Phương trình vi phân (bài tập)

Giải phương trình vi phân hoặc bài toán giá trị ban đầu bằng phương pháp hệ số bất định.. a.a[r]

VLU/Calculus1_TN110/Chapter VI Differential equations_Exercises/Page1

BÀI TẬP CHƯƠNG 6: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

6.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TỔNG QUÁT

1 Chứng minh y x x1 nghiệm phương trình vi phân xy  y 2x Chứng tỏ ysin cos - cosx x x nghiệm toán giá trị ban đầu

   

tan cos ,

y  x y x y   khoảng / 2 x / Cho hàm số y t  thỏa mãn phương trình vi phân: dy y4 6y3 5y2

dt    a Hàm nghiệm phương trình cho?

b Với giá trị y y tăng? c Với giá trị y y giảm? 6.2 PHƯƠNG TRÌNH TÁCH BIẾN

4 Giải phương trình vi phân (a)  

1

x  yxy (b)  

1 tan y yx 1 (c)

2

t

dy te

dt  y y (d)

t z dz e dt   

5 Tìm nghiệm phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu cho

(a)    

cos y , 0

x x y e y y 

(b)  

2 sec

, u

du t t

dt u



  

(c) ytanx a y, y / 3a, 0 x / 6.3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP

6 Giải phương trình vi phân

(a) y  x 5y (b) xy  y x

(c) 1 tdu u t, t dt

     (d) tlntdr r tet

dt   Giải toán giá trị ban đầu

(a) 2  

2 t ,

dv

tv t e v

dt   

(b) 2xy  y , x x0, y 4 20

(c)  

VLU/Calculus1_TN110/Chapter VI Differential equations_Exercises/Page2 Phương trình vi phân Bernoulli (Bernoulli differential equation) (gọi theo James Bernoulli)

phương trình có dạng

    n

dy

P x y Q x y

dx 

Ta thấy n = 1, phương trình Bernoulli trở thành phương trình tuyến tính Với giá trị khác n, chứng minh cách thay u = y1-n

ta chuyển phương trình Bernoulli dạng tuyến tính sau

1    1   

du

n P x u n Q x

dx   

9 Áp dụng phương pháp nêu để giải phương trình vi phân sau

(a)

xy   y xy (b)

3

2 y

y y

x x

  

2.4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

1 Giải phương trình vi phân a y y 6y 0

b 9y12y4y0

c

2

8d y 12dy 5y

dt  dt  

2 Giải toán giá trị ban đầu

a 2y5y3y0, y 0 1, y 0 4

b y2y5y0, y  0, y  2

c y12y36y0, 1y 0, y 1 1

3 Giải toán giá trị biên

a y2y0, y 0 1, 1y 2

b y6y9y0, y 0 1, 1y 0

c 13 0,  0 2,

2

y y y y  y   

 

4 Giải phương trình vi phân tốn giá trị ban đầu phương pháp hệ số bất định

a

3

y y yx

b

9 x

VLU/Calculus1_TN110/Chapter VI Differential equations_Exercises/Page3 c y2ysin 4x

d y y ex

e y2y y xex

f y y ex x3, y 0 2, y 0 0 g y4y excos , x y 0 1, y 0 2 h y y xex, y 0 2, y 0 1