Đang tải... (xem toàn văn)
c/ Tìm tất cả các ñiểm thuộc ñồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại ñó lập với hai ñường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.. b/ Gọi I là giao của hai tiệm cận..[r]
(1)http://ebook.here.vn – Thư viện sách miễn phí MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ 2m x −1 a Tìm m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu ; b Tìm quỹ tích các ñiểm cực ñại HDGiải: a/ Hàm số có cực trị m > 2m b/ Ta có: xCD = − m < ⇒ yCD = xCD − + = xCD − − 2(1 − xCD ) = xCD − Vậy quĩ tích các − m ñiểm cực ñại là phần ñường thẳng y = 4x – ứng với x < − x2 − x −1 Bài 2/ Cho hàm số: y = (C) x +1 a Tìm m ñể (Dm): y = mx − cắt (C) hai ñiểm phân biệt mà hai ñiểm ñó thuộc cùng nhánh b Tìm quỹ tích trung ñiểm I MN − x2 − x −1 HDGiải: a/ Phương trình: = mx − ⇔ ( m + 1) x + m x = có nghiệm x = nên ñể hai x +1 giao ñiểm cùng nhánh thì: − m /(m + 1) > −1 ⇔ 1/(m + 1) > ⇒ m > −1 b/ Ta có: xI = − m / 2(m + 1) > −1/ ⇒ m = − xI /(2 xI + 1) ⇒ yI = mxI − = − xI2 /(2 xI + 1) − = −( xI2 + xI + 1) /(2 xI + 1) −x2 − 2x −1 Vậy quỹ tích trung ñiểm I MN là nhánh bên phải ñths y = 2x + Bài 3/ Cho hàm số: y = x − x + m x + m (C m ) Tìm m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu ñối xứng qua ñường thẳng (D) có phương trình y = x− 2 2 HDGiải: Ta có: y ' = x − x + m ðể hs có cực trị thì ∆ ' = − 3m > ⇒ − < m < Gọi I là trung ñiểm ñoạn thẳng nối hai ñiểm cực trị thì xI = Do pt ñt ñi qua hai ñiểm cực trị là Bài 1/ Cho hàm số y = x − + m2 y = (m − 3) x + + m ⇒ yI = m + m − ðể các ñiểm cực trị ñths ñx qua (D) thì: 3 1 2 m = (m − 3) = −1 ⇔ ⇒ m = 2 m 0; = − m + m − = 1.1/ − / x + mx − m + Tìm m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu nằm hai phía x −1 ñường thẳng x − y − = HDGiải: ðặt F(x,y)= 9x-7y-1 Hàm số có hai ñiểm cực trị là: A( -2; m – ) và B( 4; m + ) ðể hai ñiểm cực trị này nằm hai phía ñt trên thì: F(A).F(B)<0 ⇔ ( - 7m – 21 )( – 7m ) < ⇒ −3 < m < / Bài 5/ Cho hàm số y = x − x (1) Bài 4/ Cho hàm số y = Biên soạn: GV – Phan Phú Quốc – Tổ vật lý – Trường THPT Phan Châu Trinh- Phone: 0906306896 Lop12.net (2) http://ebook.here.vn – Thư viện sách miễn phí a) Chứng minh m thay ñổi, ñường thẳng (D): y = m( x + 1) + luôn cắt ñồ thị (1) ñiểm A cố ñịnh b) Tìm m ñể ñường thẳng ñó cắt (1) ñiểm A, B, C khác cho tiếp tuyến B và C vuông góc với HDGiải: a/ Xét pt: x − x = m( x + 1) + ⇔ ( x + 1)( x − x − − m) = Như m thay ñổi thì (D) luôn cắt ñths(1) ñiểm A( - 1; ) cố ñịnh b/ ðể (D) cắt ñths(1) ñiểm phân biệt thì pt x − x − − m = (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác – 1; ñó m > - 9/4 và m ≠ Khi ñó xB , xC là hoành ñộ B,C và là nghiệm (*) Ta có: xB + xC = 1& xB xC = − m − ðể tiếp tuyến B và C vuông góc với thì y '( xB ) y '( xC ) = 9( xB2 − 1)( xC2 − 1) = ( xB xC )2 − ( xB + xC ) + xB xC + 1 = ( m + 2) − + 2( − m − 2) + 1 = 9( m + 2m) = ⇒ m = −1 ổ 2 / (thỏa mãn ựk) đó chắnh là gt m cần tìm x − 3x + Bài 6/ Cho hàm số y = (C) tìm trên ñường thẳng x =1 Những ñiểm M cho từ M kẻ x ñược hai tiếp tuyến tới (C) mà hai tiếp tuyến ñó vuông góc với HDGiải: Giả sử M(1;b) và pt ñt (D) ñi qua M là: y = k(x – 1) + b ðể (D) là tiếp tuyến (C) thì x − 3x + = k ( x − 1) + b ⇔ (k − 1) x + (b + − k ) x − = ( vì pt không có pt sau phải có nghiệm kép: x nghiệm với x = ) ⇔ k ≠ 1& ∆ = k − ( b + 3) + 8(k − 1) = k − 2(b − 1)k + (b + 3) − = 0(*).k ≠ ⇔ b ≠ −2 ðể qua M có thể kẻ ñược hai tiếp tuyến tới (C) vuông góc với thì pt (*) phải có hai nghiệm có tích -1 ⇔ (b + 3) − = −1 ⇒ b = −3 ± (TMðK) Vậy trên ñt x = có ñiểm TMYCBT là M (1; −3 ± ) Bài 7/ Cho hàm số: y = x − x + (C ) Tìm ñiểm thuộc Oy mà từ ñó có thể kẻ ñược ba tiếp tuyến tới (C) HDGiải: Gọi M (0; b) ∈ Oy và ptñt (D) qua M là y = kx + b ðể (D) là tt (C) thì hpt sau phải có nghiệm: x − x + = kx + b & k = x3 − x ⇒ b = −3 x + x + = f ( x); f '( x) = −12 x3 + x = −2 x(6 x − 1) x −∞ f’(x) + −1/ - 0 + 1/ +∞ - f(x) −∞ −∞ x + mx − x−m a Tìm m ñể hàm số có cực trị Khi ñó hãy viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm cực ñại, cực tiểu b Xác ñịnh m ñể ñồ thị cắt trục hoành hai ñiểm phân biệt và tiếp tuyến hai ñiểm ñó vuông góc với HDGiải: a/ Ta có: y ' = ( x − 2mx − m + 8) /( x − m)2 ðể hs có cực trị thì pt y’ = phải có hai nghiệm phân biệt khác m Bài 8/ Cho hàm số: y = Biên soạn: GV – Phan Phú Quốc – Tổ vật lý – Trường THPT Phan Châu Trinh- Phone: 0906306896 Lop12.net (3) http://ebook.here.vn – Thư viện sách miễn phí ⇔ ∆ ' = 2m − > ⇔ m > (vì ñó pt y’ = có hai nghiệm phân biệt khác m ) Hai nghiệm pt y’ = là xCD , xCT ; yCD = xCD + m, yCT = xCT + m Vậy pt ñt ñi qua ñiểm Cð và ñiểm CT là y = 2x + m b/ Với m ≠ ±2 thì ñths luôn cắt trục hoành hai ñiểm phân biệt ( vì ac = - < ) Gọi hoành ñộ hai giao ñiểm này là x1 , x2 ⇒ x1 + x2 = − m; x1 x2 = −8 ðể tt với ñths hai giao ñiểm vuông góc với thì: − 2m − 2m (8 − 2m )(5m + 16) (8 − 2m ) 5m + 16 y '( x1 ) y '( x2 ) = 1 + 1+ = 1+ + = 2− = −1 ⇒ m = ±2 2 2 (2m − 8) (2m − 8) 2m − ( x1 − m) ( x2 − m) Bài 9/ Cho hàm số y = − x + x − (C) Tìm trên trục hoành ñiểm mà từ ñó kẻ ñược ba tiếp tuyến tới ñồ thị hàm số (C) HDGiải: Gọi M (a;0) ∈ Ox ; ñt (D) ñi qua M có pt là: y = k(x - a) ðể (D) là tt (C) thì hpt sau phải có nghiệm: − x3 + x − = k ( x − a ) & k = −3 x + x ðể qua M có thể kẻ ñược tt tới (C) thì pt sau phải có nghiệm phân biệt f ( x) = x3 − 3(a + 1) x + 6ax − = Do f '( x) = x − 6(a + 1) x + 6a = x = và x = a nên ñể pt f(x) = có nghiệm phân biệt thì: f CD f CT = −(a − 2) (a + 1)(3a − 5) < ⇒ a ∈ (−∞; −1) ∪ (5 / 3; 2) ∪ (2; +∞ ) x +1 Bài10/ Cho hàm số: y = x −1 a/ Chứng minh tiếp tuyến ñths ñều tạo với hai ñường tiệm cận ñoạn thẳng mà tiếp ñiểm là trung ñiểm nó b/ Chứng minh tiếp tuyến ñồ thị ñều lập với hai ñường tiệm cận tam giác có diện tích không ñổi c/ Tìm tất các ñiểm thuộc ñồ thị hàm số cho tiếp tuyến ñó lập với hai ñường tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ −2 −2( x − a ) a + a +1 HDGiải: a/Do y ' = nên pttt với ñths ñiểm M a; + Tt này là: y = ( x − 1) (a − 1) a −1 a −1 cắt các tiệm cận x = và y = các ñiểm: A(1; (a + 3) /(a − 1)), B (2a − 1;1) suy M là trung ñiểm AB ( vì tọa ñộ trung ñiểm AB tọa ñộ M ) b/ Gọi I là giao hai tiệm cận Ta có IA = (a + 3) /(a − 1) − = / a − ; IB = (2a − 1) − = a − ⇒ S IAB = IA.IB / = không ñổi ( ñpcm ) c/ Ta có chu vi tam giác IAB: CIAB = IA + IA + IA2 + IB ≥ IA.IB + IA.IB = + 16 = 4( + 1) Vậy chu vi tam giác IAB có giá trị nhỏ 4( + 1) IA = IB tức (a − 1) = ⇒ a = ± Như trên ñths có hai ñiểm TMYCBT là: M (1 + 2;1 + 2), M (1 − 2;1 − 2) x + 4x + Bài 11/ Cho hàm số: y = (H ) x+2 Tìm M thuộc (H) cho khoảng cách từ M ñến (D): x + y + = nhỏ Biên soạn: GV – Phan Phú Quốc – Tổ vật lý – Trường THPT Phan Châu Trinh- Phone: 0906306896 Lop12.net (4) http://ebook.here.vn – Thư viện sách miễn phí HDGiải: Giả sử M (a; a + + 1/(a + 2)), (a ≠ −2) ⇒ d ( M ;( D )) = 4(a + 2) + 1/(a + 2) / 10 = ( 4(a + 2) + 1/ a + ) / 10 ≥ / 10 = 10 / Vậy GTNN k/c từ M tới (D) 10 / a + = 1/ a + ⇒ a = −1, 5; −2, ứng với hai ñiểm M (−1,5; 2, 5), M (−2,5; −2,5) x + 3x + (C) x +1 Tìm hai ñiểm A, B trên hai nhánh khác (C) cho ñộ dài ñoạn AB ngắn HDGiải: Gọi A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) ∈ (C )( x1 < −1 < x2 ) ðặt Bài 12/ Cho hàm số: y = −1 − x1 = a, x2 + = b ⇒ a, b > 0; AB = (a + b) + (a + b + 1/ a + 1/ b)2 (a + b) 1 + (1 + 1/ ab) ≥ 4ab(2a 2b + 2ab + 1) / a 2b = 4(2ab + 1/ ab + 2) ≥ 4(2 + 2) = 8( + 1) Dấu xảy a = b = 1/ ⇒ x1 = −1 − 1/ 2; x2 = 1/ − Bài 13/ Cho hàm số: y = x − x + (C) và hai ñiểm A(0;1), B(3;7) trên (C) Tìm M thuộc cung AB (C) cho diện tích ∆MAB lớn HDGiải: -Cách 1: pt ñt AB là: 2x – y + = Gọi M ( x;1 − x + x / 3) ⇒ d ( M ; AB ) = (9 x − x3 ) / = f ( x) / 5(0 ≤ x ≤ 3) Ta có f '( x) = − x = ⇒ x = 3(0 ≤ x ≤ 3) nên BBT hs bên Do ñó: MaxS MAB = 5.2 / = 3 ứng với M ( 3;1) x f’(x) + 3 - 3/5 f(x) 0 -Cách 2: Diện tích ∆MAB lớn M là tiếp ñiểm tiếp tuyến với (C) song song với AB Gọi M ( x0 ; y0 ) Tiếp tuyến (C) M song song với AB y '( x0 ) = x02 − = k AB = ⇒ x0 = 3(0 ≤ x ≤ 3) ⇒ M ( 3;1) ⇒ d ( M ; AB ) = / ⇒ MaxS MAB = 5.2 / = 3 - o0o Biên soạn: GV – Phan Phú Quốc – Tổ vật lý – Trường THPT Phan Châu Trinh- Phone: 0906306896 Lop12.net (5)