LỜI GIẢI ĐỀ THI TOÁN 2011 - ĐỀ SỐ 9

tai lieu hay day moi nguoi

http://www.math.vn DIỄN ĐÀN MATH.VN http://www.math.vn LỜI GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2011 Môn thi : Toán Đề số: 09 Câu I. 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho hàm số y = x 3 + (1−2m)x 2 + (2−m)x +m +2 (1), m là tham số.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m = 2. Lời giải: Hàm số y = x 3 −3x 2 +4 Bảng biến thiên Đồ thị 1 2 3 4 1 2 3−1       Câu I. 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x +y +7 = 0 góc α , biết cos α = 1 √ 26 . Lời giải: Cách 1: *gọi hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại M(x o ,y o ) dạng k = f  (x o ) = 3x 2 o +2x o (1−2m) +2−m *Tiếp tuyến tạo với d góc α u 1 .u 2 |u 1 ||u 2 | = 1 √ 26 ⇒ 6k 2 −13k +6 = 0 ⇒ k = 3/2 hay k = 2/3 * Với k = 3/2 thì: 3x 2 o +2x o (1−2m) +2−m = 3/2 ⇒ 3x 2 o +2x o (1−2m) +1/2−m = 0 ⇒ ∆  ≥ 0 ⇒ m≥ 1/2 hay m ≤ −1/4 *tương tự: k = 2/3 ⇒ m ≥ 1 hay m ≤ −3/4 Vậy những giá trị của m thoả là: m ≥ 1/2 hay m ≤ −1/4  Cách 2: Gọi véctơ pháp tuyến là −→ n = (a,b) Điều kiện là : a 2 +b 2 = 0 Theo bài ra ta có : | a +b | √ a 2 +b 2 √ 2 = 1 √ 26 ⇔ 6a 2 +13a +6b 2 = 0 ⇔ (3a +2b)(2a +3b) = 0 ⇔  3a +2b = 0(1) 2a +3b = 0(2) Ta xét các trường hợp sau : (1) : a = −2,b = 3. Phương trình tiếp tuyến có dạng : y = 2 3 x + α Thay đạo hàm với hệ số góc này ta được : 3x 2 +2(1−2m)x +2−m = 2 3 Cần ∆  ≥ 0 ⇔ 4m 2 −m−3 ≥ 0 ⇔  m ≤ −3 4 m ≥ 1 Làm tương tự với trường hợp sau ta có : (2) : a = −3,b = 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng : y = 3 2 x + β Thay đạo hàm với hệ số góc này ta được : 3x 2 +2(1−2m)x +2−m = 3 2 Cần ∆  ≥ 0 ⇔ 8m 2 −2m−1 ≥ 0 ⇔    m ≤ −1 4 m ≥ 1 2 1 http://www.math.vn Kết hợp bằng cách lấy hợp của hai họ ta được những giá trị của m thoả là:    m ≤ −1 4 m ≥ 1 2  Câu II. 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Giải hệ phương trình:  x 3 +7y = (x +y) 2 +x 2 y +7x +4 3x 2 +y 2 +8y +4 = 8x . Lời giải: Cách 1: Biến đổi hệ phương trình một chút như sau :  x 2 (x−y) = (x +y) 2 +7(x−y) +4 (1) 4 = −3x 2 −y 2 +8(x−y) (2) Thực hiện phép thế (2) vào (1) ta có : x 2 (x−y) = (x +y) 2 +7(x−y)−3x 2 −y 2 +8(x−y) ⇔ x 2 (x−y) = −2x 2 +2xy +15(x−y) ⇔ x 2 (x−y) = −2x(x−y) +15(x−y) ⇔ (x−y)(x 2 +2x−15) = 0 Trường hợp 1: x = y Thay vào phương trình (2) có ngay : 4x 2 +4 = 0 . Phương trình này vô nghiệm ! Trường hợp 2: x 2 +2x−15 = 0 ⇔   x = 3 ⇒ y 2 +8y +7 = 0 ⇔  y = −1 y = −7 x = −5 ⇒ y 2 +8y +119 = 0 (vô nghiệm) Vậy hệ đã cho có các nghiệm sau : (3,−1),(3,−7)  Cách 2: HPT ⇔  (x 2 −7)(x−y)−x 2 −2xy− (y 2 +4) = 0 (1) 3x 2 + (y 2 +4)−8(x−y) = 0 (2) Thực hiện phép thế (x 2 −7)(x−y) +2x(x−y)−8(x−y) = 0 ⇔ (x−y)(x 2 +2x−15) = 0 ⇔  x = y x 2 +2x−15 = 0 tương tự cách 1.  Câu II. 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Giải phương trình: 2cos 2 x +2cosx−3 sin 2 x 2 +4 √ 3sinx = 0 Lời giải: ĐK: sin x 2 = 0 ⇔ x = k2 π . PT ⇔ 2cos 2 x +2cosx−3 = 2 √ 3sinx(1−cosx) = 0 ⇔ −cos 2 x−2 √ 3sinx.cosx−3sin 2 x +2cosx +2 √ 3sinx = 0 ⇔ −(cosx + √ 3sinx) 2 +2(cosx +2 √ 3sinx) = 0⇔ (cosx + √ 3sinx)(cosx + √ 3sinx−2) = 0 ⇔  cosx + √ 3sinx = 0 cosx + √ 3sinx = 2 ⇔  cos(x− π 6 ) = 0 cos(x− π 6 ) = 1 ⇔  x− π 6 = π 2 +k π x− π 6 = k2 π ⇔  x = 2 π 3 +k π x = π 6 +k2 π KT đk ta nhận cả các nghiệm này.  Câu III. (1 điểm) ———————————————————————————————— Tìm tích phân I = π 3  π 6 dx sin 3 x.cos 5 x Lời giải: I =  π 6 π 6 dx tan 3 x.cos 8 x =  π 6 π 6 (tan 2 x +1) 3 tan 3 x d(tanx) =  π 6 π 6  tanx + 1 tanx  3 d(tanx) =  π 6 π 6  tan 3 x + 1 tan 3 x +3tanx +3 1 tanx  d(tanx) =  1 4 tan 4 x− 1 2tan 2 x + 3 2 tan 2 x +3ln|tanx|      π 6 π 6 = tính tiếp nhe.  Câu IV. (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A,AB = a √ 2. Gọi I là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc H của S lên mặt đáy (ABC) thỏa mãn: −→ IA = −2 −→ IH, góc giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng 60 o . Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB tới (SAH). Lời giải: 2 http://www.math.vn Ta có: IB = IA = IC = AB √ 2 = a;IH = IA 2 = a 2 ⇒ HC = √ IH 2 +IC 2 = a √ 5 2 ⇒ SH = HC.tan60 o = a √ 15 2 V S.ABC = 1 3 SH.S ABC = 1 6 SH.AB 2 = 1 6 . a √ 15 2 .2a 2 = a 3 √ 15 6 Gọi E trung điểm SI; KE là đường trung bình ∆SBI ⇒ KE  BI;KE = BI 2 = a 2 BI ⊥ AH;BI ⊥ SH ⇒ BI ⊥ (SAH) ⇒ KE ⊥ (SAH) ⇒ d(K;(SAH)) = KE = a 2 60 o  B  C  A  I  H  S  K  E  Câu V. (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho x,y,z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn: x 2 +y 2 +z 2 = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = √ xy 4− √ xy + √ yz 4− √ yz + √ zx 4− √ zx . Lời giải:  Câu VIa. 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD tâm I. Biết A(0;1) và B(3;4) thuộc Parabol (P) : y = x 2 −2x +1,I nằm trên cung AB của (P) sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất. Tính toạ độ hai đỉnh C và D. Lời giải:  Câu VIa. 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trong hệ toạ độ Oxyz cho tam giác ABC có B(1;4;3), phương trình các đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ C lần lượt là: (d 1 ) : x 1 = y−1 1 = z−7 −2 ; (d 2 ) : x−1 −2 = y−3 1 = z−4 1 . Tính chu vi tam giác ABC. Lời giải:  Câu VIIa. (1 điểm) ———————————————————————————————— Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết rằng |z| 2 −12 = 2i(3−z) Lời giải: Gọi z = a +bi với a;b ∈ R Ta có: a 2 +b 2 −12 = 2i(3−a−bi) = 2(3−a)i +2b ⇔  a = 3 a 2 +b 2 −12 = 2b ⇔  a = 3 b 2 −2b−3 = 0 ⇔  a = 3 b = −1hay b = 3 Vậy có 2 số phức z = 3−i, z = 3 +3i thỏa đề bài. Số z = 3−i có phần thực là 3, phần ảo là −1. Số z = 3 +3i có phần thực là 3, phần ảo là 3  Câu VIb. 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC. Biết A(−4;6), C  4 3 ;2  và tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là K  − 2 3 ; 8 3  . Tính toạ độ đỉnh B của tam giác. Lời giải: 3 http://www.math.vn  Câu VIb. 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trong hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC biết phương trình đường phân giác AD, trung tuyến AM là: (d 1 ) : x +1 3 = y−1 2 = z−3 −2 ; (d 2 ) : x 1 = y−1 1 = z +3 2 và C(−2;0;1). Tính diện tích tam giác ABC Lời giải:  Câu VIIb. (1 điểm) ———————————————————————————————— Trong tất cả các số phức z = 6 thỏa mãn w = z +8i z−6 là một số ảo thì số nào có modun lớn nhất ? Tính giá trị lớn nhất đó ? Lời giải: Cách 1: Đặt: z = x +iy Khi đó: Ω = x + (y +8)i (x−6) +yi = (x + (y +8)i)((x−6)−yi) (x−6) 2 +y 2 = x(x−6) + (y +8) (x−6) 2 +y 2 + (y +8)(x−y−6)i (x−6) 2 +y 2 Ω là số ảo ⇔ x(x−6) + (y +8)y (x−6) 2 +y 2 = 0 ⇔ x(x−6) + (y +8)y = 0 ⇔ (x−3) 2 + (y +4) 2 = 25 (∗) Từ (∗) suy ra các điểm M biểu diễn các số phức Ω đã cho nằm trên đường tròn tâm I = (3;−4) bán kính R = 5. Ta có | z | max ⇔ M ∈ (∗) sao cho OM max Đường thẳng nối hai điểm 0 I có phương trình y = −4 3 x Vậy để tìm điểm M ta xét hệ phương trình sau:    y = −4 3 x (1) (x−3) 2 + (y +4) 2 = 25 (∗) Thế (1) vào (∗) ta được (x−3) 2 + 16 9 (x−3) 2 = 25 ⇔ (x−3) 2 = 9 ⇒ x = 6 hoặc x = 0 Dễ thấy hệ này có hai nghiệm: Với x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ z = 0 Với x = 6 ⇒ y = −8 ⇒ z = 6−8i Vậy z = 6−8i  Cách 2: Giả thiết w + w = 0 ⇒ z +8i z−6 + z−8i z−6 = 0. ⇔ |z| 2 −3(z + z) +4i(z−z) = 0 ⇒ |z +4i−3| = 5. Mặt khác 5 = |z +4i−3| ≥ |z|−|3−4i| hay |z| ≤ 10. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  z +4i−3 = k(3−4i) |z| = 10 ⇒ |(k +1)(3−4i)| = 10 ⇒ k = 1 ⇒ z = 6−8i.  4