SKKN Hướng dẫn học sinh tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số ở lớp 9

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ Ở LỚP 9 A. Đặt Vấn đề I. Lời mở đầu: Môn toán là môn học có vị trí rất quan trọng trong trường phổ thông, là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn học khác. Học toán không chỉ giúp các em phát triển tư duy, óc sáng tạo, khả năng tìm tòi, vận dụng những hiểu biết của mình vào thực tế mà môn Toán còn có khẳ năng phát triển phẩm chất đạo đức cho học sinh. Bởi vì khi học toán học sinh phải hình thành và dần hoàn thiện các đức tính như: cần cù, nhẫn nại, tự lực cánh sinh, ý trí vượt khó, yêu thích, trung thực, tự tin, khiêm tốn Vì vậy trong quá trình dạy học toán đòi hỏi người dạy phải vận dụng các phương pháp giảng dạy phù hợp với từng bài, từng phần nhằm phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh, từ đó giúp các em yêu thích môn học hơn. Chính vì thế mà việc bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho các em trong các buổi học bồi dưỡng là rất cần thiết. Trong chương trình toán THCS không có bài dạy lý thuyết về tìm giá trị lớn nhất ( GTLN)và giá trị nhỏ nhất ( GTNN), nhưng trong hệ thống bài tập lại có đề cập đến. Loại bài tập này có nhiều trong các sách bồi dưỡng, nâng cao, hay trog các đề thi học sinh giỏi, thi vào THPT.v.v … Với mục đích nhằm nâng cao chất lượng dạy và học toán, tôi thiết nghĩ cần phải trang bị cho học sinh kiến thức về tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số. II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 1. Thực trạng: Qua thực tế giảng dạy ở lớp 9 , và các lớp khác tôi thấy đa số các em còn bỡ ngỡ với dạng toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số. Một số ít em làm được các bài tập dạng này ở sách giáo khoa và sách bài tập nhưng các bài tập này ở mức độ còn đơn giản và số lượng rất ít. Khi gặp các dạng phức tạp hơn thì hầu như các em không định hướng được cách làm. Theo dõi học sinh ở lớp học bồi dưỡng khối 9, và khối 8 năm 2005- 2006- 2007 trường THCS Yên Phú, Yên Định, Thanh Hóa tôi thấy kết quả như sau: + 30 % học sinh có thể làm được bài tập dạng tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở trong sách giáo khoa và sách bài tập. + 8 % học sinh có thể làm được bài tập dạng này ở mức độ cao hơn nhưng chỉ ở dạng tam thức bậc hai. 2. Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên: Từ tình hình thực tế nêu trên và qua kết quả điều tra tôi thấy số lượng học sinh làm được dạng toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số còn rất ít và khả năng sáng tạo còn yếu. Đa số các em ngại khi gặp dạng toán này. Vì vậy tôi đã đưa ra một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số để giúp các em tự tin và có thể làm tốt dạng toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Từ đó kích thích học sinh thêm yêu thích say mê môn toán, không ngừng tìm tòi, khám phá để thấy được “cái hay”, “ cái đẹp” của môn toán. B. NộI DUNG I. các giải pháp thực hiện Từ thực trạng nêu trên, để giúp học sinh biết cách làm các bài tập về tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tôi đã tiến hành đọc sách, tham khảo tài liệu để đưa ra một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số. Để chuẩn bị cho việc “ hướng dẫn học sinh tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số” tôi đã tiến hành kiểm tra lại các kiến thức lý thuyết đã học có liên quan như: Phân tích đa thức thành nhân tử; các hằng đẳng thức đáng nhớ; giá trị tuyệt đối; lũy thừa bậc chẵn của một số; chia đa thức cho đa thức… Từ đó giúp học sinh vận dụng kiến thức hợp lý vào từng dạng bài tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất . Trước khi hướng dẫn học sinh tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số tôi phải nghiên cứu định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Từ đó giúp học sinh biết được và nắm vững: Muốn tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta phải chỉ ra: A £ m với mọi giá trị của biến (với m là hằng số) và tồn tại giá trị của biến để A = m. Khi đó m là giá trị lớn nhất của biểu thức A. Muốn tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B ta phải chỉ ra: B £ n với mọi giá trị của biến (với n là hằng số) và tồn tại giá trị của biến để B = n. Khi đó n là giá trị nhỏ nhất của biểu thức B. Thông qua các ví dụ, hướng dẫn học sinh một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số, giúp học sinh có thể nhận dạng và vận dụng phương pháp một cách phù hợp với từng dạng bài tập về tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. II. các biện pháp để tổ chức thực hiện 1. Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số: 1.1. Phương pháp dựa vàohằng đẳng thức bình phương của một tổng và bình phương của một hiệu: Nếu có thể hãy biến đổi biểu thức y = f(x) về dạng y = n xg 2 )( + a ( với n Î N * ; a là hằng số ). Khi đó ta có y ³ a. Suy ra min y = a Û g(x) = 0. Nếu có thể hãy biến đổi biểu thức y = f(x) về dạng y = - [ ] 2 ( ) n h x + b ( với n Î N * ; b là hằng số ). Khi đó ta có y £ b. Suy ra Max y = b Û h(x) = 0. Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 1 = x 2 – 3x + 1. GV hướng dẫn học sinh biến đổi: A 1 = 2 3 5 2 4 x æ ö - - ç ÷ è ø . Vì 2 3 0 2 x æ ö - ³ ç ÷ è ø với x " nên A 1 5 - 4 ³ với x " Vậy min A 1 = 5 - 4 Û 3 3 0 2 2 x x - = Û = . Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 2 = -4x 2 +5x -1. GV hướng dẫn học sinh biến đổi: A 2 = - (4x 2 -5x +1) ( ) 2 2 5 25 21 2 2.2 . 2 4 4 5 21 2 2 4 x x x é ù = - - + - ê ú ë û æ ö = - - + ç ÷ è ø Vì 2 5 2 0 2 x æ ö - - £ ç ÷ è ø với x " nên A 2 21 4 £ với x " Vậy Max A 2 = 21 4 Û 5 5 2 0 2 4 x x - = Û = . Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 3 = -5x 2 +4xy –y 2 + 2x + 1 GV hướng dẫn học sinh biến đổi: A 3 = - ( 4x 2 – 4xy + y 2 ) – ( x 2 – 2x + 1) +2 = -(2x – y) 2 - (x – 1) 2 + 2 Vì -(2x – y) 2 £ 0 với , x y " - (x – 1) 2 £ 0 với x " Nên A 3 £ 2 với , x y " Vậy Max A 3 =2 Û 2 0 1 1 0 2 x y x x y - = = ì ì Û í í - = = î î 1.2. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức: Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ta có thể sử dụng các bất đẳng thức đã biết: bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức BunhiaCôpxki, bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối. * Bất đẳng thức Côsi: ( mở rộng cho nhiều số) Nếu a 1 , a 2 , a 3 , …. a n là các số không âm ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 n 1 2 3 n (a a a + + a ).( a a + + a ) + + + + Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = a 3 = …. = a n * Bất đẳng thức BunhiaCôpxki: Nếu a 1 , a 2 , a 3 , …. a n và b 1 , b 2 , b 3 , …. b n là 2n số tùy ý ta có: (a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 +…. + a n b n ) 2 £ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 n 1 2 3 n (a a a a ).(b b b b ). + + + + + + + + Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi 3 1 2 1 2 3 n n a a a a b b b b = = = = * Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối: a b a + b . + ³ |||||||||| bababa - ³ - ³ + Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a.b ³ 0. Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C 1 = y - 2 x - 1 + x y . GV hướng dẫn: Điều kiện: x ³ 1; y ³ 2. áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số 1 và x – 1 ta có: 1 + x - 1 1(x - 1) 2 ³ x x - 1 1 Hay: x - 1 2 x 2 ³ Þ £ ( vì x > 0 ). Tương tự: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số 2 và y – 2 ta có: y 2 + y - 2 = 2(y - 2) 2 2 ³ y - 2 1 2 Hay: = y 4 2 2 £ Vậy: C 1 1 1 2 2 + 2 + hay C 2 4 4 £ £ Þ Max C 1 = x - 1 = 1 x = 2 2 2 y - 2 = y y = 4 4 ì ì + Û Û í í î î Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C 2 = x + y biết: x + 2 y = 10. GV hướng dẫn: áp dụng bất đẳng thức BunhiaCôpxki cho hai bộ số (1; 2) và ( x; y ) ta có: 2 2 2 2 2 (1 x 2 y) (1 2 ). ( x ) ( y ) é ù + £ + + ë û hay: 10 2 5(x + y) £ x + y 20. Þ ³ Vậy: min C 2 = 20 y x x = 4 1 2 y = 16 x 2 y 10 ì = ì ï Û Þ í í î ï + = î Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C 3 = 2 2 (x + 5) + (x - 3) . GV hướng dẫn: áp dụng bất đẳng thức a b a + b . + ³ Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a.b ³ 0. Biến đổi: C 3 = x + 5 x - 3 x + 5 3 - x x + 5 + 3 + x + = + ³ Hay: C 3 8 ³ . Vậy: min C 3 = 8 ( x + 5 ) ( 3 - x ) 0 Û ³ -5 x 3 Û £ £ . 1.3. Phương pháp đổi biến số: Trong quá trình tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có những bài ta cần đổi biến số để có cách làm đơn giản, thuận tiện hơn. Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D 1 = 2 2 3x 4 6 2 1 x x x - + - + . GV hướng dẫn: Nhận thấy không thể biến đổi D 1 về dạng ở phương pháp b) được nên sẽ nghĩ đến đặt ẩn phụ Đặt y = x - 1 Þ x = y + 1 Vậy D 1 = 2 2 2 2 3(y + 1) 4( 1) 6 3 2 5 y y y y y - + + + + = . 2 2 5 3 y y = + + Lại đặt: a = 1 y thì D 1 = 5a 2 + 2a + 3 = 5 2 1 14 14 5 5 5 a æ ö + + ³ ç ÷ è ø min D 1 = 14 1 5 1 5 4 5 5 a y x x Û = - Û = - Û - = - Û = - Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D 2 = ( 1)( 2)( 3) x x x x + - - . GV hướng dẫn: Biến đổi D 2 = [ ] [ ] ( 2) . ( 1)( 3) x x x x - + - = ( ) ( ) 2 2 2 2 3 x x x x - - - Đặt x 2 - 2x = t ( lưu ý học sinh điều kiện t ³ -1) D 2 = t(t -3) = t 2 -3t = 2 3 9 9 2 4 4 t æ ö - - ³ - ç ÷ è ø min 2 9 4 D = - Û t = 3 1 2 > - 2 1,2 3 2 10 2 2 2 x x x ± Û - = Û = 1.4. Phương pháp miền giá trị: Để tìm miền giá trị, ta sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai là: 0 ³ D ( hoặc . 0' ³ D ) Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 = 2 5 4 1 x x - + . GV hướng dẫn: Gọi a là một giá trị của P 1 . Biểu thức P 1 nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình 2 5 4 1 x x - + = a có nghiệm. 2 5 4 1 0 x x a Û - + - = có nghiệm 5 1 01.5 ³Û³-=D aa . Vậy min P 1 = 1 5 Û phương trình có nghiệm kép 2 5 x = . Giáo viên lưu ý học sinh có thể sử dụng phương pháp đưa về lũy thừa bậc chẵn để tìm giá trị nhỏ nhất. Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P 2 = 2 4 3 1 x x + + . GV hướng dẫn: Gọi a là một giá trị của P 2 . Biểu thức P 2 nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình 2 4 3 1 x x + + = a có nghiệm. Û ax 2 - 4x + a - 3 = 0 (1) có nghiệm. Nếu a = 0 Û x = - 3 4 Nếu a ¹ 0 phương trình (1) có nghiệm ó 0 ³ D 2 4 3 0 ( 1)( 4) 0 1 4. a a a a a Û - + ³ Û + - £ Û - £ £ Vậy: Max P 2 = 4 Û x = 1 2 Min P 2 = -1 Û x = -2 I.5 phương pháp đồ thị GV: Ta có thể dựa vào đồ thị để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của một số biểu thức ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = |x+1| + |x-2| Đặt y = |x+1| + |x-2| => y ê ê ê ë é >- ££ <+- 212 23 12 x Víi x1 - Víi -1x víi x x Vẽ đồ thị ta được : Từ đồ thị ta thấy giá trị nhỏ nhất của Y là 3 => Giá trị nhỏ nhất của A là 3 2 £ £ x 1 - Víi Phương pháp này rất trực quan và dể hiểu . đồng thới nó sẽ góp phần định hướng cho học sinh học đồ thì và hàm số ở cấp 3 sau này. 2. Một vài chú ý khi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số: 2.1. Nhiều khi để tìm cực trị của một biểu thức ta phải tìm cực trị tương đương của một biểu thức khác. Chẳng hạn: -A lớn nhất Û A nhỏ nhất. 1 B nhỏ nhất Û B lớn nhất với B > 0. C lớn nhất Û C 2 lớn nhất với C > 0. Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 4 2 2 1 ( 1) x x + + Hướng dẫn: Nhận thấy: A > 0 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 A . Ta biến đổi biểu thức 1 A . 2 4 2 2 4 4 4 1 ( 1) 2 1 2 1 1 A 1 1 1 A 1 x x x x x x x + + + = = = + ³ + + + Þ £ Vậy Max A = 1 Û x = 0. Ta lại có: 2 4 2 4 4 2 4 4 4 1 ( 1) 2 1 2( 1) ( 2 1) A 1 1 1 x x x x x x x x x + + + + - - + = = = + + + = 2 - 2 2 4 ( 1) 2 1 x x - £ + . Suy ra: A 1 2 ³ . min A = 1 2 Û 2 1 0 1 x x - = Û = ± Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = 3 5 7 3 x x - + - Đk: 5 7 3 3 x £ £ Hướng dẫn: Ta tìm giá trị Max của B 2 . Ta có: 2 B 2 2 (3 5)(7 3 ) x x = + - - áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số 3x – 5 và 7 – 3x ta có (3 5 ) (7 3 ) 2 . (3 5)(7 3 ) x x x x - + - ³ - - Hay: 2 2 (3 5)(7 3 ) x x ³ - - 2 B 4 B 2 Þ £ Þ £ ( do B > 0). Vậy Max B = 2 (3 5 ) (7 3 ) 2 x x x Û - = - Û = 2.2. Khi sử dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất đôi khi ta phải biến đổi biểu thức đã cho rồi mới áp dụng BĐT Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 16 2 x x - Đk: x 16 ³ Hướng dẫn: Nhân và chia biểu thức dưới dấu căn với 4 rồi áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: [...]... khụng sóy ra du bng ti mt v trớ nờn phi bin i ri da v hng dng thc A = x2 + 2x +1 +4x2 -12x +9 = 5x2 -10x + 10= 5(x2 -2x +1)+5 = 5(x-1)2 +5 5 du = sóy ra ti x=1 3 2 iu kin d ỏp dng bt ng thc Vớ d khi cho biu thc A = 2x + 2 hc sinhd ỏnh giỏ nhm : x A 4 vỡ : theo bt ng thc cosi ta cú 2x + 2 2 x 2 x 2 =4 x Hc sinh sai lm vỡ x cú th õm bi toỏn trờn khụng cú giỏ tr nh nht ln nht C Kt lun 1 Kt qu nghiờn... tip BT Cosi, BunhiaCụpxki ) Cú 35% hc sinh cú th vn dng linh hot cỏc phng phỏp vo nhng bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht v giỏ tr ln nht bit ỏp dng vo gii phng ttrỡnh 2 Kin ngh, xut: Qua quỏ trỡnh nghiờn cu sỏng kin kinh nghim v t kt qu thu c tụi thy: mi giỏo viờn cn nm c kh nng tip thu bi ca tng i tng hc sinh tỡm ra phng phỏp dy phự hp vi tng dng toỏn, tng i tng hc sinh Mun vy mi giỏo viờn chỳng ta phi... hp 1: x x Nhn thy: A = 4 .(5 - x) ỏp dng bt ng thc Cosi ta cú: 2 2 x x + + (5 - x) x x 5 2 2 3 (5 - x) 3 2 2 3 3 ổ5ử A Ê ỗ ữ 4 ố 3ứ Hay: A Ê 500 9 3 A 4 Trng hp 2: x>5 5 - x < 0 x 2 (5 - x) < 0 Hay : A < 0 ỡx 500 10 ù = 5- x ớ2 x= Vy: Max A = 9 3 ù0 Ê x Ê 5 ợ 2.4 Ta cú th ỏp dng vic tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht vo gii phng trỡnh: Vớ d: Gii phng trỡnh: 4 - x + x - 2 = x 2 - 6 x + 11 Hng... x-2 = 2 ỡ ù ù 4- x = x-2 ớ 2 ớ x = 3 ùx - 3 = 0 ù x - 6 x + 11 = 0 ợ ợ Phng trỡnh cú nghim duy nht x = 3 3 Mt vi sai sút ca hc sinh khi tỡm giỏ tr nh nht , ln nht ca biu thc i s: 3.1 Khụng chỳ ý n du bng sóy ra: vớ d : Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc sau : A = (x+1)2 +(2x-3)2 Hc sinh thng mc sai lm l : Vỡ (x+1)2 0 v (2x-3)2 0 Error! Not a valid link => A 0 Sai vỡ khụng chỳ ý n du bng sóy ra ca bi toỏn...x - 16 = ( x - 16).4 1 ổ ( x - 16) ử x Ê ỗ + 4ữ = 4 2ố 4 ứ 8 x - 16 x 1 Ê : 2x = 2x 8 16 Hay: A Ê 1 x-16 1 = 4 x = 32 ị Max A = 16 4 16 Giỏo viờn lu ý cho hc sinh: s 4 tỡm c l do ly cn bc hai ca 16 Vớ d 2: Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: 3 x 4 + 16 A= x3 k: x ạ 0 3 x 4 + 16 16 16 = 3x + 3 = x + x + x + 3 Hng dn: Bin i A = 3 x x x ỏp dng bt ng thc Cosi cho bn . một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số. Để chuẩn bị cho việc “ hướng dẫn học sinh tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số . giúp học sinh vận dụng kiến thức hợp lý vào từng dạng bài tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất . Trước khi hướng dẫn học sinh tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại. hàm số ở cấp 3 sau này. 2. Một vài chú ý khi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số: 2.1. Nhiều khi để tìm cực trị của một biểu thức ta phải tìm cực trị tương đương của