Chủ đề: Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

Lưu ý chung * Khi giải pt mũ bằng phương pháp đặt ẩn số phụ cần chú ý đặt điều kiện cho ẩn số phụ *Khi giải bpt mũ và bpt lôgarit cần chú ý đến cơ số và nắm chắc tính đơn điệu của hs mũ,[r]

Chủ đề Các kiến thức cần nhớ 1) Công thức lũy thừa • Cho a>0, b>0 và m, n   Khi đó m n a a  a m  n ; (a m ) n  a m.n ; (ab) n  a n b n m am  a mn ; an am a    bm b  an ; n a I)Giải phương trình mũ 1) Phương pháp đưa cùng số: a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) (a>0 và a≠ 1) n a b     b a a  n ; a n HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT Các dạng toán cần ôn tập Bài tập minh hoạ m m n n  3x  625 3 x  625  x b) log a a   a loga b  b log a b   log a b log a b   1   7 x  x 3 1   7 x 1 c) x 1.5 x  200 3 x x   54  x  x   x  x      x  4 x 1 7x   x 3  7  x 1  Vậy phương trình có nghiệm x = - và x = c) x 1.5 x  200  2.2 x.5 x  200  10 x  100  x  Vậy phương trình có nghiệm x = d) 2x + + 2x + = 5x +1 + 3.5x x 2  2  2  5  3.5  20.2  8.5      x  5 x  x 3  x  1 x2  2x    x 1  x2  x     x  2) Công thức lôgarit  Với các điều kiện thích hợp ta có: log a b    a  b log a a  Vậy phương trình có nghiệm x = và x = -4 * log a  b) x d) 2x + + 2x + = 5x +1 + 3.5x a) 5x a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) log a b n log a b m log a (m.n)  log a m  log a n m log a  log a m  log a n n log c b log a b  ;  loga b log c a logb a log am b n   a) 5x Bài giải • a  a với a>0, m  R,n  N • a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) (a  0, a  1) • Nếu a>1 thì a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) • Nếu < a < thì n Bài 1: Giải các phương trình sau 2) Phương pháp đặt ẩn phụ +Đặt t  a x , t  +Thay vào phương trình để biến đổi phương trình theo t +Giải phương trình tìm t, đối chiếu t với điều kiện +Nếu có nghiệm thỏa mãn thì thay t  a x để tìm x và kết luận log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x) -1Lop12.net x x x x x Vậy phương trình có nghiệm x = Bài 2: Giải các phương trình sau a ) x  10.3x   c ) x  23  x   b) 25 x  3.5 x  10  d ) 6.9 x  13.6 x  6.4 x  e) (2  3) x  (2  3) x  Bài giải a )  10.3     10.3x   Đặt t  3x , t  x x 2x (với a>0 và a ≠ 1)  Nếu a>1 thì Phương trình trở thành: t  (nhan) t  10t     t  (nhan) x t 1 1 x  log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x)  Nếu 0<a<1 thì log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x) t   xx   x  3) Đạo hàm hàm số mũ, hàm số lôgarit Vơí các điều kiện thích hợp ta có a   a x '   u x ' ln a; Vậy phương trình có hai nghiệm x = và x = b) 25 x  3.5 x  10   52 x  3.5 x  10  Đặt t  5x , t  (ex )'  ex   u Phương trình trở thành: t  2(nhan) t  3t  10    t  5(loai ) t   x   x  log ' a  x  u' ( x).au( x ) ln a ; e  x  u' ( x).ln a 1 ; (lnx)' = x ln a x ' u ( x) u' ( x) (logau(x))' = ; (lnu(x))' = u( x) ln a u( x) (logax)' = (Với u = u(x) ) 4) Phương trình mũ a) Phương trình mũ ax  m <=> x = logam (0<a  1; m > 0) b)Phương pháp giải phương trình mũ * Phương pháp đưa cùng số: a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) (0<a  1) * Phương pháp đặt ẩn phụ + Đặt t  a x , t  + Thay vào phương trình để biến đổi phương trình theo t + Giải phương trình tìm t, đối chiếu điều kiện + Nếu có nghiệm thỏa mãn thì thay t  a x để tìm x và kết luận * Phương pháp lôgarit hóa: lấy lôgarit vế đưa phương trình dạng đơn giản Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  log c ) x  23  x    x     22 x  2.2 x   2x Đặt t  x , t  Phương trình trở thành: t  (nhan) t  2.t     t  2 (loai ) x t 42 4 x2 Vậy phương trình có nghiệm x = Lưu ý:Chọn số chia thích hợp x x pt d) thì sau chia ta 9 6 x x x d ) 6.9  13.6  6.4      13     pt đơn giản 4 4 2x x 3 3     13     2 2 x 3 Đặt t    , t  2 Phương trình trở thành -2Lop12.net 5) Phương trình lôgarit a )Phương trình lôgarit  t  6t  13t     t   logax = m <=> x = am (0 < a  1, x > 0) b)Phương pháp giải phương trình lôgarit x 3 3 t       x 1 2 2 * Phương pháp đưa cùng số x  f  x   0, g  x   log a f ( x)  log a g ( x)    f ( x)  g ( x) t 2 3      x  1 3 2 Vậy phương trình có nghiệm x = -1 và x = * Phương pháp đặt ẩn phụ + Đặt ĐK cho ẩn x (nếu cần) +Đặt t  log a x +Thay t vào phương trình và biến đổi phương trình theo t +Giải phương trình tìm t +Thay t  log a x tìm nghiệm x pt đã cho +Đối chiếu x với ĐK và kết luận c) Phương pháp mũ hóa: mũ hóa hai vế phương trình với số hợp lí để đưa phương trình dạng đơn giải 5) Bất phương trình mũ, bất phương trình lôgarit Cách giải tương tự cách giải phương trình mũ và lôgarit (nhan) 2 (nhan) e) (2  3) x  (2  3) x  (2  3)(2  3)  nên   2 Đặt (2  3) x  t , t > ta có pt t   (nhan) t    t  4t     t t   (nhan)   x   x t  2  2 t  2  2 4) Phương trình lôgarit a) Phương pháp đưa cùng số Cách 1: log a f  x   log a g  x  +) Đặt ĐK cho pt +)Giải pt f(x) = g(x) để tìm x +)Đối chiếu x với ĐK và kết luận -3Lop12.net  2  x 1    (2  3) 1  x  1 Vậy phương trình có nghiệm x = -1 và x = Bài 3: Giải các phương trình sau c) log  x  12  log x  1 d ) ln( x  x  7)  ln( x  3) e) log 22 x  log x   f ) log 22 x  log a ) log x  log x  log8 x  11 g ) 3log 32 x  10 log x  b) log x  log 25 x  log 0,2 x2 h) log  3x  1 log  3x 1  3  Cách Bài giải log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)   (I )  f ( x)  g ( x) Hoặc log a f ( x)  log a g ( x)  g ( x)   ( II )  f ( x)  g ( x) Ta cần giải hai hệ (I) (II) b) Phương pháp đặt ẩn phụ + Đặt ĐK cho ẩn x (nếu cần) +Đặt t  log a x +Thay t vào phương trình và biến đổi phương trình theo t +Giải phương trình tìm t +Thay t  log a x tìm nghiệm x pt đã cho +Đối chiếu x với ĐK và kết luận a ) log x  log x  log8 x  11 (1) Điều kiện: x > (1)  log x  log 22 x  log 23 x  11 1  log x  log x  log x  11 11  log x  11  log x   x  26  64 (nhan) Vậy phương trình có nghiệm x = 64 (2) b) log x  log 25 x  log 0,2 Điều kiện: x > (2)  log x  log 52 x  log 51  3 1  log x  log x  log 3  log x  log 2  log x  log 3  log x  log   3  log x  log 3  x  3 (nhan) Vậy phương trình có nghiệm x  3 Lưu ý : Nếu ẩn x nằm số thì phải có đk < x ≠ c) log  x  12  log x  (3) Điều kiện: x > và x  (3) <=> 1 log2  x  12  <=> log2  x  12  2log2 x log2 x log2  x  12  log2 x2 <=> x +1 = x2 <=> x2 - x - 12 = <=> -4Lop12.net x    x  3 (loai ) Lưu ý:Ta chọn hai biểu thức f(x) g(x) biểu thức nào đơn giản , dễ giải bpt để ghép với pt f(x) = g(x) và giải hệ hỗn hợp se bớt việc giải thêm bất phương trình Vậy phương trình có nghiệm x = d ) ln( x  x  7)  ln( x  3) x  x   x       x    x  x   x   x  x  10   x   x5 Vậy phương trình có nghiệm x = e) log 22 x  log x   (5) Điều kiện: x > Đặt t  log x t  (3)  t  t     t  t   log x   x  23  (nhan) t   log x   x  22  (nhan) Vậy phương trình có nghiệm x = và x = f ) log 22 x  log x  (6) Điều kiện x > (6)  log 22 x  log x   log 22 x  log x   (6’) 22 Đặt t  log x t  1 (6 ')  4t  2t     t   2 t  1  log x  1  x  21  1 (nhan) 1 t   log x   x   (nhan) 2 -5Lop12.net Vậy phương trình có nghiệm x  và x  2 g ) 3log 32 x  10 log x  (7) Điều kiện x > Đặt t  log x t  (7)  3t  10t   3t  10t     t   3 t   log x   x   27 (nhan) t 1  log x   x  33  3 (nhan) 3 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 27 và x  3 h) log  3x  1 log  3x 1  3  (8) Điều kiện 3x - > <=> x > (8) <=> log  3x  1 log [3  3x  1 ]  <=> log  3x  1 [1  log  3x  1 ]  Đặt t  log (3x  1) ta có pt : t ( + t ) = <=> t2 + t - = t  t  3 <=>  Với t = ta có log (3x  1)   3x    x  log 10 (nhận) Với t = -3 ta có log (3x  1)  3  3x   33  3x   x  log 28 1  27 27 28 (nhận) 27 Vậy phương trình có nghiệm x = log310 và  x  log -6Lop12.net 28 27 5) Bất phương trình mũ, bất phương trình lôgarit Cách giải tương tự cách giải phương trình mũ và lôgarit *Với các điều kiện thích hợp lưu ý cho học sinh nhớ a) Bất phương trình mũ • Nếu a>1 thì a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) • Nếu < a < thì a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) b) Bất phương trình lôgarit  Nếu a>1 thì log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x) Bài 4: Giải các bất phương trình sau: a) x2 3 x 7 3 b)   5  49  x2  x  c) x  3.2 x   25 x g)  3 x     e) 5.4 x  2.25 x  7.10 x Bài giải a) x2 3 x 7 x2 3 x 7  49     x 1   x  3x    x  3x   Vậy tập nghiệm bất phương trình là S = [  ; 1] 3 b)   5  x2  x  3    25 5  x2  x  2 3      x2  x   5 x    x2  x    x  Vậy tập nghiệm bất phương trình là S =  ;0    7;    Nếu 0<a<1 thì log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x) c) x  3.2 x    22 x  3.2 x   (1) Đặt t  x , t  Bất phương trình trở thành: t  3t     t  Kết hợp điều kiện ta 1 t   1 x   x 1 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (0; 1) x x Lưu ý:Chọn số chia thích hợp    10  x x x e) 5.4  2.25  7.10 <=>       pt d) thì sau chia ta  25   25  pt đơn giản x 2x x  2 2 2        Đặt t =   , t > ta có bpt 5 5  5 5t2 - 7t +  <=>  t  Kết hợp điều kiện ta  t  -7Lop12.net x  2    11 x    x 1 5 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [0; 1] g) 3x  3 x     3x  ta có bpt: t - 8  3x Đặt t  3x , t  t  9 + > <=> t2 +8t - >  t t  Kết hợp điều kiện ta t > <=> 3x > <=> x > Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (0;  ) Bài 5: Giải các bất phương trình sau: a ) log (4 x  3)  b) log 0,5 ( x  x  6)  1 c) log (2 x  4)  log ( x  x  6) d ) lg(7 x  1)  lg(10 x  11x  1) 3 e) 2log3(4x-3) + log  x  3  f) log2(x+2) + log  x    log  2 Bài giải a ) log (4 x  3)  log (4 x  3)   x   32  x  12  x  Điều kiện x    x  3  Kết hợp điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm S   ;3  4  b) log 0,5 ( x  x  6)  1 x  x  Điều kiện x  x     log 0,5 ( x  x  6)  1  x  x    0,5   x  x   1 1 x  Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S  1;    3; 4 -8Lop12.net c) log (2 x  4)  log ( x  x  6) (3) 3 Cách 1(Đặt điều kiện)  x  2 2 x    Điều kiện:     x  2  x  x  x    x   log (2 x  4)  log ( x  x  6)  x   x  x  3  x  x  10   2  x  Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm S   3;5 Cách : Ta có thể viết (3) <=> 2x +  x2 - x - >   Lưu ý : Nếu sử dụng cách thì <=> 2x   x  x  <=>  x  3x  10  2 việc giải bpt (3) , (4) ngắn gọn  x  x    x  x   2  x   <=>   x  2  3 x 5  x   Vậy bất phương trình có tập nghiệm S   3;5 d ) lg(7 x  1)  lg(10 x  11x  1) Cách 2: lg(7 x  1)  lg(10 x  11x  1) <=> < 7x +  10x2 -11x +1 7x   10x2  11x  <=>   x    <=>   x  x  10x  18x    x      x     x     x      9  Vậy tập nghiệm bất phương trình là S    ;0    ;     5  -9Lop12.net Cách 1(đặt điều kiện)  x    7 x    1  Điều kiện:     x   ;   1;    10  10 x  11x     x  10   x  lg(7 x  1)  lg(10 x  11x  1)  x   10 x  11x  x   10 x  18 x    x   Kết hợp điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm   9  S    ;0    ;     5  e) 2log3(4x-3) + log  x  3  (5) 3  x  4 x      Điều kiện  x    x    (5) <=> log  x  3 2x   x 2 <=>  x  3   x  3  16 x  42 x  18     x  Kết hợp điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm S = ( ; 3] f) log2(x+2) + log  x    log  (6) Lưu ý: Trong bpt (6) ta phải viết log  x    log x   x  2 x  Điều kiện  (6 <=> log2(x+2) + log x   <=>  x   x   - 10 Lop12.net   x    x   x     <=>   2  x    x    x       x      x  3    x    2  x      17  x   17   3 <=>  x     x  x  18   2  x     x  x   x  <=>   17  17  x  3 Kết hợp điều kiện bất phương trình có nghiệm x     17  x   17  3 Lưu ý chung * Khi giải pt mũ phương pháp đặt ẩn số phụ cần chú ý đặt điều kiện cho ẩn số phụ *Khi giải bpt mũ và bpt lôgarit cần chú ý đến số và nắm tính đơn điệu hs mũ,hs logarit *Một số bài tập giải pt, bpt mũ và logarit phương pháp loogarit hóa sử dụng tính đơn điệu h/s mũ,h/s logarit cho phần bài tập tự luyện (có hướng dẫn đáp số) - 11 Lop12.net CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính a) A  ( ) 0,75  0, 25 16    b) B  2560,75     27      4   32  609 64 Bài 2: Rút gọn các biểu thức ĐS : a) 40 b) y  a) A   x   2  ĐS : a) xy 1  1  a3 ( a  a3 )  y  1 B  (a  0) b) (2 x )           a4 ( a4  a ) ĐS: a) x < x > ; b)  x 1 ; 2 e)   x   HD đặt t = 3x  x , t > g) < x < x > HD: lô ga rít hóa số 10 hai vế bpt ta 2 (2x - 7x).log(x - 3) > Lập bảng xét dấu vế trái Bài 11: Giải phương trình sau x 1 a)   b)  x   c)    x  3 ĐS: a) x=2 HD : Dự đoán x = là nghiệm Ta CM x =2 là nghiệm x b) a x x x x Chia hai vế (a) cho 5x ta Bài 3: Tính giá trị các biểu thức a) A  31 log9 c)  x  ; d) log  x  x b) B  log 6.log8 9.log c) C  log 48  log 27 d) D  49log7 ĐS : a) ; b) ; c) 144 ; d) 15 Bài 4: Rút gọn các biểu thức  log 49 x 3  4 có pt       (1) 5 5 x 3 3  4  4 +) Với x > ta có      ;      cộng vế với vế hai bpt bên ta 5 5 5 5 x x 2 3  4 3  4 có      <       với x > Không là nghiệm pt 5 5 5 5 (1) +) Với x < làm tương tự ta CM x < Không là nghiệm pt (1) - 12 Lop12.net a) A = 1  log a (ab) log b (ab) Từ đó suy x =2 là nghiệm b) x = ; c) x < (Câu b và c có thể giải đồ thị) Bài 12 : Giải các PT sau a) log ( x  2)  3.log 27 x b) log x  log x  log x  b) B =  ln a  log a e   ln a  log 2a e ĐS : a) ; b) 2(ln2a + ) Bài 5: a, Chứng minh ( )  ( )3 3 ; c) So sánh các số log và log ;    HD: a) So sánh và  c) y' =  d) y  tanx ; ln Bài 7: Cho hàm số y  ln   k) log x  log  x  1  ĐS : a) x = 2; b) x = ; c) x = ; d) x = , x = 31 ; e) x = 1,x =  32 g) x = log23 HD: ĐK 4.2x - > ta có pt log2(4x +15.2x +27) = log  4.2 x  3 ; ln  x  1 h) x =1 ; i) x = k) x = là nghiệm HD Làm tương tự câu a) bài 11 Bài 13: Giải BPT sau x b) y' = ex (x + 1) d) y' = chứng minh 1 x =0 4.2 x  i) log log 1  log 1  3log x    d) 4>1=>log34>log31 = <1 =>log4 < log41 =0 3 => log < log Bài 6: Tính đạo hàm các hàm số a) y = 5x2 + lnx - 7.3x ; b) y = x.ex - 7.3x.ln3 ; x g) log2(4x +15.2x +27) + log h) log  x     x => log > log d) log x  6.log x   e) log 22 ( x  1)  4.log ( x  1)   4<7 =>log74 < log77 =1 ĐS: a) y' = 10x + c) log  x  12  log x  1 d) log và log HD: c) 5>3 => log35>log33 = c) y  log  cosx   1 b)    2 a, log ( x  x  2)  log ( x  14) x   x  1 ln  x  1 x x b) log  x  x    log   x    1   d) log log  x  1      log x  e) log 32 x  5.log x   g)  log x c) log ( xy'+ = ey ln 1 ; xy'+ = = e x 1  e y x 1 x 1 Bài 8: Giải các PT sau HD: y' = - x3 ) 1 x 1 h) ln  3e x    x - 13 Lop12.net x 3 3   5 3 x  4x 5 b,   3 c) x  x 1  343 d) x.3x 1.5 x   12 e) 25x - 7.5x + = f) 32x+1 - 5.3x + = h) 27 x  12 x  2.8 x  i) x 1  53 x  26    4  x 15  x Bài 14: Giải hệ phương trình sau 2 x  x  y  3x  y  (1)  x  y  20 a)  b)  x 1 x  y c)  2  log x  log y   log  x  y  (2) log x y  5log x  3log y  8 d)  e)  log y  x    10 log x  log y  9 l) 24 x   17.22 x    k) 3.16 x  2.81x  5.36 x m)  15 a) -14 < x  -2 x > 4; b) x < 1; c) -4  x < -1; 3 x 2; d)   x   e)  x  x > 27 2 2 g)0 < x < x  ; h) ln  x  x > ln2 (HD: x  ln e x ) ĐS: x 7 a, x 2 n) x 1 -36.3x 3 3 ĐS: a) x=0 ,x=5 ; b) x=2 ; c) ptvn ; f) x=0,x=log32 -1 ; d) x=2 ; e) x=0, x=log56 ; h) x=0 ; i) x=1, x=3 ; k) x=0,x= ; l) x=2, x=0 ĐS:  x   log a)   y   log  x  log b)   y  log  log x  c)  và  y  18 m) x=0 ; n) x =  1, x=  Bài 9: Giải phương trình và bất pt sau a) 32 x5  b) x 3  x 5 x  c) 62 x 3  x  7.33 x 1 ĐS: a) x = (log35 - 5) ; HD: lấy lôgarit số hai vế pt b) x = 2+log52 ; x = HD: lấy lôgarit số hai vế pt biến đổi pt bậc hai có    log  (log 2)  1  log  62x+3 22x+3.32x+3 c) x>4 HD: Viết = Bài 10 : Giải các bất phương trình sau  x2 3 x a) 9 3 b)   5 x 3 x 1 d) 9x - 5.3x + < ; e) x  x    3 2 c)   5  x  x2 2 x 2   5  ; g)  x  3 x x2 7 x   29 x   d)   y   29  1 - 14 Lop12.net HD: Rút x pt (2) vào pt (1) x  và  y   x  18  y  19   55 x   e)  23  y  11  u  x HD: Đặt  x y v  u  log x HD: Đặt  v  log y