1-Xác định tọa độ các điểm A1 đối xứng với điểm A qua đƣờng thẳng d1 2- Xác định tọa độ các điểm A2 đối xứng với điểm A qua đƣờng thẳng d2 3-Viết phƣơng trình tổng quát đƣờng thẳng d3 đi[r]
(1)www.VNMATH.com PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG VỚI TAM GIÁC I-TAM GIÁC ABC BIẾT TỌA ĐỘ ĐỈNH A VÀ PHƢƠNG TRÌNH HAI ĐƢỜNG CÙNG TÊN MỖI ĐƢỜNG ĐI QUA MỘT TRONG HAI ĐỈNH CÒN LẠI Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1 ;y1) ,hai đƣờng cao BB’ và CC’ tƣơng ứng có phƣơng trình : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) a/Tìm tọa độ các đỉnh B,C b/Viết phƣơng trình tham số đƣờng thẳng chứa trung tuyến AM ∆ABC Hƣớng dẫn : Các bƣớc giải 1- Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d3) - chứa cạnh AC :Đi qua A và vuông góc với (d1) tức là nhận vtcp đƣờng thẳng (d1) làm vtpt 2- Giải hệ phƣơng trình : pt (d2) và pt (d3) đƣợc tọa độ đỉnh C 3- Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d4) - chứa cạnh AB :Đi qua A và vuông góc với (d2) tức là nhận vtcp đƣờng thẳng (d2) làm vtpt 4- Giải hệ phƣơng trình : pt (d1) và pt (d4) đƣợc tọa độ đỉnh B 5-Xác định tọa độ trung điểm M BC ,viết pt đƣờng thẳng AM : qu A có vtcp là AM Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1 ;y1) ,hai đƣờng trung tuyến BM và CN tƣơng ứng có phƣơng trình : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) a/Tìm tọa độ các đỉnh B,C b/Viết phƣơng trình tổng quát đƣờng trung trực cạnh AC ∆ABC Hƣớng dẫn : Các bƣớc giải 1-Giải hpt : pt (d1) và pt (d2) đƣợc tọa độ trọng tâm G tam giác ABC 2-Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua điểm G -Tứ giác BGCA’ là hình bình hành nên từ đây xác định đƣợc tọa độ các đỉnh B,C 3-Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d3) :đi qua A’ và song song với (d1) 4-Giải hpt : pt (d2) và pt (d3) đƣợc tọa độ đỉnh C 5-Xác định tọa độ trung điểm M GA’,điểm M là trung điểm BC nên ta xác định đƣợc tọa độ đỉnh B 6-Viết phƣơng trình đƣờng trung trực cạnh AC : qua M và có vtpt là BC Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1 ;y1) ,hai đƣờng phân giác các góc :ABC và ACB tƣơng ứng có phƣơng trình : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) a/Tìm tọa độ các đỉnh B,C b/Viết phƣơng trình tổng quát đƣờng trung trực cạnh BC ∆ABC Hƣớng dẫn : Các bƣớc giải Lop12.net (2) www.VNMATH.com 1-Xác định tọa độ các điểm A1 đối xứng với điểm A qua đƣờng thẳng (d1) 2- Xác định tọa độ các điểm A2 đối xứng với điểm A qua đƣờng thẳng (d2) 3-Viết phƣơng trình tổng quát đƣờng thẳng (d3) qua A1 và A2 – đây là đƣờng thẳng chứa cạnh BC (Vì ∆CAA1 và ∆BAA2 cân nên A1 và A2 nằm trên đƣờng thẳng BC) 4- Giải hpt : pt (d2) và pt (d3) đƣợc tọa độ đỉnh C 5- Giải hpt : pt (d1) và pt (d3) đƣợc tọa độ đỉnh B 6-Xác định tọa độ trung điểm M BC 7-Viết pt đƣờng thẳng (d4) qua M và vuông góc với BC , (d4) là trung trực BC Bài toán 4*: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1 ;y1) ,hai đƣờng trung trực các cạnh AB , BC tƣơng ứng có phƣơng trình là : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) a/Tìm tọa độ các đỉnh B,C b/Viết phƣơng trình tổng quát đƣờng trung trực cạnh AC ∆ABC Hƣớng dẫn : Các bƣớc giải 1- Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H điểm A trên đƣờng thẳng (d1) 2-Xác định tọa độ đỉnh C đối xứng với điểm A qua điểm H 3- Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc K điểm C trên đƣờng thẳng (d2) 4- Xác định tọa độ đỉnh B đối xứng với điểm C qua điểm K 5-Xác định tọa độ trung điểm M AC,Viết pt đƣờng thẳng (d3): qua M và vuông góc với AC, (d3) là đƣờng trung trực cạnh AC II-TAM GIÁC ABC BIẾT TỌA ĐỘ ĐỈNH A VÀ PHƢƠNG TRÌNH HAI ĐƢỜNG KHÁC TÊN CÙNG ĐI QUA MỘT TRONG HAI ĐỈNH CÒN LẠI Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1 ;y1) ,đƣờng cao BB’ và trung tuyến BM tƣơng ứng có phƣơng trình : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) a/Tìm tọa độ các đỉnh B,C b/Viết phƣơng trình tham số đƣờng thẳng chứa cạnh AC ∆ABC Hƣớng dẫn : Các bƣớc giải 1- Giải hpt : pt (d1) và pt (d2) đƣợc tọa độ đỉnh B 2- Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d3) - chứa cạnh AC :Đi qua A và vuông góc với (d1) tức là nhận vtcp đƣờng thẳng (d1) làm vtpt 3-Giải hpt : pt (d2) và pt (d3) đƣợc tọa độ trung điểm M cạnh AC 4-Xác định tọa độ đỉnh C (M là trung điểm AC) Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1 ;y1) ,đƣờng cao BB’ và phân giác góc ABC tƣơng ứng có phƣơng trình : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) Lop12.net (3) www.VNMATH.com a/Tìm tọa độ các đỉnh B,C b/Viết phƣơng trình tổng quát đƣờng thẳng chứa trung tuyến CM ∆ABC Hƣớng dẫn : Các bƣớc giải 1- Giải hpt : pt (d1) và pt (d2) đƣợc tọa độ đỉnh B 2- Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đƣờng thẳng (d2) ,ta có ∆BAA’ cân đỉnh B nên A’ nằm trên đƣờng thẳng BC 3-Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d3) – chứa cạnh BC : qua hai điểm B và A’ 4-Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d4) –chứa cạnh AC : qua A và vuông góc với đƣờng thẳng (d1) 5-Giải hpt : pt (d3) và pt (d4) đƣợc tọa độ đỉnh C 6-Xác định tọa độ trung điểm M AB,Viết phƣơng trình trung tuyến CM Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1 ;y1) ,đƣờng trung tuyến BM và đƣờng phân giác góc ABC tƣơng ứng có phƣơng trình là: ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) a/Tìm tọa độ các đỉnh B,C b/Viết phƣơng tổng quát đƣờng thẳng chứa cạnh AB ∆ABC Hƣớng dẫn : Các bƣớc giải 1-Giải hpt : pt (d1) và pt (d2) đƣợc tọa độ đỉnh B 2-Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đƣờng thẳng (d2), ta có ∆BAA’ cân đỉnh B nên A’ nằm trên đƣờng thẳng BC 3-Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d3) – chứa cạnh BC : qua hai điểm B và A’ 4- Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d4) qua A và song song với đƣờng thẳng (d3) 5- Giải hpt : pt (d2) và pt (d4) đƣợc tọa độ đỉêm D,ta có tứ giác ABCD là hình bình hành 6-Xác định tọa độ trung điểm M BD,điểm M là trung điểm AC , xác định đƣợc tọa độ đỉnh C 7- Viết phƣơng trình đƣờng thẳng AB Bài toán 4*: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1;y1) ,đƣờng trung tuyến BM và đƣờng trung trực cạnh AC tƣơng ứng có phƣơng trình là: ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) -Tìm tọa độ các đỉnh B,C Hƣớng dẫn : Các bƣớc giải 1-Xác định tọa độ đỉnh C: Điểm C đối xứng với điểm A qua (d2) 2-Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua (d1),ta có ∆BAA’ cân đỉnh B nên A’ nằm trên đƣờng thẳng BC Lop12.net (4) www.VNMATH.com 3-Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d3) –chứa cạnh BC : qua hai điểm C và A’ 4- Giải hpt : pt (d1) và pt (d3) đƣợc tọa độ đỉnh B III-TAM GIÁC ABC BIẾT TỌA ĐỘ ĐỈNH A VÀ PHƢƠNG TRÌNH HAI ĐƢỜNG KHÁC TÊN MỖI ĐƢỜNG ĐI QUA MỘT TRONG HAI ĐỈNH CÒN LẠI Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1;y1) ,đƣờng cao BB’ và trung tuyến CM tƣơng ứng có phƣơng trình : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) -Tìm tọa độ các đỉnh B,C Hƣớng dẫn : Các bƣớc giải 1-Giải hpt: pt (d1) và pt (d2) đƣợc tọa độ giao điểm K (d1) và (d2) 2-Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d3) –chứa cạnh AC : Đi qua A và vuông góc với (d1) 3-Giải hpt: pt (d2) và pt (d3) đƣợc tọa độ đỉnh C 4-Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d4) qua A và song song với (d1) 5-Giải hpt : pt (d2) và pt (d4),xác định tọa độ giao điểm P (d2) và (d4) ,ta có tứ giác ABPK là hình bình hành 6-Xác định tọa độ trung điểm M PK ,ta có M là trung điểm AB Xác định đƣợc tọa độ đỉnh B Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1;y1) ,đƣờng cao BB’ và phân giác góc ACB tƣơng ứng có phƣơng trình : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) -Tìm tọa độ các đỉnh B,C Hƣớng dẫn : Các bƣớc giải 1- Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d3) –chứa cạnh AC : Đi qua A và vuông góc với (d1) 2- Giải hpt: pt (d2) và pt (d3) đƣợc tọa độ đỉnh C Xác định tọa độ điểm A’đối xứng với điểm A qua (d2) ,ta có ∆CAA’ cân đỉnh C nên A’ nằm trên đƣờng thẳng BC 3- Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d4) –chứa cạnh BC : qua hai điểm C và A’ 4- Giải hpt: pt (d1) và pt (d4) đƣợc tọa độ đỉnh B Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1;y1) ,trung tuyến BM và phân giác góc ACB tƣơng ứng có phƣơng trình : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) -Tìm tọa độ các đỉnh B,C Hƣớng dẫn : Các bƣớc giải 1- Giải hpt: pt (d1) và pt (d2) đƣợc tọa độ giao điểm K (d1) và (d2) 2- Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d3) qua A và song song với (d2) Lop12.net (5) www.VNMATH.com 3- Giải hpt: pt (d1) và pt (d3) đƣợc tọa độ giao điểm P (d1) và (d3),tứ giác APCK là hình bình hành 4- Xác định tọa độ trung điểm M PK,điểm M là trung điểm AC,xác định đƣợc tọa độ đỉnh C 5- Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đƣờng thẳng (d2) , ta có ∆CAA’ cân đỉnh C nên A’ nằm trên đƣờng thẳng BC 6- Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d4) –chứa cạnh BC : qua hai điểm C và A’ 7- Giải hpt: pt (d1) và pt (d4) đƣợc tọa độ đỉnh B Bài toán 4*: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1;y1) ,trung tuyến BM và đƣờng trung trực cạnh BC tƣơng ứng có phƣơng trình : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) -Tìm tọa độ các đỉnh B,C Hƣớng dẫn : Các bƣớc giải 1-Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d3) qua điểm A và vuông góc với (d2) 2- Giải hpt : pt (d1) và pt (d3) đƣợc tọa độ giao điểm D (d1) và (d3),tứ giác ABCD là hình bình hành.Gọi N là trung điểm BC,ta có AD = 2BN −ax −c 3-Điểm B nằm trên (d1) nên có tọa độ : B(x2; ) = (x2 ;y2) Điểm N nằm trên (d2) nên có b −a ′ x −c ′ ) = (x3;y3) ,ta có BN(x3-x2 ; y3- y2) 𝑥𝐴𝐷 = 2𝑥𝐵𝑁 Do đó : AD = 2BN Đây thực chất là hệ hai phƣơng trình hai ẩn : x2 ; x3 𝑦𝐴𝐷 = 2𝑦𝐵𝑁 Tìm đƣợc x2 ; x3 tức là tìm đƣợc tọa độ các đỉnh B ,C tọa độ N(x3; b′ MỘT VÀI LƢU Ý : 1/Giả thiết cho tọa độ đỉnh A và phƣơng trình đƣờng cao BB’ (hay CC’) trung trực cạnh AB (hay trung trực cạnh AC) Thì nghĩ tới viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua A và vuông góc với đƣờng thẳng đó 2/ Giả thiết cho tọa độ đỉnh A và phƣơng trình đƣờng trung tuyến BM (Hay trung tuyến CN) Ta phải nghĩ tới tạo thành hình bình hành ,kẻ song song Vì trung tuyến liên quan đến trung điểm ,hình bình hành có hai đƣờng chéo cắt trung điểm đƣờng – có liên quan với 3/ Giả thiết cho tọa độ đỉnh A và phƣơng trình đƣờng phân giác góc tam giác Ta phải nghĩ tới lấy đối xứng điểm A qua đƣờng phân giác đó để tạo thành tam giác cân và có A’ nằm trên đƣờng thẳng BC.Vì phân giác liên quan đến tam giác cân Những liên tƣởng nhƣ trên giúp ta nhanh chóng tìm đƣợc định hƣớng cho lời giải bài toán Thị trấn Lạt,Tháng 02/2011 TRẦN ĐỨC NGỌC Lop12.net (6)