Chú ý: 1 Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì phải vẽ hình, tuy nhiên hầu hết rất khó xác định đúng miền phẳng cần tính diện tích có thể vì thế mà đề thi Đại học không ra.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải toán Dạng b ∫ I= f(x) dx a Giả sử cần tính tích phân , ta thực các bước sau Bước Lập bảng xét dấu (BXD) hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: x f(x) b I= Bước Tính ∫ a x1 x1 + x2 − x2 b + b ∫ f(x)dx − ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx f(x) dx = a a x1 x2 I= Ví dụ Tính tích phân ∫ x − 3x + dx −3 Giải Bảng xét dấu −3 x x − 3x + 2 + −3 − ∫ (x I= − 3x + ) dx − ∫ ( x − 3x + ) dx = 59 π I= Ví dụ Tính tích phân ∫ − cos2 x − sin xdx Giải π I= ∫ π sin2 x − sin x + 1dx = x sin x − I = −∫ ( sin x − ) dx + sin x − dx Bảng xét dấu π ∫ π − π + π ∫ ( sin x − 1) dx = π −2− π Dạng (2) b ∫ [ f(x) I= Giả sử cần tính tích phân Cách Tách ∫ [ f(x) , ta thực hiện: a b I= ± g(x) ] dx b ± g(x) ] dx = a ∫ b f(x) dx ± a ∫ g(x) dx sử dụng dạng trên a Cách Bước Lập bảng xét dấu chung hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b] Bước Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối f(x) và g(x) I= Ví dụ Tính tích phân ∫(x − x − ) dx −1 Giải Cách I= ∫(x − x − ) dx = −1 = −∫ xdx + −1 x =− −1 ∫ x dx − ∫ x − dx −1 2 −1 ∫ xdx + ∫ (x − 1)dx − ∫ (x − 1)dx 2 x + −1 x x 2 + − x − − x = 2 −1 1 2 Cách Bảng xét dấu x x x–1 –1 0 – – + – + + ∫ ( −x + x − 1) dx + ∫ ( x + x − 1) dx + ∫ ( x − x + 1) dx I= −1 = −x −1 + (x − x) + x Vậy I = = Dạng b I= Để tính các tích phân b ∫ max { f(x), a g(x) } dx J= và ∫ { f(x), g(x) } dx a Bước Lập bảng xét dấu hàm số h(x) = f(x) − g(x) trên đoạn [a; b] Bước + Nếu h(x) > thì max { f(x), g(x) } = f(x) và { f(x), g(x) } = g(x) + Nếu h(x) < thì max { f(x), g(x)} = g(x) và { f(x), g(x)} = f(x) I= Ví dụ Tính tích phân ∫ max { x + 1, 4x − } dx , ta thực các bước sau: (3) Đặt Giải h(x) = ( x + ) − ( 4x − ) = x − 4x + Bảng xét dấu x h(x) + I= – + ∫ (x + ) dx + ∫ ( 4x − ) dx + ∫ (x + ) dx = 80 I= Ví dụ Tính tích phân ∫ { , x − x } dx Giải x Đặt h(x) = − ( − x ) = + x − x Bảng xét dấu x h(x) I= ∫3 x dx + ∫ 1 – + x ( − x ) dx = ln x2 + 4x − = + 1 ln 2 B ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN I DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Diện tích hình thang cong Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn các đường b y = f(x), x = a, x = b và trục hoành là: S= ∫ f(x) dx a Phương pháp giải toán Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b] b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ∫ f(x) dx a Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = ln x, x = 1, x = e và Ox Giải [ 1; e ] ln x ≥ ∀ x ∈ Do nên: e S= ∫ e ln x dx = Vậy S = (đvdt) ∫ ln xdx = x ( ln x − ) e =1 Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = −x + 4x − 3, x = 0, x = và Ox Giải Bảng xét dấu (4) x y – + S = −∫ ( −x + 4x − ) dx + ∫ ( −x + 4x − ) dx x3 x3 3 = − − + 2x + 3x + − + 2x + 3x = 0 1 S= (đvdt) Vậy Diện tích hình phẳng 2.1 Trường hợp Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn các đường b y = f(x), y = g(x), x = a, x = b là: S= ∫ f(x) - g(x) dx a Phương pháp giải toán Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) − g(x) trên đoạn [a; b] b Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ∫ f(x) − g(x) dx a 2.2 Trường hợp Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn các đường β S = ∫ f(x) - g(x) dx y = f(x), y = g(x) là: α Trong đó α, β là nghiệm nhỏ và lớn phương trình f(x) = g(x) ( a ≤ α < β ≤ b ) Phương pháp giải toán Bước Giải phương trình f(x) = g(x) Bước Lập bảng xét dấu hàm số f(x) − g(x) trên đoạn [ α; β ] β Bước Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ∫ f(x) − g(x) dx α Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: y = x + 11x − 6, y = 6x , x = 0, x = Giải Đặt h(x) = (x + 11x − 6) − 6x = x − 6x + 11x − h(x) = ⇔ x = ∨ x = ∨ x = (loại) 3 Bảng xét dấu x (5) h(x) – + S = −∫ ( x − 6x + 11x − ) dx + ∫ (x − 6x + 11x − ) dx x x4 11x 11x 3 = − − 2x + − 6x + − 2x + − 6x = 0 1 2 S= Vậy (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = x + 11x − 6, y = 6x Giải 3 Đặt h(x) = (x + 11x − 6) − 6x = x − 6x + 11x − h(x) = ⇔ x = ∨ x = ∨ x = Bảng xét dấu x h(x) S= + – 3 ∫ (x − 6x + 11x − ) dx − ∫ ( x − 6x + 11x − ) dx x x4 11x 11x 3 = − 2x + − 6x − − 2x + − 6x = 4 1 2 2 S= (đvdt) Vậy 2 Chú ý: 1) Nếu hình phẳng giới hạn từ đường trở lên thì phải vẽ hình, nhiên hầu hết khó xác định đúng miền phẳng cần tính diện tích (có thể vì mà đề thi Đại học không ra) 2) Nếu khoảng ( α; β ) phương trình f(x) = g(x) không có nghiệm thì ta có thể dùng công thức: β ∫ β f(x) − g(x) dx = α ∫ f(x) − g(x) dx α 3) Nếu tích diện tích hình phẳng giới hạn x = f(y) và x = g(y) thì ta giải trên nhớ đổi vai trò x cho y (xem ví dụ 9) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x , y = 4x Giải Phương trình hoành độ giao điểm: x = 4x ⇔ x = −2 ∨ x = ∨ x = ⇒S= ∫ ( x − 4x ) dx + −2 ∫ x ( x − 4x ) dx = x − 2x + − 2x = −2 0 4 Vậy S = (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x − x + và trục hoành Giải (6) Phương trình hoành độ giao điểm: t = x =1 x = ±1 ⇔ ⇔ ⇔ t=3 x =3 x = ±3 x − x + = ⇔ t2 − 4t + = 0, t = x ≥ ⇒S= ∫ −3 = = 2 x − x + dx = ∫ x − 4x + dx ∫ ∫ ( x − 4x + ) dx + ( x − 4x + ) dx 16 = x x − 2x + 3x + − 2x + 3x 0 1 3 16 S= (đvdt) Vậy Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x − 4x + và y = x + Giải Phương trình hoành độ giao điểm: x + ≥ x = ⇔ x − 4x + = x + ⇔ x= x − 4x + = −x − x − 4x + = x + Bảng xét dấu x + – x − 4x + 3 ∫ (x ⇒S= − 5x ) dx + x 5x = − Vậy + ∫ ( −x + 3x − ) dx + ∫ (x − 5x ) dx −x x 3x 5x 109 + − 6x + − + = 0 1 2 3 3 109 (đvdt) S= Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x2 − , y = x + Giải Phương trình hoành độ giao điểm: x − = x + ⇔ t2 − = t + 5, t = x ≥ t = x ≥ t = x ≥ ⇔ t − = t + ⇔ ⇔ x = ±3 t = t2 − = −t − ⇒S= ∫ x − − ( x + ) dx = ∫ x − − ( x + ) dx −3 Bảng xét dấu x x −1 ⇒S=2 ∫ ( −x – − x − ) dx + ∫ (x − x − ) dx + (7) −x x3 x2 x2 73 = − − 4x + − − 6x = 0 1 2 3 73 S= (đvdt) Vậy Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x, y = 0, y = Giải 2 Ta có: y = − x ⇔ x = − y , x ≥ Phương trình tung độ giao điểm: y = ⇒S= ∫ − y − y dy = π = ∫ ∫( − x2 − y2 ⇔ y = − y2 − y ) dy cos tdt − ∫ ydy = ( t + sin 2t ) π − y2 π S= (đvdt) Vậy Cách khác: Vẽ hình ta thấy S diện tích hình tròn bán kính R = nên S= π πR = II THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn các đường y = f(x) ≥ ∀x ∈ [ a; b ] , y = , x = a và b x = b (a < b) quay quanh trục Ox là: V = π∫ f (x)dx Ví dụ Tính thể tích hình cầu hình tròn (C) : x + y = R quay quanh Ox Giải 2 Hoành độ giao điểm (C) và Ox là x = R ⇔ x = ±R 2 2 2 Phương trình (C) : x + y = R ⇔ y = R − x a R R 3 ⇒ V = π ∫ ( R − x ) dx = 2π∫ ( R − x ) dx = 2π R x − x = 4πR −R 4πR V= (đvtt) Vậy R 2 Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn các đường x = g(y) ≥ ∀y ∈ [ c; d ] , x = , y = c và d y = d (c < d) quay quanh trục Oy là: V = π ∫ g (y)dy c Ví dụ Tính thể tích hình khối ellipse (E) : x y + =1 a b quay quanh Oy Giải (8) y2 = ⇔ y = ±b Tung độ giao điểm (E) và Oy là b 2 2 x y a y (E) : + = ⇔ x = a − a b b Phương trình b b a y2 ⇒ V = π ∫ a − dy = 2π ∫ b −b Vậy V= R a y2 a − dy = 2π a y − a y = 4πa b b 3b2 4πa b (đvtt) Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn các đường y = f(x), y = g(x) , x = a và b x = b (a < b, f(x) ≥ 0, g(x) ≥ ∀x ∈ [ a; b ]) quay quanh trục Ox là: V = π ∫ f (x) − g (x) dx a Ví dụ Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn các đường y = x2, y2 = x quay quanh Ox Giải x = x ≥ ⇔ x = x x=1 Hoành độ giao điểm: 1 ⇒ V = π ∫ x − x dx = π Vậy V= ∫ (5 ( x − x ) dx = π x − x 2 3π 10 (đvtt) ) = 3π 10 Trường hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn các đường x = f(y), x = g(y) , y = c và d y = d (c < d, f(y) ≥ 0, g(y) ≥ ∀y ∈ [ c; d ]) quay quanh trục Oy là: V = π ∫ f (y) − g (y) dy c Ví dụ Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn các đường x = −y + , x = − y quay quanh Oy Giải y = −1 −y2 + = − y ⇔ y=2 Tung độ giao điểm: 2 ⇒ V = π ∫ ( −y + ) − ( − y ) dy = π 2 −1 ∫ (y 153π V= (đvtt) Vậy − 11y2 + 6y + 16 ) dy −1 y 11y 153π = π − + 3y2 + 16y = 5 −1 5 BÀI TẬP (9) Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường có phương trình sau 1) y = sin x, y = , x = 0, x = 2π 2) y = x , y = , x = −1, x = 2 3) y = x − 2x, y = −x + 4x 4) y = x , y = 4x , x = −1, x = 2 5) y = −x − 5, y = −6x , x = 0, x = 6) y = −x − 2, y = −3x , x = 0, x = 2 7) y = −x − 2x, y = −x − 8) y = x − 2x − x + và trục hoành 9) y = x − 2x − x + và trục hoành 10) y= 4− x2 x2 , y= 4 2 11) y = − − x , x + 3y = 12) y = x − 4x + , y = 13) y = x − x + , y = x = y, x = − y2 14) x= 2,x= , y= y − y2 15) 16) y = (2 + cos x) sin x, y = , 17) y = x + x , y = , x = (y ≥ 0) x= π 3π , x= 2 ln x , y = x = 1, x = e x 18) , + ln x y= ,y=0 x , x = 1, x = e 19) 20) y = 0, y = ln x , x = 2, x = e 1 π π y= ,y= x= , x= 2 sin x cos x , 21) 2 22) y = x , y = 4x , y = y= 23) y = x(x + 1)(x − 2), y = , x = −2, x = x 24) y = xe , y = , x = −1, x = 2 25) y = 4x, x − y + = , y = 26) x − y + = 0, x + y − = 0, y = Bài Tính thể tích hình phẳng giới hạn các đường 1) y = 3x, y = x , x = 0, x = quay quanh Ox 2) y= x2 ,y=2 , y = 4, x = quay quanh Oy (10) 3) y = (x − 1) , x = và y = quay quanh Ox 4) y = − x, x = quay quanh Oy 2 5) (C) : x + (y − 4) = quay quanh Oy x2 y2 + =1 16 6) ellipse quay quanh Ox x2 x2 (E) : + =1 16 7) ellipse quay quanh Oy 2 8) y = x + 2, y = − x quay quanh Ox 9) y = x , y = x quay quanh Ox (E) : 2 10) y = − − x , x + 3y = quay quanh Ox HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 2π S= ∫ π sin x dx = 1) ∫ ∫ sin xdx + x dx = ∫ ∫ x dx + ∫ sin xdx π S= 2π x dx = x −1 −1 2) 2 3) x − 2x = −x + 4x ⇔ x = ∨ x = 3 ⇒S= ∫ (x − 2x) − (−x + 4x) dx = 2 ∫ 0 = − cos x + −1 x4 π + − cos x 2ππ = (đvdt) = 17 (đvdt) 2x (2x − 6x)dx = − 3x 0 = 9(đvdt) 4) x − 4x = ⇔ x = ∨ x = ∨ x = −2 (loại) ⇒S= ∫ x − 4x dx = −1 ∫ (x − 4x)dx + −1 ∫ x4 (x − 4x)dx = x − 2x − 2x + −1 0 23 S= (đvdt) Vậy 5) x − 6x + = ⇔ x = ∨ x = (loại) 1 ⇒S= ∫ x − 6x + dx = ∫ 0 x3 (x − 6x + 5)dx = − 3x + 5x 0 S= (đvdt) Vậy 6) x − 3x + = ⇔ x = ∨ x = ⇒S= ∫ x − 3x + dx = 2 ∫ (x − 3x + 2)dx + 0 − 3x + 2)dx x3 x3 3x 3x = − + 2x + − + 2x 0 1 2 ∫ (x = 1(đvdt) 7) −x − 2x = −x − ⇔ x = −2 ∨ x = ⇒S= ∫ −2 x3 x2 + − 2x x + x − dx = ∫ (x + x − 2)dx = −2 −2 2 10 (11) (đvdt) Vậy 8) x − 2x − x + = ⇔ x = ∨ x = ±1 S= ⇒S= ∫ ∫ (x x − 2x − x + dx = 3 − 2x − x + 2)dx + −1 −1 3 − 2x − x + 2)dx x x 2x x 2x x = − − + 2x + − − + 2x −1 1 3 ∫ (x 2 37 S= 12 (đvdt) Vậy t = x ≥ x = ±1 t = x ≥ t = ⇔ ⇔ x = ±2 x − 2x − x + = ⇔ t = t − 2t2 − t + = 9) ⇒S= ∫ x − 2x − x + dx = ∫ x − 2x − x + dx −2 ∫ (x =2 − 2x − x + 2)dx + − 2x − x + 2)dx 2 x4 2x x2 − − + 2x 1 2 = 3(đvdt) x x = ⇔ x + 8x − 128 = ⇔ x = ±2 4 4− 2 ∫ ⇒S= x 2x x = − − + 2x + 0 10) ∫ (x −2 2 ∫ =2 π 2 − x − x dx ∫ 4 −2 2 x2 x2 4− − dx = 4 2 − x − x dx = 4 = 16 ∫ cos2 tdt − 2 2 ∫ 2 ∫ 16 − x dx − ( = t + sin 2t x 2dx ) 2 2 π ∫ x dx x3 − 2 2 S = 2π + (đvdt) Vậy x2 x2 x + 3y = ⇔ y = − ⇒− 4−x =− 3 ⇔ x + 9x − 36 = ⇔ x = ± 11) ⇒S= x2 4−x − dx = ∫ − 3 =2 ∫ Vậy S= 3 ∫ x2 − x − dx π 3 1 − x dx − ∫ x dx = ∫ cos2 tdt − ∫ x dx = 2 t + sin 2t 3 0 4π + 3 (đvdt) 11 ( ) π − x3 (12) x − 4x + = x = x − 4x + = ⇔ ⇔ x=4 x − 4x + = −3 12) Bảng xét dấu x + – x − 4x + ⇒S= ∫ − 4x ) dx + 0 x3 = − 2x + ∫ (x x − 4x + − dx = −x + + 2x − 6x ∫ ( −x + 4x − ) dx + x3 + − 2x 3 = 8(đvdt) x = x = ±1 ⇔ ⇔ x =3 x = ±3 x2 − x + = ⇔ x2 − x + = 13) Bảng xét dấu x + – x − 4x + 3 ⇒S= ∫ −3 x − x + dx = ∫ x − 4x + dx = ∫ ( x − 4x + ) dx − ∫ ( x − 4x + ) dx 3 x x = − 2x + 3x − − 2x + 3x 0 16 S= (đvdt) Vậy y = y= , ≤ y < ⇔ − y2 y = 14) Tung độ giao điểm 3 3 ⇒S=∫ − y dy = − y ∫ − y2 dy − y2 1 =… π S = 1− (đvdt) Vậy = ⇔y=2 2 y − y 15) Tung độ giao điểm ⇒S= ∫ Vậy S= − y2 dy = − y2 π −1− 12 (đvdt) 16) ∫ π 2 ∫ y 3π S= 2 − − y2 dy 3π π (2 + cos x) sin x dx = =… ∫ (2 + cos x) sin xdx − ∫ (2 + cos x) sin xdx π π 12 ∫ (x − 4x ) dx (13) ( = − cos x + cos 2x ) ( π π + cos x + cos 2x ) 3π π = 3(đvdt) 17) Hoành độ giao điểm x + x = ⇔ x = ⇒S= ∫ x + x dx = ∫ x + x dx = ∫0 + x d(1 + x ) = (1 + x )3 2 −1 Vậy (đvdt) e e ln x ln x ln x S=∫ dx = ∫ dx > ∀x ∈ [ 1; e ] x x x 1 18) t t Đặt t = ln x ⇒ x = e ⇒ dx = e dt x = ⇒ t = 0, x = e ⇒ t = S= ( ⇒S= Vậy S = − e S= 19) Đặt ∫ t= te t dt = et ∫ ∫ td ( e t )= t e t 0 −∫ et dt = e (đvdt) + ln x dx = x e + ln x dx x ∫ ∫ t.2tdt = ∫ 2t2 dt = 1 + ln x ⇒ t2 = + ln x ⇒ 2tdt = e − et x = ⇒ t = 1, x = e ⇒ t = ⇒S= ) dx x 2 t −2 S= Vậy (đvdt) e S= ∫ e ln x dx = e ∫ ln xdx = x ln x − ∫ dx e 2 20) Vậy S = − ln 1 π π π = ⇔ x = ∈ ; 2 sin x 21) cos x π ⇒S= ∫ π π = 1 − dx = cos x sin2 x ∫ ( cos π x − ) π ∫ π dx + sin2 x π 1 − dx + cos x sin2 x π ∫ ( cos π x − ) dx sin2 x π = ( tgx + cotgx ) π4 + ( tgx + cotgx ) π3 − 12 S= Vậy (đvdt) 13 π ∫ π 1 − dx cos x sin2 x (14) y = x2 x = ⇔ y = 4x y = 22) Tọa độ giao điểm y = x x = y ⇔ y y = 4x x = Ta có: ∫( ⇒S= ) Vậy y3 y− y dy = (đvdt) S= ∫ S= x(x + 1)(x − 2) dx −2 23) −1 ∫ (x = ∫ (x − x − 2x ) dx + −2 − x − 2x ) dx + −1 −1 ∫ (x − x − 2x ) dx x x x x x x3 = − − x + − − x + − − x −2 −1 0 3 4 37 S= (đvdt) Vậy 2 ∫ S= xe dx = x −1 24) ∫ xe dx − ∫ xe dx = ( x − 1) e x x −1 x − ( x − 1) ex −1 e + 2e − e (đvdt) Vậy y2 = 4x x = y2 ⇔ x − y + = x = y − ⇒ y2 = y − ⇔ y = 25) S= ⇒S= 1 y − (y − 1) dy = 4 ∫ ∫ y3 ( y − 4y + ) dy = − 2y2 + 4y 0 4 2 S= (đvdt) Vậy x − y + = x = y − ⇔ x + y − = x = − y ⇒ y − = − y ⇔ y + y − = ⇔ y = 26) ⇒S= ∫ ( y + y − ) dy = Vậy S= ( y + y2 − 2y ) Bài 1) V = π∫ ( 3x )2 − x dx = 8π ∫ 8π x x dx = 14 (15) Vậy V= 8π (đvtt) 4 x ⇔ x = 2y ⇒ V = π ∫ x dy = π ∫ 2ydy = π y 2 2 2) Ta có Vậy V = 12π (đvtt) y= 2 ⇒ V = π ∫ y dx = π ∫ (x − 1) = ⇔ x = 1 3) Ta có π V= (đvtt) Vậy y2 = − x x = − y2 ⇔ ⇒ y = ±2 x = x = 4) Ta có 2 8y y5 ⇒ V = π ∫ ( − y2 ) dy = 2π 16y − + 0 −2 512π V= 15 (đvtt) Vậy 2 5) Tung độ giao điểm (C) : x + (y − 4) = và Oy: ⇒ V = π∫ (x − 1)4 (x − 1) dx = π y − = y = (y − 4)2 = ⇔ ⇔ y − = −2 y=2 6 y3 x dy = π ∫ [ − (y − 4)2 ] dy = π − + 4y2 − 12y 2 Cách khác: V= 4π23 32π V= Vậy (đvtt) Hình khối tròn xoay là hình cầu bán kính R = nên x2 y2 (E) : + =1 16 6) Hoành độ giao điểm và Ox là x = ±4 2 x y + = ⇔ y2 = ( 16 − x ) 16 16 Ta có: 4 9π 9π x ⇒ V = π ∫ y dx = (16 − x )dx = 16x − 16 ∫ 0 −4 −4 Vậy V = 48π (đvtt) x2 y2 + =1 16 7) Tung độ giao điểm và Oy là y = ±3 x2 y2 16 + = ⇔ x = ( − y2 ) 16 9 3 16π 32π y 2 ⇒ V = π ∫ x dy = (9 − y )dy = 9y − ∫ 0 −4 −3 Vậy V = 64π (đvtt) 2 8) Hoành độ giao điểm x + = − x ⇔ x = ±1 (E) : 1 x3 ⇒ V = π ∫ ( x + ) − ( − x ) dx = 24π∫ x − dx = 24π − x 3 0 −1 2 2 15 (16) Vậy V = 16π (đvtt) 9) Hoành độ giao điểm x = x ⇔ x4 = x ⇔ x = ∨ x = 1 ⇒ V = π ∫ x − x dx = π ∫ x5 x2 ( x − x ) dx = π − 0 3π V= 10 (đvtt) Vậy 10) Hoành độ giao điểm ⇒ V = π∫ − Vậy V= − − x2 = − 2π x4 dx = (4 − x ) − 9 x2 ⇔ x2 = ⇔ x = ± 3 ∫ 2π ( 36 − 3x − x ) dx = 28π (đvtt) 16 x5 36x − 3x − (17)