Khái niệm nghiệm suy rộng của phương trình loại parabolic và mối liên hệ với nghiệm cổ điển

mọi đạo hàm cổ điển của u theo mọi biến x i đến cấp 2, theo biến t đến cấp 1, liên tục trên cả QT và QT , lập luận tương tự như trên suy ra các đạo hàm đó cũng thuộc L 2 QT.. Mà các đạo [r]

KHÁI NIỆM NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH LOẠI PARABOLIC VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI NGHIỆM CỔ ĐIỂN (Nhóm 3) Vài kí hiệu - Ta kí hiệu L là toán tử xác định sau Lu  n n u  u u   (a ij )   bi  cu, t i, j1 x i x j i 1 x1 đó u  u(x, t)  u(x1, , x n , t), x  (x1, , x n )   n , t  ,a ij  a ij (x, t), a ij  a ji , bi  bi (x, t),c  c(x, t) - Với  T   và  là miền bị chặn  n ta kí hiệu R T   n  (0;T), QT    (0;T), ST    (0;T),  t    t  (0  t  T), o 1,1 W2,0 (QT )  (x, t)  W21,1(QT ) : (x,T)  0,   gần ST   Bài toán Cauchy Xét phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính dạng Lu  f (x, t) với (x, t)  R T (1) với điều kiện ban đầu u(x,0)  (x), x   n (2), các hàm f , cho trước Nghiệm cổ điển bài toán Cauchy (1), (2) là hàm u mà u  u(x, t)  C2,1(R T )  C( n   0;T ) và thỏa mãn đồng thời (1), (2) Nghiệm suy rộng bài toán (1), (2) không gian W21,0 (R T ) là hàm u  u(x, t)  W21,0 (R T ) và thỏa mãn đồng thức tích phân n    u  n u  dxdt    (x)(x,0)dx   u  a  b   cu    t  ij x j xi  i x1  i, j1 i 1 RT   n   (3), (x, t)  W21,1(R T ), (x,T)  fdxdt RT Ví dụ u  u Xét phương trình   0, (x, t)  R1    (0;1) (4) với điều kiện t x ban đầu u(x,0)  e x , x   (5) Lop12.net Ta thấy hàm u(x, t)  e x  t (x  ,0  t  1) là (một) nghiệm cổ điển bài toán (4), (5) Nghiệm suy rộng bài toán (4), (5) không gian W21,0 (R1) là hàm u  u(x, t)  W21,0 (R1) và thỏa mãn đồng thức tích phân   u     u t  x x dxdt   e  R1 x (x,0)dx  (6),(x, t)  W21,1(R1), (x,1)  Nhận xét Đối với bài toán (1), (2) có thêm điều kiện  (x)  L ( n ) , a ij a ij , , bi ,c,f (x, t)  L (R T ), thì nghiệm cổ điển u(x, t)  C2,1(R T ) x i là nghiệm suy rộng, điều ngược lại không đúng, nghiệm suy rộng chưa đã là nghiệm cổ điểm, vì nghiệm suy rộng là hàm u(x,t) đòi hỏi có đạo hàm suy rộng theo x đến cấp thuộc L (R T ) , còn nghiệm cổ điển thì phải có đạo hàm theo x đến cấp và theo t đến cấp liên tục Bài toán biên ban đầu a Bài toán biên ban đầu thứ Lu  f (x, t), (x, t)  QT (7) với điều kiện ban Ta xét phương trình đầu u(x,0)  (x), x   (8), đó f , là các hàm cho trước, và điều kiện biên u  0, (x, t)  ST (9) Nghiệm cổ điển bài toán biên ban đầu thứ (7), (8), (9) là hàm u(x, t)  C2,1(QT )  C(QT  ST  0 ) và thỏa mãn đồng thời (7), (8), (9) Nghiệm suy rộng bài toán (7), (8), (9) không gian W21,0 (QT ) là o hàm u(x, t)  W21,0 (QT ) và thỏa mãn đồng thức tích phân n    u  n u  dxdt   (x)(x,0)dx   u  a  b   cu    t  ij x j xi  i x1  i, j1 i 1 QT      fdxdt o (10), (x, t)  W21,1(QT ), (x,T)  QT Ví dụ u  u Chẳng hạn phương trình   2,(x, t)  Q1  (0;2)  (0;1) (11), với t x điều kiện ban đầu u(x,0)  x  2x, x    (0;2) (12), và diều kiện biên Lop12.net u(0, t)  u(2, t)  0, t  (0;1) (13) , hàm u(x, t)  x  2x,(x, t)  Q1 là (một) nghiệm cổ điển Còn nghiệm suy rộng bài toán (11), (12), (13) o 1,0 W2 (Q1) là hàm u(x, t)  W21,0 (Q1) và thỏa mãn đồng thức tích phân   u     u t  x x dxdt   Q1 (0;2) (x  2x)(x,0)dx  2  dxdt (14) Q1 o với (x, t)  W21,1(Q1), (x,1)  Nhận xét Đối với bài toán (7), (8), (9) thêm điều kiện  trơn khúc, a ij a ij , , bi ,c,f (x, t)  L (QT ), (x)  L () thì nghiệm cổ điển x i u(x, t)  C2,1(QT ) là nghiệm suy rộng, điều ngược lại không đúng, nghiệm suy rộng chưa đã là nghiệm cổ điểm Ta chứng minh nhận xét này trường hợp  T   Thật vậy, giả sử u(x, t)  C2,1(QT ) là nghiệm cổ điển bài toán (7), (8), (9) với điều kiện bổ sung f (x, t)  L (QT ), (x)  L () Vì lúc này u(x, t)  C2,1(QT )  C(QT  ST  0 )  C2,1(QT )  C2,1(QT ) nên u có đạo hàm cổ điển theo biến x i đến cấp 2, theo biến t đến cấp và các đạo hàm đó liên tục, trên QT và QT ,(15) Vì  là miền bị chặn  n nên QT là miền bị chặn  n 1 , và QT compact  n 1 Do đó tồn số  M   cho u  M, (x, t)  QT Ta thấy  QT u dxdt   M dxdt  M QT   nên u  L (QT ) (16) Ta thấy QT đạo hàm cổ điển u theo biến x i đến cấp 2, theo biến t đến cấp 1, liên tục trên QT và QT , lập luận tương tự trên suy các đạo hàm đó thuộc L (QT ) Mà các đạo hàm cổ điển này lại chính là đạo hàm suy rộng u Chứng tỏ các đạo hàm suy rộng đến cấp u là thuộc L (QT ) (17) Từ (15), (16), (17) suy u  W21,0 (QT ) Mặt khác u  o trên ST Nên u  W21,0 (QT ) (18) Tiếp theo ta u thỏa mãn o (10) với (x, t)  W21,1(QT ), (x,T)  o Nếu k (x)  W21 () là hệ trực chuẩn L () , cho bao đóng o o tuyến tính nó W2 () trùng với W21 () , và kí hiệu Lop12.net  N  M N    d k (t)k (x) : d k  W21 (0;T),d k (T)    W21,1(QT ) , thì ta có tính chất k 1  o  1,1 M M trù mật W2,0 (QT ) Do đó với N 1 N o o 1,1 1,1 (x, t)  W2 (QT ), (x,T)  0, tức là  W2,0 (QT ) luôn tồn dãy  1,1   M hội tụ tới với W (Q ),    d km (t)km (x)  M  m T m k 1   (nếu tổng này là tổng hữu hạn thì ta coi d km  với k đủ lớn) Vì o o o 1 km  W2 () , mà W2 () là bao đóng C () W21 () nên o o o  C () trù mật W2 () , nghĩa là tồn dãy  kmh   C () hội tụ o tới km  W21 () h   W21 () Do C ((0;T))  C ( 0;T ) trù mật W21 ((0;T)) , và d km  W21 (0;T), d km (T)  0, nên tồn dãy  d kmh   C ( 0;T ) hội tụ đến d km h   W21 (0;T) Khi đó h : kmh d kmh  L (  0;T ) Do u là nghiệm cổ điển bài toán h       xét nên nó thỏa mãn (7) Nhân hai vế (7) với  lấy tích phân hai vế trên QT ta n  u n  u h h  h u h     (a )  b   cu  dxdt   fh dxdt   t  xi ij x j  i x1  i, j1 i 1 QT  QT  Ta có  h QT u dxdt  t  uh cos(, t)dS  QT  QT thành hợp ba tập đôi có giao QT  ST  0  T , mà u = trên ST , vectơ pháp tuyến ngoài biên QT cos(, t)  1, còn trên T thì  uh cos(, t)dS  QT h  u(x,T)   QT h  u  (a ij )dxdt  x i x j u  QT h dxdt Ta phân tích QT t là tập có thể tích sau xét trên 0 thì u   và  là xét trên đáy trụ 0 cho ta cos(, t)  , ta thu (x,T)dx   (x)h (x,0)dx Tương tự  u  a ij cos(, x i )dS  x j h  QT u h a ij dxdt x j x i Vì h = trên ST , cos(, x i )  với  là vectơ pháp tuyến ngoài u cos(, x i )dS  Do đó ta QT xét trên các đáy trụ 0 , T , nên  h a ij x j QT thu đẳng thức tích phân Lop12.net n  h  u h n u h h   u  a  b   cu  dxdt    t  ij x j xi  i x1  i, j1 i 1 QT   +  u(x,T)h (x,T)dx   (x)h (x,0)dx     fh dxdt QT Cho h   thì h  km  d kmkm nên n    u km n u km    u a  b   cu  km dxdt    t  ij x j xi  i x1 km  i, j1 i 1 QT   +  u(x,T)km (x,T)dx   (x)km (x,0)dx     fkmdxdt QT Lần lượt cho k = 1, 2, 3, …, k0 cộng k0 đẳng thức này lại, cho k   , mà m    km , nên ta có k 1 n    u m n u m    u a  b   cu  m dxdt    t  ij x j xi  i x1 m  i, j1 i 1 QT   +  u(x,T)m (x,T)dx   (x)m (x,0)dx    Cho m   thì m  , ta thu  fmdxdt QT n    u  n u  dxdt   u  a  b   cu    t  ij x j xi  i x1  i, j1 i 1 QT   +  u(x,T)(x,T)dx   (x)(x,0)dx    Nhưng (x,T)  nên  fdxdt QT n    u  n u  dxdt   u  a  b   cu    t  ij x j xi  i x1  i, j1 i 1 QT     (x)(x,0)dx    fdxdt QT o 1,1 Như với  W2,0 (QT ) thì đẳng thức (10) thỏa mãn với u là nghiệm cổ điển xét (19) Từ (18) và (19) chứng tỏ u là nghiệm suy rộng bài toán (7), (8), (9) Ta thấy nghiệm suy rộng bài toán (7), (8), (9) không gian o 1,0 W2 (QT ) là hàm u(x, t)  W21,0 (QT ) , đó u có đạo hàm suy rộng theo x đến cấp 1, nghiệm cổ điển bài toán này đòi hỏi phải có đạo hàm theo x đến cấp và theo t đến cấp 1, đó u chưa đã là nghiệm cổ điểm bài toán đó Lop12.net b Bài toán biên ban đầu thứ hai và thứ ba Ta xét phương trình (7) với điều kiện ban đầu (8) và điều kiện biên sau đây u n u u =  a ij cos(, x i ) (21), với  là  (s, t)u ST  (20) đó N i, j1 x j N vectơ đơn vị ngoài tới mặt ST , còn (s, t) là hàm cho trước xác định trên ST Khi     thì bài toán (7), (8), (20) tương ứng gọi là bài toán biên ban đầu thứ hai thứ ba Nghiệm cổ điển bài toán (7), (8), (20) là hàm 2,1 1,0 u(x, t)  C (QT )  C(QT  ST  0 )  C mãn (7), (8), (20) u(x, t) mà (QT  ST ) và đồng thời thoả Nghiệm suy rộng bài toán W21,0 (QT ) là hàm u(x, t)  W21,0 (QT ) thoả mãn đồng thức tích phân n    u  n u  dxdt   udsdt   u  a  b   cu    t  ij x j xi  j xi  i, j1 i 1 QT  ST    (x)(x,0)dx    fdxdt (22), (x, t)  W21,1(QT ), (x,T)  QT Tương tự trên, với điều kiện  trơn khúc, (x)  L (), a ij a ij , , bi ,c,f  L (QT ),   L (ST ), ta thấy nghiệm cổ điển x i u(x, t)  C2,1(QT ) bài toán (7), (8), (20) là nghiệm suy rộng nó, điều ngược lại không đúng, nghiệm suy rộng bài toán đó chưa đã là nghiệm cổ điểm Lúc này lưu ý u   t dxdt   u cos(, t)dS  QT QT n  u  dxdt    (x)(x,0)dx  t  QT   (u t )dxdt, QT n n  u u u  (a )dxdt   a cos(  , x )dS  a dxdt     ij ij i ij     x  x  x  x  x i j j j i i, j1 QT QT i, j1 QT i, j1     udsdt  ST    udsdt  ST n  0 T n n u   a ij cos(, x i )dS    x j i, j1 i, j1 u    aij x j xi dxdt QT i, j1 Lop12.net u   aij x j xi dxdt  QT Ví dụ u  u   0, (x, t)  Q  (1;1)  (0; 2) (23), với t x điều kiện ban đầu u(x,0)  x , x    (1;1) (24) Ta xét bài toán biên ban đầu thứ hai phương trình này với điều kiện biên lúc này là u  0, (x, t)  S2  (x, t) | x  1, 1  ,0  t  2 (25) Ta lưu ý N u u = cos(, x) mà lúc này cos(, x)  1 nên điều kiện biên N x u  0, (x, t)  S2 (25) viết lại thành x Cho phương trình Nghiệm cổ điển bài toán xét là hàm u(x, t) thoả mãn  2,1 1,0 u(x, t)  C (Q )  C( 1;1   0; )  C ( 1;1  (0; 2))   u  u    0, (x, t)  Q  t x   u  0, (x, t)  S2 u  x ,(x, t)  0 ; x  Nghiệm suy rộng W21,0 (Q2 ) bài toán là hàm u  W21,0 (Q2 ) cho  Q2  u  (u  )dxdt  t x x   x (x,0)dx  0,  W2 1,1 1 Lop12.net (Q ), (x, 2) 