Đang tải... (xem toàn văn)
Khi giải các bài toán hình học không gian các giáo viên và học sinh thường gặp một số khó khăn với nguyên nhân như sau: Học sinh cần phải có trí tưởng tượng không gian [r]
(1)
Trang MỞ ĐẦU
1 Lý Do Chọn Đề Tài :
Trong mơn Tốn trường phổ thơng phần hình học khơng gian giữ vai trị, vị trí quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ giải tốn hình học khơng gian, cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư sáng tạo cho học sinh
Tuy nhiên trình giảng dạy nhận thấy học sinh lớp 11 e ngại học mơn hình học khơng gian em nghĩ trừu tượng, thiếu tính thực tế Chính mà có nhiều học sinh học yếu mơn học này, phần giáo viên gặp khơng khó khăn truyền đạt nội dung kiến thức phương pháp giải dạng tập hình học khơng gian Qua năm năm giảng dạy môn học đúc kết số kinh nghiệm nhằm giúp em tiếp thu kiến thức tốt hơn, từ mà chất lượng giảng dạy học tập học sinh ngày nâng lên Do phần nội dung kiến thức nên nhiều học sinh cịn chưa quen với tính tư trừu tượng nó, nên tơi nghiên cứu nội dung nhằm tìm phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh nhằm tháo gỡ vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy nói chung mơn hình học khơng gian nói riêng
Điểm kết nghiên cứu tính thực tiễn tính hệ thống, khơng áp đặt lập khn máy móc học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải toán lạ, toán khó
Từ lý tơi khai thác, hệ thống hóa kiến thức, tổng hợp phương pháp thành chuyên đề: “Một Số Kỹ Năng Giải Tốn Hình Học Khơng Gian Cho Học Sinh Lớp 11 ”
2 Đối Tượng Và Phạm Vi Nghiên Cứu;
(2)
Trang Phạm vi nghiên cứu đề tài là: “ Chương 2,3: Đường thẳng mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song – Quan hệ vuông góc khơng gian ” sách giáo khoa Hình học 11 ban
3 Mục Đích Và Phương Pháp Nghiên Cứu:
Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh lớp 11 có thêm số kỹ bản, phương pháp chứng minh số dạng toán khơng gian Học sinh thơng hiểu trình bày tốn trình tự, logic, khơng mắc sai lầm làm tập Hy vọng với đề tài giúp em học sinh có sở, phương pháp giải số toán bắt buộc sách giáo khoa Hình học lớp 11, cung cấp cho giáo viên số nội dung giảng dạy môn hình học khơng gian lớp 11 cách có hiệu
Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu lí luận chung khảo sát điều tra thực tế dạy học tổng hợp so sánh, đút rút kinh nghiệm trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến đồng nghiệp
NỘI DUNG
Chương 1: Cơ Sở Lý Luận
Khi giải toán chứng minh quan hệ song song, quan hệ vng góc hình học khơng gian, ta phải đọc kỹ đề, phân tích giả thuyết, kết luận, vẽ hình đúng, Ta cần phải ý đến yếu tố khác : Vẽ tốt chưa? Cần xác định thêm yếu tố hình khơng? Để giải vấn đề ta xuất phát từ đâu? Nội dung kiến thức liên quan đến tốn, có giúp ta giải nhiều tốn mà khơng gặp khó khăn Ngồi ta cịn phải nắm vững kiến thức hình học phẳng, phương pháp chứng minh cho dạng tốn: tìm giao tuyến hai mặt phẳng, tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng, chứng minh hai đường thẳng song song, hai mặt phẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng, đường thẳng vng góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vng góc với nhau, tính góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng, tính khoảng cách, Chương 2: Cơ Sở Thực Tiễn
(3)
Trang học sinh vẽ hình, cịn lúng túng, khơng phân loại dạng tốn, chưa định hướng cách giải Trong toán liên quan đến chứng minh quan hệ song song, quan hệ vng góc hình học khơng gian có nhiều dạng tập khác nhau, chương trình hình học khơng gian 11 khơng nêu cách giải tổng quát cho dạng, bên cạnh thời lượng dành cho tiết luyện tập Qua việc khảo sát định kỳ nhận thấy nhiều học sinh trình bày lời giải chưa lôgic không làm tập liên quan đến chứng minh quan hệ song song, quan hệ vng góc hình học khơng gian
Khi giải tốn hình học khơng gian giáo viên học sinh thường gặp số khó khăn với nguyên nhân sau: Học sinh cần phải có trí tưởng tượng khơng gian tốt Học sinh quen với hình học phẳng nên học khái niệm hình khơng gian hay nhầm lẫn, chưa biết vận dụng tính chất hình học phẳng cho hình khơng gian Một số tốn khơng gian mối liên hệ giả thiết kết luận chưa rõ ràng làm cho học sinh lúng túng việc định hướng cách giải Bên cạnh cịn có ngun nhân em chưa xác định động học tập
Từ nguyên nhân mạnh dạn đưa số giải pháp nhằm nâng cao kỹ giải tốn hình học khơng gian cho học sinh lớp 11
Chương 3: Biện Pháp Giải Quyết Vấn Đề
Để giải hình học tốt theo tơi nghĩ có số giải pháp tăng cường kỹ kiến thức cho học sinh là:
Vẽ hình – trực quan gợi mở tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải tốn phát huy trí tưởng tượng khơng gian, phát huy tính tích cực niềm say mê học tập học sinh Vẽ – trực quan hình vẽ giúp học sinh tránh sai lầm đáng tiếc
Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh hiểu rõ khái niệm hình học khơng gian : hình chóp tứ diện hình chóp hình lăng trụ hình hộp hình hộp chữ nhật quan hệ song song hai đường thẳng hai mặt phẳng đường thẳng mặt phẳng,
(4)(5)
Trang NỘI DUNG 1: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN –
QUAN HỆ SONG SONG
BÀI TỐN 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG (α) VÀ () 1 Phương pháp:
Cách 1: Xác định hai điểm chung hai mặt phẳng
Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) A B
AB( ) ( )
Hình
Cách 2: Xác định điểm chung song song với đường thẳng Dựa vào định l ý sau:
* Định lý 2: (SGK trang 57) Nếu
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b c
/ / / / , , a b c a b c
đồng quy
* Hệ quả: Nếu / / ( ), ( ) ( ) ( ) a b a b d / / / / d a b
d a d b trùng với trùng với
Hình Hình Hình
* Định lý 2: (SGK trang 61) Nếu
/ /( ) ( ) ( ) ( ) a a b
(6)
Trang * Hệ : Nếu
( ) / / ( ) / / ( ) ( )
d d
a
a // d (Hình 6)
* Định lý 3: (SGK trang 67) Nếu ( ) / /( ) ( ) ( ) a
( ) ( ) / /
b a b
(Hình 7)
Hình Hình Hình
* Nhận xét: Để tìm giao tuyến hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách tìm hai điểm chung nằm hai mặt phẳng cách dựa vào hình vẽ Nếu hình vẽ có điểm chung ta chuyển sang cách hai ( dựa vào định lý hệ trên)
2.Ví dụ:
Bài 1: Trong mp(α) cho tứ giác ABCD có AB CD cắt E, AC BD cắt F Gọi S điểm nằm mp(α) Tìm giao tuyến mp sau:
a) mp SAC mp SBD b) mp SAB mp SCD c) mp SEF mp SAD GIẢI:
Nhận xét:
(7)
Trang Với câu C) GV cần gợi ý cho HS phát điểm chung thứ hai
a) Ta có S SAC SBD (1) ; F AC BD F SAC SBD (2) Từ (1) (2) suy : SF SAC SBD
b) Ta có S SAB SCD (1) ; E AB CD E SAB SCD ) Từ (1) (2) suy : SE SAB SCD
c) Trong mp ADE kéo dài EF cắt AD N
S SAD SEF N SAD SEF
Vậy : SN SAD SEF
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thang AB CD a) Tìm giao tuyến hai mp SAD SBC
b) Tìm giao tuyến hai mp SAB SCD GIẢI:
(8)
Trang Trong mp(ABCD) có AD cắt BC E
E AD E SAD
E BC E SBC
Suy : SE SAD SBC b) Ta có S điểm chung thứ
Lại có: x x
AB SAB
CD SCD SAB SCD S S / /AB / /CD
AB / /CD
Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi I,J trung điểm AD BC a) Tìm giao tuyến hai mp IBC JAD
b) M điểm đoạn AB, N điểm đoạn AC Tìm giao tuyến hai mp IBC DMN
GIẢI:
a) Ta có: I AD I JAD I IBC JAD J BC J IBC J IBC JAD Khi đó: IJ IBC JAD
b) Trong mp ACD có CI cắt DN E
Vậy Elà điểm chung hai mp IBC DMN Trong mp ABD có BI cắt DM F
Vậy F điểm chung hai mp IBC DMN Khi đó: EF IBC DMN
BÀI TỐN : TÌM GIAO ĐIỂM CỦA d VÀ mp
J
I
B
C D A
E F
I
B
C
D A
M
(9)
Trang
Hình 8 Hình 9
1 Phương pháp :
* Muốn tìm giao điểm đường thẳng d với mp ta tìm giao điểm đường thẳng d với đường thẳng a nằm mp (Hình 8)
Tóm tắt : Nếu
( ) A d
A a
A = d (α)
* Chú ý: Nếu đường thẳng a chưa có hình vẽ ta tìm giao điểm sau: - Tìm mp chứa d cho mp cắt mp
- Tìm giao tuyến a hai mp mp (Hình 9) - Gọi I d a I d α
* Nhận xét : Vấn đề toán xác định cho đường thẳng a Nhiệm vụ giáo viên hướng dẫn, gợi mở cho học sinh biết cách tìm đường thẳng a chọn mp cho phù hợp với yêu cầu toán trường hợp đường thẳng
achưa có hình vẽ 2 Ví dụ :
Bài : Cho tứ diện ABCD Gọi I,J trung điểm AB AD cho AJ 2AD
3 Tìm giao điểm đường thẳng IJ với mp BCD Nhận xét :
(10)
Trang 10 - GV cần lưu ý cho học sinh điều kiện để hai đường thẳng cắt hai đường thẳng phải nằm mặt phẳng không song song
GIẢI :
Trong ABDcó : AJ 2AD
1
AI AB
2 , suy IJ không song song BD
Gọi K IJ BD K IJ
K BD BCD
Vậy K IJ BCD
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang (AB // CD) Gọi I, J trung điểm SA SB, M điểm tùy ý thuộc đoạn SD
a) Tìm giao điểm đường thẳng BM với mp(SAC) b) Tìm giao điểm đường thẳng IM với mp(SBC) c) Tìm giao điểm đường thẳng SC với mp(IJM)
Nhận xét: Câu a) - HS dễ nhầm lẫn đường BM cắt SC Khơng nhìn đường thẳng nằm mp SACđể cắt BM
(11)
Trang 11 Câu b) - HS gặp khó khăn khơng nhìn đường nằm mp SBC để cắt IM
- GV cần hướng dẫn HS chọn mp phụ thích hợp chứa IM
Câu c) - Tương tự câu a) ta cần chọn mp phụ chứa SC tìm giao tuyến mp với mp IJM.Có mp chứa SC?
- GV hướng dẫn HS chọn mp cho việc tìm giao tuyến với IJM
thuận lợi
(12)
Trang 12 a) Ta có BM SBD
Xét mp SACvà SBD có S điểm chung thứ (1) Gọi O ACBD O điểm chung thứ hai (2)
Từ (1) (2) SOSAC SBD
Trong mpSBDcó BM cắt SO P Vậy PBMSAC
b) Ta có IM SAD
Xét hai mp SAD SBC có: S điểm chung thứ Gọi E ADBC E điểm chung thứ hai
SESAD SBC
Trong mpSAE có IM cắt SE F Vậy F IM SBC
c) Ta có SC SBC
Xét mp IJM SBC ta có : JF IJM SBC
Trong mpSBEcó JF cắt SC H Vậy H SCIJM
Bài : Cho hình chóp S ABCD có AB CD khơng song song Gọi M điểm thuộc miền SCD
a) Tìm giao điểm N đường thẳng CD mpSBM b) Tìm giao tuyến hai mpSBM SAC
c) Tìm giao điểm I đường thẳng BM mpSAC
d) Tìm giao điểm P đường thẳng SCvà mpABMtừ suy giao tuyến
của hai mpSCDvà ABM
e) Xác định thiết diện hình chóp cắt mpABM
(13)
Trang 13 a) Trong mpSCD có SM cắt CD N
( )
( )
N SM N SBM
N CD SBM
N CD N CD
b) Trong mpABCD, ta có: ACBDO
( )
( ) ( )
( )
O AC O SAC
SO SAC SBN
O BN O SBN
c) Trong mpSBN, ta có BM cắt SO I
Mà SOSAC I BM SAC d) Trong mpSAC, ta có SC cắt AI P
Mà AI ABM P SCABM Trong mpSCD,ta có PM cắt SD K
( )
( ) ( )
( )
K PM K ABM
PK ABM SCD
K SD K SCD
e) Ta có : ABM ABCD AB
ABM SBCBP
ABM SCDPK
ABM SAD AK
Vậy tứ giác ABPK thiết diện cần tìm Bài tập rèn luyện :
Bài : Cho hình bình hành ABCD nằm mp P điểm S nằm mp P Gọi M điểm nằm S A N, điểm nằm S B; giao điểm hai đường thẳng AC BD O
(14)
Trang 14 c) Tìm thiết diện hình chóp S ABCD cắt mpCMN
Bài 2: Cho hình chóp S ABCD, SBC lấy M, SCD lấy điểm N a) Tìm giao điểm đường thẳng MN với mpSAC
b) Tìm giao điểm SC với mpAMN
c) Tìm thiết diện hình chóp cắt mpAMN
Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M N, trung điểm AB CD, Gọi E
là điểm thuộc đoạn AN ( không trung điểm AN) Q điểm thuộc đoạn BC a) Tìm giao điểm EM với mpBCD
b) Tìm giao tuyến hai mpEMQ BCD; EMQ ABD c) Tìm thiết diện cắt tứ diện mpEMQ
BÀI TOÁN 3: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG d SONG SONG VỚI mp * Phương pháp: (Định lí SGK trang 61)
Tóm tắt: Nếu
( ) / /
( ) d d a a
d // (α)
Nhận xét: Vấn đề nêu lên đường thẳng a có hình vẽ hay chưa, xác định nào, làm để xác định GV cần làm cho HS biết hướng giải toán dựa vào giả thiết toán mà xác định đường thẳng a cho phù hợp
Ví dụ:
Bài 1: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' Gọi H trung điểm ' '
A B
(15)
Trang 15
Lời giải:
a) Ta có : ( ' ')
( )
A AB C
A ABC
A điểm chung AB'C' ABC
Mà
' '/ /
' ' ( ' ') ( ) B C BC B C AB C BC ABC
nên AB C' ' ABC Ax Ax/ / ' '/ /B C BC b) Ta có tứ giác AA CC' ' hình bình hành
Suy A C' cắt AC' trung điểm I đường Do IH / /CB' (IH đường trung bình CB A' ') Mặt khác IH AHC' nên CB'/ /AHC'
Bài : Cho tứ diện ABCD, gọi M N, trọng tâm ABD
ACD
Chứng minh rằng:
a) MN/ /BCD b) MN/ /ABC
Lời giải :
a) Gọi E trung điểm BD ; F trung điểm CD Trong ABD ta có:
3 AM
AE (M trọng tâm ABD) Trong ACD ta có:
3 AN
AF (N trọng tâm ACD) Vậy AM AN MN/ /EF
AE AF
Mà EF BCD MN/ /BCD
b) Trong BCD có : EF đường trung bình EF / /BC
MN/ /EF/ /BCMN/ /ABC
x I
H
A' B'
C
B
A C'
M
E
F B
C D A
(16)
Trang 16 Bài 3: (Bài trang 63 sgk) Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng
a) Gọi O O' tâm ABCD ABEF Chứng minh rằng:
'/ /
OO ADF OO'/ /BCE
b) Gọi M N trọng tâm ABD ABE Chứng minh :
/ /
MN CEF
Lời giải:
a) Ta có : OO'/ /DF (OO' đường trung bình
BDF
)
Mà DF ADF OO'/ /ADF
Ta có : OO'/ /CE (OO' đường trung bình )
ACE
Mà CEBCEOO'/ /BCE b) Gọi H trung điểm AB
Ta có :
3 HM HN
HD HE / /
MN DE
mà DE CEF
Vậy MN/ /CEF
BÀI TOÁN : CHỨNG MINH mp(α) VÀ mp() SONG SONG NHAU * Phương pháp : (Định lí SGK trang 64)
Tóm tắt : Nếu
, ( ) / /( ), / /( ) a b P a b I a Q b Q
(P) // (Q)
* Nhận xét : Tương tự toán chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, vấn đề đặt chọn hai đường thẳng ,a b ? Nằm mặt phẳng P hay mp Q ? GV cần hướng dẫn, gợi mở cho HS phát vấn đề toán
(17)
Trang 17 Ví dụ :
Bài : Cho hình chóp S ABCD đáy hình bình hành ABCD, ACBDO Gọi M N, trung điểm SC CD, Chứng minh MNO / / SAD
Lời giải :
Trong SCD có MN đường trung bình MN/ /SD mà SDSAD
MN/ /SAD (1)
Trong SAC có MO đường trung bình MO/ /SA mà SASAD
MO/ /SAD (2)
Từ (1) (2) suy MNO / / SAD
Bài 2: Cho hai hình vng ABCD ABEF hai mặt phẳng phân biệt Trên đường chéo AC BF lấy điểm M N cho AM BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M N cắt AD AF M' N' Chứng minh rằng:
a) ADF / / BCE
b) DEF / / MM N N' '
Nhận xét: HS dễ dàng chứng minh câu a, câu b GV nên hướng dẫn cho HS biết cách vẽ hình, nhận xét hai đường thẳng AC BF nhau, từ gợi mở cho HS biết chứng minh hai đường thẳng MM' M N' ' song song với mpDEF dựa vào định lí Talét đảo
Lời giải:
(18)
Trang 18
/ /
AD BC BCE
AF AD song song với mpBCE mà AF AD, ADF
Vậy : ADF / / BCE
b) Ta có: MM'/ /AB mà AB/ /EF
MM'/ /EF AEF (*)
Mặt khác : MM'/ /CD ' (1)
AM AM
AD AC
'/ /
NN AB ' (2)
AN BN
AF BF
Mà AM BN, ACBF AM BN (3)
AC BF
Từ (1), (2) (3) AM' AN' M N' '/ /DE (DEF)
AD AF
(**)
Mà MM M N', ' 'MM N N' ' (***)
Từ (*), (**), (***) DEF / / MM N N' '
Bài 3: (Bài trang 71 sgk) Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' '
a) Chứng minh hai mpBDA' B D C' ' song song
b) Chứng minh đường chéo AC' qua trọng tâm G1 G2 hai tam giác BDA' B D C' '
Lời giải:
a) Ta có: / / ' ' / /( ' ') ' ' ( ' ')
BD B D
BD CB D B D CB D
' / / ' ' / /( ' ') ' ( ' ')
A D B C
A D CB D B C CB D
(19)
Trang 19 Ta có : , ' / /( ' ') ( ') / /( ' ')
, ' ( ')
BD A D CB D
BDA CB D
BD A D BDA
b) Ta có : CC'/ /BB'/ /AA' CC'BB'AA' nên AA C C' ' hình bình hành
Gọi I tâm hình bình hành AA C C' '
Gọi , 'O O tâm hình bình hành ABCD A B C D' ' ' ' Trong mpAA C C' ' gọi G1 A C' A O' ; G2 AC'C O' G G1, 2 trọng tâm AA C' CC A' '
A G' 2G O1 CG2 2G O2 '
(*)
Xét hai BDA' B D C' ' có A O' CO' hai trung tuyến nên từ (*) suy
1;
G G trọng tâm BDA' B D C' ' Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SA
1) Xác định giao tuyến d hai mp MBD SAC Chứng tỏ d/ /SCD
2) Xác định thiết diện hình chóp cắt mp MBC.Thiết diện hình gì? Bài 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi E điểm thuộc miền tam giác SCD
1) Tìm giao tuyến hai mpSAC SBE Tìm giao điểm BE với SAC 2) Xác định thiết diện tạo hình chóp S ABCD với mặt phẳng ABE
Bài 3: Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình bình hành tâm O Gọi M N, trung điểm SB SC,
1) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng SAC SBD Tìm giao điểm H đường thẳng AN mặt phẳng SBD
(20)
Trang 20 Bài 4: Cho hình chóp S ABCD, đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M trung điểm SC
1) Tìm giao tuyến mpABM mpSBD
2) Gọi N giao điểm SD với mpABM Chứng minh MN/ /SAB Bài 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O
1) Xác định giao tuyến SAB SCD Gọi I trung điểm SA, tìm giao điểm IC mpSBD
2) Xác định thiết diện hình chóp cắt mpIBC
Bài 6: Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình thang với AB đáy lớn Gọi ,
M N hai điểm hai cạnh SA SB, cho AM 2SM 3SNSB 1) Tìm giao tuyến SAD SBC; SAB SCD
2) Chứng minh MN song song với mpSCD
Bài 7: Cho hình chóp đỉnh S có đáy hình thang ABCD với AB đáy lớn Gọi ,
M N theo thứ tự trung điểm cạnh SB SC 1) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng : SAD SBC 2) Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng AMN 3) Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng AMN
Bài 8: Cho hình chóp S ABCD cạnh đáy khơng song song Gọi M điểm nằm mặt phẳng SCD
1) Tìm giao tuyến hai mặt SAB SCD
2) Tìm thiết diện mặt phẳng P qua M song song với CD SA
Bài 9: Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình bình hành Trên hai cạnh ,
SA SB lấy hai điểm M N, cho:
SB SN SA SM
(21)
Trang 21 1) Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng : SAC SBD; ADNvà SBC 2) Chứng minh MN/ /SCD
NỘI DUNG 2: QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN I Cơ sở lý thuyết
2.1 Các định nghĩa
+) Định nghĩa 1: Hai đường thẳng gọi vng góc với góc chúng
90 a b ( , )a b 900
+) Định nghĩa 2: Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng
( ) ( ) :
a b ab
+) Định nghĩa 3: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng
90 ( ) ( ) (( ),( )) 900
+) Định nghĩa 4: Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng 'a '
b qua điểm song song (hoặc trùng) với a b
+) Định nghĩa 5:
Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng ta nói góc đường thẳng a mặt phẳng 90
Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng góc a hình chiếu 'a mặt phẳng gọi góc đường thẳng a mặt phẳng 90 +) Định nghĩa 6: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng
+) Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (hoặc đến đường thẳng ∆) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu vng góc
(22)
Trang 22 +) Định nghĩa 8: Khoảng cách đường thẳng a đến mặt phẳng song song với
a khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng
+) Định nghĩa 9: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng
+) Định nghĩa 10: Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng
2.2 Các định lý thường sử dụng
Định lý 1: , ( ) ( ) ,
a b
a b P d P
d a d b
Định lý 2:
( ) ( )
( ) a P
d P d a
a P
Định lý 3: + ( ) ' ( ) '/ / d P d P d d + ( ) / /( ) ( ) ( ) P Q d Q d P + / /( ) ' ' ( ) d P d d d P
Định lý 4: ( ) ( ) ( ) ( ) d P P Q d Q
Định lý 5:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P Q P Q d Q d P d
Định lý 6:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
P Q
P R R
(23)
Trang 23 BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT
PHẲNG
1 Phương pháp: Ta thường vận dụng định lý để chứng minh Hoặc sử dụng định lý 3, định lý 5, định lý số trường hợp đặc biệt
2 Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC tam giácvvng ,C SA(ABC) a) Chứng minh rằng: BC(SAC)
b) Gọi E hình chiếu vng góc A SC Chứng minh rằng: AE(SBC) c) Gọi mp P qua AE vuông góc với SAB, cắt SB D Chứng minh rằng:
( ) SB P
d) Đường thẳng DE cắt BC F Chứng minh rằng: AF (SAB) Giải: a) Ta có: BC AC ( ) (1)gt
Mặt khác,
( )
(2)
( )
SA ABC
SA BC
BC ABC
Từ (1) (2) suy ra: BC SAB b) Ta có: AESC (3) (gt)
Theo a) BC(SAB)AEBC (4) Từ (3) (4) suy ra: AE(SBC) c) Ta thấy: ( )P (ADE)
Theo b) AE(SBC)BC AE (5)
F
C S
B A
E D
(24)
Trang 24 Trong mp(ADE) kẻ EH AD H, AD Vì
( ) ( )
( ) ( ) ( ) (6)
ADE SAB
ADE SAB AD EH SAB SB EH
EH AD
Từ (5) (6) suy ra: SB(ADE) hay SB( ).P
d) Từ ( ) (7)
( ) SA ABC AF SA AF ABC
Theo c) SB(ADE)AF SB (8) Từ (7) (8) suy ra: AF (SAB) Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD, đáy
ABCD hình vng, tam giác SAB tam giác đều, (SAB)(ABCD) Gọi ,I F trung điểm AB AD Chứng minh rằng: FC(SID).
Giải: Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
(1)
SI AB
SAB ABCD SI ABCD
SI SAB SI CF
Mặt khác, xét hai tam giác vng ADI DFC có:
,
AI DF ADDC Do đó, AID DFC từ ta có: 1
0
2 2
0 90 90 90 I F
D C F D
I D FHD
Hay CF ID (2)
Từ (1) (2) suy ra: FC (SID)
(25)
Trang 25 BÀI TOÁN 2: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC
1 Phương pháp:Ta thường sử dụng định lý cách chứng minh vng
góc có hình học phẳng
2 Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1: (D-2007) Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình thang vng A ,
B SA(ABCD),
2 ;
AD a ABBCa Chứng minh rằng: Tam giác SCD vng Giải: Ta có:
( )
(1)
( )
SA ABCD
SA CD
CD ABCD
+ Gọi I trung điểm AD Tứ giác ABCI hình vng Do
đó,
45
ACI (*) Mặt khác, CID
tam giác vuông cân I nên: BCI 450 (*) Từ (*) (**) suy ra:
90
ACD hay ACCD (2)
Từ (1) (2) suy ra: CD(SAC)CDSC hay SCD vng C
Ví dụ 2: (B-2007) Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình vng, E điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M N, trung điểm AE
BC CMR: MN BD
Giải: Gọi ,I P trung điểm
AB SA, O giao điểm AC
BD
Ta có: IN / /AC BD IN(1)
AC BD
P
I O
N M
E
D
C B
A S
D I
B C
(26)
Trang 26
Mặt khác, / / / / (*)
/ /
IM BE
IM PO
BE PO
Mà POBD(**) (vì: BPD tam giác cân P O trung điểm BD) Từ (*) (**) ta có: BDIM(2)
Từ (1) (2) ta có: BD(IMN)BDMN
Các điểm cần ý giải ví dụ 2:
+ Chọn mpIMN với I trung điểm AB ( BD AC nên chọn mp chứa
MN vng góc với BD mpIMN)
+ Sử dụng giả thiết trung điểm để chứng minh song song + Sử dụng định lý: a/ /b b c
a c
Ví dụ 3: (A-2007) Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình vng, tam giác SAD
đều, (SAD)(ABCD) Gọi M N P, , trung điểm SB BC, CD Chứng minh rằng: AM BP
Giải: Gọi I giao diểm AN BP,
H trung điểm AD, K giao điểm AN BH
Xét hai tam giác vng ABN BCP có: ,
ABBC BN CP Suy ra, ABN BCP
,
BAN CBP ANB BPC
mà
0
90 90
BAN ANB CBP ANB hay AN BP (1)
Vì ∆SAD nên: ( ) ( ) (*)
( )
SH AD
SAD ABCD SH BP
BP ABCD
K
H I
P
M
N
B S
A
(27)
Trang 27 Mặt khác, tứ giác ABNH hình chử nhật
nên K trung điểm HB hay
/ / (**)
MK SH
Từ (*) (**) suy ra: BPMH(2) Từ (1), (2) suy ra:
( )
BP AMN BPAM
BÀI TỐN 3: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC 1 Phương pháp: Sử dụng định lý
2.Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình thoi , SASC Chứng minh rằng: (SBD)(ABCD)
Giải:+ Ta có: AC BD(1) (giả thiết) + Mặt khác, SOAC(2) (SAC tam giác
cân A O trung điểm AC nên SO đường cao tam giác)
+ Từ (1) (2) suy ra: AC (SBD)mà
( )
AC ABCD nên (SBD)(ABCD)
Ví dụ 2: (B-2006) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật,
ABa ADa 2, SA(ABCD) Gọi M
là trung điểm AD, I giao điểm
AC BM Chứng minh rằng: (SAC)(SMB)
Giải:
+ Ta có: SA(ABCD)SABM (1)
O
C
B A
D S
I
M D
S
A
(28)
Trang 28 + Xét tam giác vng ABM có: tanAMB AB 2
AM
Xét tam giác vng ACD có:
1 tan
2 CD CAD
AD
Ta có:
0
0
cot cot(180 ( ))
cot( ) 0
90
AIM AMB CAD
AMB CAD AIM
Hay BM AC (2)
+ Từ (1) (2) suy ra: BM (SAC) mà BM (SAC) nên (SAC)(SMB) 1.4 Bài tập:
Bài tập 1: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Gọi I trung điểm BC, D điểm đối xứng với A qua I, ( ), 6
2 a
SD ABC SD Chứng minh rằng:
a) (SBC)(SAD) b) (SAB)(SAC)
Bài tập 2: Cho hình chóp S ABCD , có đáy hình vng tâm O, SAABCD Gọi , ,
H I K hình chiếu vng góc A SB SC SD, , a) Chứng minh rằng: BCSAB CD; SAD BD; SAC
b) Chứng minh rằng: AH AK, vng góc với SC Từ suy đường thẳng AH AI AK, , nằm mặt phẳng
c) Chứng minh rằng: HKSAC.Từ suy HK AI
Bài tập 3: Cho tứ diện S ABC có tam giác ABC vng B SA; ABC a) Chứng minh rằng: BCSAB
b) Gọi AH đường cao SAB Chứng minh rằng: AH SC
Bài tập 4: Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết
;
SASC SBSD
(29)
Trang 29 b) Gọi ,I J trung điểm cạnh BA BC, Chứng minh rằng:
IJ SBD
Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD có ABC DBC hai tam giác Gọi I trung điểm BC
a) Chứng minh rằng: BCAID
b) Vẽ đường cao AH AID Chứng minh rằng: AH BCD
Bài tập 6: Cho tứ diện OABC có OA OB OC, , đơi vng góc với Gọi H hình chiếu vng góc điểm O lên mặt phẳngABC Chứng minh rằng:
a) BC OAH
b) H trực tâm tam giác ABC c) 12 12 12 12
OH OA OB OC
d) Các góc tam giácABC nhọn
Bài tập 7: Cho hình chóp S ABCD , có đáy hình vng cạnh a Mặt bên SAB tam giác đều; SAD tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I J, trung điểm
AB CD
a) Tính cạnh tam giác SIJ chứng minh: SI SCD SJ; SAB b) Goị H hình chiếu vng góc S IJ Chứng minh rằng: SH AC c) Gọi M điểm thuộc đường thẳng CD cho: BM SA
Tính AMtheo a
Bài tập 8: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh ,a mặt bên SAB tam giác SC a Gọi H K trung điểm cạnh AB AD
a) Chứng minh rằng: SH ABCD
(30)
Trang 30 Bài tập 9: Cho hình chóp S ABCD, có đáy hình chữ nhật ABa BC; a mặt bên SBC vuông ,B mặt bên SCD vng D có SDa
a) Chứng minh rằng: SAABCD tính SA
b) Đường thẳng qua A vng góc với AC, cắt đường thẳng CB CD, , I J Gọi H hình chiếu A SC Hãy xác định giao điểm
,
K L SB SD, với mặt phẳng HIJ Chứng minh rằng: ;
AK SBC AL SCD
c) Tính diện tích hình AKHL
Bài tập 10: Cho MAB vuông M mặt phẳng P Trên đường thẳng vuông góc với P A ta lấy điểm C D, hai bên điểm A Gọi C' hình chiếu C MD H, giao điểm AM CC'
a) Chứng minh rằng: CC'MBD
b) Gọi K hình chiếu H AB CMR: K trực tâm BCD
Bài tập 11: Cho tam giác ABC, cạnh a Gọi D điểm đối xứng A qua BC Trên đường thẳng vng góc với mpABC D lấy điểm S cho SDa Chứng minh hai mặt phẳng SAB SAC vng góc với
Bài tập 12: Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD vng góc với mặt phẳng DBC Vẽ đường cao BE DF, BCD, đường cao DK
ACD
a) Chứng minh rằng: ABBCD
b) Chứng minh hai mặt phẳng ABE DFK vng góc với
mpADC
c) Goị O H trực tâm tam giác BCD ADC Chứng minh rằng: OH ACD
(31)
Trang 31 a) Chứng minh SAC SBD
b) Gọi BE DF , hai đường cao SBD.
Chứng minh rằng: ACF SBC, AEF SAC
Bài tập 14: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a,
SA ABCD Gọi M N, điểm thuộc hai cạnh BC DC, cho
2
a
BM ,
3
4
a
DN Chứng minh mặt phẳng SAM SMN vng góc với
Bài tập 15: Cho tam giác ABC vuông A Vẽ BB' CC' vng góc với mpABC
a) Chứng minh ABB' ACC'
b) Gọi AH AK , đường cao ABC A BC' Chứng minh hai mặt phẳng BCC B' ' AB C' ' vng góc với mặt phẳng AHK
Bài tập 16: Cho tam giác ABC vuông A có ABc AC, b Gọi P mặt phẳng qua BC vng góc với mpABC; S điểm di động P cho
SABC hình chóp có hai mặt bên SAB SAC, hợp với đáy ABC hai góc có số đo
2
Gọi H I J, , hình chiếu vng góc S , ,
BC AC AB
a) Chứng minh rằng: SH2 HI HJ
b) Tìm giá trị lớn SH tìm giá trị nhỏ
Bài tập 17: Cho hình tứ diện ABCD có ABBCa, ACb, ,
DBDCx AD y Tìm hệ thức liên hệ a b x y, , , để: a) Mặt phẳng ABC BCD
(32)
Trang 32
D
B C
A S
Bài tập 18: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a có góc A 600, cạnh
2
a
SC SCABCD a) Chứng minh rằng: SBD SAC
b) Trong tam giác SCA kẻ IK SA K Tính độ dài IK c) Chứng minh BKD900 từ suy SAB SAD BÀI TỐN 4: GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
1 Phương pháp xác định góc hai đường thẳng a b chéo
Cách 1: a b, a b', ' ', 'a b hai đường thẳng cắt song song với a b Tức là, chọn hai đường thẳng cắt song song với
a b
Cách 2: a b, a b', ' b' đường thẳng cắt đường thẳng a song song với b Tức chọn a (hoặc b) điểm A từ chọn đường thẳng qua
A song song với b (hoặc a ) 2 Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh ,a
3,
SAa SABC Tính góc hai đường thẳng SD BC
Giải: Ta có: BC/ /AD
/ /
90
BC AD
SAD
SA BC
Do đó,
(SD BC, )(SD AD, )SDA
Xét tam giác SAD vng A ta có: tanSDA SA 3 SDA 600 AD
(33)
Trang 33
2a 2a
a 3
I N
M
B D
C A
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABCD2 a Gọi M N, trung điểm
BC AD, MN a 3 Tính góc hai đường thẳng AB CD? Giải: Gọi I trung điểm BD Ta có:
/ /
( , ) ( , )
/ /
IN AC
AB CD IM IN
IM CD
Xét tam giác IMN có:
, 3
IM IN a MN a Do đó, 2
2
0
2 3 1
cos
2 2
120
a a
MIN
a MIN
Vậy: 0
(AB CD, ) 180 120 60 Các điểm cần ý giải ví dụ 2:
+ Việc tìm góc hai đường thẳng AB CD thơng qua góc hai đường thẳng
IM IN nhờ vào giả thiết MN a 3.
+ Một số em đồng (IM IN, )MIN chưa xác mà
0
( , )
180 MIN IM IN
MIN
Đến ta giải quết theo hai hướng:
+ Chứng minh góc MIN 900
+ Tính cụ thể góc MIN sau dựa vào giá trị góc MIN để kết luận giá trị góc hai đường thẳng AB CD
Ví dụ 3: (A-2008) Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có độ dài cạnh bên ,a đáy
ABC tam giác vng ,A ABa AC, a 3. Hình chiếu vng góc A' lên mpABC trung điểm BC Tính cosin góc hai đường thẳng AA'
' '
(34)
Trang 34 Giải: Gọi H trung điểm BC
Ta có: '/ / ' ( ', ' ') ' '/ / ( ', ) AA BB
AA B C B C BD
BB BD Hay,
cos( ', ' ') cos( ', )
cos '
AA B C BB BD HBB
Xét tam giác A’B’H có
' 90 , ' '
A A B a,
2 2 ' ' ' 3 2 A H AA AH
BC AA a
, HB' A H' A B' '2 2a
Do đó,
2 2
' ' 1
cos '
2. . ' 4
BH BB HB HBB
BH BB
Vậy cos( ', ' ') cos ' 1 4 AA B C HBB
Các điểm cần ý giải ví dụ 3: + Áp dụng cách để giải toán
+ Điểm mấu chốt tốn tìm độ dài HB’ thông qua nhận xét A’H vng góc với mp(A’B’C’)
BÀI TỐN 5: GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1.Phương pháp xác định góc đường thẳng d mặt phẳng P
+ Tìm I d ( )P
+ Tìm A thuộc d kẻ AH vng góc với P
+ ( ,( ))d P AIH
(35)
Trang 35 2.Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh ,a
(SAB)(ABCD), H trung điểm AB, SH HC SA, AB Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng
ABCD Giải:
Ta có: 1 ,
2 2
a
AH AB SAABa,
2 5
. 2 a SH HC BH BC
Vì
2
2
4 a
SA AH AH nên tam giác SAH vuông A hay SAAB
mà (SAB)(ABCD). Do đó, SA(ABCD) AC hình chiếu vng góc
SC lên mpABCD
Ta có: (SC ABCD,( ))SCA, tan 2 2 SA SCA
AC
Vậy góc đường thẳng SC mặt phẳng ABCD góc có tang 2
2 Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình vng cạnh ,a SA vng góc với mặt phẳng đáy, SAa 6. Tính sin góc
giữa:
a) SC SAB b) AC SBC Giải:
a) Ta có: BC AB (gt) SABC (vì
( )
SA ABCD ) BC (SAB)
a H
D
B C
A S
D
B C
A S
(36)
Trang 36 Do SB hình chiếu vng góc SC mpSAB
(SC SAB,( )) BSC
Ta có:
2
sin( ,( )) sin
2
SC SAB BSC
BC a
SC SA AC
b)
Trong mpSAB kẻ AH SB H ( SB)
Theo câu a) BC(SAB)AH BC nên AH (SBC) hay CH hình chiếu
vng góc AC mpSBC.(AC SBC,( )) ACH
Xét tam giác vng SAB có: 1 2 12 12 72 . 6
6 AH a 7
AH AB SA a
+ Vậy sin( ,( )) sin 21
7 AH
AC SBC ACH
AC
BÀI TỐN 6: GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
1.Phương pháp xác định góc hai mặt phẳng cắt P Q
+ Tìm giao tuyến ( )P ( )Q
+ Trong P tìm a vng góc với , Q tìm b vng góc với a b, cắt I
+ P , Q a b,
Chú ý:Trong số trường hợp u cầu tính góc hai mặt phẳng chúng ta áp dụng cơng thức hình chiếu để tính
Cơng thức hình chiếu: Gọi hình H có diện tích S ; hình H' hình chiếu H mặt phẳng có diện tích ';S góc mặt phẳng chứa H
mp Lúc đó, ta có cơng thức sau: S'S.cos 2 Các ví dụ mẫu
(37)
Trang 37 Tính số đo góc BA C' DA C'
Giải:
Kẻ BH A C' , (HA C' )(1) Mặt khác, ta có: BD AC (gt),
' ( ) '
AA ABCD AA BD
( ') '
BD ACA BD A C
(2)
Từ (1) (2) suy ra:
' ( ) '
A C BDH A CDH Do đó, ((BA C' ),(DA C' ))(HB HD, )
+ Xét tam giác vuông BCA' có:
2 2
1 1 1 3
' 2
2 2
. .
3 3
BH BC BA a
BH a DH a
+ Ta có:
2 2 cos 120 2 BH BD BHD BHD BH
Vậy
((BA C' ),(DA C' ))60 AB. Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng
' ' '
ABC A B C đáy ABC tam giác cân ,
AB ACa BAC120 ,0 BB'a
I trung điểm CC' Tính cosin góc hai mpABC AB I' Giải:
Ta thấy tam giác ABC hình chiếu vng góc tam giác AB I' lên mặt phẳng ABC Gọi góc hai mặt phẳng ABC AB I' Theo cơng thức hình chiếu ta có:
(38)
Trang 38 Ta có:
2
1 3
. . .sin120
2 4
ABC
a
S AB AC
2 5
, 2 a
AI AC CI AB' AB2 BB'2 a 2,
2 13
' ' ' ' .
2 a
IB B C IC Suy ra: Tam giác AB’I vuông A nên
'
1 10
. '.
2 4
AB I
a
S AB AI
Vậy
'
3 cos
10
ABC AB I
S S
2.4 Bài tập
Bài tập 1: (B-2008) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh ,a SAa SB, a 3,(SAB)(ABCD) Gọi M N, trung điểm AB
và BC Tính cosin góc hai đường thẳng SM DN
Bài tập 2: Cho hình chóp S ABC cạnh đáy ,a cạnh bên 2 3 3 a
Tính góc SA mpABC
Bài tập 3: Cho hình chóp S ABC , SA(ABC) a) Xác định góc ABC SBC
b) Giả sử tam giác ABC vuông B Xác định góc hai mpABCvà SBC Bài tập 4: Cho hình chóp tứ giác S ABCD đáy ABCD hình vng cạnh ,a
SASBSCSDa Tính cosin góc SAB SAD
Bài tập 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh ,a tâm O
SO ABCD Gọi M N, trung điểm cạnh SA BC Biết
0 (MN ABCD,( )) 60
a) Tính MN SO
(39)
Trang 39 Bài tập 6: Cho hình chóp S ABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a,
SA ABCD SAa 6.Tính góc giữa: a) SC ABCD
b) SC SAB c) SB SAC
d) AC SBC
Bài tập 7: Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh ,a AA'ABC
Đường chéo BC' mặt bên BCC B' ' hợp với ABB A' ' góc 300 a) Tính AA'
b) Gọi N trung điểm cạnh BB' Tính góc MN BA C' '
Bài tập 8: Cho hình chóp S ABC , có đáy ABC tam giác vuông cân với ;
BABCa SAABC SAa Gọi ,E F trung điểm cạnh AB
và AC
a) Tính góc hai mặt phẳng SAC SBC b) Tính góc hai mặt phẳng SEF SBC
Bài tập 9: Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AB2 ;a SAABCD SAa
a) Tính góc hai mặt phẳng SAD SBC b) Tính góc hai mặt phẳng SBC SCD
Bài tập 10: Cho hình vng ABCD cạnh a SA, ABCD SAa Tính góc cặp mặt phẳng sau:
(40)
Trang 40 c) SAB SCD
Bài tập 11: Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm , 3;
a
O OB SA ABCD
a
SO
a) Chứng minh rằng: ASC900
b) Chứng minh hai mặt phẳng SAB SAD vng góc
c) Tính góc hai mặt phẳng SBC ABC
BÀI TOÁN 7: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM M ĐẾN mp P
Cách 1:
+ Tìm mp Q chứa M vng góc với mp P theo giao tuyến
+ Từ M hạ MH vng góc với H + MH d M P ,
Cách 2:
+ Kẻ / / P Ta có: d M P , d, P
+ Chọn N Lúc đó, d M P , d, P d N P , Cách 3:
+ Nếu MN( )P I Ta có:
,,
d M P MI d N P NI
+ Tính d N P , MI NI + d M P , MI.d N P ,
NI
(41)
Trang 41 2 Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC đáy ABC có cạnh a, mặt bên tạo với đáy
một góc Tính d A SBC( ,( )) theo a Giải:
+ Gọi I trung điểm BC
+ Ta có: SI BC BC (SAI)
AI BC
SIA
+ Kẻ AH SI (HSI) mà
( ) ( )
SI SAI SBC nên AH (SBC) Do đó, d A SBC( ,( )) AH
+ Mặt khác, xét tam giác vng AHI có: 3
.sin .sin
2 a
AH AI
Vậy, ( ,( )) 3.sin
2 a
d A SBC AH
Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình vng cạnh ,a SA(ABCD), SA2 a
a) Tính d A SBC( ,( )) b) Tính d A SBD( ,( )) Giải:
a) Kẻ AH SB (HSB) (1)
Ta có: SA(ABCD)SABC (*) (gt) (**)
ABBC
Từ (*) (**) suy ra: BC (SAB)BC AH (2) Từ (1) (2) ta có: AH (SBC) hay d A SBC( ,( )) AH
O
D
C B
A S
H K
I A
B
C S
(42)
Trang 42 + Mặt khác, xét tam giác vng SAB có: 1 2 12 12 52 2
4 5
a AH
AH AB SA a Vậy, ( ,( )) 2
5 a d A SBC
b) Gọi OACBD
Kẻ AK SB (KSO) (1)
Ta có: SA(ABCD)SABD (*) AC BD (gt) (**) Từ (*) (**) suy ra: BD(SAC)BCAK (2)
Từ (1) (2) ta có: AK (SBD) hay d A SBD( ,( )) AK
+ Mặt khác, xét tam giác vng SAO có: 1 2 1 2 12 92 2
4 3
a AK
AK AO SA a Vậy, ( ,( )) 2
3 a d A SBD
Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình vng cạnh ,a tam giác SAB
đều, (SAB)(ABCD) Gọi ,I Flần lượt trung điểm AB AD Tính
( ,( ))
d I SFC Giải:
Gọi K FCID
+ Kẻ IH SK (HK) (1) + Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
SAB ABCD
SAB ABCD AB
SI ABCD
SI SAB
SI AB
(*) SI FC
+ Mặt khác, Xét hai tam giác vuông AID DFC có: AI DF, AD DC
K F I
C S
B
A D
(43)
Trang 43 Suy ra, AID DFCAIDDFC ADI, DCF mà
0
90 90
AID ADI DFCADI hay FCID (**) + Từ (*) (**) ta có: FC(SID)IH FC (2)
Từ (1) (2) suy ra: IH (SFC) hay d I SFC( ,( ))IH + Ta có:
2 2
3 1 5
, ,
2
3
10
a a a
SI ID DK
DK DC DF a
a
IK ID DK
Do đó, 12 12 12 322 3 2
9 8
a IH
IH SI IK a Vậy,
3 2
( ,( ))
8 a d I SFC Ví dụ 4: (B-2011) Cho lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' ', ABCD hình chữ nhật,
, 3
ABa ADa Hình chiếu vng góc 'A ABCD trùng với giao điểm AC BD Tính d B( ',( 'A BD))
Giải:
+ Gọi O ACBD
Vì ' / / 'B C C D nên B C' / /A BD' Do đó,
( ',( ' )) ( ' ,( ' )) ( ,( ' ))
d B A BD d B C A BD d C A BD
+ Trong mặt phẳng ABCD kẻ CH BD, (HBD) (1) Mặt khác:
' ( )
' (2)
A O ABCD A O CH
Từ (1) (2) suy ra: CH ( 'A BD)d B( ',( 'A BD))CH
+ Xét tam giác vng BCD có: 1 2 12 1 2 42 3
3 4
a CH
CH BC CD a
C' B'
D'
O
C B
D A
A'
(44)Trang 44 J I M B S D A C H
Vậy: ( ',( ' )) 3
4 a d B A BD CH
Ví dụ 2: (A-2013) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông ,A
0 30
ABC , SBC tam giác cạnh a, (SBC)(ABC) Tính d C SAB( ,( )). Giải:
+ Trong mặt phẳng ABC vẽ hình chữ nhật ABDC Gọi M I J, , trung điểm BC CD, AB
Lúc đó, CD/ /SAB hay
( ,( )) ( ,( )) ( ,( ))
d C SAB d CD SAB d I SAB + Trong mặt phẳng (SIJ) kẻ
, ( ) (1)
IH SJ HSJ Mặt khác, ta có:
( )
( ) (2)
IJ AB
SM ABC AB SM
AB SIJ AB IH
Từ (1) (2) suy ra: IH (SAB) hay d C SAB( ,( ))IH
+ Xét tam giác SIJ có: 1 . 1 . .
2 2
SIJ
SM IJ S IH SJ SM IJ IH
SJ
Với:
0 .sin 30
2 a
IJ AC BC , 3 2 a
SM , 2 13
4 a
SJ SM MJ
Do đó: . 39
13 SM IJ a IH
SJ
Vậy ( ,( )) 39
13 a d C SAB
Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D,
, ,
ABADa CD a SDa, SD(ABCD) a) Tính d D SBC( ,( ))
(45)
Trang 45
E
B M
A
D C
S
H
Giải:
Gọi M trung điểm CD, E giao điểm hai đường thẳng AD BC a) Trong mặt phẳng SBD kẻ DH SB, (HSB) (1)
+ Vì 1
2
BM AD CDTam giác BCD vuông B hay BCBD (*)
Mặt khác,
( ) (**)
SD ABCD SDBC Từ (*) (**) ta có:
( ) (2)
BC SBD BCDH Từ (1) (2) suy ra: DH (SBC) hay
( ,( ))
d D SBC DH
+ Xét tam giác vng SBD có:
2 2
1 1 1 3 2 3
2 3
a DH
DH SD BD a Vậy, ( ,( )) 2 3
3 a d D SBC
b) Ta có: ( ,( )) 1 ( ,( )) 1 ( ,( )) 3
( ,( )) 2 2 3
d A SBC AE AB a
d A SBC d d SBC
d D SBC DE CD
Vậy, ( ,( )) 3 3 a d A SBC
Ví dụ 4: (D-2011) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng ,B
3 ,
BA a BC a, (SBC)(ABC SB), 2a 3,SBC300 Tính d B SAC( ,( )). Giải:
+ Trong mặt phẳng SBC kẻ SM BC M ( BC) mặt phẳng ABC kẻ
( )
MN AC NAC mặt phẳng SMN kẻ MH SN N ( SN) Suy ra,
( ) ( ,( ))
(46)
Trang 46 M
B
C
A
S
N H
+ Ta có:
.sin 30 3
SM SB a ,
.cos30 3
BM SB aCM a,
. 3
5 AB CM a MN
AC
Xét tam giác vng SMN có:
2 2
1 1 1 28 3
9 28
3
( ,( ))
28
a MH
MH SM MN a
a d M SAC
+ Mặt khác, ta có:
( ,( ))
4
( ,( ))
6
( ,( )) 4 ( ,( ))
7 d B SAC BC
d M SAC MC
a d B SAC d M SAC
Vậy ( ,( )) 6 7 a d B SAC
BÀI TOÁN 8: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 1 Cách tính khoảng cách hai đường thẳng chéo d d'
Cách 1:
+ Xác định đường thẳng vuông góc chung d d' + Tính độ dài đoạn vng góc chung
Cách 2:
+Tìm mp P chứa d' song song với d
+ Khi d d d( , ')d d P( ,( ))d A P( ,( )) với Ad
Chú ý:Mp(P) có sẵn phải dựng (Cách dựng: qua điểm
'
(47)
Trang 47 Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có ABa, tất
cạnh cịn lại a Tính d AB CD( , ) Giải:
+ Gọi ,I J trung điểm CD AB + Vì ACD BCD tam giác nên:
, ( ) (1)
CDAI CDBI CD AIB CDIJ
Mặt khác, ACD ACD nên tam giác AIB cân I Do đó, IJ AB (2)
+ Từ (1), (2) suy ra: IJ đường vng góc chung AB CD
+ Ta có:
2 2
2 3 26
2 2
a a a
IJ AI AJ
Vậy ( , ) 26
a d AB CD
Ví dụ 2: (A_2010) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi ,
M N trung điểm AB AD H, giao điểm CN
DM SH (ABCD SH), a Tính d DM SC( , ). Giải:
+ Trong mpSCH kẻ HK SC(1), (KSC) + Mặt khác:
( ) (*) ( ) SH ABCD SH DM DM ABCD
Xét hai tam giác vuông AMD DNC có AM DN AD, DC AMD DNC
Từ ta có: 0
0
90 90
90
AMD DNC
ADM DCN DNC ADM NHD
(48)
Trang 48 hay DM CN (**)
Từ (*), (**) suy ra: DM (SCH)DM HK (2)
Từ (1), (2) suy ra: HK đoạn vng góc chung DM SC
+ Ta có: HCD DCN
2
2
2 3
CD a a
HC
CN CD DN
Xét tam giác vuông SHC ta có:
2 2
1 1 15
5
a HK
HK HC HS a
Vậy ( , ) 15
5
a d DM SC HK
Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' đáy ABC tam giác cạnh ,a
2 '
2 a
AA Tính d AB CB( , '). Giải:
+ Gọi ,I J trung điểm AB A B' ' + Ta có:
/ /( ' ') ( , ') ( ,( ' ')) ( ,( ' '))
AB CA B d AB CB d AB CA B
d I CA B
+ Trong mpCIJ kẻ IH CJ (1), (HCJ) Ta có: ' 'A B IJ (vì ABC A B C ' ' ' hình lăng trụ
đứng) ICA B' ' (vì ∆ABC tam giác đều) nên A B' '(CIJ)IH A B' ' (2) Từ (1), (2) suy ra: IH (CA B' ') hay d AB CB( , ')IH
+ Xét tam giác vuông CIJ có: 12 12 12 42 22 102 30 10
3
a IH IH IC IJ a a a
Vậy ( , ') 30
10
a d AB CB IH
J I
C'
B' A
B
C
A'
(49)
Trang 49 Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh ,a
cạnh bên a 2 Tính d AD SB( , ). Giải:
+ Vì AD/ /SBCd AD SB( , )d AB SBC( ,( )) + Gọi O ACBD ,I J trung điểm AD BC
+ Trong mp SIJ kẻ IH SJ H,( SJ) (1)
Theo giả thiết ta có:
( )
( ) / /
(2)
SO ABCD SO BC
BC SIJ
IJ AB IJ BC
IH BC
Từ (1), (2) suy ra: IH (SBC) hay d AD SB( , )IH
+ Xét tam giác SIJ có:
2
SIJ
SO IJ
S IH SJ SO IJ IH
SJ
Với: IJ=a,
2 . 3, 2
2
a SO SA AO a SJ SB BJ
Suy ra: 21
SO IJ a
IH
SJ
Vậy ( , ) 21
7
a d AD SB IH
Ví dụ 5: Cho hình chóp S ABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh ,a tam giác
SAD tam giác đều, SAD vng góc với mặt phẳng đáy Tính d SA BD( , ). Giải:
+ Qua A kẻ đường thẳng d song song với BD Gọi O ACBD; I M, trung điểm AD OD; N d IM
+ Ta có:
( , ) (( , ), ) ( ,( , ))
d SA BD d SA d BD d M SA d
(50)
Trang 50 + Trong mpSMN kẻ MH SN (1), (HSN)
Theo giả thiết: ( ) (*)
( ) ( )
SI AD
SI ABCD SI d
SAD ABCD
Mặt khác ta có: / /
(**) / /
d BD
BD AO d MN
AO MN
Từ (*), (**) suy ra: d (SMN) d MH (2) Từ (1), (2) suy ra: MH (SA d, )
+ Xét tam giác SMN có:
2
SMN
SI MN
S MH SN SI MN MH
SN
với
2
3 10
, ,
2
a a a
SI MN AO SN SI IN Do đó,
15
5
SI MN a MH
SN
Vậy ( , ) 15
5 a d SA BD
Ví dụ 6: (A-2011) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B, ,
ABBC a hai mặt phẳng SAB SAC vng góc với mặt phẳng ABC Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt
AC N, góc hai mặt phẳng SBC ABC 60 Tính d AB SN( , ). Giải:
+ Gọi I trung điểm BC
Do MN/ /BC nên N trung điểm AC Do đó, / /
IN AB hay (d AB SN, )d AB SNI( ,( )) + Trong mpABC kẻ AJ IN J,( IN) (*) Trong mpSAJ kẻ AH SJ H,( SJ) (1) + Theo giải thiết ta có:
( ) ( )
( ) (**)
( ) ( )
SAB ABC
SA ABC SA IN
(51)
Trang 51 Từ (*), (**) ta có: IN (SAJ)IN AH (2)
Từ (1), (2) ta có: AH (SIN)d AB SN( , ) AH
+ Ta có: 0
((SBC),(ABC))SBA60 SA AB.tan 60 2a 3; AJ BI a + Xét tam giác vuông SAJ có:
2 2
1 1 13 12
13
12 AH a
AH SA AJ a
Vậy ( , ) 156
13
a d AB SN AH
3.3 Bài tập
Bài tập 1: Cho hình chóp S ABCD SA, a cạnh lại 3 2 a
Chứng minh: SASC Tính d S ABCD( ,( )).
Bài tập 2: (D-2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ', đáy ABC tam giác vuông ,B BAa AA, '2 a Gọi M trung điểm A C I' ', giao điểm
AM A C' Tính d A IBC( ,( ))
Bài tập 3: Cho hình chóp S ABC , SA3 ,a SA(ABC AB), 2 ,a ABC1200 Tính d A SBC( ,( ))
Bài tập 4: (D-2007) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang ,
90
ABCBAD , BABCa AD, 2 ,a SA(ABCD), SAa 2 Gọi H hình chiếu A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính d H SCD( ,( )) Bài tập 5: Cho hình chóp S ABCD, có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh ,a
0 60
BCD đường cao SOa Tính d AD SB( , ).
Bài tập 6: (D-2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác vng cân ,B BABCa, AA'a Gọi M trung điểm BC Tính
( , ' ).
(52)
Trang 52 Bài tập 7: (B-2007) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh ,a E điểm đối xứng với D qua trung điểm SA Gọi M N, trung điểm AE BC Chứng minh rằng: MN BD Tính d MN AC( , ).
Bài tập 8: Cho hình tứ diện OABC, OAOBOCa Gọi I trung điểm BC Hãy dựng tính độ dài đoạn vng góc chung cặp đường thẳng sau:
a) OA BC b) AI OC
Bài tập 9: Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O
SA ABCD SAa Tính khoảng cách hai đường thẳng: a) SC và BD. b) AC và SD
Bài tập 10: Cho tứ diện S ABC có SAABC Gọi H K, trực tâm tam giác ABC SBC;
a) Chứng minh đường thẳng AH SK BC, , đồng quy b) Chứng minh rằng: SC BHK;HK SBC.
c) Xác định đoạn vng góc chung SA BC; Bài tập 11: Cho tứ diện ABCD
a) Chứng minh ACBD AD, BC đường vng góc chung ,
AB CD đoạn thẳng nối trung điểm I K, hai cạnh AB CD;
b) Chứng minh đoạn thẳng nối trung điểm I K, hai cạnh ,
AB CD tứ diện ABCD đoạn vng góc chung AB CD,
,
ACBD ADBC
Bài tập 12: Cho hình vng ABCD cạnh a,, I trung điểm AB
SI ABCD
2
a
IS Gọi M N P, , trung điểm cạnh BC SD SB, , Hãy dựng tính độ dài đoạn vng góc chung cặp đường thẳng:
(53)
Trang 53 Bài tập 13: Cho hình chóp S ABCD, có SAABCD SAa đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD2 a
a) Tính khoảng cách từ ,A B đến mặt phẳng SCD b) Tính khoảng cách từ AD đến mặt phẳng SBC.
c) Tính diện tích thiết diện hình chóp S ABCD với mặt phẳng P song song với mặt phẳng SAD cách SAD khoảng
4
a
Bài tập 14: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có AA'ABC AA'a đáy ABC tam giác vng A có BC 2 ;a ABa
a) Tính khoảng cách từ AA' đến mặt phẳng BCC B' ' b) Tính khoảng cách từ A đến A BC' .
c) Chứng minh ABACC A' ' tính khoảng cách từ 'A đến mặt phẳng
ABC'.
Bài tập 15: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a,
SA ABCD SA2 a
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC, từ C đến mặt phẳng SBD b) M N, trung điểm AB AD; Chứng minh MN/ /SBD tính khoảng cách từ MN đến SBD
c) Mặt phẳng P qua BC cắt cạnh SA SD, theo thứ tự , E F Biết AD cách P khoảng
2
a
, tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng P diện
(54)
Trang 54 Bài tập 16: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a
60
BAD Gọi O ACBD Đường thẳng SOABCD 3
4
a
SO Gọi E trung điểm BC, F trung điểm BE
a) Chứng minh rằng: SOF SBC
b) Tính khoảng cách từ ,O A đến mặt phẳng SBC
(55)
Trang 55 Hiệu Quả Của Sáng Kiến Kinh Nghiệm:
Qua trình giảng dạy đúc kết kinh nghiệm nhận thấy để dạy cho học sinh học tốt mơn hình học khơng gian cần phải hệ thống lại kiến thức, nắm phương pháp chứng minh, lập luận chặt chẽ, lơgíc, Ngồi cần giúp cho học sinh tư hình ảnh, rèn kỹ vẽ hình Từ giúp học sinh tiếp thu kiến thức ngày tốt hơn, hiệu giảng dạy giáo viên nâng dần
Kết thực nghiệm:
Kết kiểm tra tiết Chương Hình học khơng gian lớp 11
Lớp Sỉ số Năm học Tỉ lệ
Dưới TB Trên TB
11C3 30 2015-2016 15 15
11C9 29 2015-2016 13 16
11C1 34 2016-2017 32
11C8 34 2016-2017 27
11C1 34 2017-2018 34
(56)
Trang 56 KẾT LUẬN
1 Ý Nghĩa Của Sáng Kiến Kinh Nghiệm:
Nhằm tạo động lực thúc đẩy học sinh tích cực học tập, góp phần nâng cao hiệu giảng dạy cho thân nói riêng kết giáo dục nhà trường nói chung 2 Khả Năng Ứng Dụng:
Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng rộng rãi cho học sinh khối 11 Khả ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm phương pháp đặt vấn đề, phân tích, hướng dẫn học sinh giải vấn đề
3 Bài Học Kinh Nghiệm, Hướng Phát Triển
Như nêu trên, muốn cho học sinh học tốt mơn hình học khơng gian giáo viên cần phải có số kỹ sau:
+ Kỹ vẽ hình trình bày lời giải
+ Kỹ nêu vấn đề hướng dẫn học sinh giải vấn đề, giúp học sinh biết tư trực quan hình vẽ
Giáo viên phải tâm huyết, nhiệt tình, gương mẫu quan tâm đến học sinh, giúp đỡ em để em không cảm thấy áp lực học tập Luôn tạo tình có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tịi học tập học sinh Phải thường xun học hỏi trau dồi chun mơn để tìm phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh 4 Kiến Nghị, Đề Xuất:
Nhằm giúp cho học sinh học tốt với mơn hình học không gian, thân kiến nghị với Ban giám hiệu có kế hoạch mua bổ sung thiết bị dạy học, trang bị thêm phòng giáo án điện tử, Tổ chuyên môn cần tổ chức hội giảng, buổi trao đổi phương pháp giảng dạy, nhằm giúp cho việc giảng dạy giáo viên thuận lợi