Lúc này không có số để ghi độ dài của cạnh huyền của tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 1 hay phương trình x 2 = 2 vô nghiệm trong tập số hữu tỉ Q nên phát triển thêm tập số vô tỉ[r]
(1)Chương SỐ PHỨC
§1 SỐ PHỨC
Đỗ Trung Lai−Trường THPT Tân Châu, An Giang.
(2)§1 SỐ PHỨC
1 Số i.
2 Định nghĩa số phức. Số phức nhau.
4 Biểu diễn hình học số phức. Môđun số phức.
6 Số phức liên hợp.
(3)Sối
Số tự nhiên: Số tự nhiên bắt nguồn từ từ dùng để đếm vật, bắt đầu số
Số chữ số cuối tạo hầu hết hệ thống số
Phương trình 2+x=3 có nghiệm tập số tự nhiênNlàx=1 Nhưng phương trình 2+x=1 vơ nghiệm tập số tự nhiên, để ghi số 0, Người ta cần mở rộng thêm tập số nguyênZcoi−1 nghiệm phương trình 1+x=0
(4)Sối
Lúc khơng có số để ghi độ dài cạnh huyền tam giác vng cân có cạnh góc vng hay phương trìnhx2=2 vơ nghiệm tập số hữu tỉ Qnên phát triển thêm tập số vô tỉI
Hợp tập số hữu tỉQ tập số vô tỉIlà tập số thựcR Phương trìnhx2+1=0 khơng có nghiệm tập số thực
Với mong muốn mở rộng tập số thực để phương trình bậc n có
nghiệm Người ta thêm sối coi nghiệm phương trình x2+1=0 Vậy
(5)1 Định nghĩa số phức
Ta cói nghiệm phương trình x2= −1 hayi2= −1 từ phương trình (x−2)2= −1⇔ (x−2)2=i2 nên ta nói x=2+i nghiệm phương trình
(x−2)2= −1 Định nghĩa
Một số phức biểu thức dạnga+bi, a b số thực và
sối thỏa mãn i2= −1 Kí hiệu số phức làz viết z=a+bi với a,b∈ R iđược gọi làđơn vị ảo, ađược gọi làphần thực(Re(z)),bđược gọi làphần ảo
(Im(z)) số phứcz=a+bi (dạng đại số số phức).
Tập hợp số phức kí hiệu làC Ví dụ 1.
Các số sau số phức:
z1= −3+5i ; z2=4+ ³
(6)Hoạt động 1
(7)2 Số phức nhau Hai số phức gọi phần thực và phần ảo chúng tương ứng
a+bi=c+di⇔a=c b=d,¡
(8)2 Số phức nhau
Ví dụ 2.
Tìm số thựcx,y, biết
¡
3x−y¢ + ¡2y−1¢
i= (x+1) +¡
y+2¢
i
Lời giải
Từ định nghĩa hai số phức nhau, ta có (
3x−y=x+1 2y−1=y+2 ⇔
(
x=2
y=3
(9)2 Số phức nhau
Ghi chú
Mỗi số thựca số phức với phần ảo 0, tức a=a+0i.
Như vậy, mỗi số thực số phức Ta cóR ⊂ C Ta có quan hệ tập số:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ CvàR \ Q = I
Số phức bi=0+bi gọi số ảo.
Đặc biệti=0+1i.Sối gọi đơn vị ảo.
(10)3 Biểu diễn hình học số phức
ĐiểmM(a;b)trong hệ trục tọa độ
Oxy gọi điểm biểu diễn
số phứcz=a+bi Điểm biểu diễn
của số phứcz cịn kí hiệu là
Mz O x
y
b
a
(11)3 Biểu diễn hình học số phức
Ví dụ 3.
ĐiểmA biểu diễn số phức 3+2i.
ĐiểmB biểu diễn số phức 2−3i.
ĐiểmC biểu diễn số phức−3−2i.
ĐiểmD biểu diễn số phức
0+3i=3i.
Các điểm trụcOx biểu diển
các số thực nên trụcOx gọi là
trục thực
Các điểm trụcOy biểu diễn
các số ảo nên trụcOy được
gọi trục ảo
x y
O
−2 −1
(12)4 Môđun số phức
Cho số phứcz=a+bi biểu diễn điểm M¡
a;b¢
trên mặt phẳngOxy Độ dài vectơOM gọi là# »
môđun số phứcz kí hiệu là
|z| |z| =¯¯
¯ # »
OM¯¯ ¯hay
¯ ¯a+bi
¯ ¯= ¯ ¯ ¯ # »
OM¯¯ ¯ ¯
¯a+bi ¯ ¯=
p
a2+b2.
O x
y
b
a
M
Ví dụ a)|3−2i| =
q
32+ (−2)2
=p13 b)
¯ ¯ ¯1+i
p ¯ ¯ ¯ = r
(13)5 Số phức liên hợp
Cho số phứcz=a+bi.Ta gọia−bi số
phức liên hợp củaz kí hiệu là
z=a−bi.Tức a+bi=a−bi
Ví dụ. a) z= −3−2i⇔z= −3+2i
b) z=4−3i⇔z=4+3i
Trên mặt phẳngOxy,các điểm biểu diễn z
vàz đối xứng qua trục Ox |z| =¯¯z
¯
¯ vàz=z.
O x
y
b
−b
a
Mz
(14)CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Tìm phần thực, phần ảo số phức Ví dụ 4.
Xác định phần thực, phần ảo số phức:
1 z=2+3i. z=2i−4
3 z=3 z=15i.
Lời giải
1 Số phứcz=2+3i có phần thực a=2 phần ảob=3
2 Số phứcz=2i−4⇔z= −4+2i có phần thực a= −4 phần ảob=2 Số phứcz=3⇔z=3+0i có phần thực a=3 phần ảob=0
(15)Dạng Hai số phức nhau
Hai số phứcz=a+bi,z0=a0+b0i gọi nếu
½a =a0 b=b0 Ví dụ 5.
Tìm số thựcx, y biết x+2y+3i=4x−5y+ (6−y)i.
Lời giải
x+2y+3i=4x−5y+ (6−y)i⇔
½x+2y=4x−5y
3=6−y ⇔
½−3x+7y=0
y=3 ⇔ ½x=7
(16)Dạng Hai số phức nhau Ví dụ 6.
Choz= (3a+2) + (b−4)i Tìm số a,b để
1 z số thực. z số ảo.
Lời giải
1 z số thực b−4=0 hayb=4
2 z số ảo 3a+2=0 haya= −2
(17)Dạng Biểu diễn hình học số phức
Số phứcz=a+bi (a,b∈ R) biểu diễn điểmM(a;b) Ví dụ 7.
Biểu diễn mặt phẳng tọa độ số phức sau: 4−3i, 3+2i,−5, 5i.
Lời giải
ĐiểmA(4; −3)biểu diễn số phức 4−3i.
ĐiểmB(3;2)biểu diễn số phức 3+2i.
ĐiểmC(−5;0)biểu diễn số phức−5
ĐiểmD(0;5)biểu diễn số phức 5i. O x
y
4 −5
C
−3 D
(18)Ví dụ 8.
Cho điểmM(−2;5)và điểmN đối xứng với M qua trục tung Khi N biểu diễn
số phức nào?
A.z=2+5i. B.z= −2−5i. C.z=2−5i. D.z= −2+5i.
Lời giải
O
x y
−2
5
M N
Ta cóN đối xứng với M(−2;5)qua trụcOy nên N(2;5) Suy raN biểu diễn số phức z=2+5i.
(19)Dạng Biểu diễn hình học số phức Ví dụ 9.
Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện:
Phần thực củaz 3.
Lời giải
Số phức z có phần thực 3
được biểu diễn điểmM(3;b) Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phứcz đường thẳng x=3
O x
y
(20)Dạng Biểu diễn hình học số phức Ví dụ 10.
Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện: Phần ảo thuộc đoạn[−1;6]
Lời giải
Số phức z có phần ảo thuộc khoảng[−1;6] biểu diễn điểmM(a;b)vớib∈ [−1;6] Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phứcz là
phần mặt phẳng giới hạn hai đường thẳng
y= −1 vày=6, kể điểm nằm hai
đường thẳng O x
y
(21)Dạng Tìm mơđun số phức Ví dụ 11.
Tìm mơ-đun số phức sau:
1 z=3−5i. z= −5+4i.
3 z= −4i. z=2
Lời giải
1 Ta có|z| = |3−5i| =
p
32+ (−5)2=p34.
2 Ta có|z| = | −5+4i| =
p
(−5)2+42=p41.
3 Ta có|z| = | −4i| =
p
(−4)2=4.
4 Ta có|z| = |2| =
p
(22)Ví dụ 12.
Cho mênh đề:
1 "Mô-đun số phứcz số thực".
2 "Mô-đun số phứcz số thực dương"
3 "Mô-đun số phứcz số thực không âm "
4 "Mô-đun số phứcz số phức "
Trong có mệnh đề sai?
A 2. B 1. C 3. D 4.
Lời giải
Giả sửz=a+bi¡
a,b∈ R¢ ⇒ |z| =pa2+b2≥0. Vậy có mệnh đề sai
(23)Ví dụ 13.
Trên mặt phẳngOxy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện|z| É2
Lời giải
Gọiz=x+yi;x,y∈ R |z| É2⇔
q
x2+y2É2⇔x2+y2É4.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phứcz là
hình trịn tâmO bán kính R=2 (kể biên)
O
x y
−2
2
(24)Dạng Số phức liên hợp Ví dụ 14.
Tìmz, biết:
a z=3−ip2; b z= −p2+ip3;
c z=3; d z= −5i.
Lời giải
a z=3+ip2 b z= −p2−ip3
(25)Ví dụ 15.
(Đề minh họa−2017) Cho số phứcz=3−2i Tìm phần thực phần ảo số
phứcz.
A Phần thực là−3 phần ảo là−2i B Phần thực là−3 phần ảo là−2
C Phần thực phần ảo 2i. D Phần thực phần ảo 2.
Lời giải
Ta có:z=3−2i⇒z=3+2i Suy phần thực phần ảo 2.
(26)Tóm tắt
Số phức
Định nghĩa z=a+bi;a,b∈ R,vớii2= −1
Số phức
Mô đun số phức Biểu diễn hình học
a+bi=c+di⇔
a=c c=d
vớia,b,c,d∈ R
Số phức liên hợp
Mz(a;b)là điểm biểu diễn củaz=a+bi
Môđun củaz=a+bi là|z| = |a+bi| =pa2+b2
(27)Hướng dẫn học nhà
Giải tập: 1, 2c, 4a, 4d, trang 133, 134 sách giáo khoa Giải tích 12 Đọc thêm bài: “Phương trình đại số ”trang 141 sách giáo khoa; tìm hiểu cơng thức Các-đa-nơ để giải phương trình bậc ba
(28)CHÚC CÁC EM ĐẠT NHIỀU THÀNH TÍCH TRONG HỌC TẬP