Trong định nghĩa chỉnh hợp nêu ở mục 3 nếu ta cho phép mỗi phần tử có thể có mặt trên một lần thì ta có định nghĩa của chỉnh hợp lặp chập k... Tổ hợp không lặp Từ n phần tử khác nhau ta [r]
(1)2008 Công Thức Toán Học Sơ Cấp Handbook of Primary Mathematics Tóm tắt các định lý, tính chất và công thức toán nhất, dễ hiểu Deltaduong TND® Corp 12/10/2008 Lop12.net (2) Mục lục I SỐ HỌC Các dấu hiệu chia hết Các giá trị trung bình II GIẢI TÍCH KẾT HỢP A CÁC LOẠI KẾT HỢP Hoán vị (không lặp) Hoán vị lặp Chỉnh hợp (không lặp) 10 Chỉnh hợp lặp 10 Tổ hợp (không lặp) 11 Tổ hợp lặp 11 B NHỊ THỨC NEWTON 12 III ĐẠI SỐ 14 Các phép toán trên các biểu thức đại số 14 Tỷ lệ thức 17 Số phức 18 Phương trình 19 Bất đẳng thức và bất phương trình 24 Cấp số; số tổng hữu hạn 29 Logarith 30 IV HÌNH HỌC 31 A CÁC HÌNH PHẲNG 31 ii Lop12.net (3) Tam giác 31 Đa giác 35 Hình tròn 37 Phương tích 39 B THỂ TÍCH VÀ DIỆN TÍCH XUNG QUANH 41 Hình lăng trụ 41 Hình chóp 41 Hình chóp cụt 41 Hình trụ 42 Hình nón 42 Hình nón cụt 42 Hình cầu 43 V LƯỢNG GIÁC 44 Hàm số lượng giác và dấu nó 44 Hàm số lượng giác số góc đặc biệt 45 Một số công thức đổi góc 46 Các công thức 46 Hàm số lượng giác góc bội 47 Công thức hạ bậc 48 Hàm số lượng giác tổng và hiệu các góc 48 Biến đổi tổng và hiệu hai hàm số lượng giác 49 Biến đổi tích hai hàm số lượng giác 50 10 Công thức góc chia đôi 51 iii Lop12.net (4) 11 Một số công thức các góc tam giác ( là các góc tam giác) 52 12 Một số công thức khác 52 13 Công thức liên hệ các hàm số lượng giác 55 VI HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRÊN MẶT PHẲNG 56 Điểm 56 Phép đổi trục tọa độ (Hình 20) 56 Tọa độ cực (Hình 21) 57 Phép quay các trục tọa độ 57 Phương trình đường thẳng 58 Hai đường thẳng 58 Đường thẳng và điểm 59 Diện tích tam giác 60 Phương trình đường tròn 61 10 Ellipse (Hình 23) 61 11 Hyperbola (Hình 24) 63 12 Parabola(Hình 25) 65 VII ĐẠI SỐ VECTOR 67 Các phép toán tuyến tính trên các vector 67 Phép chiếu vector lên trục vector () 68 Các thành phần và tọa độ vector (Hình 34) 69 Các phép toán tuyến tính trên các vector cho nhờ các tọa độ 69 Tích vô hướng hai vector 69 iv Lop12.net (5) Tích vector hai vector 71 Tích hỗn hợp ba vector 72 VIII ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 73 Giới hạn 73 Đạo hàm và vi phân 74 Ứng dụng hình học đạo hàm 77 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số 77 IX PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 84 A TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH 84 Định nghĩa 84 Các tính chất đơn giản 84 Tích phân các hàm hữu tỷ 85 Tích phân các hàm vô tỷ 87 Tích phân hàm lượng giác 90 B TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 92 Định nghĩa 92 Ý nghĩa hình học tích phân xác định 92 Một số ứng dụng tích phân xác định 92 v Lop12.net (6) MỘT SỐ KÝ HIỆU TOÁN HỌC = < > Bằng Đồng Không (khác) Xấp xỉ bẳng Nhỏ Lớn Nhỏ Lớn hoăc Tương đương |…| + (hoặc ) : (hoặc ) Giá trị tuyệt đối số Cộng Trừ Nhân Chia am a lũy thừa m Căn bậc hai Căn bậc n Đơn vị ảo Logarith số a b Logarith thập phân a Logarith tự nhiên (cơ số e) a n giai thừa Tam giác Góc phẳng Cung Đoạn thẳng AB n i log a b lga lna n! AB, AB AB Vector AB Vuông góc Song song Lop12.net a=b ab a b ab a<b a>b ab ab Mệnh đề A mệnh đề B |a| a+b a-b a.b a b a a:b b 2 4 2 32 2 i 1 log3 log10=1 4!=1.2.3.4=24 ABC ABC AB (7) # Song song và Đồng dạng Song song và cùng chiều Song song và ngược chiều độ phút góc phẳng cung giaây ' '' Lop12.net AB DC AB CD 1310'35'' (8) I SỐ HỌC Các dấu hiệu chia hết Cho 2: Số (và số đó) có chữ số tận cùng chẵn không Cho 4: Số (và số đó) có hai chữ số tận cùng không làm thành số chia hết cho (quy ước 4=04; 8=08) Cho 8: Số (và số đó) có ba chữ số tận cùng không làm thành số chia hết cho (quy ước 8=008; 16=016) Cho 3: Số (và số đó) có tổng các chữ số chia hết cho Cho 9: Số (và số đó) có tổng các chữ số chia hết cho Cho 6: Số (và số đó) đồng thời chia hết cho và Cho 5: Số (và số đó) có chữ số tận cùng là Cho 25: Số (và số đó) có hai chữ số tận cùng là làm thành số chia hết cho 25 Cho 11: Số (và số đó) có tổng các chữ số vị trí chẵn và tổng các chữ số vị trí lẻ hiệu chúng là số chia hết cho 11 Các giá trị trung bình a a an n Trung bình cộng: M1 n n i 1 Trung bình nhân: M n a1.a2 an Lop12.net (9) Trung bình điều hòa: M 1 n 1 a1 a2 an Trung bình bình phương: M a12 a22 an2 n II GIẢI TÍCH KẾT HỢP A CÁC LOẠI KẾT HỢP Hoán vị (không lặp) Một hoán vị n phần tử là dãy có thứ tự n phần tử đó, phần tử có mặt dãy đúng lần Số hoán vị khác tạo thành n phần tử ký hiệu là Pn Số này tích tất các số nguyên liên tiếp từ n, nghĩa là n! Pn=1.2.3…n=n! (n giai thừa) Quy ước 1!=1 và 0!=1 Hoán vị lặp Cho n phần tử, đó có n1 phần tử giống thuộc loại 1, n2 phần tử giống thuộc loại 2,… nk phần tử giống thuộc loại k, (n1+n2+…+nk=n) Sắp xếp n phần tử đã cho thành dãy (cùng độ dài) có thể có Mỗi dãy thu gọi là hoán vị lặp n phần tử đã cho Lop12.net (10) Số lượng Pn n1 , n2 , , nk hoán vị lặp bằng: Pn n1 , n2 , , nk n n1 !n2 ! nk ! n1 n2 nk n, k là số loại Chỉnh hợp (không lặp) Cho n phần tử khác nhau, k n Ta gọi chỉnh hợp chập k n phần tử là dãy có thứ tự gồm k phần tử chọn từ n phần tử đã cho, phần tử có mặt dãy không quá lần Số chỉnh hợp chập k có thể tạo thành từ n phần tử bằng: Ank n n 1 n n k 1 n n 1 n n k 1 Hay Ank n! n k ! Đặc biệt k=n, ta có Ank n ! Pn Chỉnh hợp lặp Cho n phần tử khác nhau, có k là số tự nhiên ( k n ) Trong định nghĩa chỉnh hợp nêu mục ta cho phép phần tử có thể có mặt trên lần thì ta có định nghĩa chỉnh hợp lặp chập k Số lượng chỉnh hợp lặp chập k có thể tạo thành tử n phần tử: 10 Lop12.net (11) Ank nk Tổ hợp (không lặp) Từ n phần tử khác ta tạo nên nhóm gồm k phần tử khác không để ý đến thứ tự các phần tử nhóm tạo thành Mỗi nhóm thu theo cách đó gọi là tổ hợp chập k n phần tử đã cho ( k n ) Số lượng tổ hợp chập k có thể thành lập từ n phần tử bằng: Ank n n 1 n k 1 C k! k! k n Hay: Cnk n! (quy ước Cn0 ) k ! n k ! Các tính chất Cnk : Cnk Cnnk ; (0.1) Cnk1 Cnk 1 Cnk ; (0.2) Cnk Pn k ; n k Tổ hợp lặp Nếu định nghĩa tổ hợp mục ta cho phép phần tử có mặt nhiều lần thì nhóm thu gọi là tổ hợp lặp chập k n phần tử đã cho Số các tổ hợp lặp chập k có thể tạo thành từ n phần tử bằng: 11 Lop12.net (12) Cnk Cnk k 1 n k 1! k ! n 1! Hay: Cnk Pn k 1 k ; n 1 B NHỊ THỨC NEWTON Nhị thức Newton1 là công thức biểu diễn biểu thức (a+b)n, với n nguyên dương, dạng đa thức theo các ẩn số a và b: a b n n n 1 n 2 a b 2! n n 1 n k 1 n k k a b b n k! a n na n 1b Hay là: a b n n a n Cn1a n1b Cn2 a n2b Cnk a n k b k b n Cnk a n k b k k 0 Các hệ số: 1, n, n n 1 n n 1 n k 1 , , , k n 2! k! Gọi là các hệ số nhị thức Sir Isaac Newton, FRS (4 January 1643 – 31 March 1727) was an English physicist, mathematician, astronomer, natural philosopher, alchemist, theologian and one of the most influential men[5] in human history More… 12 Lop12.net (13) Tính chất các hệ số: Các hệ số các số hạng cách hai mút nhau; Biết các hệ số Cnk 1 và Cnk khai triển a b ta tìm n các hệ số Cnk1 khai triển a b n 1 theo công thức (1.2) mục Dựa vào các tính chất này,người ta lập tam giác số cho các hệ số khai triển, gọi là tam giác Pascal: 1 1 1 10 15 10 20 1 15 Dòng thứ n(n=0,1,2,…) bảng trên liệt kê các hệ số khai triển (a+b)n Công thức nhị thức Newton có thể tổng quát cho trường hợp lũy thừa bậc n nguyên dương tổng k số hạng: a1 a2 ak n n! a1n1 a2n2 aknk n1 !n2 ! nk ! Blaise Pascal (June 19, 1623 – August 19, 1662) was a French mathematician, physicist, and religious philosopher More… 13 Lop12.net (14) Trong đó lấy tổng ( ) lấy theo số hạng có thể có dạng: n! a1n1 a2n2 aknk n1 !n2 ! nk ! Với ni n và n1 n2 nk n III ĐẠI SỐ Các phép toán trên các biểu thức đại số Giá trị tuyệt đối số |a|=a a 0, |a|=-a a<0 Quy tắc dấu nhân và chia: Các phép toán trên các đa thức a b c x ax bx cx; a b c m n a m n b m n c m n am an bm bn cm cn; abc a b c x x x x Các phép toán trên các phân thức 14 Lop12.net (15) a c ad cd ; b d bd a c ac ; b d bd a c ad : b d bc Một số đồng thức: a b a 2ab b ; a b a 3a 2b 3ab b3 ; a b a b a b ; a b3 a b a ab b ; a b3 a b a ab b ; a m b m a b a m 1 a m 2b ab m b m 1 ; a b a b 2a b 2 a 2ab b a 2ab b ; a b c a b c 2ab 2ac 2bc; a b c a b c 2ab 2ac 2bc; a b c a b c 2ab 2ac 2bc; a b c a b3 c3 6abc 3 a 2b ab b c bc c a ca ; a1 a2 an a12 a22 an2 a1a2 a1a3 an 1an ; a m b m a b a m 1 a m 2b a m 3b b m 1 15 Lop12.net (16) (nếu m là số tự nhiên lẻ) Các phép toán với lũy thừa a m a a a m laàn am a mn ; n a a m a n a m n ; a.b m a m n a mb m ; a m n ; m am a b 0 ; bm b a 1, a ; am , a 0 ; am m n a n am Các phép toán với số (nếu có nghĩa) 16 Lop12.net (17) n am n a.b n a n b ; n a na , b 0 ; b nb n a a ; a m.n a ; a n a m p ; m n m m n n p m n am ; x x n a n 1 , a 0 ; n a a x a b x , a b a b a b Tỷ lệ thức a c Định nghĩa: b d Tính chất bản: ad=bc Tìm các số hạng tỷ lệ thức: a bc ad ;b d c Các dẫn xuất: 17 Lop12.net (18) a b d c d b a b cd ; ; ; ; c d b a c a b d ab cd ab cd ; ; a b c d a c a c b d ; ab cd ab cd Số phức Các phép toán trên số phức i 1 i 1, i i i i, i i i i.i 1, , i n 1, i n 1 i, i n 1, i n 3 i; a bi a ' b ' i a a ' b b ' i; a bi a ' b ' i aa ' bb ' ab ' ba ' i; a bi a bi a b ; a bi aa ' bb ' ba ' ab ' a ' b ' i a '2 b '2 a '2 b '2 Biểu diễn hình học số phức Hình 18 Lop12.net (19) Điểm M(a,b) biểu diễn số phức a+bi (Hình 1) r OM a bi a b2 là module số phức xOM là argument số phức, b a b tan ;cos ;sin 2 a a b a b2 Dạng lượng giác số phức: a bi r cos i sin Công thức Moivre3: r cos i sin r n cos n i sin n n Phương trình a) Phương trình tương đương Nếu biểu thức C(x) có nghĩa miền xác định phương trình A(x)=B(x), thì: A x B x A x C x B x C x Abraham de Moivre (1667-1754) was a French mathematician famous for de Moivre's formula, which links complex numbers and trigonometry, and for his work on the normal distribution and probability theory He was elected a Fellow of the Royal Society in 1697, and was a friend of Isaac Newton, Edmund Halley, and James Stirling Among his fellow Huguenot exiles in England, he was a colleague of the editor and translator Pierre des Maizeaux More… 19 Lop12.net (20) Nếu biểu thức C(x) có nghĩa và khác không miền xác định phương trình A(x)=B(x), thì: A x B x A x C x B x C x Nếu n là số tự nhiên (n=1,2,3,…) thì: A x B x A x n 1 B x n 1 b) Một số phương trình đại số Phương trình bậc b ax+b=0, a 0; nghiệm x a Hệ hai phương trình bậc hai ẩn a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2 Nếu x y a1 b1 hệ có nghiệm nhất: a2 b2 c1 b1 c2 b2 cb c b 2 a1 b1 a1b2 a2b1 a2 b2 a1 c1 a2 a1 c2 a1c2 a2 c1 b1 a1b2 a2b1 b2 a2 20 Lop12.net (21)