Chuyên đề ôn thi đại học môn toán - Số phức và áp dụng doc

THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003 1 CHUYÊN : S PHC VÀ ÁP DNG Trc ht cn thy rng phn s phc mi đc đa vào ging dy trong chng trình THPT mt s nm gn đây nên nhng kin thc trình bày trong SGK mang tính cht ht sc đn gin và khá s sài, hc sinh có th t đc và nghiên cu đc. Trong mt s đ thi H nhng nm gn đây thì phn s phc cng đc đa vào vi nhng bài tp rt c bn, không mang tính đánh đ và ch cn nm đc kin thc trong SGK là có th làm đc. S phc có rt nhiu ng dng trong đi s, hình hc và lng giác, gii quyt đc nhiu bài toán hay và khó. Vì đi vi hs ph thông ln đu tiên tip xúc vi s phc nên cn lu ý mt s đim sau đây: Th nht: V vic xây dng tp s phc thì SGK ko trình bày( vì nhiu lý do), chúng ta ch cn hiu rng nó là mt tp m rng ca tp s thc và vì th các phép toán trong tp phc( cng, nhân) cng có nhng tính cht nh trong tp thc ( phân phi, giao hoán, kt hp,…). Chng hn vi a và b là 2 s thc thì ta có: 2 2 2 (a b) a 2ab b     và khi đó nu z và w là 2 s phc thì ta cng thu đc 2 2 2 (z w) z 2zw w     . Th hai: Tp s thc là mt tp sp thc t, tc là vi 2 s thc a và b bt k ta đu s sánh đc vi nhau ( a = b hoc a > b hoc a < b), còn tp s phc thì không nh vy: Ta ch có th nói rng hai s phc bng nhau khi phn thc và phn o tng ng bng nhau còn không h có quan h “ ln hn” hay “ nh hn” gia hai s phc. Chng hn: Ta ko th nói rng vì 2 > 1 và 4 > 3 nên 2 + 4i > 1 + 2i hay là: Vì 2 2 x 0, x z 0, z          . Mt sai lm nh th còn đc th hin trong vic gii pt: 2 2 (z 1)(z 1) 0, z      , vì 2 z 1 1 0    nên pt ch còn là: 2 z 1 0 z 1      ?!!! Th ba: Không nên s dng kí hiu đ ch cn bc hai ca mt s phc vì mi s phc w 0  thì luôn có hai cn bc hai đi nhau. Ta bit rng: 4 2  nhng vì 2 2 (2i) ( 2i) 4     nên s - 4 có hai cn bc hai là 2i  và vì th 4 2i    . Hn na nu s dng kí hiu trên thì có th mc sai lm khi tính toán: Nu s dng 1  đ ch cn bc hai ca – 1 thì ta phi có: 1  . 1  = -1. Tuy nhiên cng có th vit: 1  . 1  = ( 1).( 1) 1 1     và nh vy 1 = -1 ?!!! Th t: Vic đa ra đn v o “ s i” và có: i 2 = -1 là rt gng ép bi vi kin thc đc trang b trong SGK thì HS ko th bit đc “ i là cái gì?” và ti sao i 2 = - 1?. HS ch cn hiu rng: Khi m rng mt tp s mi, ngi ta s đnh ngha s mi đó theo mt cách khác và các phép toán áp dng cho s mi đó cng phi đc xây dng li. Tuy nhiên vì nhiu lí do, nhng kin thc đó ko trình bày trong SGK. Th nm: nh lý Viet thun và đo vn đúng trong trng hp phng trình bc 2 vi h s phc. Vic nhm nghim, phân tích thành tha s,…vn đc tin hành bình thng nh trên tp s thc. Chuyên đ trên đc chia thành 3 chuyên đ nh nh sau: Chuyên đ 1: Dng đi s ca s phc Chuyên đ 2: Dng lng giác ca s phc Chuyên đ 3: ng dng ca s phc. THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003 2 CHUYÊN  1: DNG I S CA S PHC A. TÓM TT LÝ THUYT 1. Mt s phc là mt biu thc có dng a + bi, trong đó a, b là các s thc và s i tho mãn i 2 = -1. Ký hiu s phc đó là z và vit z = a + bi . i đc gi là đn v o a đc gi là phn thc ; b đc gi là phn o ca s phc z = a + bi Tp hp các s phc ký hiu là  . *) Mt s lu ý: - Mi s thc a đu đc xem nh là s phc vi phn o b = 0. - S phc z = a + bi có a = 0 đc gi là s thun o hay là s o. - S 0 va là s thc va là s o. 2. Hai s phc bng nhau. Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Khi đó: z = z’  ' ' a a b b      3. Biu din hình hc ca s phc. Mi s phc đc biu din bi mt đim M(a;b) trên mt phng to đ Oxy. Ngc li, mi đim M(a;b) biu din mt s phc là z = a + bi . 4. Phép cng và phép tr các s phc. Cho hai s phc z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta đnh ngha: ' ( ') ( ') ' ( ') ( ')              z z a a b b i z z a a b b i 5. Phép nhân s phc. Cho hai s phc z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta đnh ngha: ' ' ' ( ' ' )     zz aa bb ab a b i 6. S phc liên hp. Cho s phc z = a + bi. S phc z = a – bi gi là s phc liên hp vi s phc trên. V y z = a bi  = a - bi Chú ý: +) z = z  z và z gi là hai s phc liên hp vi nhau. +) z. z = a 2 + b 2 *) Tính cht ca s phc liên hp: (1): z z  (2): ' '    z z z z (3): . ' . ' z z z z  (4): z. z = 2 2 a b  (z = a + bi ) (5): 1 1 2 2        z z z z THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003 3 7. Môđun ca s phc. Cho s phc z = a + bi . Ta ký hiu z là môđun ca s phc z, đó là s thc không âm đc xác đnh nh sau: - Nu M(a;b) biu din s phc z = a + bi, thì z = OM  = 2 2 a b  - Nu z = a + bi, thì z = . z z = 2 2 a b  *) Chú ý: +) Nu z là s thc (z=a+0i), 2 | | | |   az a . Vy Môđun ca mt s thc chính là giá tr tuyt đi ca s y. +) 2 2 2 2 | | | | | |      a b a z a z ≥ a. Tng t | | | |   z b b *) Tính cht ca Môđun s phc: | | 0 0    z z ; 1 2 1 2 | | | | | |  z z z z ; 1 1 2 2 | | | |  z z z z Tht vy: 2 2 | 0 | 00 0        a b a b zz 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 | | ( )( ) ( )( ) | | | |     z z z z z z z z z z z z z z z z 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 | | | | | | | | | || |     z z z z z z z z 8. Phép chia s phc khác 0. Cho s phc z = a + bi ≠ 0 (tc là a 2 +b 2 > 0 ). Ta đnh ngha s nghch đo z -1 ca s phc z ≠ 0 là s z -1 = 2 2 2 1 1 z z a b z   Thng ' z z ca phép chia s phc z’ cho s phc z ≠ 0 đc xác đnh nh sau: 1 2 ' '. . z z z z z z z    Vi các phép tính cng, tr, nhân chia s phc nói trên nó cng có đy đ tính cht giao hoán, phân phi, kt hp nh các phép cng, tr, nhân, chia s thc thông thng. B. BÀI TP VN DNG I. BÀI TP V BIN I S PHC. VD1 : Cho s phc z = 3 1 2 2 i  . Tính các s phc sau: z ; z 2 ; ( z ) 3 ; 1 + z + z 2 Hng dn Vì z = 3 1 2 2 i   z = 3 1 2 2 i  Ta có : z 2 = 2 3 1 2 2 i          = 2 3 1 3 4 4 2 i i   = 1 3 2 2 i   ( z ) 2 = 2 2 3 1 3 1 3 1 3 2 2 4 4 2 2 2 i i i i                ( z ) 3 =( z ) 2 . z = 1 3 3 1 3 1 3 3 2 2 2 2 4 2 4 4 i i i i i                    THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003 4 Ta có: 1 + z + z 2 = 3 1 1 3 3 3 1 3 1 2 2 2 2 2 2 i i i         Nhn xét: Trong bài toán này, đ tính   3 z ta có th s dng hng đng thc nh trong s thc. VD2: Tìm s phc liên hp ca: 1 (1 )(3 2 ) 3 z i i i      Hng dn Ta có : 3 3 5 5 (3 )(3 ) 10 i i z i i i i           . Suy ra s phc liên hp ca z là: 53 9 10 10 z i   VD3: Tìm mô đun ca s phc (1 )(2 ) 1 2 i i z i     Hng dn Ta có : 5 1 1 5 5 i z i     . Vy, mô đun ca z bng: 2 1 26 1 5 5 z          . VD4: Tìm các s thc x, y tho mãn: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i Hng dn Theo gi thit: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)I  (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i  3 2 1 5 x y y x x y         . Gii h này ta đc: 1 7 4 7 x y           VD5: Tính: i 105 + i 23 + i 20 – i 34 Hng dn  tính toán bài này, ta chú ý đn đnh ngha đn v o đ t đó suy ra lu tha ca đn v o nh sau: Ta có: i 2 = -1; i 3 = -i; i 4 = i 3 .i = 1; i 5 = i; i 6 = -1… Bng quy np d dàng chng minh đc: i 4n = 1; i 4n+1 = i; i 4n+2 = -1; i 4n+3 = -i;  n  N * Vy i n  {-1;1;-i;i},  n  N. Nu n nguyên âm, i n = (i -1 ) -n =   1 n n i i           . Nh vy theo kt qu trên, ta d dàng tính đc: i 105 + i 23 + i 20 – i 34 = i 4.26+1 + i 4.5+3 + i 4.5 – i 4.8+2 = i – i + 1 + 1 = 2 VD6: Tính s phc sau: z = (1+i) 15 Hng dn Ta có: (1 + i) 2 = 1 + 2i – 1 = 2i  (1 + i) 14 = (2i) 7 = 128.i 7 = -128.i z = (1+i) 15 = (1+i) 14 (1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i. THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003 5 VD7: Tính s phc sau: z = 16 8 1 1 1 1 i i i i                  Hng dn Ta có: 1 (1 )(1 ) 2 1 2 2 i i i i i i         1 1 i i i     . Vy 16 8 1 1 1 1 i i i i                  =i 16 +(-i) 8 = 2 VD8: Tìm phn thc và phn o ca s phc 3 2 (3 2 )(2 5 ) (3 ) (4 3 ) i i z i i       Hng dn Tính liên hp ca 2+5i là 2-5i ri nhân vi 3+2i, đc 16-11i Khai trin bình phng ca 4+3i, đc 7+24i Nhân t và mu vi 7-24i, đc (-152- 461i)/25 Khai trin (3+i) 3 , đc 18+26i Thc hin phép tr, kt qu cui cùng là : Phn thc: -602/25 , phn o: -696/25  bài Hng dn áp s 1.T×m c¸c sè nguyªn x,y sao cho sè phøc z x yi   tho¶ m·n 3 18 26 z i   . 3 2 3 2 3 3 18 18 26 3 26 x xy x yi i x y y              ( ) t y = tx x 3, y 1   2 .Cho hai sè phøc 1 2 z z , tho¶ m·n 1 2 1 2 1 3 z z z z   ; . TÝnh 1 2 z z  . 1 1 1 2 2 2 z a b i z a b i    ; . 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 3               a b a b a a b b ( ) ( ) 1 2 1   z z 3.(B – 2009) :Tìm s phc z tha mãn: |z-(2+i)|= 10 và z. z =25 Rt đn gin z = 3+4i z = 5. 4.(A – 2010): Cho 3 (1 i 3) z 1 i    . Tìm môđun ca s phc: z iz  Làm bình thng 8 2 5. (D – 2010): Tìm s phc z sao cho z 2  và z 2 là s thun o ( hay o) Rt nh nhàng 1 i   ( có 4 s) 6.Tìm s phc z bit z 2 + |z| = 0 R t đn gin z= 0; z = i; z = -i 7.Tìm s thc x, y tha mãn đng thc : x(3+5i) + y(1-2i) 3 = 9 + 14i Rt nh nhàng II. BÀI TP V CHNG MINH Trong dng này ta gp các bài toán chng minh mt tính cht, hoc mt đng thc v s phc.  gii các bài toán dng trên, ta áp dng các tính cht ca các phép toán cng, tr, nhân, chia, s phc liên hp, môđun ca s phc đã đc chng minh. THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003 6 VD9: Cho z 1 , z 2   . CMR: E = 1 2 1 2 . z z z z    Hng dn Nhng bài toán dng này thng có 2 cách gii. *) Cách s 1: Chn ra phn t đi din. 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 z a b i E z z z z (a b i)(a b i) (a b i)(a b i) 2a a 2b b E z a b i                      Tuy nhiên cách trên đôi khi quá dài dòng, mang tính cht tính toán và bin đi quá nhiu. Quá lm dng s nh hng ko tt đn vic rèn luyn t duy. *) Cách s 2: S dng mt tính cht quan trng ca s phc liên hp đó là: z    z = z Ta có E = 1 2 1 2 1 2 1 2 . z z z z z z z z    = E  E   ( Tht tuyt vi phi ko?) VD10: Chng minh rng: a) E 1 =     7 7 2 5 2 5 i i     b) E 2 = 19 7 20 5 9 7 6 n n i i i i                    Hng dn a) Ta có: 1 E =             7 7 7 7 7 7 1 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 i i i i i i E              E 1           2 19 7 (9 ) 20 5 (7 6 ) 19 7 20 5 ) 9 7 6 82 85 164 82 170 85 2 2 82 85                                                         n n n n n n n n i i i i i i b E i i i i i i  2 2 E E   E 2   VD11: Cho z   . CMR: 1 1 2 z   hoc |z 2 + 1| ≥ 1 Hng dn Ta chng minh bng phn chng: Gi s 2 1 1 2 1 1 z z          . t z = a+bi  z 2 = a 2 – b 2 + 2a + bi 2 1 1 2 1 1 z z           2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 (1 ) 2( ) 4 1 0 2 ( ) 2( ) 0 (1 ) 4 1 a b a b a a b a b a b a b                          Cng hai bt đng thc trên ta đc: (a 2 + b 2 ) 2 + (2a+1) 2 < 0  vô lý  đpcm VD12: Cho sè phøc 0 z  tho¶ m·n 3 3 1 2 z z   . Chøng minh r»ng: 1 2 z z   . Hng dn THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003 7 DÔ chøng minh ®- îc r»ng víi hai sè phøc 1 2 z z , ta cã 1 2 1 2 z z z z    ( c gi chng minh) Tõ 3 3 3 1 1 1 3z z z z z z                  , suy ra 3 3 3 1 1 1 1 3 2 3z z z z z z z z         §Æt 1 a z z   ta ®- îc 3 2 3 2 0 2 1 0 2 a a a a a          ( )( ) (®pcm).  bài Hng dn 8 * .Chng minh rng nu |z| = |z’| = |z’’| =1 thì : |z+z’+z’’| = |zz’+z’z’’+z’’z| Cách chng minh này vn dng nhiu tính cht ca s phc liên hp, môđun s phc. |z.z’.z’’| = |z|.|z’|.|z’’| = 1. Suy ra . '. '' 1 z z z  . Chú ý thêm tích ca s phc trên và liên hp ca nó thì bng 1 (bình phng môđun). | ' '' | | ' '' | . | . '. '' | | . . '. '' '. '. . '' ''. ''. . ' |         z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z | '. '' ''. . '| | '. '' ''. . ' | | '. '' ''. . ' |          z z z z z z z z z z z z z z z z z z 9. Chng minh rng: Nu |z 1 | = |z 2 | = 1, z 1 .z 2  1 thì A = 1 2 1 2 1 z z z z     Khá nh nhàng 10.CMR : 1 2 1 2 1 2 z z z z z z      Bài 8 ( SGK _ GT 12 – Tr 190) 11.CMR : 1 2 1 2 1 2 z z z z z z      Xem bài 10 12.CMR : 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 z z z z 2( z z )      Sdng : 2 z.z z  2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 z z (z z ).z z (z z )(z z ) OK           13.CMR : 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 z z z z (1 z )(1 z )       Xem bài 12 14.CMR : 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 z z 1 z z (1 z )(1 z )       Xem bài 13 15 * .Gi   H z : z x 1 xi, x        . CMR : Tn ti duy nht s phc z tho mãn : z H : z w , w H     Ch cn ch ra rng có duy nht x sao cho vi mi y ta đu có : 2 2 2 2 (x 1) x (y 1) y      là OK 16 * .Cho a > 0 và gi * 1 V z : z a z            CMR : z V   thì : 2 2 a a 4 a a 4 z 2 2            2 2 4 2 2 2 2 1 1 1 a z (z )(z ) z z z z (a 2) z 1 (z z) 0 z z OK                    THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003 8 III. BÀI TP V PHNG TRÌNH - H PHNG TRÌNH NGHIM PHC. Nói chung v phng pháp gii cng ging nh phng trình và h phng trình thông thng, ch có đim khác bit là thêm mt s phép bin đi liên quan đn s phc mà thôi. Mt khác, trên tp thc thì pt dng đa thc thì có th vô nghim, tuy nhiên trên tp phc thì điu đó ko còn đúng na, vì th mà nói chung các bài toán v pt, h pt trên tp phc thng ‘ dài’ hn trên tp thc. 1. Cn bc hai ca s phc và phng trình bc hai. a) Cn bc hai ca s phc. Bài toán: Cho s phc w = a + bi . Tìm cn bc hai ca s phc này. Phng pháp: +) Nu w = 0  w có mt cn bc hai là 0 +) Nu w = a > 0 (a   )  w có hai cn bc hai là a và - a +) Nu w = a < 0 (a   )  w có hai cn bc hai là ai  và - ai  +) Nu w = a + bi (b  0) Gi s z = x +yi (x, y thuc  ) là mt cn bc hai ca w  z 2 = w  (x+yi) 2 = a + bi  2 2 2 x y a xy b        tìm cn bc hai ca w ta cn gii h này đ tìm x, y. Mi cp (x, y) nghim đúng phng trình đó cho ta mt cn bc hai ca w. Chú ý: Có rt nhiu cách đ gii h này, sau đây là hai cách thng dùng đ gii. *) Cách 1: S dng phng pháp th: Rút x theo y t phng trình (2) th vào pt (1) ri bin đi thành phng trình trùng phng đ gii. *) Cách 2: Ta bin đi h nh sau: 2 2 2 x y a xy b            2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 / 2 2 x y a x y a xy b x y a b xy b xy b                          T h này, ta có th gii ra x 2 và y 2 mt cách d dàng, sau đó kt hp vi điu kin xy=b/2 đ xem xét x, y cùng du hay trái du t đó chn đc nghim thích hp. Nhn xét : Mi s phc khác 0 có hai cn bc hai là hai s đi nhau. VD13:Tìm các cn bc hai ca mi s phc sau: a) 4 + 6 5 i; b) -1-2 6 i Hng dn a) Gi s z = x +yi (x, y thuc  ) là mt cn bc hai ca w = 4 + 6 5 i Khi đó: z 2 = w  (x+yi) 2 = 4 + 6 5 I  2 2 2 2 3 5 (1) 4 45 2 6 5 4 (2) y x y x xy x x                    (2)  x 4 – 4x 2 – 45 = 0  x 2 = 9  x = ± 3  x = 3  y = 5 ; x = -3  y = - 5 THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003 9 Vy s phc w = 4 + 6 5 i có hai cn bc hai là: z 1 = 3 + 5 i và z 2 = -3 - 5 i b) Gi s z = x +yi (x, y thuc  ) là mt cn bc hai ca w = -1-2 6 i Khi đó: z 2 = w  (x+yi) 2 = -1-2 6 i  2 2 2 2 6 (1) 1 6 2 2 6 1 (2) y x y x xy x x                        (2)  x 4 + x 2 – 6 = 0  x 2 = 2  x = ± 2 . x = 2  y = - 3 x = - 2  y = 3 Vy s phc w = 4 + 6 5 i có hai cn bc hai là: z 1 = 2 - 3 i và z 2 = - 2 + 3 i b) Phng trình bc hai Bài toán: Gii phng trình bc hai: Az 2 +Bz +C = 0 (1) , (A, B, C   , A  0) Phng pháp: Tính  = B 2 – 4AC *) Nu   0 thì phng trình (1) có hai nghim phân bit z 1 = 2 B A    , z 2 = 2 B A    (trong đó  là mt cn bc hai ca ,  đây  có 2 cn bc hai, ta chn cn bc hai nào cng đc). *) Nu  = 0 thì phng trình (1) có nghim kép: z 1 = z 2 = 2 B A  VD14: Gii các phng trình bc hai sau: a) z 2 + 2z + 5 = 0 b) z 2 + (1-3i)z – 2(1 + i) = 0 Hng dn a) Xét phng trình: z 2 + 2z + 5 = 0 Ta có:  = -4 = 4i 2  phng trình có hai nghim: z 1 = -1 +2i và z 2 = -1 – 2i. b) Ta có:  = (1-3i) 2 +8(1+i) = 2i. Bây gi ta phi tìm các cn bc hai ca 2i. Gi s z = x +yi (x, y thuc  ) là mt cn bc hai ca w = 2i  2 2 2 2 1 1 1 0 1 2 2 1 0 1 x y y x y x xy x x x y                                      Vy s phc 2i có hai cn bc hai là: 1+i và -1 –i  Phng trình có hai nghim là: z 1 = 3 1 1 2 2 i i i     ; z 2 = 3 1 1 1 2 i i i       Nhn xét: Ngoài phng pháp tìm cn bc hai nh  trên, đi vi nhiu bài ta có th phân tích  thành bình phng ca mt s phc. Chng hn: 2i = i 2 + 2i + 1 = (i+ 1) 2 t đó d dàng suy ra hai cn bc hai ca 2i là 1 + i và -1 – i. Tuy nhiên nu khó nhm quá thì ta s dng pp tìm cn bc hai ca s phc nh trên. Mt điu lu ý na là: ptbc 2 vi h s thc thì tìm nghim rt đn gin THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003 10 ( xem VD14a) vì luôn d dàng phân tích đc thành mt tng bình phng. Còn pt bc hai h s phc thì tu tng bài ta s la chn pp phù hp. Tìm cn bc hai ca s phc hoc gii pt bc hai sau Hng dn áp s 17. 2 8 1 63 16 0 z i z i      ( ) Nh nhàng 1 5 12 z i   ; 2 3 4 z i   18. 2 z z  Bình thng 1 3 0 1 2 2 z z z i     ; ; 19. 2 z (cos isin )z icos sin 0         Nh nhàng z cos ;z isin     20. z 1 i   Rt d 2)Phng trình quy v phng trình bc hai Trong mc này ta ch xét mt s dng c bn và quen thuc nh: Phng trình trùng phng, phng trình bc 3, phng trình phn thng, phng trình dng 4 4 (z a) (z b) c     và mt s dng đn gin khác. VD15: Gii phng trình sau: 4 2 z z 20 0    . Hng dn t 2 t z  ( Liu có đt điu kin cho t là t 0  không nh???) có pt: 2 2 2 z 2 t 4 z 4 t t 20 0 t 5 z i 5 z 5                          VD16: Gii phng trình: 2 2 2 (z z) 4(z z) 12 0      Hng dn t 2 t z z   , ta có pt: 2 2 2 z 1 t 2 z z 2 t 4t 12 0 z 2 t 6 z z 6 1 i 23 z 2                                   VD17: Cho phng trình sau: z 3 + (2 – 2i)z 2 + (5 – 4i)z – 10i = 0 (1) a) Chng minh rng (1) nhn mt nghim thun o ( tc là nghim o hay nghim phc mà có phn thc bng 0) b) Gii phng trình (1). Hng dn a) t z = yi vi y   Phng trình (1) có dng: (iy) 3 + (2i-2)(yi) 2 + (5-4i)(yi) – 10i = 0  -iy 3 – 2y 2 + 2iy 2 + 5iy + 4y – 10i = 0 = 0 + 0i ng nht hoá hai v ta đc: 2 3 2 2 4 0 2 5 10 0 y y y y y              . Gii h này ta đc nghim duy nht y = 2 [...]... -1 V Chỳ ý: Ta cú th Gi (2) -2 |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i| (x+2)2 + y2 = x2 + (1-y)2 V Nh ỡnh c) Xột: 2 z z 2 (3) Gi T 4x + 2y + 3 = 0 |2+x+yi| > |x+yi-2| n ờn ph (x+2)2 +y2 > (x-2)2 +y2 x > 0 x > 0 14 Giothoimai2003 THPT CHUYấN LO CAI : Ta cú th Nh (3) |z- (-2 )| >|z-2| G -2 v 2, t A (-2 ;0), B(2;0) V T n d) Xột h z 4i z 4i ờn ph 10 Xột F1, F2 (4) -4 i t F1 (0;4) v F2 =(0 ;- MF1 + MF2 = 10 (M = M(z))... 1+2i 1 2i; 3-i 2 i; -1 -3 i 1 3i; 2-i 2 i; 1+3i Lm bỡnh th 5 2i 1+3i; -2 +i z1 z2 z3 34** z1 z2 z3 1 1 Bi 4.23 Sỏch BTGT12 Tr 180 6 no l 6 hoỏn v ; i ; -i) z1 z2 z3 1 35 36 z w i iz w=1 z w - zw = 8 z 2 + w 2 = -1 R d z w 1 1 i Bỡnh th 13 Giothoimai2003 THPT CHUYấN LO CAI IV BI T Trong d bi y, ta g i toỏn bi ỡnh h ũn g ón m Gi ) Ta cú: OM = x2 tỡm t h h ờn ờn m y2 = z S ỡm m ờn h yt ý: - V z = R bi... bỏn kớnh R - Cỏc s z ũn (O;R) - Cỏc s z ũn (O;R) VD23: Gi Tỡm t ờn m ón m a) z 1 i =2 b) 2 z a) Xột h 1 i c) 2 z z 2 d) z 4i z 4i e)1 10 z 1 i 2 z 1 i =2 (1) ) z 1 + i = (x 1) + (y + 1)i ( x 1)2 ( y 1) 2 (x-1)2 + (y + 1)2 = 4 2 ph ón (1) l b) Xột h 2 z T ờn m ũn cú tõm t -1 ) v bỏn kớnh R = 2 z i (2) y (2) z ( 2) G bi (A (-2 ;0); B(0;1)) z i (*) 2 -2 , cũn B l 1 B A -2 (z)A = M(z)B x O -1 1 2 -1 V Chỳ... Giothoimai2003 THPT CHUYấN LO CAI 1 - (VD19 thỡ z 2 pt cú d 5 =0 2 y+ 1 3i 2 +) V 1 ,t z z- y 2y2 2y + 5 = 0 1 1 3i = z 2 ỡnh (2) cú 2 nghi 1 3i 2 1 3i 2 1 3i 2 2z2 (1+3i)z 2 = 0 (2) z- 1 1 3i = z 2 1 = 1+i; z2 = 1 1 + i 2 2 2z2 ( 1-3 i)z 2 = 0 (3) = ( 1-3 i)2 + 16 = 8 -6 i = (3-i)2 Ta cú : ỡnh (3) cú 2 nghi V y ?) = (1+3i)2 + 16 = 8 +6i = (3+i)2 Ta cú : +) V ỡ lm nờn s 3 = 1-i; z4 = 1 1 - i 2 2 ỡnh ó cho cú 4... z 1 z i cú pt: 1 sao 1 , z2 , z3 t z1 z2 z1 z3 z3 = 3 (1+i) ho z1 z2 ycbt z2 z3 = - 3 (1-i) z3 G ;|z - 2| = 3 2 2 (a-2) + b = 9 (*) G 43.Tỡm t theo x,y: |z - 2| = 3 a (2 x y ) / 5 b (2 y x 5) / 5 (2x + y -1 0)2 + + (2x y - 5)2 = 225 Thay vo (*) l OK a; b; c: D dng 44.Tỡm cỏc bi d) ón m a)|z-2| = 3; b)|z+i| 3 d) z 1 z 2 ; e)Re 1 z z 2 =0; f) z z 1 45 (B 2010): Tỡm qu tớch i món:... Xột h T ờn (E) cú i tr z 1 i 1 2 - ỡnh c z ( 1 i) hỡnh vnh kh V x2 E) l: 9 y2 16 1 2 cú tõm t -1 ;1) v cỏc bỏn kớnh l nh 2 v 1 Cỏch 2: Gi 1 k -1 )i| ón Gi 2+3i| = T 2+3i| = 3 2 ón |(x-2) +(y+3)i|= ó cho l ch M1 l giao c Ta cú: OI = K 1H M 1H 3 OM 1 OI M1H = 3 2 3 tỡm s 2 (x-2)2 + (y+3)2 = 9 4 ũn tõm I(2 ;-3 ) v bỏn kớnh 3/2 ũn v g M trựng v ũn 4 9 13 Ox 13M 1 H V + (y-1)2 ờn VD24: Trong cỏc s L 2 1... = 0 z2 V ỡnh ó cho cú 4 nghi nh trờn ỡnh: z4 -2 z3 z2 2z + 1 = 0 (1) VD19: Gi Do z = 0 khụng l nghi ỡnh cho z2 chia hai v 2 z2 - 2z 1 - 2 1 1 + 2 = 0 z z V =z+ -1 V =z+ V 1 =3 z z= z= 3 zz z + 1 z 1 1 1 + + 2 =0(T 2 z z 1 z (z- )2 (z- ) + y2 2y 3 = 0 y y 1 3 5 2 ỡnh: z4 z3 + nghi ỡnh cú d 1 i 3 2 ỡnh ó cho cú 4 nghi Do z = 0 khụng ph nh 1 z 1 = -1 z VD20 : Gi (1) 4 0 z 1 z 3 z 2i z 2i nh trờn... CHUYấN LO CAI VD30: Gi ỡnh: z6 = -6 4 (1) Ta cú: -6 4 = 64(cos + isin ) Gi s : z r(cos z6 = -6 4 + isin6 )= 64(cos + isin V cos6 r6 (cos6 + isin6 = cos + isin 6 = isin ) r6 = 64 ) +2k V z0 = 2 cos V z1 = 2 cos V z2 = 2 cos 5 6 isin 5 6 z3 = 2 cos 7 6 isin 7 6 z4 = 2 cos 3 2 isin 3 2 z5 = 2 cos 11 6 ( k = 6 gi nh TH k = 0 k = 7 gi 2k 6 6 (L k = 0, 1, 5) = -2 i V = = - 3 -i V Z) = - 3+ i V (k r=2 isin 6 2 = 6... = 2 Hai Lm bỡnh th y= |z + z + 1 - i| = 2 39.Tỡm qu tớch cỏc i M(z)trong mp ph bi di s ph z tho món k: th 1 3 2 ón h Parabol y = Lm bỡnh th Hai hyperbol cú pt : xy = 1 v xy = -1 z =1+i 1 z 3i z i 42.Cho z1 = 1+i; z2 = -1 -i Tỡm z3 x2 4 Lm bỡnh th |z2 z 2| = 4 o cú pt: Lm bỡnh th 40.Tỡm qu tớch cỏc i M(z)trong mp ph bi di s ph z tho món k: 41.Tỡm s 7 2 th 2|z-i| = |z - z +2i| z 1 z i cú pt: 1 sao 1... z1 z2 z3 1 Ta cú z1, z2 , z3 l cỏc nghi (3) ỡnh: (z z1)(z z2)(z-z3) = 0 ( Sao th z3 (z1+z2+z3)z2 +(z1z2 +z2z3 + z3z1 )z - z1z2z3 = 0 V ng trỡnh ó cho cú 6 nghi Gi 33 5 5i 1 i ỡnh (4) cú hai nghi z1 32 z3 w 3 (1) z w 3(1 i ) z.w 5i z, w l cỏc nghi 31 3(1 i ) 3zw(z + w) = 9 (-1 +i) (3) 3 9zw(1+i) = 9 (-1 +i) 3(1+3i+3i2+i3) zw(1+i) = -1 + i V z w z v w z3 z2 + z 1 = 0 hoỏn v z = 1 v z = i i) ỡnh . 7+24i Nhân t và mu vi 7-2 4i, đc (-1 5 2- 461i)/25 Khai trin (3+i) 3 , đc 18+26i Thc hin phép tr, kt qu cui cùng là : Phn thc: -6 02/25 , phn o: -6 96/25  bài Hng dn áp s 1.T×m. |x+yi-2|  (x+2) 2 +y 2 > (x-2) 2 +y 2  x > 0.  Tp hp các đim M(z) là na mt phng  bên phi trc tung, tc là các đim (x;y) mà x > 0. -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 x y A B O THPT CHUYÊN.  . Xét đim A (-1 ;1) là đim biu din s phc -1 + i. Khi đó 1≤ MA ≤ 2. Vy tp hp các đim M(z) là hình vành khn có tâm ti A (-1 ;1) và các bán kính ln và nh ln lt là 2 và 1 Cách 2: