Nhận xét và hướng dẫn giải Rõ ràng không có dấu hiệu nào để biểu diễn các biến số của biểu thức cho trong bài toán theo một biến số mới, ta sẽ tìm GTNN của biểu thức M ban đầu thông qua [r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HOÀ BÌNH TRƯỜNG THPT YÊN THUỶ C NGƯỜI THỰC HIỆN: Bùi Tuấn Anh HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM NĂM HỌC 2010 – 2011 Lop12.net (2) NỘI DUNG ÔN TẬP TRONG TÀI LIỆU NÀY Chương Ôn tập phương pháp tìm GTLN, GTNN hàm số cách khảo sát trực tiếp hàm số Chương Hệ thống số dạng toán tìm GTLN, GTNN hàm số phương pháp đổi biến số Chương Hệ thống số dạng toán tìm GTLN, GTNN biểu thức nhiều biến số phương pháp đổi biến số Các dạng toán: a Căn vào mối liên hệ các nhóm số hạng biểu thức để phát cách đổi biến b Phương pháp đổi biến số S = x + y, P = x.y bài toán tìm GTLN, NN biểu thức đối xứng theo biến số x, y c Phương pháp đổi biến số biểu thức đối xứng theo biến số x, y, z d Tìm GTLN, NN qua biểu thức trung gian (do biểu thức ban đầu không có dấu hiệu đổi biến) CHƯƠNG ÔN TẬP PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG CÁCH KHẢO SÁT TRỰC TIẾP HÀM SỐ 1.1/ Phương pháp giải bài toán: Tìm GTNN, GTLN hàm số y = f(x) trên tập số D Phương pháp chung - Lập bảng biến thiên hàm số trên tập số D Căn vào bảng biến thiên để kết luận Lưu ý 1: Nếu D là đoạn [a; b] thì có thể làm sau: - Tính đạo hàm y’ - Tìm các nghiệm y’ đoạn [a; b], giả sử các nghiệm này là x1, x2 - Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2) - KL: Số lớn (nhỏ nhất) các số trên là GTLN, (NN) f(x) trên [a; b] Lưu ý 2: Khi KL GTLN, GTNN tìm phải nêu rõ nó đạt x nhận giá trị nào 1.2/ Bài tập tự luyện - Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ có các hàm số sau: f ( x) x x f ( x) x x f ( x) x 1 x f ( x) x x2 x f ( x) x x f ( x) 2x x2 f ( x) sin x x, x ; 2 f(x)=5cosx–cos5x, x 4 x , x 0; f ( x) x cosx+2sin y 2x 2x x x y x x x x 1, x 1;1 y x x 21 x 3x 10 Lop12.net s inx+2cos (3) CHƯƠNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TÌM GTLN, NN CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 1.1/Phương pháp giải Phương pháp đổi biến số để tìm GTLN, GTNN hàm số y = f(x) (x thuộc tập xác định hàm số thuộc tập số cho trước) Bước Lựa chọn cách đặt ẩn phụ t theo x Bước Chuyển ĐK biến số x sang ĐK biến số t Giả sử tìm t K Bước Chuyển bài toán ban đầu thành bài toán đơn giản Cụ thể là: Tìm GTLN, GTNN hàm số f(t) trên tập số K 1.2/ Ví dụ minh họa Trước tiên lưu ý đến sai lầm mà học sinh thường gặp giải bài toán phương pháp đổi biến số nói chung, và bài toán tìm GTLN, GTNN phương pháp đổi biến nói riêng thông qua ví dụ sau: Ví dụ Tìm GTNN, GTLN hàm số y sin x sin x sin x Sai lầm thường gặp t 1 t t 1 t t 2t Ta có: f ' (t ) , f ’(t) = ; lim f ( x) (t t 1) t 2 x Đặt t = sinx, ta có hàm số theo t: f (t ) Bảng biến thiên hàm số f(t) sau: t -2 f’(t) + 0 - f(t) Từ BBT suy ra: M inf(t ) f (2) ; Maxf (t ) f (0) Từ đó có GTNN, GTLN hàm số ban đầu là và Phân tích sai lầm Theo lời giải trên thì hàm số f(x) nhận GTNN là khi: sinx = -2, điều này không xảy Mặc dù đã lựa chọn biến mới: t = sinx hợp lí chưa tìm điều kiện cho nó dẫn đến bài toán tìm GTNN, GTLN hàm số theo biến số f (t ) t 1 không tương thích với bài t t 1 toán ban đầu (ngoài ví dụ xét thì các ví dụ sau phải lưu ý điều này) Lop12.net (4) Lời giải đúng Đặt t = sinx, điều kiện 1 t Bài toán quy tìm GTNN, GTLN hàm số f (t ) t 1 trên đoạn 1;1 t t 1 Bảng biến thiên hàm số f(t) trên đoạn 1;1 sau: t -1 f’(t) 0 + f(t) - Từ bảng biến thiên suy GTNN, GTLN hàm số f(t) trên đoạn 1;1 là (khi và t = -1) và (khi và t = 0) Từ đó có: Maxy = đạt và khi: x k , Miny = và khi: k 2 Nhận xét Nếu biểu thức xác định hàm số có thể phân chia thành các nhóm số hạng và chúng có mối liên hệ cho các hệ thức toán học cho phép biểu diễn chúng qua thì ta có thể đưa bài toán đó bài toán đơn giản phương pháp đổi biến số Mối liên hệ các nhóm số hạng biểu thức xác định hàm số ví dụ trên là rõ ràng dễ thấy, điều này giúp ta phát cách đổi biến số không khó khăn, nhiên có trường hợp mối liên hệ các nhóm số hạng ẩn kín bên trong, đòi hỏi nhiều phép biến đổi và có cách nhìn tinh phát Ví dụ Tìm GTNN và GTLN hàm số y = sinx + cosx + sinx cosx Nhận xét và hướng dẫn giải Xét mối liên hệ hai nhóm số hạng: sinx + cosx và sinx cosx, Chúng có mối liên hệ với hệ thức dễ thấy sau (sinx + cosx)2 = sin2x + cos2x + 2sinx cosx = + 2sinx cosx, Nhận xét đó gợi cho ta suy nghĩ, đặt ẩn phụ u sin x cos x sin x , với điều kiện 4 biến số là u u2 1 u2 1 Khi đó sin x cos x và bài toán quy tìm GTNN, GTLN hàm số f (u ) u 2 trên đoạn 2; Trên đoạn 2; dễ dàng tìm GTNN, GTLN hàm số f(u) là -1 (khi và u = -1) và 2 (khi và u = 2 ) Từ đó có GTNN, LN hàm số ban đầu Lop12.net (5) Ví dụ Tìm GTNN, GTLN hàm số y = sin4x +cos4x +sinx.cosx +1 Nhận xét và hướng dẫn giải sin x Từ phân tích trên ta thấy đặt t = sin2x (điều kiện 1 t ) ta có hàm số theo biến số t 1 sau: h(t ) t t 2 Ta có: sin4x + cos4x = sin 2 x và sin x cos x Và bài toán trở thành tìm GTNN, GTNN hàm số h(t) trên đoạn [-1; 1] Đáp số: Maxy = Ví dụ 17 5 k ; Miny = x k x 12 12 x k (k Z ) Tìm GTNN, GTLN hàm số y x x ( x 1)(3 x) Nhận xét và hướng dẫn giải Tập xác định hàm số là D 1;3 Để ý rằng: x 1 x ( x 1)(3 x) , ( x 1)(3 x) Vì đặt t x x thì g (t ) t2 và ta có hàm số theo biến t sau: t2 t 2 Để tìm điều kiện cho biến số t ta lưu ý t ( x 1)(3 x) 4, x 1;3 , từ đó suy 2 t (hoặc lập BBT hàm số t ( x) x x trên D 1;3 để suy 2 t ) t2 t trên đoạn 2; 2 Đáp số: Maxy = x = 3; Miny = x 2 Bài toán quy tìm GTNN, GTLN hàm số g (t ) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Tìm GTLN, GTNN các hàm số sau phương pháp đổi biến số: y= cos x cos x cos x y sin x cos x y cos x sin x sin x cos x y x x , x 1;1 y x3 1 x2 x x x x y 1 sin x cos x 2 y = 3sin x 3cos x1 y = (với a là tham số) (cos x cos x) cos x y , với x sin x(2 cos x sin x) 4 2 y (4cos 3sin )(4sin 3cos ) 25sin cos y 2(1 sin x cos x) sin x cos6 x sin x cos x y = x 1 x f(x)= y sin x cos6 x a.sin x.cos x x x 8x 8x x 2x Lop12.net f ( x) x4 x2 x2 x2 x2 (6) CHƯƠNG TÌM GTLN, NN CỦA BIỂU THỨC CÓ NHIỀU BIẾN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 2.1/Phương pháp giải Để tìm GTLN, GTNN biểu thức có chứa nhiều biến số nào đó ta có thể dùng phương pháp đổi biến số sau: Bước Biểu diễn các biến số biểu thức ban đầu theo biến số Bước Tìm điều kiện cho biến số (dựa trên điều kiện các biến số ban đầu) Bước Tìm GTNN, GTLN hàm số theo biến số tương ứng với điều kiện nó Một số bất đẳng thức sở thường sử dụng: 1/ Với a, b, c bất kỳ, ta có: 1/ a b 2ab /(a b) 4ab / 2(a b ) (a b) / a b c ab bc ca /(a b c) 3(ab bc ca ) / 3(a b c ) (a b c) 2/ BĐT Côsi - Với a, b, c không âm, ta có: a b ab , a b c 3 abc , a b c 27abc 2.2/ Ví dụ minh họa a Căn vào mối liên hệ các nhóm số hạng biểu thức để phát cách đổi biến Ví dụ Cho x, y, z là các số dương Tìm GTNN biểu thức P xyz x yz xyz x yz Nhận xét và hướng dẫn giải Dễ thấy x yz x y z xyz ta biểu thức theo biến số t là: , đó đặt t xyz xyz x yz P(t ) t t x y z 3 xyz 3 xyz xyz Do đó bài toán quy tìm GTNN hàm số P(t ) t trên khoảng 3; t t 1 Vì P ' (t ) 0, t nên hàm số P(t) đồng biến trên khoảng 3; t 10 Từ đó có Min P(t ) P(3) , đây là GTNN biểu thức P 3; Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có: t Lop12.net (7) Ví dụ x4 y x2 y x y Cho x, y khác Tìm GTNN biểu thức T y x y x y x Nhận xét và hướng dẫn giải Ta có: x2 y x y 2 y x2 y x (2a ) 2 x y 2 x4 y x2 y 2 y x y x4 y x2 Từ (2a) và (2b) ta thấy đặt t Cũng từ (2a) có: t (2b) x y thì: T t 5t t , y x x2 y t y x2 Bài toán trở thành: Tìm GTNN hàm số T (t ) t 5t t trên miền D (; 2] [2; ) Ta có: T ' ( x) 4t 10t 4t (t 4) 6t , để ý t 0, x D nên suy dấu T’(t) trên D và có bảng biến thiên sau: t -2 T’(t) T(t) - + -2 Từ bảng biến thiên suy GTNN T(t) trên D là -2 và khi: t = -2 Từ đó có: Min(T) = -2, đạt và x = - y (x và y khác 0) Ví dụ 1 1 Tìm GTLN, NN H = x y Biết x, y thoả mãn điều kiện x y x y Nhận xét và hướng dẫn giải 1 1 x y Ta có H = x y y x x y x ta có hàm số theo biến số t sau: H (t ) t y t x 1 Từ điều kiện ràng buộc x y ta suy ra: , đó t ;1 y 2 1 Bài toán trở thành: Tìm GTLN và GTNN hàm số H (t ) t trên đoạn ; 1 t 2 hàm số nghịch biến trên đoạn này 1 t 1 Vì H ' (t ) t ;1 nên H(t) là t 2 Vì đặt t Lop12.net (8) 1 Từ đó có GTLN H(t) trên đoạn ; 1 là khi: t = , còn GTNN trên đoạn này 2 2 H(t) khi: t = Đáp số: Max(H) = (x; y) = (1; 2) ; Ví dụ Tìm GTNN Q xy x y 2 Min(H) = x = y (với x, y 2) 1 với x, y dương và x khác y x2 y Nhận xét và hướng dẫn giải x2 y x y x y Đặt t , thì theo t ta có: Q(t ) t 2 x y x y xy xy y x y x t 2 y x xy x y Hơn dễ thấy (với x, y dương và x khác y) nên ta có t > y x t trên khoảng 2 ; Vì quy bài toán quen thuộc: Tìm GTNN hàm số Q(t ) t 2 t t 4t Ta có Q'' (t ) BBT Q(t) trên khoảng 2 ; sau: , Q'' (t ) (t 2) t Biến đổi: Q t Q'(t) - + Q(t) Từ bảng biến thiên suy GTNN Q(t) trên khoảng 2 ; là Q(3) = Đáp số: Min(P) = đạt và x2 + y2 – 3xy = b Tìm GTLN, NN biểu thức M đối xứng với biến x, y biết giả thiết cho x, y thỏa mãn đẳng thức nào đó đối xứng với x và y Lop12.net (9) Cách giải: x y S (ĐK S P ), xy P Đặt Biểu diễn giả thiết M theo S và P (1) Biểu diễn biểu thức M theo S và P kết hợp với (1) để biểu diễn M theo biến S P Tìm ĐK cho S P (M theo biến nào thì tìm ĐK cho biến đó) cách kết hợp (1) và điều kiện S P Tìm GTLN, NN biểu thức M với điều kiện tìm biến số tìm bước Lưu ý: Cách tìm ĐK bước áp dụng cho x, y Ví dụ giả thiết cho thêm x > 0, y > thì phải lưu ý S > và P > để tìm ĐK cho chính xác Ví dụ Cho x, y thoả mãn x + y = 1, Tìm GTLN, GTNN M = (x3 + 1)(y3 + 1) Nhận xét và hướng dẫn giải Đặt S = x + y = 1, P = xy Ta có: M = (xy)3 – 3xy (x + y) + (x + y)3 + = (xy)3 – 3xy + = P3 – 3P + Lại có = S2 4P suy ra: P Vậy bài toán quy tìm GTNN, GTLN hàm số M(P) = P3 – 3P + với P 1 Ta lập bảng biến thiên M(P) trên khoảng ; sau: 4 P M’(P) -1 + - M’(P) 81 64 Từ bảng biến thiên suy GTNN không tồn còn GTLN Q 4, đạt và x y ; ; , giải hệ ta x; y , 2 xy 1 Ví dụ Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 = 2, Tìm GTLN, NN M = (x3 + y3) – 3xy Nhận xét và hướng dẫn giải Lop12.net (10) Ta có: M = 2(x + y)(x2 + y2 – xy) – 3xy = 2(x + y)(2 – xy) – 3xy (6a), Ngoài biến đổi giả thiết bài toán ta có: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = (6b) Qua các phân tích trên thấy đặt t = x + y biểu diễn xy theo biến t, từ đó biểu diễn biểu thức M theo t ( x y)2 t Thật vậy, từ (6b) có: xy , kết hợp với (6a) ta biểu diễn biểu thức 2 ban đầu theo t là: M (t ) t t 6t Để x, y tồn ta phải có: (x + y)2 4xy nên t2 2(t2 – 2) từ đó có 2 t 13 Từ đó có GTNN, GTLN M (t ) trên [-2; 2] là: Max(M) = , Min(M) = -7 c Tìm GTLN, NN biểu thức M có tính chất sau: Tính chất 1: M phụ thuộc vào đại lượng: x + y + z, xy + yz + zx x2 + y2 + z2 Tính chất 2: Giả thiết cho trước giá trị đại lượng: x + y + z, xy + yz + zx x2 + y2 + z2 Cách giải: Giả sử biểu thức M có mặt đại lượng nêu trên, đó có thể đặt hai đại lượng biểu thức M là ẩn phụ t dùng giả thiết bài toán đã cho và kết hợp đẳng thức (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 – 2xy – 2yz – 2zx để biểu diễn đại lượng còn lại theo t Tìm ĐK cho t ta thường dùng ba BĐT sau: x2 + y2 + z2 xy + yz + zx (x + y + z)2 3(xy + yz + zx) 3(x2 + y2 + z2) (x + y + z)2 Quy bài toán đơn giản Ví dụ Cho x, y , z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = Tìm GTLN, NN R = x3 + y3 + z3 – 3xyz Nhận xét và hướng dẫn giải Ta có: R = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) = (x + y + z)(1 – xy – yz – zx) Viết lại giả thiết bài toán thành: (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx) = Đặt t = x + y + z thì từ (7b) ta có xy + yz + zx = biểu thức ban đầu theo t là: R(t) = (7a), (7b) t 1 , kết hợp với (7a) ta biểu diễn (3t – t3) Dễ dàng CM: x2 + y2 + z2 xy + yz + zx, từ đó suy t 1 suy t Tìm GTLN, NN R(t) trên đoạn 3; , được: Max(R) = ; Min(R) = -1 10 Lop12.net (11) d Trường hợp biểu thức ban đầu không có dấu hiệu đổi biến, đó quy việc tìm GTNN, GTLN cách đổi biến số biểu thức trung gian Ý tưởng: Nếu tìm GTLN, NN biểu thức M không có dấu hiệu đổi biến số đánh giá M N thì thay vì tìm GTLN, NN M ta thực bài toán: tìm GTLN, NN biểu thức trung gian N Ví dụ x Cho x, y , z > và x + y + z Tìm GTNN M = x + y + z 1 y z Nhận xét và hướng dẫn giải Rõ ràng không có dấu hiệu nào để biểu diễn các biến số biểu thức cho bài toán theo biến số mới, ta tìm GTNN biểu thức M ban đầu thông qua việc tìm GTNN biểu thức trung gian T, biểu thức này xác định qua lập luận sau: + Trước hết theo BĐT Cô si ta có x M=x+y+z + Để tìm 1 3 xyz , đẳng thức xảy x = y = z (8a) y z xyz GTNN biểu thức M ta tìm GTNN biểu thức T 3 xyz xyz Đặt u 3 xyz thì việc tìm GTNN biểu thức T quy việc tìm GTNN hàm số 3 0; (vì u xyz x y z ) 2 3 15 (u ) T Dễ thấy hàm số T(u) nghịch biến trên khoảng 0; , nên MinT (0; ] 2 2 2 T (u ) u trên khoảng u Suy GTNN biểu thức trung gian T là Tức là T 3 xyz 15 (đạt x = y = z) 15 , đẳng thức xảy x = y = z (8b) xyz + Từ các kết (8a) và (8b) suy GTNN biểu thức M ban đầu là 15 đạt và x = y = z Ví dụ Cho các số x, y , z thuộc khoảng (0 ; 1) và thỏa mãn xyz = (x – 1)(y – 1)(z – 1) Tìm GTNN biểu thức N = x2 + y2 + z2 Nhận xét và hướng dẫn giải Biến đổi giả thiết: xyz = (x – 1)(y – 1)(z – 1) xy + yz + zx = 2xyz -1 + (x + y + z), Do đó có: N = x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx) = - 2(x + y + z) + (x + y + z)2 – 4xyz 11 Lop12.net (9a) (12) x yz Áp dụng BĐT Cauchy ta xyz , từ đây và (9a) suy ra: x yz N 2( x y z ) ( x y z ) 4 , đẳng thức có x = y = z (9b) 4t f (t ) Đặt t = x + y + z (0 < t < 3) thì từ (9b) ta có: N 2t t 27 Đến đây, cách khảo sát hàm số ta GTNN hàm số f(t) trên khoảng (0 ; 3) là 3 , đạt và t Từ đó có: Min(N) = , đạt và x y z 4 Ví dụ 10 Cho các số thực dương thoả mãn: x + y = Tìm GTNN biểu thức: P x y 1 x 1 y Nhận xét và hướng dẫn giải Vì P > với x, y > nên P đạt GTNN và P2 đạt GTNN Kết hợp với giả thiết x + y = 1, ta có: P2 x2 y2 xy x2 y2 xy ( x y ) ( x y )3 xy xy 1 x 1 y y x xy (1 x)(1 y ) x y xy 1 xy t f (t ) (t xy ) xy t Chứng minh hàm số f(t) nghịch biến trên đoạn 0; , suy GTNN hàm số này 4 (chính là GTNN P2) là f ( ) , từ đó có kết bài toán Từ giả thiết và BĐT đúng ( x y ) xy t xy BÀI TẬP Bài (PP thế) 1/ Cho x + y = Tìm GTLN, NN P = x3 + y3 + 3(x2 – y2) + 3(x + y) 2/ Cho x, y và x + y = Tìm GTNN P = 32x + 3y 3/ Cho x, y > và x + y =5/4 Tìm GTNN P = x 4y 4/ Cho y 0, x x y 12 Tìm GTLN, NN của: xy + x + 2y +17 Bài (Dựa vào tính đẳng cấp) 1/ Tìm GTLN và GTNN M x xy y biết: a x xy y b x xy y 2/ Cho x2 + y2 = Tìm GTNN, GTLN P 2( x xy ) xy y Bài (Dấu hiệu đổi biến đơn giản) 1/ Cho x, y > Tìm GTNN P 2/ Cho các số dương x, y thỏa: x xy x y xy x y x y Tìm GTNN biểu thức H y y x 12 Lop12.net (13) 3/ Cho x, y dương và x y Tìm GTLN, NN của: C xy xy Bài (Đổi biến số S = x + y, P = xy với ĐK S2 >= 4P S = x2 + y2, P = xy ĐK S2 >= 4P2) 1/ Cho các số dương x và y thoả mãn x + y = Tìm GTLN và GTNN các biểu thức sau: a A 1 , x y xy b B x y , y 1 x 1 c D = x2y2(x2 + y2) 2/ Cho x, y khác thoả mãn: xy(x+y) = x2 + y2 - xy Tìm GTLN N 3/ Cho số x, y thỏa mãn: – y2 = x(x – y) Tìm GTLN, NN F = 1 3 x y x6 y x3 y y x 4/ Cho các số thực không âm x, y không âm và thỏa mãn x + y = Tìm GTNN, GTLN của: S 4x 3y 4y 3x 25xy 5/ Cho x, y > thỏa mãn x2y + y2x = x + y + 3xy Tìm GTNN: A x y (2 xy 1) xy 6/ Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 + xy = Tìm GTNN N = x3 + y3 – 3x – 3y 7/ Cho x, y không âm và x2 + y2 + xy =3 Tìm GTLN, NN P = x3 + y – x2 – y2 8/ Cho x, y > và x2 - xy + y2 x4 y = Tìm GTLN, GTNN P = 2 x y 1 9/ Cho x, y thỏa x2(2x2 – 1) + y2(2y2 – 1) = Tìm GTLN, NN của: P = x2(x2 – 4) + y2(y2 – 4) + 2(x2y2 – 4) 10/ Cho x, y thỏa mãn 2(x2 + y2) = xy + Tìm GTLN, GTNN P = 7(x4 + y4) + 4x2y2 11/ Cho x, y là hai số thực dương thỏa x y Chứng minh: x y 12/ Cho x, y dương và xy + x + y = CMR: 3x 3y xy x2 y y 1 x 1 x y Bài (PP Thế) Cho x, y, z thỏa x + y + z = và x2 + y2 + z2 = Tìm GTLN M = x5 + y5 + z5 Bài (Đổi biến) x2 y2 1/ Cho x, y > và x + 2y – xy = Tìm GTNN M = 8y 1 x 2/ Cho a, b -1 Tìm GTLN của: P = a b 3/ Cho các số thực x, y thoả mãn: x x y y Tìm GTLN, GTNN x + y 4/ Cho số x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 x 1 = Tìm GTLN, NN M = y x y 1 x y 1 5/ Cho các số x, y thỏa: x2 + xy + 4y2 = Tìm GTLN, NN biểu thức P = x3 + 8y3 – 9xy Bài 1/ Cho các số thực x, y, z thay đổi thoả mãn đẳng thức x2 + y2 + z2 =1.Tìm GTLN và GTNN biểu thức P = x + y + z + xy + yz + zx 2/ Cho x, y, z không âm và x2 + y2 + z2 = Tìm GTLN, NN: Q = xy + yz + zx + 3/ Cho x, y, z > và x + y + z = Tìm GTNN M = x y z 13 Lop12.net xy yz zx x2 y z x yz (14) Bài (Đánh giá trung gian) 1/ Cho x, y thỏa (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy 32 Tìm GTNN: N = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2) 2/ Cho x, y, z > và x + y + z = Tìm GTNN P = 2(x2 + y2 + z2) – 4xyz – 9x + 2012 x y xy 1 x y x y xy 4/ Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn x y Tìm GTNN của: 3/ Cho x, y > và x + y Tìm GTNN A A x y4 x y2 – x y2 1 5/ Cho x, y, z > và có tổng Tìm GTNN của: Q x y z y z x 6/ Cho x, y, z > và x + y + z = Tìm GTNN các biểu thức: x y 1 và B = x y z z x y z 7/ Cho a, b, c > và a2 + b2 + c2 = Tìm GTNN M = a + b + c + abc 1 36 8/ Cho ba số dương x, y, z CMR: 2 x y z x y y z x2 z 1 9/ Cho a, b, c > 0, CMR: a b c abc 18 xyz 10/ Cho x, y, z và thỏa x y z Chứng minh xy yz zx xyz 18 xyz 11/ Cho x, y, z > và x + y + z = CMR: xy yz zx xyz A = xy yz zx 12/ Cho a, b, c > và a2 + b2 + c2 a 2a a b5 2b3 b c5 2c3 c = CMR: b2 c2 a2 c2 a b2 14 Lop12.net (15)