Để vận dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, ta có một số hướng biến đổi tương ứng với 3 dạng thông dụng sau đây: 1.. Lúc đó phương trình 1 có nghiệm duy nhất.[r]
(1)Một số kỹ thuật đặc sắc ĐẠI SỐ SƠ CẤP Chủ đề: Luyện thi Đại học 2013 VẬN DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BPT VÀ HPT I- TỔNG QUAN PHƯƠNG PHÁP: Xét phương trình f x 1 x D với D là khoảng cho trước Để vận dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, ta có số hướng biến đổi (tương ứng với dạng thông dụng) sau đây: Đối với loại phương trình có hướng để giải quyết: Dạng 1: Dạng F ( x ) 0, với F ( x ) đồng biến, nghịch biến trên D Bước 1: Đưa phương trình (1) dạng: F ( x ) Bước 2: Xét hàm số y F ( x ) Chỉ rõ hàm số y F ( x ) đồng biến hay nghịch biến trên D Bước 3: Đoán F x0 Lúc đó phương trình (1) có nghiệm x x0 F ( x ) đồng biến trên D Phương trình (1) có: ngược lại G ( x ) nghÞch biÕn trªn D Bước 1: Đưa phương trình (1) dạng : F ( x ) G ( x ) (1) Bước 2: Xét hai hàm số y f ( x ) và y g ( x ) Chỉ rõ hàm số y F ( x ) là hàm đồng biến (nghịch biến) và y G ( x ) là hàm nghịch biến (đồng biến) Bước 3: Đoán F x0 G x0 Lúc đó phương trình (1) có nghiệm Dạng 2: x x0 Dạng 3: Dạng phương trình F (u) F (v) (*), với F ( x ) đồng biến, nghịch biến trên a; b Lúc đó, (*) có nghiệm u v Bước 1: Đưa phương trình dạng F (u) F (v) (1) Bước 2: Xét hàm số: y F (t ) Chỉ rõ hàm số đồng biến hay nghịch biến trên a; b Bước 3: Khi đó: F (u) F (v) u v Nhận xét: + Định lí tính đơn điệu trên đoạn: “ Nếu hàm số y f x liên tục trên a; b và có đạo hàm f / x trên khoảng a; b thì hàm số y f x đồng biến trên a; b ” + Đối với bất phương trình, hệ phương trình, tư vận dụng tính đơn điệu hoàn toàn tương tự trên II- BÀI TẬP MINH HỌA: Loại 1: Vận dụng tính đơn điệu để giải phương trình Bài tập 1: Giải các phương trình sau: a) 4x 1 4x2 1 b) sin x sin x c) x x3 x d) x x2 x x x2 x Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền (2) Một số kỹ thuật đặc sắc ĐẠI SỐ SƠ CẤP Hướng dẫn giải: 4x 1 4x2 1 4x 1 Điều kiện: 4 x Luyện thi Đại học 2013 a) x Nhận xét: Số nghiệm phương trình là số giao điểm hàm số y x x và y 1 Xét hàm số y x x Miền xác định: D ; 2 4x Đạo hàm y / x O 4x 1 4x2 1 1 1 Do hàm số liên tục trên ; nên hàm số đồng biến trên ; 2 2 Đồ thị y x x 1 Dễ thấy x thỏa (1) Do đó hàm số có nghiệm và đó là x 2 b) sin x sin x TXĐ: D R Đặt t sin x , điều kiện t y 1 t t (2) Khi đó phương trình có dạng : t t Dễ thấy: + Hàm số f (t ) t là hàm đồng biến trên D 1;1 + Hàm số g (t ) t là hàm nghịch biến trên D 1;1 Từ (*) suy : f (t ) g (t ) có nghiệm thì nghiệm đó là Ta thấy t là thỏa phương trình (2), đó: sin x x c) x x x TXĐ: D 1; k 2 (3) x nên hàm số đồng biến trên 1; x 1 Và hàm số g ( x ) x x Đạo hàm : y / 3 x x D hàm số nghịch biến trên D Phương trình (3) có dạng f ( x ) g ( x ) Do đó phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là Ta thấy x thoả mãn phương trình Vậy phương trình có nghiệm x Xét hàm số f ( x ) x có f / ( x ) x x2 x x x2 x x x x x x x Điều kiện: x x x x x x d) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền x (3) Một số kỹ thuật đặc sắc ĐẠI SỐ SƠ CẤP Luyện thi Đại học 2013 x x x x + Với x x x x x x 2 x x x x x 1 x x + Với x x x x Vậy D R x x 1 2 x x x x Biến đổi phương trình dạng : x x x ( x 1) ( x 1)2 ( x 1) x x x x ( x 1) ( x 1) ( x 1)2 ( x 1) (4) Xét hàm số f (t ) t t t Miền xác định D R Đạo hàm : f / (t ) t t2 t / t t2 t t t 2t t t t t t Nhận xét : t t 2t 4t 4t 2t (2t 1)2 2t 2t 2t f / ( x ) x hàm số đồng biến trên D Khi đó: (*) f ( x ) f ( x 1) x x vô nghiệm Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Bài tập 2: Giải các phương trình sau: x x 1 1 2 a) log3 x x 5 1 8sin x sin x 1 c) e e 8sin x 4sin x Hướng dẫn giải: b) x 1 x x x 1 x x 1 1 2 a) log3 x x (1) 5 x 1 Điều kiện: x x Đặt u x x x u 0 1 u2 1 Lúc đó : x x u Khi đó : (1) log3 (u 2) 5 1 x 1 Xét hàm số: f ( x ) log3 ( x 2) 5 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (2) Miền xác định: D 0; Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền (4) Một số kỹ thuật đặc sắc ĐẠI SỐ SƠ CẤP 1 Đạo hàm : f / ( x ) x.5x ln , x D ( x 2) ln Suy hàm số đồng biến trên D Luyện thi Đại học 2013 Mặc khác: f (1) Do đó (2) có dạng : f (u) f (1) u : x b) x 1 x x 3 3 x 2 ( x 1)2 TXĐ: D R Biến đổi phương trình dạng : x 1 x x x x x Xét hàm số f (t ) t t Miền xác định : D R (2) Đạo hàm : f / (t ) ln 2.2 t t D Suy hàm số đồng biến trên D Từ (2) có dạng f ( x 1) f ( x x ) x x x x Vậy x là nghiệm phương trình sin x 1 8sin x sin x 1 c) e Điều kiện: e 8sin x 4sin x sin x 1 8sin x sin x 1 Biến đổi phương trình dạng: e (3) e 8sin x 4sin x 1 Xét hàm số f (t ) et Miền xác định: D 0; t Đạo hàm : f / ( x ) et x D Suy hàm số đồng biến trên D t Từ (*) có dạng : f 8sin x f 4sin x 8sin x 4sin x sin x 8sin x 4sin x sin x 8sin x 4sin x x k 2 x k 2 x 5 k 2 6 Loại 2: Vận dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình Bài tập 1: Giải các bất phương trình sau: a) x x Hướng dẫn giải: b) x x x x 11 x x x x 2 x x (1) Điều kiện: 2 x Xét hàm số y f ( x ) x x Miền xác định : D 2; a) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền (5) Một số kỹ thuật đặc sắc ĐẠI SỐ SƠ CẤP Luyện thi Đại học 2013 1 Đạo hàm f / ( x ) x 2 Suy hàm số đồng biến trên D x9 2x Để ý rằng: f (0) , đó: + Nếu x thì f ( x ) f (0) x x , nên x là nghiệm bpt + Nếu 2 x thì f ( x ) f (5) x x nên 2 x không là nghiêm bpt Đối chiếu với điều kiện, suy tập nghiệm (1) là T 0; x x x x 11 x x (2) x2 2x x x 11 Điều kiện: (*) 1 x 3 x x b) Biến đổi bất phương trình: x x x x x 11 x ( x 1)2 x (3 x )2 x (3) Xét hàm số f (t ) t t Ta thấy hàm số đồng biến trên 1;3 Từ (3) ta có f ( x 1) f (3 x ) x x x Đối chiếu với điều kiện, ta có nghiệm bất phương trình (2) là T 2;3 Loại 3: Vận dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau: x x y x y x a) b) x y y y x x x ln x x y c) y3 y ln y y z z 3z ln z z x Hướng dẫn giải: x y x x 1 x a) (I) Điều kiện: y y x 1 y x x 12 x Ta có (I) x 1 y Từ phương trình : x x 1 x x x x x (1) Ta thấy hàm số f ( x ) x là hàm đồng biến trên 1; Xét hàm số g ( x ) x x x Miền xác định: D 1; Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền (6) Một số kỹ thuật đặc sắc ĐẠI SỐ SƠ CẤP Luyện thi Đại học 2013 / Đạo hàm g ( x ) 3 x x x D Suy hàm số nghich biến trên D Từ (1) ta thấy x là nghiệm phương trình và đó là nghiệm Vậy hệ có nghiệm 1;0 x x y b) (II) Điều kiện: y y x x x y Ta có (II) 3 x y y Cộng vế theo vế ta có: x y x x y2 y (2) Xét hàm số f (t ) t t Miền xác định: D 1; Đạo hàm: f / (t ) t t2 t Từ (*) ta có f ( x ) f ( y) x y x D Suy hàm số đồng biến trên D Lúc đó: x x (3) + VT (3) là hàm số hàm đồng biến trên D + VP (3) là hàm trên D Ta thấy x là nghiệm phương trình (3) (thỏa điều kiện) Suy phương trình có nghiệm x là nghiệm Vậy hệ có nghiệm 1;1 x x ln x x y c) y3 y ln y y z z 3z ln z z x Xét hàm số f (t ) t 3t ln t t f ( x) y Lúc đó hệ có dạng: f ( y) z Miền xác định: D R f (z) x 2t Đạo hàm : f / ( x ) 3t x R Suy hàm số đồng biến trên D t2 t Ta giả sử x; y; z là nghiệm hệ và x max x, y, z đó ta suy ra: y f ( x ) f ( y) z z f ( y) f ( z ) x Vậy x y z x x y z Thay vào hệ ta có : x x ln x x x x x ln x x (3) Ta thấy x là nghiệm phương trình (vì VT (3) là đồng biến trên R) Vậy hệ có nghiệm 1;1;1 III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền (7) Một số kỹ thuật đặc sắc ĐẠI SỐ SƠ CẤP Bài tập 1: Giải các phương trình sau: a) x x2 x x2 c) 2x 1 x2 x Luyện thi Đại học 2013 x x x x 12 1 x 1 x 1 d) e e 2x 1 x 1 b) e) m x 6 x 3m m x 3m g) sin x sin x cos2 x f) tan x 2.3log2 tan x h) 32 sin x 3 3sin x 10 3sin x 2 sin x sin x 2 Bài tập 2: Giải các bất phương trình sau: a) x x2 1 b) x x x 1 x c) x x x2 x3 d) x 3 x 3 9 x Bài tập 3: Giải các hệ phương trình sau: 2x 2y y x a) 2 x xy y 12 x x ( y 3) y b) 2 x y x x x y c) y y x x y yx d) 2 x y 25 x x 6.log y x f) y y 6.log3 z y z z 6.log3 x z x y sin x e sin y h) 10 x y x, y 5 sin x y sin y x e) 2 x y x, y tan x tan y y x g) y x y Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Lop12.net Tổ Toán THPT Phong Điền (8)