Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương thức bình phương tối thiểu - Trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm Tp. Hồ Chí Minh

Cụ thể là, chúng tôi sẽ tập trung trình bày một cách hệ thống một số tính chất của nghiệm bình phương tối thiểu, phương pháp phân tích giá trị kỳ dị và một số ứng dụng trong đại số tuyến[r]

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

− − − − − − − − − − − − − − − − − − −−

Lê Thị Ngọc Quỳnh

PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

− − − − − − − − − − − − − − − − − − −−

Lê Thị Ngọc Quỳnh

PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU

Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH ĐINH NHO HÀO

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan viết luận văn tìm tịi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầyĐinh Nho Hào Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan

Hà Nội, tháng 11 năm 2020.

Học viên

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc tớiGS TSKH. Đinh Nho Hào, người trực tiếp hướng dẫn tơi tìm hướng nghiên cứu Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy thời gian dài Thầy quan tâm, giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô, anh chị, bạn bè Viện Tốn học giúp đỡ, góp ý tạo điều kiện trình học tập, nghiên cứu để tơi thực tốt luận văn

Tơi xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi sở đào tạo Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam q trình thực luận văn

Đặc biệt, tơi xin cảm ơn gia đình, người thân bạn bè sát cánh, động viên khích lệ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu

Hà Nội, tháng 11 năm 2020.

Học viên

Mục lục

Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục

MỞ ĐẦU 1

1 Một số kiến thức sở 2

2 Phương pháp bình phương tối thiểu 11

2.1 Nghiệm bình phương tối thiểu phương trình tốn tử

số tính chất 12

2.2 Phân tích giá trị kỳ dị 21

2.2.1 Toán tử compact 21

2.2.2 Phổ toán tử compact tự liên hợp 23

2.2.3 Phân tích giá trị kỳ dị 30

2.3 Tiêu chuẩn Picard 36

3 Ứng dụng phương pháp bình phương tối thiểu 40 3.1 Phân tích giá trị kỳ dị cho ma trận 40

3.2 Ứng dụng phương pháp bình phương tối thiểu khơng gian hữu hạn chiều 50

3.3 Ứng dụng phân tích kỳ dị nghiên cứu tốn ngược 54

1

MỞ ĐẦU

Giải tích số hay cịn gọi phương pháp số mơn khoa học thuộc lĩnh vực Tốn ứng dụng, nhằm mục đích nghiên cứu cách giải gần phương trình, toán xấp xỉ, toán tối ưu, Trong việc giải gần nghiệm phương trình, tơi xin đề cập luận văn phương pháp bình phương tối thiểu cho việc giải hệ phương trình tuyến tính Bình phương tối thiểu tuyến tính kỹ thuật để xấp xỉ nghiệm gần cho hệ phương trình tuyến tính với kiện khơng xác ứng dụng rộng rãi thống kê Hệ phương trình trường hợp xét thường hệ mà có số phương trình lớn số biến

Các tốn bình phương tối thiểu chia thành hai loại: bình phương tối thiểu tuyến tính bình phương tối thiểu phi tuyến Trong luận văn này, nghiên cứu phương pháp bình phương tối thiểu cho hệ phương trình tuyến tính Cụ thể là, chúng tơi tập trung trình bày cách hệ thống số tính chất nghiệm bình phương tối thiểu, phương pháp phân tích giá trị kỳ dị số ứng dụng đại số tuyến tính giải tốn ngược Luận văn chia làm ba chương sau:

Chương 1: Chương nhắc lại số định nghĩa, định lý tính chất quan trọng Giải tích hàm phục vụ cho luận văn

Chương 2: Nội dung phần trình bày định nghĩa, tính chất nghiệm bình phương tối thiểu, nghịch đảo suy rộng chứng minh tiêu chuẩn Picard, có mối liên hệ quan trọng với phương pháp bình phương tối thiểu việc phân tích giá trị kỳ dị

CHƯƠNG 1

Một số kiến thức sở

Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất quan trọng Giải tích hàm để hỗ trợ cho phần sau Một số tính chất định lý khác chưa đề cập chương nêu cách xen kẽ chương

Định nghĩa 1.0.1. [1], [2] Cho không gian vectơ X trường K = R Một ánh xạ cho

k.k : X → K, x 7→ kxk

được gọi chuẩn trênX thỏa mãn tính chất sau:

(i) kx+yk ≤ kxk+kykvới mọix, y ∈ X (ii) kαxk = |α|kxkvới mọix ∈ X,α ∈ K

(iii) kxk ≥ 0với mọix ∈ X vàkxk = 0nếux =

Khi khơng gian vectơ X với chuẩn gọi không gian định chuẩn Hơn nữa, không gian định chuẩnX gọi không gian Banach dãy (dãy Cauchy) trongX hội tụ tới điểm trongX, hay nói cách khác X không gian định chuẩn đầy đủ

3

Định nghĩa 1.0.2. [1], [2] Cho không gian vectơX trườngK(K = Rhoặc C) Một ánh xạ cho

h.i : X ×X →K,

(x, y) 7→ hx, yi

được gọi tích vơ hướng trênX thỏa mãn tính chất sau

(i) hx, yi = hy, xivới mọix, y ∈ X

(ii) hx+y, zi = hx, zi+hy, zivới mọix, y, z ∈ X (iii) hαx, yi = αhx, yi với mọix, y ∈ X α ∈ K (iv) hx, xi ≥ 0với mọix ∈ X hx, xi = 0nếux =

Một không gian vectơX trườngK với tích vơ hướng trênX gọi không gian tiền Hilbert Từ ta có định nghĩa khơng gian Hilbert không gian tiền Hilbert mà đồng thời không gian Banach với chuẩnkxk= phx, xi,∀x ∈ X

Định nghĩa 1.0.3. [1], [2] Một tập M không gian metric X gọi compact dãy M chứa dãy hội tụ tới điểm thuộcM Từ ta có tính chất: tập compact khơng gian metric đóng hồn tồn bị chặn, mệnh đề ngược chưa đúng, ví dụ đơn giản hình cầu đóng khơng gian định chuẩn vơ hạn chiều khơng compact TậpM gọi compact tương đối (hay tiền compact) bao đóng compact Nói cách khác,M gọi compact tương đối dãy trongM chứa dãy hội tụ không gianX Tập M gọi hoàn toàn bị chặn với mọiε > 0cho trước, tồn phủ gồm hữu hạn hình cầu mở (Si) với bán kính ε chứa M Và ta có

4

Định lý 1.0.4. [1] Định lý Heine-Borel: Một tậpM trong không gian metricX

được gọi compact phủ mở củaM đều chứa phủ con hữu hạn chứaM.

Chứng minh. Giả sử M có tính chất Heine-Borel Xét dãy (xn) ⊂ M Với mỗik = 1,2, , kí hiệuAk = {xn : n≥ k} ChoAk bao đóng Ak Gk = X \Ak Với tập hữu hạnI ⊂ {1,2, }, rõ ràngTk∈IAk 6=

∅, cho nênTk∈IAk 6= ∅, đóX \Sk∈I(X \Ak) = X \Sk∈IGk 6= ∅, tức hợp tập mởGk (k ∈ I) khơng phủ đượcX Vì điều với

họ hữu hạn{Gk, k ∈ I}nên theo tính chất Heine-Borel họ khơng

thể phủ đượcM Vậy phải cóx 6∈ Gk = X \Ak, tức làx ∈ Ak ∀k = 1,2,

Từ dễ dàng suy dãy con(xnk) hội tụ Thật vậy, với mỗik, vìx ∈ Ak

nên hình cầu tâmxbán kính1/k phải chứa mộtxnk ∈ (xn) Ta cód(xnk, x) ≤

1/k →0khik → ∞ VậyM compact

Để chứng minh phần đảo, giả sử M compact có phủ mở {Gα}

không chứa phủ hữu hạn Ta lấy dãy số dương

εn → Vì M compact nên phủ số hữu hạn hình cầu bán

kínhε1 Trong số hình cầu phải có hình cầu, giả sử làS1 cho

M1 = M

T

S1 phủ số hữu hạn tậpGα(nếu khơng M phủ số hữu hạn tậpGα) TậpM1 compact (vì tập

con đóng tập compact) nên phủ số hữu hạn hình cầu bán kínhε2, số có cái, giả sửS2 choM2 = M1

T S2

không thể phủ số hữu hạn tậpGα TậpM2 compact nên

có thể phủ số hữu hạn hình cầu bán kính ε3 Tiếp tục thế,

ta thu dãy hình cầu Sn tập Mn = Mn−1

T

Sn (n = 1,2, )

Ta lấy tập Mn điểm xn Dĩ nhiên Mn ⊂ Mn−1 ⊂ ⊂ M

nên xn ∈ M M compact nên có dãy (xnk) hội tụ tới điểm

5

để d(x0, xnk0) < r/2 εnk0 < r/4 Khi với x ∈ Mnk0, d(x, x0) ≤

d(x, xnk0) +d(xnk0, x0) < 2εnk0+r/2< r, chứng tỏMnk0 ⊂ K ⊂ Gα0, nghĩa Mnk0 phủ tậpGα0, trái với cách xây dựng Vậy phủ củaM phải có phủ hữu hạn

Định lý 1.0.5. [1] Định lý Hausdorff: Trong không gian metric đầy đủ (nghĩa dãy Cauchy hội tụ tới điểm không gian ban đầu), một tập compact đóng hồn tồn bị chặn.

Chứng minh.

1) Ta biết tính chất tập compact phải đóng Bây giả sử tập

M compact khơng hồn tồn bị chặn Thế có ε > cho khơng thể phủ M số hữu hạn hình cầu bán kính ε Lấy điểm x1 ∈ M Hình cầu tâm x1 bán kính ε

khơng phủ M, có điểm x2 ∈ M với khoảng

cách d(x1, x2) ≥ ε Hai hình cầu tâm x1 x2 bán kính ε khơng

phủ đượcM, có điểmx3 ∈ M cho d(x1, x3) ≥ ε

và d(x2, x3) ≥ ε Tiếp tục cách ta dãy xn ∈ M với d(xn, xm) ≥ ε(n6= m;n, m = 1,2, ) Rõ ràng dãy

(xn)cũng dãy bản, khơng thể hội tụ Như mâu

thuẫn với giả thiếtM compact VậyM phải đóng hồn tồn bị chặn

2) Ngược lại, giả sử tập M đóng hồn tồn bị chặn không gian đầy đủ X xét dãy vơ hạn σ = (xn) ⊂ M Vì tập M có

thể phủ số hữu hạn hình cầu bán kính 1, nên hình cầu này, chẳng hạn S1, phải chứa vô số phần tử dãy σ Gọi

dãy dãy σ chứa S1 làσ1 Tập hợp M phủ

bằng số hữu hạn hình cầu bán kính 1/2, nên hình cầu này, giả sử S2, phải chứa vô số phần tử σ1 Gọi dãy σ1 chứa

6

σ ⊃ σ1 ⊃ σ2 ⊃ σk ⊂ Sk (k = 1,2, ), Sk hình cầu

bán kính 1/k Vì dãy σk có vơ số phần tử nên chọn σ1

một phần tử xn1, σ2 phần tử xn2 với n2 > n1, trongσ3 phần tửxn3 vớin3 > n2 tiếp tục trình Dãy(xnk) dãy

con củaσ = (xn), thấy dãy hội tụ X Thật

vậy với k < l σl ⊂ σk ⊂ Sk nên xnl, xnk thuộc hình cầu Sk

đód(xnl, xnk) < 2/k → 0khik, l → ∞, chứng tỏ rằng(xn) dãy

cơ bản, tức hội tụ theo giả thiết X khơng gian đủ Tóm lại dãy

(xn) ⊂ M chứa dãy hội tụ Vì M tập đóng nên giới hạn

của dãy thuộcM VậyM tập compact

Định lý 1.0.6. ChoX,Y là không gian định chuẩn.T là tốn tử tuyến tính đi từX vàoY Khi đó,T là compact dãy(xn)bị chặn trong X đều chứa dãy con (xnk)sao cho dãy (T xnk) hội tụ trongY.

Chứng minh.

(i) Giả sử(xn)n∈N ⊂ X bị chặn Để T compact dãy(T xn)n∈N phải

com-pact tương đối Y Theo giả thiết, (xn)n∈N chứa dãy (xnk)

cho (T xnk) ⊂ (T xn)n∈N (T xnk) hội tụ Y Sử dụng định nghĩa

về compact tương đối, ta suy raT toán tử compact

(ii) Giả sử T compact Lấy (xn)n∈N bị chặn X, suy dãy (T xn)n∈N

compact tương đối trongY Do từ dãy(xn)n∈N, ta trích

dãy con(xnk) mà(T xnk) ⊂ (T xn)n∈N và(T xnk)hội tụ trongY

Sau đưa tiêu chuẩn để chứng minh tập com-pact Chúng phát biểu lại Định lý Arzelà-Ascoli dạng đơn giản sau: Cho D tập compact Rn Xét (C0(D),k.k∞) Giả sử dãy hàm

{fn}n∈N ⊂C

0(D)thỏa mãn hai tính chất:

7

(ii) Đồng liên tục đều, tức ∀ > 0,∀x ∈ D,∃δ = δ(x, ) > cho với

∀n∈ N,∀y ∈ B(x, δ)∩D ta ln có|fn(y)−fn(x)| ≤

Khi tồn dãy {fϕ(n)}n∈N (trong ϕ : N → N hàm tăng) hàm

f ∈ C0(D)sao cho fϕ(n) −→k.k∞ f khin→ ∞ Các bước chứng minh:

• Bước 1.Chỉ thực chất dãy hàm {fn}n∈N đồng liên tục

• Bước 2. Lấy A = D ∩ Qn tập trù mật đếm D Sử dụng kỹ thuật "diagonal extraction" để có dãy ϕ(n) chung cho

x ∈ Amàfϕ(n)(x)

n→∞

−→ f(x), đâyf(x) kết giới hạn dãy Diagonal extraction: Giả sử có họ đếm dãy {um}

m∈N,

dãyum = {um

n}n∈N, thỏa mãn tính chất ∀m ∈ Ndãy u

m có dãy con

hội tụ đến điểm mà ta ký hiệu làum∞ Khi chọn dãy số chung cho tất dãy mà đảm bảo kết hội tụ cho dãy, tức tồn hàmϕ : N →N tăng choumϕ(n) n→∞−→ um∞ với mọim ∈ N

• Bước 3.Mở rộng từ AlênD để có fϕ(n)(x)

n→∞

−→ f(x) với x ∈ D, đâyf(x) kết giới hạn dãy Tức dãy{fϕ(n)}n∈N hội tụ điểm

D

• Bước 4.Chỉ f liên tục dãy{fϕ(n)}n∈N hội tụ vềf

D

Định lý 1.0.7. [1], [2] Định lý Riesz không gian Hilbert: Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f ánh xạ không gian Hilbert X vào trường K (K = R

hoặcC) biểu diễn cách dạng

f(x) = hx, ai,

với mọix ∈ X và alà phần tử thuộcX thỏa mãnkfk = kak.

8

Gọi (en)n∈N hệ trực chuẩn không gian Hilbert X ( nghĩa

một hệ trực giao chuẩn hóakenk = 1với mọin∈ N) Khi đó, với x ∈ X, ta có bất đẳng thức Bessel sau

∞ X

n=1

|hx, eni|2 ≤ kxk2 = hx, xi

Hệ (en)n∈N gọi hệ trực chuẩn đầy đủ có vectơ

trực giao với tất phần tử hệ Khi ấy, với mọix ∈ X, ta có đẳng thức

x =

∞ X

n=1

hx, enien kxk2 = ∞ X

n=1

|hx, eni|2

Đẳng thức cuối gọi đẳng thức Parseval Tiếp theo, chúng tơi muốn nhắc lại tính chất sau

Bổ đề 1.0.8. [1] Cho(en)n∈N là hệ trực chuẩn không gian HilbertX.

Khi với mọix ∈ X vàn ∈ N, chuỗi

∞ X

i=1

hx, eiiei hội tụ và

 x−

∞ X

i=1

hx, eiiei 

 ⊥en

Chứng minh. Trước tiên chúng tơi chứng minh tính chất không gian Hilbert: Chuỗi

∞ X

i=1

ai, {ai}∞i=1 ⊂ X hệ trực giao, hội tụ

khi chuỗi

∞ X

i=1

kaik2 hội tụ Thật lấy sn = n X

i=1

ai σn = n X

i=1

kaik2 Với n > m, theo Định lý Pythagore ta có

ksn−smk2 = kam+1 + .+ank2 = kam+1k2 + .+kank2 = σn−σm

Do ksn − smk → σn −σm → Nhưng X không

9

khi σn có giới hạn Do chuỗi ∞ X

i=1

ai hội tụ chuỗi ∞

X

i=1

kaik2 < ∞

Bây giờ, theo bất đẳng thức Bessel ta có

∞ X

i=1

khx, eiieik2 = ∞ X

i=1

|hx, eii|2 ≤ kxk2 < ∞,

cho nên theo tính chất ta vừa chứng minh phía trên, chuỗi

∞ X

i=1

hx, eiiei hội tụ

Mặt khác, với mọin > mta có

hx− n X

i=1

hx, eiiei, emi = hx, emi − n X

i=1

hx, eiihei, emi

= hx, emi − hx, emi =

Cho n → ∞ ta hx − ∞ X

i=1

hx, eiiei, emi = với m, nghĩa 

x− ∞ X

i=1

hx, eiiei 

 ⊥ en với mọin

Trong phần nhắc lại kiến thức sở này, muốn đưa bổ đề sau

Bổ đề 1.0.9. Cho X là không gian Hilbert Khi đó, tập lồi đóng trongX ln tồn phần tử có chuẩn nhỏ nhất.

Chứng minh. Gọi E tập lồi đóng trongX Đặt λ = inf{kxk : x ∈ E} Dokxk ≥ 0nên λ ≥ > −∞ Do λtồn Với x, y ∈ E, áp dụng đẳng thức hình bình hành cho x2 y2, ta có

1

4kx−yk

2 =

2kxk

2 +

2kyk

2 − kx+y

2 k

10

TừE lồi ta suy

2(x+y)phải thuộc E Theo định nghĩa củaλở trên, ta có

kx−yk2 ≤2kxk2 + 2kyk2 −4λ2 (∗)

Từ đây, nếukxk = kyk = λthì kx−yk2 ≤ 0, suy rax = y Như ta chứng

minh tính phần tử có chuẩn nhỏ

Tiếp theo, ta chứng minh tính tồn phần tử chuẩn nhỏ Từ định nghĩa λ suy tồn dãy (yn) E thỏa mãn kynk → λ n→ ∞ Ta thay x, y bởiyn, ym (∗), ta thu

kyn −ymk2 ≤ 2kynk2 + 2kymk2 −4λ2,

với m, n Cho m, n tiến tới vơ vế trái bất đẳng thức tiến tới Suy (yn) dãy Cauchy Vì X khơng gian Hilbert, tức không

gian đầy đủ nên suy tồn tạix0 ∈ X cho yn → x0 n → ∞ Từ(yn)

nằm E tập đóng nên x0 ∈ E Từ tính liên tục hàm chuẩn, ta

thu

kx0k = lim

n→∞kynk = λ

CHƯƠNG 2

Phương pháp bình phương tối thiểu

Trong chương này, chúng tơi trình bày số tính chất nghiệm bình phương tối thiểu, nghịch đảo suy rộng chứng minh tiêu chuẩn Picard không gian Hilbert vô hạn chiều Để thuận lợi cho việc theo dõi, trước hết vào số dẫn dắt trước vào vấn đề [3], [4], [5]

Ta cần tìm nghiệm phương trình

Ax = b

VớiAlà ma trận cỡ m×n,m > n vàx, btheo thứ tự vectơ cột vớinvà

m phần tử Để giải phương trình này, ta tìmx cho kAx−bk2 đạt cực tiểu.

Ta kí hiệu[Ax]i phần tử thứicủa vectơAxvàbi phần tử thứicủa vectơb

Khi đó, ta có phân tích đại lượngkAx−bk2 như sau

kAx−bk2 = ([Ax]1 −b1)2 + .+ ([Ax]m−bm)2 (∗)

Chính xuất phát từ lý cần làm tối thiểu bình phương chuẩn Ơclit

kAx−bk2 cho nên ta có tên gọi "phương pháp bình phương tối thiểu".

Ta biết: kvk2 = vTv, đó vT là ma trận chuyển vị của v Do biểu

12

thức(∗) viết lại sau

kAx−bk2 = (Ax−b)T(Ax−b) = (Ax)T(Ax)−bT(Ax)−(Ax)Tb+bTb

= (Ax)T(Ax)−2(Ax)Tb+bTb (vìbTAx = (Ax)Tb)

Do đểkAx−bk2 đạt cực tiểu giá trị cực tiểu đạt khơng

điểm đạo hàm theo biến x kAx − bk2 Đạo hàm biểu thức theo

biến x ta suy nghiệm tối thiểu x nghiệm phương trình sau

ATAx = ATb

Điều tương đương với hệ phương trình tuyến tính Trong đó, ma trận

ATAở vế trái ma trận vuông, khả nghịch nhưrankA = n, ta gọi

A có hạng đầy đủ theo cột Trong trường hợp này, hệ phương trình tuyến tính có nghiệm xác định sau

x = (ATA)−1ATb

Ở đây, ma trận (ATA)−1AT gọi ma trận giả nghịch đảo ma trận A

và phần trình bày phía sau ta kí hiệu làA+ Thơng thường, ta khơng có nghịch đảo củaA(A−1)doAsẽ thường giả thiết ma trận không vuông, Asuy biến

Bây giờ, giới thiệu, chứng minh số tính chất, định lý quan trọng phương pháp bình phương tối thiểu

2.1

Nghiệm bình phương tối thiểu phương trình tốn

tử số tính chất

13

đó, tồn phép chiếu trực giaoP từX vàoM cho

ky −P yk ≤ ky −uk

với mọiy ∈ X mọiu ∈ M

Trong phần này, ta giả sử X Y không gian Hilbert A thuộc

B(X, Y) khơng gian tốn tử tuyến tính liên tục từX vàoY Xét phương trình tuyến tính

Ax = y,

trong đóy ∈ Y cho trước Nếu phương trình khơng có nghiệm (theo nghĩa thông thường), ta cố gắng tìm vectơxtrongX để chokAx−yk

là nhỏ nhất, nghĩa

kAx−yk ≤ kAu−yk,

với mọiu ∈ X Vectơxở loại nghiệm mà ta nghiên cứu phần Bây giờ, ta gọiQlà phép chiếu Y lên R(A) ( đâyR(A)

là bao đóng tập ảnh củaA) Từ định lý phép chiếu trực giao ta suy

kQy−yk ≤ kz −yk,

với y ∈ Y, Qy ∈ R(A) với z ∈ R(A) Cũng từ hệ định lý phép chiếu trực giao khơng gian Hilbert, với mọiy ∈ Y, ta có:y−Qy ∈ R(A)⊥ Ở đây, để ý rằngR(A)⊥ = R(A)⊥ Thật vậy, hiển nhiên có

R(A) ⊂ R(A) suy R(A)⊥ ⊂ R(A)⊥ Ngược lại, lấy x ∈ R(A)⊥, ta cần chứng minh x ∈ R(A)⊥ Rõ ràng, lấy y ∈ R(A) theo định nghĩa bao đóng tập hợp, tồn dãy(yn) trongR(A)màyn → y khin → ∞.Vì

(yn) ⊂ R(A) suy hx, yni = Cho n → ∞ ta có hx, yi = Do x ∈ R(A)⊥ Vì vậyR(A)⊥ = R(A)⊥

14

(i) Ax = Qy

(ii) kAx−yk ≤ kAu−ykvới mọiu ∈ X

(iii) A∗Ax = A∗y với A∗ là toán tử liên hợp của A, nghĩa là hAx, yi =

hx, A∗yi

Chứng minh.

(i)⇒(ii) : Từ y − Qy ∈ R(A)⊥ suy Qy − y ∈ R(A)⊥ = R(Q)⊥ Do

Au−Qy ⊥Qy −y doAx = Qy, ta có

kAu−yk2 =kAu−Qyk2 + kQy −yk2

=kAu−Qyk2 + kAx−yk2 ≥ kAx−yk2

(ii)⇒(iii) : Do Qy ∈ R(A), tồn dãy (xn) ⊂ X cho Qy =

lim

n→∞Axn.Do

kQy −yk2 = lim

n→∞kAxn−yk

2 ≥ kAx−yk2.

Mặt khác, theo Định lý Pythagore

kAx−yk2 = kAx−Qyk2 +kQy −yk2

Suy rakAx−Qyk2 = 0hayAx = Qy.Từ đóAx−y = Qy−y ∈ R(A)⊥.

Mặt khác dễ thấyR(A)⊥ = N(A∗), với N(A∗) hạch củaA∗ Thật vậy, lấyy ∈ N(A∗) điều tương đương với A∗y = 0hay hx, A∗yi =

với mọix ∈ X Từ đóhAx, yi = 0với mọix ∈ X, nghĩa lày ∈ R(A)⊥ =

R(A)⊥ Do Ax−y ∈ N(A∗), tức làA∗Ax= A∗y

(iii)⇒(i) : Ta có: Ax−y ∈ N(A∗), vìA∗Ax = A∗y Suy