Phương trình cho tương đương : 25.[r]
(1)>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Phương pháp
= (0 < a 1) {
Dạng 1: Ta có dạng tổng qt tốn là: F(af(x)) = 0 Với dạng ta đặt t = af(x) , t > chuyển phương trình F(t) = 0, giải tìm nghiệm dương t phương trình, từ ta tìm x Ta thường gặp dạng: m.a2f(x) + n.af(x) + p = 0.
Với bất phương trình ta làm tương tự
Dạng 2: m.af(x) + n.bf(x) + p = 0, a.b = Đặt t = af(x)
, t > => bf(x) =
Dạng 3: m.a2f(x) + n.(a.b)f(x) + p.b2f(x) =
Chia hai vế phương trình cho b2f(x) đặt t = , t > 0 Ta có phương trình: mt2 + nt + p =
Ví dụ 1:Giải phương trình:
1 2.16x – 15.4x – = 0 23x – 6.2x - + = 1
Lời giải
1 Đặt t = 4x , t > ta có phương trình: 2t2 – 15t – = t = 8, t = (loại)
Với t = 2x = 23 x = Vậy, phương trình cho có nghiệm x =
2 Đặt t = 2x , t > ta có: t3 – 6t - = ( ) ( )
(2)>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
=> ( ) ( ) ( ) ( ] Nên ta có phương trình: y3 – = y = t -
= t2 – t – = t = x =
Vậy, phương trình cho có nghiệm x =
Ví dụ 2: Giải phương trình:
1 3.8x + 4.12x – 18x – 2.27x =
Lời giải
1 Phương trình cho 3. ( )
Đặt t = ( ) , t > ta được: 3t3
+ 4t2 – t – = (t + 1)(3t2 + t – 2) = t = x =
Vậy, phương trình cho có nghiệm x =
2 Phương trình
9 - +25 = 0
Đặt t = , t > Ta có phương trình: 9t2 - 34t + 25 =
t = 1; t =
* Với t = = 2x – x2 = x = 0; x = * Với t = = x2 – 2x – = x = √ Vậy phương trình cho có nghiệm: x = 0; x = 2; x = √
Ví dụ 3: Giải phương trình:
(3)>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
2
3 √ ( √ √ ) √ √ √ 4 (9 + √ √ √ (√ √ )
Lời giải
1 Chia hai vế phương trình cho 22x+2 ≠ ta được:
Đặt t = , t > Khi phương trình cho viết lại: 2t2 – 9t + = t = t =
+) TH1: t = x2 – x = x = -1 x =
+) TH2: t = 2-1 x2 – x = -1 vơ nghiệm Vậy, phương trình có nghiệm x = -1 , x =
Chú ý: Để ý tốn cho khơng có tham số nên ta sử dụng điều kiện cho ẩn phụ t >
0 t = vô nghiệm Nếu tốn có chứa tham số điều kiện t: x2 – x = ≥ ≥ t ≥
√ 2 Phương trình cho viết lại:
(*) Đặt : u = 2x – 1 + , v = 21 – x + (u, v > 1)
Phương trình (*) trở thành:
{
{
u = v = u = 9; v = Với u = v = 2, ta {
(4)
>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
Với u = 9; v = , ta {
x =
Vậy, phương trình cho có nghiệm x = 1, x =
3 Đều kiện để phương trình có nghĩa: { {
√ x √ (*) √ ( √ √ ) √ √ √
√ ( √ √ ) √ √ √ (√ )( √ √
phương trình:
(1) √ √ x =
(2) √ √ √ √ √ √ x = ±
Kết hợp với (*) ta có nghiệm phương trình là:x = 9, x =
Lời bình:
Nếu khơng có điều kiện x √ phương trình cho xuất nghiệm ngoại lai x = -2
4 Nhận xét (9 + √ √ (√ √ ] √ √
√ √ √ √ √
√ √ √ √ (√ √ )(√ √ ) Đặt t = √ √ , t > => √ √
Phương trình cho trở thành: t3 + 2t2 – t4 + 2t3 – t – =
(t – 1)(t + 2)(t2
(5)>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
Vậy, phương trình cho có nghiệm x =
CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải phương trình:
1
3 3.
- = 32x – (2x + 9).3x + 9.2x =
Bài 2: Giải phương trình:
1 e2x – 3ex + 12e-x – = (2x – 2)2 = (2x + 2)(1 - √
3 √ √ 34x + 8 – 4.32x + 5 + 27 =
5 53x + 9.5x + 27.(5-3x + 5-x) = 64
Bài 3: Giải phương trình:
1 6x + 2x+2 = 4.3x + 22x √ √
3 2.16x – 15.4x – = 4cos2x + – =
5 ( √ ( √ ) Bài 4: Giải phương trình:
1 32x – (2x + 9).3x + 9.2x = 32x+4 + 45.6x – 9.22x+2 =
3 5
6 √ √ √ √
7 53x + 9.5x + 27(5-3x + 5-x) – 64 =
(6)>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
9 23x – 6.2x
10 √ 11 5.32x – 1 – 7.3x-1 + √ =
HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1:
1 Phương trình cho tương đương:
(*)
Đặt t = , t > Khi đó, phương trình (*) trở thành : 10t2 – 99t – 10 = t = 10 thỏa mãn điều kiện t >0
Với t = 10 tức = 10 x2 = x = ± Vậy, phương trình cho có nghiệm x = ±
2 Phương trình cho tương đương : 25
(*) Đặt t = , t >
Phương trình (*) trở thành: 25t2 – 34t + = t = t =
Với t = tức 2x – x2 = x = x = Với t =
tức
2x – x2 = -2 x = ± √
Vậy, phương trình cho có nghiệm: x ∈ {1 - √ ;0; 2; + √ } Phương trình 3
Đặt t = , t ta có phương trình: t2 + 7t – = t = (nhận)
(7)>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
x = x = ± √
4 Đặt t = 3x , t > 0, phương trình cho trở thành:
t2 – (2x + 9).t + 9.2x = (t – 9)(t – 2x) = 0, suy x = 0, x =
Bài 2:
1 Đặt t = √ ≥ 0, biến đổi phương trình dạng: 2(t – 1)3 =
2 Đặt t = ex , t >
Phương trình cho viết lại: t2
– 3t + – = t3 – 3t2 – 4t + 12 = (t +2)(t – 2)(t – 3) =
(1) t = -2 <
(2) t = => ex = x = ln (3) t = => ex = x = ln
3 Đặt √ (t > 0) => t = √ = x =
t = => √ x =
4 34x + 8 – 4.34x + 8 – 32x +5 + 27 = (32x + 4)2 – 12.32x + 4 + 27 = 0 Đặt t = 32x + , t > Phương trình cho viết lại: t2 – 12t + 27 =
t = 32x + = 2x + = x =
t = 32x + = 2x + = x = -1 Phương trình cho có hai nghiệm: x = , x = -1
5 [ ( ) , Đặt t = ≥ √
6 9
(8)>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
Đặt t = ( ) , t > Ta có phương trình: 9t2
– 34t + 25 = t = 1; t =
* t = ( )
2x – x2
= x = 0; x = * t = ( )
( ) x2 – 2x – = x = ± √ Vậy phương trình cho có nghiệm: x = 0, x = 2; x = ± √
Bài 3:
1 Đặt u = 3x > , v = 2x >
Phương trình cho trở thành: uv + 4v – 4u – v2
= (u – v)(v – 4) =
2 Phương trình cho viết lại: √ √
Đặt u = √ , 5x –
3 16x = (42)x = (4x)2 Nên ta đặt : t = 4x , t > => 16x = (4x)2 = t2 Phương trình trở thành: 2t2
– 15t – = t = 22x = 23 x =
4
Đặt t = , t > ta có phương trình: t2 + 4t – 12 = t =
= 2cos2x = cos2x = x =
5 Nhận xét: + 4√ √ , (2 + √ √ =
Đặt t = (2+√ x , t > (2 - √ x = (7 +4√ x = t2
Khi phương trình cho viết lại :
t2 t3 + 2t – = (t – 1)(t2 + t + 3) = (*)
(9)>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
Vậy phương trình có nghiệm: x =
6
Đặt t = điều kiện t ≥ x2 ≥ ≥ = Khi phương trình viết lại: t2 + (x2 – 3)t – 2x2 + =
∆ = (x2 – 3)2 – 4(-2x2 + 2) = (x2 + 1)2 => t = t = – x2
+) Với t = = x2 = log32 x = √ g +) Với t = – x2 – x2 ta có nhận xét:
{ => {
{ x = Vậy phương trình có nghiệm x = √ g , x =
Bài 4:
1 t2 – (2x + 9)t + 9.2x =
Ta có: ∆ = (2x + 9)2 – 4.9.2x = (2x + 9)2 => t = t = 2x
2 81.32x + 45.6x – 32.22x = 0
81
81
3 5
Đặt t =
4 2. ( ) ( )
Đặt t = ( ) , t > Phương trình viết lại: 2t2
– 9t + =0
(10)>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10
Đặt t = Phương trình viết lại: t2 + 4t – =
6 √ √ √ ( √ )
√ √ (
√
√ )
Đặt t = √
√ , t > Phương trình viết lại: 8t – t
2 + =
7 53x + 9.5x +
8 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) (
) Đặt t = 2x t2 =
9 t = => 23x ( ) ( )
10 √
Đặt t = , t >
Phương trình viết lại: 8t = t2 + √ 11 √
Đặt t = 3x
, t >