Đang tải... (xem toàn văn)
Các bài tập tính toán tổng hợp về dạng lượng giác của số phức a Phương pháp giải Đưa số phức về dạng lượng giác rồi sử dụng các công thức Moivre để tính toán các đại lượng theo yêu cầu c[r]
(1)NguyÔn V¨n Thuþ-Gia B×nh Chuyên đề: số phức Chủ đề1: dạng đại số số phức Céng, trõ, nh©n, chia sè phøc A cñng cè kiÕn thøc Số phức: Một biểu thức dạng z = a + bi, đó a và b là số thực và i thỏa mãn i = -1 ®îc gäi lµ mét sè phøc a ®îc gäi lµ phÇn thùc, b ®îc gäi lµ phÇn ¶o i gọi là đơn vị ảo TËp c¸c sè phøc ®îc kÝ hiÖu lµ Sè phøc cã phÇn ¶o b»ng gäi lµ sè thùc nªn R Sè phøc cã phÇn thùc b»ng gäi lµ sè ¶o = + 0i lµ sè võa thùc võa ¶o Hai sè phøc b»ng z a+bi (a,b ) z' a'+b' i (a',b' ) a a ' z z' b b ' Céng, trõ hai sè phøc z a+bi (a,b ) z' a'+b' i (a',b' ) z + z' (a + a' ) + (b + b') i z z' (a - a') + (b - b' )i Số đối số phức z = a + bi là số phức - z = - a - bi; z + (-z) = Nh©n hai sè phøc z a+bi (a,b ) z' a'+b' i (a',b' ) zz' aa ' bb ' (ab ' a ' b)i M«®un cña sè phøc, sè phøc liªn hîp z = a +bi (a, b ) th× m«®un cña z lµ z = a +b2 z = a +bi (a, b ) th× sè phøc liªn hîp cña z lµ z = a - bi Ta cã: zz' = z z' , zz a b z z + z' = z + z', zz'=z z', z = z z lµ sè thùc vµ chØ z = z Chia cho sè phøc kh¸c Nếu z = a + bi (a, b ) khác không thì số phức nghịch đảo z là z-1= z z Thương z' cho z khác không là: z' z' z' z' z'z z' z'z-1 Ta cã: , z z z zz z z BiÓu diÔn h×nh häc cña sè phøc Lop12.net (2) NguyÔn V¨n Thuþ-Gia B×nh Số phức z = a + bi (a, b ) biểu diễn M(a; b) mặt phẳng toạ độ Oxy hay cßn gäi lµ mÆt ph¼ng phøc Trôc Ox biÓu diÔn c¸c sè thùc gäi lµ trôc thùc, trôc Oy biÓu diÔn c¸c sè ¶o gäi lµ trôc ¶o Số phức z = a + bi (a, b ) biểu diễn vectơ u (a; b) , đó M(a; b) lµ ®iÓm biÓu diÔn cña sè phøc z = a + bi (a, b ) còng cã nghÜa lµ OM biÓu diÔn sè phức đó Ta cã:NÕu u, v theo thø tù biÓu diÔn c¸c sè phøc z, z' th× u v biÓu diÔn sè phøc z + z', u v biÓu diÔn sè phøc z - z', k u (k ) biÓu diÔn sè phøc kz, OM u z , víi M lµ ®iÓm biÓu diÔn cña z B C¸c d¹ng bµi tËp Xác định tổng, hiệu, tích, thương các số phức a) Phương pháp giải - ¸p dông c¸c quy t¾c céng, trõ, nh©n, chia hai sè phøc, chó ý c¸c tÝnh chÊt giao ho¸n, kết hợp các phép toán cộng và nhân b) C¸c vÝ dô VÝ dô 1: T×m ph©n thùc, phÇn ¶o cña c¸c sè phøc sau a) i + (2 - 4i) - (3 - 2i); b) (1 i )3 (2i )3 Bµi gi¶i a) Ta cã: i + (2 - 4i) - (3 - 2i) = ((0 + 2) + (1 - 4)i) + (- + 2i) = (2 - 3) + (-3 + 2)i = -1 - i Vậy số phức đã cho có phần thực là - 1, phần ảo là - b) Sö dông c¸c quy t¾c céng, trõ, nh©n hai sè phøc ta cã (1 i)3 (1)3 3(1)2 i 3(1)i i3 2i (2i)3 (2)3 (i)3 8i Do đó nhận kết bài toán là + 10i VÝ dô 2: TÝnh 1 i 2 Bµi gi¶i 3 i i 2 2 i Ta cã : 2 1 i i 2 2 VÝ dô 3: TÝnh i i i3 i 2009 Bµi gi¶i Ta cã: i 2010 (1 i)(1 i i i3 i 2009 ) Mµ i 2010 Nªn i i i3 i 2009 i i i3 i 2009 i VÝ dô 4: TÝnh (1 i)100 Lop12.net , hay lµ 1 i (3) NguyÔn V¨n Thuþ-Gia B×nh Bµi gi¶i NhËn thÊy (1 i)2 (1 i)(1 i) 2i Suy (1 i)100 ((1 i)2 )50 (2i)50 (2)50 (i)50 250 VÝ dô 5: Cho sè phøc z i z z 0; z z ; z3 z H·y chøng minh r»ng: Bµi gi¶i 3 i Nªn z z ( i ) ( i) ; Do z 2 2 2 i 1 2 i Suy z z L¹i cã z 2 z i 2 H¬n n÷a ta cã z3 VÝ dô 6: T×m sè phøc z, nÕu z z Bµi gi¶i Đặt z = x + yi, đó z z ( x yi)2 x y x y x y xyi x y y x y x y 2 xy y x x x x y y (1 y ) y y x (do x 0) x (1 x ) y x 0, y x 0, y x 0, y 1 y 0, x VËy cã ba sè phøc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn lµ z = 0; z = i; z = - i Biểu diễn số phức mặt phẳng toạ độ a) Phương pháp giải Để biểu diễn số phức cần dựa vàođịnh nghĩa và các tính chất sau: NÕu sè phøc z ®îc biÓu diÔn bëi vect¬ u , sè phøc z' ®îc biÓu diÔn bëi vect¬ u ' , th× Lop12.net (4) NguyÔn V¨n Thuþ-Gia B×nh z + z' ®îc biÓu diÔn bëi u u ' ; z - z' ®îc biÓu diÔn bëi u u ' ; - z ®îc biÓu diÔn bëi u b) C¸c vÝ dô Ví dụ 1: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z Tìm tập hợp nh÷ng ®iÓm M(z) tháa m·n ®iÒu kiÖn sau a) z i ; b) z i z Bµi gi¶i a) §Æt z = x + yi suy z - + i = (x - 1) + (y + 1)i Nªn hÖ thøc z i trë thµnh ( x 1) ( y 1) ( x 1) ( y 1) Vậy tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn gi¶ thiÕt lµ ®êng trßn t©m I(1; - 1) b¸n kÝnh R = b) Gọi A (- ; 0), B(0 ; 1) Khi đó z i z z (2) z i hay là M(z)A = M(z)B VËy tËp hîp c¸c ®iÓm M(z) lµ ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB Nhận xét: Với phần b ta có thể thức cách giải đã làm phần a Tuy nhiên để thể thực cách giải là ta đã dựa váo nhận xét sau: Nếu véctơ u mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài vectơ u là u z , và từ đó các điểm A, B theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì AB z z ' VÝ dô 2: Trong c¸c sè phøc z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn z 3i T×m sè phøc z cã modul nhá nhÊt Bµi gi¶i XÐt biÓu thøc z 3i (1) Đặt z = x + yi Khi đó (1) trở thành ( x 2) ( y 3)i ( x 2)2 ( y 3)2 Do đó các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn (1) nằm trên đường tròn (C) tâm I(2; -3) vµ b¸n kÝnh R = y O H x M -3 Ta có z đạt giá trị nhỏ và Lop12.net I (5) NguyÔn V¨n Thuþ-Gia B×nh điểm M nằm trên đường tròn (C) và gần O Do đó M là giao điểm (C) và đường th¼ng OI, víi M lµ giao ®iÓm gÇn O h¬n Ta có OI = 13 Kẻ MH Ox Theo định lí ta lét có MH OM OI 13MH 13 13 2 13 13 13 78 13 26 13 13 OH OH 13 26 13 L¹i cã 13 13 13 MH VËy sè phøc cÇn t×m lµ z 26 13 78 13 i 13 26 VÝ dô 3: Chøng minh r»ng víi mäi sè phøc z, w, ta cã z w z w §¼ng thøc x¶y nµo? Bµi gi¶i Gọi A, B, C là các điểm biểu diễn các số phức z, w, z + w Ta cã z OA, w OB, z w OC Tõ OC OA + AC suy z w z w H¬n n÷a OC = OA + AC vµ chØ O, A, C th¼ng hµng vµ A thuéc ®o¹n th¼ng OC Khi O A (hay z 0) điều đó có nghĩa là có số k để AC kOA tức là w = kz (Cßn z = 0, râ rµng z w z w ) Vậy z w z w và z = z thì tồn k R để w = kz c c©u hái vµ bµi tËp Chứng minh với số phức z, w ta có z w z w Dấu xảy nµo? Trong mÆt ph¼ng phøc, bèn ®iÓm ph©n biÖt A, B, C, D theo thø tù biÓu diÔn c¸c sè phøc z, w, u, v tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt: a) z w u v ; b) z + w + u + v = Cho sè phøc z = m + (m - 3)i, m R a) Tìm m để biểu diễn số phức nằm trên đường phân giác thứ hai y = - x; x b) Tìm m để biểu diễn số phức nằm trên hypebol y ; c) Tìm m để khoảng cách điểm biểu diễn số phức đến gốc toạ độ là nhỏ Xác định tập hợp các điểm mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ z thøc 3 z i XÐt c¸c ®iÓm A, B, C mÆt ph¼ng phøc theo thø tù biÓu diÔn c¸c sè phøc 4i 6i ; (1 i)(1 2i); i 1 3i a) Chøng minh ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n; b) T×m sè phøc biÓu diÔn bëi ®iÓm D cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh vu«ng Lop12.net (6) NguyÔn V¨n Thuþ-Gia B×nh Chủ đề 2: Căn bậc hai số phức và phương trình bậc hai A KiÕn thøc cÇn nhí §Þnh nghÜa c¨n bËc hai cña sè phøc Cho sè phøc w mçi sè phøc z tho¶ m·n z2 = w ®îc gäi lµ mét c¨n bËc hai cña sè phøc w a) NÕu w lµ sè thùc + w < th× cã hai c¨n bËc hai: wi & wi + w th× cã hai c¨n bËc hai: w & w b) Nếu w là số phức đó ta thực các bước: + Giả sử w= a + ib, đặt z = x + iy là bậc hai w tức là: z w đó ta có hệ: x y a (1) (2) 2 xy b Bình phương vế (1) và (2) cộng lại ta x y a b x y a (1) Do vËy ta ®îc hÖ: 2 2 (2') x y a b Giải hệ tìm x và y suy x và y để tìm z Chó ý: Theo (2) ta cã nÕu b > th× x, y cïng dÊu NÕu b < th× x, y tr¸i dÊu Công thức nghiệm phương trình bậc hai hệ số phức Cho PT: ax bx c 0; (1) (a, b, c , a 0) vµ cã b 4ac + NÕu pt cã hai nghiÖm lµ x1 Trong đó là bậc hai b b ; x2 2a 2a + NÕu = th× pt cã nghiÖm kÐp: x1 x2 b 2a B C¸c d¹ng bµi tËp Giải phương trình bậc a) Phương pháp giải Biến đổi phương trình dạng Az + B = 0, A, B , A Viết nghiệm z b) VÝ dô Ví dụ 1: Giải phương trình 2iz + - i = Bµi gi¶i Nghiệm phương trình là z B A (1 i ) 1 1 i 2i 2i 2 2 Tính bậc hai và giảiphương trình bậc hai a) Phương pháp giải Sử dụng công thức tính bậc hai số phức để tính bậc hai Sử dụng công thức nghiệm phương trình bậc hai để tìm nghiệm phương trình với chú ý phải đưa đúng dạng phương trình b) C¸c vÝ dô VÝ dô 1: T×m c¨n bËc hai cña c¸c sè phøc sau: a ) 12i c) 33 56i b) 6i d ) 4i Lop12.net (7) NguyÔn V¨n Thuþ-Gia B×nh Bµi gi¶i a) Gäi z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña -5 + 12i tøc lµ x iy 5 12i x y 2ixy 5 12i x y 5 x x y 5 x 2 2 x y 13 y y 3 2 xy 12 x x 2 Do b = 12 > nên x và y cùng dấu từ đó có hoÆc y y 3 VËy -5 + 12i cã c¨n bËc hai lµ z1 =2+3i vµ z2 = -2-3i b) Tương tự ta gọi z = x + iy là bậc hai 8+ 6i tức là x iy 6i x y 2ixy 6i x y x x2 y x 3 2 x y 10 y y 1 2 xy x x 3 Do b= 6> nên x và y cùng dấu từ đó có hoÆc y 1 y 1 VËy + 6i cã c¨n bËc hai lµ 3+i vµ -3-i c) Gäi z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña 33 - 56i tøc lµ x iy 33 56i x y 2ixy 33 56i x y 33 x 49 x y 33 x 7 x y 65 y 16 y 4 2 xy 56 x x 7 Do b = -56 < nên x và y trái dấu từ đó có hoÆc y 4 y VËy c¨n bËc hai cña 33 - 56i lµ 7- 4i vµ -7+i4 d) Gäi z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña -3 +4i tøc lµ x iy 3 4i x y 2ixy 3 4i x y 3 x x y 3 x 1 2 x y y 2 2 xy y x x 1 Do b = > nên x và y cùng dấu từ đó có hoÆc y y 2 VËy c¨n bËc hai cña -3 + 4i lµ + 2i vµ -1-2i Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: a) x 4i x 5i 0; (1) b) x 1 i x i 0; (2) Bµi gi¶i a) Ta cã 4i 5i 1 3 4i Theo kết ví dụ 1d) thì có hai bậc hai là 1+ 2i và -1 - 2i Do đó pt (1) có hai nghiÖm lµ: x1 4i 2i 3i; x2 Lop12.net 4i 2i 1 i (8) NguyÔn V¨n Thuþ-Gia B×nh b) Tương tự ta có 1 i i 6i Theo kết ví dụ 1b) thì có hai bậc hai là + i và -3 - i Do đó pt (2) có hai nghiÖm lµ: x1 1 i i 1; x2 1 i i 2 i Chó ý: PT (2) cã thÓ dïng nhÈm nghiÖm nhê a + b + c = Ví dụ 3: Giải các phương trình sau: a ) x x 0; (1) b) x x 0; (2) c) x3 (3) Bµi gi¶i a) Ta cã = 12- 4.3.2 =-23<0 nªn ta cã hai c¨n bËc hai cña lµ: i 23 & i 23 Tõ đó nghiệm pt (1) là: x1 1 i 23 ; 1 i 23 b) Tương tự ta có = -3 < có hai bậc hai là: i & i nên (2) có các x1 1 i ; x2 nghiÖm lµ: c) Ta cã x2 1 i (3) x 1 x x 1 x 1 x x 0; (*) Theo b) ta cã (*) cã hai nghiÖm lµ x1 nghiÖm cña pt (3) lµ: x1 1; x2 1 i ; 1 i ; x3 x2 1 i Từ đó ta có các 1 i ( C¸c nghiÖm cña pt (3) ®îc gäi lµ c¨n bËc ba cña 1) Ví dụ 4: Chứng minh phương trình bậc hai với hệ số thực có nghiệm phøc th× còng nhËn lµ nghiÖm Bµi gi¶i Gi¶ sö PT bËc hai: ax bx c 0; a, b, c , a nhËn sè phøc lµ nghiÖm tøc lµ ta cã: a b c (1) LÊy liªn hîp hai vÕ cña (1) vµ sö dông tÝnh chÊt liªn hîp cña sè thùc b»ng chÝnh nã th× ta ®îc: a b c a b c §iÒu nµy chøng tá lµ nghiÖm cña pt áp dụng: Chứng tỏ 1+i là nghiệm phương trình x x 5i Tìm nghiệm còn lại pt đó Lop12.net (9) NguyÔn V¨n Thuþ-Gia B×nh Ví dụ 5: Phát biểu và chứng minh định lí đảo và thuận định lí Vi-et phương t×nh bËc hai víi hÖ sè phøc Thuận: Nếu hai số x1 & x2 là hai nghiệm phương trình ax bx c 0; a, b, c , a th× b c x1 x2 & x1 x2 a a Chøng minh Theo c«ng thøc nghiÖm cña pt bËc hai víi hÖ sè phøc ta cã: b b b 2a a 2a 2 c b b b x1 x2 4a a 2a 2a §¶o: NÕu hai sè ; tho¶ m·n: S & P th× ; lµ nghiÖm cña pt: x Sx P (1) x1 x2 Chøng minh x x Ta cã: (1) x x x x §iÒu nµy chøng tá ; lµ nghiÖm cña (1) 2 5i áp dụng: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm 3i; Bµi gi¶i Theo bµi ta cã: 8i vµ 3i 2 5i 23 14i Theo kÕt qu¶ VD5 ta ®îc pt bËc hai cÇn lËp lµ: x 8i x 14i 23 Ví dụ 6: Tìm m để phương trình: x mx 3i có tổng bình phương nghiệm b»ng Bµi gi¶i Theo bµi ta cã: x12 x22 x1 x2 x1 x2 (1) Theo Vi-et ta cã x1 x2 m Thay vµo (1) ta ®îc m 6i m 6i Tøc m lµ mét c¨n bËc x1 x2 3i hai cña 8+6i Theo kÕt qu¶ VD1b/ ta cã gi¸ trÞ cña m lµ: + i vµ -3 - i z12 z22 2i (1) Ví dụ 7: Giải hệ phương trình (2) z1 z2 i Bµi gi¶i Tõ (2) ta cã z z z1 z2 15 8i KÕt hîp víi (1) ta cã z1 z2 5i vËy ta cã hÖ 2 z1 z2 i z1 z2 5i phương trình: Do đó z1 , z2 là nghiệm phương trình z i z 5i Ta cã 5 12i theo VD1a/ ta biÕt cã hai c¨n bËc hai lµ: + 3i vµ -2 - 3i Lop12.net (10) NguyÔn V¨n Thuþ-Gia B×nh i 3i z 3i z1 2i VËy ta cã HoÆc i i z i z 2i 2 Ví dụ 8: Cho z1 , z2 là hai nghiệm phương trình i z 2i z i Kh«ng gi¶i pt h·y tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: a ) A z12 z22 b) B z12 z2 z1 z22 c) C z1 z2 z2 z1 Bµi gi¶i 2i 2 i z1 z2 3 1 i Theo Vi-et ta cã: z z 1 i 1 1 i i 3 a) Ta cã A z1 z2 3 2 23 11 30 z1 z2 i i i 3 3 9 b) 2 5 2 10 B z1 z2 z1 z2 i i i 3 3 9 2 z z2 A 6 26 i c) Ta cã C z1 z2 18 1 1 i 3 VÝ dô 9: Gi¶i pt: z z 25 (1) Bµi gi¶i 2 Đặt z t Khi đó (1) có dạng: t 6t 25 (2) Ta cã: ' 16 cã hai c¨n bËc hai lµ 4i vµ - 4i nªn pt (2) cã hai nghiÖm lµ t1 4i vµ t2 4i MÆt kh¸c + 4i cã hai c¨n bËc hai lµ: + i vµ -2 - i cßn - 4i cã hai c¨n bËc hai lµ: - i vµ -2 + i nªn pt (1) cã nghiÖm lµ: z1 i; z2 2 i; z3 i; z4 2 i C c©u hái vµ bµi tËp Bµi 1: T×m c¸c c¨n bËc hai cña c¸c sè phøc sau: a) 8+6i b) 3+4i c) i 1 i 2 1 i 1 i e) f) 1 i i Bµi 2: Gäi u1 ; u2 lµ hai c¨n bËc hai cña z1 4i vµ v1 ; v2 lµ hai c¨n bËc hai cña z2 4i TÝnh u1 u2 v1 v2 ? 1 d) 1 i 1 i Lop12.net (11) NguyÔn V¨n Thuþ-Gia B×nh a ) z 2iz 2i b) z 14i z 12 5i Bài 3: Giải các phương trình sau: c) z 80 z 4099 100i d) e) z i z i 13 z cos i sin z i cos sin Bµi 4: T×m c¸c c¨n bËc ba cña vµ -8 Bài 5: Giải các phương trình trùng phương: a ) z 1 i z 63 16i b) z 24 1 i z 308 144i z1 z2 z2 z1 Bài 6: Cho z1 , z2 là hai nghiệm phương trình: z i z 3i Kh«ng gi¶i pt h·y tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: a ) A z12 z22 b) B z12 z2 z1 z22 c) C d ) D z13 z23 e) E z2 z13 z1 z23 1 2 1 2 f ) F z1 z2 z2 z1 z1 z2 Bµi 7: Gi¶i c¸c hÖ pt u v 4uv a) u v 2i z 2i z b) z i z Chủ đề : Dạng lượng giác số phức A KiÕn thøc cÇn nhí I Số phức dạng lượng giác Acgumen cña sè phøc z Cho sè phøc z Gäi M lµ ®iÓm mÆt ph¼ng phøc biÓu diÔn sè phøc z Khi đó số đo (radian) góc lượng gi¸c tia ®Çu Ox, tia cuèi OM ®îc gäi lµ mét Acgumen cña z y b O M a Chú ý: + Nếu là Acgumen z thì Acgumen z có dạng: + k2 , k Z + Acgumen z xác định sai khác k2 , k Z Dạng lượng giác số phức Lop12.net x (12) NguyÔn V¨n Thuþ-Gia B×nh Cho sè phøc Z = a+bi, (a, b R), víi r = a b lµ modun cña sè phøc z vµ lµ Acgumen cña sè phøc z Dạng z = r (cos +isin ) gọi là dạng lượng giác số phức z 0, còn dạng z = a + bi gọi là dạng đại số số phức z II Nhân và chia số phức dạng lượng giác NÕu z = r(cos +isin ), z' = r' (cos '+isin ') (r vµ r' ) th× zz' = rr ( cos ( ' ) i sin( ' )) z r cos( ') i sin( ') (khi r' > 0) z' r' III C«ng thøc Moa-Vr¬ vµ øng dông C«ng thøc Moa- Vr¬ n r (cos i sin ) r n (cos n i sin n ) cos i sin n cos n i sin n , n N * C¨n bËc n cña mét sè phøc Víi z = r(cos +isin ), r > 0, cã hai c¨m bËc hai cña z lµ r (cos i sin ) ; r (cos i sin ) r (cos( ) i sin( )) 2 2 B c¸c d¹ng Bµi tËp Viết số phức dạng lượng giác a) Phương pháp Víi mçi sè phøc z = a + bi: TÝnh r = a 2 b TÝnh cos = a b ,sin từ đó suy acgumen z r r Sử dụng công thức lượng giác số phức cho ta z = r (cos i sin ) b) C¸c vÝ dô Ví dụ 1: Viết các số phức sau dạng lượng giác a )(1 i 3)(1 i ) b) c) z sin i cos 1 i 1 i Bµi gi¶i ) i sin( ) ; còn i cos i sin Do đó 3 4 (1 i 3)(1 i ) 2 cos( ) i sin( ) 12 12 a) Ta cã i cos( b) Tõ phÇn trªn ta cã kÕt qu¶ 1 i 7 7 cos i sin 1 i 12 12 c) Ta cã z sin i cos cos( ) i sin( ) VËy z cos( ) i sin( ) 2 2 Ví dụ 2: Tuỳ theo góc , hãy viết số phức sau dạng lượng giác Lop12.net (13) NguyÔn V¨n Thuþ-Gia B×nh (1 cos i sin )(1 cos i sin ) Bµi gi¶i XÐt sè phøc z = (1 cos i sin )(1 cos i sin ) , ta cã z (2sin 4sin 2 i.2sin cos 2sin (sin (sin cos cos )(2 cos i.2sin cos ) 2 2 i cos )(cos i sin ) 2 2 sin 2 2sin sin i cos cos i (cos sin )) Hay z = 2sin (sin - icos ) (*) + NÕu sin , th× tõ (*) cã z = 2sin cos( ) i.sin( ) lµ d¹ng sè phøc cÇn 2 t×m + NÕu sinh < 0, th× tõ (*) ta cã z 2sin ( sin i cos ) 2sin cos( ) i.sin( ) là dang lượng giác cần 2 t×m + Nếu sinh = 0, thì z = 0, nên không có dạng lượng giác xác định Các bài tập tính toán tổng hợp dạng lượng giác số phức a) Phương pháp giải Đưa số phức dạng lượng giác sử dụng các công thức Moivre để tính toán các đại lượng theo yêu cầu bài tập b) C¸c vÝ dô VÝ dô 1: T×m phÇn thùc vµ phÇn ¶o cña mçi sè phøc sau a) (1 i )10 ( i )9 b) cos i sin i (1 3i )7 3 1 c) z 2009 2009 , nÕu z z z Bµi gi¶i 10 2(cos i sin ) 10 (1 i ) 4 9 ( i) 2(cos i sin 6 5 5 25 (cos i sin ) 2 a) XÐt sè phøc 3 3 29 (cos i sin ) 2 1 (cos i sin ) 16 VËy phÇn thùc b»ng , phÇn ¶o b»ng 16 b) XÐt sè phøc Lop12.net (14) NguyÔn V¨n Thuþ-Gia B×nh cos i sin i (1 3i ) 3 cos( ) i sin( ) i 2(cos i sin ) 3 3 7 7 27 cos( ) i sin( ) (cos i sin )i 3 3 27 cos 2 i sin 2 i 27 i VËy phÇn thùc cña sè phøc b»ng 0, phÇn ¶o b»ng 27 128 c) Tõ z2 z 1 z 3i cos i sin z 3 3i cos( ) i sin( ) z 3 Víi z cos i sin , ta cã 3 z 2009 2009 (cos i sin ) 2009 ( ) 2009 z 3 cos i sin 3 2009 (cos i sin ) (cos( ) i sin( )) 2009 3 3 2009 2009 2009 2009 (cos i sin )(cos i sin ) 3 3 2 2 cos(669 ) 2 cos 3 z VËy phÇn thùc c¶u sè phøc b»ng 1, phÇn ¶o b»ng VÝ dô 2: TÝnh tæng sau S (1 i ) 2008 (1 i ) 2008 Bµi gi¶i Ta cã i sin ) (1 i ) 2008 21004 (cos 502 i sin 502 ) 4 i 2(cos i sin ) 2(cos( ) i sin( )) 4 4 2008 1004 (1 i ) (cos(502 ) i sin(502 )) 1005 Do đó S cos(502 ) 21005 i 2(cos VÝ dô 3: Chøng minh r»ng c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c c¨n bËc ba cña lËp thµnh mét tam giác Bµi gi¶i Xét phương trình z trên , có nghiệm dạng z r (cos i sin ) Khi đó z r (cos 3 i sin 3 ) r 3 k 2, k Do đó phương trình trên có đúng ba nghiệm ứng với ba giá trị k là Lop12.net (15) NguyÔn V¨n Thuþ-Gia B×nh Víi k = ta cã z = cos0 + isin0 = 1; 2 2 i sin i 3 4 4 i sin i Víi k = ta cã z = cos 3 Víi k = ta cã z = cos ; Nên có ba bậc ba đó là các số phức xác định trên Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C là điểm biểu diễn các số phức z , z , z Khi đó OA OB OC 1; 2 AOB ; 2 BOC Từ đó suy tam giác ABC là tam giác C C©u hái vµ bµi tËp Bài 1: Viết các số phức sau dạng lượng giác: b ( - i )(1 i ) a - i d - itan e tan 5 i c 1 i 1 i f 1-cos i sin ( R, k 2 , k Z ) Bµi 2: Cho sè phøc: – 4i vµ 1+ i Tìm Modun và Acgumen các số phức là đối liên hợp số phức trên và viết chúng dạng lượng giác Bài 4: Tìm dạng lượng giác các số phức sau: z ; , biÕt: z a, z = r ( cos i sin ) , r >0 b, z = + i Bµi 5: T×m c¸c c¨n bËc cña 1? CMR tæng cña chóng b»ng 0? Bµi 6: Rót gän hÕt dÊu c¨n ë mçi biÓu thøc sau a, 1 b, c, i d, 1 i 2 Bài 7: Cho số phức z = a + bi Một hình vuông tâm là gốc toạ độ 0, các cạnh song song với các trục toạ độ và có độ dài Xác định a,b để tìm điểm biểu diễn số thực z a, N»m h×nh vu«ng b, N»m trªn ®êng chÐo cñah×nh vu«ng Bµi 8: Chøng minh r»ng a z1 z + z1 z2 = (1+ z1 )(1+ z ) Bµi 9: TÝnh a cos a + cos (a+b) + cos (a+2b) +…+ cos(a+nb) b sin a + sin (a+b) + sin (a+2b) +…+ sin (a+nb) Lop12.net b z1 z ( z1 z ) z1 z z1 z2 (16)