Luyện thi đại học chuyên đề số phức

Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 1 I. Trường số phức và số phức. 1. Trường số phức : Trường số phức ( ) { } , , a b a b= ∈ ℂ ℝ là t ậ p h ợ p 2 × = ℝ ℝ ℝ mà trên ñ ó xác l ậ p các m ố i quan h ệ b ằ ng nhau và các phép toán t ươ ng ứ ng sau ñ ây. a. Phép cộng : ( ) ( ) ( ) , , , a b c d a c b d + = + + . b. Phép nhân : ( ) ( ) ( ) , . , , a b c d ac bd ad bc = − + . c. Quan hệ bằng nhau : ( ) ( ) , , a c a b c d b d =  = ⇔  =  d. Quan hệ ñồng nhất : ( ) ( ) ,0 , 0,1 a a i ≡ ≡ . 2. Số phức : Gi ả s ử ( ) ,z a b = ∈ ℂ , v ớ i , a b ∈ ℝ . Giả sử phép cộng và phép nhân ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) , ,0 ,0 . 0,1 z a b a b a bi = = + = + , ( ) ( ) ( ) 2 0,1 . 0,1 1,0 1 i = = − = − . z a bi = + là dạng ñại số của số phức, trong ñó i ñược gọi là ñơn vị ảo. 3. Phần thực và phần ảo của số phức : + Giả sử z a bi = + ∈ ℂ trong ñó , a b ∈ ℝ , khi ñó a ñược gọi là phần thực, b ñược gọi là phần ảo của số phức z . + Kí hiệu : ( ) ( ) Re , Im z a z b = = . a. Tính chất : Nếu 1 1 1 2 2 2 , , z a bi z a b i z a b i = + = + = + trong ñó 1 1 2 2 , , , , , a b a b a b ∈ ℝ . + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Re Re Im Im z z a a z z b b z z =  =   = ⇔ ⇔   = =    + ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 Re Re Re z z z z + = + và ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 Im Im Im z z z z + = + . Chuyên ñề : Số Phức Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 2 + ( ) ( ) Re Re , z z λ λ λ = ∀ ∈ ℝ và ( ) ( ) Im Im , z z λ λ λ = ∀ ∈ ℝ . 4. Các phép toán về số phức : Cho 1 1 1 2 2 2 , z a bi z a b i = + = + trong ñó 1 1 2 2 , , , a b a b ∈ ℝ . Khi ñó ta có : + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 z z a b i a b i a a b b i + = + + + = + + + . + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 z z a bi a b i a a b b i − = + − + = − + − . + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 . . z z a bi a b i a a bb a b a b i = + + = − + − . + ( ) ( ) ( )( ) 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 , 0 a b i a b i z a a b b a b a b i z z a b i a b i a b a b + − + − = = + ∀ ≠ + − + + . 5. Số phức liên hợp : Cho số phức z a bi = + , với , a b ∈ ℝ , khi ñó z a bi = − gọi là số phức liên hợp với z . a. Tính chất : + , z z z = ∀ ∈ ℂ , z z z = ⇔ ∈ ℝ và z z z i = − ⇔ ∈ ℝ . + ( ) 2Re z z z + = , ( ) 2Im z z z − = và ( ) ( ) 2 2 . Re Im z z z z = + . + 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 , : , . . , , 0 z z z z z z z z z z z z z z z   ∀ ∈ + = + = = ∀ ≠     ℂ . 6. Môñun của số phức : a. ðịnh nghĩa : Cho s ố ph ứ c z a bi = + , v ớ i , a b ∈ ℝ , khi ñ ó mô ñ un c ủ a z là 2 2 z a b = + . b. Tính chất : + 2 . , , 0 z z z z z z = = ≥ và 0 0 z z = ⇔ = . + 1 2 1 2 1 2 , : . . z z z z z z ∀ ∈ = ℂ và 1 1 2 2 2 , 0 z z z z z = ∀ ≠ . + 1 2 1 2 1 2 , : z z z z z z ∀ ∈ + ≤ + ℂ và 1 2 1 2 z z z z − ≤ − . Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 3 7. Dạng lượng giác của số phức : - Ta thấy tồn tại phép tương ứng 1 - 1 giữa các phần tử của ℂ và các ñiểm nằm trên mặt phẳng 2 ℝ nên có thể ñồng nhất ℂ với 2 ℝ . Khi ñó tất cả các số phức z a bi = + ñược ứng với ñiểm ( ) , z a b = trên mặt phẳng tọa ñộ ñề các Oxy . - Với ( ) 0 , z a bi a b= + ≠ ∈ ℝ , kí hiệu 2 2 r z a b = = + . Góc ϕ là góc ñịnh hướng tạo bỡi Oz với chiều dương trục Ox ñược gọi là Argument của z . Nếu ϕ là một Argument của z thì tập hợp tất cả các Arguments của z là { } Ar 2 , gz k k ϕ π = + ∈ ℤ . Nếu ϕ là một Argument của z thỏa mãn 0 2 ϕ π ≤ < , thì ϕ ñược gọi là Argument chính của z và ñược kí hiệu là arg z , khi ñ ó ta có : Ar arg 2 , gz z k k π = + ∈ ℤ . Vì cos , sin a r b r ϕ ϕ = = nên d ạ ng l ượ ng giác c ủ a s ố ph ứ c z là ( ) cos sin z r i ϕ ϕ = + . a. Tính chất : ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 os isin , os isin , os isinz r c z r c z r c ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = + = + = + + ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 . cos sinz z rr i ϕ ϕ ϕ ϕ = + + +     và ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 2 2 2 cos sin , 0 z r i z z r ϕ ϕ ϕ ϕ = − + − ≠     . + ( ) cos sin n n z r n i n ϕ ϕ = + và 2 2 cos sin , 0, 1 n n z r k i k k n n n n n ϕ π ϕ π       = + + + = −             . a. Hệ quả (Công thức Moivre) : ( ) cos sin cos sin , n i n i n n ϕ ϕ ϕ ϕ + = + ∀ ∈ ℕ . 8. Hàm số mũ phức : a. ðịnh nghĩa : ( ) , , z x iy x y ∀ = + ∈ ∈ ℂ ℝ , thì ( ) ( ) cos sin z x f z e e y i y = = + . b. Tính chất : 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 0, , , , , z z z z z z z z z e e z e e e e z z e + − ≠ ∀ ∈ = = ∀ ∈ ℂ ℂ . b y x a O z ϕ Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 4 9. Hàm lượng giác phức : - Từ ñịnh nghĩa hàm số mũ phức suy ra : Công thức Euler : Hệ quả : Do các vế phải của các ñẳng thức ( ) * cũng xác ñịnh khi thay thế x ∈ ℝ bỡi z ∈ ℂ , nên ta có các ñịnh nghĩa tương ứng của các hàm số phức sin, cos, tan, cot : + ( ) 1 sin 2 iz iz z e e i − = − . + ( ) 1 cos 2 iz iz z e e − = + . + sin 1 tan . cos iz iz iz iz z e e z z i e e − − − = = + . + cos cot . sin iz iz iz iz z e e z i z e e − − + = = − . 10. Hàm hypebolic phức : + ( ) 1 sh 2 z z z e e − = − . + ( ) 1 ch 2 z z z e e − = + . + sh th ch z z z z z e e z z e e − − − = = + . + ch coth sh z z z z z e e z z e e − − + = = − . II. Các dạng bài tập. 1. Dạng 1: Thực hiện cá phép tính cộng – trừ – nhân – chia. Phương pháp : + Áp d ụ ng các quy t ắ c c ộ ng, tr ừ , nhân, chia hai s ố ph ứ c, c ă n b ậ c hai c ủ a s ố ph ứ c. + Chú ý các tính ch ấ t giao hoán, k ế t h ợ p ñố i v ớ i các phép toán c ộ ng và nhân. Bài 1: Tìm ph ầ n th ự c và ph ầ n ả o c ủ a các s ố ph ứ c sau : 1. ( ) ( ) ( ) 4 2 3 5 i i i − + + − + . 2. 1 2 2 3 i i   − + −     . 3. ( ) 2 5 2 3 3 4 i i   − − −     . 4. 1 3 1 3 2 3 2 2 i i i     − + − + −         . cos sin , cos sin , ix ix e x i x e x i x x − = + = − ∀ ∈ ℝ ( ) ( ) ( ) 1 1 cos , sin , * 2 2 ix ix ix ix x e e x e e x i − − = + = − ∀ ∈ ℝ Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 5 5. ( ) ( ) 2 3 3 i i − + . 6. 3 2 1 i i i i − − − + + . 7. 3 1 2 i + . 8. 1 1 i i + − . 9. m i m . 10. a i a a i a + − . 11. ( )( ) 3 1 2 1 i i i + − + . 12. 1 2 i i + − . 13. a i b i a + . 14. 2 3 4 5 i i − + . Bài 2: Th ự c hi ệ n các phép tính : 1. ( ) ( ) 2 2 1 1 i i + − − . 2. ( ) ( ) 3 3 2 3 i i + − − . 3. ( ) 2 3 4 i + . 4. 3 1 3 2 i   −     . 5. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 3 2 2 i i i i + − − + − + . 6. ( ) 6 2 i − . 7. ( ) ( ) 3 3 1 2 i i − − − . 8. ( ) 100 1 i − . 9. ( ) 5 3 3 i + . Bài 3: Cho số phức z x yi = + . Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau : 1. 2 2 4 z z i − + . 2. 1 z i iz + − . Bài 4: Phân tích thành nhân tử với , , a b c ∈ ℝ : 1. 2 1 a + . 2. 2 2 3 a + . 3. 4 2 4 9 a b + . 4. 2 2 3 5 a b + . 5. 4 16 a + . 6. 4 2 1 a a + + . Bài 5: Tìm căn bậc hai của số phức : 1. 1 4 3 i − + . 2. 4 6 5 i + . Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 6 3. 1 2 6 i − − 4. 5 12 i − + . 5. 4 5 3 2 i − − . 6. 7 24 i − . 7. 40 42 i − + . 8. 11 4 3 i + . 9. 1 2 4 2 i + . 10. 8 6 i + . 11. 33 56 i − . 2. Dạng 2: Giải phương trình trên tập số phức. Phương pháp : Gi ả s ử z x yi = + . Gi ả i các ph ươ ng trình ẩ n z là tìm , x y th ỏ a mãn ph ươ ng trình. Chú ý : Cách tìm căn bậc hai và giải phương trình bậc hai. a. Cách tính căn bậc hai : + ðịnh nghĩa : C ă n b ậ c hai c ủ a s ố ph ứ c w là s ố ph ứ c z sao cho 2 z w = . + Trường hợp 1 : N ế u w là s ố th ự c. - D ễ th ấ y r ằ ng c ă n b ậ c hai c ủ a 0 là 0 ⇒ s ố 0 có ñ úng 1 c ă n b ậ c hai là 0. - Xét 0 w ≠ . + Khi 0 w > thì ( ) ( ) 2 z w z w z w − = − + . Do ñ ó 2 0 z w − = khi và chi khi z w = hoặc z w = − . Vậy w có hai căn bậc hai là w và w − . + Khi 0 w < thì ( ) ( ) 2 z w z wi z wi − = − − + − . Do ñó 2 0 z w − = khi và chi khi z wi = − hoặc z wi = − − . Vậy w có hai căn bậc hai là wi − và wi − − . + Trường hợp 2: Nếu w a bi = + . Gọi số phức z x yi = + là căn bậc 2 của w . Khi ñó ta có 2 z w = . ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 x yi a bi x y xyi a bi x y a xy b ⇔ + = + ⇔ − + = +  − = ⇔  =  Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 7 Vậy ñể tìm căn bậc hai của số phức w a bi = + ta chỉ việc ñi giải hệ phương trình này . Mỗi cặp số thực ( ) , x y nghiệm ñúng hệ phương trình ñó cho ta một căn bậc hai z x yi = + của số phức w a bi = + . Cách giải hệ phương trình trên. Bình phương cả hai phương trình cuối cùng ta ñược hệ : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a x x y a x y a b b y x  + +  = ±  − =   ⇒   + = +    =   b. Cách giải phương trình bậc hai : ( ) 2 0 0 ax bx c a + + = ≠ . Xét biệt thức : 2 4 b ac ∆ = − . + Nếu 0 ∆ ≠ thì phươ ng trình luôn có hai nghi ệ m phân bi ệ t 1 2 , 2 2 b b z z a a δ δ − + − − = = . Trong ñ ó δ là m ộ t c ă n b ậ c hai c ủ a ∆ . + N ế u 0 ∆ = thì ph ươ ng trình có nghi ệ m kép 1 2 2 b z z a − = = . Bài 1: Gi ả i các ph ươ ng trình sau : 1. 2 0 z z + = . 2. 2 2 0 z z + = . 3. 2 2 4 z z i + = − . 4. 2 0 z z − = . 5. 2 1 8 z z i − = − − . 6. ( ) 4 5 2 i z i − = + . 7. 4 1 z i z i +   =   −   . 8. 2 1 3 1 2 i i z i i + − + = − + . 9. 2 3 1 12 z z i − = − . 10. ( ) ( ) 2 3 2 3 i z i i − + = . 11. ( ) 1 2 3 0 2 i z i iz i     − + + + =       . 12. 1 1 3 3 2 2 z i i   − = +     . Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 8 13. 3 5 2 4 i i z + = − . 14. ( ) ( ) 2 3 2 5 0 z i z z + − + = . 15. ( ) ( ) 2 2 9 1 0 z z z + − + = . 16. 3 2 2 3 5 3 3 0 z z z i − + + − = . Bài 2: Giải các phương trình sau ẩn x : 1. 2 3 1 0 x x − + = . 2. 2 3 2 2 3 2 0 x x − + = . 3. 2 3 2 0 x x − + = . 4. ( ) 2 3 4 3 0 x i x i − − + − = . 5. 2 3 2 4 0 ix x i − − + = . 6. 2 2 4 0 ix ix + − = . 7. 3 3 24 0 x − = . 8. 4 2 16 0 x + = . 9. ( ) 2 2 1 4 2 0 x i x i + + + + = . 10. ( ) 2 2 2 18 4 0 x i x i − − + + = . 11. 2 4 4 0 ix x i + + − = . 12. ( ) 2 2 3 0 x i x + − = . Bài 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng lần lượt là : 1. 2 3 i + và 1 3 i − + . 2. 2 i và 4 4 i − + . Bài 4: Tìm ph ươ ng trình b ậ c hai v ớ i h ệ s ố th ự c nh ậ n α làm nghi ệ m. 1. 3 4 i α = + . 2. 7 3 i α = − . 3. 2 5 i α = − . 4. 2 3 i α = − − . 5. 3 2 i α = − . 6. ( ) ( ) 2 3 i i α = + − . 7. 51 80 45 38 2 3 4 i i i i α = + + + . 8. 5 2 i i α + = − . Bài 5: Tìm tham s ố m ñể m ỗ i ph ươ ng trình sau ñ ây có hai nghi ệ m 1 2 , z z th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n ñ ã ch ỉ ra. 1. 2 1 0 z mz m − + + = , ñ i ề u ki ệ n 2 2 1 2 1 2 1 z z z z + = + . 2. 2 3 5 0 z mz i − + = , ñiều kiện 3 3 1 2 18 z z + = . 3. 2 3 0 z mz i + + = , ñiều kiện 2 2 1 2 8 z z + = . Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 9 Bài 6: Cho 1 2 , z z là hai nghiệm của phương trình ( ) ( ) 2 1 2 3 2 1 0 i z i z i + − + + − = . Tính giá trị của biểu thức. 1. 2 2 1 2 A z z = + . 2. 2 2 1 2 1 2 B z z z z = + . 3. 1 2 2 1 z z C z z = + . Bài 7: Giải các hệ phương trình sau. 1. 1 2 2 2 1 2 4 5 2 z z i z z i + = +   + = −  2. 1 2 2 2 1 2 5 5 5 2 z z i z z i = − −   + = − +  3. ( ) 3 5 1 2 4 2 1 2 0 . 1 z z z z  + =   =   4. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 z z z z z z z z z  + + =  + + =   −  5. 1 1 3 1 z z i z i z i  − =  −   −  =  +  6. 12 5 8 3 4 1 8 z z i z z  − =  −   −  =  −  7. 2 2 1 2 1 2 5 2 4 z z i z z i  + = +  + = −  8. 2 1 z i z z i z  − =   − = −   9. 2 2 1 2 1 2 1 2 4 0 2 z z z z z z i  + + =  + =  Bài 8: Giải các hệ phương trình sau. 1. 2 1 2 3 x y i x y i + = −   + = −  2. 2 2 5 8 8 x y i x y i + = −   + = −  3. 4 7 4 x y xy i + =   = +  4. 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 i x y x y i  + = −    + = −  5. 2 2 6 1 1 2 5 x y x y  + = −   + =   6. 3 2 1 1 17 1 26 26 x y i i x y + = +    + = +   . Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 10 7. 2 2 5 1 2 x y i x y i + = −   + = +  8. 3 3 1 2 3 x y x y i + =   + = − −  3. Dạng 3: Tập hợp ñiểm . Phương pháp : Giả sử z x yi = + ñược biểu diễn ñiểm ( ) , M x y . Tìm tập hợp các ñiểm M là tìm hệ thức giữa x và y . Bài 1: Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn các ñiều kiện sau. 1. 3 4 z z + + = . 2. 1 2 z z i − + − = . 3. 2 2 z z i z i − + = − . 4. 2 1 2 3 iz z − = + . 5. 2 2 2 1 i z z − = − . 6. 3 1 z + = . 7. 2 3 z i z i + = − − . 8. 3 1 z i z i − = + . 9. 1 2 z i − + = . 10. 2 z i z + = − . 11. 1 1 z + < . 12. 1 1 2 z < − < . Bài 2: Xác ñị nh t ậ p h ợ p các ñ i ể m M trong m ặ t ph ẳ ng ph ứ c bi ể u di ễ n các s ố z th ỏ a mãn các ñ i ề u ki ệ n sau. 1. 2 z i + là s ố th ự c. 2. 2 z i − + là s ố thu ầ n ả o. 3. . 9 z z = . Bài 3: Xác ñị nh t ậ p h ợ p các ñ i ể m M trong m ặ t ph ẳ ng ph ứ c bi ể u di ễ n các s ố z sao cho 2 2 z z − + có m ộ t argument b ằ ng 3 π . [...]... 7 1 1 bi t z + = 1 10 z z Bài 33: Cho z1 , z2 là các nghi m ph c c a phương trình 2 z 2 − 4 z + 11 = 0 Tính giá tr c a bi u z1 + z2 2 th c A = ( z1 + z2 ) 2 2 Trang 18 Chuyên ñ s ph c Biên so n : Lê Kỳ H i IV S ph c qua các kỳ thi ñ i h c và cao ñ ng : Bài 1: G i z1 , z2 là hai nghi m c a phương trình z 2 + 2 z + 10 = 0 Tính giá tr bi u th c A = z1 + z 2 2 2 (Kh i A - 2009) Bài 2: Tìm s ph c z... t dư i d ng lư ng giác các s ph c sau : 1 1 − i 3 ( 2 1 + i ) 3 1 − i 3 (1 + i ) 5 4 6 1 − i 3 (1 + i ) Bài 2: Th c hi n các phép tính sau : 4 π 4 2i 1− i 3 1+ i 6 Trang 11 ( ) 3 −i 1 2 + 2i Chuyên ñ s ph c Biên so n : Lê Kỳ H i 7 2 +i 2 8 1 + i 3 9 3 −i 10 3 + 0.i 11 tan 5π +i 8 Bài 4: Vi t dư i d ng ñ i s các s ph c sau : 1 cos 450 + i sin 450 π π  2 2  cos + i sin  6 6  3 3... ) 2012 12  5 + 3i 3  7   1 − 2i 3     1 3 8  + i  2  2    i +1 9    i  7 π π  10  cos − i sin  i 5 1 + 3i 3 3  2012 11 z 2012 + ( 1 z 2012 bi t z + 1 =1 z Trang 12 ) Chuyên ñ s ph c Biên so n : Lê Kỳ H i Bài 6: Ch ng minh r ng 1 sin 5t = 16sin 5 t − 20sin 3 t + 5sin t 2 cos 5t = 16 cos5 t − 20 cos3 t + 5cos t 3 sin 3t = 3sin t − 4sin 3 t 4 cos 3t = 4 cos3 t − 3cos... z1 6 2 z12 + z2 2 2 z 2 + z3 Bài 3: Rút g n các bi u th c sau : 1 A = z 4 + iz 3 − (1 + 2i ) z 2 + 3 z + 1 + 3i v i z = 2 + 3i 2 B = ( z − z 2 + 2 z 3 )( 2 − z + z 2 ) v i z = 1 2 Trang 13 ( ) 3 −i Chuyên ñ s ph c Biên so n : Lê Kỳ H i Bài 4: Tìm các s th c x, y sao cho : 1 (1 − 2i ) x + (1 + 2 y ) i = 1 + i x−3 y −3 + =i 3 +1 3 − i 2 3 ( 4 − 3i ) x 2 + ( 3 + 2i ) xy = 4 y 2 − 1 2 x + ( 3 xy − 2... là hai căn b c hai c a z1 = 3 + 4i và v1 , v2 là hai căn b c hai c a z2 = 3 − 4i Tính u1 + u2 + v1 + v2 Bài 10: Gi i các phương trình sau trên t p s ph c 1 z 2 + 5 = 0 2 z 2 + 2 z + 2 = 0 Trang 14 Chuyên ñ s ph c Biên so n : Lê Kỳ H i 3 z 2 + 4 z + 10 = 0 4 z 2 − 5 z + 9 = 0 5 −2 z 2 + 3 z − 1 = 0 6 z + z z − z = 0 7 z 2 + z + 2 = 0 8 2 z + 3z = 2 + 3i 9 ( 2 + 3 z ) + 2 ( z + 2i ) − 3 = 0... m ph c 3 Có 3 nghi m ph c Bài 15: Tìm m ñ phương trình z 3 + ( 3 + i ) z 2 − 3z − ( m + i ) = 0 có ít nh t m t nghi m th c ( ) Bài 16: Tìm t t c các s ph c z sao cho ( z − 2 ) z + i là s th c Trang 15 Chuyên ñ s ph c Biên so n : Lê Kỳ H i Bài 17: Gi i các phương trình trùng phương 1 z 4 − 8 (1 − i ) z 2 + 63 − 16i = 0 2 z 4 − 24 (1 − i ) z 2 + 308 − 144i = 0 3 z 4 + 6 (1 + i ) z 2 + 5 + 6i = 0 (... + + z n −1 bi t z = cos 2π 2π + i sin n n Bài 22: Vi t dư i d ng lư ng giác các s ph c sau 2 (1 − i )( 2 + i ) 1 i 4 + i 3 + i 2 + i + 1 3 2+i 1− i 4 1 − sin α + i cos α v i 0 < α < Trang 16 π 2 Chuyên ñ s ph c Biên so n : Lê Kỳ H i π π  5 −3  cos + i sin  6 6  6 cot α + i v i π 2 . Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 1 I. Trường số phức và số phức. 1. Trường số phức : Trường số phức ( ) { } , , a b a b= ∈ ℂ ℝ . + . Chuyên ñề : Số Phức Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 2 + ( ) ( ) Re Re , z z λ λ λ = ∀ ∈ ℝ và ( ) ( ) Im Im , z z λ λ λ = ∀ ∈ ℝ . 4. Các phép toán về số phức. argument b ằ ng 3 π . Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 11 4. Dạng 4: Dạng lượng giác của số phức. Phương pháp : Sử dụng các phép toán số phức ở dạng lượng giác ñể tính.