Chuyên đề Thể tích khối chóp

ĐH – Khối D 2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc đoạn AC, AH =.. Gọi CM là đườ[r]

Chuyên đê 11 THỂ TÍCH KHỐÍ CHỐP I Tóm tắt lí thuyết Công thức thể tích khối chóp: V  B.h  B: diện tích đáy  h: độ dài chiều cao II Bài tập Dạng CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA vuông góc với đáy và SB = 2a Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài giải Ta có: VS ABC  SA.SABC a2 SABC  SA2  SB  AB  4a2  a2  3a2  SA  a Bài Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, SA vuông góc với đáy Biết AB = 3a, AC = 5a, SAC vuông cân Tính thể tích khối chóp Bài giải Ba Huy Lop12.net Ta có: VS ABC  SA.SABC +) Tính SABC BC  AC  AB  25a2  9a2  16a2 BC = 4a 1  SABC  AB.BC  3a.4a  6a2 2 +) Tính SA SA = AC = 5a Tam giác SAC vuông cân Vậy, VS ABC  5a.6a2  10a3 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ̂ Cho SA vuông góc với đáy và SC = 2a Tính thể tích hình chóp S.ABCD Bài giải Ta có: VS ABCD  SA.SABCD +) Tính SABCD D A C 60 B Do ̂ nên ̂  SABCD  2SABD a2 a2   ABD +) Tính SA Ba Huy Lop12.net a a SA2  SC  AC  4a2  3a2  a2  SA  a a2 a 3 Vậy, VS ABCD  a  Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AB//CD) với AC = 20cm, BC = 15cm, AB = 25cm Cho SA vuông góc với đáy và SA = 8cm Tính thể tích khối chóp AC  Bài giải Thể tích khối chóp: VS ABCD  SA.SABCD Chỉ cần tính SABCD Ta có: AB2 = 625 20 15 AC2 + BC2 = 400 + 225 = 625 AC2 + BC2 = AB2 25 Tam giác ABC vuông C A B H Gọi CH là đường cao ABC AC.BC 20.15 Từ CH AB  AC.BC  CH    12 (cm) AB 25 BC 225 HB AB  BC  HB    (cm) AB 25 Do hình thang ABCD cân nên CD = AB – 2HB = 25 – 2.9 = (cm) ( AB  CD)CH (25  7)12 SABCD    192 cm2 2 Vậy, VS ABCD  8.192  512cm3 Bài Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy Mặt bên D C Ba Huy Lop12.net SBC là tam giác cạnh a Cho ̂ = 1200 Tính thể tích khối chóp Bài giải Thể tích khối chóp: VS ABC  SA.SABC +) Tính SABC S a A M B Gọi M là trung điểm BC Do tam giác SBC nên SM  BC C Ta có:  BC  SM  BC  (SAM )   BC  SA  BC  AM Tam giác ABC có AM vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên nó cân A Do góc BAC 1200 nên góc MAB 600 Ta có: A MB a AM   600 tan MAB 1 a a a M B S  AM BC  a  ABC 2 +) Tính SA SM  a 3a2 a2 2a2 a SA  SM  AM     SA  12 3 2 a a2 a3 Vậy, VS ABC   3 36 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, SC = Ba Huy Lop12.net a√ Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài giải Do hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD) nên giao tuyến chúng vuông góc với (ABCD) Ta có D SA  (SAB)  (SAD)  SA  ( ABCD) S A B C VS ABCD  SA.SABCD +) +) a3 Vậy, VS ABCD  a.a  3 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA vuông góc với đáy và SC = 2a Tính VS.ABCD Bài Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA a, đáy là tam giác vuông cân có AB = BC = a Gọi B’ là trung điểm SB, C’ là chân đường cao hạ từ A tam giác SAC a Tính thể tích khối chóp S.ABC b Chứng minh SC vuông góc với (AB’C’) c Tính thể tích khối chóp S.AB’C’ Bài Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi vuông góc với và OA = a, OB = 2a, OC = 3a a Tính VO.ABC và đường cao OH b Tính diện tích tam giác ABC Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AB//CD), AB = 4a, DC = 8a và ̂ = 600 Cho (SD) (ABCD) Tính VS.ABCD Dạng CẠNH BÊN KHÔNG VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY Ba Huy Lop12.net ) Đáy là đa giác Khối chóp   ) Chân đườngcaotrùng với tâm đáy a2  Diện tích tam giác cạnh a: S   Diện tích hình vuông cạnh a: S  a2 Bài 11 Cho hình chóp tam giác S.ABC với tam giác ABC có tâm là O và cạnh a, SO = 2a Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài giải Do S.ABC nên SO là đường cao  VS ABC  SO.SABC Ta có: a2 SABC  Thể tích khối chóp: Bài 12 1 a a3 V  SO.SABC  2a  3 Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a và cạnh bên a Tính thể tích khối chóp đó Bài giải Ta có: SABCD = a2 Gọi O là tâm đáy ABCD thì SO  ( ABCD) Do đó VS ABCD  SO.SABCD Ta có: SABCD = a2 Ba Huy Lop12.net +) Tính SO Ta có: AC = √ √ √ √ a a3 a  Vậy, VS ABCD  3 Bài 13 Tính thể tích khối tứ diện SABC cạnh a Bài giải Gọi O là tâm mặt phẳng (ABC) thì SO là đường cao hình chóp  VS ABC  SO.SABC S  A C O B M  a2 SABC  SO2  SM  OM 2 a  1 a 3       3      3a2 2a2 a    SO  3 Vậy thể tích khối chóp cần tìm là: a a2 a VS ABC   3 12 Bài 14 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a Cạnh bên hợp với đáy góc 600 Tính VS.ABC Ba Huy Lop12.net Bài giải Gọi O là tâm đáy Khi đó SO  (ABC) Suy ra: S VS ABC  SO.SABC A  SA,( ABC )  (SA, AO)  SAO 600 C O  SAO  600 M SABC  B a2  a  SO  AO.tan 600  3a a2 a 3 Vậy VS ABC  a  12 Bài 15 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Cạnh bên hợp với đáy góc 450 Tính Tính VS.ABCD Bài 16 Tính thể tích khối chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a và góc ̂ 600 Bài giải S Gọi O là tâm đáy thì SO  ( ABC )  VS ABC  SO.SABC A O B a2 +) SABC  +) Tính SO C Do tam giác SAB cân và có góc 600 nên là tam giác SA = AB = a Ba Huy Lop12.net  a  2a2 a 2 2 SO  SA  AO  a     SO   3  3   a a2 a Vậy, VS ABC   3 12 Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB = 6a, BC = 8a Các cạnh bên và 13a Tính VS.ABCD Bài giải S A B O C Gọi O là chân đường cao hạ từ S lên mặt đáy (ABCD) Khi đó OA, OB, OC, OD là các hình chiếu các cạnh bên SA, SB, SC, SD lên mặt đáy D Do các cạnh bên nên: OA = OB = OC = OD O là tâm đường tròn ngoại tiếp mặt đáy Vì mặt đáy là hình chữ nhật nên O là giao đường chéo AC và BD VS ABCD  SO.SABCD  SABCD  AB.BC  6a.8a  48a2  AC2 = AB2 + BC2 = 36a2 + 48a2 = 84a2 AC = 2a√ AO = a√ SO2 = SA2 – AO2 = 169a2 – 21a2 = 148a2 SO = 2a√ Vậy VS ABCD  2a 37.48a2  32a3 37 Bài 18 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, các cạnh bên tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp Ba Huy Lop12.net S.ABCD Bài giải Gọi O là chân đường cao hạ từ đỉnh S lên (ABCD) Khi đó các góc S OAS, OBS, OCS, ODS là các góc hợp các cạnh bên SA, SB, SC, SD với đáy Theo giả D thiết suy ra: A O B Ta có: OA  OAS  OBS  OCS  ODS  600 C SO , , OD  SO tan OAS tan ODS O là tâm hình vuông ABCD  VS ABCD  SO.SABCD  SABCD  a2  SO  OA.tan OAS  OA = … = OD a a tan 600  2 a a3 Vậy, VS ABCD  a  Bài 19 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB a Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 20 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy ABC là tam giác vuông B, AB = √ , AC = 2a Góc hai mp (SBC) và (ABC) 600 Gọi M là trung điểm AC Tính VS.BCM và khoảng cách từ M đến (SBC) Bài 21 Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a , CA = 7a Các mặt bên (SAB), (SBC) và (SCA) tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp đó Ba Huy Lop12.net 10 Dạng TỈ SỐ THỂ TÍCH Bài 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm SC Mặt phẳng (ADM) cắt SB N Tính tỷ số thể tích hai khối chóp S.ADMN và S.ABCD Bài 23 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi G là trọng tâm tam giác SBC Mặt phẳng (ADG) cắt SB N và cắt SC M Tính tỷ số thể tích hai khối chóp S.ADMN và S.ABCD Bài 24 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O M là trung điểm cạnh SC Mặt phẳng (P) qua AM và song song với BD cắt SB B’ và cắt SD D’ Tính tỷ số hai khối chóp S.AB’MD’ và S.ABCD Bài 25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O I là trung điểm SO Mặt phẳng (Q) qua AI và song song với BD cắt SB B’, cắt SC C’ và cắt SD D’ Tính tỷ số hai khối chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD Bài 26 Cho điểm M trên cạnh SA, điểm N trên cạnh SB khối chóp tam giác S.ABC Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SC chia khối chóp thành hai phần Tìm tỷ số thể tích hai phần đó CÁC BÀI TOÁN THI TỪ NĂM 2006 ĐẾN NAY (ĐH – Khối B – 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a , SA = a và SA vuông góc với mặt phẳ ọi M và N là trung điểm AD và SC; I là giao điểm BM và AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB (ĐH – Khối D – 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng Ba Huy Lop12.net 11 (ABC) Gọi M và N là hình chiếu vuông góc A trên các đường thẳng SB và SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM (ĐH – Khối A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P là trung điểm các cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP (ĐH – Khối B – 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M là trung điểm AE, N là trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN và AC (ĐH – Khối D – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, BA = BC = a, ̂ ̂ , AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên SB Chứng minh tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳ (ĐH – Khối A - 2008) Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông A, AB = a, AC = 3a và hình chiếu vuông góc đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC và tính cosin góc hai đường thẳng AA', B'C' (ĐH – Khối B – 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = 3a và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN (ĐH – Khối D – 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' = 2a Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách hai đường thẳng AM, B'C Ba Huy Lop12.net 12 (CĐ – Khối A, B, D – 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, ̂ ̂ , AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M, N là trung điểm SA, SD Chứng minh BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a (TNTHPT - 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết góc ̂ = 1200, tính thể tích khối chóp S.ABC theo a (TNBT - 2009) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, AB = a và AC = a√ ; cạnh bên vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a√ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a (ĐH – Khối A - 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và D, AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) 600 Gọi I là trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a (ĐH – Khối B - 2009) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’ = a Góc đường thẳng BB’ và mp(ABC) 600 Tam giác ABC vuông C và ̂ = 600 Hình chiếu vuông góc B’ lên mp(ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’.ABC (ĐH – Khối D - 2009) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông B, AB = a, AA' = 2a, A’C = 3a M là trung điểm A’C’, I là giao điểm AM và A’C Tính thể tích khối tứ diện IABC theo a và khoảng cách từ A đến mp(IBC) (CĐ – Khối A, B, D - 2009) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, AB = a, SA = a√ Gọi M, N, P là trung điểm SA, SB và CD Chứng minh MN vuông góc với SP Tính thể tích khối tứ diện AMNB theo a (TNTHPT 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy 600 Tính thể tích khối chóp Ba Huy Lop12.net 13 S.ABCD theo a (ĐH – Khối A 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N là trung điểm các cạnh AB và AD; H là giao điểm CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a√ Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách hai đường thẳng DM và SC theo a (ĐH – Khối B 2010) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, góc hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) 600 Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a (ĐH – Khối D 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH = Gọi CM là đường cao tam giác SAC Chứng minh M là trung điểm SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a (CĐ – Khối A, B, D 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc đường thẳng SC và mặt phẳng đáy 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Ba Huy Lop12.net 14