LỜI GIẢI ĐỀ THI TOÁN 2011 - ĐỀ SỐ 12

tai lieu hay day moi nguoi

http://www.math.vn DIỄN ĐÀN MATH.VN http://www.math.vn LỜI GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2011 Môn thi : Toán Đề số: 12 Câu I. 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho hàm số y = 3x−2 x +1 (C). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. Lời giải: Hàm số y = 3x−2 x +1 Bảng biến thiên Đồ thị −8 −6 −4 −2 2 4 6 −4 −2 2 4 6 8 10 0 Câu I. 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Gọi I là giao của 2 đường tiệm cận của đồ thị. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số biết d cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B thỏa mãn cos  BAI = 5 √ 26 Lời giải: Cách 1: Xét điểm M (x o ;y o ) ,x o = −1 thuộc (C). Ptrình tiếp tuyến tại M : y−  3− 5 x o +1  = 5 (x o +1) 2 (x−x o ) Ptrình của hai đường tiệm cận của (C) lần lượt là x = −1,y = 3 A là giao điểm của tiếp tuyến d và tiệm cận đứng x = −1 ⇒ A  −1; 3x o −7 x o +1  B là giao điểm của tiếp tuyến d và tiệm cận ngang y = 3 ⇒ B(2x o +1;3) Từ điều kiện giả thiết ta có phương trình 5 √ 26 = t √ 400 +t 2 với t = 10 2 (x o +1) 2 ,t > 0 ⇔ t = 100 ⇔ 10 2 = 10 2 (x o +1) 2 ⇔ x o = 0 hay x o = −2 Với x o = 0 ⇒ pt của d : y = 5x−2 Với x o = −2 ⇒ pt của d : y = 5x +2 Cách 2: Xét điểm M (x o ;y o ) ,x o = −1 thuộc (C). Ptrình tiếp tuyến d tại M : y−  3− 5 x o +1  = 5 (x o +1) 2 (x−x o ) 1 vectơ pháp tuyến của d là −→ u =  5 (x o +1) 2 ;−1  Ptrình của hai đường tiệm cận của (C) lần lượt là d 1 : x = −1,d 2 : y = 3 Ta có: ∆BAI vuông tại I nên  BAI luôn nhọn vì vậy: cos(d;d 1 ) = | −→ u . −→ i | | −→ u .|.| −→ i | = 5 (x o +1) 2  1 + 25 (x o +1) 4 = cos  BAI = 5 √ 26 ⇔ 5 (x o +1) 2 = 5 ⇔ |x o +1| = 1 1 http://www.math.vn ⇔  x o = 0 x o = −2 ⇒  d : y = 5x−2 d : y = 5x +2 Có 2 tiếp tuyến thoả mãn Cách 3: tan 2  BAI = 1 cos 2  BAI −1 = 1 25 Mà: tan  ABI là hệ số góc k của tiếp tuyến. tan  ABI = 1 tan  BAI = |5|. Từ đây có được 2 tiếp tuyến Câu II. 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Giải bất phương trình: x−3 3 √ x +1 +x +3 > 2 √ 9−x x Lời giải: ĐK: 9 > x ≥ −1;x = 0 bất phương trình ⇔ ( √ x +1−2)( √ x +1 +2) ( √ x +1 +2)( √ x +1 +1) > 2 √ 9−x ( √ x +1 +1)( √ x +1−1) ⇔ √ x +1−2 > 2 √ 9−x √ x +1−1 TH1: √ x +1−1 > 0 ⇔ x > 0 bất phương trình ⇔ x +3−3 √ x +1 > 2 √ 9−x ⇔ (x−8) + (9−3 √ x−1) + (2−2 √ 9−x) > 0 ⇔ (x−8)(1− 9 9 +3 √ x +1 + 8 2 +2 √ 9−x ) > 0 ⇔ 8 < x < 9 (∗) TH2: √ x +1−1 < 0 ⇔ x < 0 bất phương trình ⇔ x +3−3 √ x +1 < 2 √ 9−x ⇔ 0 > x ≥ −1 (∗∗) Vậy nghiệm của bất phương trình là (∗) và (∗∗) Câu II. 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Giải phương trình: √ 3(sin2x−3sinx) +3 = 2cos 2 x +3cosx−2 Lời giải: Ptrình √ 3(sin2x−3sinx) +3 = 2cos 2 +3cosx−2 ⇔ √ 3sin2x−3cosx = 2(1−sin 2 ) +3 √ 3sinx−5 ⇔ √ 3sin2x−3cosx = −2sin 2 x +3 √ 3sinx−3 ⇔ cosx  2 √ 3sinx−3  = −  2sinx− √ 3  sinx− √ 3  ⇔  2sinx− √ 3  √ 3cosx +sinx− √ 3  = 0 ⇔  2sinx− √ 3 = 0 √ 3cosx +sinx = √ 3 ⇔     x = π 3 +k2 π x = k2 π x = 2 π 3 +k2 π , k ∈ Z Câu III. (1 điểm) ———————————————————————————————— Tính tích phân: I =  π 4 0 cos2x +2 √ 2sin  x + π 4  2sin 2  x + π 4  +2 √ 2cos  x + π 4  +1 dx. Lời giải: Đặt x = π 4 −t ⇒ dx = − dt Lúc đó : I =  π 4 0 sin2t−2 √ 2sint 2sin 2 t +2 √ 2cost +1 dt =  π 4 0 2sint(cost − √ 2) −2cos 2 t +2 √ 2cost +3 dt Đặt u = cost ⇒ du = −sint dt. Lúc đó I = 2  1 √ 2 2 u− √ 2 −2u 2 +2 √ 2u +3 du = −  1 √ 2 2 u− √ 2  u + √ 2 2  u− 3 √ 2 2  du ⇔ I = − 1 4  1 √ 2 2  3 √ 2 u + √ 2 2 + 1 u− 3 √ 2 2  du = − 1 4  3 √ 2ln √ 2+1 2 +ln 3−2 √ 2 2  Câu IV. (1 điểm) ———————————————————————————————— Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB = a,BC = a √ 3, tam giác ASO cân tại S và mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết góc giữa SD và (ABCD) bằng 60 o . Tính thể tích khối chóp S.ABCD cùng khoảng cách giữa SB và AC. Lời giải: 2 http://www.math.vn Gọi I trung điểm AO Vẽ SH ⊥ AD; (H ∈ AD) và vì (SAD) ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ (ABCD) Ta có: SA = SO ⇒ AH = HO ⇒ ∆AHO cân tại H nên H thuộc BI là đtrung trực của AO 1. Tính thể tích: Ta có: ∆AOB đều ⇒ AI = AO 2 = a 2 AH = AI cos30 o = a √ 3 ⇒ HD = AD−AH = a √ 3− a √ 3 = 2a √ 3 SH = HDtan60 o = 2a √ 3 · √ 3 = 2a V S.ABCD = 1 3 ·SH ·S ABCD = 1 3 ·2a·a·a √ 3 = 2a 3 √ 3 3 2. Tính khoảng cách: Gọi E trung điểm SA Ta có: BH = √ AB 2 +AH 2 =  a 2 + a 2 3 = 2a √ 3 1 HE 2 = 1 BH 2 + 1 SH 2 = 3 4a 2 + 1 4a 2 = 1 a 2 ⇒ HE = a Ta có: AC ⊥ BH;AC ⊥ SH ⇒ AC ⊥ (SBH) Vẽ IK ⊥ SB; (K ∈ SB) ta có ngay đoạn vuông góc chung của SB và AC là IK hình vẽ  A  D  B  C  O  I  H  S  K  E Ta có: IK HE = IB BH ⇒ IK = HE. IB BH = a. a √ 3 2 2a √ 3 = 3a 4 Vậy d(SB;AC) = 3a 4 Câu V. (1 điểm) ———————————————————————————————— Tìm các số thực m để phương trình 4x 2 −2mx +1 = 3 √ 8x 3 +2x có đúng hai nghiệm thực phân biệt. Lời giải: Phương trình ⇔ 4x 2 +1−3  (4x 2 +1)2x = 2mx Đk: x ≥ 0 Với x = 0 không thỏa phương trình. Với x > 0 pt đã cho ⇔ 4x 2 +1 2x −3  4x 2 +1 2x = m ⇔ 2x + 1 2x −3  2x + 1 2x = m (∗) Đặt t =  2x + 1 2x ,t ≥ √ 2. Khảo sát hàm t =  2x + 1 2x cho ta nhận xét: - Miền giá trị của t là [ √ 2;+∞) - Ứng với mỗi t = √ 2 có 2 giá trị x - Ứng với t = √ 2 có duy nhất 1 giá trị x = 1 2 Do đó: Yêu cầu bài toán tương đương đthẳng g(t) = m cắt đồ thị hàm số f (t) = t 2 −3t, (t ∈ [ √ 2;+∞)) tại đúng 1 điểm có hoành độ khác t = √ 2 ⇔    m = f  3 2  ; t = √ 2 m > f ( √ 2) = f  3− √ 2  ; t = √ 2 ⇔  m = − 9 4 m > 2−3 √ 2 Câu VIa. 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(−1;14) và đường tròn (S) tâm I(1;−5) bán kính R = 13. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A cắt (S) tại M,N mà khoảng cách từ M đến AI bằng một nửa khoảng cách từ N đến AI Lời giải: Nhận xét: A nằm ngoài đường tròn. Khoảng cách từ M đến AI bằng 1 nửa khoảng cách từ N đến AI ⇒ AM = 1 2 AN (vẽ hình sẽ thấy) Pt đường thẳng qua A:  x = −1 +mt y = 14 +nt ⇒ M(−1 +mt 1 ;14 +n 1 ),N(−1 +nt 2 ;14 +nt 2 ) 3 http://www.math.vn −→ AM = (mt 1 ,nt 1 ) −→ AN = (mt 2 ,nt 2 ) −→ AM = 1 2 −→ AN ⇔ t 1 = 1 2 t 2 Phương trình giao điểm của ∆ và đương tròn: (−2 +mt) 2 + (19 +nt) 2 = 169 ⇔ (m 2 +n 2 )t 2 + (−4m +38n)t +196 = 0 Áp dụng viet:            t 1 +t 2 = 4m−38n m 2 +n 2 t 1 t 2 = 196 m 2 +n 2 t 1 = 1 2 t 2 Từ đó tính ra m = −n hoặc m = 281 433 n Với m = −n. Chọn m = 1,n = −1. Ta có phương trình đường thẳng: x +y−13 = 0 Với m = 281 433 n. Chọn m = 281,n = 433. Ta có phương trình đường thẳng : 433x−281y +4767 = 0 Câu VIa. 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trong không gian tọa độ Oxyz viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) : 2x + y− 2z + 8 = 0 tại A(−1;−2;2) và khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến điểm B(−2;3;0) bằng 5. Lời giải: Do (S) tiếp xúc với (P) tại A nên tâm I của (S) thuộc đường thẳng (∆) đi qua A và vuông góc với (P). Có −→ a ∆ = −→ n P = (2;1;−2). Từ pt tham số của (∆)      x = −1 +2t y = −2 +t z = 2−2t t ∈ R ⇒ I (−1 +2t;−2 +t;2−2t). Mà IB 2 = 25 ⇔ 9t 2 −14t +5 = 0 ⇔ t = 1 hay t = 5 9 Với t = 1 ⇒ I (1;−1;0) ,R = IA = 3. Lúc đó pt mặt cầu (S):  x−1 2  +  y +1 2  +z 2 = 9 Với t = 5 9 ⇒ I  1 9 ;− 13 9 ; 8 9  ,R = IA = 5 3 . Lúc đó pt mặt cầu (S):  x− 1 9  2 +  y + 13 9  2 +  z− 8 9  2 = 25 9 Câu VIIa. (1 điểm) ———————————————————————————————— Chín học sinh gồm 5 nam và 4 nữ rủ nhau vào rạp chiếu phim. Tại đó, người soát vé yêu cầu các học sinh này phải xếp hàng sao cho không có bất kì 2 nữ nào đứng liền nhau. Hỏi xác suất của sự kiện đó là bao nhiêu? Lời giải: +) đầu tiên thì ta vẫn có 9! cách xếp vị trí cho 9 người +) xếp cố định cho 5 thằng con trai thì vẫn có 5! cách xếp +) còn lại 4 cô nữ và có 6 vị trí nên sô cách xếp sẽ là A 4 6 còn có thể xếp tới 2 vị trí đầu tiên kẹp 4 thằng con trai vào giữa nên ta có P = 5!A 4 6 9! Câu VIb. 1) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trên mặt phẳng Oxy cho d : x +2y−1 = 0;d ′ : 3x +y +7 = 0 cắt nhau tại I và điểm M(1;2). Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M cắt d,d ′ lần lượt tại A và B sao cho AI = √ 2AB Lời giải: Cách 1: Ta có tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình  x +2y−1 = 0 3x +y +7 = 0 ⇔  x = −3 y = 2 ⇒ I (−3;2) Lấy điểm H (1;0) ∈ d(H = A); K ∈ d ′ (K = B) sao cho √ 2HK = HI. Do K ∈ d ′ ⇒ K (a : −3a−7) Có −→ HI = (−4;2), −→ HK = (a−1;−3a−7) Mà HI = √ 2HK ⇔ HI 2 = 2HK 2 ⇔ 20 = 2[(a−1) 2 + (3a +7) 2 ] ⇔ (a +2) 2 = 0 ⇔ a = −2. 4 http://www.math.vn Vậy K(−2;−1). Có:  HI = √ 2HK AI = √ 2AB ⇒ IH AI = HK AB ⇒ HKAB. Vậy đường thẳng d đi qua M và có véctơ chỉ phương −→ KH = (3;1) ⇒ pt d : x−1 3 = y−2 1 Cách 2: Theo điều kiện AI = √ 2AB gợi ý cho ta nghĩ đến tam giác vuông AIB cạnh huyền AI. Thật may mắn khi góc  AIB = 45 ◦ thế nên AB ⊥ BI. Vậy ∆ đi qua M(1;2) và vuông góc với (d ′ ) và do đó ta có phương trình x−3y +5 = 0 Câu VIb. 2) (1 điểm) ———————————————————————————————— Trong không gian Oxyz cho (S) : (x−1) 2 + (y +2) 2 + (z−3) 2 = 25 vàM(2;−4;1) . Trong tất cả các đường thẳng d qua M cắt mặt cầu theo dây cung AB, viết phương trình tham số của đường thẳng cắt trục Ox và thỏa mãn độ dài AB nhỏ nhất. Lời giải: Mặt cầu (S) có tâm I (1;−2;3) và bán kính R = 5 Có M nằm trong mặt cầu (S). Gọi H là hình chiếu vuông góc của I xuống (d). Lúc đó IH ≤ IM ⇒ ABmin ⇔ (d)⊥IM. Gọi N (t;0;0) ∈ Ox là giao điểm của (d) và Ox. Có −−→ MN = (t −2;4;−1) Do IM ⊥ (d) ⇔ −→ IM. −−→ MN = 0 với −−→ MN = (t −2;4;−1) , −→ IM = (1;−2;−2) ⇒ t = 8 ⇒ N (8;0;0) Vậy đường thẳng (d) cần tìm đi qua 2 điểm M,N và nhận −−→ MN = (6;4;−1) làm véctơ chỉ phương nên có phương trình tham số:      x = 2 +6t y = −4 +4t z = 1−t , t ∈ R Câu VIIb. (1 điểm) ———————————————————————————————— Tìm các số phức w để phương trình bậc hai (ẩn z): z 2 +wz +8i−6 = 0 có 2 nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. Lời giải: Gọi z 1 ,z 2 là hai nghiệm của phương trình. Lúc đó theo giả thiết bài toán có :  z 1 = 2z 2 z 2 = 2z 1 ⇔ (z 1 −2z 2 )(z 2 −2z 1 ) = 0 ⇔ 9z 1 z 2 = 2(z 1 +z 2 ) 2 ⇔ 9(4i−3) = w 2 Gọi w = x +yi.x,y∈ R. Lúc đó có x 2 −y 2 +2xyi = −27 +36i ⇔  x 2 −y 2 = −27 xy = 18 ⇔  x = 3 y = 6 hay  x = −3 y = −6 Vậy có 2 số phức thõa yêu cầu bài toán: w = 3 +6i; w = −3−6i 5