Đặc điểm chung của dạng hệ này là sử dụng các kĩ năng biến đổi đồng nhất đặc biệt là kĩ năng phân tích nhằm đưa một PT trong hệ về dạng đơn giản có thể rút theo y hoặc ngược lại rồi th[r]
(1)MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Tham khảo Tạp chí THTT 2010 Trong các đề thi đại học năm gần đây, ta gặp nhiều bài toán hệ phương tr ình Nhằm giúp các bạn ôn thi tốt, bài viết này chúng tôi xin giới thiệu số dạng bài và kĩ giải I.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Đặc điểm chung dạng hệ này là sử dụng các kĩ biến đổi đồng đặc biệt là kĩ phân tích nhằm đưa PT hệ dạng đơn giản ( có thể rút theo y ngược lại ) vào PT còn lại hệ *Loại thứ nhất: Trong hệ có phương trình bậc với ẩn x y đó ta tìm cách rút y theo x ngược lại 2 ïì x ( y + 1) ( x + y + 1) = x - x + (1) Ví dụ Giải hệ phương trình í ( 2) ïî xy + x + = x x2 - Giải Dễ thấy x = không thỏa mãn PT(2) nên từ (2) ta có : y + = thay vào (1) ta x x2 - æ x2 - ö 2 x2 x + ç ÷ = x - x + Û ( x - 1)( x - 1) = ( x - 1) ( x - 1) x è x ø éx = ê Û ( x - 1) ( x + x - x - 1) = ( x - 1) ( x - 1) Û ( x - 1) ( x + x - x ) = Û ê x = (loại) êë x = -2 Từ đó, ta các nghiệm hệ là : (1; - 1) , ( - 2; - ) *Loại thứ hai: Một phương trình hệ có thể đưa dạng tích các phương trình bậc hai ẩn ìï xy + x + y = x - y (1) Ví dụ Giải hệ phương trình í ( 2) îï x y - y x - = x - y Giải Điều kiện: x ³ 1, y ³ PT (1) Û x - xy - y - ( x + y ) = Û ( x + y ) ( x - y ) - ( x + y ) = ( từ điều kiện ta có x + y > ) Û x - y - = Û x = y + thay vào PT (2) ta : 3 y x + y = y + Û ( y + 1) ( ) y - = ( y ³ ) Û y = Þ x = *Loại thứ ba: Đưa phương trình hệ dạng phương trình bậc hai ẩn, ẩn còn lại là tham số (1) ïì y = ( x + ) ( - x ) Ví dụ Giải hệ phương trình í 2 ( 2) îï y - x - xy + 16 x - y + 16 = Giải Biến đổi PT (2) dạng y - ( x + ) y - x + 16 x + 16 = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Lop12.net (2) MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 Coi PT (2) là phương trình ẩn y tham số x ta có D ' = x từ đó ta nghiệm é y = x + ( 3) ê êë y = - x ( ) é x = Þ y=0 Thay (3) vào (1) ta được: ( x + ) = ( x + ) ( - x ) Û ê ê ëx = Þ y = éx = Þ y = Thay (4) vào (1) ta được: ( - x ) = ( x + ) ( - x ) Û ê ëx = Þ y = æ ö Vậy nghiệm hệ là: (0;4) , (4;0) , ç - ;0 ÷ è ø II.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Điểm quan trọng hệ dạng này là phát ẩn phụ a = f ( x, y ) ; b = g ( x, y ) có phương trình xuất sau phép biến đổi đẳng thức phép chia cho biểu thức khác (1) ïì x + + y ( y + x ) = y Ví dụ Giải hệ phương trình í îï( x + 1) ( y + x - ) = y ( ) Giải ì x2 + ï y + y+x=4 ï Dễ thấy y = không thỏa mãn PT(1) nên HPT Û í ïæ x + ö ( y + x - ) = ïçè y ÷ø î ìa + b = x +1 giải hệ ta a = b = từ đó ta có hệ ,b = y + x - Þ í Đặt a = ab = y î ìx +1 = y í îx + y = Hệ này bạn đọc có thể giải dễ dàng ì 2 ï4 xy + ( x + y ) + x + y = ( ) ï Ví dụ Giải hệ phương trình í ï2 x + = ïî x+ y Giải Điều kiện : x + y ¹ 2 ì ï3 ( x + y ) + ( x - y ) + x + y = ( ) ï HPT Û í ïx + y + + x - y = x+ y îï Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Lop12.net (3) MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 ìï3a + b = 13 (1) ( a ³ ) ; b = x - y ta hệ í ( 2) îïa + b = Giải hệ ta a=2 , b=1 ( a ³ ) từ đó ta có hệ ì =2 ìx + y = ìx = ïx + y + x+ y Ûí Ûí í îx - y = î y = ïx - y = î III.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Hệ loại này ta gặp nhiều hai dạng f ( x) = (1)và f ( x) = f ( y ) (2) với f là hàm đơn điệu trên tập D và x, y thuộc D Nhiều ta cần phải đánh giá ẩn x, y để x, y thuộc tập mà hàm f đơn điệu * Loại thứ nhất: Một phương trình hệ có dạng f ( x) = f ( y ) , phương trình còn lại giúp ta giới hạn x, y thuộc tập D để trên để trên đó hàm f đơn điệu ìï x - x = y - y (1) Ví dụ Giải hệ phương trình í ( 2) ïî x + y = Giải Từ PT (2) ta có x8 £ 1; y £ Û x £ 1; y £ 1 Đặt a = x + y + x+ y Xét hàm số f ( t ) = t - 5t ; t Î [ -1;1] có f ' ( t ) = 3t - < 0; "t Î [ -1;1] đó f (t ) nghịch biến trên khoảng ( - 1;1) hay PT (1) Û x = y thay vào PT (2) ta PT: x8 + x - = -1 + -1 + Þ y = x = ±4 2 *Loại thứ hai:Là dạng hệ đối xứng loại hai mà giải thường dẫn đến hai trường hợp (1) và (2) ìï x + x - x + = y -1 + Ví dụ Giải hệ phương trình í x -1 ïî y + y - y + = + Giải ìa + a + = 3b (1) ï Đặt a = x - 1; b = y - ta hệ í ïîb + b + = 3a ( 2) Đặt a = x ³ và giải phương trình ta a = Trừ vế với vế PT ta : a + a + + 3a = b + b + + 3b Xét hàm số f ( t ) = t + t + + 3t ; f ' ( t ) = t2 +1 + t t +1 (3) + 3t ln Vì t + > t ³ -t Þ t + + t > Þ f / ( t ) > 0, "t đó hàm số f (t ) đồng biến trên R Nên PT (3) Û a = b thay vào PT (1) ta a + a + = 3a (4) ( ) Theo nhận xét trên thì a + a + > nên PT (4) Û ln a + a + - a ln = ( lấy ln hai vế ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Lop12.net (4) MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ) ( Xét hàm số g ( a ) = ln a + a + - a ln 3; g' ( a ) = Luyện thi Đại Học 2011 - ln < - ln < 0, "a Î R a2 + hay hàm g (a ) nghịch biến trên và PT (4) có nghiệm a = nên PT (4) có nghiệm a = Từ đó ta nghiệm hệ ban đầu là : x = y = IV.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Với phương pháp này, cần lưu ý phát các biểu thức không âm và nắm vững cách vận dụng các bất đẳng thức xy ì = x2 + y ïx + x - 2x + ï Ví dụ Giải hệ phương trình í xy ïy + = y2 + x ïî y - 2y + Giải xy xy + = x + y (1) Cộng vế với vế hai PT ta 3 x - 2x + y - 2y + Ta có : Tương tự x2 - 2x + = xy x2 - 2x + Nên VT(1) £ VP(1) 3 ( x - 1) +8 ³ 2Þ xy x2 - 2x + £ xy x2 - 2x + £ xy = xy £ xy mà theo bất đẳng thức Côsi x + y ³ xy éx = y = Dấu xảy ê thử lại ta nghiệm hệ là: (0;0) , (1;1) = = x y ë ìï y = - x + x + Ví dụ Giải hệ phương trình í îï x = y - y - 2 ì y - = - ( x3 - 3x - ) ï ïì y - = - ( x + 1) ( x - ) (1) Giải HPT Û í Ûí ïî x - = ( y - y - ) ïî x - = ( y + 1) ( y - ) ( ) Nếu x > từ (1) suy y - < diều này mâu thuẫn với PT(2) có ( x - ) và ( y - ) cùng dấu Tương tự với x < ta suy điều vô lí Vậy nghiệm hệ là x = y = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Lop12.net (5) MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 Hy vọng số ví dụ trên giúp bạn phần nào kĩ giải hệ Để kết thúc bài viết mời các bạn cùng giải các hệ phương trình sau BÀI TẬP TỰ LUYỆN ìï x ( + y ) = ì xy - x - y = 16 1) í 2) í î x + y - x - y = 33 îï x ( y - ) = ìï x + y = 3) í îï y + ( x - 3) y - 48 y - 48 x + 155 = ïì x + x + + x + = 5) í 2 îï x + y + x + y = 44 y -1 + y - + y - y ì x ïe = 2007 y2 -1 ï 7) í x ïe y = 2007 x2 - îï ì2 ( x + x - y - 1) = x ( y + 1) ï 4) í ïî y + x + + ln ( y + x ) = ìï x + y = 6) í 2 ïî x + xy + y - y = ìï x y - x + y = 8) í ïî2 x + x + y - 12 x + 13 = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Lop12.net (6) MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 MỘT SỐ CHÚ Ý KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Tham khảo Tạp chí THTT 400- 2010 ì ïï x + y + x y + xy + xy = - Bài toán 1: (A- 2008) Giải hệ phương trình: í ï x + y + xy (1 + x ) = - ïî ì x y x y xy xy + + + + = ïï Lời giải: Hệ đã cho tương đương với í ï( x + y ) + xy = - ïî ( Û ( x + y )( x ) ( Suy x + y + xy x + y = x + y 2 ) + y - - xy ) = ìx2 + y = ï a) x + y = Þ í (I) xy = ï î æ 25 ö Hệ (I) có nghiệm ( x; y ) = ç ; - ÷ 16 ø è ì x +y=ï ï b) x + y - - xy = Þ í (II) ï xy = ïî 3ö æ Hệ (II) có nghiệm ( x; y ) = ç 1; - ÷ 2ø è æ 25 ö æ 3ö Vậy hệ đã cho có hai nghiệm ( x; y ) là ç ; - ÷ ; ç 1; - ÷ 16 ø è 2ø è ì xy + x + = y Bài toán 2: (B- 2009) Giải hệ phương trình: í 2 î x y + xy + = 13y Lời giải: Dễ thấy y ¹ nên hệ đã cho tương đương với x ì x ì x+ + =7 x + + = ï y y y y ïï ï Û í í ï x + x + = 13 ïæ x + ö - x = 13 ïî ïç y y2 y ÷ø y îè Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Lop12.net (7) MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 æ 1ö æ 1ö Suy ç x + ÷ + ç x + ÷ - 20 = yø è yø è ì ï x + = -5 y a) x + = -5 Þ í (Hệ vô nghiệm) y ï x = 12 y î ì ïx + = æ 1ö y b) x + = Þ í Trường hợp này hệ có hai nghiệm ( x; y ) = ç 1; ÷ và y è 3ø ï x = 3y î ( x; y ) = ( 3;1) Nhận xét: Qua hai ví dụ đề thi tuyển sinh nêu trên, chúng ta thấy đôi cần biến đổi bản, dựa vào các đẳng thức là có thể kết Ta xét tiếp các ví dụ đòi hỏi các phép biến đổi phức tạp ìæ 12 ö ïç ÷ x =2 ïè y + x ø Bài toán 3: Giải hệ phương trình: í ïæ + 12 ö y = ïèç y + x ø÷ î Lời giải: Điều kiện x > 0, y > 0, y + x ¹ Hệ đã cho tương đương với 12 ì ì + =1 = ï ï y + 3x y x ï ï x Ûí í ï1 - 12 = ï - = -12 ïî y + x ïî x y y y + 3x -12 æyö æyö Suy - = Þ y + xy - 27 x = Þ ç ÷ + ç ÷ - 27 = x y y + 3x èxø èxø 2 y y y Tìm = và = -9 (loại) Với = ta x = + ; y = + x x x ìïlog y xy = log x y (1) Bài toán 4: Giải hệ phương trình: í x y (2) îï2 + = Lời giải: Điều kiện x > 0, y > 0, x ¹ 1, y ¹ Từ (1) có t + t - = với t = log y x ( ) ( ) æ3ö a) Với log y x = , ta x = y = log2 ç ÷ è2ø b) Với log y x = -2 , ta x = Thế vào (2) y + y = y Trường hợp này PT (3) vô nghiệm Thật vậy: + Nếu y > thì > 2; y y2 >1Þ + y y2 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO (3) > Tổ Toán THPT Phong Điền Lop12.net (8) MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 2 + Nếu < y < thì > suy ra: y > 1; y > Þ y + y > y æ æ3ö æ öö Vậy hệ đã cho có nghiệm ( x; y ) = ç log2 ç ÷ ;log2 ç ÷ ÷ è2ø è øø è ì36 x y - 60 x + 25y = ï 2 Bài toán 5: (Dự bị D- 2008) Giải hệ phương trình: í36 y z - 60 y + 25z = ï36 z2 x - 60 z2 + 25 x = î ì 60 x ïy = 36 x + 25 ï ï 60 y Lời giải: Hệ đã cho tương đương với í z = 36 y + 25 ï ï 60 z2 x = ï 36 z2 + 25 î Hiển nhiên hệ này có nghiệm ( x; y; z ) = ( 0;0;0 ) Dưới đây ta xét x , y, z ¹ Từ hệ trên ta thấy x , y, z > Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 60 x 60 x 60 x £ = = x y= 36 x + 25 36 x 25 60 x Tương tự ta thu y £ x £ z £ y Suy x = y = z Từ đó suy hệ có nghiệm x=y=z= ìï x - - y = - x Bài toán 6: Giải hệ phương trình: í îï( x - 1) = y Lời giải: Đk x ³ 1, y ³ Thế y từ PT(2) vào PT(1) ta x - - ( x - 1) = - x (3) Từ (3) có x - = - x + x - x + (4) Xét hàm số f ( x ) = - x + x - x + ( x ³ 1) Ta có f / ( x ) = -3 x + x - < ( "x ³ 1) Suy hàm số f ( x ) luôn luôn nghịch biến x ³ Mặt khác, hàm số g( x ) = x - luôn nghịch biến x ³ nên x = là nghiệm PT(4) Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1) Nhận xét: Đối với bài toán trên, dung công cụ đạo hàm để giải là hay, nhiên, ta có thể tránh đạo hàm cách biến đổi khéo léo sau: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Lop12.net (9) MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 PT(3) Û x - - - é( x - 1) - 1ù + x - = ë û x -2 Û - x ( x - 2) + ( x - 2) ( x2 + 2x + 4) = x -1 +1 æ ö Û x = ç Do + x + x + > 0, "x ³ 1÷ x -1 +1 è ø Dưới đây, xin nêu bài toán Đề thi tuyển sinh Đại học gần mà không dùng đến công cụ đạo hàm thì khó có thể giải ìï( x + 1) x + ( y - 3) - y = (1) Bài toán 7: (A- 2010) Giải hệ phương trình: í 2 (2) îï4 x + y + - x = Lời giải: Đk x £ ; y £ 2 PT(1) Û ( x + 1) x = ( - y + 1) - y ( ) ïì2 x = u Þ ( u2 + 1) u = ( v + 1) v Đặt í îï - y = v Hàm f (t ) = ( t + 1) t có f / (t ) = 3t + > nên f (t ) luôn đồng biến trên , suy ra: ìx ³ ï u = v Û x = - 2y Û í - 4x2 ïy = î æ5 2ö Thế y vào PT (2) ta được: x + ç - x ÷ + - x = (3) è2 ø Nhận thấy x = và x = không phải là nghiệm PT (3) Xét hàm số: æ5 ö æ 3ö g( x ) = x + ç - x ÷ + - x trên ç 0; ÷ è2 ø è 4ø 4 æ 3ö æ5 ö Ta có g / ( x ) = x - x ç - x ÷ = x ( x - 3) < trên ç 0; ÷ - 4x - 4x è 4ø è2 ø æ1ö æ 3ö Suy g( x ) nghịch biến trên ç 0; ÷ Nhận thấy g ç ÷ = , nên PT(3) có nghiệm è 4ø è2ø 1 æ1 ö x = Với x = thì y = Vậy hệ đã cho có nghiệm ( x; y ) = ç ;2 ÷ 2 è2 ø ìï x + xy = y10 + y (1) Bài toán 8: Giải hệ phương trình: í ïî x + + y + = (2) Lời giải: Hiển nhiên y ¹ Chia hai vế PT(1) cho y ¹ ta æxö æxö ç y ÷ +ç y ÷ = y + y è ø è ø Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Lop12.net (10) MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 Hàm số f (t ) = t + t có f / (t ) = 5t + > 0, "t nên hàm số f (t ) luôn đồng biến nên x = y Û x = y Thế x = y vào PT(2) ta x + + x + = Tìm x = y Vậy hệ có hai nghiệm ( x; y ) = (1;1) và ( x; y ) = (1; -1) BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Giải các hệ phương trình sau: 2 2 ïì x - x y + x y = ïì x + x y + x y = x + 1) í 2) í 2 ïî x y - x + xy = -1 ïî x + xy = x + x ì + y = - x - 2y ìï 11x - y - y - x = ï y 3) í 4) í ïî7 y - x + y - 26 x = ï x + x - y = x + 3y - î ìï x + y = y + x 5) í x + y x -1 ïî2 - = x - y ìï x - 12 xy + 20 y = 6) í îïln (1 + x ) - ln (1 + y ) = x - y ì 1- x2 x + xy + = y ïï2 7) í ï x2y + 2x - 2x2y - 4x + = ) ïî( ìï2 x y + y = x + x 8) í ïî(x + ) y + = (x + 1) ì x - x = y - 3y - ï 9) í æ x -2ö æ y -1 ö ïlog y ç y - ÷ + log x ç x - ÷ = (x - 3) è ø è ø î Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Lop12.net (11)