Một số kĩ năng giải toán hình học không gian cho học ...

Khi giải các bài toán hình học không gian các giáo viên và học sinh thường gặp một số khó khăn với nguyên nhân như sau: Học sinh cần phải có trí tưởng tượng không gian [r]

Trang MỞ ĐẦU

1 Lý Do Chọn Đề Tài :

Trong mơn Tốn trường phổ thơng phần hình học khơng gian giữ vai trị, vị trí quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ giải tốn hình học khơng gian, cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư sáng tạo cho học sinh

Tuy nhiên trình giảng dạy nhận thấy học sinh lớp 11 e ngại học mơn hình học khơng gian em nghĩ trừu tượng, thiếu tính thực tế Chính mà có nhiều học sinh học yếu mơn học này, phần giáo viên gặp khơng khó khăn truyền đạt nội dung kiến thức phương pháp giải dạng tập hình học khơng gian Qua năm năm giảng dạy môn học đúc kết số kinh nghiệm nhằm giúp em tiếp thu kiến thức tốt hơn, từ mà chất lượng giảng dạy học tập học sinh ngày nâng lên Do phần nội dung kiến thức nên nhiều học sinh cịn chưa quen với tính tư trừu tượng nó, nên tơi nghiên cứu nội dung nhằm tìm phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh nhằm tháo gỡ vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy nói chung mơn hình học khơng gian nói riêng

Điểm kết nghiên cứu tính thực tiễn tính hệ thống, khơng áp đặt lập khn máy móc học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải toán lạ, toán khó

Từ lý tơi khai thác, hệ thống hóa kiến thức, tổng hợp phương pháp thành chuyên đề: “Một Số Kỹ Năng Giải Tốn Hình Học Khơng Gian Cho Học Sinh Lớp 11 ”

2 Đối Tượng Và Phạm Vi Nghiên Cứu;

Trang Phạm vi nghiên cứu đề tài là: “ Chương 2,3: Đường thẳng mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song – Quan hệ vuông góc khơng gian ” sách giáo khoa Hình học 11 ban

3 Mục Đích Và Phương Pháp Nghiên Cứu:

Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh lớp 11 có thêm số kỹ bản, phương pháp chứng minh số dạng toán khơng gian Học sinh thơng hiểu trình bày tốn trình tự, logic, khơng mắc sai lầm làm tập Hy vọng với đề tài giúp em học sinh có sở, phương pháp giải số toán bắt buộc sách giáo khoa Hình học lớp 11, cung cấp cho giáo viên số nội dung giảng dạy môn hình học khơng gian lớp 11 cách có hiệu

Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu lí luận chung khảo sát điều tra thực tế dạy học tổng hợp so sánh, đút rút kinh nghiệm trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến đồng nghiệp

NỘI DUNG

Chương 1: Cơ Sở Lý Luận

Khi giải toán chứng minh quan hệ song song, quan hệ vng góc hình học khơng gian, ta phải đọc kỹ đề, phân tích giả thuyết, kết luận, vẽ hình đúng, Ta cần phải ý đến yếu tố khác : Vẽ tốt chưa? Cần xác định thêm yếu tố hình khơng? Để giải vấn đề ta xuất phát từ đâu? Nội dung kiến thức liên quan đến tốn, có giúp ta giải nhiều tốn mà khơng gặp khó khăn Ngồi ta cịn phải nắm vững kiến thức hình học phẳng, phương pháp chứng minh cho dạng tốn: tìm giao tuyến hai mặt phẳng, tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng, chứng minh hai đường thẳng song song, hai mặt phẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng, đường thẳng vng góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vng góc với nhau, tính góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng, tính khoảng cách, Chương 2: Cơ Sở Thực Tiễn

Trang học sinh vẽ hình, cịn lúng túng, khơng phân loại dạng tốn, chưa định hướng cách giải Trong toán liên quan đến chứng minh quan hệ song song, quan hệ vng góc hình học khơng gian có nhiều dạng tập khác nhau, chương trình hình học khơng gian 11 khơng nêu cách giải tổng quát cho dạng, bên cạnh thời lượng dành cho tiết luyện tập Qua việc khảo sát định kỳ nhận thấy nhiều học sinh trình bày lời giải chưa lôgic không làm tập liên quan đến chứng minh quan hệ song song, quan hệ vng góc hình học khơng gian

Khi giải tốn hình học khơng gian giáo viên học sinh thường gặp số khó khăn với nguyên nhân sau: Học sinh cần phải có trí tưởng tượng khơng gian tốt Học sinh quen với hình học phẳng nên học khái niệm hình khơng gian hay nhầm lẫn, chưa biết vận dụng tính chất hình học phẳng cho hình khơng gian Một số tốn khơng gian mối liên hệ giả thiết kết luận chưa rõ ràng làm cho học sinh lúng túng việc định hướng cách giải Bên cạnh cịn có ngun nhân em chưa xác định động học tập

Từ nguyên nhân mạnh dạn đưa số giải pháp nhằm nâng cao kỹ giải tốn hình học khơng gian cho học sinh lớp 11

Chương 3: Biện Pháp Giải Quyết Vấn Đề

Để giải hình học tốt theo tơi nghĩ có số giải pháp tăng cường kỹ kiến thức cho học sinh là:

Vẽ hình – trực quan gợi mở tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải tốn phát huy trí tưởng tượng khơng gian, phát huy tính tích cực niềm say mê học tập học sinh Vẽ – trực quan hình vẽ giúp học sinh tránh sai lầm đáng tiếc

Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh hiểu rõ khái niệm hình học khơng gian : hình chóp tứ diện hình chóp hình lăng trụ hình hộp hình hộp chữ nhật quan hệ song song hai đường thẳng hai mặt phẳng đường thẳng mặt phẳng,

Trang NỘI DUNG 1: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN –

QUAN HỆ SONG SONG

BÀI TỐN 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG (α) VÀ () 1 Phương pháp:

Cách 1: Xác định hai điểm chung hai mặt phẳng

Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) A B          

 AB( ) ( )

Hình

Cách 2: Xác định điểm chung song song với đường thẳng Dựa vào định l ý sau:

* Định lý 2: (SGK trang 57) Nếu

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b c                 

/ / / / , , a b c a b c  

 đồng quy

* Hệ quả: Nếu / / ( ), ( ) ( ) ( ) a b a b d              / / / / d a b

d a d b     trùng với trùng với

Hình Hình Hình

* Định lý 2: (SGK trang 61) Nếu

/ /( ) ( ) ( ) ( ) a a b            

Trang * Hệ : Nếu

( ) / / ( ) / / ( ) ( )

d d

a 



 

  

   

a // d (Hình 6)

* Định lý 3: (SGK trang 67) Nếu ( ) / /( ) ( ) ( ) a

 

 



  



( ) ( ) / /

b a b

    



 (Hình 7)

Hình Hình Hình

* Nhận xét: Để tìm giao tuyến hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách tìm hai điểm chung nằm hai mặt phẳng cách dựa vào hình vẽ Nếu hình vẽ có điểm chung ta chuyển sang cách hai ( dựa vào định lý hệ trên)

2.Ví dụ:

Bài 1: Trong mp(α) cho tứ giác ABCD có AB CD cắt E, AC BD cắt F Gọi S điểm nằm mp(α) Tìm giao tuyến mp sau:

a) mp SAC mp SBD b) mp SAB mp SCD c) mp SEF mp SAD GIẢI:

Nhận xét:

Trang  Với câu C) GV cần gợi ý cho HS phát điểm chung thứ hai

a) Ta có S SAC SBD (1) ; F AC BD F SAC SBD (2) Từ (1) (2) suy : SF SAC SBD

b) Ta có S SAB SCD (1) ; E AB CD E SAB SCD ) Từ (1) (2) suy : SE SAB SCD

c) Trong mp ADE kéo dài EF cắt AD N

S SAD SEF N SAD SEF

Vậy : SN SAD SEF

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thang AB CD a) Tìm giao tuyến hai mp SAD SBC

b) Tìm giao tuyến hai mp SAB SCD GIẢI:

Trang Trong mp(ABCD) có AD cắt BC E

E AD E SAD

E BC E SBC

Suy : SE SAD SBC b) Ta có S điểm chung thứ

Lại có: x x

AB SAB

CD SCD SAB SCD S S / /AB / /CD

AB / /CD

Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi I,J trung điểm AD BC a) Tìm giao tuyến hai mp IBC JAD

b) M điểm đoạn AB, N điểm đoạn AC Tìm giao tuyến hai mp IBC DMN

GIẢI:

a) Ta có: I AD I JAD I IBC JAD J BC J IBC J IBC JAD Khi đó: IJ IBC JAD

b) Trong mp ACD có CI cắt DN E

Vậy Elà điểm chung hai mp IBC DMN Trong mp ABD có BI cắt DM F

Vậy F điểm chung hai mp IBC DMN Khi đó: EF IBC DMN

BÀI TỐN : TÌM GIAO ĐIỂM CỦA d VÀ mp

J

I

B

C D A

E F

I

B

C

D A

M

Trang

Hình 8 Hình 9

1 Phương pháp :

* Muốn tìm giao điểm đường thẳng d với mp ta tìm giao điểm đường thẳng d với đường thẳng a nằm mp (Hình 8)

Tóm tắt : Nếu

( ) A d

A a 

 

  

 A = d (α)

* Chú ý: Nếu đường thẳng a chưa có hình vẽ ta tìm giao điểm sau: - Tìm mp chứa d cho mp cắt mp

- Tìm giao tuyến a hai mp mp (Hình 9) - Gọi I d a I d α

* Nhận xét : Vấn đề toán xác định cho đường thẳng a Nhiệm vụ giáo viên hướng dẫn, gợi mở cho học sinh biết cách tìm đường thẳng a chọn mp cho phù hợp với yêu cầu toán trường hợp đường thẳng

achưa có hình vẽ 2 Ví dụ :

Bài : Cho tứ diện ABCD Gọi I,J trung điểm AB AD cho AJ 2AD

3 Tìm giao điểm đường thẳng IJ với mp BCD Nhận xét :

Trang 10 - GV cần lưu ý cho học sinh điều kiện để hai đường thẳng cắt hai đường thẳng phải nằm mặt phẳng không song song

GIẢI :

Trong ABDcó : AJ 2AD

1

AI AB

2 , suy IJ không song song BD

Gọi K IJ BD K IJ

K BD BCD

Vậy K IJ BCD

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang (AB // CD) Gọi I, J trung điểm SA SB, M điểm tùy ý thuộc đoạn SD

a) Tìm giao điểm đường thẳng BM với mp(SAC) b) Tìm giao điểm đường thẳng IM với mp(SBC) c) Tìm giao điểm đường thẳng SC với mp(IJM)

Nhận xét: Câu a) - HS dễ nhầm lẫn đường BM cắt SC Khơng nhìn đường thẳng nằm mp SACđể cắt BM

Trang 11 Câu b) - HS gặp khó khăn khơng nhìn đường nằm mp SBC để cắt IM

- GV cần hướng dẫn HS chọn mp phụ thích hợp chứa IM

Câu c) - Tương tự câu a) ta cần chọn mp phụ chứa SC tìm giao tuyến mp với mp IJM.Có mp chứa SC?

- GV hướng dẫn HS chọn mp cho việc tìm giao tuyến với IJM

thuận lợi

Trang 12 a) Ta có BM SBD

Xét mp SACvà SBD có S điểm chung thứ (1) Gọi O ACBD O điểm chung thứ hai (2)

Từ (1) (2)  SOSAC  SBD

Trong mpSBDcó BM cắt SO P Vậy PBMSAC

b) Ta có IM SAD

Xét hai mp SAD SBC có: S điểm chung thứ Gọi E ADBC E điểm chung thứ hai

 SESAD  SBC

Trong mpSAE có IM cắt SE F Vậy F IM SBC

c) Ta có SC SBC

Xét mp IJM SBC ta có : JF IJM  SBC

Trong mpSBEcó JF cắt SC H Vậy H SCIJM

Bài : Cho hình chóp S ABCD có AB CD khơng song song Gọi M điểm thuộc miền SCD

a) Tìm giao điểm N đường thẳng CD mpSBM b) Tìm giao tuyến hai mpSBM SAC

c) Tìm giao điểm I đường thẳng BM mpSAC

d) Tìm giao điểm P đường thẳng SCvà mpABMtừ suy giao tuyến

của hai mpSCDvà ABM

e) Xác định thiết diện hình chóp cắt mpABM

Trang 13 a) Trong mpSCD có SM cắt CD N

( )

( )

N SM N SBM

N CD SBM

N CD N CD

 

 

    

 

 

b) Trong mpABCD, ta có: ACBDO

( )

( ) ( )

( )

O AC O SAC

SO SAC SBN

O BN O SBN

 

 

    

 

 

c) Trong mpSBN, ta có BM cắt SO I

Mà SOSAC I BM SAC d) Trong mpSAC, ta có SC cắt AI P

Mà AI ABM P SCABM Trong mpSCD,ta có PM cắt SD K

( )

( ) ( )

( )

K PM K ABM

PK ABM SCD

K SD K SCD

 

 

    

 

 

e) Ta có : ABM  ABCD AB

ABM  SBCBP

ABM  SCDPK

ABM  SAD AK

Vậy tứ giác ABPK thiết diện cần tìm Bài tập rèn luyện :

Bài : Cho hình bình hành ABCD nằm mp P điểm S nằm mp P Gọi M điểm nằm S A N, điểm nằm S B; giao điểm hai đường thẳng AC BD O

Trang 14 c) Tìm thiết diện hình chóp S ABCD cắt mpCMN

Bài 2: Cho hình chóp S ABCD, SBC lấy M, SCD lấy điểm N a) Tìm giao điểm đường thẳng MN với mpSAC

b) Tìm giao điểm SC với mpAMN

c) Tìm thiết diện hình chóp cắt mpAMN

Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M N, trung điểm AB CD, Gọi E

là điểm thuộc đoạn AN ( không trung điểm AN) Q điểm thuộc đoạn BC a) Tìm giao điểm EM với mpBCD

b) Tìm giao tuyến hai mpEMQ BCD; EMQ ABD c) Tìm thiết diện cắt tứ diện mpEMQ

BÀI TOÁN 3: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG d SONG SONG VỚI mp  * Phương pháp: (Định lí SGK trang 61)

Tóm tắt: Nếu

( ) / /

( ) d d a a

        

d // (α)

Nhận xét: Vấn đề nêu lên đường thẳng a có hình vẽ hay chưa, xác định nào, làm để xác định GV cần làm cho HS biết hướng giải toán dựa vào giả thiết toán mà xác định đường thẳng a cho phù hợp

Ví dụ:

Bài 1: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' Gọi H trung điểm ' '

A B

Trang 15

Lời giải:

a) Ta có : ( ' ')

( )

A AB C

A ABC

    

 A điểm chung AB'C' ABC

Mà

' '/ /

' ' ( ' ') ( ) B C BC B C AB C BC ABC 

 

   

nên AB C' '  ABC Ax Ax/ / ' '/ /B C BC b) Ta có tứ giác AA CC' ' hình bình hành

Suy A C' cắt AC' trung điểm I đường Do IH / /CB' (IH đường trung bình CB A' ') Mặt khác IH AHC' nên CB'/ /AHC' 

Bài : Cho tứ diện ABCD, gọi M N, trọng tâm ABD

ACD

 Chứng minh rằng:

a) MN/ /BCD b) MN/ /ABC

Lời giải :

a) Gọi E trung điểm BD ; F trung điểm CD Trong ABD ta có:

3 AM

AE  (M trọng tâm ABD) Trong ACD ta có:

3 AN

AF  (N trọng tâm ACD) Vậy AM AN MN/ /EF

AE  AF 

Mà EF BCD MN/ /BCD

b) Trong BCD có : EF đường trung bình  EF / /BC

 MN/ /EF/ /BCMN/ /ABC

x I

H

A' B'

C

B

A C'

M

E

F B

C D A

Trang 16 Bài 3: (Bài trang 63 sgk) Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng

a) Gọi O O' tâm ABCD ABEF Chứng minh rằng:  

'/ /

OO ADF OO'/ /BCE

b) Gọi M N trọng tâm ABD ABE Chứng minh :  

/ /

MN CEF

Lời giải:

a) Ta có : OO'/ /DF (OO' đường trung bình

BDF

 )

Mà DF ADF OO'/ /ADF

Ta có : OO'/ /CE (OO' đường trung bình )

ACE



Mà CEBCEOO'/ /BCE b) Gọi H trung điểm AB

Ta có :

3 HM HN

HD  HE  / /

MN DE

 mà DE CEF

Vậy MN/ /CEF

BÀI TOÁN : CHỨNG MINH mp(α) VÀ mp() SONG SONG NHAU * Phương pháp : (Định lí SGK trang 64)

Tóm tắt : Nếu

, ( ) / /( ), / /( ) a b P a b I a Q b Q

       

(P) // (Q)

* Nhận xét : Tương tự toán chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, vấn đề đặt chọn hai đường thẳng ,a b ? Nằm mặt phẳng  P hay mp Q ? GV cần hướng dẫn, gợi mở cho HS phát vấn đề toán

Trang 17 Ví dụ :

Bài : Cho hình chóp S ABCD đáy hình bình hành ABCD, ACBDO Gọi M N, trung điểm SC CD, Chứng minh MNO / / SAD

Lời giải :

Trong SCD có MN đường trung bình  MN/ /SD mà SDSAD

 MN/ /SAD (1)

Trong SAC có MO đường trung bình  MO/ /SA mà SASAD

 MO/ /SAD (2)

Từ (1) (2) suy MNO / / SAD

Bài 2: Cho hai hình vng ABCD ABEF hai mặt phẳng phân biệt Trên đường chéo AC BF lấy điểm M N cho AM BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M N cắt AD AF M' N' Chứng minh rằng:

a) ADF / / BCE

b) DEF / / MM N N' ' 

Nhận xét: HS dễ dàng chứng minh câu a, câu b GV nên hướng dẫn cho HS biết cách vẽ hình, nhận xét hai đường thẳng AC BF nhau, từ gợi mở cho HS biết chứng minh hai đường thẳng MM' M N' ' song song với mpDEF dựa vào định lí Talét đảo

Lời giải:

Trang 18  

/ /

AD BC BCE

 AF AD song song với mpBCE mà AF AD, ADF

Vậy : ADF / / BCE

b) Ta có: MM'/ /AB mà AB/ /EF

 MM'/ /EF AEF (*)

Mặt khác : MM'/ /CD ' (1)

AM AM

AD AC

 

'/ /

NN AB ' (2)

AN BN

AF BF

 

Mà AM BN, ACBF AM BN (3)

AC BF

 

Từ (1), (2) (3) AM' AN' M N' '/ /DE (DEF)

AD AF

    (**)

Mà MM M N', ' 'MM N N' '  (***)

Từ (*), (**), (***)  DEF / / MM N N' ' 

Bài 3: (Bài trang 71 sgk) Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' '

a) Chứng minh hai mpBDA' B D C' '  song song

b) Chứng minh đường chéo AC' qua trọng tâm G1 G2 hai tam giác BDA' B D C' '

Lời giải:

a) Ta có: / / ' ' / /( ' ') ' ' ( ' ')

BD B D

BD CB D B D CB D





 



' / / ' ' / /( ' ') ' ( ' ')

A D B C

A D CB D B C CB D





 

Trang 19 Ta có : , ' / /( ' ') ( ') / /( ' ')

, ' ( ')

BD A D CB D

BDA CB D

BD A D BDA 



 



b) Ta có : CC'/ /BB'/ /AA' CC'BB'AA' nên AA C C' ' hình bình hành

Gọi I tâm hình bình hành AA C C' '

Gọi , 'O O tâm hình bình hành ABCD A B C D' ' ' ' Trong mpAA C C' '  gọi G1 A C' A O' ; G2  AC'C O'  G G1, 2 trọng tâm AA C' CC A' '

 A G' 2G O1 CG2 2G O2 '

(*)

Xét hai BDA' B D C' ' có A O' CO' hai trung tuyến nên từ (*) suy

1;

G G trọng tâm BDA' B D C' ' Bài tập rèn luyện:

Bài 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SA

1) Xác định giao tuyến d hai mp MBD SAC Chứng tỏ d/ /SCD

2) Xác định thiết diện hình chóp cắt mp MBC.Thiết diện hình gì? Bài 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi E điểm thuộc miền tam giác SCD

1) Tìm giao tuyến hai mpSAC SBE Tìm giao điểm BE với SAC 2) Xác định thiết diện tạo hình chóp S ABCD với mặt phẳng ABE

Bài 3: Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình bình hành tâm O Gọi M N, trung điểm SB SC,

1) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng SAC SBD Tìm giao điểm H đường thẳng AN mặt phẳng SBD

Trang 20 Bài 4: Cho hình chóp S ABCD, đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M trung điểm SC

1) Tìm giao tuyến mpABM mpSBD

2) Gọi N giao điểm SD với mpABM Chứng minh MN/ /SAB Bài 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O

1) Xác định giao tuyến SAB SCD Gọi I trung điểm SA, tìm giao điểm IC mpSBD

2) Xác định thiết diện hình chóp cắt mpIBC

Bài 6: Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình thang với AB đáy lớn Gọi ,

M N hai điểm hai cạnh SA SB, cho AM 2SM 3SNSB 1) Tìm giao tuyến SAD SBC; SAB SCD

2) Chứng minh MN song song với mpSCD

Bài 7: Cho hình chóp đỉnh S có đáy hình thang ABCD với AB đáy lớn Gọi ,

M N theo thứ tự trung điểm cạnh SB SC 1) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng : SAD SBC 2) Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng AMN 3) Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng AMN

Bài 8: Cho hình chóp S ABCD cạnh đáy khơng song song Gọi M điểm nằm mặt phẳng SCD

1) Tìm giao tuyến hai mặt SAB SCD

2) Tìm thiết diện mặt phẳng  P qua M song song với CD SA

Bài 9: Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình bình hành Trên hai cạnh ,

SA SB lấy hai điểm M N, cho:

SB SN SA SM 

Trang 21 1) Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng : SAC SBD; ADNvà SBC 2) Chứng minh MN/ /SCD

NỘI DUNG 2: QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN I Cơ sở lý thuyết

2.1 Các định nghĩa

+) Định nghĩa 1: Hai đường thẳng gọi vng góc với góc chúng

90 a b ( , )a b 900

+) Định nghĩa 2: Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng

( ) ( ) :

a    b  ab

+) Định nghĩa 3: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng

90 ( ) ( ) (( ),( ))  900

+) Định nghĩa 4: Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng 'a '

b qua điểm song song (hoặc trùng) với a b

+) Định nghĩa 5:

Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng   ta nói góc đường thẳng a mặt phẳng   90

Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng   góc a hình chiếu 'a mặt phẳng   gọi góc đường thẳng a mặt phẳng 90 +) Định nghĩa 6: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng

+) Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng   (hoặc đến đường thẳng ∆) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu vng góc

Trang 22 +) Định nghĩa 8: Khoảng cách đường thẳng a đến mặt phẳng   song song với

a khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng  

+) Định nghĩa 9: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng

+) Định nghĩa 10: Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng

2.2 Các định lý thường sử dụng

Định lý 1: , ( ) ( ) ,

a b

a b P d P

d a d b

 



  



  

Định lý 2:

( ) ( )

( ) a P

d P d a

a P          

Định lý 3: + ( ) ' ( ) '/ / d P d P d d      + ( ) / /( ) ( ) ( ) P Q d Q d P       + / /( ) ' ' ( ) d P d d d P      

Định lý 4: ( ) ( ) ( ) ( ) d P P Q d Q      

Định lý 5:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P Q P Q d Q d P d               

Định lý 6:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

P Q

P R R

Trang 23 BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT

PHẲNG

1 Phương pháp: Ta thường vận dụng định lý để chứng minh Hoặc sử dụng định lý 3, định lý 5, định lý số trường hợp đặc biệt

2 Các ví dụ mẫu:

Ví dụ 1: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC tam giácvvng ,C SA(ABC) a) Chứng minh rằng: BC(SAC)

b) Gọi E hình chiếu vng góc A SC Chứng minh rằng: AE(SBC) c) Gọi mp P qua AE vuông góc với SAB, cắt SB D Chứng minh rằng:

( ) SB P

d) Đường thẳng DE cắt BC F Chứng minh rằng: AF (SAB) Giải: a) Ta có: BC AC ( ) (1)gt

Mặt khác,

( )

(2)

( )

SA ABC

SA BC

BC ABC

 

 



 

Từ (1) (2) suy ra: BC SAB b) Ta có: AESC (3) (gt)

Theo a) BC(SAB)AEBC (4) Từ (3) (4) suy ra: AE(SBC) c) Ta thấy: ( )P (ADE)

Theo b) AE(SBC)BC  AE (5)

F

C S

B A

E D

Trang 24 Trong mp(ADE) kẻ EH AD H, AD Vì

( ) ( )

( ) ( ) ( ) (6)

ADE SAB

ADE SAB AD EH SAB SB EH

EH AD            

Từ (5) (6) suy ra: SB(ADE) hay SB( ).P

d) Từ ( ) (7)

( ) SA ABC AF SA AF ABC       

Theo c) SB(ADE)AF SB (8) Từ (7) (8) suy ra: AF (SAB) Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD, đáy

ABCD hình vng, tam giác SAB tam giác đều, (SAB)(ABCD) Gọi ,I F trung điểm AB AD Chứng minh rằng: FC(SID).

Giải: Ta có:

( ) ( ) ( )

( )

(1)

SI AB

SAB ABCD SI ABCD

SI SAB SI CF           

Mặt khác, xét hai tam giác vng ADI DFC có:

,

AI DF ADDC Do đó, AID DFC từ ta có: 1

0

2 2

0 90 90 90 I F

D C F D

I D FHD             

Hay CF ID (2)

Từ (1) (2) suy ra: FC (SID)

Trang 25 BÀI TOÁN 2: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

1 Phương pháp:Ta thường sử dụng định lý cách chứng minh vng

góc có hình học phẳng

2 Các ví dụ mẫu:

Ví dụ 1: (D-2007) Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình thang vng A ,

B SA(ABCD),

2 ;

AD a ABBCa Chứng minh rằng: Tam giác SCD vng Giải: Ta có:

( )

(1)

( )

SA ABCD

SA CD

CD ABCD

 

 



 

+ Gọi I trung điểm AD Tứ giác ABCI hình vng Do

đó,

45

ACI  (*) Mặt khác, CID

 tam giác vuông cân I nên: BCI 450 (*) Từ (*) (**) suy ra:

90

ACD hay ACCD (2)

Từ (1) (2) suy ra: CD(SAC)CDSC hay SCD vng C

Ví dụ 2: (B-2007) Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình vng, E điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M N, trung điểm AE

BC CMR: MN BD

Giải: Gọi ,I P trung điểm

AB SA, O giao điểm AC

BD

Ta có: IN / /AC BD IN(1)

AC BD



 



 

P

I O

N M

E

D

C B

A S

D I

B C

Trang 26

Mặt khác, / / / / (*)

/ /

IM BE

IM PO

BE PO

  

Mà POBD(**) (vì: BPD tam giác cân P O trung điểm BD) Từ (*) (**) ta có: BDIM(2)

Từ (1) (2) ta có: BD(IMN)BDMN

Các điểm cần ý giải ví dụ 2:

+ Chọn mpIMN với I trung điểm AB ( BD AC nên chọn mp chứa

MN vng góc với BD mpIMN)

+ Sử dụng giả thiết trung điểm để chứng minh song song + Sử dụng định lý: a/ /b b c

a c



  

 

Ví dụ 3: (A-2007) Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình vng, tam giác SAD

đều, (SAD)(ABCD) Gọi M N P, , trung điểm SB BC, CD Chứng minh rằng: AM BP

Giải: Gọi I giao diểm AN BP,

H trung điểm AD, K giao điểm AN BH

Xét hai tam giác vng ABN BCP có: ,

ABBC BN CP Suy ra, ABN BCP

  

,

BAN CBP ANB BPC

   mà

0

90 90

BAN ANB CBP ANB hay AN BP (1)

Vì ∆SAD nên: ( ) ( ) (*)

( )

SH AD

SAD ABCD SH BP

BP ABCD

 



  



 

K

H I

P

M

N

B S

A

Trang 27 Mặt khác, tứ giác ABNH hình chử nhật

nên K trung điểm HB hay

/ / (**)

MK SH

Từ (*) (**) suy ra: BPMH(2) Từ (1), (2) suy ra:

( )

BP AMN BPAM

BÀI TỐN 3: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC 1 Phương pháp: Sử dụng định lý

2.Các ví dụ mẫu:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình thoi , SASC Chứng minh rằng: (SBD)(ABCD)

Giải:+ Ta có: AC BD(1) (giả thiết) + Mặt khác, SOAC(2) (SAC tam giác

cân A O trung điểm AC nên SO đường cao tam giác)

+ Từ (1) (2) suy ra: AC (SBD)mà

( )

AC ABCD nên (SBD)(ABCD)

Ví dụ 2: (B-2006) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật,

ABa ADa 2, SA(ABCD) Gọi M

là trung điểm AD, I giao điểm

AC BM Chứng minh rằng: (SAC)(SMB)

Giải:

+ Ta có: SA(ABCD)SABM (1)

O

C

B A

D S

I

M D

S

A

Trang 28 + Xét tam giác vng ABM có: tanAMB AB 2

AM

  Xét tam giác vng ACD có:

1 tan

2 CD CAD

AD

  Ta có:

0

0

cot cot(180 ( ))

cot( ) 0

90

AIM AMB CAD

AMB CAD AIM

   

  

 

Hay BM  AC (2)

+ Từ (1) (2) suy ra: BM (SAC) mà BM (SAC) nên (SAC)(SMB) 1.4 Bài tập:

Bài tập 1: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Gọi I trung điểm BC, D điểm đối xứng với A qua I, ( ), 6

2 a

SD ABC SD Chứng minh rằng:

a) (SBC)(SAD) b) (SAB)(SAC)

Bài tập 2: Cho hình chóp S ABCD , có đáy hình vng tâm O, SAABCD Gọi , ,

H I K hình chiếu vng góc A SB SC SD, , a) Chứng minh rằng: BCSAB CD; SAD BD; SAC

b) Chứng minh rằng: AH AK, vng góc với SC Từ suy đường thẳng AH AI AK, , nằm mặt phẳng

c) Chứng minh rằng: HKSAC.Từ suy HK AI

Bài tập 3: Cho tứ diện S ABC có tam giác ABC vng B SA; ABC a) Chứng minh rằng: BCSAB

b) Gọi AH đường cao SAB Chứng minh rằng: AH SC

Bài tập 4: Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết

;

SASC SBSD

Trang 29 b) Gọi ,I J trung điểm cạnh BA BC, Chứng minh rằng:

 

IJ  SBD

Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD có ABC DBC hai tam giác Gọi I trung điểm BC

a) Chứng minh rằng: BCAID

b) Vẽ đường cao AH AID Chứng minh rằng: AH BCD

Bài tập 6: Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đơi vng góc với Gọi H hình chiếu vng góc điểm O lên mặt phẳngABC Chứng minh rằng:

a) BC OAH

b) H trực tâm tam giác ABC c) 12 12 12 12

OH OA OB OC

d) Các góc tam giácABC nhọn

Bài tập 7: Cho hình chóp S ABCD , có đáy hình vng cạnh a Mặt bên SAB tam giác đều; SAD tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I J, trung điểm

AB CD

a) Tính cạnh tam giác SIJ chứng minh: SI SCD SJ; SAB b) Goị H hình chiếu vng góc S IJ Chứng minh rằng: SH AC c) Gọi M điểm thuộc đường thẳng CD cho: BM SA

Tính AMtheo a

Bài tập 8: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh ,a mặt bên SAB tam giác SC a Gọi H K trung điểm cạnh AB AD

a) Chứng minh rằng: SH ABCD

Trang 30 Bài tập 9: Cho hình chóp S ABCD, có đáy hình chữ nhật ABa BC; a mặt bên SBC vuông ,B mặt bên SCD vng D có SDa

a) Chứng minh rằng: SAABCD tính SA

b) Đường thẳng qua A vng góc với AC, cắt đường thẳng CB CD, , I J Gọi H hình chiếu A SC Hãy xác định giao điểm

,

K L SB SD, với mặt phẳng HIJ Chứng minh rằng:  ;  

AK  SBC AL SCD

c) Tính diện tích hình AKHL

Bài tập 10: Cho MAB vuông M mặt phẳng  P Trên đường thẳng vuông góc với  P A ta lấy điểm C D, hai bên điểm A Gọi C' hình chiếu C MD H, giao điểm AM CC'

a) Chứng minh rằng: CC'MBD

b) Gọi K hình chiếu H AB CMR: K trực tâm BCD

Bài tập 11: Cho tam giác ABC, cạnh a Gọi D điểm đối xứng A qua BC Trên đường thẳng vng góc với mpABC D lấy điểm S cho SDa Chứng minh hai mặt phẳng SAB SAC vng góc với

Bài tập 12: Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD vng góc với mặt phẳng DBC Vẽ đường cao BE DF, BCD, đường cao DK

ACD



a) Chứng minh rằng: ABBCD

b) Chứng minh hai mặt phẳng ABE  DFK  vng góc với

mpADC

c) Goị O H trực tâm tam giác BCD ADC Chứng minh rằng: OH ACD

Trang 31 a) Chứng minh SAC  SBD

b) Gọi BE DF , hai đường cao SBD.

Chứng minh rằng: ACF  SBC, AEF  SAC

Bài tập 14: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a,  

SA ABCD Gọi M N, điểm thuộc hai cạnh BC DC, cho 

2

a

BM ,

3

4

a

DN Chứng minh mặt phẳng SAM SMN vng góc với

Bài tập 15: Cho tam giác ABC vuông A Vẽ BB' CC' vng góc với mpABC

a) Chứng minh ABB'  ACC' 

b) Gọi AH AK , đường cao ABC A BC' Chứng minh hai mặt phẳng BCC B' ' AB C' ' vng góc với mặt phẳng AHK

Bài tập 16: Cho tam giác ABC vuông A có ABc AC, b Gọi  P mặt phẳng qua BC vng góc với mpABC; S điểm di động  P cho

SABC hình chóp có hai mặt bên SAB SAC, hợp với đáy ABC hai góc có số đo 

2 

  Gọi H I J, , hình chiếu vng góc S , ,

BC AC AB

a) Chứng minh rằng: SH2 HI HJ

b) Tìm giá trị lớn SH tìm giá trị nhỏ 

Bài tập 17: Cho hình tứ diện ABCD có ABBCa, ACb, ,

DBDCx AD y Tìm hệ thức liên hệ a b x y, , , để: a) Mặt phẳng ABC  BCD

Trang 32

D

B C

A S

Bài tập 18: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a có góc A 600, cạnh

2

a

SC  SCABCD a) Chứng minh rằng: SBD  SAC

b) Trong tam giác SCA kẻ IK SA K Tính độ dài IK c) Chứng minh BKD900 từ suy SAB  SAD BÀI TỐN 4: GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

1 Phương pháp xác định góc hai đường thẳng a b chéo

Cách 1:   a b,  a b', ' ', 'a b hai đường thẳng cắt song song với a b Tức là, chọn hai đường thẳng cắt song song với

a b

Cách 2:   a b,  a b', ' b' đường thẳng cắt đường thẳng a song song với b Tức chọn a (hoặc b) điểm A từ chọn đường thẳng qua

A song song với b (hoặc a ) 2 Các ví dụ mẫu:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh ,a

3,

SAa SABC Tính góc hai đường thẳng SD BC

Giải: Ta có: BC/ /AD

/ /

90

BC AD

SAD

SA BC



 



  Do đó,

(SD BC, )(SD AD, )SDA

Xét tam giác SAD vng A ta có: tanSDA SA 3 SDA 600 AD

   

Trang 33

2a 2a

a 3

I N

M

B D

C A

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABCD2 a Gọi M N, trung điểm

BC AD, MN a 3 Tính góc hai đường thẳng AB CD? Giải: Gọi I trung điểm BD Ta có:

/ /

( , ) ( , )

/ /

IN AC

AB CD IM IN

IM CD

 





Xét tam giác IMN có:

, 3

IM IN a MN a Do đó, 2

2

0

2 3 1

cos

2 2

120

a a

MIN

a MIN



  

 

Vậy: 0

(AB CD, ) 180 120 60 Các điểm cần ý giải ví dụ 2:

+ Việc tìm góc hai đường thẳng AB CD thơng qua góc hai đường thẳng

IM IN nhờ vào giả thiết MN a 3.

+ Một số em đồng (IM IN, )MIN chưa xác mà

0

( , )

180 MIN IM IN

MIN

  

 



Đến ta giải quết theo hai hướng:

+ Chứng minh góc MIN 900

+ Tính cụ thể góc MIN sau dựa vào giá trị góc MIN để kết luận giá trị góc hai đường thẳng AB CD

Ví dụ 3: (A-2008) Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có độ dài cạnh bên ,a đáy

ABC tam giác vng ,A ABa AC, a 3. Hình chiếu vng góc A' lên mpABC trung điểm BC Tính cosin góc hai đường thẳng AA'

' '

Trang 34 Giải: Gọi H trung điểm BC

Ta có: '/ / ' ( ', ' ') ' '/ / ( ', ) AA BB

AA B C B C BD

BB BD       Hay,

cos( ', ' ') cos( ', )

cos '

AA B C BB BD HBB

 



Xét tam giác A’B’H có

' 90 , ' '

A  A B a,

2 2 ' ' ' 3 2 A H AA AH

BC AA a           

, HB' A H' A B' '2 2a

Do đó,

2 2

' ' 1

cos '

2. . ' 4

BH BB HB HBB

BH BB

 

 

Vậy cos( ', ' ') cos ' 1 4 AA B C  HBB 

Các điểm cần ý giải ví dụ 3: + Áp dụng cách để giải toán

+ Điểm mấu chốt tốn tìm độ dài HB’ thông qua nhận xét A’H vng góc với mp(A’B’C’)

BÀI TỐN 5: GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1.Phương pháp xác định góc đường thẳng d mặt phẳng  P

+ Tìm I  d ( )P

+ Tìm A thuộc d kẻ AH vng góc với  P

+ ( ,( ))d P AIH

Trang 35 2.Các ví dụ mẫu:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh ,a

(SAB)(ABCD), H trung điểm AB, SH HC SA, AB Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng

ABCD Giải:

Ta có: 1 ,

2 2

a

AH  AB SAABa,

2 5

. 2 a SH HC  BH BC 

Vì

2

2

4 a

SA AH   AH nên tam giác SAH vuông A hay SAAB

mà (SAB)(ABCD). Do đó, SA(ABCD) AC hình chiếu vng góc

SC lên mpABCD

Ta có: (SC ABCD,( ))SCA, tan 2 2 SA SCA

AC

 

Vậy góc đường thẳng SC mặt phẳng ABCD góc có tang 2

2 Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình vng cạnh ,a SA vng góc với mặt phẳng đáy, SAa 6. Tính sin góc

giữa:

a) SC SAB b) AC SBC Giải:

a) Ta có: BC  AB (gt) SABC (vì

( )

SA ABCD ) BC (SAB)

a H

D

B C

A S

D

B C

A S

Trang 36 Do SB hình chiếu vng góc SC mpSAB

(SC SAB,( )) BSC

  Ta có:

2

sin( ,( )) sin

2

SC SAB BSC

BC a

SC SA AC

  

  



b)

Trong mpSAB kẻ AH SB H ( SB)

Theo câu a) BC(SAB)AH BC nên AH (SBC) hay CH hình chiếu

vng góc AC mpSBC.(AC SBC,( )) ACH

Xét tam giác vng SAB có: 1 2 12 12 72 . 6

6 AH a 7

AH  AB  SA  a  

+ Vậy sin( ,( )) sin 21

7 AH

AC SBC ACH

AC

  

BÀI TỐN 6: GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

1.Phương pháp xác định góc hai mặt phẳng cắt  P  Q

+ Tìm giao tuyến ( )P ( )Q  

+ Trong  P tìm a vng góc với ,  Q tìm b vng góc với  a b, cắt I

+    P , Q  a b,

Chú ý:Trong số trường hợp u cầu tính góc hai mặt phẳng chúng ta áp dụng cơng thức hình chiếu để tính

Cơng thức hình chiếu: Gọi hình  H có diện tích  S ; hình  H' hình chiếu  H mặt phẳng   có diện tích ';S  góc mặt phẳng chứa  H

mp  Lúc đó, ta có cơng thức sau: S'S.cos 2 Các ví dụ mẫu

Trang 37 Tính số đo góc BA C'  DA C' 

Giải:

Kẻ BH  A C' , (HA C' )(1) Mặt khác, ta có: BD AC (gt),

' ( ) '

AA  ABCD  AA BD

( ') '

BD ACA BD A C

    (2)

Từ (1) (2) suy ra:

' ( ) '

A C BDH A CDH Do đó, ((BA C' ),(DA C' ))(HB HD, )

+ Xét tam giác vuông BCA' có:

2 2

1 1 1 3

' 2

2 2

. .

3 3

BH BC BA a

BH a DH a

  

   

+ Ta có:

2 2 cos 120 2 BH BD BHD BHD BH      

Vậy

((BA C' ),(DA C' ))60 AB. Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng

' ' '

ABC A B C đáy ABC tam giác cân ,

AB ACa BAC120 ,0 BB'a

I trung điểm CC' Tính cosin góc hai mpABC AB I'  Giải:

Ta thấy tam giác ABC hình chiếu vng góc tam giác AB I' lên mặt phẳng ABC Gọi  góc hai mặt phẳng ABC AB I'  Theo cơng thức hình chiếu ta có:

Trang 38 Ta có:

2

1 3

. . .sin120

2 4

ABC

a

S  AB AC 

2 5

, 2 a

AI  AC CI  AB' AB2 BB'2 a 2,

2 13

' ' ' ' .

2 a

IB  B C IC  Suy ra: Tam giác AB’I vuông A nên

'

1 10

. '.

2 4

AB I

a

S  AB AI 

Vậy

'

3 cos

10

ABC AB I

S S

  

2.4 Bài tập

Bài tập 1: (B-2008) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh ,a SAa SB, a 3,(SAB)(ABCD) Gọi M N, trung điểm AB

và BC Tính cosin góc hai đường thẳng SM DN

Bài tập 2: Cho hình chóp S ABC cạnh đáy ,a cạnh bên 2 3 3 a

Tính góc SA mpABC

Bài tập 3: Cho hình chóp S ABC , SA(ABC) a) Xác định góc ABC SBC

b) Giả sử tam giác ABC vuông B Xác định góc hai mpABCvà SBC Bài tập 4: Cho hình chóp tứ giác S ABCD đáy ABCD hình vng cạnh ,a

SASBSCSDa Tính cosin góc SAB SAD

Bài tập 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh ,a tâm O

 

SO ABCD Gọi M N, trung điểm cạnh SA BC Biết

0 (MN ABCD,( )) 60

a) Tính MN SO

Trang 39 Bài tập 6: Cho hình chóp S ABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a,

 

SA ABCD SAa 6.Tính góc giữa: a) SC ABCD

b) SC SAB c) SB SAC

d) AC SBC

Bài tập 7: Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh ,a AA'ABC

Đường chéo BC' mặt bên BCC B' ' hợp với ABB A' ' góc 300 a) Tính AA'

b) Gọi N trung điểm cạnh BB' Tính góc MN BA C' ' 

Bài tập 8: Cho hình chóp S ABC , có đáy ABC tam giác vuông cân với ;

BABCa SAABC SAa Gọi ,E F trung điểm cạnh AB

và AC

a) Tính góc hai mặt phẳng SAC SBC b) Tính góc hai mặt phẳng SEF SBC

Bài tập 9: Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AB2 ;a SAABCD SAa

a) Tính góc hai mặt phẳng SAD SBC b) Tính góc hai mặt phẳng SBC SCD

Bài tập 10: Cho hình vng ABCD cạnh a SA, ABCD SAa Tính góc cặp mặt phẳng sau:

Trang 40 c) SAB SCD

Bài tập 11: Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm , 3;  

a

O OB SA ABCD

a

SO

a) Chứng minh rằng: ASC900

b) Chứng minh hai mặt phẳng SAB SAD vng góc

c) Tính góc hai mặt phẳng SBC ABC

BÀI TOÁN 7: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM M ĐẾN mp P

Cách 1:

+ Tìm mp Q chứa M vng góc với mp P theo giao tuyến 

+ Từ M hạ MH vng góc với H + MH d M P , 

Cách 2:

+ Kẻ / / P Ta có: d M P , d, P 

+ Chọn N Lúc đó, d M P , d, P d N P ,  Cách 3:

+ Nếu MN( )P I Ta có:     

 ,, 

d M P MI d N P  NI

+ Tính d N P ,  MI NI + d M P ,  MI.d N P , 

NI 

Trang 41 2 Các ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC đáy ABC có cạnh a, mặt bên tạo với đáy

một góc  Tính d A SBC( ,( )) theo a  Giải:

+ Gọi I trung điểm BC

+ Ta có: SI BC BC (SAI)

AI BC

 

 



  SIA

+ Kẻ AH SI (HSI) mà

( ) ( )

SI  SAI  SBC nên AH (SBC) Do đó, d A SBC( ,( )) AH

+ Mặt khác, xét tam giác vng AHI có: 3

.sin .sin

2 a

AH  AI   

Vậy, ( ,( )) 3.sin

2 a

d A SBC AH  

Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình vng cạnh ,a SA(ABCD), SA2 a

a) Tính d A SBC( ,( )) b) Tính d A SBD( ,( )) Giải:

a) Kẻ AH SB (HSB) (1)

Ta có: SA(ABCD)SABC (*) (gt) (**)

ABBC

Từ (*) (**) suy ra: BC (SAB)BC  AH (2) Từ (1) (2) ta có: AH (SBC) hay d A SBC( ,( )) AH

O

D

C B

A S

H K

I A

B

C S

Trang 42 + Mặt khác, xét tam giác vng SAB có: 1 2 12 12 52 2

4 5

a AH

AH  AB  SA  a   Vậy, ( ,( )) 2

5 a d A SBC 

b) Gọi OACBD

Kẻ AK SB (KSO) (1)

Ta có: SA(ABCD)SABD (*) AC BD (gt) (**) Từ (*) (**) suy ra: BD(SAC)BCAK (2)

Từ (1) (2) ta có: AK (SBD) hay d A SBD( ,( )) AK

+ Mặt khác, xét tam giác vng SAO có: 1 2 1 2 12 92 2

4 3

a AK

AK  AO SA  a   Vậy, ( ,( )) 2

3 a d A SBD 

Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình vng cạnh ,a tam giác SAB

đều, (SAB)(ABCD) Gọi ,I Flần lượt trung điểm AB AD Tính

( ,( ))

d I SFC Giải:

Gọi K FCID

+ Kẻ IH SK (HK) (1) + Ta có:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

SAB ABCD

SAB ABCD AB

SI ABCD

SI SAB

SI AB

 



    



 



 

(*) SI FC

 

+ Mặt khác, Xét hai tam giác vuông AID DFC có: AI DF, AD DC

K F I

C S

B

A D

Trang 43 Suy ra, AID DFCAIDDFC ADI, DCF mà

0

90 90

AID ADI  DFCADI  hay FCID (**) + Từ (*) (**) ta có: FC(SID)IH FC (2)

Từ (1) (2) suy ra: IH (SFC) hay d I SFC( ,( ))IH + Ta có:

2 2

3 1 5

, ,

2

3

10

a a a

SI ID DK

DK DC DF a

a

IK ID DK

      

   

Do đó, 12 12 12 322 3 2

9 8

a IH

IH  SI  IK  a   Vậy,

3 2

( ,( ))

8 a d I SFC  Ví dụ 4: (B-2011) Cho lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ', ABCD hình chữ nhật,

, 3

ABa ADa Hình chiếu vng góc 'A ABCD trùng với giao điểm AC BD Tính d B( ',( 'A BD))

Giải:

+ Gọi O ACBD

Vì ' / / 'B C C D nên B C' / /A BD'  Do đó,

( ',( ' )) ( ' ,( ' )) ( ,( ' ))

d B A BD d B C A BD d C A BD

+ Trong mặt phẳng ABCD kẻ CH BD, (HBD) (1) Mặt khác:

' ( )

' (2)

A O ABCD A O CH



 

Từ (1) (2) suy ra: CH ( 'A BD)d B( ',( 'A BD))CH

+ Xét tam giác vng BCD có: 1 2 12 1 2 42 3

3 4

a CH

CH  BC CD  a  

C' B'

D'

O

C B

D A

A'

Trang 44 J I M B S D A C H

Vậy: ( ',( ' )) 3

4 a d B A BD CH 

Ví dụ 2: (A-2013) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông ,A

0 30

ABC , SBC tam giác cạnh a, (SBC)(ABC) Tính d C SAB( ,( )). Giải:

+ Trong mặt phẳng ABC vẽ hình chữ nhật ABDC Gọi M I J, , trung điểm BC CD, AB

Lúc đó, CD/ /SAB hay

( ,( )) ( ,( )) ( ,( ))

d C SAB d CD SAB d I SAB + Trong mặt phẳng (SIJ) kẻ

, ( ) (1)

IH SJ HSJ Mặt khác, ta có:

( )

( ) (2)

IJ AB

SM ABC AB SM

AB SIJ AB IH

 



   

   

Từ (1) (2) suy ra: IH (SAB) hay d C SAB( ,( ))IH

+ Xét tam giác SIJ có: 1 . 1 . .

2 2

SIJ

SM IJ S IH SJ SM IJ IH

SJ

    Với:

0 .sin 30

2 a

IJ  AC BC  , 3 2 a

SM  , 2 13

4 a

SJ  SM MJ 

Do đó: . 39

13 SM IJ a IH

SJ

  Vậy ( ,( )) 39

13 a d C SAB 

Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D,

, ,

ABADa CD a SDa, SD(ABCD) a) Tính d D SBC( ,( ))

Trang 45

E

B M

A

D C

S

H

Giải:

Gọi M trung điểm CD, E giao điểm hai đường thẳng AD BC a) Trong mặt phẳng SBD kẻ DH SB, (HSB) (1)

+ Vì 1

2

BM  AD CDTam giác BCD vuông B hay BCBD (*)

Mặt khác,

( ) (**)

SD ABCD SDBC Từ (*) (**) ta có:

( ) (2)

BC SBD BCDH Từ (1) (2) suy ra: DH (SBC) hay

( ,( ))

d D SBC DH

+ Xét tam giác vng SBD có:

2 2

1 1 1 3 2 3

2 3

a DH

DH  SD  BD  a   Vậy, ( ,( )) 2 3

3 a d D SBC 

b) Ta có: ( ,( )) 1 ( ,( )) 1 ( ,( )) 3

( ,( )) 2 2 3

d A SBC AE AB a

d A SBC d d SBC

d D SBC  DE CD    

Vậy, ( ,( )) 3 3 a d A SBC 

Ví dụ 4: (D-2011) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng ,B

3 ,

BA a BC a, (SBC)(ABC SB), 2a 3,SBC300 Tính d B SAC( ,( )). Giải:

+ Trong mặt phẳng SBC kẻ SM BC M ( BC) mặt phẳng ABC kẻ

( )

MN  AC NAC mặt phẳng SMN kẻ MH SN N ( SN) Suy ra,

( ) ( ,( ))

Trang 46 M

B

C

A

S

N H

+ Ta có:

.sin 30 3

SM SB a ,

.cos30 3

BM SB  aCM a,

. 3

5 AB CM a MN

AC

 

Xét tam giác vng SMN có:

2 2

1 1 1 28 3

9 28

3

( ,( ))

28

a MH

MH SM MN a

a d M SAC

    

 

+ Mặt khác, ta có:

( ,( ))

4

( ,( ))

6

( ,( )) 4 ( ,( ))

7 d B SAC BC

d M SAC MC

a d B SAC d M SAC

 

  

Vậy ( ,( )) 6 7 a d B SAC 

BÀI TOÁN 8: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 1 Cách tính khoảng cách hai đường thẳng chéo d d'

Cách 1:

+ Xác định đường thẳng vuông góc chung d d' + Tính độ dài đoạn vng góc chung

Cách 2:

+Tìm mp P chứa d' song song với d

+ Khi d d d( , ')d d P( ,( ))d A P( ,( )) với Ad

Chú ý:Mp(P) có sẵn phải dựng (Cách dựng: qua điểm

'

Trang 47 Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có ABa, tất

cạnh cịn lại a Tính d AB CD( , ) Giải:

+ Gọi ,I J trung điểm CD AB + Vì ACD BCD tam giác nên:

, ( ) (1)

CDAI CDBI CD AIB CDIJ

Mặt khác, ACD ACD nên tam giác AIB cân I Do đó, IJ  AB (2)

+ Từ (1), (2) suy ra: IJ đường vng góc chung AB CD

+ Ta có:

2 2

2 3 26

2 2

a a a

IJ  AI AJ       

 

 

Vậy ( , ) 26

a d AB CD 

Ví dụ 2: (A_2010) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi ,

M N trung điểm AB AD H, giao điểm CN

DM SH (ABCD SH), a Tính d DM SC( , ). Giải:

+ Trong mpSCH kẻ HK SC(1), (KSC) + Mặt khác:

( ) (*) ( ) SH ABCD SH DM DM ABCD      

Xét hai tam giác vuông AMD DNC có AM DN AD, DC  AMD DNC

Từ ta có: 0

0

90 90

90

AMD DNC

ADM DCN DNC ADM NHD

Trang 48 hay DM CN (**)

Từ (*), (**) suy ra: DM (SCH)DM HK (2)

Từ (1), (2) suy ra: HK đoạn vng góc chung DM SC

+ Ta có: HCD DCN

2

2

2 3

CD a a

HC

CN CD DN

   



Xét tam giác vuông SHC ta có:

2 2

1 1 15

5

a HK

HK  HC  HS  a  

Vậy ( , ) 15

5

a d DM SC HK 

Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' đáy ABC tam giác cạnh ,a

2 '

2 a

AA  Tính d AB CB( , '). Giải:

+ Gọi ,I J trung điểm AB A B' ' + Ta có:

/ /( ' ') ( , ') ( ,( ' ')) ( ,( ' '))

AB CA B d AB CB d AB CA B

d I CA B

  



+ Trong mpCIJ kẻ IH CJ (1), (HCJ) Ta có: ' 'A B IJ (vì ABC A B C ' ' ' hình lăng trụ

đứng) ICA B' ' (vì ∆ABC tam giác đều) nên A B' '(CIJ)IH A B' ' (2) Từ (1), (2) suy ra: IH (CA B' ') hay d AB CB( , ')IH

+ Xét tam giác vuông CIJ có: 12 12 12 42 22 102 30 10

3

a IH IH  IC IJ  a a  a  

Vậy ( , ') 30

10

a d AB CB IH 

J I

C'

B' A

B

C

A'

Trang 49 Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh ,a

cạnh bên a 2 Tính d AD SB( , ). Giải:

+ Vì AD/ /SBCd AD SB( , )d AB SBC( ,( )) + Gọi O ACBD ,I J trung điểm AD BC

+ Trong mp SIJ kẻ IH SJ H,( SJ) (1)

Theo giả thiết ta có:

( )

( ) / /

(2)

SO ABCD SO BC

BC SIJ

IJ AB IJ BC

IH BC            

Từ (1), (2) suy ra: IH (SBC) hay d AD SB( , )IH

+ Xét tam giác SIJ có:

2

SIJ

SO IJ

S IH SJ SO IJ IH

SJ

    Với: IJ=a,

2 . 3, 2

2

a SO SA AO a SJ  SB BJ 

Suy ra: 21

SO IJ a

IH

SJ

 

Vậy ( , ) 21

7

a d AD SB IH 

Ví dụ 5: Cho hình chóp S ABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh ,a tam giác

SAD tam giác đều, SAD vng góc với mặt phẳng đáy Tính d SA BD( , ). Giải:

+ Qua A kẻ đường thẳng d song song với BD Gọi O ACBD; I M, trung điểm AD OD; N d IM

+ Ta có:

( , ) (( , ), ) ( ,( , ))

d SA BD d SA d BD d M SA d

Trang 50 + Trong mpSMN kẻ MH SN (1), (HSN)

Theo giả thiết: ( ) (*)

( ) ( )

SI AD

SI ABCD SI d

SAD ABCD

 

   



 

Mặt khác ta có: / /

(**) / /

d BD

BD AO d MN

AO MN       

Từ (*), (**) suy ra: d (SMN) d MH (2) Từ (1), (2) suy ra: MH (SA d, )

+ Xét tam giác SMN có:

2

SMN

SI MN

S MH SN SI MN MH

SN

    với

2

3 10

, ,

2

a a a

SI  MN  AO SN  SI IN  Do đó,

15

5

SI MN a MH

SN

  Vậy ( , ) 15

5 a d SA BD 

Ví dụ 6: (A-2011) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B, ,

ABBC a hai mặt phẳng SAB SAC vng góc với mặt phẳng ABC Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt

AC N, góc hai mặt phẳng SBC ABC 60 Tính d AB SN( , ). Giải:

+ Gọi I trung điểm BC

Do MN/ /BC nên N trung điểm AC Do đó, / /

IN AB hay (d AB SN, )d AB SNI( ,( )) + Trong mpABC kẻ AJ IN J,( IN) (*) Trong mpSAJ kẻ AH SJ H,( SJ) (1) + Theo giải thiết ta có:

( ) ( )

( ) (**)

( ) ( )

SAB ABC

SA ABC SA IN

Trang 51 Từ (*), (**) ta có: IN (SAJ)IN  AH (2)

Từ (1), (2) ta có: AH (SIN)d AB SN( , ) AH

+ Ta có: 0

((SBC),(ABC))SBA60 SA AB.tan 60 2a 3; AJ BI a + Xét tam giác vuông SAJ có:

2 2

1 1 13 12

13

12 AH a

AH  SA  AJ  a  

Vậy ( , ) 156

13

a d AB SN AH 

3.3 Bài tập

Bài tập 1: Cho hình chóp S ABCD SA, a cạnh lại 3 2 a

Chứng minh: SASC Tính d S ABCD( ,( )).

Bài tập 2: (D-2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ', đáy ABC tam giác vuông ,B BAa AA, '2 a Gọi M trung điểm A C I' ', giao điểm

AM A C' Tính d A IBC( ,( ))

Bài tập 3: Cho hình chóp S ABC , SA3 ,a SA(ABC AB), 2 ,a ABC1200 Tính d A SBC( ,( ))

Bài tập 4: (D-2007) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang ,

90

ABCBAD , BABCa AD, 2 ,a SA(ABCD), SAa 2 Gọi H hình chiếu A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính d H SCD( ,( )) Bài tập 5: Cho hình chóp S ABCD, có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh ,a

0 60

BCD đường cao SOa Tính d AD SB( , ).

Bài tập 6: (D-2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác vng cân ,B BABCa, AA'a Gọi M trung điểm BC Tính

( , ' ).

Trang 52 Bài tập 7: (B-2007) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh ,a E điểm đối xứng với D qua trung điểm SA Gọi M N, trung điểm AE BC Chứng minh rằng: MN BD Tính d MN AC( , ).

Bài tập 8: Cho hình tứ diện OABC, OAOBOCa Gọi I trung điểm BC Hãy dựng tính độ dài đoạn vng góc chung cặp đường thẳng sau:

a) OA BC b) AI OC

Bài tập 9: Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O

 

SA ABCD SAa Tính khoảng cách hai đường thẳng: a) SC và BD. b) AC và SD

Bài tập 10: Cho tứ diện S ABC có SAABC Gọi H K, trực tâm tam giác ABC SBC;

a) Chứng minh đường thẳng AH SK BC, , đồng quy b) Chứng minh rằng: SC BHK;HK SBC.

c) Xác định đoạn vng góc chung SA BC; Bài tập 11: Cho tứ diện ABCD

a) Chứng minh ACBD AD, BC đường vng góc chung ,

AB CD đoạn thẳng nối trung điểm I K, hai cạnh AB CD;

b) Chứng minh đoạn thẳng nối trung điểm I K, hai cạnh ,

AB CD tứ diện ABCD đoạn vng góc chung AB CD,

,

ACBD ADBC

Bài tập 12: Cho hình vng ABCD cạnh a,, I trung điểm AB

 

SI  ABCD 

2

a

IS Gọi M N P, , trung điểm cạnh BC SD SB, , Hãy dựng tính độ dài đoạn vng góc chung cặp đường thẳng:

Trang 53 Bài tập 13: Cho hình chóp S ABCD, có SAABCD SAa đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD2 a

a) Tính khoảng cách từ ,A B đến mặt phẳng SCD b) Tính khoảng cách từ AD đến mặt phẳng SBC.

c) Tính diện tích thiết diện hình chóp S ABCD với mặt phẳng  P song song với mặt phẳng SAD cách SAD khoảng

4

a

Bài tập 14: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có AA'ABC AA'a đáy ABC tam giác vng A có BC 2 ;a ABa

a) Tính khoảng cách từ AA' đến mặt phẳng BCC B' '  b) Tính khoảng cách từ A đến A BC' .

c) Chứng minh ABACC A' ' tính khoảng cách từ 'A đến mặt phẳng

ABC'.

Bài tập 15: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a,

 

SA ABCD SA2 a

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC, từ C đến mặt phẳng SBD b) M N, trung điểm AB AD; Chứng minh MN/ /SBD tính khoảng cách từ MN đến SBD

c) Mặt phẳng  P qua BC cắt cạnh SA SD, theo thứ tự , E F Biết AD cách  P khoảng

2

a

, tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng  P diện

Trang 54 Bài tập 16: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a

60

BAD Gọi O ACBD Đường thẳng SOABCD 3

4

a

SO Gọi E trung điểm BC, F trung điểm BE

a) Chứng minh rằng: SOF  SBC

b) Tính khoảng cách từ ,O A đến mặt phẳng SBC

Trang 55 Hiệu Quả Của Sáng Kiến Kinh Nghiệm:

Qua trình giảng dạy đúc kết kinh nghiệm nhận thấy để dạy cho học sinh học tốt mơn hình học khơng gian cần phải hệ thống lại kiến thức, nắm phương pháp chứng minh, lập luận chặt chẽ, lơgíc, Ngồi cần giúp cho học sinh tư hình ảnh, rèn kỹ vẽ hình Từ giúp học sinh tiếp thu kiến thức ngày tốt hơn, hiệu giảng dạy giáo viên nâng dần

Kết thực nghiệm:

Kết kiểm tra tiết Chương Hình học khơng gian lớp 11

Lớp Sỉ số Năm học Tỉ lệ

Dưới TB Trên TB

11C3 30 2015-2016 15 15

11C9 29 2015-2016 13 16

11C1 34 2016-2017 32

11C8 34 2016-2017 27

11C1 34 2017-2018 34

Trang 56 KẾT LUẬN

1 Ý Nghĩa Của Sáng Kiến Kinh Nghiệm:

Nhằm tạo động lực thúc đẩy học sinh tích cực học tập, góp phần nâng cao hiệu giảng dạy cho thân nói riêng kết giáo dục nhà trường nói chung 2 Khả Năng Ứng Dụng:

Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng rộng rãi cho học sinh khối 11 Khả ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm phương pháp đặt vấn đề, phân tích, hướng dẫn học sinh giải vấn đề

3 Bài Học Kinh Nghiệm, Hướng Phát Triển

Như nêu trên, muốn cho học sinh học tốt mơn hình học khơng gian giáo viên cần phải có số kỹ sau:

+ Kỹ vẽ hình trình bày lời giải

+ Kỹ nêu vấn đề hướng dẫn học sinh giải vấn đề, giúp học sinh biết tư trực quan hình vẽ

Giáo viên phải tâm huyết, nhiệt tình, gương mẫu quan tâm đến học sinh, giúp đỡ em để em không cảm thấy áp lực học tập Luôn tạo tình có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tịi học tập học sinh Phải thường xun học hỏi trau dồi chun mơn để tìm phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh 4 Kiến Nghị, Đề Xuất:

Nhằm giúp cho học sinh học tốt với mơn hình học không gian, thân kiến nghị với Ban giám hiệu có kế hoạch mua bổ sung thiết bị dạy học, trang bị thêm phòng giáo án điện tử, Tổ chuyên môn cần tổ chức hội giảng, buổi trao đổi phương pháp giảng dạy, nhằm giúp cho việc giảng dạy giáo viên thuận lợi