−1−i.  4