Chuyên đề 8: Lượng giác

Các bước giải một phương trình lượng giác Bước 1: Tìm điều kiện nếu có của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết[r]

Cao Cao Minh Minh Nhaâ Nhaânn LƯỢNG GIÁC Chuyên đề 8: TOÙM TAÉTGIAÙO KHOA A KIẾN THỨC CƠ BẢN: I Ñôn vò ño goùc vaø cung: Độ: Goùc 10  goùc beït 180 Radian: (rad) 180 o x O y 1800   rad Bảng đổi độ sang rad và ngược lại số góc (cung ) thông dụng: Độ Radian 00 300  450 600  900  1200 2  1350 3 1500 5 1800  II Góc lượng giác & cung lượng giác: Ñònh nghóa: (tia ngọn) y y (điểm ngọn)  B O x (Ox, Oy )    k 2 (k  Z)   O (tia gốc) t M  t  3600 2 x A (điểm gốc) AB    k 2 Đường tròn lượng giác: Số đo số cung lượng giác đặc biệt: y B C Lop12.net x A O D 33   Cao Cao Minh Minh Nhaâ Nhaânn A  B  C  D  A, C  B, D  2k   2k   2k -   2k k   k y B III Định nghĩa hàm số lượng giác: u' Đường tròn lượng giác:  A: ñieåm goác  x'Ox : trục côsin ( trục hoành )  y'Oy : truïc sin ( truïc tung )  t'At : truïc tang  u'Bu : truïc cotang x' 1 C R 1 O t u  A  1 D y' x t' Định nghĩa các hàm số lượng giác: a Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=  Gọi P, Q là hình chiếu vuông góc M trên x'Ox vàø y'Oy T, U là giao điểm tia OM với t'At và u'Bu Ta ñònh nghóa: t y t Trục sin Trục cotang u' U B M Q t O Trục cosin  T   x' u P sin   OQ x A tg  1 y' cos  OP cot g  BU Trục tang t' b Caùc tính chaát :  Với  ta có :  sin  hay sin  cos hay cos  tg xaùc ñònh   k 34 Lop12.net  AT Cao Cao Minh Minh Nhaâ Nhaânn  cotg xaùc ñònh  k c Tính tuần hoàn sin( k ) cos( k ) sin cos tg( k ) cot g( k ) tg cot g (k  Z ) IV Giá trị các hàm số lượng giác các cung (góc ) đặc biệt: Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt y t - - /3 -1 u' B 2/3 u /4 /6 1/2 - /2 - /2 -1/2 /2 /2 x O -/6 - /2 -1 -/2 450   600 900   35 Lop12.net -1 -/3 y' 300  - /3 -/4 - /2 Hslg  A (Ñieåm goác) -1/2 00 /3 1/2 -1 Goùc /2 5/6  /3 /3 /2 3/4 x' /2 t' 1200 2 1350 3 - 1500 5 1800 3600  2 Cao Cao Minh Minh Nhaâ Nhaânn sin  cos  tg  3 3 cotg  kxñ 2 2 2 kxñ 3 2  -1    3 -1 0 3   -1 0 kxñ kxñ  V Hàm số lượng giác các cung (góc) có liên quan đặc biệt: Đó là các cung : Cung đối : vaø - Cung buø vaø :  Cung phuï : vaø Cung hôn keùm  : vaø (toång baèng 0)   Cung hôn keùm  :  vaø ( toång baèng  )  ( toång baèng  ) (Vd: (Vd: (Vd:  (Vd:  Cung đối nhau: cos( ) cos sin( ) sin tg( ) tg cot g( ) cot g (Vd:  &  &     ,…) 5 ,…) &  ,…) & 2 ,…) & 7 ,…) Cung buø : Đối cos Buø sin Cung phuï : cos( ) sin(  ) tg( ) cot g( ) cos sin tg cot g Cung hôn keùm 36 Lop12.net  Cao Cao Minh Minh Nhaâ Nhaânn  cos(  ) sin sin(  ) cos tg(  ) cotg    Hôn keùm  sin baèng cos cos trừ sin Phuï cheùo  cos(  )  sin(  )  cos tg(  ) cotg cot g(  ) tg  cot g(  ) tg sin Cung hôn keùm  : cos( ) sin( ) tg(  ) cot g(  ) cos sin Hôn keùm  tang , cotang tg cot g 11 21 ) , tg Ví duï 1: Tính cos( 4 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: A  cos(   x)  cos(2  x)  cos(3  x) VI Công thức lượng giác: Các hệ thức bản: cos sin cos2 1  cotg2 = sin  tg cotg = 1  tg2 = sin cos cos cotg = sin tg = Ví dụ: Chứng minh rằng: cos x  sin x   sin x cos x cos x  sin x   sin x cos x Công thức cộng : cos( ) cos cos( ) cos sin( ) sin sin( ) sin .cos cos cos cos sin sin sin sin tg+tg  tg.tg tg tg tg( ) =  tg.tg tg(+ ) = 37 Lop12.net .sin sin cos cos Cao Cao Minh Minh Nhaâ Nhaânn Ví dụ: Chứng minh rằng:  1.cos   sin   cos(  )  2.cos   sin   cos(  ) Công thức nhân đôi: cos    cos 2 sin    cos 2 cos 2  cos2   sin   cos2     2sin   cos4   sin  sin 2  2sin  cos  2tg tg2   tg2 sin  cos   Công thức nhân ba: cos 3  cos3   3cos  sin 3  3sin   4sin  cos   cos 3  cos  sin   sin   sin 3 Công thức hạ bậc: cos    cos 2  cos 2 ; sin   ; 2 6.Công thức tính sin  ,cos  ,tg theo t  tg  2t 1 t2 2t sin   ; cos   ; tg  2 1 t 1 t 1 t2 Công thức biến đổi tích thành tổng : cos cos   cos( sin  sin   cos( sin  cos  sin( ) cos( ) cos( ) ) sin( ) Ví duï: Biến đổi thành tổng biểu thức: A  cos x cos x 38 Lop12.net ) sin 2 tg 2   cos 2  cos 2 Cao Cao Minh Minh Nhaâ Nhaânn Tính giá trị biểu thức: B  cos 5 7 sin 12 12 Công thức biến đổi tổng thành tích : coscos cos   .cos 2   cos cos 2sin sin 2   sin sin 2sin cos 2   sin sin cos sin 2 sin( ) tgtg coscos sin( ) tgtg coscos Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức: A  sin x  sin 2x  sin 3x Các công thức thường dùng khác: cos  sin cos( cos  sin cos(  )  ) sin( sin( 4  cos 4  cos 4 cos   sin   cos   sin   ) ) B PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Các bước giải phương trình lượng giác Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) ẩn số để hai vế pt có nghĩa Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến pt đã biết cách giải Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( có) Bước 4: Kết luận I Ñònh lyù cô baûn: ( Quan troïng ) sinu=sinv cosu=cosv  u = v+k2    u = -v+k2  u = v+k2    u = -v+k2 tgu=tgv  u = v+k cotgu=cotgv  u = v+k (u;v  k ) (u;v k ) ( u; v là các biểu thức chứa ẩn và k  Z ) 39 Lop12.net Cao Cao Minh Minh Nhaâ Nhaânn Ví duï : Giaûi phöông trình: sin x sin(  x) cos( x   cos4 x sin x  cos x  sin x II Các phương trình lượng giác bản: Daïng 1: sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m ( m  R ) * Gpt : sinx = m (1)  Neáu m  thì pt(1) voâ nghieäm  Neáu m  thì ta ñaët m = sin  vaø ta coù  x = +k2  x = ( - )+k2  (1) sinx=sin * Gpt : cosx = m (2)  Neáu m  thì pt(2) voâ nghieäm  Neáu m  thì ta ñaët m = cos  vaø ta coù  x = +k2  x =  +k2  ( pt luoân coù nghieäm m  R ) (2) cosx=cos * Gpt: tgx = m (3)  Ñaët m = tg  thì (3)  tgx = tg * Gpt: cotgx = m (4)  x = +k ( pt luoân coù nghieäm m  R ) Ñaët m = cotg  thì (4)  cotgx = cotg x = +k Các trường hợp đặc biệt: sin x  sinx =  x =  x = k  k 2 sin x  x = cosx  x =  k cosx = cos x   x= k 2  + k x = k 2 40 Lop12.net 3 (3 cos x ) )  cos Cao Cao Minh Minh Nhaâ Nhaânn Ví duï: 1) Giaûi caùc phöông trình : a) sin x  c) sin( x    b) cos( x ) d) cos( x  ) 0 ) 0 f) cos x  sin x  cos x e) sin x  cos x  2) Giaûi caùc phöông trình: cos4 x sin x cos x a)  b) sin x cos6 x  2 c) 4(sin x  cos x)  sin x   d) sin3 x.cos x cos3 x.sin x cos x x e) cot gx  sin x(1  tgx.tg )  2 Daïng 2: a sin x  b sin x c a cos2 x  b cos x c atg2 x  btgx c ( a  0) a cot g2 x  b cot gx c Caùch giaûi: Ñaët aån phuï : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx) bt c (1) Ta phương trình : at  Giaûi phöông trình (1) tìm t, roài suy x Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có) Ví duï : 5sin x a) cos2 x  d) cos x cos x  cos x cos3 x cos x b) cos x  c) 2sin x 4 5cos x cos4 x e) sin x  g) sin x x  cos4 2 sin x f) 2(sin x  cos x)  cos( 2sin x   x)  h) sin x  cos x  sin x cos x  41 Lop12.net Cao Cao Minh Minh Nhaâ Nhaânn k) Daïng 3: 2(cos x  sin x)  sin x cos x  sin x a cos x  b sin x c (1) l) 5(sin x  0 ( a;b cos x  sin x )  cos x   sin x 0) Caùch giaûi: Chia hai veá cuûa phöông trình cho a2  b2 thì pt a b c (1)  cos x sin x a2  b2 a2 b2 a2 b2   Ñaët a a2 b2 cosvaø b a2 (2)  cosx.cos+ sinx.sin  cos(x- ) = = c Ví duï : Giaûi caùc phöông trình : a) cos x  sin x  1 e) d Daïng 4: c a2  b Pt acosx + bsinx = c coù nghieäm  a2 c) 4(sin x  cos4 x ) sin x  thì : (3) a2  b Pt (3) coù daïng Giaûi pt (3) tìm x Chuù yù : với   0;2 sin b2 (2) b2 c2 b) cos x  sin x  d) tgx   cos x cos x  sin x  cos x  sin x  a sin x  b sin x.cos x c cos2 x (a;c 0) (1) Caùch giaûi 1: cos x cos x vaø cos2 x Aùp dụng công thức hạ bậc : sin x  2 và công thức nhân đôi : sin x.cos x  sin x thay vào (1) ta biến đổi pt (1) dạng Cách giải 2: ( Quy pt theo tang cotang ) 42 Lop12.net Cao Cao Minh Minh Nhaâ Nhaânn Chia hai vế pt (1) cho cos2 x ta pt: atg2 x  btgx c Đây là pt dạng đã biết cách giải Chú ý: Trước chia phải kiểm tra xem x    k coù phaûi laø nghieäm cuûa (1) khoâng? Ví duï : Giaûi phöông trình: sin x  (1  ) sin x cos x  cos x    d Daïng 5: a(cos x  sin x ) b sin x.cos x c Caùch giaûi :  cos x sin x Ñaët t  sin x )2 Do (cos x  cos( x  (1) ) với - 2sin x.cos x t sinx.cosx=  Thay vào (1) ta phương trình : t2  at  b c (2)  Giaûi (2) tìm t Choïn t thoûa ñieàu kieän roài giaûi pt: t2   cos( x  ) t tìm x Ví duï : Giaûi phöông trình : sin x  2(sin x cos x ) Chuù yù : a(cos x  sin x ) b sin x.cos x c Ta giải tương tự cho pt có dạng : Ví duï : Giaûi phöông trình : sin x  4(cos x sin x ) 4 Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng : Biến đổi pt đã cho các dạng pt lượng giác đã biết a Phöông phaùp 1: Ví duï: Giaûi phöông trình: sin x  cos x  sin x  0 43 Lop12.net Cao Cao Minh Minh Nhaâ Nhaânn Biến đổi pt đã cho dạng tích số b Phöông phaùp 2: Cơ sở phương pháp là dựa vào các định lý sau đây: A.B   A=0  B=0  A.B.C  Ví duï : Giaûi caùc phöông trình : sin 2 x sin x a sin x  cos x cos x c 2sin3 x  c Phöông phaùp 3:  A=0  B=0  C=0 cos2 x b sin x  sin x cos2 x d sin x  2 cos x  sin( x   )3 Biến đổi pt dạng có thể đặt ẩn số phụ Moät soá daáu hieäu nhaän bieát : * Phương trình chứa cùng một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa) Ví duï : Giaûi caùc phöông trình : a cos x  cos x  cos x   b cos x  cos x  cos x   8cos x c cos x  cos x d sin x  cos x  * Phương trình có chứa (cos x  sin x ) và sinx.cosx Ví duï : Giaûi phöông trình : a  sin3 x  cos3 x  sin 2x 3 b sin x  cos x  2(sin x  cos x)  44 Lop12.net