Các bất đẳng thức trong các đề thi đại học thông thường là đối xứng với các biến và ta dự đoán dấu bằng xảy ta khi các biến bằng nhau và xảy ra tại biên.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu t[r]
(1)Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn NHỮNG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG COSI Cho n nguyên và n ≥ Tìm giá trị nhỏ A = x + xn Giải: n x x x x n +1 A = + + + + n ≥ (n + 1)n +1 n ≥ n +1 n n n n x n x n n so x n Dấu đẳng thức xảy Giá trị nhỏ A = x = n ⇔ x = n +1 n n x n +1 n +1 nn Cho n nguyên và n ≥ và x ≥ k > n +1 n Tìm giá trị nhỏ A = x + xn Giải: Với x ≥ k > n +1 n 1 1 1 ≥ ⇔ x − k + − n −1 + n −2 + n −3 + + n −1 ≥ x k x k x k k x k x 1 1 ⇔ (x − k ) 1 − n −1 + n −2 + n −3 + + n −1 ≥ xk x x k x k k (x − k ) 1 ⇔ xk − n −1 + n −2 + n −3 + + n −1 ≥ xk x k x k k x 1 1 n n Ta có: n −1 + n −2 + n −3 + + n −1 ≤ n −1 < = n +1 n < xk n + n − x x k x k k k n f (x ) ≥ f (k ) ⇔ x + n −k − n Suy f (x ) ≥ f (k ) đúng với x ≥ k > n +1 n Giá trị nhỏ A = k + x = k kn Cách : n x x x nx n Nháp : A = + + + n +x − ≥ (n + 1)n +1 n + x − m m x m m m x n so x ,m > m Lop10.com (2) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn x = k n +1 Ta chọn m cho: x = k n +1 ⇒m =x = m xn n x nx n Bài giải: A = n +1 + + n +1 + n + x − n +1 ≥ (n + 1)n +1 n +1 n + x − n +1 k k x k k k x x x x n so kn +1 Vì x ≥ k > n +1 n nên n < k n +1 suy ra: A ≥ (n + 1) n + k − n +1 = k + n = f (k ) n k k k ( ) Cho hai số thực x ≠ 0, y ≠ thay đổi và thỏa mãn điều kiện: x + y xy = x + y − xy Tìm giá trị lớn biểu thức : A = x + y3 Đề thi Đại học khối A năm 2006 ( ) Giải: () Xét x + y xy = x + y − xy * Đặt u = 2 1 ,v = x y ( 1 1 Ta + = + − ⇒ u + v = u + v − uv ⇒ u + v x y x xy y ( ⇒ u +v ) ) 3(u + v )2 − (u + v ) = 3uv ≤ − 4(u + v ) ≤ ⇒ ≤ u + v ≤ Khi đó : A = x + y3 (x + y )(x + y − xy ) = x 3y x 3y 1 ⇒A= + + = (u + v )2 ≤ 16 xy x y = (x + y )(x + y )xy Dấu đẳng thức xảy u = v = hay x = y = x 3y = x + y + 2xy x 2y Cho x , y, z là số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y z P = x + +y + +z + yz zx xy Đề thi Đại học khối B năm 2007 Giải: x y z x y2 z x y z P = x + +y + +z + + + + + + = 2 yz zx xy yz zx xy Lop10.com (3) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn 1 1 2 P = x + y2 + z + + = x + y + z 1 + xyz xyz xyz ( ) ( ) 2 9 x y z 2 = 2 x yz Đẳng thức xảy x = y = z = P ≥ Vậy giá trị nhỏ biểu thức P = Đề thi Đại học khối A năm 2009 Cho x , y, z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện x y.z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( x2 y + z ) y y + 2z z + ( y2 z + x ) z z + 2x x + ( z2 x + y ) x x + 2y y Đề thi Đại học khối A năm 2007 Giải: P ≥ 2x x xyz y y + 2z z + 2y y xyz z z + 2x x + 2z z xyz x x + 2y y 2x x ≥ y y + 2z z + 2y y z z + 2x x + 2z z x x + 2y y x x = (−2a + 4b + c ) a = y y + 2z z Đặt: b = z z + 2x x ⇒ y y = (a − 2b + 4c ) c = x x + y y z z = (4a + b − 2c) Khi đó: P ≥ b a c c a b −2a + 4b + c a − 2b + 4c 4a + b − 2c + + ≥ −6 + + + + + + 9 a b c 9 a c b a b c −6 + 4.3 + = Vậy giá trị nhỏ biểu thức P = a = b = c = Hay P ≥ ( ) Cho các số thực không âm x , y thay đổi và thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ ( )( ) biểu thức S = 4x + 3y 4y + 3x + 25xy Đề thi Cao đẳng khối B năm 2009 Giải: Nhận xét: vai trò giống (đối xứng) x , y Lop10.com (4) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ( http//:www.maths.vn ) )( ( ) S = 12 x + y + 16x 2y + 34xy = 12 x + y x + y − xy + 16x 2y + 34xy Hay S = 12 x + y x + y ( )( 191 − 3xy + 16x 2y + 34xy = 4xy − + 4 16 ) 2 x +y Vì x , y không âm và thỏa mãn x + y = suy ≤ xy ≤ = 191 25 ≤ 4xy − + 4 16 25 x = y = và giá trị nhỏ S = x = 0, y = Vậy giá trị lớn S = 2 1 ⇒ − ≤ 4xy − ≤ ⇒ ≤ 4 ( Cho các số thực x , y thay đổi và thỏa mãn x + y ( ) ( ) + 4xy ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức ) A = x + y + x 2y − x + y + Đề thi Đại học khối B năm 2009 Giải: (x + y ) (x + y ) + 4xy ≥ ⇒ x +y ≥ 4xy ( ( A = (x ) + (x + y ) ≥2⇒x +y ≥1 ) ( ) 23 (x + y + x + y + 2x y ) − (x + y ) + + y ) + (x + y ) − ( x + y ) + Mà x + y = ( x + y ) − 2x y ≥ ( x + y ) − ( x + y ) ⇒ x + y ≥ ( x + y ) 3 Khi đó A ≥ ( x + y ) + ( x + y ) − ( x + y ) + hay A ≥ ( x + y ) − ( x + y ) + 4 A = x + y + x 2y − x + y + = 4 4 ( 2 2 2 ) 2 2 Đặt t = x + y , t ≥ 2 4 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 (x + y )2 ≥ ⇒ A ≥ t – 2t + 1,t ≥ 2 1 ; +∞ 2 1 9 Ta có f ' t = t – ≥ − > , t ≥ ⇒ f t đồng biến trên nửa khoảng ; +∞ 2 () Xét hàm số f t = t – 2t + xác định và liên tục trên nửa khoảng () () 1 Khi đó A = f t = f = Đẳng thức xảy t = 1 16 t∈ ;+∞ () 2 ĐIỂM RƠI TRONG BẤT DẲNG THỨC COSI Lop10.com (5) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn Bài toán mở đầu : Cho a, b > và thỏa mãn a + b ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 + a + b2 + 2ab Lời giải Ta có: P = 1+a +b 2 + Giải: 4 ≥ = ≥ =2 2 2ab a + 2ab + b + (a + b) + 2 2 1 + a + b = 2ab (a − b ) + = Dấu " = " xảy ⇔ ⇔ Hệ vô nghiệm Vậy không tồn P a + b = a + b = Lời giải Ta có: P = 1+a +b 2 + 1 4 + ≥ + = + 2 6ab 3ab a + 6ab + b + 3ab (a + b) + + 4ab 3ab a + b Mặt khác ab ≤ = Vậy P ≥ a + b 2+ + a + b 6 ≥ 1 + a + b = 3ab Dấu " = " xảy ⇔ a = b ⇔a =b = a + b = 1 + ≥ Tại a b a +b 1 cùng bài toán mà có đến hai đáp số ? Do đâu mà lời giải lại tách = + ? Đó 2ab 6ab 3ab chính là kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Lời bình: lời giải và lời giải gần tương tự nhau, cùng áp dụng bất đẳng thức Các bất đẳng thức các đề thi đại học thông thường là đối xứng với các biến và ta dự đoán dấu xảy ta các biến và xảy biên Cho a, b > và thỏa mãn a + b ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a +b 2 + + 4ab ab Giải: Do P là biểu thức đối xứng với a, b , ta dự đoán P đạt a = b = Ta có: P = a + b2 + 1 1 + 4ab + ≥ + 4ab + ≥7 + 2 2ab 4ab 4ab (a + b) 2ab a + b 4 Lop10.com (6) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn a + b = 2ab 1 Dấu " = " xảy ⇔ a 2b = ⇔a =b = 16 a b + = Vậy giá trị nhỏ biểu thức P = đạt a = b = Thao khảo hai lời giải khác : Lời giải 1: P = a +b 2 + + 4ab + ≥ + ab 4ab 4ab a +b ( ) 2 4ab 1 1 + ≥ 4+2+ =6+ 2ab 4ab 4ab 4ab a + b = 2ab 1 Dấu " = " xảy ⇔ a 2b = ⇔ a = b = Thay a = b = vào ta P ≥ 16 a + b = Vậy giá trị nhỏ biểu thức P = đạt a = b = Lời bình 1: Qua cách giải trên ta đã chọn đúng dấu đẳng thức xảy a = b = nên dẫn đến việc tách các số hạng và giá trị nhỏ biểu thức P = đạt a = b = là đúng , bước cuối cùng ta đã làm sai , ví dụ 2 − a + a ≥ a , đẳng thức xảy a = ⇒ − a + a = a ? Lời giải 2: 1 4 P = + + + ab ≥ + + ab = + + ab 2 ab a + b 2ab 2ab a + b + 2ab 2ab a +b ( ) ( ) ( ) ( ) 1 + 4ab ≥ 4ab = 2 Vậy P ≥ + 2 ⇒ P = 2 + 2ab 2ab Lời bình 2: 1 Thoạt nhìn thấy bài toán đã giải đúng Thực tế thì sao? Việc tách = + để làm xuất đẳng ab 2ab 2ab Mặt khác ( ) thức a + b + 2ab = a + b a = b P = 2 + ⇔ = 4ab Hệ vô nghiệm Đẳng thức không xảy , đó không tồn P 2ab a + b = ( ) Cho số thực dương a,b,c thoả mãn a + b + c ≤ Chứng minh : Lop10.com (7) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt a + b + c + http//:www.maths.vn 1 15 + + ≥ a b c 2 a + 1 17 + b2 + + c2 + ≥ 2 a b c a + b2 + b2 + c2 + c2 + a2 ≥ 17 Giải: a + b + c + 1 15 + + ≥ a b c Ta có thể phạm sai lầm: a + b + c + 1 1 + + ≥ 3 abc + ≥6 a b c abc Dấu đẳng thức xảy a = b = c = đó a + b + c = > abc =6 abc ( trái giả thiết ) Phân tích bài toán : , gợi ý hướng giải bất đẳng thức trung bình cộng, trung 1 bình nhân ≥ a + b + c ≥ 3 abc ⇒ abc ≤ Đặt: x = abc ≤ 2 1 1 1 Khi đó : a + b + c + + + ≥ 3 abc + = x + Dự đoán đẳng thức xảy x = a b c x abc x = ⇒ α = x2 = Ta chọn α > cho: x = α x Bài giải: Từ giả thiết a,b,c dương thoả mãn a + b + c ≤ 1 1 1 15 + + ≥ x + ≥ 4x + − 3x ≥ 3.2 4x − 9x = 12 − = a b c x x x 2 Đẳng thức xảy a = b = c = a +b +c + 1 17 + b2 + + c2 + ≥ 2 a b c Phân tích bài toán : a + , gợi ý hướng giải bất đẳng thức trung bình cộng, trung 1 bình nhân ≥ a + b + c ≥ 3 abc ⇒ abc ≤ Đặt: x = abc ≤ ,đẳng thức xảy x = 2 2 x = 1 Xét x + , chọn α > cho: ⇒ α = = 16 x x x = αx Từ giả thiết a,b,c dương thoả mãn a + b + c ≤ Lop10.com (8) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân cho 17 số, đó 16 số là 16 ≥ 17 x x + = x + 16 2 x 16x 16x 2 ⇒ a2 + ≥ a2 17a −15 17 32 17 ; b2 + ⇒ x2 + 17 ≥ b2 17b 32 17 −15 17 ; c2 + x ≥ ≥ c2 17x 16x −15 17 32 17 −15 17 17c 32 17 −15 −15 −15 −15 −15 −15 1 17 17 17 17 17 17 2 17 17 ⇒ a + + b + + c + ≥ 32 a + b + c ≥ 32 a b c a b c 17 17 ( ) −5 15 1 17 17 17 a + + b + + c + ≥ 32 abc 17 ≥ 32 17 = a b c 17 17 Đẳng thức xảy a = b = c = Cách khác : Chọn : u = a; , v = b; , w = c; a b c Dùng bất đẳng thức vecto u + v + w ≥ u + v + w Tương tự trên , ta đặt x = a2 + ( abc ) 2 (a + b + c ) 1 a + + b2 + + c2 + ≥ a b c 2 1 1 + + + ≥3 a b c (abc)2 + (abc )2 a + b + c ≤ ≤ 1 1 15 x 15 2 + b + + c + ≥ x + = x + + ≥ + x 16x 16x 16 x 16x a2 b2 c2 1 1 15 15 17 + b2 + + c2 + ≥ + ≥3 + = 2 16x a b c Đẳng thức xảy a = b = c = a2 + a + b + b2 + c + c2 + a ≥ 17 x =y = ⇒ α = = 16 Tương tự trên Xét x + , chọn α > cho: y x 2y x = αy2 Lop10.com và số x : (9) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân cho 17 số, đó 16 số là 16 1 x + = x + 16 ≥ 1717 x 2 y 16y 16y ⇒ a2 + 17 ≥ b2 17a b 32 17 −16 17 ; b2 + ≥ c2 1 ⇒ x2 + ≥ y 17 17b c 32 17 −16 17 ; c2 + −16 −16 17 17 17 17 a + + b + + c + ≥ 32 a b + b c 17 b c a 17 Đẳng thức xảy a = b = c = 2 2 32 17 ≥ a2 16y và số x : −16 17x 17 y 17 17 17c a −16 17 32 17 −16 17 17 + c a 17 ≥ 32 abc 17 ( ) −5 17 ≥ 17 32 17 15 17 = 17 1 + + = Tìm giá trị lớn biểu thức x y z 1 P = + + 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Đề thi Đại học khối D năm 2007 Cho x , y, z > và thỏa mãn Giải: 2005 + b 2005 ≤ a Cho các số không âm a, b, x , y thỏa các điều kiện 2005 Chứng minh : 2005 x + y ≤ a 1975 x 30 + b1975 y 30 ≤ Toán tuổi thơ – số 27 Giải: Nhận xét : Các đa thức tham gia bài toán cùng bậc 2005 = 1975 + 30 , đồng thời số mũ các biến tương ứng Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho 1975 số a Lop10.com 2005 và 30 số x 2005 (10) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 1975.a 2005 + 30.x 2005 (1975 + 30 ) Tương tự ≥ 2005 (a ) (x ) 2005 1975.b 2005 + 30.y 2005 (1975 + 30 ) () () http//:www.maths.vn ≥ 1975 2005 2005 30 () = a 1975 x 30 (b ) (y ) 2005 ( ) 1975 2005 30 () = b 1975 y 30 ( ) ( Từ và suy 1975 a 2005 + b 2005 + 30 x 2005 + y 2005 ≥ 2005 a 1975 x 30 + b 1975 y 30 a 2005 + b 2005 ≤ ⇒ 2005 ≥ 1975 a 2005 + b 2005 + 30 x 2005 + y 2005 Từ 2005 2005 +y ≤1 x ( ) ( () () ( ) (3) ) (4) ) Từ và suy 2005 ≥ 2005 a 1975 x 30 + b 1975 y 30 ⇒ a 1975 x 30 + b 1975 y 30 ≤ Dấu đẳng thức xảy a 1975 = x 30 , b1975 = y 30 a m +n + b m +n ≤ Tổng quát : Cho các số không âm a, b, x , y thỏa các điều kiện m +n Chứng minh : m +n x + y ≤ a m x n + b m y n ≤ Cho x , y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= xy yz zx + + z x y Giải: 2 xy yz zx Ta có : A = + + + y + z + x z x y ( ) Áp dụng bất đẳng thức: x + y + z ≥ xy + yz + zx Ta được: A2 ≥ (y + z + x ) + 2(y + z + x ) = 3(y + z + x ) = xy yz xz = = ⇒x =y =z = z x y Vậy A = đạt x = y = z = Đẳng thức xảy ⇔ Cho số thực dương a,b,c thoả mãn a + b + c = Chứng minh : a b c 3 + + 2 ≥ 2 b +c c +a a +b Phân tích bài toán : Lop10.com (11) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn • Trường hợp tổng quát , giả sử < a ≤ b ≤ c thoả mãn điều kiện a + b + c = , ta có thể suy < a ≤ b ≤ c < hay không? Như điều kiện a,b,c không chính xác vì dấu đẳng thức xảy 0 < a = b = c ⇒ a , b , c ∈ 0; 2 a + b + c = • Ta thấy mối liên hệ gì bài toán ? Dễ thấy a + b + c = và b + c , c + a , a + b Gợi ý ta đưa a b c 3 bài toán dạng cần chứng minh : + + ≥ 2 2 1−a −b 1−c • Vì vai trò a,b,c và ý phân tích trên gợi ý ta đưa đến cách phân tích a ≥ a 2 a − b a b c 3 2 + + ≥ a + b + c ) và cần chứng minh b ( 2 2 ≥ 2 1−a −b 1−c b − c c ≥ 2 1 − c • Ta thử tìm lời giải : a 3 ≥ a ⇔ ≥ a⇔ ≥ a(1 − a ) ⇔ ≥ a 2(1 − a )2 ⇔ ≥ 2a 2(1 − a )2 2 2 27 27 1−a 1−a 3 2a 2(1 − a )2 = 2a 2(1 − a )(1 − a ) Dễ thấy 2 2a + (1 − a ) + (1 − a ) = Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân = 2a + (1 − a ) + (1 − a ) ≥ 3 2a 2(1 − a )(1 − a ) ⇒ ≥ 2a 2(1 − a )(1 − a ) ⇔ ≥ 2a 2(1 − a )2 27 Tương tự cho các trường hợp còn lại Giải : Cho số thực dương a,b,c Chứng minh : a3 b3 c3 + + ≥ (a + b + c ) b (c + a ) c (a + b ) a (b + c ) Phân tích bài toán : • Đẳng thức cần chứng minh đưa dạng : a3 b3 c3 + m (a + c ) + nb + + k (b + a ) + pc + + i (b + c ) + ja ≥ b (c + a ) c (a + b ) a (b + c ) • Giả sử < a ≤ b ≤ c Dự đoán đẳng thức xảy a = b = c Lop10.com (12) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn a3 Từ đó gợi mở hướng giải : + m (a + c ) + nb ≥ 3 mna Đẳng thức xảy b (c + a ) m = a3 ( ) = m a + c = nb a ⇔ = m (a + a ) = na ⇔ b (c + a ) a (a + a ) a = b = c n = Tương tự cho các trường hợp khác Giải : a3 1 a3 1 + b + (c + a ) ≥ a Đẳng thức xảy khi: = b = (c + a ) b (c + a ) b (c + a ) 3 b 1 b 1 + c + (b + a ) ≥ b Đẳng thức xảy khi: = c = (b + a ) c (a + b ) c (a + b ) c3 1 c3 1 + a + (b + c ) ≥ c Đẳng thức xảy khi: = a = (b + c ) a (b + c ) a (b + c ) 3 a b c Cộng vế theo vế ta : + + ≥ (a + b + c ) Dấu đẳng thức xảy : b (c + a ) c (a + b ) a (b + c ) a =b =c > Cho số thực dương a,b,c thoả mãn a a a +1 + b +1 + c +1 < +b +c = Chứng minh : b a + b + b + c + c + a ≤ c a + b + b + c + c + a ≤ 18 1 d a + b + c + + + ≥ 10 a b c Giải: a +1 +1 a a + + b + + c + < ( ) ( ) ( ) a + = a + ≤ b + = b + ≤ c + = c + ≤ Đẳng thức xảy a Vậy a + + b + + ( ) ( ) ( ) a + 1 2 b +1 +1 b a +b +c = +1 ⇒ a +1 + b +1 + c +1 ≤ +3= 2 2 c +1 +1 c = +1 2 +1 = b +1 = c +1 = ⇔ a = b = c = ⇒ a +b +c = ≠ c +1 < = b a + b + b + c + c + a ≤ Phân tích bài toán : Lop10.com (13) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn • Trường hợp tổng quát , giả sử < a ≤ b ≤ c thoả mãn điều kiện a + b + c = , dấu đẳng thức xảy 0 < a = b = c 1 ⇒ a = b = c = Hằng số cần thêm là 3 a + b + c = • Từ giả thiết gợi ý ta đưa đến cách phân tích a + b + b + c + c + a ≤ (a + b + c ) hay 1 1 1 a + + b + b + + c + c + + a + 3+ 3+ 3 S = a +b + b +c + c +a ≤ 2 • Ta thử tìm lời giải : Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân 1 2 a + +b + 3 (a + b ) + = ≥ 2 2 Tương tự cho các trường hợp còn lại (a + b ) = a + b Cách khác : Giả sử với m > , ta luôn có : a +b = m a +b + m (a + b ) m ≤ m Vấn dự đoán m > bao nhiêu là phù hợp? a + b = m Dễ thấy đẳng thức xảy ⇔m = a = b = Giải : Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân a + b + ( ) AM _ GM 3 (a + b ) ≤ a +b = 2 AM _GM (b + c ) + (b + c ) ≤ b +c = 2 AM _GM (c + a ) + (c + a ) ≤ c +a = 2 (a + b + c ) + 3 ⇒ a +b + b +c + c +a ≤ = = (đpcm) 2 Đẳng thức xảy a = b = c = c a + b + b + c + c + a ≤ 18 Lop10.com đề bây ta (14) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn • Trường hợp tổng quát , giả sử < a ≤ b ≤ c thoả mãn điều kiện a + b + c = , dấu đẳng thức xảy a + b = 0 < a = b = c 2 ⇒ a = b = c = ⇒ b + c = Hằng số cần thêm là 3 a + b + c = c + a = • Từ giả thiết gợi ý ta đưa đến cách phân tích a + b + b + c + c + a ≤ 18 (a + b + c ) hay 2 2 2 a +b) + + b + c) + + (c + a ) + + ( ( 3+ 3+ 3 T = 3a +b + 3b +c + 3c +a ≤ 3 Giải : Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân 2 a +b + + 3 2 3 a + b = 3 a + b ≤ 3 2 b + c + + 93 2 3 b +c ≤ b +c = 3 2 c + a + + ( ) 3 c + a = (c + a ) ≤ 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒T = a +b + b +c + c +a ≤ Dấu đẳng thức xảy a = b = c = d a + b + c + (a + b + c ) + = = 18 (đpcm) 4 1 + + ≥ 10 a b b Phân tích bài toán : • Trường hợp tổng quát , giả sử < a ≤ b ≤ c thoả mãn điều kiện a 0 < a = b = c ⇒a =b =c = a + b + c = +b +c = , dấu đẳng thức xảy • Từ điều cần chứng minh ,gợi ý ta đưa đến cách phân tích với m > , ta luôn có : ma + ma = a ⇔ m = Đẳng thức xảy : a = 1 1 1 • Vì mà T = a + b + c + + + = (a + b + c ) + + + − (a + b + c ) a b b a b b Lop10.com ≥2 m a (15) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn Giải : Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân 9a + ≥ a 9b + ≥ b 9c + ≥ c 1 + + − (a + b + c ) ≥ 3.6 − (a + b + c ) = 10 (đpcm) a b b Đẳng thức xảy : a = b = c = ⇒ T = (a + b + c ) + Bài tập tương tự Cho các số thực dương x , y, z và thỏa mãn mx + ny + pz ≥ d đó m, n, p, d ∈ Tìm giá trị lớn biểu thức A = ax + by + cz 2 Hướng dẫn : Thực việc chọn điểm rơi : ax = by = cz = 2 β Chứng minh xy + yz + zx = thì 3x + 3y + z ≥ 10 Phân tích bài toán : • Trước hết ta để ý mối liên hệ 3x 2,3y 2, z 2, xy, yz, zx cho ta điều gì ?, phải đẳng 2 thức có dạng : (ax − by ) ≥ ⇔ (ax )2 + (by ) ≥ 2axby ? • Phân tích : ax + ay ≥ 2axy Đẳng thức xảy x = y by + cz ≥ bcyz Đẳng thức xảy by = cz cz + bx ≥ cbzx Đẳng thức xảy cz = bx a + b = a = Bây ta chọn a,b,c cho : 2c = ⇔ b = a = bc c = Giải : x + y ≥ 2xy Đẳng thức xảy x = y 1 2y + z ≥ 2yz Đẳng thức xảy 2y = z 2 2 z + 2x ≥ 2zx Đẳng thức xảy z = 2x 2 Lop10.com (16) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn Cộng vế theo vế ta : 3x + 3y + z ≥ (xy + yz + zx ) ⇒ 3x + 3y + z ≥ 10 (đpcm) x = y 2y = z x = y = ⇔ Đẳng thức xảy : z =2 z = 2x 2 xy + yz + zx = Cho số thực dương x , y, z thoả mãn x +y +z = 47 235 Chứng minh : 3x + 4y + 5z ≥ 12 12 Phân tích bài toán : • Trước hết ta để ý mối liên hệ 3x 2,4y 2,5z 2, x, y, z cho ta điều gì ?, gợi ý : 3x + 4y + 5z ≥ biến đổi dạng 3x + m + 4y + n + 5z + p ≥ k , ( < m ≤ n ≤ p ≤ k = const ) • Phân tích : 3x + m ≥ 3mx, m > Đẳng thức xảy 3x = m 2 4y + n ≥ 4ny, n > Đẳng thức xảy 4y = n 5z + p ≥ 5pz, p > Đẳng thức xảy 5z = p x = 3x = m y = 4y = n z = Bây ta chọn x , y, z cho : 5z = p ⇔ m = 25 3m = 4n = 5p 25 x + y + z = 47 n = 12 p = Giải : 25 25 25 ≥ x Đẳng thức xảy 3x = 3 25 25 25 4y + ≥ y Đẳng thức xảy 4y = 4 5z + ≥ 5.5z Đẳng thức xảy 5z = 3x + Cộng vế theo vế ta 3x + 4y + 5z ≥ 10 ( x + y + z ) − Lop10.com 235 12 = 235 12 (đpcm) 235 12 (17) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn x = Đẳng thức xảy y = z = Cho số thực không âm a,b,c Chứng minh : + abc ≤ (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) Giải : + abc ≤ ⇔ 3 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) ⇔ 1.1.1 + (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) Đặt : T = 3 1.1.1 + abc ≤ (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) abc ≤1 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) 1.1.1 abc +3 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) 1 1 1 a b c + + + + + 1 + a + b + c 1 + a + b + c a + b + c + T≤ + + = = + a + b + c Dấu đẳng thức xảy a = b = c ≥ T≤ Tổng quát : ( ) Chứng minh với ,bi > i = 1, n thì ta luôn có : n a1a2 .an + n b1b2 .bn ≤ n a1 + b (a1 + b2 ) (an + bn ) 1 1 1 Cho số thực dương a,b,c thoả mãn a + b + c = Chứng minh : − − − ≥ a b c Giải : 1 1 1 1 −a 1 −b 1 −c b + c c + a a +b VT = − − 1 − = . = a b c . a b c a b c AM_GM VT ≥ bc ca ab = (đpcm) a b c Tổng quát : x 1, x , x , ., x n > Cho x + x + x + + x n = Lop10.com (18) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn 1 n Chứng minh : − − − − ≥ (n − 1) x x x xn Cho số thực dương a,b,c,d thoả mãn abcd ≤ 1 1 + + + ≥ Chứng minh : 1+a +b 1+c +d 81 Giải : 1 b c d ≥ 1 + + + 1 − + 1 − = 1+a 1+b 1+c 1+d 1+b 1+c 1+d AM _GM bcd ≥ 33 1+a (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ) 1 + a 1 + b Vậy: 1 + c 1 + d ⇒ bcd (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ) ≥3 ≥ 33 cda (1 + c ) (1 + d ) (1 + a ) ≥3 ≥ 33 dca (1 + d ) (1 + c )(1 + a ) abc (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ) ≥ 81 abcd ⇒ abcd ≤ 81 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ) Tổng quát : x 1, x , x , , x n > Cho : 1 1 1 + x + + x + + x + + + x ≥ n − n Chứng minh : x 1x 2x x n ≤ (n − 1)n Bài tương tự Cho số thực dương a,b,c thoả mãn a + b + c = Chứng minh : a a b c + + ≥ 2 2 1+b 1+c 1+a Lop10.com (19) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn a b c + + ≥ a + b2 b + c2 c + a 2 a2 b2 c2 c + + ≥ a + 2b b + 2c c + 2a b Hướng dẫn : a + b + c = a 3(ab + bc + ca ) ≤ (a + b + c) ⇒ ab + bc + ca ≤ a a(1 + b ) − ab2 ab = = a − a ab + b2 + b2 ⇒ ≥a − 1 + b 2 1+b 1 + b ≥ 2b b bc bc c ca ca = b − ≥ b − , = c − ≥c − 2 2 1+a 1+c 1+c 1+a a b c ab + bc + ca 3 Cộng vế theo vế : + + ≥ a +b +c − ≥3− = 2 2 2 1+b 1+c 1+a Tương tự : Cho số thực dương a,b,c thoả mãn a.b.c = Chứng minh : a3 b3 c3 + + ≥ (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a )(1 + b) 1 b + + ≤1 +a +b +c a Hướng dẫn : a Cho số thực dương a,b,c thoả mãn a + b + c = Chứng minh : a2 b2 c2 + + ≥ b +c c +a a +b Giải : a2 b2 c2 a2 b2 c2 + + ≥ ⇔( + a) + ( + b) + ( + c) ≥ + (a + b + c) b +c c +a a +b b +c c +a a +b Lop10.com (20) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn a + a(b + c) b2 + b(c + a ) c2 + c(a + b) + + ≥ +1 b +c c +a a +b a(a + b + c) b(b + c + a ) c(c + a + b) ⇔ + + ≥ b +c c +a a +b a b c ⇔ + + ≥ vì a + b + c = b +c c +a a +b ⇔ Cho số thực dương a,b,c thoả mãn a + b + c = Chứng minh : a ab bc ca + + ≤ a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b Hướng dẫn : a Dùng bất đẳng thức 1 + ≥ a b a +b Cho số thực dương a,b,c Chứng minh : a3 b3 c3 + + ≥ (a + b + c ) (a + b)(b + c) (b + c)(c + a ) (c + a )(a + b) a3 b3 c3 b + + ≥ (a + b + c) b(c + a ) c(a + b) a(b + c) a Hướng dẫn : a3 a +b b +c + + ≥ a 8 (a + b)(b + c) b3 b +c c +a a Cách : + + ≥ b ( b + c )( c + a ) 8 c3 c +a a +b + + ≥ c 8 (c + a )(a + b) 4a + 2b + (c + a ) ≥ 6a b ( c + a ) 4b b Cách 1: + 2c + (a + b) ≥ 6b c(a + b) 4c + 2a + (b + c) ≥ 6c a(b + c) 8a + (a + b) + (b + c) ≥ 6a (a + b)(b + c) 8b Cách 2: + (b + c) + (c + a ) ≥ 6b ( b + c )( c + a ) 8c + (c + a ) + (a + b) ≥ 6c (c + a )(a + b) a3 b c +a + + ≥ a b ( c + a ) b c a +b Cách 2: + + ≥ b c(a + b) c3 a b +c + + ≥ c a(b + c) Lop10.com (21)