Chuyên đề: Vấn đề số phức

Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau Chú ý : tất cả các tính chất mà đúng với phép toán trên các số thực thì cũng đúng trên các số phức[r]

Ôn thi TN, Đại học & Cao đẳng Chuyên đề: Số phức CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC A Kiến thức cần nhớ Định nghĩa số phức: + Dạng đại số: z = a + bi, ( a, b  R, i2 = - 1) Các kết quả: Cho số phức z = a + bi, ta có: +) Phần thực là a, phần ảo là b, đơn vị ảo là i +) Môđun số phức : | z | a  b +) Số phức liên hợp : z  a  bi +) Điểm biểu diễn số phức mặt phẳng tọa độ Oxy là : M(a ; b) Các phép toán số phức +) Phép cộng, trừ và nhân các số phức thực tương tự cộng, trừ và nhân các số thực với chú ý i2 = - +) Phép chia số phức z1 cho số phức z2 thực theo quy tắc sau : z1 z2  z1 z z z  z1 z | z |2 +) Hai số phức và phần thực và phần ảo chúng tương ứng Chú ý : tất các tính chất mà đúng với phép toán trên các số thực thì đúng trên các số phức Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0, có  =b2 – 4ac +) Nếu  > 0, PT có nghiệm thực phân biệt x1,  b  2a b 2a bi | |  2a +) Nếu  = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 = +) Nếu  < 0, PT có nghiệm phức x1, Một số kết cần nhớ : i0 =  i4n = i2 = -  i4n + = - (1 – i)2 = - 2i 2) i1 = i  i4n + = i 4) i3 = - i  i4n + = - i 6) (1 + i)2 = 2i B Các dạng bài tập Bài Xác định phần thực, phần ảo và môđun các số phức sau 1) z = (4 – i)(3 + 2i) + (1 – i)2 2) z = (2 + 3i)2 – (3 + 4i)3 3) Z = (1 – i)(2 – i)(3 + i) 4) Z = ( 1+ i)2008 – (1 + i)2009 + (1 + i)2010 5) Z =  i  2i   2i  i 7) z   3i  (4  i ) (1  i ) 9) z2 – 2z + 4i (1  i )(1  2i )  (3  2i ) 6) z   2i zi 8) iz  10) Z = (1 – i)10 – (4 + i)(1 – 2i) Hướng dẫn : với các bài tập này, ta phải đưa các số phức đã cho dạng z = a + bi GV: Hồ Thanh Lai Lop12.net Ôn thi TN, Đại học & Cao đẳng Chuyên đề: Số phức Bài : Giải các phương trình sau trên tập số phức( z là ẩn) 2i   3i 1) (1 + z)(2 + 3i) = + i z 2) 1 i z2 3) – 7z – 17 = 5) (z – i)(z2 + 1)(z3 + i) = 7) z  z   4i  9) z2 + |z| = 11) (2  i) z   i (iz  z4 2i 4) – – 63 = 2 6) (z + z) +4(z2 + z) – 12 = 8) z  z  10) z2 + |z|2 = )0 2i 2z2 12) z  z  z2  z 1  Hướng dẫn : Đây là các phương trình ẩn z, ta giải với PT trên tập số thực Bài : Tìm các số thực x, y trường hợp sau ( z là số phức) 1) 2(x + i) + – 5yi = – 8i 2) x(1 + 3i) + y(i – 2) = + i 3) x(1 + 4i) + (y – 5)I = 3y + 4) x(3 + 5i) + y(1 – 2i)2 = + 14i 5) x(1 + i) + 4y – – (3y + 5)I = 6) 2z3 – 9z2 + 14z – = (2z – 1)(z2 + xz + y) 7) z4 – 4z2 – 16z – 16 =(z2 – 2z – 4)(z2 + xz – y) 8) z4 + 2z3 + 3z2 + 2z + =(z2 + 1)(z2 - xz – y) 9) z3 + 3z2 + 3z – 63 = (z – 3)(z2 - xz + y) 10) z3 – 2(1 + i)z2 + 4(1 + i)z – 8i = (z –ai)(z2 + bz + c) (a, b , c  R) Hướng dẫn: Thực chất đây là bài toán so sánh số phức Bài 4: Tìm tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z = x + yi, thỏa mãn điều kiện sau 1) |z – – i| = 2) |z + 3i + 4| < 3) | z - z + i| = 4) |z + z + – i| > 5) |z - z + + i| = 6) 2|z – i| = |z - z + 2i| 8) |2iz – 1| = 2|z + 3| 7) |2i - z | = | 2z – 1| 10) |z + 2| + |z – 2| = 9) |z2 - z | = 11) |z + 3|2 + | z – 3|2 = 20 12) |z – 2| = x + 13) | z – 2| - | z + 2| = 14) | z + 4| = y – 15) (2 – z)(i + z ) là số thực tùy ý 16) (2 – z)(i + z ) là số ảo tùy ý 17) zi là số thực ? zi 18) z  k , k là số thực dương ? z i Bài : Tìm các số phức thỏa điều kiện sau zi 1)   1  z i z 1 z  3i  và 1 3) z i zi 2) z  z 4)  3i  2i z 1 z  2i  và 1 z 3 zi Hướng dẫn : Dấu (||) các bài tập này hiểu là môđun các số phức Bài 6: (TN-2008) Tính giá trị biểu thức: P = 1  i   1  i  2 Bài 7: (ĐH-2009A) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức pt: z  z  10  Tính 2 giá trị biểu thức: A  z1  z2 Bài 8: (ĐH-2009B)Tìm số phức z thỏa mãn : z  (2  i)  10 và z.z  25 Bài 9: (ĐH-2009D)Trong mp(Oxy), tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: z  (3  4i)  GV: Hồ Thanh Lai Lop12.net