CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014 SỐ PHỨC

CHUYEN DE LUYEN THI DAI HOC 2013 2014 SO PHUC

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014 SỐ PHỨC BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG HÀ N ỘI, 8/2013 HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP :…………………………………………………………………. TRƯỜNG :………………………………………………………………… GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 1 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC BÀI 1: SỐ PHỨC 1. Khái niệm số phức • Tập hợp số phức: ℂ • Số phức (dạng đại số) : = +z a bi (a, b ∈ R , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i 2 = –1) • z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0) z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0) Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. • Hai số phức bằng nhau: ' ’ ’ ( , , ', ' ) '   =   + = + ⇔ ∈   =    a a a bi a b i a b a b R b b 2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b )∈ R được biểu diễn bởi điểm M(a; 2) hay bởi ( ; )=  u a b trong mp(Oxy) (mp phứ3) 3. Cộng và trừ số phức: • ( ) ( ) ( ) ( ) ’ ’ ’ ’+ + + = + + +a bi a b i a a b b i • ( ) ( ) ( ) ( ) ’ ’ ’ ’+ − + = − + −a bi a b i a a b b i • Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi •  u biểu diễn z, '  u biểu diễn z' thì '+   u u biểu diễn z + z’ và '−   u u biểu diễn z – z’. 4. Nhân hai số phức : • ( )( ) ( ) ( ) ' ' ’ – ’ ’ ’+ + = + +a bi a b i aa bb ab ba i • ( ) ( )+ = + ∈k a bi ka kbi k R 5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là = −z a bi • 1 1 2 2 ; ' ' ; . ' . ';       = ± = ± = =         z z z z z z z z z z z z z z ; 2 2 . = +z z a b • z là số thực ⇔ =z z ; z là số ảo ⇔ = −z z GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 2 6. Môđun của số phức : z = a + bi • 2 2 = + = =  z a b zz OM • 0, , 0 0≥ ∀ ∈ = ⇔ =z z C z z • . ' . '=z z z z • ' ' = z z z z • ' ' '− ≤ ± ≤ +z z z z z z 7. Chia hai số phức: • 1 2 1 − =z z z (z ≠ 0) • 1 2 ' '. '. ' . − = = = z z z z z z z z z z z • ' '= ⇔ = z w z wz z 8. Căn bậc hai của số phức: • = +z x yi là căn bậc hai của số phức = +w a bi ⇔ 2 =z w ⇔ 2 2 2   − =     =    x y a xy b • w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0 • w 0≠ có đúng hai căn bậc hai đối nhau • Hai căn bậc hai của a > 0 là ± a • Hai căn bậc hai của a < 0 là .± −a i 9. Phương trình bậc hai Az 2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A 0≠ ). 2 4∆ = −B AC • 0∆ ≠ : (*) có hai nghiệm phân biệt , ( δ là 1 căn bậc hai của ∆) • 0∆ = : (*) có 1 nghiệm kép: 1 2 2 = = − B z z A Chú ý: Nếu z 0 ∈ C là một nghiệm của (*) thì 0 z cũng là một nghiệm của (*). 10. Dạng lượng giác của số phức: • (cos sin ) ϕ ϕ = +z r i (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (z ≠ 0) 2 2 cos sin ϕ ϕ    = +      ⇔ =       =    r a b a r b r • ϕ là một acgumen của z, ( , )ϕ = Ox OM • 1 cos sin ( ) ϕ ϕ ϕ = ⇔ = + ∈z z i R 11. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 3 Cho (cos sin ) , ' '(cos ' sin ')ϕ ϕ ϕ ϕ= + = +z r i z r i : • . ' '. cos( ') sin( ')ϕ ϕ ϕ ϕ   = + + +   z z rr i • cos( ') sin( ') ' ' ϕ ϕ ϕ ϕ   = − + −   z r i z r 12. Công thức Moa–vrơ: • (cos sin ) (cos sin )ϕ ϕ ϕ ϕ   + = +   n n r i r n i n , ( * ∈n N ) • ( ) cos sin cos sinϕ ϕ ϕ ϕ+ = + n i n i n 13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác: • Số phức (cos sin )ϕ ϕ= +z r i (r > 0) có hai căn bậc hai là: cos sin 2 2 cos sin cos sin 2 2 2 2 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π π      +                          − + = + + +                      r i vaø r i r i • •• • Mở rộng: Số phức (cos sin )ϕ ϕ= +z r i (r > 0) có n căn bậc n là: 2 2 cos sin , 0,1, ., 1 ϕ π ϕ π   + +    + = −       n k k r i k n n n VẤN ĐỀ 1: Thực hiện các phép toán cộng – trừ – nhân – chia HT 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: 1) (4 – ) (2 3 ) – (5 )+ + +i i i 2) 1 2 2 3      − + −        i i 3) ( ) 2 5 2 3 3 4      − − −        i i 4) 1 3 1 3 2 3 2 2           − + − + −               i i i 5) 3 1 5 3 4 5 4 5           + − − +               i i 6) (2 3 )(3 )− +i i 7) 3 2 1 − − − + i i i i 8) 3 1 2+ i 9) 1 1 + − i i 10) m i m 11) + − a i a a i a 12) 3 (1 2 )(1 ) + − + i i i 14) 1 2 + − i i 15) +a i b i a 16) 2 3 4 5 − + i i HT 2: Thực hiện các phép toán sau: 1) 2 2 (1 ) (1 – )+ −i i 2) 3 3 (2 ) (3 )+ − −i i 3) 2 (3 4 )+ i 4) 3 1 3 2      −        i 5) 2 2 2 2 (1 2 ) (1 ) (3 2 ) (2 ) + − − + − + i i i i 6) 6 (2 )− i 7) 3 3 ( 1 ) (2 )− + −i i 8) 100 (1 )−i 9) 5 (3 3 )+ i GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 4 HT 3: Cho số phức = +z x yi . Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: 1) 2 2 4− +z z i 2) 1 + − z i iz HT 4: Phân tích thành nhân tử, với a, b, c ∈ R: 1) 2 1+a 2) 2 2 3+a 3) 4 2 4 9+a b 4) 2 2 3 5+a b 5) 4 16+a 6) 3 27−a 7) 3 8+a 8) 4 2 1+ +a a HT 5: Tìm căn bậc hai của số phức: 1) 1 4 3− + i 2) 4 6 5+ i 3) 1 2 6− − i 4) 5 12− + i 5) 4 5 3 2 − − i 6) 7 24− i 7) 40 42− + i 8) 11 4 3.+ i 9) 1 2 4 2 + i 10) 5 12− + i 11) 8 6+ i 12) 33 56− i VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình trên tập số phức HT 6: Giải các phương trình sau (ẩn z): 1) 2 0+ =z z 2) 2 2 0+ =z z 3) 2 2 4+ = −z z i 4) 2 0− =z z 5) 2 1 8− = − −z z i 6) (4 5 ) 2− = +i z i 7) 4 1   +    =      −   z i z i 8) 2 1 3 1 2 + − + = − + i i z i i 9) 2 3 1 12− = −z z i 10) 2 (3 2 ) ( ) 3− + =i z i i 11) 1 (2 ) 3 0 2        − + + + =         i z i iz i 12) 1 1 3 3 2 2      − = +        z i i 13) 3 5 2 4 + = − i i z 14) 2 ( 3 )( 2 5) 0+ − + =z i z z 15) 2 2 ( 9)( 1) 0+ − + =z z z 16) 3 2 2 3 5 3 3 0− + + − =z z z i HT 7: Giải các phương trình sau (ẩn x): 1) 2 3. 1 0− + =x x 2) 2 3 2. 2 3. 2 0− + =x x 3) 2 (3 ) 4 3 0− − + − =x i x i 4) 2 3 . 2 4 0− − + =i x x i 5) 2 3 2 0− + =x x 6) 2 . 2 . 4 0+ − =i x i x 7) 3 3 24 0− =x 8) 4 2 16 0+ =x GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 5 VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm HT 8: Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: 1) 3 4+ + =z z 2) 1 2− + − =z z i 3) 2 2− + = −z z i z i 4) 2 . 1 2 3− = +i z z 5) 2 2 2 1− = −i z z 6) 3 1+ =z 7) 2 3+ = − −z i z i 8) 3 1 − = + z i z i 9) 1 2− + =z i 10) 2 + = −z i z 11) 1 1+ <z 12) 1 2< − <z i HT 9: Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: 1) 2+z i là số thực 2) 2− +z i là số thuần ảo 3) . 9=z z VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác của số phức HT 10: Tìm một acgumen của mỗi số phức sau: 1) 2(cos sin ) 3 3 π π − i 2) 4 – 4i 3) 1 3.− i 4) cos .sin 4 4 π π − i 5) sin .cos 8 8 π π − − i 6) (1 . 3)(1 )− +i i HT 11: Thực hiện các phép tính sau: 1) ( )( ) 3 cos 20 sin 20 cos 25 sin 25+ + o o o o i i 2) 5 cos . sin .3 cos . sin 6 6 4 4 π π π π           + +             i i 3) ( )( ) 3 cos120 sin120 cos 45 sin 45+ + o o o o i i 4) 5 cos sin 3 cos sin 6 6 4 4 π π π π           + +             i i 5) ( )( ) 2 cos 18 sin18 cos 72 sin 72+ + o o o o i i 6) cos 85 sin 85 cos 40 sin 40 + +     i i 7) 0 0 0 0 2(cos 45 .sin 45 ) 3(cos15 .sin 15 ) + + i i 8) 2(cos 45 sin 45 ) 3(cos15 sin15 ) + +     i i 9) 2 2 2(cos .sin ) 3 3 2(cos .sin ) 2 2 π π π π + + i i 10) 2 2 2 cos sin 3 3 2 cos sin 2 2 π π π π      +            +       i i HT 12: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau: 1) 1 3− i 2) 1 + i 3) (1 3)(1 )− +i i 4) 2. .( 3 )−i i 5) 1 3 1 − + i i 6) 1 2 2+ i 7) sin .cosφ φ+ i 8) 2 2+ i 9) 1 3+ i 10) 3 − i 11) 3 0+ i 12) 5 tan 8 π + i GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 6 HT 13: Viết dưới dạng đại số các số phức sau: 1) cos 45 sin 45+ o o i 2) 2 cos sin 6 6 π π      +       i 3) ( ) 3 cos120 sin120+ o o i 4) 6 (2 )+ i 5) 3 (1 )(1 2 ) + + − i i i 6) 1 i 7) 1 2 1 + + i i 8) ( ) 60 1 3− + i 9) 40 7 1 3 (2 2 ) . 1    +    −       − i i i 10) 1 3 3 cos sin 4 4 2 π π      +       i 11) 100 1 cos sin 1 4 4 π π     +       +             − i i i 12) ( ) 17 1 3 − i HT 14: Tính: 1) ( ) 5 cos12 sin 12 + o o i 2) ( ) 16 1 + i 3) 6 ( 3 ) − i 4) ( ) 7 0 0 2 cos 30 sin 30   +     i 5) 5 (cos15 sin 15 ) + o o i 6) 2008 2008 (1 ) (1 ) + + −i i 7) 21 5 3 3 1 2 3    +           −   i i 8) 12 1 3 2 2       +          i 9) 2008 1   +           i i ---------------------------------------------------------------------- BÀI 2: ÔN TẬP HT 15: Thực hiện các phép tính sau: 1) (2 )( 3 2 )(5 4 )− − + −i i i 2) 6 6 1 3 1 7 2 2       − + −       +             i i 3) 16 8 1 1 1 1     + −       +             − + i i i i 4) 3 7 5 8 2 3 2 3 + − + + − i i i i 5) (2 4 )(5 2 ) (3 4 )( 6 )− + + + − −i i i i 6) 2 3 2009 1 .+ + + + +i i i i 7) 2000 1999 201 82 47 + + + +i i i i i 8) 2 1 . , ( 1)+ + + + ≥ n i i i n 9) 2 3 2000 . . .i i i i 10) 5 7 13 100 94 ( ) ( ) ( ) − − − − + − + + −i i i i i HT 16: Cho các số phức 1 2 3 1 2 , 2 3 , 1= + = − + = −z i z i z i . Tính: 1) 1 2 3 + +z z z 2) 1 2 2 3 3 1 + +z z z z z z 3) 1 2 3 z z z 4) 2 2 2 1 2 3 + +z z z 5) 1 2 3 2 3 1 + + z z z z z z 6) 2 2 1 2 2 2 2 3 + + z z z z HT 17: Rút gọn các biểu thức sau: 1) 4 3 2 (1 2 ) 3 1 3 , 2 3= + − + + + + = +A z iz i z z i vôùi z i GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 7 2) ( ) 2 3 2 1 ( 2 )(2 ), 3 2 = − + − + = −B z z z z z vôùi z i HT 18: Tìm các số thực x, y sao cho: 1) (1 2 ) (1 2 ) 1− + + = +i x y i i 2) 3 3 3 3 − − + = + − x y i i i 3) 2 2 2 2 1 (4 3 ) (3 2 ) 4 (3 2 ) 2 − + + = − + −i x i xy y x xy y i 4) 2 3 (3 1) (5 6) ( 2)+ + − = − − +x y i x y i 5) 3 (3 2 ) (1 2 ) 11 4 2 3 − + − = + + x i y i i i 6) 3 (3 2 ) (1 2 ) 9 14+ + − = +x i y i i HT 19: Tìm các căn bậc hai của các số phức sau: 1) 8 6+ i 2) 3 4+ i 3) 1 + i 4) 7 24− i 5) 2 1 1   +         −   i i 6) 2 1 3 3    −           −   i i 7) 1 2 2 2 − i 8) i, –i 9) 3 1 3 − + i i 10) 1 1 2 2 + i 11) ( ) 2 1 3− + i 12) 1 1 1 1 + + − i i HT 20: Giải các phương trình sau: 1) 3 125 0− =z 2) 4 16 0+ =z 3) 3 64 0+ =z i 4) 3 27 0− =z i 5) 7 4 3 2 2 0− − − =z iz iz 6) 6 3 1 0+ + − =z iz i HT 21: Gọi 1 2 ;u u là hai căn bậc hai của 1 3 4= + z i và 1 2 ;v v là hai căn bậc hai của 2 3 4= − z i . Tính 1 2 +u u 1 2 + +v v ? HT 22: Giải các phương trình sau trên tập số phức: 1) 2 5 0+ =z 2) 2 2 2 0+ + =z z 3) 2 4 10 0+ + =z z 4) 2 5 9 0− + =z z 5) 2 2 3 1 0− + − =z z 6) 2 3 2 3 0− + =z z 7) ( )( ) 0+ − =z z z z 8) 2 2 0+ + =z z 9) 2 2= +z z 10) 2 3 2 3+ = +z z i 11) ( ) ( ) + 2 2 2 2 3 0+ + − = z i z i 12) 3 =z z 13) 2 2 4 8 8+ =z z 14) 2 (1 2 ) 1 0+ + + =iz i z 15) 2 (1 ) 2 11 0+ + + =i z i HT 23: Giải các phương trình sau trên tập số phức: 1) 2 4 4 5 6 0   + +    − + =      − −   z i z i z i z i 2) ( ) ( ) ( ) 2 5 3 3 0+ − + + =z i z z z 3) ( ) ( ) 2 2 2 6 2 16 0+ − + − =z z z z 4) ( ) ( ) 3 2 1 3 3 0− + + + − = z i z i z i GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 8 5) ( ) ( ) 2 2 2 0+ − + =z i z z 6) 2 2 2 1 0− + − =z iz i 7) 2 (5 14 ) 2(12 5 ) 0− − − + =z i z i 8) 2 80 4099 100 0− + − =z z i 9) 2 ( 3 ) 6( 3 ) 13 0+ − − + − + =z i z i 10) 2 (cos sin ) cos sin 0ϕ ϕ ϕ ϕ− + + =z i z i HT 24: Giải các phương trình sau trên tập số phức: 1) 2 (3 4 ) 5 1 0− + + − =x i x i 2) 2 (1 ) 2 0+ + − − =x i x i 3) 2 3 2 0+ + =x x 4) 2 1 0+ + =x x 5) 3 1 0− = x HT 25: Giải các phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo: 1) 3 2 2 2 0− − − =z iz iz 2) 3 2 ( 3) (4 4 ) 4 4 0+ − + − − + =z i z i z i HT 26: Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện: 1) ( 2)( )− +z z i là số thực. 2) 2 =z z 3) (2 ) 10− + = z i và . 25=z z 4) 1 1 − = − z z i và 3 1 1 − = + z i z 5) 2 2 2 . 8+ + =z z z z và 2+ =z z 6) 1 5− =z và 17( ) 5 . 0+ − =z z z z 7) 1=z và ( ) 2 2 1+ =z z 8) 2 2− + =z i . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị. 9) 1=z và 1+ = z z z z HT 27: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước: 1) 2= z và 2 z là số thuần ảo 2) 2 2= − −z z i và 2 2 − − z i z là số thuần ảo 3) 1 2 3 4+ − = + +z i z i và 2− + z i z i là số ảo. 4) 5=z và 7 1 + + z i z là số thực. HT 28: Giải các phương trình trùng phương: 1) 4 2 8(1 ) 63 16 0− − + − =z i z i 2) 4 2 24(1 ) 308 144 0− − + − =z i z i 3) 4 2 6(1 ) 5 6 0+ + + + =z i z i HT 29: Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ thức sau: 1) 3= − z z i 2) 2 2 1+ =z z 3) ( ) ( 2)− +z z i là số thực 4) 3 4= − +z z i 5) + + z i z i là số thực HT 30: Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ thức sau: GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 9 1) 3 4 2− + =z i 2) (1 )− = +z i i z 3) (2 )( )− +z z i là số thuần ảo 4) 1 =z z 5) 1 2+ =z z HT 31: Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức ' z thoả mãn hệ thức sau: 1) ' (1 3) 2= + +z i z biết z thỏa mãn: 1 2− =z 2) ' (1 3) 2= + +z i z biết rằng z thỏa mãn: 1 3+ ≤z 3) ' (1 2 ) 3= + +z i z biết rằng z thỏa mãn: 2 2 3 5 + = zz z 4) ' (1 ) 1= + +z i z biết 2 1+ ≤z HT 32: Hãy tính tổng 2 3 1 1 . − = + + + + n S z z z z biết rằng 2 2 cos sin π π = + z i n n . HT 33: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau: 1) 4 3 2 1+ + + +i i i i 2) (1 )(2 )− +i i 3) 2 1 + − i i 4) 1 sin cos , 0 2 π α α α − + < < i 5) 3 cos sin 6 6 π π      − +       i 6) cot , 2 π α π α + < < i 7) sin (1 cos ), 0 2 π α α α + − < < i HT 34: Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau: 1) ( ) ( ) 8 6 6 8 (1 ) 2 3 2 (1 ) 2 3 2 + + + − − i i i i 2) ( ) ( ) 4 10 4 ( 1 ) 1 3 2 3 2 − + + − + i i i 3) ( ) ( ) 1 3 1 3+ + − n n i i 4) sin cos 8 8 π π − + i 5) cos sin 4 4 π π − i 6) 2 2 3− + i 7) 1 sin cos , 0 2 π α α α − + < <i 8) 1 cos sin , 0 1 cos sin 2 α α π α α α + + < < + − i i 9) 4 3− i HT 35: Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau: 1) ( ) ( ) 8 6 6 8 (1 ) 2 3 2 (1 ) 2 3 2 + + + − − i i i i 2) ( ) ( ) 4 10 4 ( 1 ) 1 3 2 3 2 − + + − + i i i 3) ( ) ( ) 1 3 1 3+ + − n n i i HT 36: Chứng minh các biểu thức sau có giá trị thực: 1) ( ) ( ) 7 7 2 5 2 5+ + −i i 2) 19 7 20 5 9 7 6     + +       +             − + n n i i i i 3) 6 6 1 3 1 3 2 2       − + − −       +             i i 4) 5 5 1 3 1 3 2 2       − + − −       +             i i 5) 6 6 3 3 2 2       + −       +             i i HT 37: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện sau, tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. 1) ( 1)( 2 )− +z z i là số thực 2) 2 3− = − −z i z i