Hai phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

HAI PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT I... Áp dụng BĐT Cosi – Bunhacopxki..[r]

HAI PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT I Phương pháp dùng đẳng thức VD1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ (nếu có) các biểu thức : A= 2x -3 x + C = 2x + x + B = -x + x  D= - x- x 1 Giải x ) 2  9 1 = 2 x  x     16 16   A= 2x + x + 1= 2(x-  3 = 2 x   4   3 Ta thấy  x    nên A  4  Dấu xảy  x  Vậy Min A    x 16 *) B = - x - x  ( Đk : x  )   = -  x  2   ( Do -  x  2  ) Vậy B  với x    x4 x  5 2 Dấu xảy  x   x  Vậy Max B   x  *) C = 2x + x + 1( Đk : x  ) Page of Lop8.net 2x  Ta có:  3 x  với x  Suy C = 2x + x +  với x  Vậy Min C =  x  *) D = - x - x  ( Đk : x  )   x0 Ta có :  với x  4 x  Suy D = - x - x   với x  Dấu xảy x = Vậy Max B = và x = Nhận xét: P  ax  b x  c(a  0) 1) a > suy có giá trị nhỏ P a < có giá trị lớn P 2) Nếu a, b trái dấu dung đẳng thức Nếu a, b cùng dấu lập luận trực đk x  II Áp dụng BĐT Cosi – Bunhacopxki a  a  b 1) BĐT Côsi :    ab  a  b  ab Dấu xảy  a = b b   2) BĐT Bunhacopxki : ax  by  x2  y2 a2  b2  Dấu xảy  x y  a b VD2: Cho M(x; y) thuộc đường thẳng: 2x + 3y = 26 (d) Tìm điểm M cho khoảng cánh từ M tới gốc tọa độ là nhỏ Giải Cách 1: M (x; y) ; O (0; 0) x  0  y  0 Suy OM   x2  y2  26  2x  Hay OM  x  y  x      2 2 Page of Lop8.net Để OM đạt giá trị nhỏ thì OM2 đạt giá trị nhỏ ( Dùng đẳng thức để biến đổi) Cách 2: OM2  x2  y2 Mặt khác : 262  2x  3y  22  32 x2  y2   13x2  y2  262 x y   52 13 2 Vậy OM đạt giá trị nhỏ Cách 3: (d) y x y x     2  2x  3y  26  y  H O x Kẻ OH vuông góc với (d), H thuộc (d) Khi đó OM  OH với M thuộc (d) Vậy OM nhỏ và M trùng với H Mà (d) : y  2 26 3 x  ; OH  d  aOH ad  1  aOH= ; (OH): y  x 3 2  x  y  x Vậy tọa độ H là nghiệm hệ phương trình:   2x  3y  26  y  Vậy với M (4; 6) thì Om đạt giá trị nhỏ Page of Lop8.net