Các bạn hãy đọc bài viết này và tự rèn luyện theo hướng dẫn, chắc chắn các bạn sẽ thấy: tìm nguyên hàm và tích phân thật là không đáng ngại.. Định nghĩa: Vi phân của hàm số y = f(x) là[r]
(1)Một số bí tìm ngun hàm tích phân TS Lê Thống Nhất
Rất nhiều bạn khó khăn tìm ngun hàm tích phân mà ngun nhân thường khơng biết sử dụng phép biến đổi vi phân Các bạn đọc viết tự rèn luyện theo hướng dẫn, chắn bạn thấy: tìm nguyên hàm tích phân thật khơng đáng ngại
Định nghĩa: Vi phân hàm số y = f(x) biểu thức f’(x) d(x) Nếu ký hiệu dy hay d[f(x)] vi phân y hay f(x) dy = f’(x) dx hay d[f(x)] = f’(x) dx
Chú ý: Nhiều bạn hiểu sai là: để tính vi phân f(x), ta tính f’(x) viết thêm dx, có f’(x) dx Thực “viết thêm” mà “nhân với”, nghĩa f’(x) nhân với d(x), viết f’(x) dx
Các vi phân bản:
1) d u 1 u du 2) d (sin u) = cos u du 3) d (cos u) = - sin u du 4) d (tg u) =
du cos u
5) d (cotg u) =
du sin u
6) d (eu) = eu du
7) d (lnu ) =
du
u ; d(ln u) = du
u . 8) d u v du dv 9) d ( u + c) = du với c số
Các phép biến đổi vi phân bản:
1)
1 u u du d
1
2) cos u du = d(sin u)
3) sin u du = d (-cos u) 4)
du
d(tgu)
cos u
5)
du
d( cotgu)
sin u 6) eu du = d(eu)
7)
du
d(ln | u |)
u
(2)Thí dụ 1: Biểu thức sau vi phân hàm số nào?
1 x dx (x + 2)5 dx 3 cosx sin4x dx
Giải:
1
1 3 3
1
1 2 2
2 x 2x 2x
x dx x dx d d d C
1 3 3
1
2 (x + 2)5 dx = ( x + 2)5 d(x +2) =
x 26 x 26
d d C
6
3 cosx sin4x dx = sin4x d(sin x) =
5
sin x sin x
d d C
5
Thí dụ 2: Biểu thức sau vi phân hàm số nào?
1 x dx x
2 (2x + 1) (x2 + x + 1) dx
3
cosx - sinx dx sinx + cosx
4
x dx
x 1
Giải: x dx x = 1 2
x dx x x dx
x =
1
2 2x
x dx x dx d d 2x
3 = 2 2x
d 2x C
3
2 (2x + 1) (x2 + x + 1) dx = (x2 + x + 1).d (x2 + x + 1)
=
x2 x 12
(3)=
x2 x 12
d C
2
Lưu ý: d (x2 + x + 1) = (2x +1) dx
3
2
2
d x
x.dx 1
d ln(x 1) d ln(x 1) C
x x 2
Lưu ý: d(x2 + 1) = 2x dx hay x dx =
1
2 d(x2 + 1)
Thí dụ 3: Biểu thức sau vi phân hàm số nào?
1
x.dx
(x 1) 2
dx
x 3x 2 3
dx x.ln x
Giải:
1
x.dx
(x 1) =
3
x 1 d x x
= (x + 1)-2 d(x + 1) – (x + 1)-3 d(x + 1)
=
x 1 x 1
d d
1
=
2
1
d C
x x
2
dx
x 3x 2 =
1
dx x x
=
dx dx
x x 1 =
2(x 2) 2(x 1)
x x
= d ln | x | ln | x 1| =
x
d ln C
x
(4)3
d ln x dx
d ln(ln x) C
x.ln x ln x
Thí dụ 4: Biểu thức sau vi phân hàm số nào? cos x cos3x dx sin5x dx
Giải:
1 cos x cos3x dx =
1
cos4x+cos2x dx
=
1
cos4x.dx +cos2x.dx
=
1 1
cos4x.d(4x)+ cos2x.d(2x)
2
=
1 1
(sin4x)+ d(sin 2x)
2
=
1
d sin 4x sin 2x C
8
Lưu ý: Các công thức biến đổi tích thành tổng gặp tích hàm số lượng giác. sin5x dx = sin4x sin x dx = - sin4x d(cosx)
= -(1 – cos2x)2 d(cosx)
= [ -1 + 2cos2x – cos4x] d(cosx)
= -d (cosx) + 2cos2x d(cosx) – cos4x d(cosx)
=
3
2
d cosx + cos x- cos x +C
3
Thí dụ sử dụng nhiều sau này: Thí dụ 5: Tính.
1
2
d ln x k x
2
x a d ln
x b
Giải:
1
2
d ln x k x
=
2
d x k x
x k x
(5)= 2
1 x
dx
x k x x k
=
dx
x k
Lưu ý:
dx
x k =
2
d ln | x k x |
2
2 x a
d
x a x b x b a b (a b).dx
d ln dx
x a
x b x a (x b) (x a)(x b)
x b
Lưu ý: Nếu a b
dx x a
d ln
(x a)(x b) a b x b
Thí dụ 6: Biểu thức sau vi phân hàm số nào?
1
dx
x 2x 3 2
dx
x 2x 3
Giải.
1
dx
x 2x 3 =
dx (x 1)(x 3)
=
1 1
.dx x x
=
d x
1 2(x 1)
4 x x
=
1 x
d ln
4 x
=
1 x
d ln C
4 x
2
dx
x 2x 3 =
2 dx
(6)=
2 d x
(x 1)
=
2
d ln x 1 2 (x 1) C
Bài tập tự luyện
Biểu thức sau vi phân hàm số nào?
1 (2x + 1)(x2 + x + 5)7 dx 2 sin x cos7x dx 3
ln x.dx x
4 sin3x cos2x dx 5 tgx dx 6 tg2x dx
7 tg3x dx 8 sin2x dx 9 cos3x dx
10
2
x x
.dx x
11
dx
x x 1 12
2 x dx
x 1
13
x dx
x 1 14
dx
x 4x 15 2
dx sin x.cos x
16
dx
x 17
dx
sin 2x 18
dx sin x
19
dx
sin x cos x 20 (1 + tgx)
dx
cos x 21
dx cos x
22
dx
sin x 23
x x e dx
e 1 24
x x e dx
e 1 25.
3 x dx
(7)