Cách giải tổng quát nhất cho tích phân này là đặt x = xk trong đó k là bội số chung nhỏ nhất của tất cả các mẫu số trong các số mũ.. Lúc đó chúng ta đ−a tích phân đã cho về dạng tích ph©[r]
(1)§7 tÝch ph©n cña c¸c hµm v« tû Môc tiªu cña môc nµy lµ ®−a c¸ch gi¶i cho mét sè d¹ng cña tÝnh tÝch tæng qu¸t Zb r m R(x, x n , , x s )dx I= a đó R(u, v, , w) là hàm phân thức hữu tỷ các biến số u, v, , w và m, n, , r, s là các số nguyªn d−¬ng Cách giải tổng quát cho tích phân này là đặt x = xk đó k là bội số chung nhỏ tất các mẫu số các số mũ Lúc đó chúng ta đ−a tích phân đã cho dạng tích ph©n c¸c hµm h÷u tû Mét c¸ch gi¶i t−¬ng tù cho tÝch ph©n m r # Zβ " ax + b s ax + b n , , dx I = R x, cx + d cx + d α 7.1.1 Bµi tËp mÉu: Z2 √ √ (a) I = x( x − + x − 1)dx √ Z4 √ x− 8x √ (b) J = dx x( x + 1) 1 √ 14−3 13 Z √ Z4 √ x− 6x √ dx (d) J = x( x + 1) dx (c) I = p (x − 1)(x + 1)2 a Bµi gi¶i: + Đặt x − = t6 đổi cận x = =⇒ t = 0; x = =⇒ t = + Vi ph©n dx = 6t5 dt + Do vËy Z1 Z1 (t − 1)(t + t )6t dt = I= (t14 + t13 + t8 + t7 )dt 0 15 1 =6 t + t14 + t9 + t8 15 14 943 = 420 b Bµi gi¶i: + Đặt x = t8 đổi cận x = =⇒ t = 1; x = =⇒ t = √ + Vi ph©n dx = 8t7 dt + Biến đổi √ √ x− 8x t2 − t 8t − 2tdt dt √ dx = 8t7 dt = dt = −8 t (t + 1) t +1 t +1 t +1 x( x + 1) Do vËy √ Z J =4 √ 2tdt −8 t +1 Z dt = ln(1 + t ) t2 + 1 Lop12.net √ − u|uπ0 (2) √ √ π π Chó ý r»ng u0 ∈ (− ; ) ë trªn lµ gi¸ trÞ mµ tan u0 = chóng ta cßn kÝ hiÖu u0 = arctan 2, 2 ë ®©y arctan lµ ký hiÖu hµm ng−îc cña hµm sè tan c Bµi gi¶i: t3 + 6t2 dt x+1 = t3 ⇐⇒ x = vËy dx = − + §Æt x−1 t −1 (t − 1) √ √ 14 − 3 =⇒ t = − + §æi cËn x = =⇒ t = −1; x = 13 + Biến đổi r dx p (x − 1)(x + 1)2 = 6t3 x + dx (t3 − 1)2 =− dt = − dt 2t x−1 x+1 t −1 t3 − + Sö dông kü thuËt tÝch ph©n h÷u tû ta ®−îc (2t + 1) t+2 2 = − = − − t3 − t − t2 + t + t − t2 + t + t2 + t + Do vËy √ √ Z3 √ 14−3 13 Z p = 1 dt − t−1 Z3 2t + dt dt − t2 + t + t2 + t + (x − 1)(x + 1)2 0 √ 3 = ln |t − 1| − ln |t2 + t + 1| − J0 2 dx J= √ Z3 + Tính J0 theo cách tính hàm hữu tỷ đã biết d Bµi gi¶i: Gi¶i t−¬ng tù bµi b 7.1.2 Bµi tËp tù gi¶i: Z−1 √ √ (a) I = x2 ( − x + − x)dx −2 Z4 (c) I = Z4 (b) J = √ dx √ 2x + + 2x + Z4 √ √ x−2 x−1 √ dx x+2 (d) J = Lop12.net √ x+26x √ dx x( x + 1) (3) 7.2 PhÐp thÕ Euler tÝch ph©n cã chøa l−îng • Nếu a > thì đổi biến √ √ ax2 + bx + c: √ ax2 + bx + c = t + x a ⇐⇒ x = t2 − c √ b − 2t a • Nếu c > thì đổi biến √ ax2 + bx + c = tx + √ √ 2t c − b c ⇐⇒ x = a − t2 • NÕu ax2 + bx + c = ⇐⇒ a(x − α)(x − β) = nghÜa lµ biÓu thøc d−íi dÊu c¨n cã hai nghiệm phân biệt thì đổi biến √ ax2 + bx + c = t(x − α) ⇐⇒ x = aβ − t2 α a − t2 để ý có ba khả trên cho tam thức bậc hai nằm d−ới dấu √ chúng ta đã hữu tỷ hoá các tích phân có chứa các biểu thức vô tỷ dạng trên 7.2.1 Bµi tËp mÉu: (a) I = Z1 √ x2 + x + 1dx (b) J = Z1 √ x2 − x + 1dx 0 a Bµi gi¶i: √ t2 − + §Æt x2 + x + = t + x ⇐⇒ x2 + x + = t2 + 2tx + x2 ⇐⇒ x = − 2t 2 √ −t + t − t − = vËy x2 + x + = t + − 2t − 2t −2t2 + 2t − + Vi ph©n dx = dt (1 − 2t)2 √ + §æi cËn x = =⇒ t = 1; x = =⇒ t = − + Tõ ®©y ta cã √ Z3−1 I = −2 (t2 − t + 1)2 dt = (2t − 1)3 √ Z1 (t2 − t + 1)2 dt (2t − 1)3 3−1 + Ta sö dông ký thuËt cña tÝch ph©n hµm h÷u tû nh− sau 2 (t2 − t + 1)2 [4t2 − 4t + 4] [(2t − 1)2 + 3] = = (2t − 1)3 16 (2t − 1)3 16 (2t − 1)3 = (2t − 1) + + 16 2t − 16 (2t − 1)3 + V× vËy Z1 Z1 Z1 I= (2t − 1)dt + dt + dt 8√ 4√ 2t − 8√ (2t − 1)3 3−1 3−1 3−1 1 = (2t − 1) + ln |2t − 1| − 32 32 (2t − 1)2 √3−1 √ √ 3 = − + ln(2 + 3) − ln 4 16 Lop12.net , v× vËy (4) b Bµi gi¶i: √ − t2 + §Æt x2 − x + = t + x ⇐⇒ x2 − x + = t2 + 2tx + x2 ⇐⇒ x = 2t + 2 √ t + t + 1 − t = vËy x2 − x + = t + 2t + 2t + −2t2 − 2t − + Vi ph©n dx = dt (2t + 1)2 + §æi cËn x = =⇒ t = 1; x = =⇒ t = + Tõ ®©y ta cã Z0 I = −2 (t2 + t + 1)2 dt = (2t + 1)3 Z1 (t2 + t + 1)2 dt (2t + 1)3 + Ta sö dông ký thuËt cña tÝch ph©n hµm h÷u tû nh− sau 2 (t2 + t + 1)2 [4t2 + 4t + 4] [(2t + 1)2 + 3] = = (2t + 1)3 16 (2t + 1)3 16 (2t + 1)3 1 + = (2t + 1) + 16 2t + 16 (2t + 1)3 + V× vËy Z1 Z1 Z1 1 (2t + 1)dt + J= dt + dt 2t + (2t + 1)3 0 0 1 1 (2t + 1) + ln |2t + 1| − = 32 32 (2t + 1)2 = + ln 7.2.2 Bµi tËp mÉu: Z2 (a) I = Z2 dx √ x2 + x + (b) J = √ dx x2 − x + 1 a Bµi gi¶i: √ 2t − + §Æt x2 + x + = tx + ⇐⇒ x2 + x + = t2 x2 + 2tx + ⇐⇒ x = − t2 2 √ 2t − t t −t+1 vËy x2 + x + = + = 1−t − t2 2(t2 − t + 1) dt + Vi ph©n dx = (1 − t2 )2 √ √ 7−1 + §æi cËn x = =⇒ t = − 1; x = =⇒ t = + BiÓu thøc d−íi dÊu tÝch ph©n dx 2dt 1 2(t2 − t + 1) − t2 √ = = dt = + dt (1 − t2 )2 t2 − t + 1 − t2 1+t 1−t x2 + x + + V× vËy √ 7−1 Z I= √ 1 + 1+t 1−t dt 3−1 = [ln |1 + t| − ln |1 − t|] √ 7−1 √ 3−1 Lop12.net (5) √ √ √ √ 7+1 √ − ln √ = ln(2 + 5) − ln(3 + 3) = ln 3− 2− b Bµi gi¶i: √ 2t + + §Æt x2 − x + = tx + ⇐⇒ x2 − x + = t2 x2 + 2tx + ⇐⇒ x = − t2 2 √ 2t + t t +t+1 vËy x2 − x + = + = 1−t − t2 2(t2 + t + 1) + Vi ph©n dx = dt (1 − t2 )2 √ 3−1 + §æi cËn x = =⇒ t = 0; x = =⇒ t = + BiÓu thøc d−íi dÊu tÝch ph©n dx 2dt 2(t2 + t + 1) − t2 √ dt = + dt = = (1 − t2 )2 t2 + t + 1 − t2 1+t 1−t x2 − x + + V× vËy √ 3−1 Z2 I= 1 + 1+t 1−t dt √ = [ln |1 + t| − ln |1 − t|] √ 3+2 = ln 7.2.3 Bµi tËp tù gi¶i: Z1 Z1 √ (x + 1) x2 + x + 1dx (a) I = (b) J = 0 Z1 Z1 (c) I = √ (x2 + 1) x2 + x + 1dx (d) J = 0 Z1 Z1 (e) I = (g) I = 3−1 (x + 1)dx √ x2 + x + (f ) J = 0 Z1 √ Z1 x2 − 5x + 6dx (h) J = 0 Z1 Z1 (i) I = (x + 1)dx √ − x2 (j) J = 0 Lop12.net √ (x + 1) x2 − x + 1dx √ (x2 + 1) x2 − x + 1dx (x + 1)dx √ x2 − x + √ (x + 1)dx x2 − 5x + x2 dx √ − x2 (6)