THÊM BỚT, NHÂN LIÊN HỢP Cơ sở phương pháp: Nhiều phương trình vô tỉ có thể nhẩm được nghiệm x o hữu tỉ, khi đó phương trình luôn viết được thành x – xoPx = 0 và Px = 0 có thể vô nghiệm h[r]
(1)GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ PP1 LŨY THỪA HAI VẾ CỦA PHƯƠNG TRÌNH Bài Giải phương trình a x 2x 3x 2 b (x 3) x x c x 3 x 2x e x 2 x 2x 2 d (x 3) x 3x x 8x 15 2 g (x 4) 10 x x 2x x 3x 1 x h 3x Bài Giải phương trình a x2 4x i 4x 1 x x 3x x 6x 2x 9x 2 b x 3x x 4x x 5x Bài Giải phương trình 3 3 3 a x x 2x 11 b x x 5x Bài Giải phương trình a x x x x b c 2x x 3x = x x 16 x x c x 3x x PP2 ĐẶT ẨN PHỤ Bài Giải phương trình 2x = a (x + 1)(x + 4) = x 5x 28 (4 x)(6 x) c = x² – 2x – 12 Bài Tìm m để phương trình có nghiệm x 2x (3 x)(1 x) = m – a Bài Giải phương trình 5 x 2x 4 2x x a b 5x 10x = – 2x – x² d x(x + 5) + = x 5x b 2x 5x (3 x)(1 2x) = m – x b x 2x 7 2x Bài Giải phương trình a 2x x 3x 2x 5x b 7x 7x 49x 7x 42 181 14x c x x 2x 12 x 16 d 3x x 4x 3x 5x 2 Bài Giải phương trình: x x 4 x = 10 – 3x Bài Tìm m để phương trình có nghiệm a x x x 7x m x x (3 x)(6 x) b =m c 3( 2x x ) m x x 2x PP3 ĐẶT ẨN PHỤ KHÔNG HOÀN TOÀN Bài Giải phương trình 2 a x² + 3x – = (x 2) x 2 b (x 1) x 2x = x² + c x² – = 2x x 2x d 3x² – x + 48 = (3x 10) x 15 2 e 2(x 1) x 2x x 2x = 2 f x 4x (x 2) x 2x 15 39 g (1 4x) 4x = 8x² + 2x + h (4x 1) x = 2x³ + 2x + (2) i (x 2) x 2x = x³ + 3x + PP4 CHIA ĐỂ LÀM XUẤT HIỆN ẨN PHỤ Bài Giải phương trình a (x 2) x x 2x (bình phương hai vế, chia x² và đặt t = x + 4/x) b x 3x x x 2 x c x x 4x x = Bài Giải phương trình a 2(x 2) 5 x (bình phương, chuyển vế, phân tích thành nhân tử) 2 b 5x 14x x x 20 5 x PP5 ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ DẠNG PHUƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP Bài 10 Giải phương trình a 2x 5x 7 x (u x 1; v x x 1) 2 b x x x x (Đặt a = x² và b = Bài 11 Giải phương trình: Đặt ĐK, bình phương vế x2 ) x 3x x 2x x (x 3x)(x 1) x (x 3x)(x 1) (x 3x) 3(x 1) Đặt u = x² – 3x; v = x + → 4uv = u² + 3v² 2 Bài 12 Giải phương trình: 4x 5x x x = 9x – 4x 5x a x x b Đặt ta có: a – b = a² – b² Bài tập tự luyện a 2(x + 1) x = –x³ + 3x² + 3x b x³ + (3x² – 4x – 4) x = PP6 ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2x x (2x 1)(x 4) Bài 14 Giải phương trình =0 u 2x v x 4 Đặt → 2v² – u² = (1) Ta có phương trình: 3u – 6v + uv + = (2) Thay (1) vào (2) và rút gọn (2v – u)(u + v – 3) = <=> x = Bài 15 Giải phương trình 3 a 3x 5x = b 3x 5x 16 = 3 3 2 c x 17 x x 17 x = d x 35 x (x 35 x ) 30 1 2 3 x x e g x³ + = 2x h x³ + – 3x = PP7 ĐẶT ẨN PHỤ ĐẶC BIỆT Bài 16 Giải phương trình 4x 4x 28 = 7x² + 7x (đặt 28 = y + 1/2) a x = x² + 6x + 10 (đặt x = y + 3) c 2x = 4x² – 12x + (đặt 2x = 2y – 3) PP8 PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ b (3) Bài Giải phương trình a b x 2x x 2x x 4x 4x x 3 4 x x 3 c x 9x x Bài Giải phương trình a x 10x 21 3 x x b x 8x 15 3 x x x 7x 4 x x2 d =0 c x x (x 1) x x x = PP9 THÊM BỚT, NHÂN LIÊN HỢP Cơ sở phương pháp: Nhiều phương trình vô tỉ có thể nhẩm nghiệm x o hữu tỉ, đó phương trình luôn viết thành (x – xo)P(x) = và P(x) = có thể vô nghiệm giải Bài Giải phương trình a 3x x + 3x² – 14x – = Nghiệm x = b 3x 5x 16 = Nghiệm x = –2 c 4(2 10 2x 9x 27) – 4x² + 15x + 33 = Đặt điều kiện: x ≤ Phương trình đã cho tương đương (4 9x 37) 8(4 10 2x ) 4x 15x 81 0 4(27 9x) 8(6 2x) (x 3)(4x 27) 0 <=> 16 9x 37 ( 9x 37) 10 2x 36 16 4x 27 0 3 16 9x 37 ( 9x 37 ) 10 2x Ngoài nghiệm x = –3 thì phần còn lại là 36 16 4x 27 0 12 ( 9x 37 2) 10 2x <=> VẾ TRÁI ≤ 36/12 + 16/4 + 4.5 – 27 = Đẳng thức xảy x = Vậy phương trình có nghiệm là –3 và Bài Giải phương trình 2 a x 4x 1 3x b x 9x 1 4x c x 12 3x x d x 15 3x x 2 e 3x 5x x 3x 3x Bài Giải phương trình x 3x 2 a 2x x 2x x 1 x VT > → x + > → 2x² + x + ≠ 2x² – x + Nhân liên hợp giải cùng với phương trình đầu b 2x x x x = 3x Bài Giải phương trình: x x x3 3 Nhận thấy x = là nghiệm phương trình, ta biến đổi x x x x 3 (x 3)(x 3x 9) (x 3)[1 ] (x 1) x x3 <=> x 3 x 3 x 3x 1 1 2 (x 1) x ( x 1) x3 Ta chứng minh: Vậy phương trình có nghiệm x = (4) Bài Giải phương trình 2 a x 3x (x 3) x b c 10 3x = x – 2 (2 x)(5 x) x (2 x)(10 x) d 2x 16x 18 x 2x e 2x x 3x 2x 2x x x 2 2 g 3x 7x x 3x 5x Bài Giải phương trình a x x 2x x 3x b x 3x = 3x – 2 3 c 2x 11x 21 4x 0 d x x x PP10 SO SÁNH, ĐÁNH GIÁ, BẤT ĐẲNG THỨC Bài Giải phương trình a x x = x² – 6x + 11 (nghiệm x = 3) b x 10 x = x² – 12x + 52 c x 2x x = 2 d 3x 6x 5x 10x 14 = – 2x – x² 2x 19 2x x 10x 24 e Bài Giải phương trình 2 a 7x 11x 25x 12 x 6x VT = (7x 4)(x x 3) ≤ VP (Côsi) 2 b 5x 3x 3x x 6x c x2 1 4 (x ) x x x 6x 15 x 6x 18 Bài Giải phương trình: x 6x 11 4 Bài Giải phương trình 13 x x x x = 16 2 2 Bình phương hai vế: x (13 x x ) 256 2 2 2 Áp dụng bất đẳng thức: (13 x x ) ( 13 13 13x 3 3x ) ≤ 40(16 – 10x²) VT ≤ 40x²(16 – 10x²) ≤ 256 = VP PP11 SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Để giải phương trình: f(x) = m ta có thể chứng minh vế trái luôn đồng biến nghịch biến Xét hàm số f(x) luôn đồng biến nghịch biến mà suy f(a) = f(b) <=> a = b Bài Giải các phương trình a x x x x 16 = 14 (nghiệm x = 9) b x = –x³ – 4x + c 2x x = – x Bài (CĐ 2012) Giải phương trình 4x³ + x – (x + 1) 2x = Nhân vế với và biến đổi thành (2x)³ + 2x = ( 2x 1) 2x 1 Xét hàm số f(t) = t³ + t, tính đạo hàm nhận xét dấu → hàm số luôn đồng biến (5) 1 f ( 2x 1) 2x 2x 1 x Từ phương trình → f(2x) = Bài tập tự luyện a 2x(4x² + 1) = (x² + 3x + 1) x 3x b 4x³ + x – (x + 2) 2x = Bài Tìm m để phương trình có nghiệm: m = Bài Tìm m để phương trình có nghiệm: Bài Tìm m để phương trình có nghiệm: x 2x x 2x 4 x = mx – m + x x x 18 3x = 2m + Bài Tìm m để phương trình có nghiệm: x m x 2 x Gợi ý: cô lập tham số m 2 2 Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m( x x 2) 2 x x x m(x 2) Bài Chứng minh với m > phương trình x² + 2x – = luôn có hai nghiệm phân biệt Bình phương vế đưa phương trình bậc ba GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ PHƯƠNG PHÁP LŨY THỪA Bài Giải bất phương trình a x 2x 15 ≤ x – ĐS: [5; 6] c x 2x x Bài Giải bất phương trình a (x 3) x ≤ x² – c 4x 11 3x 2x 2(x 16) b x 6x ≥ – 2x d x 3x 10 ≥ x – b 5x d 2x > x x 5x ≥ 7 x x x e Bài Giải bất phương trình 51 2x x 2x x 1 1 x 3x a b ≥1 x 1 x Bài Giải bất phương trình: Phương pháp đặt ẩn phụ Bài Giải bất phương trình a ĐS: [3; 5] x 4x 5x 10x 2x x c 2x 3x 2x 3x ≥ x – 2 b 2x x 5x 10x 15 (x 3)(8 x) x 11x c Bài Giải bất phương trình 10 x 4x x x a x x 1 2 30 x b x Bài (B 2012) Giải bất phương trình x x 4x 3 x t x x Chia vế cho x và đặt Bài Giải bất phương trình: Điều kiện: x ≥ x x x 5x 4x Bình phương vế và rút gọn ta được: x(x 2)(x 1) ≤ 2x(x – 2) – 2(x + 1) 2x (6) Chia vế cho (x + 1) và đặt Bài Giải bất phương trình a 5x 14x t x(x 2) x 1 x x 20 5 x Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta 2x² – 5x + ≤ (x x 20)(x 1) <=> 2(x² – 4x – 5) + 3(x + 4) ≤ (x 4)(x 4x 5) Chia cho (x + 4) đặt ẩn phụ b 7x 25x 19 x 2x 35 x 2 Chuyển vế, bình phương ta được: 3(x 5x 14) 4(x 5) (x 5x 14)(x 5) Bài Giải bất phương trình x³ + (3x² – 4x – 4) x ≤ ĐK: x ≥ –1 Đặt y = x (y ≥ 0) → y² = x + Bpt <=> x³ + (3x² – 4y²)y ≤ Xét hai trường hợp y = và y > (chia cho y³ y > 0) 3 Bài tập tự luyện: x 3x (x 2) 6x ≤ PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP Bài Giải bất phương trình 8x 1 2x b a x x x ≥ Bài Giải bất phương trình a 3x x 3x 14x b 3x 5x 16 ≥ PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH, ĐÁNH GIÁ, SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC Bài Giải bất phương trình a x x ≥ x² – 6x + 11 b x 10 x ≥ x² – 12x + 52 c e x 2x x + x² – 2x – ≤ 2x 19 2x x 10x 24 Bài (A 2010) Giải bất phương trình 1 2 d 3x 6x 5x 10x 14 ≤ – 2x – x² g 7x 11x 25x 12 ≥ x² + 6x – x x 2(x x 1) ≥1 Bài (D 2014) Giải bất phương trình (x 1) x (x 6) x ≥ x² + 7x + 12 (7)