Câu II: 1: Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit Hàm số: Tính đồng biến; nghịch biến và dạng của đồ thị Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit Học sinh cần giải [r]
(1)CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN TOÁN LỚP 12 CÁC CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN SỐ PHỨC PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU-PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Lop12.net (2) Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin Kỹ Năng Cơ Bản Giải Đề Thi TNTHPT Câu I Khảo sát hàm số: Yêu cầu đủ đúng các bước bài toán KSHS a Tập xác định b Sự biến thiên Giới hạn; đường tiệm cận(nếu có) Tính y’; xét dấu y’ Kết luận đồng biến và nghịch biến; cực trị hàm số (* Chú ý) Lập bảng biến thiên c Đồ thị Dựa vào bảng biến thiên xác định đơn vị và vẽ hệ trục tọa độ cho hợp lí Khi vẽ đồ thị phải vẽ hết mặt phẳng tọa độ Bài toán liên quan 2.1 Tiếp tuyến: Biết tọa độ tiếp điểm( tìm tọa độ tiếp điểm) Biết tìm hệ số góc 2.2: Tương giao hai đồ thị: Biến đổi phương trình làm xuất hàm số vừa khảo sát 2.3 Bài toán đồng biến; nghịch biến: Lưu ý định lí mở rộng 2.4 Bài toán cực trị: Sử dụng dấu hiệu và Dạng toán: Tìm cực trị; viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị; tính khoảng cách hai điểm cực trị 2.5 Các điểm đặc biệt: Điểm có tọa độ nguyên Điểm cách hai trục tọa độ; điiểm cách hai đường tiệm cận Câu II: 1: Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit Hàm số: Tính đồng biến; nghịch biến và dạng đồ thị Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit Học sinh cần giải các phương trình; bất phương trình đơn giản; có thể đưa dạng bản(Bằng các phép biến đổi đã học) GTLN; GTNN hàm số: Cần nắm vững qui trình tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ hàm số trên khoảng; đoạn Nguyên hàm, tích phân: Lưu ý : Kĩ nhận dạng chọn phương pháp hợp lí Chú ý các dạng bài tập tích hợp nhiều phương pháp (Sau biến đổi hai tích phân độc lập và sử dụng hai phương pháp riêng biệt) Câu III: Kĩ vẽ hình Tính diện tích; khoảng cách; thể tích (viết công thức tính; thay các yếu tố đã biết) Kĩ tính độ dài đoạn thẳng(ghép vào tam giác; chọn tam giác phù hợp) Câu IV: Rèn luyện: Kĩ tính tọa độ vectơ; điểm Kĩ viết phương trình mặt cầu; ptđt; ptmp Ghi nhớ chính xác công thức tính góc; khoảng cách; thể tích; diện tích Câu V Số phức: Ôn tập SGK Ứng dụng tích phân: Ôn tập SGK -2Lop12.net (3) Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12 Chủ đề I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Vấn đề TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tính đơn điệu hàm số B1: Tìm tập xác định hàm số B2: Tính đạo hàm hàm số Tìm các điểm xi (i = 1; 2;…;n) mà đó y’=0 không xác định B3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên B4: dựa vào định lý sau để Nêu kết luận các khoảng đồng biến; nghịch biến Định Lý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K Nếu f '(x) > 0, x K thì y = f(x) đồng biến trên K Nếu f '(x) < 0, x K thì y = f(x) nghịch biến trên K *Chú ý: Nếu f (x) = 0, x K thì f(x) không đổi trên K Loại 1: Xét biến thiên hàm số Xét đồng biến và nghịch biến hàm số: a) y = x3 – 3x2 + b) y = − x4 + 4x2 – c) y x d) y x e) y = x – ex x2 Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến nghịch biến trên khoảng xác định Chứng minh hàm số y x x nghịch biến trên đoạn [1; 2] Chứng minh hàm số y x đồng biến trên nửa khoảng [3; + ) Dạng Tìm giá trị tham số để hàm số cho trước đồng biến; nghịch biến trên khoảng xác định cho trước Phương pháp: Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu hàm số Sử dụng định lí dấu tam thức bậc hai f(x) đồng biến trên K f’(x) ≥ 0; x K ( f'(x) ) xK f(x) nghịch biến trên K f’(x) ≤ 0; x K ( max f'(x) ) xK Hàm số bậc Tập xác định Đạo hàm y/ ( y’ = ax2 + bx Hàm số tăng trên (từng khoảng xác định): y/ 0; x Hàm số giảm trên (từng khoảng xác định): y/ ≤ 0; x + a a c = 0) Giải Tìm m Giải Tìm m Chú ý: Nếu hệ số a y/ có tham số thì phải xét a = Hàm số biến : y ax b cx d Tập xác định Đạo hàm y/ Hàm số tăng (giảm) trên khoảng xác định : y/ > ( y/ < ) ad − bc (tử) > (<0) Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c = Tổng quát: “Tìm m để hàm số y = f(x;m) đồng biến trên K” B1 Tính đạo hàm f’(x;m) B2 Lý luận: Hàm số đồng biến trên K f’(x;m) 0; x K m g(x); xK (m g(x)) B3 Lập BBT hàm số g(x) trên K Từ đó suy giá trị cần tìm tham số m Tìm giá trị tham số a để hàm số f ( x) -3Lop12.net x ax x 3 đồng biến trên (4) Chủ đề tự chọn 12 Cho hàm số Tổ: Toán - Tin 1 m y x 2 m x 2 m x a Định m để hàm số luôn luôn đồng biến; b Định m để hàm số luôn luôn nghịch biến Định m để hàm số y x Tìm m để hàm số y mx Định m để hàm số: 2mx 3m x 2m đồng biến khoảng xác định m 1 x m x y x2 m x 1 luôn đồng biến trên đồng biến trên khoảng xác định nó Dạng Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh BĐT (nâng cao) Đưa BĐT dạng f(x)>0 (hay f(x)≥ 0);x(a;b) Tính f’(x); xét dấu f’(x) suy f(x) đồng biến (hay nghịch biến trên (a;b) Áp dụng định nghĩa: f(x) đồng biến x1 < x2 f(x1) < f(x2); f(x) nghịch biến x1 < x2 f(x1) > f(x2) Kết luận BĐT cần phải chứng minh ( f(x) đồng biến / [a; b] thì f(a) ≤ f(x) ≤ f(b); f(x) nghịch biến /[a; b] thì f(a) ≥ f(x) ≥ f(b)) 1) Chứng minh: sinx + tanx > 2x với x K = 0; 2 Giải: Xét f(x) = sinx + tanx – 2x liên tục /K ta có x K ta có 0< cosx <1 cosx > cos2x nên f’(x) > cos2x + 2 cos x 2 = (cos x2 1) >0 cos x f'(x) = cos x cos x −2 f đồng biến/ 0; f(x) > f(0) x 0; ĐPCM 2 2 2) CMR: a) f(x) = 2sinx + tanx −3x tăng trên 3) b) 2sin x tan x x, x 0; 2 1 cos x cos x 1 0, x 0; Kết cos x 2 Từ câu a) suy f(x) > f(0) = 0; x 0; 2sin x tan x 3x, x 0; (đpcm) 2 2 CMR: a) f(x) = tanx − x đồng biến trên 0; b) tan x x x , x 0; 2 2 a) Hàm số liên tục b) trên 0; 2 0; và f’(x) = Vấn đề CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng Tìm cực trị hàm số Phương pháp: Dựa vào qui tắc để tìm cực trị hàm số y = f(x) Qui tắc I B1: Tìm tập xác định B2: Tính f’(x) Tìm các điểm đó f’(x) = f’(x) không xác định B3 Lập bảng biến thiên B4: Từ bảng biến thiên suy các cực trị Qui tắc II B1: Tìm tập xác định B2: Tính f’(x) Giải phương trình f’(x) = và kí hiệu là xi là các nghiệm nó B3: Tính f ”(xi) B4: Dựa vào dấu f ” (xi) suy cực trị f ”(xi) > thì hàm số có cực tiểu xi; f ”(xi) < thì hàm số có cực đại xi -4- Lop12.net (5) Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12 Chú ý: Qui tắc thường dùng với hàm số lượng giác việc giải phương trình f’(x) = phức tạp Ví dụ Tìm cực trị hàm số y x3 3x 36 x 10 Qui tắc I Qui tắc II D= D= y ' x x 36 y ' x x 36 x y ' x x 36 x 3 x y ' x x 36 x 3 x y' −∞ + y −3 71 − +∞ + +∞ − 54 −∞ Vậy x = −3 là điểm cực đại và ycđ =71 x= là điểm cực tiểu và yct = − 54 Tìm cực trị các hàm số sau: y”= 12x + y’’(2) = 30 > nên hàm số đạt cực tiểu x = và yct = − 54 y’’(−3) = −30 < nên hàm số đạt cực đại x = −3 và ycđ =71 a y = 10 + 15x + 6x x b y = x x 432 d y = x 5x + e y = 5x + 3x 4x + a y = x+1 x2 a y = x - x2 b y = b y = c y = x x 24 x f y = x 5x x2 x (x - 4) x 3x c y = d y = x 1 x 1 x 2x x+1 - 3x x c y = d y = e y = x - x 2 x 1 1-x 10 - x * a y x sin x +2 b y cos x cos x c y 2sin x cos x ( x [0; ]) Dạng Xác lập hàm số biết cực trị I) điều kiện cho hàm số y = f(x) đạt cực trị x = a B1: Tính y’ = f’(x) f '(a ) tìm giá trị m f ''(a ) B2: B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn điều kiện đã nêu không ( vì hàm số đạt cực trị a thì f’(a) = không kể CĐ hay CT) II) điều kiện cho hàm số y = f(x) đạt cực đại x = a f '(a ) tìm giá trị m f ''(a ) III) điều kiện cho hàm số y = f(x) đạt cực tiểu x = a f '(a ) tìm giá trị m f ''(a ) IV) Điều kiện để hàm bậc có cực trị (có cực đại, cực tiểu) a y’=0 có nghiệm phân biệt V) Điều kiện để hàm bậc có cực trị Y’=0 có nghiệm phân biệt Ví dụ Tìm m để hàm số y = x3 – 3mx2 + ( m − 1)x + đạt cực tiểu x = Ta có y ' 3x 6mx m Hàm số đạt cực trị x = thì y’(2) = 3.(2)2 6m.2 m m -5Lop12.net (6) Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin Với m = ta hàm số: y = x3 – 3x2 + có : x y ' 3x x y ' x x = hàm số đạt giá trị cực tiểu Vậy m = là giá trị cần tìm Xác định m để hàm số y = mx3 + 3x2 + 5x + đạt cực đại x = Tìm m để hàm số Tìm m để hàm số y x mx (m ) x có x mx y đạt cực đại xm cực trị x =1 Đó là CĐ hay CT x = Tìm m để hàm số y = x3 – 2mx2 + m2x – đạt cực tiểu x = Tìm các hệ số a; b; c cho hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c đạt cực tiểu điểm x = 1; f(1) = −3 và đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ Dạng Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Một số dạng bài tập cực trị thường gặp Hàm sô y = f(x) có y’ = ax2 + bx + c=0 có nghiệm phân biệt a y ' hàm số có cực trị hai cực trị nằm phía trục Ox yCĐ.yCT < hai cực trị nằm phía trục Oy xCĐ.xCT < yCĐ yCT yCĐ yCT hai cực trị nằm phía trên trục Ox yCĐ yCT yCĐ yCT hai cực trị nằm phía trục Ox đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành yCĐ.yCT = Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu a) y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx + m (−3 < m < và m ≠ 2); b) y = x 2m x m x 1 (−1<m<1) Tìm m để các hàm số sau không có cực trị a) y = (m − 3)x3 − 2mx2 + b) y = mx xm (m=0) xm 3* Cho y x3 m 1 x m2 7m x 2m m Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại; cực tiểu HD : y ' 3x m 1 x m2 7m y ' x m 1 x m m …….KQ: m 17 m 17 Vấn đề GIÁ TRỊ LỚN NHẤT −GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Cách : Tìm GTLN và GTNN trên khoảng (a ;b) B1: Tính đạo hàm hàm số y’ = f’(x) B2: Xét dấu đạo hàm f’(x); lập bảng biến thiên, Trong đó x0 thì f’(x0) không xác định Cách 2: Để tìm GTLN; GTNN hàm số y = f(x) trên [a; b] B1: Tìm y’,y’=0 tìm xi a; b B2: Tính f(a); f(x1); f(x2); …; f(xn); f(b) B3: GTLN = Max{ f(a); f(x1); f(x2); …; f(xn); f(b)} GTNN = Min{ f(a); f(x1); f(x2); …; f(xn); f(b)} -6Lop12.net (7) Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12 Ví dụ Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số Hướng dẫn: hàm số xác định nên liên tục trên y ' 1 KL: x 1 x 1 , y' x x x 1 (0; ) f ( x) = (0; ) y x x trên khoảng (0; ) (0; ) Lập BBT x = và hàm số không có giá trị lớn Ví dụ Tính GTLN; GTNN hàm số y x3 x 3x trên đoạn [−4; 0] Hướng dẫn Hàm số xác định nên liên tục trên [−4; 0] x 1 f (4) 16 , f (3) 4, f (1) 16 , f (0) 4 x 3 f’(x) = x2 + 4x +3; f’(x)=0 Vậy: Max f(x) x[-4;0] = f(−3) = f(0) = − 4; Min x[-4;0] f(x) = f(−4) = f(−1) = 16 3 VD3: Tìm GTLN, GTNN hàm số y x x x trên đoạn: a) [–1; 2] b) [–1; 0] c) [0; 2] d) [2; 3] y ' 3x x ; y ' x x 59 y ; y(1) 27 a) y(–1) = 1; y(2) = 4 y y(1) y(1) max y y(2) 1;2 59 b) y(–1) = 1; y(0) = 2 y y(1) max y y 1;0 1;0 27 1;2 c) y(0) = 2; y(2) = 4 y y(1) max y y 0;2 0;2 d) y(2) = 4; y(3) = 17 y y(2) max y y 3 17 2;3 2;3 Tính GTLN, GTNN hàm số: a) y x 3x x 35 trên các đoạn [–4; 4], [0; 5] b) y x 3x trên các đoạn [0; 3], [2; 5] c) y 2 x trên các đoạn [2; 4], [–3; –2] 1 x d) y x trên [–1; 1] Giải y 41; max y 40 [4;4] a) 4;4 y 8; max y 40 [0;5] 0;5 y 0; c) 2;4 y 1; 11; y ; b) 0;3 y 6; 2;5 max y 56 d) y 1; max y [2;4] max y max y [11 ;] [0;3] max y 552 [2;5] [11 ;] [11 ;] Tìm GTLN, GTNN các hàm số sau: a) y 1 x2 b) y x 3x c) y x Giải -7Lop12.net d) y x ( x 0) x (8) Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin a) max y ; không có GTNN b) max y ; không có GTNN c) y ; không có GTLN d) y ;không có GTLN R R R (0; ) Luyện tập Tìm GTLN; GTNN hàm số (nếu có): a) y = x3 + 3x2 – 9x + trên [−4; 4]; b) y = x3 + 5x – trên [−3; 1] c) y = x4 – 8x2 + 16 trên [−1; 3]; d) y = x3 + 3x2 – 9x – trên [−4; 3] x trên (−2; 4]; x+2 y= trên ; 3 ; cosx 2 a) y = c) e) y = x2.ex trên [−1;1]; b) y = x + + d) y = x f) y = x ln x trên [e;e3] a f(x)=2sin x sin x trên 0; (M 0; ( b f(x)= cos x 4sin x trên 1 x2 c f(x) = x2 ln(1−2 x) trên đoạn [−2;0] d.f(x) = sin3x − cos2x + sinx + trên x 1 (1; +∞); ; g) y= ln(x2 +x−2) trên [ 3; 6] 3 f( ) f( ) ; m f (0) f ( ) 4 ) M f ( ) 2; m f (0) ) ( M f (2) ln 5; m f ( ) ln ) 23 ( M = 5;m = ) 27 e f(x) = cos3x − 6cos2x + 9cosx + ( M = 9;m = −11) Vấn Đề 4: Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số I ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng vô hạn Đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f(x) ít các điều kiện sau thoả mãn: lim f ( x ) y0 , lim f ( x ) y0 x x Chú ý: Nếu lim f ( x ) lim f ( x ) y0 x x thì ta viết chung là lim f ( x ) y0 x Cách tìm tiệm cận ngang Nếu tính lim f ( x ) y0 lim f ( x ) y0 thì đường thẳng y = y0 là TCN x x đồ thị hàm số y = f(x) VD1: Tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số: a) y 2x 1 x 1 b) y x 1 x2 1 c) y x 3x x2 x 1 d) y x7 VD2: Tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số: a) y x 1 x 3x x 3 x 3x b) y c) y 2x 1 x 3x d) y x x7 II ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG Định nghĩa Đường thẳng x = x0 đgl tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f(x) ít các điều kiện sau thoả mãn: -8Lop12.net (9) Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12 lim f ( x ) ; lim f ( x ) ; lim f ( x ) ; lim f ( x ) x x0 x x0 x x0 x x0 Cách tìm tiệm cận đứng đồ thị hàm số Nếu tìm lim f ( x ) lim f ( x ) , x x0 lim f ( x ) , x x0 x x0 lim f ( x ) x x0 thì đường thẳng x = x0 là TCĐ đồ thị hàm số y = f(x) VD1: Tìm tiệm cận đứng đồ thị hàm số: x2 x 1 b) y x 1 2x 1 a) y x 3 y c) y x 1 d) x 3x x7 VD2: Tìm TCĐ và TCN đồ thị hàm số: a) y y x 1 x 3 b) y x 3x x2 x c) y x2 x x 3 2x 1 d) x2 x Tìm các tiệm cận đồ thị hàm số: a) y x 2 x b) y x x 1 c) y 2x 5x d) y 1 x Tìm các tiệm cận đồ thị hàm số: a) y y 2 x b) y x2 x 1 x2 x 1 c) y x 5x x 3x x 1 d) x 1 Tìm m để đồ thị hàm số có đúng hai TCĐ: a) y x 2mx m b) y x2 x 2(m 1) x c) y x 3 x2 x m Vấn đề Khảo sát hàm số Tìm tập xác định hàm số Tính đạo hàm y’; tìm nghiệm phương trình y’= 0.hoặc y’ không xác định Tìm các giới hạn vô cực; các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có) Lập bảng biến thiên Ghi các kết hàm số: đồng biến,nghịch biến, điểm cực đại,điểm cực tiểu (nếu có) Tìm điểm đặc biệt và tính đối xứng đồ thị Vẽ đồ thị Hàm số bậc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) − Xét y’ = : ≤ luôn đồng biến ( a > 0) nghịch biến (a < 0) trên > có điểm cực trị -9Lop12.net (10) Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin − Đồ thị có tâm đối xứng là điểm uốn I(xo; yo) với xo là nghiệm phương trình y Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) − Có cực trị ( a.b ≥ 0) có cực trị (a b < 0) − Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng Hàm biến: y = ax b (c ≠ 0; ad – bc ≠ 0) cx d − Luôn đồng biến nghịch biến trên (−∞; − d ) và (− d ; +∞) − Tiệm cận đứng: x = −d c ; tiệm cận ngang y = c a c c − Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng Vấn đề CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng 1: Sự tương giao đồ thị: a) Bài toán 1: Tìm số giao điểm hai đường C1 : y f x và C2 : y g x Lập phương trình hoành độ giao điểm C1 và C2 : f x g x Số nghiệm phương trình hoành độ giao điểm chính là số giao điểm hai đường b) Bài toán 2: Dùng đồ thị (C) biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình Biến đổi phương trình đã cho phương trình hoành độ giao điểm (một vế là phương trình hàm số đã có đồ thị (C); vế là phần còn lại Lập luận: Số nghiệm phương trình chính là số giao điểm (C) và (d) Dựa vào đồ thị; ta tìm các giá trị m ảnh hưởng đến số giao điểm (C) và (d) Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f(x) Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y = f(x) điểm M0 x0 ; f ( x0 ) (C) y y0 f '( x0 ).( x x0 ) (y0 = f(x0)) Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y = f(x), biết tiếp tuyến có hệ số góc k Gọi M (x0; y0) là toạ độ tiếp điểm f(x0) = k(*) Giải pt (*), tìm x0 Từ đó viết pttt Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y = f(x), biết tiếp tuyến qua điểm A(x1; y1) VD2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số sau các giao điểm (C) với trục hoành: y 3x x Phương trình có dạng: y – yo = k (x – xo) ( hệ số góc tiếp tuyến k = f’(xo) ) a) Tại Mo(xo; yo): tìm hệ số góc tiếp tuyến k = f’(xo) b) Biết hệ số góc k tiếp tuyến: sử dụng k f ( x0 ) tìm x0 ; tìm y0 Tiếp tuyến // d: y = ax + b có hệ số góc tiếp tuyến k = a f’(x0 ) = a; giải phương trình tìm x0 ; x0 vừa tìm vào (C) tìm y0 Tiếp tuyến d: y = ax + b có hệ số góc tiếp tuyến k = a giải phương trình tìm x0 ; x0 vừa tìm vào (C) tìm y0 Bài 1: 1/Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = 2x3 – 3x2 - 10 Lop12.net f’(x0 ) = a ; (11) Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12 2/Tìm k để phương trình : 2x3 – k= 3x2 +1 có nghiệm phân biệt Đáp số :( − < k < −1) Bài 2: Cho hàm số y = x4 + kx2 − k −1 ( 1) 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số k = −1 2/ Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= x − ĐS : y= −2x−2 3/ Xác định k để hàm số ( ) đạt cực đại x = −2 Bài 3: 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = (x−1)2 ( − x ) 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm uốn (C) ĐS : y = 3x − 3/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) qua A( ; ) Đáp số : y = và y = −9x + 36 Bài 4: Cho hàm số y= x – ax2 + b 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số a =1 ; b = − 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với Ox Đáp số : y 4 3.x 12 và y 3.x 12 Bài 5: a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y= x4 − 3x2 + b/ Viết phương trình tiếp tuyến (C) các điểm uốn Đáp số : y = 4x+3 và y = −4x +3 c/ Tìm các tiếp tuyến (C) qua diểm A ( 0; Đáp số : y = ; y = 2 2.x ) Bài 6: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m − có đồ thị (Cm ) 1/ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m= 2/ Gọi A là giao điểm (C) và trục tung Viết phương trình tiếp tuyến d (C) A 3/ Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành điểm phân biệt Bài 7: Cho hàm số y= x3 x2 m2 2 có đồ thị ( Cm ) 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị(C) hàm số với m = −1 2/ Xác định m để ( Cm) đạt cực tiểu x = −1 3/ Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến vuông góc : y= − x Đs: y = x 19 ;y Bài :1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y= − 2/ Tìm các giá trị m để pt : 3/ Tìm m để pt : = 2x 3 x 3 x 3 x – 2x2 − 3x + + 2x2 + 3x + m = có nghiệm phân biệt +2x2 +3x −2 + m2 = có nghiệm 4/ Viết pttt (C) song song với đường thẳng y = −3x Bài9 : 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3 – 3x +1 2/ Một đường thẳng d qua điểm uốn (C)và có hệ số góc Tìm toạ độ giao điểm d và (C) ĐS: ( 0; 1) (2; ) ( −2; −1 ) - 11 Lop12.net (12) Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin Bài 10 : 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = − x 2x2 4 2/ Vẽ và viết pttt với đồ thị (C) tiếp điểm có hoành độ x= ĐS: y= 3x+1 Bài 11 : 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số : y = x3 − 6x2 + 9x 2/ Với các giá trị nào m ; đường thẳng y = m cắt (C) điểm phân biệt Bài 12 : 1/ Tìm các hệ số m và n cho hàm số : y = − x3 + mx + n đạt cực tiểu điểm x = −1 và đồ thị nó qua điểm ( ; 4) 2/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số với các giá trị m ; n tìm Bài 13: : 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = 2x x 1 2/ Tìm các giá trị m để đường thẳng y = mx + cắt đồ thị (C) điểm phân biệt m 6 5; m 6 m ĐS : Bài 14 : 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số : y = x4 + x2 −3 2/ CMR đường thẳng y = −6x−7 tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho điểm có hoành độ −1 Bài 15 : 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số : y = x 2x 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với a) giao điểm (C) với trục hoành b) giao điểm (C) với trục tung c) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) : 7x – y +2 =0 Bài 16 : Cho hàm số y = (C) 1 x (a 1) x (a 3) x 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số a = 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm uốn (C) ĐS : y = 4x 11 Bài 17 : Cho hàm số y = x3 + ax2 + bx +1 1/ Tìm a và b để đồ thị hàm số qua điểm A( 1; 2); B( −2; −1) ĐS : a = ; b = −1 2/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số ứng với a và b tìm Bài 18 : Cho hàm số y = x4 + ax2 + b 1/ Tìm a và b để hàm số có cực trị ĐS : a = −2 ; b = x = 2/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số ứng với a = 1 và b = 3/ Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ Bài 19 : 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = 2 x 2/ Tìm các giao điểm (C) và đồ thị hàm số y = x2 + Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm ĐS : y = x 1 ; y = 2x Bài 20 : Cho Hàm số y 2x 1 (TN2009) x2 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho - 12 Lop12.net (13) Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12 b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -5 Bài 21 : Cho hàm số y x3 x (TN2010) c) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho d) Tìm các giá trị m để phương trình x3 x m có nghiệm thực phân biệt Bài 22 :Cho hàm số y 2x 1 (TN2011) 2x 1 a) khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C)của hàm số trên b) Xác định tọa độ giao điểm đồ thị(C) với đường thẳng y x Bài 23.cho hàm số y x3 3x m x m a) khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b) tìm tất các giá trị m để hàm số có cực đại,cực tiểu và các điểm cực đại và cực tiểu đồ thị đối xứng qua đường thẳng y x (đề 1) Bài 24.cho hàm số y x3 x x (đề 4) a) khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b) từ đồ thị hàm số đã cho suy đồ thị hàm số y x3 x x Bài 25.cho hàm số y x x (đề 7) a) khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b) xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt x x m 3m 3 Bài 26 cho hàm số y x3 x (đề 8) a) khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b)tìm trên đồ thị (C) điểm mà đó tiếp tuyến đồ thị C vuông góc với đường thẳng y x 3 Bài 27 cho hàm số y x3 x m ( đề 10) a) khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho m= b) tìm các giá trị tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt Bài 28 cho hàm số y x3 x x (đề 16) a) khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b) tìm diện tích giới hạn đồ thị hàm số và đường thẳng y x Bài 29.cho hàm số y x3 3x (đề 19) a) khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b)chứng minh m thay đổi, đường thẳng cho phương trình y m( x 1) luôn cắt đồ thị hàm số điểm A cố định Bài 30 cho hàm số y x3 3(a 1) x 3a(a 2) x (đề 20) a) khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho a=0 b) với giá trị nào a thì hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trị x cho: 1 x Bài 31 cho hàm số y x3 mx x m (đề 25) - 13 Lop12.net (14) Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin a) khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho m=0 b)trong tất các tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã khảo sát hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ c) chứng minh với m, hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu hãy xác định m cho khoảng cách các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ Bài 32 cho hàm số y x3 3x (đề 29) a) khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b) viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số trên, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y x Bài 33.cho hàm số y x2 (đề 39) x 1 a) khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b) cho điểm A(0;a) xác định a để từ A kẻ hai tiếp tuyến đến C cho hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục Ox Bài 34 .cho hàm số y x (m 10) x (đề 40) a) khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho m=0 b) chứng minh với m đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành điểm phân biệt.chứng minh số các giao điểm đó có hai điểm nằm khoảng (3;3) và có điểm nằm ngoài (-3;3) Bài 35 cho hàm số y x3 3(2m 1) x 6m(m 1) x (đề 41) a) khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho m=1 b)chứng minh với m hàm số luôn đạt cực trị x1 ; x2 với x2 x1 không phụ thuộc vào m - 14 Lop12.net (15) Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12 Chủ đề II HÀM SỐ; PHƯƠNG TRÌNH; BPT MŨ ; LÔGARIT TÓM TẮT KIẾN THỨC: 1) Luỹ thừa: Các công thức cần nhớ: an a 1; m n ; a n am an Tính chất lũy thừa: am amn ; an a m a n a m n ; a m n a mn ; ab n an a bn b a n b n ; n ; Quy tắc so sánh: + Với a > thì a m a n m n + Với < a < thì a m a n m n 2) Căn bậc n: n a.b n a n b ; n a na b nb ; n am a n m ; m n a mn a 3) Lôgarit: Định nghĩa: Cho a, b 0; a : log a b a b Tính chất: log a 0; log a a 1; log a a ; a log b b Quy tắc so sánh: + Với a > thì: log a b log a c b c + Với < a <1 thì: log a b log a c b c a log a b1 b2 log a b1 log a b2 ; Quy tắc tính: log a b log a b ; Công thức đổi số: log a b Chú ý: hiệu là lnx log a b1 log a b1 log a b2 b2 log a b log a b.log b c log a c ; log a b log b c log a c log a b hay log b a hay log a b.log b a ; Lôgarit thập phân (cơ số 10) kí hiệu là: logx lgx, Lôgarit số e kí Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1) Hàm số mũ y = ax: TXĐ: ; y = ax > với x Hàm số đồng biến trên R a > 1; nghịch biến trên R < a < f (x) g(x) f (x) 2) Dạng bản: a a f ( x ) g( x ); a g( x ) f ( x ) log a g ( x ) a f (x) a g(x) 0 a a 0 a f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) 0 a 1, g ( x ) Dạng 1:Phương pháp Đưa cùng số 1.Biến đổi đưa dạng : a f ( x ) a g ( x ) Chú ý đến các công thức sau: ax ax a x a x y ; x ( ) y b a b x a a x a y a x y ; a 1; a x Ví dụ 1) 2x 3x 2 ; 2) 1 3 x x 1 3; 3) x 1 x 36 ; - 15 Lop12.net 4) x.22 x 1 50 (16) Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin 1) pt x 3 x 22 x2 + 3x – = −2 x2 + 3x = x = x = − 2) pt 3 ( x 3 x 1) 31 … x2 – 3x + = x = x = 2 3) pt 2.2 x x 36 4) 5x.22 x 1 50 5x x 8.2 x x 36 9.2 x 36.4 x 24 x 4 50 20 x 100 x log 20 100 3.Biến đổi dạng Phương Trình Tích: A(x).B(x)=0 2.Biến đổi dạng : a f ( x ) b f ( x) log a b;(0 a 1; b 0) Dạng đặt ẩn phụ (Đưa phương trình dạng phương trình bậc 2,3) 1.Biến đổi đưa phương trình dạng: m.a f ( x ) na f ( x ) b Cách giải: B1: đặt t a f ( x ) ĐK t B2: Phương trình trở thành m.t nt b 2.Biến đổi đưa dạng: m.a f ( x ) na f ( x ) b Cách Giải: B1: đặt t a f ( x ) ĐK t t B2 Phương trình trở thành m.t n b Ví dụ 1) 32 x 8 4.3x 5 27 ; 2) 25x 2.5x 15 ; 1) pt 38.32 x 4.35.3x 27 6561 3x 972.3x 27 (*) 3) Đặt t = 3x > ta có phương trình (*) 6561t2 – 972t + 27 = Với t 3x 32 x 2 ; 2) pt 5x 2.5 x 15 Với (*) Đặt t t 3x 32 x 24 1 t 27 3x 33 x 3 27 t 5x ; t t 3 (loai) (*) t 2t 15 Với t = 5x = x = Vậy phương trình có nghiệm: x = 24 3x 24.3x (*) x t t 3x Pt (*) 9t 24t t ( loai) 3) pt Đặt Với 9.3x t 3x x ; Vậy phương trình có nghiệm: x 1 Bài tập: (TNBTT2010) giải : 9x – 3x – = (TNBTT2007) x 2.71 x a) 22x + + 22x + = 12 b) 92x +4 − 4.32x + + 27 = c) 52x + – 110.5x + – 75 = d) g) x 5 2 2 2 5 5 x 1 x e) 5 52 x x 53 10 x f) 20 4 15 4 h) 32 x 1 9.3x x i) log a (a f ( x ) b g ( x ) c h ( x ) ) log a d log a a f ( x ) log a b g ( x ) log a c h ( x ) log a d f ( x) g ( x) log a b h( x) log a c log a d b) 3x + = 5x – c) 3x – = - 16 Lop12.net 5x x 2 22 x 9.2 x Dạng Logarit hóạ 1.phương pháp lấy logarit hai vế với số thích hợp Dạng Tổng Quát: a f ( x ) b g ( x ) c h ( x ) d Cách Giải: Lấy logarit hai vế ta có a) 2x − = 15 x 12 (17) Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12 x 1 d) x 5x 5 x e) 5x.8 x 500 f) 52x + 1− 7x + = 52x + 7x Dạng sử dụng tính đơn điệu a) 3x + x = 5x b) 3x – 12x = 4x c) + 3x/2 = 2x Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT Hàm số: y = logax có tập xác định D = (0 ; +∞); a Tập giá trị: Tính chất: Hàm số đồng biến a > 1; nghịch biến < a < Phương trình và bất phương trình bản: 0 a f ( x) g ( x) 0 a log a f ( x) log a g ( x) log a f ( x) log a g ( x) a f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) Dạng Đưa cùng số Các kiến thức cần nhớ: log a x b x a b (0 a 1; x 0) x a loga x ( x 0); x log a a x ;log a a log a x1 log a x1 log a x2 ;log a ( x1 x2 ) log a x1 log a x2 x2 log a x log b x (0 b 1);log a b ; log b a log b a log a x log a x;log a x log a x Dạng 1: Biến đổi dạng log a f ( x) log a g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) a) b) d) log x log x 1 ; log x log x log c) log x 1 log 1 x log x 3 e) log4x + log2x + 2log16x = f) log x log x log g) log3x = log9(4x + 5) + log x log 1 x KQ: a) 1; c) 1 b) −1; Dạng đặt ẩn phụ h) log 22 x log x log x log 3x 1 l) log x 3log x log x 2 n) log3(3x – 8) = – x KQ: h) 2; ; 16 i) o) 4 3; ; 2 x6 1 ; f) 3; g) 1 ln x ln x m) log x log 3 x log 4.3x 1 x j) 2; 3; k) e; e2; l) 51 p) ; 2 log 5 4.log ( x 1) ; m) 3; 81; n) 2; o) 0; −1; p) a) – x + 3log52 = log5(3x – 52 − x) b) log3(3x – 8) = – x Bất phương trình mũ a) 4x k) Dạng mũ hóa d) d) ; e) ; (TNTHPT 2010) giải : log 22 x 14 log x i) log 22 x 12 log x 13 j) 1 2 2 x 15 x 23 x e) 16x – ≥ b) 1 3 x 5 9 f) 52x + > 5x - 17 Lop12.net c) 9x 3x2 g) (1/2) 2x − 3≤ (18) Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin a) 22x + + 2x + > 17 d) 5.4x +2.25x ≤ 7.10x 2log48 Bất phương trình logarit a) log4(x + 7) > log4(1 – x) d) log ½ (log3x) ≥ <1 g) 1 1 log x log x h) (ln x ) ' x c) x f) 4x b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – log x (a x ) ' a x ln a (log a x ) ' a ln a x k) x x2 c 2x +1 log (3x 1).log ( (au ) ' u '.au ln a (ln u ) ' u ' (log a là nguyên hàm f(x) = x 1 3 −16x ≥ 3x ) 16 (eu ) ' u '.eu u 2 f) log2x(x2 −5x + 6) u )' u' u.ln a Tìm nguyên hàm F(x) f(x) = sin2x biết F( ) = 0.Đáp số : F(x) = CM: F(x) = ln 1 c) log2( x2 – 4x – 5) < e) 2log8(x− 2) – log8( x− 3) > 2/3 log x 2.log x 16 Bảng đạo hàm: (e x ) ' e x b) 52x – – 2.5x −2 ≤ e) 16x – 24x – 42x – ≤ 15 1 x sin x Hd: Cm F /(x) = f(x) CHỦ ĐỀ : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN NGUYÊN HÀM –TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I /Tóm tắt kiến thức A Nguyên hàm 1/Khái niệm nguyên hàm Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm hàm số f(x) trên K Nếu F x f x , x K ( K là khoảng ,đoạn nửa đoạn R ) -Nếu F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) trên K thì F(x) +C là họ tất các nguyên hàm f(x) trên K kí hiệu f ( x)dx F x C; C 2/ Tính chất nguyên hàm a/ f x dx f x và f ' ' x dx f x C b / Kf x dx K f x dx c / f x dx g x dx f x dx g x dx 3/Phương pháp tính nguyên hàm a/Đổi biến số : f u x u ' x dx F u x C b/Tính nguyên hàm phần udv uv vdu B Tích phân 1/Định nghĩa tích phân Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn a; b Giả sử F(x) là nguyên hàm f(x) trên đoạn a; b - 18 Lop12.net (19) Tổ: Toán – Tin Chủ đề tự chọn 12 b f x dx F b F a Ta có a 2/Tính chất tích phân b b a a a / Kf x dx K f x dx b (K là số) b b b / f x dx g x dx f x dx g x dx a a a c b b a c a c / f x dx f x dx f x dx với a c b 3/ Phương pháp tính tích phân a/ Đổi biến số Dạng 1: b a f x dx f t ' t dt Với a; b và a t b; t ; Dạng 2: b u (b ) a u (a) f x dx g (u )du với f x g u x u ' x b/Tích phân phần b a b udv uv a vdu b a Với u=u(x) ,v=v(x) có đạm hàm liên tục trên đoạn a; b C/Ứng dụng tích phân hình học 1/Tính diện tích hình phẳng Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=f(x),y=g(x) liên tục trên đoạn a; b và các đường thẳng x=a ;x=b là b S f x g x dx a 2/Tính thể tích vật thể a/ Tính thể tích vật thể V là b V s x dx a Trong đó S(x) là diện tích hình phẳng thiết diện tạo mặt phẳng vuông góc với trục ox x a, b với vật thể V b/Quay hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số liên tục y=f(x) y=o;x=a;x=b xung quanh trục ox ta khối tròn xoay có thể tích V là b V f x dx a II/CÁC VÍ DỤ 1/ Tính các nguyên hàm các hàm số sau a / sin xcos xdx b/ 2x 1 x2 x c/ dx e x dx d / cos x cos xdx e / 1 x e x dx Giải a/ Đặt - 19 Lop12.net (20) Chủ đề tự chọn 12 Tổ: Toán - Tin u sin x du cos xdx sin x cos xdx u du 10 u C sin10 x C 10 10 b/Đặt u x x du x 1 dx 2x 1 du u c x2 x c u x x3 u cos x du sin xdx c / u e x du e x dx x u 1 ex du dx dx ln u c ln e x c x x 1 e 1 e u x u 1 d / cos x cos xdx cos8 x cos x dx sin x sin x c 16 e / u x du dx dx dv e x dx v e x 1 x e x dx e x 1 e x e x dx e x 1 x e x C e x x C 2/Tính các tích phân sau a/4 sin x dx cos x b / x 1 e x dx c/ e x ln xdx Giải a/Đặt u cos x du sin xdx x u 1 x x 2 1 u2 sin x dx du 1 du u 2 2 cos x u u 2 u b/Đặt u x du dx dv e x dx e x Suy x 1 e x 1 1 0 0 dx e x x 1 e x dx e x x 1 e x e c/Đặt dx x dv xdx v x u ln x du Suy e e e e 32 12 32 32 32 x ln xdx x ln x x dx x ln x x e 3 9 1 3/Tính diện tích hình phẳng - 20 Lop12.net (21)