Các dạng toán phương trình đường thẳng và một số bài toán liên quan

Phương trình đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng  ABC  là:.. Đường thẳng AB có một véc-tơ chỉ phương là A.[r]

CHUYÊN ĐỀ23

MỤC LỤC

PHẦN A CÂU HỎI

Dạng Xác định VTCP

Dạng Xác định phương trình đường thẳng

Dạng 2.1 Xác định phương trình đường thẳng

Dạng 2.2 Xác định phương trình đường thẳng biết yếu tố vng góc

Dạng 2.3 Xác định phương trình đường thẳng biết yếu tố song song 10

Dạng 2.4 Xác định số phương trình đường thẳng đặc biệt (phân giác, trung tuyến…) 11

Dạng Một số toán liên quan điểm với đường thẳng 14

Dạng 3.1 Bài tốn liên quan điểm (hình chiếu) thuộc đường, khoảng cách 14

Dạng 3.2 Bài toán cực trị 17

Dạng Một số toán liên quan đường thẳng với mặt phẳng 19

Dạng 4.1 Bài tốn liên quan khoảng cách, góc 19

Dạng 4.2 Bài tốn phương trình mặt phẳng, giao tuyến mặt phẳng 20

Dạng 4.3 Bài tốn giao điểm (hình chiếu, đối xứng) đường thẳng với mặt phẳng 22

Dạng 4.4 Bài toán cực trị 25

Dạng Một số toán liên quan đường thẳng thẳng với đường thẳng 30

Dạng Một số toán liên quan đường thẳng với mặt cầu 32

Dạng Một số toán liên quan điểm – mặt – đường – cầu 32

Dạng 7.1 Bài tốn tìm điểm 32

Dạng 7.2 Bài tốn tìm mặt phẳng 34

Dạng 7.3 Bài tốn tìm đường thẳng 34

Dạng 7.4 Bài tốn tìm mặt cầu 35

Dạng 7.5 Bài toán cực trị 37

PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO 40

Dạng Xác định VTCP 40

Dạng Xác định phương trình đường thẳng 41

Dạng 2.1 Xác định phương trình đường thẳng 41

Dạng 2.2 Xác định phương trình đường thẳng biết yếu tố vng góc 43

Dạng 2.3 Xác định phương trình đường thẳng biết yếu tố song song 48

Dạng 2.4 Xác định số phương trình đường thẳng đặc biệt (phân giác, trung tuyến…) 50

Dạng Một số toán liên quan điểm với đường thẳng 58

Dạng 3.1 Bài tốn liên quan điểm (hình chiếu) thuộc đường, khoảng cách 58

Dạng Một số toán liên quan đường thẳng với mặt phẳng 65

Dạng 4.1 Bài toán liên quan khoảng cách, góc 65

Dạng 4.2 Bài tốn phương trình mặt phẳng, giao tuyến mặt phẳng 67

Dạng 4.3 Bài tốn giao điểm (hình chiếu, đối xứng) đường thẳng với mặt phẳng 69

Dạng 4.4 Bài toán cực trị 78

Dạng Một số toán liên quan đường thẳng thẳng với đường thẳng 95

Dạng Một số toán liên quan đường thẳng với mặt cầu 97

Dạng Một số toán liên quan điểm – mặt – đường – cầu 99

Dạng 7.1 Bài tốn tìm điểm 99

Dạng 7.2 Bài tốn tìm mặt phẳng 102

Dạng 7.3 Bài tốn tìm đường thẳng 104

Dạng 7.4 Bài tốn tìm mặt cầu 106

Dạng 7.5 Bài toán cực trị 112

PHẦN A CÂU HỎI Dạng Xác định VTCP

Câu (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz, đường thẳng

2

:

1 2

3

x

t

d

y

t

z

t

 





 



  



có vectơ

phương là:

A

u



1

 



1; 2;3



B

u



3





2;1; 3



C

u



4

 



1; 2;1



D

u



2





2;1;1



Câu (Mã 102 - BGD - 2019)Trong không gian

Oxyz

, cho đường thẳng :

2

x y z

d     

 Vectơ vectơ phương đường thẳng

d

A

u





1;3; 2







B

u





2;5;3





C

u





2; 5;3







D

u





1;3; 2





Câu (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A



1;1; 0





0;1; 2



B Vectơ vectơ phương đường thẳng AB

A d 



1;1; 2



B a 



1; 0; 2



C b 



1; 0; 2



D c



1; 2; 2



Câu (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz, đường thẳng :

1

x y z

d     

 có

vectơ phương

A

u



1





3; 1;5





B

u



4





1; 1; 2





C

u



2

 



3;1;5



D

u



3





1; 1; 2

 



Câu (Mã 103 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :

1

x y z

d     

 Vectơ vectơ phương

d

?

Câu (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Trong không gian Oxyz,cho đường thẳng :

1

x y z

d     

Đường thẳng d có vectơ phương A u4  



1;2;0





B u2 



2;1;0





C u3



2;1;1





D u1 



1;2;1





Câu (Mã đề 104 - BGD - 2019) Trong không gian

Oxyz

cho đường thẳng

:

3

1

5

1

2

3

x

y

z

d













Vectơ

nào sau vectơ phương đường thẳng

d

?

A

u



2



(1; 2;3)



B

u



3



(2;6; 4)



C

u



4

  

( 2; 4;6)

D

u



1



(3; 1;5)



Câu (Mã đề 101 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :

1

  

 



x y z

d Vectơ

dưới vectơ phương

d

?

A

u



4



(1; 2; 3)



B

u



3

 

( 1; 2;1)

C

u



1



(2;1; 3)



D

u



2



(2;1;1)

Câu (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian

Oxyz

, đường thẳng

1

:

2

x y z

d     

 qua điểm đây?

A

Q



2; 1; 2





B

M



  

1; 2; 3



C

P



1; 2;3



D

N





2;1; 2





Câu 10 (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho điểm M



1; 2;3



Gọi

M

1,

M

2 hình chiếu vng góc M lên trục Ox,

Oy

Vectơ véctơ phương đường thẳng

M M

1 2?

A

u

4

 



1; 2; 0





B

u

1





0; 2; 0





C

u

2





1; 2; 0





D

u

3





1; 0; 0





Câu 11 (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho đường thẳng

4

3

:

1

2

3

x

y

z

d











Hỏi vectơ sau, đâu vectơ phương

d

?

A u1 



1; 2; 3



B u2 



3; 6; 9 



C u3 



1; 2; 3 



D u4  



2; 4; 3



Câu 12 (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng sau nhận

u







2;1;1



vectơ phương?

A

2

1

1

1

2

3

x





y





z



B

1

2

2

1

1

x



y





z





C

1

1

2

1

1

x



y



z











D

2

1

1

2

1

1

x



y



z









Câu 13 (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ trục tọa độ

Oxyz

, cho đường thẳng :

2

x y z

d      nhận véc tơ u a



; 2;b



làm véc tơ phương Tính ab

A 8 B C

4

D



4

Câu 14 (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz, tọa độ sau tọa độ

của véctơ phương đường thẳng





: , ?

9

x t

y t t

z t

   

    

 



A 1; 3;



 

 

  B

1 ; ;

 

 

  C



2;1; 0



D



4; 6; 0



Câu 15 (ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz, đường

thẳng :

2

x y z

d     

 có vectơ phương

A

u



1





1; 2;3



B

u



2





2;1; 2



C

u



3





2; 1; 2





D

u



4

   



1; 2; 3



Câu 16 (CHUYÊN KHTN LẦN NĂM 2018-2019) Vectơ sau vectơ phương đường thẳng

2

3

x y z

 

 

A



2;1; 3



B



3; 2;1



C



3; 2;1



D



2;1; 3



Câu 17 (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, đường thẳng

 

:

2

x y z

d     

 nhận vectơ vectơ phương?

A



 2; 4;1



B



2; 4;1



C



1; 4; 2



D



2; 4;1



Câu 18 (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Trong không gian

O

xyz

véc tơ véc tơ phương đường thẳng d:

1

x t

y

z t

   

     

,

A

u





(1; 4;3)

B

u





(1; 4; 2)



C

u





(1; 0; 2)



D

u





(1; 0; 2)

Dạng Xác định phương trình đường thẳng

Dạng 2.1 Xác định phương trình đường thẳng

Câu 19 (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian tọa độ Oxyz, phương trình phương trình tắc đường thẳng

1 2

:

3

?

2

x

t

d

y

t

z

t

 









   



A

1

2

2

3

1

x



y

z







B

1

2

1

3

2

x



y

z









C

1

2

2

3

2

x



y

z









D

1

2

2

3

1

x



y

z







Câu 20 (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho hai điểm M



1;2; 1



, N



0; 1; 3



Phương trình đường thẳng qua hai điểm

M

, N

A

1

2

1

1

3

2

x



y



z









B

1

3

2

1

2

1

x



y



z









C

1

3

1

3

2

x

y



z









D

1

3

1

2

1

x

y



z









Câu 21 (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ trục tọa độ

Oxyz

, phương trình tham số trục Oz

A z0 B

0

0

x

y

t

z











 



C

0

0

x

t

y

z











 



D

0

0

x

y

z

t











 



Câu 22 Trong khơng gian Oxyz, phương trình tham số đường thẳng qua điểm

M



2;0; 1





có véctơ phương

a





2; 3;1







A

4 2

6

.

2

x

t

y

z

t

 





 



  



B

2 2

3

.

1

x

t

y

t

z

t

  





 



  



C

2 4

6

.

1 2

x

t

y

t

z

t

  





 



  



D

2 2

3

.

1

x

t

y

t

z

t

 





 



   



Câu 23 (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz, cho E( 1; 0; 2) (2;1; 5)

F  Phương trình đường thẳng

EF

A

1

2

3

1

7

x



y

z









B

1

2

3

1

7

x



y

z









C

1

2

1

1

3

x



y

z









D

1

2

1

1

3

x



y

z







Câu 24 (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong khơng gian Oxyz, trục y Oy có phương trình

A

0

0

x

t

y

z











 



B

0

0

x

y

t

z











 



C

0

0

x

y

z

t











 



D

0

x

t

y

z

t











 



Câu 25 Trong không gian

Oxyz

, cho đường thẳng



qua điểm

M



2; 0; 1





và có vectơ phương



4; 6; 2



a







.Phương trình tham số



là

A

2 4

6

1 2

x

t

y

t

z

t

  









  



B

2 2

3

1

x

t

y

t

z

t

 





 



   



C

4 2

6

2

x

t

y

z

t

 





 



  



D

2 2

3

1

x

t

y

t

z

t

  









  



Câu 26 (THPT YÊN PHONG BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm

P



1;1; 1





Q



2;3; 2



A

1

1

1

2

3

2

x



y



z







B

1

1

1

1

2

3

x



y



z







C

1

2

3

1

1

1

x



y



z









D

2

3

2

1

2

3

x



y



z







Câu 27 (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN NĂM 2018-2019) Trong khơng gian Oxyz, phương trình đường thẳng qua hai điểm

A



1; 2;3



B



5; 4; 1





A

2

x y z

  B

4

x y z

 



C

4

x y z

  D 3

2

x y z

 

 

Câu 28 (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian Oxyz, đường thẳng Oy có phương trình tham số

A





x

t

y

t t

z

t













 





B





0

2

0

x

y

t t

z







 





 





C





0

0

x

y

t

z

t













 





D

0





Câu 29 (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong khơng gian Oxyz có đường thẳng có

phương trình tham số

1 2

( ) :

2

3

x

t

d

y

t

z

t

 





 



   



Khi phương trình tắc đường thẳng

d

A

2 1

x y z

 

 B

1

2 1

x y z

 



C

2 1

x y z

  D

2 1

x y z

 



Dạng 2.2 Xác định phương trình đường thẳng biết yếu tố vng góc

Câu 30 (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, phương trình phương trình đường thẳng qua A



2; 3; 0



vng góc với mặt phẳng

 

P :x3y z 50 ?

A            1 x t y t z t B           x t y t z t C            3 x t y t z t D            3 x t y t z t

Câu 31 (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz cho điểm

A



1; 2;3



đường thẳng

3

:

2

x y z

d     

 Đường thẳng qua A, vng góc với

d

cắt trục

Ox

có phương trình A

1 2

2

x

t

y

t

z

t

  





 



 



B

1

2 2

3 3

x

t

y

t

z

t

 





 



  



C

1 2

2

3

x

t

y

t

z

t

  









 



D

1

2 2

3 2

x

t

y

t

z

t

 





 



  



Câu 32 (Mã 102 - BGD - 2019) Trong không gian

Oxyz

,

cho điểm

A



1;0; ,

 

B

1; 2;1 ,

 

C

3; 2; 0



D



1;1;3



Đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng



BCD



có phương trình

A 2 x t y t z t            B 2 x t y z t            C 4 x t y t z t             D 2 x t y t z t            

Câu 33 (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Trong không gian

Oxyz

, cho hai đường thẳng

3

3

2

:

1

2

1

x

y

z

d















;

5

1

2

:

3

2

1

x

y

z

d













mặt phẳng

 

P

:

x



2

y



3

z

 

5 0

Đường

thẳng vng góc với

 

P

, cắt

d

1

d

2 có phương trình A

1

1

3

2

1

x



y



z





B

2

3

1

1

2

3

x



y



z







C

3

3

2

1

2

3

x



y



z







D

1

1

1

2

3

x



y



z





Câu 34 (Mã đề 101 - BGD - 2019) Trong không gian

Oxyz

, cho điểm



1;2;0 ,

 

2;0;2 ,

 

2; 1;3 ,





1;1;3



A

2 4

4 3

2

x

t

y

t

z

t

  





  



  



B

4 2

3

1 3

x

t

y

t

z

t

 





 



  



C

2 4

2 3

2

x

t

y

t

z

t

  





  



  



D

2 4

1 3

3

x

t

y

t

z

t

 





  



  



Câu 35 (Mã đề 104 - BGD - 2019) Trong không gian

Oxyz

, cho điểm

A



2; 1;0





,

B



1; 2;1



,

C



3; 2;0





,



1;1; 3





D

Đường thẳng qua

D

và vng góc với mặt phẳng



ABC



có phương trình là:

A 1             x t y t z t B 1             x t y t z t C           x t y t z t D          x t y t z t

Câu 36 (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz, cho điểm

A



2;1;3



đường thẳng

1

:

1 2

x y z

d     

 Đường thẳng qua A, vng góc với

d

cắt trục Oy có phương trình A

2

3

4

3

x

t

y

t

z

t







  



 



B

2

2

1

3 3

x

t

y

t

z

t









 



  



C

2

2

1 3

3

2

x

t

y

t

z

t









 



  



D

2

3 3

2

x

t

y

t

z

t







  



 



Câu 37 (Mã 103 - BGD - 2019) Trong không gian

Oxyz

cho

A



0;0; ,

 

B

2;1;0 ,



C



1; 2; 1





D



2;0; 2





Đường thẳng qua

A

vng góc với



BCD



có phương trình

A

3

2

1 2

x

y

z

t











   



B

3 3

2 2

1

x

t

y

t

z

t

 





 



  



C

3

2

2

x

t

y

t

z

t











  



D

3 3

2 2

1

x

t

y

t

z

t

 





  



  



Câu 38 (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho điểm

A



1; 0; 2



và đường thẳng

d

có phương trình: 1

1

 

 

x y z

Viết phương trình đường thẳng  qua A, vuông góc và cắt

d

A

2

 

 

x y z

B

1

 

 



x y z

C

1 1

 

 

x y z

D

1 1

 

 



x y z

Câu 39 (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Trong không gian

Ox

yz

, cho hai điểm (2; 2;1), ( 8; ; ) 3

A B 

Đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác O AB vng góc với mặt phẳng

(

OAB

)

có phương trình là:

A

2

9 9

1 2

x



y



z









B

1

1 2

x y z

 



C

1 11

3

1 2

x



y



z









D

1

1 2

x y z

 



Câu 40 (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :

2

x y z

d    



A

1

4

3

x

t

y

t

z

t

  





 



  



B

3

2 4

2

x

t

y

t

z

t

 





  



  



C

3

2 4

2 3

x

t

y

t

z

t

 





  



  



D

3 2

2 6

2

x

t

y

t

z

t

 





  



  



Câu 41 (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian

Oxyz

cho điểm M



1;1; 3



hai đường thẳng 

 

: 1 3

3

y x z ,      :

1

y

x z

Phương trình phương trình đường thẳng qua

M

vng góc với  

A             1 x t y t z t B            x t y t z t C             1 x t y t z t D             1 x t y t z t

Câu 42 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng : 1

1

x y z

   mặt

phẳng

 

P

:

x



2 y z 3

  

0

Đường thẳng nằm

 

P

đồng thời cắt vng góc với  có phương trình là: A 2 x t y t z           B x y t z t           C 1 2 x t y t z t            D 1 2 x y t z t          

Câu 43 (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho hai đường thẳng            1 : 2 x t

d y t

z ,      2 :

2

y

x z

d mặt phẳng

 

P : 2x2y3z0 Phương trình

là phương trình mặt phẳng qua giao điểm d1

 

P , đồng thời vng góc với d2? A

2

x y

 

2

z



13 0



B

2

x y

 

2

z



22 0



C

2

x y

 

2

z



13 0



D

2

x y

 

2

z



22 0



Câu 44 (THPT YÊN PHONG SỐ BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho mặt phẳng

 



:xy2z1 Trong đường thẳng sau, đường thẳng vng góc với

 



A 1

:

1

1

1

2

x

y

z

d









B

1

:

1

1

1

x

y

z

d











C

1

:

1

1

1

x

y

z

d











D

2 : x t d y z t         

Câu 45 (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz, đường thẳng qua điểm

A



1;1;1



vng góc với mặt phẳng tọa độ



Oxy



có phương trình tham số là:

A

1

1

1

x

t

y

z

 









 



B

1

1

1

x

y

z

t











  



C

1

1

1

x

t

y

z

 









 



D

1

1

1

x

t

y

t

z

 





 



 



Câu 46 (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm

M



1; 3; 2





mặt phẳng

 

P

:

x



3

y



2

z

 

1 0

Tìm phương trình đường thẳng d qua M vng góc với

 

P

A

1

x y z

 

 B

1

1

x y z

 

C

1

x y z

 

 D

1

1

x y z

 



Câu 47 (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho

A



1;



1; 3



hai đường thẳng 1

:

4

2

1

,

1

4

2

x

y

z

d













2

1

1

:

1

1

1

x

y

z

d













Phương trình đường thẳng qua

A

, vng góc với d1 cắt d2

A 1

2

x y z

  B 1

4

x y z

 

C 1

1

x y z

 

 D

1

2 1

x y z

 

 

Câu 48 (SỞ GD&ĐT THANH HĨA NĂM 2018 - 2019) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz,cho điểm

A



1;0;2



và đường thẳng : 1

1

x y z

d     Đường thẳng



qua

A

, vng góc cắt d có phương trình

A

:

2

1

1

1

1

1

x



y



z











B

1

2

:

1

1

1

x



y

z









C

:

2

1

1

2

2

1

x



y



z









D

:

1

2

1

3

1

x



y

z











Câu 49 (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm



1;0;1



M

đường thẳng :

1

x y z

d      Đường thẳng qua

M

, vng góc với

d

cắt

Oz

có phương trình

A

1 3

0

1

x

t

y

z

t

 









  



B

1 3

0

1

x

t

y

z

t

 









  



C

1 3

1

x

t

y

t

z

t

 









  



D

1 3

0

1

x

t

y

z

t

 









  



Câu 50 (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ - NĂM 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

P

: 3

x



y

 

z

0

đường thẳng :

1 2

x y z

d    

 Gọi  đường thẳng nằm

 

P

, cắt vng góc với d Phương trình sau phương trình tham số ?

A

2 4

3 5

3 7

x

t

y

t

z

t

  





 



  



B

3 4

5 5

4 7

x

t

y

t

z

t

  





 



  



C

1 4

1 5

4 7

x

t

y

t

z

t

 





 



   



D

3 4

7 5

2 7

x

t

y

t

z

t

  





 



  



Câu 51 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

A



1; 1;3





hai đường thẳng:

1

4 2 1

: , :

1 1

x y z x y z

d      d     

  Viết phương trình đường thẳng

d

qua A, vng góc với đường thẳng

d

1 cắt đường thẳng

d

2

A 1

2 1

x y z

 

  B

1

6

x y z

 

C 1

6

x y z

 

  D

1

2

x y z

Câu 52 Trong không gian

Oxyz

, cho đường thẳng

2

: x y z

d    

 mặt phẳng

 

P :xy2z60 Đường thẳng nằm

 

P cắt vng góc với d có phương trình là?

A

2

2

5

.

1

7

3











x

y

z

B

2

2

5

.

1

7

3











x

y

z

C

2

4

1

.

1

7

3











x

y

z

D

2

4

1

.

1

7

3











x

y

z

Câu 53 (ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

 

P

:

x



2

y



3

z

 

7

0

hai đường thẳng 1: 2; 2: 1

2 3

x y z x y z

d      d     

 

Đường thẳng vng góc mặt phẳng

 

P

cắt hai đường thẳng

d d

1

;

2 có phương trình

A

1

x y z

  B

1

x y z

 

C

1

x y z

  D 2

1

x y z

 

Dạng 2.3 Xác định phương trình đường thẳng biết yếu tố song song

Câu 54 (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm

A



0; 1;3





,



1;0;1



B

,

C





1;1; 2



Phương trình phương trình tắc đường thẳng qua A song song với đường thẳng

BC

?

A x2yz0 B

2

1

3

x

t

y

t

z

t

 





  



  



C

2 1

x y z

 

 D

1

2 1

x y z

 



Câu 55 (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm

A



1; 2;3





hai mặt phẳng

 

P

:

x

   

y z

1 0

,

 

Q

:

x

   

y z

2

0

Phương trình phương trình đường thẳng qua A, song song với

 

P

 

Q

?

A

1

2

3

x

t

y

z

t

 





 



  



B

1

2

3

x

t

y

z

t

  









   



C

1 2

2

3 2

x

t

y

z

t

 





 



  



D

1

2

3 2

x

y

z

t







 



  



Câu 56 (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho hai điểm A



1; 2; 3 



;



1; 4;1



B đường thẳng













2

2

3

:

1

1

2

y

x

z

d

Phương trình phương trình đường thẳng qua trung điểm đoạn AB song song với

d

?

A





1





1

1

1

2

y

x

z

B











1

1

1

1

2

y

x

z

C













1

1

1

1

1

2

y

x

z

D











2

2

1

1

2

y

Câu 57 (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ toạ độ

Oxyz

, cho điểm M



1; 3; 4



, đường thẳng

d

có phương trình:

2

5

2

3

5

1

x



y



z











mặt phẳng

 

P

:

2

x

  

z

2

0

Viết phương trình đường thẳng  qua M vng góc với

d

song song với

 

P A :

1

3

4

1

1

2

x



y



z











B :

1

3

4

1

1

2

x



y



z













C :

1

3

4

1

1

2

x



y



z









D :

1

3

4

1

1

2

x



y



z









Câu 58 (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

 

P

: 2

x

 

y

2

z

 

3

0

hai đường thẳng 1: 1

3 1

x y z

d    

 ;

2

:

1

x y z

d     

 Xét điểm A B, di động

d

1

d

2 cho AB song song với mặt phẳng

 

P

Tập hợp trung điểm đoạn thẳng AB

A Một đường thẳng có vectơ phương

u



 



9;8; 5





B Một đường thẳng có vectơ phương

u



 



5;9;8



C Một đường thẳng có vectơ phương

u







1; 2; 5

 



D Một đường thẳng có vectơ phương

u







1;5; 2





Câu 59 (THPT LƯƠNG VĂN CAN - LẦN - 2018)Trong không gian Oxyz, cho điểm

A



3; 2; 4

 





mặt phẳng

 

P

: 3

x



2

y



3

z

 

7

0

, đường thẳng :

3 2

x y z

d     

 Phương trình sau phương trình đường thẳng  qua A, song song

 

P

cắt đường thẳng d?

A

3 11

2 54

4 47

x

t

y

t

z

t

 





 



   



B

3 54 11 47 x t y t z t            

C

3 47 54 11 x t y t z t            

D

3 11

2 47

4 54

x

t

y

t

z

t

 





 



   



Dạng 2.4 Xác định số phương trình đường thẳng đặc biệt (phân giác, trung tuyến…)

Câu 60 (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gianOxyz, cho đường thẳng

1 3

:

3

5 4

 





 



  



x

t

d

y

z

t

Gọi 

đường thẳng qua điểm

A



1; 3;5





có vectơ phương

u





1; 2; 2





Đường phân giác góc nhọn tạo

d

 có phương trình

A

1 2

2 5

6 11

  





 



  



x

t

y

t

z

t

B

1 2

2 5

6 11

  





 



   



x

t

y

t

z

t

C

1 7

3 5

5

 





  



  



x

t

y

t

z

t

D

1

3

5 7

 





 



  



x

t

y

z

t

Câu 61 (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

1 7

:

1 4

1

x

t

d

y

t

z

 





 



 



Gọi



A

1 2

10 11

6 5

x

t

y

t

z

t

  





 





   



B

1 2

10 11

6 5

x

t

y

t

z

t

  





 





  



C

1 3

1 4

1 5

x

t

y

t

z

t

  





 



  



D

1 7

1

1 5

x

t

y

t

z

t

 





 



  



Câu 62 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian

Oxyz

, cho đường thẳng

1

:

1

x t

d y t

z          

Gọi



đường thẳng qua điểm

A



1;1;1



có vectơ phương

u



 



2;1; 2



Đường phân giác góc nhọn tạo d



có phương trình

A

1 27

1

1

x

t

y

t

z

t

 





 



  



B 18 19 11 10 x t y t z t              C 18 19 11 10 x t y t z t               D 1 17 10 x t y t z t           

Câu 63 (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Trong không gian

Oxyz

, cho đường thẳng

1

:

3

x t

d y t

z          

Gọi



đường thẳng qua điểm

A

(1; 2;3)

có vectơ phương

u





(0; 7; 1).

 

Đường phân giác góc nhọn tạo d



có phương trình

A

1 2 x t y t z t            B 11 x t y t z t            C 10 12 x t y t z t              D 10 12 x t y t z t              

Câu 64 (THPT AN LÃO HẢI PHỊNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A



1;3; 2



,B



2;0;5 ,



C



0 2;1;



Viết phương trình đường trung tuyến AM tam giác

ABC

A :

2

x y z

AM     

 B

1

:

2

x y z

AM     



C :

2

x y z

AM     

 D

2

:

1

x y z

AM     



Câu 65 (THPT YÊN PHONG BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Trong không gian Oxyz, cho

A



2;0;0



, đường thẳng d qua A cắt chiều âm trục Oy điểm B cho diện tích tam giác OAB Phương trình tham số đường thẳng d

A

1 2

0

x

t

y

t

z

 









 



B

2 2

0

x

t

y

t

z

 





 



 



C

2 2

0

x

t

y

t

z

 





 



 



D

2 2

1

x

t

y

t

z

 









 



Câu 66 (ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz cho hai điểm (2; 2;1), ( 8; ; ) 3

A B  Đường

Câu 67 (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường

thẳng 1

4

x t

d y t

z t            

; 2

:

5

11

5

2

4

2

x

y

z

d











Đường thẳng d qua A



5; 3;5



cắt

d d

1

;

2

B C

,

Tính tỉ sô

AB

AC

A

2

B C

1

2

D

1

3

Câu 68 (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ

Oxyz

, cho

2

điểm M



1; 2;3 ,



A



2; 4; 4



hai mặt phẳng

 

P :xy2z 1 0,

 

Q :x2y z 40 Viết phương trình đường thẳng



qua

M

, cắt

( ), ( )

P

Q

B C

,

cho tam giác ABC cân

A

nhận

AM

làm đường trung tuyến

A

1

2

3

1

1

1

x



y



z











B

1

2

3

2

1

1

x



y



z









C

1

2

3

1

1

1

x



y



z









D

1

2

3

1

1

1

x



y



z











Câu 69 (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết A(2;1; 0), (3; 0; 2), (4;3; 4)B C  Viết phương trình đường phân giác

góc A.

A

2

1

0

x

y

t

z







 









B

2

1

x

y

z

t











 



C

2

1

0

x

t

y

z

 















D

2

1

x

t

y

z

t

 















Câu 70 (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

2 1

x y z

d     , mặt phẳng

 

P :xy2z 5 A



1; 1; 2



Đường thẳng  cắt

d

 

P M

N

cho A trung điểm đoạn thẳng

MN

Một vectơ phương 

A u



4; 5;13



B u



2 ; 3; 2



C u



1; 1; 2



D u 



3; 5; 1



Câu 71 (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vng ABCD biết

A



1; 0;1



,

B



1; 0; 3





điểm D có hồnh độ âm Mặt phẳng



ABCD



qua gốc tọa độ O Khi đường thẳng d trục đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD có phương trình

A

1

:

1

x

d

y

t

z

 









  



B

1

:

1

x

d

y

t

z











  



C

1

:

1

x

d

y

t

z

 









 



D

:

1

x

t

d

y

z

t











 



Câu 72 (THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN - 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1

:

1

x y z

   2:

1

x y z

  

 cắt nằm mặt phẳng

 

P

Lập phương trình đường phân giác

d

góc nhọn tạo



1,



2 nằm mặt phẳng

 

P

A





1

:

2

,

1

x

d

y

t

z

t

 











   





B





1

:

2

,

1 2

x

t

d

y

t

C





1

:

2 ,

1

x

t

d

y

t t

z

t

  





 





   





D





1

:

2 ,

1

x

t

d

y

t t

z

  





 





  





Câu 73 (QUẢNG XƯƠNG - THANH HĨA - LẦN - 2018) Trong khơng gian tọa độ

Oxyz

, cho tam giác ABC biết A



1; 0; 1



, B



2;3; 1



, C



2;1;1



Phương trình đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vng góc với mặt phẳng



ABC



là:

A

3

x y z

 

 B

2

3

x y z

 

C 1

1 2

x y z

 

 D

3

3

x y z

 



Câu 74 (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN - 2018) Trong không gian Oxyz, cho tam giác nhọn ABC có

H



2; 2;1



, 8; ; 3

K 

 

, O hình chiếu vng góc A, B, C cạnh BC, AC, AB Đường thẳng d qua A vng góc với mặt phẳng



ABC



có phương trình

A : 1

1 2

x y z

d     

 B

8 2

3 3

:

1

2

2

x

y

z

d













C

4 17 19

9 9

:

1

2

2

x

y

z

d













D

6

:

1 2

x y z

d    



Câu 75 (CHUYÊN VINH - LẦN - 2018) Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có

A



2;3;3



, phương trình đường trung tuyến kẻ từ B 3

1

x y z

 

  , phương trình đường phân giác góc C

2

2 1

x y z

 

  Đường thẳng AB có véc-tơ phương A

u

3





2;1; 1







B

u

2





1; 1; 0







C

u

4





0;1; 1







D

u

1





1; 2;1





Dạng Một số toán liên quan điểm với đường thẳng

Dạng 3.1 Bài tốn liên quan điểm (hình chiếu) thuộc đường, khoảng cách

Câu 76 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz, điểm thuộc đường thẳng

d

:

1

5

2 3

x

t

y

t

z

t

 





 



  



?

A

N



1;5; 2



B

Q





1;1;3



C

M



1;1;3



D

P



1; 2;5



Câu 77 (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Trong không gian Oxyz, điểm thuộc đường thằng

2

:

1

x y z

d     

Câu 78 (KTNL GIA BÌNH NĂM 2018-2019) Trong khơng gian Oxyz, đường thẳng

2 3

:

1 4

5

x

t

d

y

t

z

t

 





  



 



qua điểm

nào sau đây?

A

M



2; 1; 0





B

M



8;9;10



C

M



5;5;5



D

M



3; 4;5





Câu 79 (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian

Oxyz

, đường thẳng

1

:

2

x y z

d     

 qua điểm đây?

A

Q



2; 1; 2





B

M



  

1; 2; 3



C

P



1; 2;3



D

N





2;1; 2





Câu 80 (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz, đường thẳng

1 2

:

3

1

x

t

d

y

t

z

t

 





 



  



đi qua điểm đây?

A

M



1;3; 1





B

M





3;5;3



C

M



3;5;3



D

M



1; 2; 3





Câu 81 (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A



1; 1; 2



,



1; 2; 3



B  đường thẳng

:

1

2

1

1

1

2

x

y

z

d











Tìm điểm M a b c



; ;



thuộc

d

cho

2

28

MA MB  , biết

c



0

A 1; 7;

6

 



 

 

M B 1; 7;

6

M   

 

C M



1; 0; 3



D M



2; 3; 3



Câu 82 (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

Đường thẳng

x t

d y t

z t

  

      

qua điểm sau sau đây?

A

K



1; 1;1





B

E



1;1; 2



C

H



1; 2;0



D

F



0;1; 2



Câu 83 (CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz, điểm thuộc đường

thẳng 1

2

x y z

 

 ?

A Q



2;1; 3



B P



2; 1;3



C M



1;1; 2



D N



1; 1; 2



Câu 84 (CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz, gọi d đường thẳng qua

A



1;0; 2



, cắt vng góc với đường thẳng 1:

1

 

 



x y z

Câu 85 (ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019) Trong không gian

Oxyz

, điểm thuộc đường thẳng

:

2    

      

x t

d y t

z t

?

A Q



1; 1; 3



B P



1; 2; 5



C N



1; 5; 2



D M



1; 1; 3



Câu 86 Trong không gian

Ox

yz

, đường thẳng

:

1

2

3

2

1

2

x

y

z

d















qua điểm đây?

A

Q

(2; 1; 2)

 

B

M

(1; 2; 3)

 

C

P

( 1; 2; 3)





D

N(2; 1; 2)

 

Câu 87 (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ

Oxyz

, cho đường

thẳng

:

1

2

3

3

4

5















x

y

z

d

Hỏi

d

qua điểm điểm sau:

A C



3; 4;5



B D



3; 4; 5 



C B



1; 2; 3



D A



1; 2;3



Câu 88 (SỞ GD&ĐT THANH HĨA NĂM 2018 - 2019) Trong khơng gian Oxyz, cho điểm

A



3; 2;1





Đường thẳng sau qua A?

A

3

2

1

1

1

2

x



y



z







B

3

2

1

4

2

1

x



y



z











C

3

2

1

1

1

2

x



y



z







D

3

2

1

4

2

1

x



y



z











Câu 89 Trong không gian

Oxyz

, điểm thuộc đường thẳng

1

:

2    

      

x t

d y t

z t

?

A Q



1; 1; 3



B P



1; 2; 5



C N



1; 5; 2



D M



1; 1; 3



Câu 90 (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019)Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho đường thẳng d có phương trình

3

x y z

 

 Điểm sau không thuộc đường thẳng d?

A P



7; 2;1



B Q



2; 4; 7



C N



4 ; ; 1



D M



1; 2; 3



Câu 91 (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz, tọa độ hình chiếu vng góc

M



1;0;1



lên đường thẳng

 

:

1

x y z

   A



2; 4; 6



B 1; ;1

2

 

 

  C



0; 0; 0



D

2 ; ; 7

 

 

 

Câu 92 (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ - NĂM 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

( 4;0;0)



M

đường thẳng

1

:

2 3

2

 









  

  



x

t

y

t

z

t

Câu 93 (THPT YÊN PHONG BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Trong khơng gian Oxyz, tìm tọa độ hình

chiếu H

A



1;1;1



lên đường thẳng d :

1

1

x

t

y

t

z

t

 

 













A

H

( ; ; ).

4 1

3 3

B

H



1;1;1



C

H

(0 ; ; -1).

D

H

(1 ; ; 0).

Câu 94 (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

điểm A



1;1;1



đường thẳng

 

6

:

1

x t

d y t

z t

   

   

    

Tìm tọa độ hình chiếu A

A

 

d

A A(2;3;1) B A ( 2;3;1) C A(2; 3;1) D A(2; 3; 1) 

Câu 95 Trong khơng gian Oxyz, cho hình thang cân

ABCD

có đáy

AB

CD

Biết

A



3;1; 2





,

B





1;3; 2



,

C





6;3; 6



D a b c



; ;



với

a b c

, ,





Giá trị

a b c

 

A



3

B

1

C

3

D



1

Câu 96 (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

1

:

2 1

x y z

d    

 hai điểm

A





1;3;1



;

B



0; 2; 1





Gọi

C m n p



; ;



điểm thuộc đường thẳng d cho diện tích tam giác ABC

2 2

Giá trị tổng m n p

A 1 B C D 5

Câu 97 (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN - 2018) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :

1 2

x y z

d     

và điểm

A



3; 2; 0



Điểm đối xứng điểm A qua đường thẳng d có tọa độ

A





1; 0; 4



B



7;1; 1





C



2;1; 2





D



0; 2; 5





Câu 98 (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm



2; 4; 1



M

 

tới đường thẳng

:

2

3 2

x

t

y

t

z

t











 

  



bằng

A

14

B

6

C

2 14

D

2 6

Câu 99 (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, Gọi

M a b c



; ;



thuộc đường thẳng :

1

x y z

   Biết điểm M có tung độ âm cách mặt phẳng



Oyz



một khoảng Xác định giá trị T a b c 

A T  1 B T 11 C T  13 D T 1 Dạng 3.2 Bài toán cực trị

Câu 100 (Mã đề 101 - BGD - 2019)Trong không gian

Oxyz

, cho điểm

A



0; 4; 3





Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz cách trục Oz khoảng Khi khoảng cách từ

A

đến d nhỏ nhất, d qua điểm đây?

Câu 101 (Mã 103 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm

A



0;3; 2





Xét đường thẳng

d

thay đổi song song với Oz cách Oz khoảng Khi khoảng cách từ A đến

d

nhỏ

d

qua điểm đây?

A

Q



0;2; 5





B

M



0;4; 2





C

P





2;0; 2





D

N



0; 2; 5

 



Câu 102 (Mã 102 - BGD - 2019) Trong không gian

Oxyz

, cho điểm

A



0; 4; 3





Xét đường thẳng

d

thay đổi, song song với trục

Oz

cách trục

Oz

khoảng Khi khoảng cách từ A đến

d

lớn nhất,

d

qua điểm đây?

A

N



0;3; 5





B

M



0; 3; 5







C

P





3; 0; 3





D

Q



0;11; 3





Câu 103 (Mã đề 104 - BGD - 2019)Trong không gian

Oxyz

,

cho điểm

A



0;3;





Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz cách trục Oz khoảng Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, d qua điểm đây?

A

M



0;8; 5





B

N



0; 2; 5





C

P



0; 2; 5







D

Q





2;0; 3





Câu 104 (THPT - YÊN ĐỊNH THANH HÓA 2018 2019- LẦN 2)Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d có

phương trình

1

2

x

t

y

t

z

t

 





 



  



ba điểm

A



6;0;0



,

B



0;3;0



,

C



0;0; 4



Gọi

M a b c



; ;



điểm thuộc d cho biểu thức P MA22MB23MC2 đạt giá trị nhỏ nhất,

a b c A 3 B

4

C

1

D

2

Câu 105 (LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN - 2018) Trong không gian Oxyz, cho điểm

A



3; 2;3





,



1; 0;5



B

đường thẳng :

1 2

x y z

d     

 Tìm tọa độ điểm M đường thẳng d để

2

MA



MB

đạt giá trị nhỏ

A

M



1; 2;3



B

M



2; 0;5



C

M



3; 2; 7





D

M



3; 0; 4



Câu 106 (THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI - 2018)Trong không gian

Oxyz

, cho đường thẳng

:

1

1

1

1

x

y



z







hai điểmA



1; 2; 5



, B



1; 0; 2



Biết điểm M thuộc  cho biểu thức MA MB đạt giá trị lớn max

T

Khi đó,

T

max bao nhiêu?

A Tmax  57 B

T

max



3

C Tmax 2 63 D Tmax 3

Câu 107 (THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

 

1 2

:

1

2

x

t

d

y

t

z

t

  





 



 



hai điểm

A



1;5; 0



,

B



3;3; 6



Gọi

M a b c



; ;



điểm

 

d

cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ Tính Pa b c 

A P1 B P 3 C P3 D P 1

Câu 108 (TT DIỆU HIỀN - CẦN THƠ - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

2

:

1

x y z

d     hai điểm

A



2; 0;3



,

B



2; 2; 3

 



Biết điểm

M x y z



0

;

0

;

0



thuộc d thỏa mãn

4

MA



MB

nhỏ Tìm

x

0

Câu 109 (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN - 2018) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm

A





1;0;1



,

B



3; 2;1



,



5;3; 7



C

Gọi

M a b c



; ;



điểm thỏa mãn MAMB MBMC đạt giá trị nhỏ Tính

Pa b c

A P4 B P0 C P2 D P5 Dạng Một số toán liên quan đường thẳng với mặt phẳng

Dạng 4.1 Bài tốn liên quan khoảng cách, góc

Câu 110 (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

P

: 2

x



2

y

  

z

1 0

đường thẳng

:

1

2

1

2

1

2

x



y



z









Tính khoảng cách

d



 

P

A

d



2

B

5

3

d



C

2

3

d



D

1

3

d



Câu 111 (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz, khoảng cách đường thẳng :

1

x y z

d   

 mặt phẳng

 

P :xy z 20 bằng: A

2 3.

B

3 C

2

3 D

3.

Câu 112 (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, khoảng cách

giữa đường thẳng

2

:

5 4

2

x

t

y

t

z

t

 









 

  



,



t







và mặt phẳng

 

P

: 2

x

 

y

2

z



0

A

1

B

0

C

2

D

3

Câu 113 (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng

1

:

2 2

3

x

t

d

y

t

z

t

 





 





 



mặt phẳng (P):xy 3 Tính số đo góc đường thẳng d mặt phẳng (P)

A 600 B 300 C 120o D 450

Câu 114 (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho mặt phẳng

 

P

: 4

x



7

y

 

z

25



0

đường thẳng 1

:

1

1

1

2

1

x

y

z

d











Gọi d1' hình chiếu vng góc d1

lên mặt phẳng

 

P

Đường thẳng d2 nằm

 

P

tạo với d d1, 1' góc nhau, d2 có vectơ phương u2



a b c; ;



Tính

a

2

b

c



A

2

2

3

a

b

c





B

a

2

b

0

c





C

2

1

3

a

b

c





D

a

2

b

1

c





Câu 115 (TT HỒNG HOA THÁM - 2018-2019) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm



3;1; ,





5;5;1



A

B

mặt phẳng

 

P

:2

x



y

  

z

4

0

Điểm M thuộc

 

P

cho

35.

MA



MB



Biết M có hồnh độ nguyên, ta có OM

Câu 116 (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

, cho hai đường thẳng 1: 1,

2

x y z

d     

  2:

x t

d y

z t

  

     

Mặt phẳng

 

P

qua

d

1 tạo với

d

2 góc

45

nhận vectơ

n







1; ;

b c



làm vectơ pháp tuyến Xác định tích bc A



4

B

4

C



4

D

4

Câu 117 (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường

thẳng 1:

2

x y z

d     

  2

:

0

x

t

d

y

z

t











  



Mặt phẳng

 

P

qua

d

1 tạo với

d

2 góc 45o nhận

véctơ

n





1; ;

b c



làm véctơ pháp tuyến Xác định tích

bc

A 4

0

B

0

C 4 D

Câu 118 (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN LẦN NĂM 2018-2019) rong không gian Oxyz, cho hai đường

thẳng 1

:

1

2

1

2

2

1

x

y

z

d















2:

x t

d y

z t

  

     

Mặt phẳng

 

P qua d1, tạo với d2 góc 45

nhận vectơ n



1; ;b c



làm vec tơ pháp tuyến Xác định tích b c

A



4

B

4

C

4

D



4

Dạng 4.2 Bài tốn phương trình mặt phẳng, giao tuyến mặt phẳng

Câu 119 (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz, mặt phẳng qua điểm

A



1; 2; 2





vng góc với đường thẳng

:

1

2

3

2

1

3

x



y



z









có phương trình A 2xy3z20 B x2y3z 1

C 2xy3z20 D 3x2y  z

Câu 120 (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

cho điểm M



3; 1;1



Phương trình phương trình mặt phẳng qua điểm

M

vng góc với đường thẳng



 

  



1

: ?

3

y

x z

A

3

x



2

y z

  

8 0

B

3

x



2

y z

 

12 0



C

3

x



2

y z

 

12 0



D

x



2

y



3

z

 

3 0

Câu 121 (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  có phương trình:

10 2

5 1

x y z

  Xét mặt phẳng

 

P

:10

x



2

y



mz



11 0



,

m

là tham số thực Tìm tất cả các giá trị của

m

để mặt phẳng

 

P

vuông góc với đường thẳng

A

m



2

B

m

 

52

C

m



52

D

m

 

2

phẳng qua

M



1; 1; 2





vng góc với đường thẳng :

2

x y z

  



A 2xy3z 9 B 2xy3z 9 C 2xy3z 9 D 2xy3z6

Câu 123 (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng

1

:

2

x y z

d     

 Mặt phẳng

 

P

vng góc với

d

có vectơ pháp tuyến là: A

n







1; 2;3



B

n







2; 1; 2





C

n







1; 4;1



D

n







2;1; 2



Câu 124 (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong khơng gian Oxyz, phương trình mặt phẳng qua gốc tọa độ vng góc với đường thẳng ( ) :

1 1

x y z

d   là:

A x   y z B x  y z C x  y z D x  y z

Câu 125 (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz, mặt phẳng qua điểm

A



0;1;0



chứa đường thẳng

 

:

1 1

x y z

  

 có phương trình là:

A x   y z B 3x y 2z 1 C xy  z D 3xy2z 1 Câu 126 (CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

1 2

:

1

x y z

d     

 Mặt phẳng sau vng góc với đường thẳng

d

A

 

T

:

x

 

y

2

z

 

1 0

B

 

P

:

x



2

y

  

z

1 0

C

 

Q

:

x



2

y

  

z

1 0

D

 

R

:

x

   

y

z

1 0

Câu 127 (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng

 



:

x



3

y

  

z

1 0

,

 



: 2

x

   

y

z

7

0

A

2

x y z

 

  B

2

2

x y z

 



C 10

2

x y z

 

  D

2

2

x y z

 



Câu 128 Đường thẳng  giao tuyến mặt phẳng:

x z

  

5 0

x2y  z có phương trình

A

2

1

1

3

1

x



y



z







B

2

1

1

2

1

x



y



z







C

2

1

3

1

1

1

x



y



z









D

2

1

3

1

2

1

x



y



z









Câu 129 (CHUYÊN KHTN LẦN NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi

 



mặt phẳng chứa đường thẳng ( ) :

1

x y z

d     vng góc với mặt phẳng

 



:xy2z 1 0 Hỏi giao tuyến

 



 



qua điểm nào?

A



0;1;3



B



2; 3; 3



C



5; 6;8



D



1; 2; 0



Câu 130 (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Đường thẳng  giao hai mặt phẳng

x

  

z

5

0

x2y  z có phương trình

A

1

x y z

 

 B

2

1

x y z

 

C

1 1

x y z

 

 D

2

1

x y z

 



Câu 131 (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz cho điểm

A



0; 3;1





và đường thẳng : 1

3

x y z

d     

 Phương trình mặt phẳng qua A vng góc với đường thẳng

d

là:

A 3x2y  z B 3x2y  z C 3x2y z 100 D 3x2y  z

Câu 132 (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1

:

1

x y z

  

  mặt phẳng

 

P

:

x

   

y

z

3

0

Phương trình mặt phẳng

 



qua O, song song với  vng góc với mặt phẳng

 

P

A x2y z B

x



2

y

 

z

0

C

x



2

y

  

z

4

0

D

x



2

y

  

z

4

0

Dạng 4.3 Bài tốn giao điểm (hình chiếu, đối xứng) đường thẳng với mặt phẳng

Câu 133 (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1

:

1

x y z

d    

  mặt phẳng

 

P

:3

x



3

y



2

z

 

6 0

Mệnh đề đúng? A

d

cắt không vng góc với

 

P

.

B

d

vng góc với

 

P

.

C

d

song song với

 

P

.

D

d

nằm

 

P

.

Câu 134 (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

2

:

2

x y z

  

 mặt phẳng

 

P

:11

x



my



nz



16



0

Biết

 

 

P

, tính giá trị

T



m n



A T 2 B T  2 C T 14 D T  14

Câu 135 (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

đường thẳng :

3

x y z

  

 Gọi M giao điểm  với mặt phẳng

 

P

:

x



2

y



3

z



2



0

Tọa độ điểm M

A

M



2; 0; 1





B

M



5; 1; 3

 



C

M



1;0;1



D

M





1;1;1



Câu 136 (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong khơng gian Oxyz, tọa độ hình chiếu vng góc điểm

A



3; 2; 1





lên mặt phẳng

 



:

x



y



z



0

là:

A





2;1;1



B 2; ; 3

 



 

  C



1;1; 2





D

1 1 ; ; 4

 

 

 

Câu 137 (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , hình chiếu điểm M



1; 0;3



theo phương véctơ v



1; 2;1



mặt phẳng

 

P

:

x

   

y

z

2

0

có tọa độ

Câu 138 (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz, giao điểm mặt phẳng

 

P : 3x5y z 20 đường thẳng : 12

4

x y z

   điểm M x y z



0; 0; 0



Giá trị tổng

x

0



y

0



z

0

A B C

5

D 2

Câu 139 Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho điểm

A



1;0; ,



B



0; 2;0 ,



C



0;0;3



Gọi ( ; ; )

M a b c tọa độ giao điểm của d mặt phẳng Tổng

S

  

a b c

là:

A -7 B 11 C D

Câu 140 (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

P

: 6

x



2

y

 

z

35



0

điểm

A





1;3;



Gọi

A

'

điểm đối xứng với

A

qua

 

P

, tính

OA

'.

A

OA

 

5 3

B

OA

 

46

C

OA

 

186

D

OA

 

3 26

Câu 141 (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1

5

3

:

2

1

4

x

y

z

d













Phương trình phương trình hình chiếu vng góc d mặt

phẳng x 3 0?

A

3

5 2

3

x

y

t

z

t

 





  



  



B

3

6

7 4

x

y

t

z

t

 





  



  



C

3

5

3 4

x

y

t

z

t

 





  



   



D

3

5

3 4

x

y

t

z

t

 





  



  



Câu 142 (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

 

P :xy  z đường thẳng

:

1

2

1

2

1

x

y

z

d











Hình chiếu vng góc

d

 

P có

phương trình

A

1

1

1

1

4

5

x



y



z









B

1

4

5

1

1

1

x



y



z







C

1

1

1

1

4

5

x



y



z











D

1

1

1

3

2

1

x



y



z











Câu 143 Trong không gian

Oxyz

, cho mặt phẳng

 



: 2

x

   

y

z

3

0

đường thẳng

4

3

2

:

3

6

1

x

y

z

d















Viết phương trình đường thẳng

d

'

đối xứng với đường thẳng

d

qua

mặt phẳng

 



A

5

4

11

17

2

x



y





z







B

5

4

11

17

2

x



y





z







C

5

4

11

17

2

x



y





z







D

5

4

11

17

2

x



y





z





Câu 144 (KTNL GV THUẬN THÀNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định tọa độ điểm M hình chiếu vng góc điểm

M



2;3;1



lên mặt phẳng

 



:

x



2

y

 

z

0

A 2; ;35

2

M 

 

B

M





1;3;5



C 5; 2;3

2

M 

 

D

M





3;1; 2



   

      

:

3 x t

d y t

z t

Câu 145 (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz, điểm

M



đối xứng với điểm

M



1; 2; 4



qua mặt phẳng

 



: 2

x

 

y

2

z

 

3

0

có tọa độ A





3; 0;0



B





1;1; 2



C



  

1; 2; 4



D



2;1; 2



Câu 146 (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm



1; 2; 1



A



,đường thẳng : 1

2 1

x y z

d     

 mặt phẳng

 

P

:

x

 

y

2

z

 

1 0

Điểm B thuộc mặt phẳng

 

P

thỏa mãn đường thẳng AB vng góc cắt đường thẳng

d

Tọa độ điểm B

A (6; 7; 0) B (3; 2; 1)  C ( 3;8; 3)  D (0; 3; 2)

Câu 147 (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

 

P :xy  z đường thẳng

:

1

2

1

2

1

x

y

z

d











Hình chiếu vng góc

d

 

P có

phương trình

A

1

1

1

1

4

5

x



y



z











B

1

1

1

3

2

1

x



y



z











C

1

1

1

1

4

5

x



y



z









D

1

4

5

1

1

1

x



y



z







Câu 148 (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ - NĂM 2019) Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng

3

:

2 1

x y z

d     

 , mặt phẳng ( ) :P xy z 20 Gọi M giao điểm củad ( )P Gọi  đường thẳng nằm trong( )P vng góc với d cách M khoảng

42

Phương trình đường thẳng



A

2

x y z

 

 B

1 1

2

x y z

 

 

C

2

x y z

 

 D Đáp án khác

Câu 149 (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ tọa độ

Ox

yz

, cho đường thẳng

d

1 có véctơ phương

u







1; 0; 2





qua điểm

M



1; 3; 2





, 2:

1

x y z

d     



Phương trình mặt phẳng

 

P

cách hai đường thẳng

d

1

d

2 có dạng

ax

   

by

cz

11

0

Giá trị

2

a b c

A



42

B 32 C

11

D 20

Câu 150 (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ trục tọa độ

Oxyz

, cho đường thẳng d mặt phẳng

 

P

có phương trình

2 1

x y z

 

x

 

y

2

z

 

8

0

, điểm



2; 1;3



A



Phương trình đường thẳng



cắt dvà

 

P

M

N cho

A

trung điểm đoạn thẳng MN là:

A 5

3

x y z

  B

6

x y z

 

C 5

6

x y z

  D 5

3

x y z

 

chiếu

d

theo phương

Ox

lên

 

P

,

d



nhận

u







a b

; ; 2019



vectơ phương Xác định tổng



a b





.

A

2019

B



2019

C

2018

D



2020

Câu 152 (THPT ĐƠNG SƠN THANH HĨA NĂM 2018-2019 LẦN 02)Trong khơng gian với hệ tọa độ

Oxyz

,

cho mặt phẳng

 

P

:

x



y

  

z

3

0

đường thẳng

:

1

2

1

2

1

x

y

z

d











Hình chiếu d

 

P

có

phương trình đường thẳng d Trong điểm sau điểm thuộc đường thẳng d:

A

M



2;5; 4





B

P



1;3; 1





C

N



1; 1;3





D

Q



2;7; 6





Câu 153 (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz, đường thẳng

:

1 ,

,

2

x

t

d

y

t t

z

t







  





  





cắt mặt phẳng

 

P

:

x

   

y

z

3

0

điểm I Gọi  đường thẳng nằm mặt phẳng

 

P

cho

 

d

khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng 

42

Tìm tọa độ hình chiếu

M a b c



; ;



( với

a b

 

c

) điểm I đường thẳng 

A

M



2;5; 4





B

M



6; 3; 0





C

M



5; 2; 4





D

M





3; 6; 0



Câu 154 (ĐỀ 01 ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian

Oxyz

, cho mặt phẳng

 



:

x

   

y

z

6

0

đường thẳng

1

4

:

2

3

5

x

y

z

d









Hình chiếu vng góc

d

 



có phương trình

A

1

4

1

2

3

5

x





y





z



B

5

1

2

3

5

x



y





z



C

5

1

2

3

5

x



 

y

z



D

5

1

2

3

5

x



y





z



Câu 155 (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

P

:

x

   

y

z

1 0

đường thẳng

:

2

4

1

2

2

1

x

y

z

d













Viết phương trình đường thẳng d hình

chiếu vng góc d

 

P

A

:

2

1

7

5

2

x

y

z

d













B

2

1

:

7

5

2

x

y

z

d













C

:

2

1

7

5

2

x

y

z

d











D

:

2

1

7

5

2

x

y

z

d











Câu 156 (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1

:

2

x y z

d      mặt phẳng ( ) :P xy  z Đường thẳng

d

'

hình chiếu

d

theo phương

O

x

lên ( )P ;

d

'

nhận

u a b





; ; 2019



làm véctơ phương Xác định tổng

a b



A

2019

B



2019

C

2018

D



2020

Dạng 4.4 Bài toán cực trị

Câu 157 (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm



1; 2;3 ,





0;1;1 ,





1;0; 2



sao cho giá trị biểu thức

T



MA

2



2

MB

2



3

MC

2 nhỏ Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng

 

Q

:2

x y

 

2

z

 

3 0

?

A

2 5

3

B

121

54

C

24

D

91

54

Câu 158 (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :

2

x y z

   mặt phẳng

 

P :x2y2z 0 Gọi

 

Q mặt phẳng chứa



cho góc hai mặt phẳng

 

P

 

Q nhỏ Phương trình mặt phẳng

 

Q

A x2yz 0 B x22y10z0 C x2yz0 D x10y22z 0 Câu 159 (THPT CẨM GIÀNG NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm

A





10; 5;8





,

B



2;1; 1





,

C



2;3;0



và mặt phẳng

 

P

:

x



2

y



2

z

 

9

0

Xét

M

điểm thay đổi

 

P

cho

2 2

2

MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ Tính MA22MB23MC2

A

54

B

282

C

256

D

328

Câu 160 (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho tứ diện

ABCD

có A



1;1; 6



, B



 3; 2; 4



, C



1; 2; 1



, D



2; 2; 0



Điểm M a b c



; ;



thuộc đường thẳng

CD

cho tam giác ABM có chu vi nhỏ Tính

a b c

 

A B C

3

D

0

Câu 161 (TT HỒNG HOA THÁM - 2018-2019) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện

ABCD

có



1;1; 6



A



,

B



  

3; 2; 4



,

C



1; 2; 1





,

D



2; 2; 0





Điểm

M a b c



; ;



thuộc đường thẳng

CD

cho tam giác ABM có chu vi nhỏ Tính

a b c

 

.

A B C

3

D

0

Câu 162 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng

 

P x

:

   

y

z

3

0

ba điểm

A



3;1;1



,

B



7;3;9





2; 2; 2



C

Điểm

M a b c



; ;



 

P

cho



MA



2MB





3MC



đạt giá trị nhỏ Tính

2

a



10

b c



A 62

9 B

27

9 C

46

9 D

43

Câu 163 Trong không gian Oxyz, cho điểm

A



1;1; 2



mặt phẳng

  

P

:

m



1



x

 

y mz

 

1 0

, với

m

tham số Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

 

P

lớn Khẳng định bốn khẳng định

A

2



m



6

B

m



6

C

 

2

m



2

D

 

6

m



2

Câu 164 (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;1), B(2; 0;1) mặt phẳng ( ) :P  x y2z20 Viết phương trình tắc đường thẳng

d

qua

A

, song song với mặt phẳng ( )P cho khoảng cách từ

B

đến

d

lớn

A

:

1

1

1

3

1

2

x

y

z

d















B

2

:

2

2

2

x

y

z

d

 







C

:

2

2

1

1

1

x

y

z

d













D

1

1

1

:

3

1

1

x

y

z

d













Câu 165 (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm A( 8;1;1) , (2;1;3)

B vàC(6; 4; 0) Một điểm M di động không gian cho

MA MC

   

.



MA MB

.



34

Cho biết

MA MB



đạt giá trị lớn điểm M trùng với điểm

M x y z

0

( ;

0 0

; )

0 Tính tích số

x y z

0 0 0

A

16.

B

18.

C

14.

D

12.

Câu 166 (ĐỀ 01 ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A



2;1; ,



B



1; 1;2 ,



C



3; 6; ,



D



2; 2;

 



Điểm M x y z



; ;



thuộc mặt phẳng

 

P :x   y z

sao cho

S



MA

2



MB

2



MC

2



MD

2 đạt giá trị nhỏ Tính giá trị biểu thức

  

P x y z

A P 6 B P 2 C P 0 D P  2

Câu 167 (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho đường thẳng

1

2

:

1

2

1

x

y

z

d











Gọi

 

P mặt phẳng chứa đường thẳng

d

tạo với mặt phẳng

 

Q : 2xy2z20 góc có số đo nhỏ Điểm A



1; 2;3



cách mặt phẳng

 

P khoảng bằng:

A

3

B

3 C

7 11

11 D

4 3

Câu 168 (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm



1; 2; 3



A



,

B



 

2; 2;1



mặt phẳng

 



: 2x2y  z Gọi M điểm thay đổi mặt phẳng

 



cho M ln nhìn đoạn AB góc vng Xác định phương trình đường thẳng MB MB đạt giá trị lớn

A

2

2 2

1 2

x

t

y

t

z

t

  





  





 



B

2 2

2

1 2

x

t

y

t

z

t

  





  





 



C

2

2

1 2

x

t

y

z

t

  





 



  



D

2

2

1

x

t

y

t

z

  





  









Câu 169 - (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Viết phương trình đường thẳng a qua M



4 ;2 ; 1



, song song với mặt phẳng

( ) : 3



x



4

y

 

z

12



0

cách A



2 ; 5; 0



khoảng lớn

A

4

2

1

x

t

y

t

z

t

 





  



  



B

4

2

1

x

t

y

t

z

t

 





  



   



C

1 4

1 2

1

x

t

y

t

z

t

 





 



   



D

4

2

1

x

t

y

t

z

t

 





  





 



Câu 170 (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Đường thẳng  qua điểm



3;1;1



M

, nằm mặt phẳng

 



:

x

   

y

z

3

0

tạo với đường thẳng

1

:

4 3

3 2

x

d

y

t

z

t







 



   



góc nhỏ phương trình 

A

1

2

x

y

t

z

t









 











B

8 5

3 4

2

x

t

y

t

z

t



 







  





 





C

1 2

1

3 2

x

t

y

t

z

t



 







 





 





D

1 5

1 4

3 2

x

t

y

t

z

t



 







 





 





Câu 171 (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyzcho



4; 2;6



A



,

B



2; 4; 2



,

M



 



:

x



2

y



3

z

 

7

0

cho

MA MB

 

.

nhỏ Tọa độ M A 29 58 5; ;

13 13 13

 

 

  B



4;3;1



C



1;3; 4



D

37 56 68

; ;

3 3



 

 

 

Câu 172 (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian Oxyz, cho điểm A



1;1;1



mặt phẳng ( ) :P x2y0 Gọi



đường thẳng qua

A

, song song với ( )P cách điểm B



1;0; 2



khoảng ngắn Hỏi



nhận vecto vecto phương ?

A u



6;3; 5





B u



6; 3;5





C u



6;3;5





D u



6; 3; 5 





Câu 173 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểm A(1; 0; 2), (3;1; 1).B  mặt phẳng ( ) :P x   y z GọiM a b c( ; ; )( )P cho

3

MA





2

MB



đạt giá trị nhỏ Tính

9a 3

6

S





b



c

A

4.

B

3.

C

2.

D

1.

Câu 174 (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm

A



2; 1; 2

 



đường thẳng

 

d

có phương trình 1

1 1

x y z

 

 Gọi

 

P

mặt phẳng qua điểm A, song song với đường thẳng

 

d

khoảng cách từ d tới mặt phẳng

 

P

lớn Khi mặt phẳng

 

P

vng góc với mặt phẳng sau đây?

A x  y B x3y2z100 C x2y3z 1 D 3x z 20

Câu 175 (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi

 

P

mặt phẳng qua hai điểm

A



1; 7; 8

 



,

B



2; 5; 9

 



cho khoảng cách từ điểm

M



7; 1; 2

 



đến

 

P

đạt giá trị lớn Biết

 

P

có véctơ pháp tuyến

n







a b

; ; 4



, giá trị tổng a b

A 1 B C D

Câu 176 (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

A



3; 1;0





đường

thẳng : 1

1

x y z

d     

 Mặt phẳng

 



chứa

d

cho khoảng cách từ A đến

 



lớn có phương trình

A xy  z B xy z

C xy  z D  x 2y  z

Câu 177 (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

A





3;0;1



,



1; 1;3



B



mặt phẳng

 

P

:

x



2

y



2

z

 

5

0

Viết phương trình tắc đường thẳng d qua A, song song với mặt phẳng

 

P

cho khoảng cách từ B đến d nhỏ

A :

26 11

x y z

d    

 B

3

:

26 11

x y z

d    



C :

26 11

x y z

d     D :

26 11

x y z

d    

Câu 178 (KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ

Ox

yz

, cho ba điểm



1; 4;5 ,





3; 4; ,





2; 1; 0



A B C mặt phẳng

 



: 3x3y2z120 Gọi M a b c



; ;



thuộc

 



sao cho

MA

2



MB

2



3

MC

2 đạt giá trị nhỏ Tính tổng

S



a b c

 

.

A

3

B C 2 D

Câu 179 (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

P

:

x

   

y

z

2

0

hai điểm

A



3; 4;1 ;



B



7; 4; 3

 



Điểm



; ;



2



M a b c a



thuộc

 

P

cho tam giác ABM vuông M có diện tích nhỏ Khi giá trị biểu thức T



a b c

 

bằng:

A

T



6

B

T



8

C T 4 D

T



0

Câu 180 (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Trong không gian

Oxyz

, cho điểm

A



2;5;3



đường

thẳng :

2

x y z

d     Gọi

 

P

mặt phẳng chứa d cho khoảng cách từ

A

đến

 

P

lớn Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến

 

P

A

2

B

3

6

C

11 2

6

D

1

2

Câu 181 (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm



1; 2;3 ,





5; 4; 1



A

B

 

mặt phẳng

 

P

qua Ox cho

d

B P, 



2

d

A P, 

,

 

P

cắt AB

I a b c



; ;



nằm AB Tính

a b c

 

A

8

B

6

C 12 D

Câu 182 (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyzcho điểm (1; 2; 0), (1; 1;3), (1; 1; 1)

A B  C   mặt phẳng ( ) : 3P x3y2z150 Xét M a b c( ; ; ) thuộc mặt phẳng ( )P cho 2MA2MB2MC2 nhỏ Giá trị

a b c

 

A

3

B

7

C D 1

Câu 183 (ĐỀ THI CÔNG BẰNG KHTN LẦN 02 NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

1

:

2 1

x y z

d    

 điểm A(1; 2;3) Gọi ( )P mặt phẳng chứa d cách điểm A khoảng cách lớn Vectơ vectơ pháp tuyến ( )P

A n(1; 0; 2) B n(1; 0; 2) C n(1;1;1) D n(1;1; 1)

Câu 184 (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm



3;0;1



A



,

B



1; 1;3





mặt phẳng

 

P

:

x



2

y



2

z

 

5

0

Viết phương trình tắc đường thẳng d qua A, song song với mặt phẳng

 

P

cho khoảng cách từ B đến d nhỏ

A :

26 11

x y z

d    

 B

3

:

26 11

x y z

d    



C :

26 11

x y z

d     D :

26 11

x y z

d    

 

Câu 185 (SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

P

:

x



y



4

z



0

, đường thẳng : 1

2 1

x y z

d     

 đường thẳng qua A, nằm mặt phẳng

 

P

cách đường thẳng d khoảng cách lớn Gọi

u







a b

; ; 1



véc tơ phương đường thẳng  Tính a2b

A a2b 3 B a2b0 C a2b4 D a2b7

Câu 186 (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm

A



2;1;3



mặt phẳng

 

P

:

x



my





2

m



1



z



m

 

2

0

,

m

tham số Gọi

H a b c



; ;



hình chiếu vng góc điểm A

 

P

Tính a b khoảng cách từ điểm A đến

 

P

lớn ?

A

2

a b   B a b 2 C a b 0 D

a b 

Câu 187 (PTNK CƠ SỞ - TPHCM - LẦN - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

A



1;1;1



,

B



 

1; 1;3



mặt phẳng

 

P

:

x



2

y

  

z

2

0

Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng

 

P

cho

MA MB nhỏ là:

A

M



1; 0;1



B

M



0; 0; 2



C

M



1; 2; 3





D

M





1; 2; 1





Câu 188 (TRẦN PHÚ - HÀ TĨNH - LẦN - 2018) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm

A



1;



2; 1



,

B



5; 0; 1





,

C



3; 1; 2



mặt phẳng

 

Q

: 3

x



y

  

z

3

0

Gọi

M a b c



; ;



điểm thuộc

 

Q

thỏa mãn

2 2

2

MA MB  MC nhỏ Tính tổng a b 5c

A

11

B

9

C

15

D

14

Câu 189 (LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm



1;1;1



A

,

B



0;1; 2



,

C





2;1; 4



mặt phẳng

 

P

:

x

   

y

z

2

0

Tìm điểm

N



 

P

cho

2 2

2

S  NA NB NC đạt giá trị nhỏ A 4; 2;4

3

N 

  B N



2; 0;1



C

1 ; ; 4

N 

  D N



1; 2;1



Dạng Một số toán liên quan đường thẳng thẳng với đường thẳng

Câu 190 (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho hai đường thẳng

   

   

   

2

:

4

x t

d y t

z t

và













1

4

:

3

1

2

y

x

z

d

Phương trình nào dưới là phương trình đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa

d

và

d



, đồng thời cách đều hai đường thẳng đó

A













2

3

2

3

1

2

y

x

z

B













2

3

2

3

1

2

y

x

z

C













2

3

2

3

1

2

y

x

z

D













2

3

2

3

1

2

y

x

z

Câu 191 (CHUYÊN TRẦN ĐẠI NGHĨA - TPHCM - HK2 - 2018) Tính khoảng cách hai đường thẳng

d

1:

3

1

x y z

 

d

2:

1

x y z

 



A

3 B

12

5 C

3

Câu 192 (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường

thẳng 1:

2

x y z

d    

 ,

2

:

2

x y z

d    

  Xét vị trí tương đói hai đường thẳng cho A Chéo B Trùng C Song song D Cắt

Câu 193 (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian tọa độ Oxyz, xét vị trí tương đối hai đường thẳng

1

1 3

: , :

2

x y z x y z

     

 

A



1 song song với



2 B



1 chéo với



2 C



1 cắt



2 D



1 trùng với



2

Câu 194 (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho hai đường thẳng

1

:

2 1

x y z

   2: 2

4 1

x y z

  

  Đường thẳng chứa đoạn vng góc chung



1



2 qua điểm sau đây?

A

M



0; 2; 5

 



B

N



1; 1; 4

 



C

P



2; 0;1



D

Q



3;1; 4





Câu 195 (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho hai

đường thẳng 1 2

1

: ; :

2

x t

x y z

d d y t

z m

  

 

    

  

Gọi S tập tất số m cho

d

1

d

2 chéo

nhau khoảng cách chúng

19 Tính tổng phần tử S

A



11

B

12

C



12

D

11

Câu 196 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 1

:

1

2

3

1

2

1

x

y

z

d













điểm A



1; 0; 1



Gọi

d

2 đường

thẳng qua điểm A có vectơ phương

v







a

;1; 2



Giá trị a cho đường thẳng

d

1 cắt đường thẳng

d

2

A

a

 

1

B

a



2

C

a



0

D

a



1

Câu 197 (THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyzcho ba đường thẳng

: ,

1

x y z

d   



3

: ,

2 1

x y z

   2:

1

x y z

   Đường thẳng vng góc với

d

đồng thời cắt

 

1

,

2 tương ứng H K, cho độ dài HK nhỏ Biết  có vectơ phương



; ;1



u h k



Giá trị

h k



A

0.

B

4.

C

6.

D



2.

Câu 198 (THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng

2

:

1 2

4 2

x

t

d

y

t

z

t

 





 



  



:

1 2

x y z

d    

 Phương trình phương trình đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa d d đồng thời cách hai đường thẳng

A

3

x y z

 

 B

3 2

1 2

x y z

 



C

1 2

x y z

 

 D

3 2

1 2

x y z

 

Câu 199 (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN - 2018) Trong không gian Oxyz, cho bốn đường thẳng:

 

1

3 1

:

1

x y z

d     

 ,

 

2

1 :

1

x y z

d   

 ,

 

3

1 1

:

2 1

x y z

d      ,

 

4 : 1

1 1

x y z

d    

 Số đường thẳng không gian cắt bốn đường thẳng là:

A B C Vô số D

Câu 200 (CỤM TRƯỜNG CHUYÊN - ĐBSH - LẦN - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường

thẳng 1:

2

x y z

d    , 2

1

:

2

x

t

d

y

t

z

m

 





 



 



Gọi S tập tất số

m

cho

d

1

d

2 chéo

khoảng cách chúng

19 Tính tổng phần tử S

A 11 B 12 C 12 D 11 Dạng Một số toán liên quan đường thẳng với mặt cầu

Câu 201 (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ trục

Oxyz

cho hai đường thẳng

1

1

1

:

2

1

2

x



y



z









2

:

1

1

1

2

2

1

x



y



z









Tính diện tích mặt cầu có bán kính nhỏ nhất, đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng



1



2

A

16

17



(đvdt) B

4

17



(đvdt) C 16

17



(đvdt) D

4

17



(đvdt)

Câu 202 (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

hai đường thẳng 1

2

:

4

x

t

d

y

t

z











 



2

3

'

:

'

0

x

t

d

y

t

z

 









 



Viết phương trình mặt cầu

 

S

có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng

d

1

d

2

.

A

  

S : x2



2 



y1



2 



z2



2 4 B

  

S : x2



2 



y1



2 



z2



2 16 C

  

S : x2



2 



y1



2 (z2)2 4 D

  

S : x2



2 (y1)2 (z2)2 16

Câu 203 (KTNL GV THUẬN THÀNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz,cho mặt cầu

 

S

:

x

2



y

2



z

2



2

x



4

y



6

z



13



0

đường thẳng :

1 1

x y z

d      Điểm



; ;

 

,

0



M a b c

a



nằm đường thẳng

d

cho từ M kẻ ba tiếp tuyến MA MB MC, , đến mặt cầu

 

S

(A B C, , tiếp điểm)



AMB



60

0,

BMC





60

0,

CMA





120

0 Tính a3b3c3 A 3 173

9

a b c  B 3 112

9

a b c  C a3b3c3  8 D 3 23

9

a b c 

Dạng Một số toán liên quan điểm – mặt – đường – cầu Dạng 7.1 Bài tốn tìm điểm

Câu 204 (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho điểm I



1; 2; 3



mặt phẳng

 

P : 2x2y z 40 Mặt cầu tâm I tiếp xúc với

 

P điểm H Tìm tọa độ điểm H

Câu 205 Trong không gian

Oxyz

, biết mặt cầu

 

S có tâm O tiếp xúc với mặt phẳng

 

P :x2y2z90 điểm H a b c



; ;



Giá trị tổng abc

A

2

B 1 C D 2

Câu 206 (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

P

:

x



2

y



2

z

 

3

0

mặt cầu

 

S

tâm

I



5; 3;5





, bán kính

R



2 5

Từ điểm

A

thuộc mặt phẳng

 

P

kẻ đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu

 

S

B

Tính

OA

biết

4

AB



A

OA



11

B

OA



5

C

OA



3

D

OA



6

Câu 207 Trong không gian cho mặt cầu

x

2



y

2



z

2



9

điểm

M x y z



0

;

0

;

0



thuộc

1

:

1 2

2 3

x

t

d

y

t

z

t

 





 



  



Ba

điểm A, B,

C

phân biệt thuộc mặt cầu cho MA, MB,

MC

tiếp tuyến mặt cầu Biết mặt phẳng



ABC



qua

D



1;1; 2



Tổng T x02y02z02

A

30

B

26

C

20

D 21

Câu 208 (CHUYÊN KHTN LẦN NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho hai điểm



0; 0;3 ,





2; 0;1



A B  mặt phẳng

 



: 2xy2z 8 Hỏi có điểm Ctrên mặt phẳng

 



cho tam giác ABCđều?

A B C

0

D Vô số

Câu 209 (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

2 2

9

x



y



z



điểm

M x



0

; ;

y

0

z

0



thuộc đường thẳng

1

:

1

2 3

x

t

d

y

t

z

t

 





 



  



Ba điểm A, B,

C

phân

biệt thuộc mặt cầu cho MA, MB,

MC

tiếp tuyến mặt cầu Biết mặt phẳng



ABC



qua

D



1; 1; 2



Tổng T x02y02z02

A

30

B

26

C

20

D 21

Câu 210 (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S

x

2



y

2



z

2



2

x



2

z

 

1 0

đường thẳng

:

2

1

1

1

x

y

z

d









Hai mặt phẳng ( )P ,

(P) chứa d tiếp xúc với ( )S T , T



Tìm tọa độ trung điểm

H

TT



A 7; ;

6

H 

  B

5 ; ; 6

H  

  C

5 ; ; 6

H  

  D

5 ; ; 6

H 

 

Câu 211 (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hai đường thẳng

2

:

2 2

x

d

y

t

z

t

 









  





t



,

3

:

1 1

x y z

  

 mặt phẳng

 

P :xy  z Gọi

d



,





hình chiếu

d



lên mặt phẳng

 

P Gọi M a b c



; ;



giao điểm hai đường thẳng

d







Biểu thức

a



b c

.

bằng

A

4

B

5

C

3

D

6

,

Dạng 7.2 Bài tốn tìm mặt phẳng

Câu 212 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

  

S : x2



2



y3



2



z1



2 16 điểm

A



  

1; 1;



Xét điểm M thuộc

 

S

cho đường thẳng AM tiếp xúc với

 

S

.

M thuộc mặt phẳng cố định có phương trình

A

6

x



8

y



11 0



B

6

x



8

y



11 0



C

3

x



4

y

 

2

0

D

3

x



4

y

 

2

0

Câu 213 (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

  

S : x1



2



y1



2 



z2



2 2 hai đường thẳng :

1

x y z

d    

 ;

1 :

1 1

x y z

  

 Phương trình phương trình mặt phẳng tiếp xúc với

 

S

, song song với

d

? A y  z B

x

  

z

1 0

C xy 1 D

x z

  

1 0

Câu 214 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

  

S : x1



2



y2



2



z3



2 1, đường thẳng

6 2

:

3 2

x y z

  

 điểm

M



4;3;1



Trong mặt phẳng sau mặt phẳng qua M , song song với  tiếp xúc với mặt cầu

 

S

?

A 2x2y5z220 B 2xy2z130 C 2xy2z 1 D 2xy2z 7

Câu 215 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

  

S : x2



2



y3



2



z1



2 16 điểm

A



  

1; 1;



Xét điểm M thuộc

 

S

cho đường thẳng AM tiếp xúc với

 

S

.

M thuộc mặt phẳng cố định có phương trình

A

6

x



8

y



11 0



B

6

x



8

y



11 0



C

3

x



4

y

 

2

0

D

3

x



4

y

 

2

0

Câu 216 (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

  

S : x1



2



y1



2 



z2



2 2 hai đường thẳng :

1

x y z

d    

 ;

1 :

1 1

x y z

  

 Phương trình phương trình mặt phẳng tiếp xúc với

 

S

, song song với

d

? A y  z B

x

  

z

1 0

C xy 1 D

x z

  

1 0

Câu 217 (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ - NĂM 2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) chứa

đường thẳng : 4

3

x y z

d    

 tiếp xúc với mặt cầu

  











2 2

: 3

S x  y  z  Khi

 

P song song với mặt phẳng sau đây?

A 3x y 2z0 B



2x



2

y

  

z

4

0

C

x

  

y

z

0

D Đáp án khác

Câu 218 (CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

(

x



1)

2



y

2



(

z



2)

2



6

đồng thời song song với hai đường thẳng

1

2

:

3 1

x y z

d    

  ,

2

:

1 1

x y z

d    



A

2

3

0

2

9

0

x

y

z

x

y

z





 









 



B

2

3

0

2

9

0

x

y

z

x

y

z





 









 



C xy2z 9 D xy2z 9

Câu 219 (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian

Oxyz

,

cho điểm E



2;1;3



, mặt phẳng

 

P : 2x2y  z mặt cầu

  

S : x3



2



y2



2



z5



2 36 Gọi  đường thẳng qua E, nằm mặt phẳng

 

P cắt

 

S hai điểm có khoảng cách nhỏ Phương trình 

A

2 9

x t

y t

z t

   

      

B

2 3

x t

y t

z    

     

C

x t

y t

z    

     

D

2 3

x t

y t

z t

   

      

Câu 220 (ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu

 

S

1 ,

 

S

2 có phương trình

 

2 2

1

:

25

S

x



y



z



,

 





2

2

2 :

S x y  z 

Một đường thẳng

d

vng góc với véc tơ

u





1; 1;0







tiếp xúc với mặt cầu

 

S

2 cắt mặt cầu

 

S

1 theo đoạn thẳng có độ dài

8

Hỏi véc tơ sau véc tơ phương

d

?

A

u



1





1;1; 3



B

u



2





1;1; 6



C

u



3





1;1; 0



D

u



4





1;1;



3



Câu 221 (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M



3;3; 3



thuộc mặt phẳng

 



: 2x2y z 150 mặt cầu

  

S : x2



2



y3



2



z5



2 100 Đường thẳng  qua M , nằm mặt phẳng

 



cắt

 

S ,

A B cho độ dài AB lớn Viết phương trình đường thẳng 

A 3

1

x y z

  B 3

1

x y z

 

C 3

16 11 10

x y z

 

 D

3 3

5

x y z

 

Dạng 7.4 Bài tốn tìm mặt cầu

Câu 222 (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

A



4;6; 2





2; 2;0



B



mặt phẳng

 

P

:

x

  

y

z

0

Xét đường thẳng

d

thay đổi thuộc

 

P

qua B, gọi H hình chiếu vng góc A

d

Biết

d

thay đổi H thuộc đường trịn cố định Tính bán kính R đường trịn

A

R



3

B R2 C R1 D

R



6

Câu 223 (ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019) Trong không gian

Oxyz

mặt phẳng

 

P : 2x6y  z cắt trục Oz đường thẳng

:

5

6

1

2

1

x

y

z

d











A

B

Phương trình mặt cầu đường kính

AB

là:

A



x



2



2





y



1



2





z



5



2



36.

B



x



2



2





y



1



2





z



5



2



9.

C



x



2



2





y



1



2





z



5



2



9.

D



x



2



2





y



1



2





z



5



2



36.

Câu 224 Trong không gian

Oxyz

, cho mặt cầu

 

S

:

x

2



y

2



z

2



4

x



6

y m





0

(

m

tham số) đường thẳng

:

3

x t

y t

z t

       

   

A

m



5

B

m



12

C

m

 

12

D

m

 

10

Câu 225 (PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ - NĂM 2019) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

 

:

2 1

x y z

d     hai mặt phẳng

 

P

:

x



2

y



2

z



0

;

 

Q

:

x



2

y



3

z

 

5

0

Mặt cầu

 

S

có tâm I giao điểm đường thẳng

 

d

mặt phẳng

 

P

Mặt phẳng

 

Q

tiếp xúc với mặt cầu

 

S

Viết phương trình mặt cầu

 

S

A

  

S : x2



2



y4



2



z3



2 1 B

  

S : x2



2



y4



2



z3



2 6

C

  

: 2



2



4



2



3



2

7

S x  y  z  D

  

S : x2



2



y4



2



z4



2 8

Câu 226 (SGD - BÌNH DƯƠNG - HK - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

P

: 2

x



2

y

  

z

9

0

mặt cầu

  

S : x3



2



y2



2



z1



2 100 Mặt phẳng

 

P

cắt mặt cầu

 

S

theo đường tròn

 

C

Tìm tọa độ tâm K bán kính r đường tròn

 

C

A

K



3; 2;1





, r10 B

K





1; 2;3



, r8 C

K



1; 2;3





, r8 D

K



1; 2;3



, r6 Câu 227 (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho ba điểm A



2; 0; 0



,



0; 2; 0



B  , C



0; 0; 2



Gọi D điểm khác

O

cho DA, DB,

DC

đôi vng góc



; ;



I a b c tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

ABCD

Tính

S

  

a b c

A

S

 

4

B

S

 

1

C

S

 

2

D

S

 

3

Câu 228 (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

A



4;6; 2





2; 2;0



B



mặt phẳng

 

P

:

x

  

y

z

0

Xét đường thẳng

d

thay đổi thuộc

 

P

qua B, gọi H hình chiếu vng góc A

d

Biết

d

thay đổi H thuộc đường trịn cố định Tính bán kính R đường trịn

A

R



3

B R2 C R1 D

R



6

Câu 229 (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian

Oxyz

, cho

 

P :2xy2z 1 0,



0;0; ,





3;1; 2



A B Một mặt cầu

 

S qua

A B

,

tiếp xúc với

 

P C Biết rằng, C thuộc đường trịn cố định bán kính

r

Tính bán kính

r

của đường trịn

A Đáp án khác B

2 244651

3

r



C

2 244651

9

r



D

2024

3

r



Câu 230 (KTNL GV THUẬN THÀNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho hình chóp

S ABCD

.

với

S



1; 1;6





,

A



1; 2;3



,

B



3;1; 2



,

C



4; 2;3



,

D



2;3; 4



Gọi I tâm mặt cầu

 

S

ngoại tiếp hình chóp Tính khoảng cách

d

từ I đến mặt phẳng



SAD



A

3 3

2

d



B

6

2

d



C

21

2

d



D

3

2

d



Câu 231 (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm



1;1;1 ,





2;2;1



A

B

mặt phẳng

 

P :x y2z 0 Mặt cầu

 

S thay đổi qua

A B

,

tiếp xúc với

 

P

H

Biết

H

chạy đường trịn cố định Tìm bán kính đường trịn

A B C D

3

Câu 232 (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz, xét số thực

m





0;1



hai mặt phẳng

 



: 2

x

 

y

2

z



10



0

 

:

1

x y z

m m

   

 Biết rằng,

m

thay đổi có hai mặt cầu cố định tiếp xúc đồng thời với hai mặt phẳng

   



,



Tổng bán kính hai mặt cầu

A

6

B

3

C

9

D 12

Câu 233 (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho ba điểm A



2; 0; 0



,



0; 2; 0



B  , C



0; 0; 2



Gọi D điểm khác

O

cho DA, DB,

DC

đơi vng góc



; ;



I a b c tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

ABCD

Tính

S

  

a b c

A

S

 

4

B

S

 

1

C

S

 

2

D

S

 

3

Dạng 7.5 Bài toán cực trị

Câu 234 (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

P :x2y2z 3 mặt cầu

 

S :x2y2z22x4y2z 5 Giả sử M

 

P

 

N S cho



MN

phương với vectơ

u





1; 0;1



khoảng cách M

N

lớn Tính

.

MN

A

MN



3

B

MN

 

1 2

C

MN



3 2

D

MN



14

Câu 235 (SGD&ĐT ĐỒNG THÁP - HKII - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

  



2





2

:

S x  y z  có tâm I mặt phẳng

 

P

: 2

x



y



2

z

 

2

0

Tìm tọa độ điểm M thuộc

 

P

cho đoạn IM ngắn

A 1; 4;

3 3

 

  

 

  B

11 ; ;

9 9

 

  

 

  C



1; 2; 2





D



1; 2; 3

 



Câu 236 (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

P :x2y2z 3 mặt cầu

 

S :x2y2z22x4y2z 5 Giả sử M

 

P

 

N S cho



MN

phương với vectơ

u





1; 0;1



khoảng cách M

N

lớn Tính

.

MN

A

MN



3

B

MN

 

1 2

C

MN



3 2

D

MN



14

Câu 237 (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

P

:

x



2

y



2

z

 

3

0

mặt cầu

 

S

:

x

2



y

2



z

2



2

x



4

y



2

z

 

5

0

Giả sử

M



 

P

 

N



S

cho

MN



phương với vectơ

u







1; 0;1



khoảng cách M

N

lớn Tính

.

MN

A

MN



3

B

MN

 

1 2

C MN 3 D

MN



14

Câu 238 (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

2 2

( ) :

S

x



y



z



2

x



4

y



2

z

 

3

0

mặt phẳng ( ) : 2P xy2z140 Điểm M thay đổi

 

S

, điểm

N

thay đổi ( )P Độ dài nhỏ

MN

A B C

2 D

Câu 239 (ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho mặt cầu

 

S tâm



1; 2;1



I  ; bán kính R4 đường thẳng

:

1

1

2

2

1

x

y

z

d













Mặt phẳng

 

P chứa

d

cắt mặt cầu

 

S theo đường trịn có diện tích nhỏ Hỏi điểm sau điểm có khoảng cách đến mặt phẳng

 

P lớn

A O



0; 0; 0



B 1; ;3

A  

  C B



  1; 2; 3



D C



2;1; 0



Câu 240 (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng

 

P

:

y

 

1 0

, đường thẳng

1

:

2

1

x

d

y

t

z







 



 



hai điểm

A



 

1; 3;11



, 1; 0;8

B 

  Hai điểm M ,

N

thuộc mặt phẳng

 

P

cho

d M d



,





2

NA



2

NB

Tìm giá trị nhỏ đoạn

MN

A

MN

min



1

B

MN

min



2

C min

2

MN  D min

3

MN 

Câu 241 (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox ,yz cho mặt cầu

  

S : x1



2



y2



2



z1



2 9 hai điểm

A



4;3;1



,

B



3;1;3



; M điểm thay đổi

 

S

Gọi m n, giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức

P



2

MA

2



MB

2 Xác định



m n





.

A

64

B

68

C

60

D

48

Câu 242 (CHUYÊN KHTN LẦN NĂM 2018-2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm



8;5; 11 ,





5;3; ,





1; 2; 6



A



B



C



mặt cầu

  

S

:

x



2



2





y



4



2





z



1



2



9

Gọi điểm



; ;



M a b c

điểm

 

S

cho

MA MB

  





MC

đạt giá trị nhỏ Hãy tìm

a b



A

6

B C D

Câu 243 (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu





2





2

( ) :S x3  y1 z 4 đường thẳng

1 2

:

1

, (

)

x

t

d

y

t t

z

t

 





  





  





Mặt phẳng chứa

d

cắt ( )S

theo đường trịn có bán kính nhỏ có phương trình A y  z B x3y5z 2

C x2y 3 D 3x2y4z 8

Câu 244 (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (3; 2; 6), (0;1; 0)

A  B mặt cầu

( ) : (

S

x



1)

2



(

y



2)

2



(

z



3)

2



25

Mặt phẳng ( ) :P ax by cz 2 qua A, B cắt theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ Tính T a b c 

A T 3 B T 5 C T 2 D T 4

A

128

3



B 39



C

88

3



C

215

3



Lời giải Chọn B

Ta có tâm cầu

I



1; 2;3 ; R







4 3

Gọi

H

hình chiếu vng góc tâm cầu

I

lên mặt phẳng

 



Vậy chiều cao khối nón

 

N hd I P



,



IH IK,

K

hình chiếu vng góc

I

lên

AB

Gọi

 

Q mặt phẳng qua

I

vng góc với ta có

 

Q :x2z70

Phương trình :

x t

AB y

z t

  

 

    

vào

 

Q ta t 8 4t70 t

Tọa độ K



3; 0; 2



 IK 3

Bán kính khối nón

r



48



h

2

Vậy thể tích khối nón

1

2

.

1



48

2



.

1



48

2



.



0;3



3

3

3

V





r h







h

h







h

h

 

h

Khảo sát

V

ta tìm

V

max



39



Câu 246 (THPT YÊN PHONG SỐ BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm

A



1;0;0



,

B



3;2;0



, C



1;2; 4



Gọi

M

điểm thay đổi cho đường thẳng

MA

,

MB

,

MC

hợp với mặt phẳng



ABC



góc nhau;

N

điểm thay đổi nằm mặt cầu

  

 

 



2 2

:

3

2

3

2

S

x





y





z





Tính giá trị nhỏ độ dài đoạn

MN

A

3 2

2

B C

2

2 D

Câu 247 (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho mặt cầu

  

S

:

x



2



2





y



1



2





z



3



2



9

và hai điểm A



1 ; ; 3



, B



21 ; ; 13



Điểm



; ;



M a b c

thuộc mặt cầu

 

S cho

3

MA

2



MB

2 đạt giá trị nhỏ Khi giá trị biểu thức

.

T



a b c

A

3

B

8

C

6

D



18

Câu 248 (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian

Oxyz

cho đường thẳng

1

:

2

x y z

d      mặt cầu

 

S

:



x3



2



y4



2



z5



2 729 Cho biết điểm



2; 2; 7



A

  

, điểm B thuộc giao tuyến mặt cầu

 

S

mặt phẳng

 

P

: 2

x



3

y



4

z



107



0

Khi điểm M di động đường thẳng

d

giá trị nhỏ biểu thức MAMB

Câu 249 (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC - LẦN - 2018)Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

A



1; 2;



3



và mặt phẳng

 

P

: 2

x



2

y

  

z

9

0

Đường thẳng d qua

A

có vectơ phương

u







3; 4;



4



cắt

 

P

điểm

B

Điểm

M

thay đổi

 

P

cho

M

ln nhìn đoạn

AB

góc 90 Khi độ dài

MB

lớn nhất, đường thẳng

MB

qua điểm điểm sau?

A

J





3; 2; 7



B

K



3; 0;15



C

H



 

2; 1;3



D

I



 

1; 2;3



Câu 250 (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

P

:

x



y

  

z

1 0

, đường thẳng

 

: 15 22 37

1 2

x y z

d      mặt cầu

 

2

:

8

6

4

4

0

S

x



y



z



x



y



z

 

Một đường thẳng

 



thay đổi cắt mặt cầu

 

S

hai điểm ,

A B cho AB8 Gọi A, B hai điểm thuộc mặt phẳng

 

P

cho AA, BB song song với

 

d

Giá trị lớn biểu thức AABB

A 30 

B 24 18

5 

C 12 

D 16 60 

Câu 251 (SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU - 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

 

S

có tâm

I



1; 2;3



và có bán kính r2 Xét đường thẳng









1 :

1

x t

d y mt t

z m t

   

  



  



 ,

m

tham số thực Giả sử

   

P

,

Q

mặt phẳng chứa

d

tiếp xúc với

 

S

M N, Khi đoạn

MN

ngắn tính khoảng cách từ điểm

B



1; 0; 4



đến đường thẳng

d

A B

5 3

3

C

4 237

21

D

4 273

21

PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO Dạng Xác định VTCP

Câu Chọn C

2

:

1 2

3

x

t

d

y

t

z

t

 





 



  



có vectơ phương

u



4

 



1; 2;1



Câu Chọn C

Dựa vào phương trình đường thẳng suy vectơ phương

d

là

u







2; 5;3





Câu Chọn C

Ta có AB 



1; 0; 2



suy đường thẳng AB có VTCP b 



1; 0; 2



Câu Chọn B

Đường thẳng :

1

x y z

d     

 có vectơ phương

u

4





1; 1; 2







Câu Chọn D

Đường thẳng :

1

x y z

d     

 có vectơ phương

u

2





1; 3;







Ta thấy đường thẳng d có vectơ phương có tọa độ

u

2



(1; 2;3)





Câu Chọn B

Một vectơ phương

d

là:

u



 

( 1; 2;1)

Câu Chọn C

Câu 10 Chọn A

M

hình chiếu M lên trục OxM1



1; 0; 0



M

hình chiếu M lên trục OyM2



0; 2; 0



Khi đó:

M M



1 2

 



1; 2; 0



vectơ phương

M M

1 2 Câu 11 Ta có vectơ phương

d

u1 



1; 2; 3



2

u  u, u3  u1



vectơ u u 2, 3 vectơ phương

d

Không tồn số k để u4 k u.1 nên u4  



2; 4; 3



vectơ phương

d

Câu 12 Chọn C

Xét đường thẳng cho câu C, có vectơ phương



  

2; 1; 1



 



2;1;1



(thỏa đề bài) Câu 13 Đường thẳng d có véc tơ phương v



2;1; 2





; 2;



u a b làm véc tơ phương d suy

u



và

v



cùng phương nên

2

4

4

2

1

2

a

a

b

b









 





Câu 14 Cách 1: Từ phương trình  suy véctơ phương 



4; 6;9



12 1; 3;

u     

 

 Câu 15 Đường thẳng

d

có vectơ phương

u



3





2; 1; 2





Câu 16 Vectơ phương đường thẳng u



3; 2; 1 



 1



3; 2;1



nên u1  



3; 2;1



vectơ phương đường thẳng

Câu 17 Từ phương trình tắc đường thẳng d ta có vectơ phương ud 



2; 4;1





Câu 18 Từ phương trình tham số đường thẳng d, ta suy véc tơ phương đường thẳng d

(1; 0; 2)

u







Dạng Xác định phương trình đường thẳng Dạng 2.1 Xác định phương trình đường thẳng Câu 19 Chọn D

Do đường thẳng

1 2

:

3

2

x

t

d

y

t

z

t

 









   



qua điểm M(1; 0; 2) có véc tơ phương u(2; 3;1) nên có

phương trình tắc

1

2

.

2

3

1

x



y

z







Câu 20

MN



 



1; 3; 2



Đường thẳng MN qua N nhận

MN



 



1; 3; 2



làm vectơ phương có phương trình

1

3

1

3

2

x

y



z







Câu 21 Trục Oz qua gốc tọa độ

O



0;0;0



nhận vectơ đơn vị k 



0; 0;1





làm vectơ phương nên có

phương trình tham số

0

0

x

y

z

t











 



Câu 22 Theo lý thuyết dường thẳng khơng gian Oxyz, ta có phương trình tham số đường thẳng qua

điểm

M x y z



0

;

0

;

0



có véctơ phương

a







a a a

1

;

2

;

3







0

0

0

,

.

x

x

a t

y

y

a t

t

z

z

a t

















  





Do đó, đáp án D

Câu 23 Chọn B

Ta có:

EF





(3;1; 7)



Đường thẳng

EF

qua điểm E( 1; 0; 2) có VTCP

u

 



EF



(3;1; 7)



có phương trình:

1

2

3

1

7

x



y

z









Câu 24 Chọn B

Trục y Oy giao mặt phẳng



Oxy



và



yOz



nên có phương trình

0

0

x

y

t

z











 



Câu 25

a





4; 6; 2







2 2; 3;1









\

Do đường thẳng



có vectơ phương

u







2; 3;1





Vậy phương trình tham số



qua



2; 0; 1



M



có vectơ phương

u





2; 3;1







là:

2 2

3

1

x

t

y

t

z

t

 





 



   



Câu 26 Ta có

PQ







1; 2;3



Gọi d đường thẳng qua hai điểm P Q, Khi d có vec tơ phương

u

d



PQ





1; 2;3







Phương trình đường thẳng d qua điểm

P



1;1; 1





:

1

1

1

1

2

3

x

y

z

d











Câu 27 Ta có AB



4; 2; 4





Suy AB phương với u



 2; 1; 2





Phương trình đường thẳng

AB

qua

B



5; 4; 1





nhận u



 2; 1; 2



làm vectơ phương là:

 

5

,

2

x y z

 

  Do loại A, C.

Có tọa độ

C



  

1; 2; 3



khơng thỏa mãn phương trình

 

1

nên phương án B

Lại có tọa độ

D



3;3;1



thỏa mãn phương trình

 

1

nên phương trình đường thẳng

AB

viết

là: 3

2

x y z

 

 

Câu 28 Đường thẳng Oy qua điểm

A



0 ; ; 0



nhận vectơ đơn vị



j





0; 1; 0



làm vectơ phương nên

có phương trình tham số









0 0.

0

2 1.

2

0 0.

0

x

t

x

y

t t

y

t t

z

t

z

 











 





 









 









Câu 29 Chọn A

Đường thẳng

d

qua điểm M(1; 2; 3) nhận véc tơ

u







2; 1;1





nên có phương trình dạng tắc

1

2 1

x y z

 



Dạng 2.2 Xác định phương trình đường thẳng biết yếu tố vng góc Câu 30 Chọn B

Vectơ phương đường thẳng u



1; 3; 1



nên suy đáp án Ahoặc B Thử tọa độ điểm A



2; 3; 0



vào ta thấy đáp án Bthỏa mãn

Câu 31 Chọn C

Gọi  đường thẳng cần tìm

Gọi

M

  

Ox

Suy

M a



; 0; 0





1; 2; 3



AM



a

  



d

có VTCP:

u



d





2;1; 2





Vì

 

d

nên

AM u

.

d



0

 

2

a

2 6

0



   



a

 

1

Vậy  qua

M





1; 0;0



có VTCP



AM

   



2; 2; 3



 



2; 2;3



nên  có phương trình:

1 2

2

3

x

t

y

t

z

t

  









 



Câu 32 Chọn C

Đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng



BCD



nhận vectơ pháp tuyến



BCD



là vectơ phương

Ta có BC



2; 0; ,



BD



0; 1; 2



 





; 1; 4;

d BCD

u n BC BD

    

Khi ta loại đáp án A B

Thay điểm

A



1; 0; 2



vào phương trình phương án C ta có

1

0 4

2

t t

t t

t t

     

 

 

 

     

 

 

     

 

 

 

Suy đường thẳng có phương trình tham số phương án C qua điểm A nên C phương án Câu 33 Chọn D

Phương trình

1

1

1

3

:

3 2

2

x

t

d

y

t

z

t

 





 



   



2

2

2

5 3

:

1 2

2

x

t

d

y

t

z

t

 





  



  



Gọi đường thẳng cần tìm 

Giả sử đường thẳng  cắt đường thẳng

d

1

d

2 A, B Gọi

A



3



t

1

;3 ; 2



t

1

 

t

1



,

B



5 ; ; 2



t

2

 

t

2



t

2





2 3

2 1

; 2

2 ; 4

1 1



AB





t



t

 

t



t



t



t



Vectơ pháp tuyến

 

P

n







1; 2;3



Do



AB

n phương nên

2 3

2

4 2

2

2

1

4

1

2

3

t

t

t

t

t

t





 







2

2

2 3

4 2

2

1

2

4 2

2

4

2

3

t

t

t

t

t

t

t

t





 











 

 















1

2

1

t

t





 





Do

A



1; 1;0





,

B



2; 1;3





Phương trình đường thẳng  qua

A



1; 1;0





có vectơ phương

n







1; 2;3



1

1

1

2

3

x



y



z





Câu 34 Chọn A









1; 2;2

0; 1;3

AB

AD















4; 3; 1



AB



AD

   

 

Đường thẳng qua

C



2; 1;3





vng góc với mặt phẳng



ABD



có phương trình

2

4

1 3

3

x

t

y

t

z

t

 





  



  



Điểm

E



 

2; 4;2



thuộc đường thẳng trên, suy đường thẳng cần tìm trùng với đường thẳng có

phương trình

2 4

4 3

2

x

t

y

t

z

t

  





  



  



Chọn đáp án đáp án C Câu 35 Chọn C

Ta có



AB

 



1;3;1



;



AC





1; 1; 0





;  





,







 



ABC

n

AB AC





1;1; 2





Đường thẳng qua

D

và vng góc với mặt phẳng



ABC



nên có véc tơ phương là

n



ABC





1;1; 2





, phương trình tham số là:

1

3

x t

y t

z t

   

  

    

Câu 36 Chọn A

Gọi đường thẳng cần tìm 

1

:

1 2

x y z

d     

 có VTCP

u





1; 2; 2







Gọi

M



0; ;0

m





Oy

, ta có



AM

 



2;

m

 

1; 3



Do

 

d



 

AM u

.



0

  

2 2



m



1



 

6

0



m

 

3

Ta có  có VTCP



AM

  



2; 4; 3





nên có phương trình

2

3

4

3

x

t

y

t

z

t







  



 



Câu 37 Chọn B

Gọi d đường thẳng qua

A

vng góc với



BCD



.

Mặt phẳng



BCD



có vec tơ pháp tuyến

n

BCD





BD BC

,







3; 2;











 

Gọi

u

d



vec tơ phương đường thẳng

d

Vì

d





BCD



nên

u

d



n

BCD





3; 2; 1





 

Đáp A C có VTCP

u



d





3; 2; 1





nên loại B D

Ta thấy điểm

A



0; 0; 2



thuộc đáp án C nên loại A Câu 38

Lời giải Chọn D

Cách 1:

Đường thẳng : 1

1

 

 

x y z

d có véc tơ chỉ phương

u







1;1; 2



Gọi

 

P

là mặt phẳng qua điểm Avà vuông góc với đường thẳng

d

, nên nhận véc tơ chỉ phương của

d

là vecto pháp tuyến

  

P

:1

x



1



 

y

2



z



2



   

0

x

y

2

z

 

5

0

Gọi Blà giao điểm của mặt phẳng

 

P

và đường thẳng

d



B



1



t t

; ; 2

 

t



Vì

B



 

P





1



t



 

t

2



 

1 2

t



 

5

0

  

t

1

B



2;1;1



Ta có đường thẳng  qua A và nhận vecto



AB





1;1; 1





là véc tơ chỉ phương có dạng

1

:

1 1

 

  



x y z

Cách 2:

Gọi

d

  

B



B



1



t t

; ; 2

 

t





; ; 2





 



AB

t t

t

, Đường thẳng

d

có VTCP

u



d





1;1; 2



Vì

d

 

nên



AB



u



d



 

AB u

.

d



0

  

t

t

2



 

3 2

t





0

 

t

1

Suy



AB





1;1; 1





.Ta có đường thẳng  qua

A



1; 0; 2



và nhận véc tơ



AB





1;1; 1





là véc tơ chỉ phương có dạng :

1 1

 

  



x y z

Câu 39 Chọn D

Ta có:





OA OB

 

;

 





4; 8;8





Gọi d đường thẳng thỏa mãn d có VTCP

u







1; 2; 2





Ta có

OA



3,

OB



4,

AB



5

Gọi

I x y z

( ; ; )

tâm đường tròn nội tiếp tam giác O AB

Áp dụng hệ thức

OB IA OA IB

.





.





AB IO

.

 



0









1

4.( ) 3.( ) 0;1;1

12

OA OI OB OI IO OI OA OB I

           

Suy : 2

x t

d y t

z t

  

      

cho t  1 d qua điểm

M

( 1;3; 1)





Do d qua

M

( 1;3; 1)





có VTCP

u



(1; 2;2)





nên đường thẳng có phương trình

1

1 2

x y z

 

d

:

1 2

2 2

x

t

y

t

z

t

  





 



   



Gọi đường thẳng nằm ( )P vng góc với

d

;

( 1; 4;3)

d P

u











u n

 





 

Gọi A giao điểm

d

và ( )P Tọa độ A nghiệm phương trình:

( )  t  ( t)  ( 2 t) 1 0 t 2 A(3; 2; 2)

Phương trình  qua A(3; 2; 2) có vtcp

u





 

( 1; 4;3)

có dạng:

3

2 4

2 3

x

t

y

t

z

t

 





  



  



Câu 41 Chọn D

+) VTCP

 

,



u 



3; 2;1



v



1; 3; 2



; u v ,   



7; 7; 7



+) Vì

d

vng góc với   nên ud  



1;1;1



+)

d

qua M



1;1; 3



nên

    

      

1

:

3

x t

d y t

z t

Câu 42 Chọn D

Ta có : 1

1

x y z

  

:

1 2

1

x

t

y

t

z

t







 



  

  



Gọi

M

  

 

P



M

  

M t t



; 2



1;

t



1



 

2 2



1

 

1



3

0

M



P

 

t

t





t



 



4 4



t



0

 

t

1



M



1;1; 2



Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng

 

P

n







1; 2; 1

 



Véc tơ phương đường thẳng 

u







1; 2;1



Đường thẳng

d

nằm mặt phẳng

 

P

đồng thời cắt vng góc với 



Đường thẳng

d

nhận ,



0; 1; 2



n u

   

 

 

làm véc tơ phương và

M



1;1; 2





d



Phương trình đường thẳng

1

:

1

2

2

x

d

y

t

z

t







 



  



Câu 43 Chọn C

Tọa độ giao điểm d1

 

P A



4; 1; 2



Mặt phẳng cần tìm qua A nhận u2



2; 1; 2



làm VTCP có phương trình

2

x y

 

2

z



13 0.



Câu 44 Chọn A

Gọi VTCP đường thẳng cần tìm

a







a a a

1

;

2

;

3



với

a

12



a

22



a

32



0

Đường thẳng vng góc với

 



a phương n

1

1

2

a

a

a









Đường thẳng

d

vng góc với mặt phẳng tọa độ



Oxy



nên nhận

k







0; 0;1



làm vectơ phương Mặt khác

d

qua

A



1;1;1



nên:



Đường thẳng

d

có phương trình là:

1

1

1

x

y

z

t











  



Câu 46

Lời giải Chọn B

Mặt phẳng

 

P

có VTPT

n







1; 3; 2





Vì d vng góc với

 

P

nên d nhận

n







1; 3; 2





VTCP

Đường thẳng d qua M nhận

n







1; 3; 2





VTCP có phương trình:

1

x y z

 



Câu 47 Gọi

d

đường thẳng qua

A

d

cắt d2

K

Khi

K



2

  

t

;

1

t

; 1



t



Ta có AK  



1 t; t t; 2



Đường AKd1 AK u 10, với

u



1





1; 4;



2



vectơ phương d1 Do

1

      

t

4

t

2

t

4

0

t

1

, suy AK



2; 1; 1



Vậy phương trình đường thẳng

:

1

1

3

2

1

1

x

y

z

d















Câu 48 Gọi giao điểm



d B t



1; ; 2t t1



Khi

u

 





AB





t t

, , 2

t



3



Vì đường thẳng



vng góc với đường thẳng d có

u

d





1,1, 2





thì:









2 2

3

0

1

1,1, 1

t

 

t

t





  

t

u









Phương trình đường thẳng



thỏa mãn u cầu tốn

:

2

1

1

1

1

1

x



y



z











Câu 49 Đường thẳng

d

có vectơ phương u



1; 2;3





Gọi



đường thẳng qua

M

, vng góc với

d

cắt

Oz

Gọi

N



0;0;

t



  

Oz

MN  



1;0;t1





d MN u

   

  4

3 t

  1;0;1

3

MN  

   

 



Khi MN phương với u1 



3;0;1





Đường thẳng



qua điểm

M



1; 0;1



có vectơ phương





3; 0;1



nên có phương Câu 50 Chọn B

Do  nằm nằm

 

P

vuông góc với d nên  có véctơ phương  P

,

d



4; 5; 7



u







n

u





 







 

Gọi A  d

A



 

P



d



A



1; 0; 3





Vậy phương trình tham số 

1 4

0 5

3 7

x

t

y

t

z

t

 





 



   



hay

3 4

5 5

4 7

x

t

y

t

z

t

  





 



  



2

2

1

1

:

1

1

1

x

y

z

d













nên phương trình tham số





2

:

1

x t

d y t t

z t

   

    

   

 Gọi đường thẳng

d

cắt đường thẳng

d

2

M



2

  

t

; 1

t

;1



t



Ta có:



AM





1

 

t

;

t t

;



2



Đường thẳng

d

qua A M; nên vectơ phương

u

d





1

 

t

;

t t

;



2





Theo đề

d

vng góc

d

1



u

d



u

d1



u u

d

.

d1



0



1 1





t





4

 

 

t

2



t



2





0

 

t

1





 



2; 1; 1



d

u







 

Phương trình đường thẳng

d

qua

A



1; 1;3





có

u

d





2; 1; 1

 





có dạng:

1

2 1

x y z

 

 

Câu 52

n

P





1 2

;



;



,





2 3

; ;



d

u







, Gọi I d

 

P , Id I



2 3t; t;23t



 

I P 2t



3t



2 2



3t



60  t 1 I



2 5; ;



Gọi  đường thẳng cần tìm

Theo giả thiết d

P

u u

u n





 

 

  

 

  u n uP, d



1 3; ;



 

  

Và đường thẳng  qua điểm I Vậy :

2

2

5

.

1

7

3











x

y

z

Câu 53 Gọi  đường thẳng cần tìm

d

M

 



nên

M



 

3 ; 2

t

   

t

; 4

t



d

N

 



nên

N



 

1 ; ; 3

u

 

u



u





2 3

2 ;1 2

; 3

4



MN





u



t



u t





u



t



Ta có

MN



phương với n P

Nên 2 4

1

u t u t u t

     

  ta giải hệ phương trình tìm

2

1

u

t

 





 



Khi tọa độ điểm

M



 

5; 1; 2



VTCP

MN



   



2; 6



 

2 1; 2;3





Phương trình tham số 

1

x y z

 

Dạng 2.3 Xác định phương trình đường thẳng biết yếu tố song song Câu 54 Chọn C

Đường thẳng  qua A song song

BC

nhận

BC



 



2;1;1



làm vectơ phương



Phương trình tắc đường thẳng :

2 1

x y z

 



Chú ý: Đáp án A khơng nhận được, phương trình tham số đường thẳng cần tìm, khơng phải phương trình tắc.

Ta có  





 





1;1;1

1; 1;1

P

Q

n

n

























n



 P

,

n



 Q

 





2; 0; 2





Vì đường thẳng

d

song song với hai mặt phẳng

 

P

 

Q

, nên

d

có véctơ phương

u







1;0; 1





Đường thẳng

d

qua

A



1; 2;3





nên có phương trình:

1

2

3

x

t

y

z

t

 





 



  



Câu 56 Chọn B

Trung điểm AB I



0;1; 1















2

2

3

:

1

1

2

y

x

z

d

có VTCP









1; 1; 2

u

nên đường thẳng  cần tìm có VTCP









1; 1; 2

u

Suy phương trình đường thẳng













1

1

:

.

1

1

2

y

x

x

Câu 57 Ta có

u

d



(3; 5; 1)







véc tơ phương

d





( )P

2;0;1

n





véc tơ pháp tuyến

 

P

 





,

5; 5;10

d p

u n



   







Do  vng góc với

d

song song với

 

P nên

u





1;1; 2







là véctơ phương  Khi đó, phương trình 

1

x y z

 

 Câu 58 Chọn A





1

3 ;1

; 1

A d





A

a



a

 

a

;

B



d

2



B



2



b

;1 ; 3



b

 

b





2

3 ; 2

;

2



AB



 

b

a



b



a b

 

a



;

n



P





2; 1; 2





Do

AB

//

 

P

nên

3

P

AB n  a b

 

Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB

3 2

; ;

2 2

a b b a a b

I        

  hay

3

1 ;1 ;

2 6

I  b  b   b

 

Suy tập hợp trung điểm đoạn thẳng AB đường thẳng có vectơ phương



9;8; 5



u



 



Câu 59 Gọi n P 



3; 2; 3



vectơ pháp tuyến mặt phẳng

 

P

Đường thẳng d qua điểm

M



2; 4;1









có vectơ phương

u



d





3; 2; 2









Giả sử  d M nên

M



2 ; ;1 2



t

 

t



t



vectơ phương đường thẳng 



3

1; 2

6; 2

5



u

 





AM



t

 

t



t



Ta có AM n P  AM n  P 0 nên 3



1



2



6



2



5



t   t  t   t

Suy 11; 54 47;

7 7

AM   

 



Chọn vectơ phương đường thẳng  có tọa độ



11; 54; 47









phương trình đường thẳng cần tìm

3 11

2 54

4 47

x

t

y

t

z

t

 





 



   



Dạng 2.4 Xác định số phương trình đường thẳng đặc biệt (phân giác, trung tuyến…) Câu 60 Chọn B

Ta có điểm

A



1; 3;5





thuộc đường thẳng

d

, nên

A



1; 3;5





giao điểm

d

 Một vectơ phương đường thẳng

d

v







3; 0; 4





Ta xét:

1



 



u u

u





1

1; 2;

  2; ;

3 3

 

  

 

;

1



 



v v

v





1

3; 0;

   3; 0;

5

 

   

 

Nhận thấy

u v

 

1

.

1



0

, nên góc tạo hai vectơ 1



u

, 1



v

góc nhọn tạo

d

 Ta có

w

  



u

1



v

1 10; ; 22

15 15 15

 

   

 





15

2; 5;11

   vectơ phương đường phân giác góc nhọn tạo

d

 hay đường phân giác góc nhọn tạo

d

 có vectơ phương





1

w  2; 5;11 

Do có phương trình:

1 2

2 5

6 11

  





 



   



x

t

y

t

z

t

Câu 61 Chọn B

Phương trình

1

'

:

1 '

1 '

x

t

y

t

z

t

 









 

  



Gọi

M



1



t

';1 ';1 '



t



t



 

cho AM  AI Khi

5

'

3

3 '

5

5

'

3

t

t

t









 

  



Với '

t  8; 13;

3 3

M 

   

 

5 10 10 15

; ;

3 3

AM AM

   

   

 

Khi cos  900

3

IAM   IAM 



trường hợp



d

;

 



90

0 ( loại) Với '

3

t   13; ;

3 3

N  

  

 

5 10 10 15

; ;

3 3

AN AN

  

     

 

Khi cos  900

IAN  IAM 



trường hợp



d

;

 



90

0(thỏa mãn) Gọi H trung điểm 14; ; 1



2;11; 5



3 3

NI H  AH  

 

Khi đường phân giác góc nhọn tạo

d

 qua 14; ; 3

H  

 

A



1;1;1



và nhận làm

u







2;11; 5





VTCP



phương trình phân giác

1 2

10 11

6 5

x

t

y

t

z

t

  





 





  



Câu 62 Chọn B

Ad 

Phương trình tham số đường thẳng

1

: 1

1

x t

y t

z t

       

   

Chọn điểm

B





1; 2;3



 

,

AB



3

Gọi Cd thỏa mãn AC AB 14 17; ;1 5

C 

  

 

4; 7;1

5

C  

 

Kiểm tra điểm 4; 7;1

5

C  

  thỏa mãn BAC góc nhọn Trung điểm BC ; ;

10 10

I 

 .Đường phân giác cần tìm

AI

có vectơ phương



19; 7; 10



u







có phương trình

1 19 10

x t

y t

z t

   

      

Tọa độ điểm đáp án B thuộc

AI

Câu 63 Chọn C

Đường thẳng d qua

A

(1; 2;3)

có VTCP

a





(1;1;0)

Ta có

a u

.

1.0 1.( 7) 0.( 1)

7

0

( , )

a u

90













   



 

 

Đường phân giác góc nhọn tạo d



có VTCP:

1



5;12;1 // 5;12;1

 



5 2

u

a

b

u

a

 











Phương trình đường thẳng cần tìm

4 10 12

x t

y t

z t

   



   

    Câu 64 Chọn A

Gọi M x y z



; ;



trung điểm BC Khi M



1; 1;3



Ta có AM vtcpu



2; 4;1



PTĐT :

2

x y z

AM     



Câu 65 Gọi

B



0; ; 0

b



giao điểm d với trục Oy (Điều kiện b0)

Ta có OA2 tam giác OAB vuông O nên

1

.

1

1

2

OAB

S





OA OB

 

OB



Suy

B



0; 1; 0





Ta có



AB

  



2; 1; 0



vec tơ phương d Và đường thẳng d qua điểm

A



2;0;0



nên

2 2

0

x

t

y

t

z

 





 



 



Câu 66 Chọn A

Ta có:

4 3

4

64 16 64

9 9

3

2 x

4

3 12

2

4

12

3

1

7

4

OA

EA EB EB EB BE

OB

x

x

y y y

z

z z

 

      

 

   

    

  

 

 

   

      

 

 

   



  

   



 



12 12

0; ; (0;1;1)

7

7

O

:

0

:

OE

u

qua

VTCP u

x

y

t

z

t

























































Câu 67 Bd1B



4  t; t;62t



PT tham số 2

5

: 11

5

x s

d y s

z s

   

 

    





2 ;11 s;5

Cd C  s   s Khi đó:

AB



(1

  

t

; 1

t t

;2



1);

AC



(2s;4s 14;2s)







Do

A B C

, ,

thẳng hàng





AB AC

,

phương   k :ABk AC

1

2

2

1

4

14

3

2

1

2

1

2

t

ks

t

t

ks

k

s

t

ks

k





 

 







   









 



 





 



Do đó:

1

1

.

2

2

AB

AB

AC

AC











Câu 68 Điểm

B

thuộc mặt

( )

P

nên B



2c b 1; ;b c



M



1; 2; 3



trung điểm BC nên



3 ; ;6



C  cb b c Do C thuộc mặt

(Q)

nên 3c c 70c3b7 Khi

(5

15; ;3

7)

B b



b b



,

C

( 5



b



17;4



b

;13 )



b



BC

( 10



b



32; 2



b



4; 6



b



20)

ABC cân

A

nên

BC AM

 

.



0



20

b



60



0

  

b

3

B

(0;3;2)

Đường thẳng



qua

M

(1;2;3)

B

(0;3;2)

có phương trình

1

2

3

1

1

1

x



y



z









Câu 69 Chọn C

Ta có



AB





1;



1; 2





AC





2; 2;



4



Gọi M trung điểm

AC

, ta có

M



3; 2;



2



,



AM





1; 1;



2



Do ABM cân A Gọi K điểm thỏa mãn

  

AK



AM



AB





2; 0; 0



Khi AK tia phân giác góc



BAC

Vậy phương trình đường phân giác góc



BAC

2

1 ,

0

x

t

y

t

z

 



















K

C M

Câu 70

Ta có

1 2

1

2

:

2

1

1

2

x

t

x

y

z

d

y

t

z

t

  



















  



Do

M



d

M



 1 ; ; 2t t t



Vì A



1; 1; 2



trung điểm

MN

 N



3 ; 2 t  t; 2t



Mặt khác N

 

P  3 2t  2 t 2



t



 5  t 2M



3; 2; 4



AM 



2; 3; 2



là vectơ phương 

Câu 71 Ta có



AB





0; 0; 4





 

4 0; 0;1





Hay AB có véc-tơ phương

k







0; 0;1



Mặt phẳng



ABCD



có véc-tơ pháp tuyến:



OA OB

;

 



0; 4; 0





4 0;1; 0









 

, hay



j





0;1; 0



véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng



ABCD



Vì





AD AB

AD ABCD

   

  

nên

AD

k

AD

j























Đường thẳng AD có véc-tơ phương



j k

;

 



1; 0; 0







 

Phương trình đường thẳng AD là:

1

0

1

x

t

y

z

 









 



Do

D



1



t

; 0;1



Mặt khác

0

2



1 1



2

4

4

4

t

AD

AB

t

t

















 

 



Vì điểm D có hồnh độ âm nên

D





3; 0;1



Vì tâm I hình vng ABCD trung điểm BD, nên

I

 



1; 0; 1





Đường thẳng d trục đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD có véc-tơ pháp tuyến



j





0;1; 0



, nên phương trình đường thẳng d là:

1

:

1

x

d

y

t

z

 









  



Câu 72 Nhận thấy

A





1; 2; 1





giao điểm



1và



2



có VTCP

u



1





1; 2;3



2



có VTCP

u



2





1; 2; 3













1

;

12; 6; 0

6 2; 1; 0

u u



  

 







 

Phương trình mặt phẳng

 

P

: 2xy40 Gọi

u







a b c

; ;



VTCP

d

cần tìm

d



P

M

Ta có

d

nằm mặt phẳng

 

P

chứa hai đường thẳng



1,



2



u









 

u u

1

;

2





2

a b

0



 

 

b

2

a

Lại có

d

phân giác



1,



2



1





2



cos

d

,

cos

d

,









2 2 2

2 3

14 14

a

b

c

a

b

c

a

b

c

a

b

c





















2

3

2

3

2

3

2

3

a

b

c

a

b

c

a

b

c

a

b

c













 





  





 

 

0

1

2

0

2

c

a

b





 







Xét

 

1

,

c



0

,

b



2

a



u







a a

, , 0

 



1; 2; 0



1

:

2 ,

1

x

t

d

y

t t

z

  









 



  









1.1 2.2 70

cos

;

14

14 5

d









 



1

;

d





53 18'



Xét

 

2

:

2

0

0

2

a

b

a

b

b

a



























0; 0;

0; 0;1

u

c

c









1

:

2

,

1

x

d

y

t

z

t

 













   









3

3

cos

,

14.1

14

d









 



1

,

d





36 42 '



Do

d

đường phân giác góc nhọn nên





1

,

d





45



Vậy đường thẳng

d

cần tìm

1

:

2

,

1

x

d

y

t

z

t

 











   





Nhận xét: Có thể làm đơn giản cách: ta thấy

u



1





1; 2;3



;

u



2





1; 2; 3





hai véc tơ có độ dài

 

u u

1

.

2



0





u u

 

1

,

2





90



Vậy



u

 

1



u

2



véc tơ phương d

Câu 73 Ta có:



AB





1;3; 0



;



BC

  



4; 2; 2



,



AC

 



3;1; 2



2

10

AB





,

BC

2



24

,

AC

2



14

 ABC vng A

Tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác trung điểm BC I



0; 2; 0



Đường thẳng d cần tìm qua I



0; 2; 0



nhận vectơ ,

2

u AB AC

 

  



3; 1;5



  làm véc tơ phương Phương trình tắc đường thẳng d là:

3

x y z

 

Câu 74

Ta có tứ giác BOKC tứ giác nội tiếp đường trịn ( có hai góc vng K, O nhìn BC góc vng) suy OKB OCB

 

1

Ta có tứ giác KDHC tứ giác nội tiếp đường trịn ( có hai góc vng K, H nhìn DC góc vng) suy DKHOCB

 

2

Từ

 

1

 

2

suy



DKH



OKB



BK đường phân giác góc

OKH



AC đường phân giác ngồi góc

OKH



Tương tự ta chứng minh OC đường phân giác góc



KOH

AB đường phân giác ngồi góc

KOH



Ta có OK 4; OH 3; KH 5

Gọi I , J chân đường phân giác ngồi góc

OKH





KOH

Ta có I ACHO ta có

5

IO KO

IH  KH 

4

IO IH

 



I



 

8; 8; 4





Ta có J  ABKH ta có

3

JK OK

JH OH 





4

16; 4;

JK JH J

   Đường thẳng IK qua I nhận 16 28 20; ; 4



4; 7;5



3 3

IK  

 



làm vec tơ phương có phương trình





8 4

:

8 7

4 5

x

t

IK

y

t

z

t

  





  



Đường thẳng OJ qua O nhận

OJ







16; 4; 4







4 4;1; 1







làm vec tơ phương có phương trình





4

:

x

t

OJ

y

t

z

t

















 





Khi AIKOJ, giải hệ ta tìm

A



 

4; 1;1



Ta có



IA





4; 7;5



IJ







24;12; 0



, ta tính



IA IJ

,

  



60;120; 120





 

60 1; 2; 2











 

Khi đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng



ABC



có véc tơ phương

u







1; 2; 2





nên có phương trình 1

1 2

x y z

 



Nhận xét:

Mấu chốt toán chứng minh trực tâm D tam giác ABC tâm đường trịn nội tiếp tam giác OHK Khi đó, ta tìm tọa độ điểm D dựa vào tính chất quen thuộc sau: “Cho tam giác ABC với I tâm đường trịn nội tiếp, ta có

a IA b IB c IC

.





.





.

 



0

, với aBC, bCA, c AB” Sau tìm

D, ta tìm A với ý ADH OADA

Ta tìm tọa độ điểm A cách chứng minh A tâm đường trịn bàng tiếp góc H tam giác OHK Khi đó, ta tìm tọa độ điểm D dựa vào tính chất quen thuộc sau: “Cho tam giác ABC với J tâm đường tròn bàng tiếp góc A, ta có



a JA b JB c JC

.





.





.

 



0

, với aBC, bCA, c AB ”

Câu 75 Phương trình tham số đường phân giác góc C

2 2

:

4

2

x

t

CD

y

t

z

t

 





 



  



Gọi

C





2 ; 4



t



t

; 2



t



, suy tọa độ trung điểm M AC ;7 ;5

2

t t

M  t   

  Vì

MBM nên:





7

3

2

3

2

2

1

2

1

t

t

t













































1 1

1

1

t t t

t

  

    

 

Do

C





4;3;1



Phương trình mặt phẳng

 

P

qua A vng góc CD













2.

x



2



1.

y



3



1.

z



3



0

hay 2x   y z Tọa độ giao điểm H

 

P

CD nghiệm



x y z

; ;



hệ

2 2

4

2

2

2

0

x

t

y

t

z

t

x

y

z

 





 





 





   





 

 



2

2 2 2

x t

y t

z t

t t t

        

  

       



2

4

2

0

x

y

z

t











 





 





2; 4; 2



H



Gọi A điểm đối xứng với A qua đường phân giác CD, suy H trung điểm AA, vậy:

2

2.2 2

2

2

2.4 3

5

2

2.2 1

A H A

A H A

A H A

x

x

x

y

y

y

x

z

z













 











 











 





2;5;1



A



Do A BC nên đường thẳng BC có véc-tơ phương

CA



  



2; 2; 0





2





1;1; 0



, nên phương trình đường thẳng BC

4

3

1

x

t

y

t

z

 





 



 



Vì BBM BC nên tọa độ B nghiệm



x y z

; ;



hệ

2

5

1

3

2

1

x t

x

y t

y z

z

x y

t  



    



 

 



  



 

 

    

  



2;5;1



B

A







Đường thẳng AB có véc-tơ phương



AB





0; 2; 2







2 0;1; 1







; hay

u

4





0;1; 1







véc-tơ phương đường thẳng AB

Dạng Một số toán liên quan điểm với đường thẳng

Dạng 3.1 Bài tốn liên quan điểm (hình chiếu) thuộc đường, khoảng cách Câu 76 Chọn A

Cách Dựa vào lý thuyết: Nếu

d

qua

M x y



0

;

0

; z

0



, có véc tơ phương



; ;





u a b c phương trình

đường thẳng

d

là:

0 0

x

x

at

y

y

bt

z

z

ct















  



, ta chọn đáp án

B

Cách Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng

d

, ta có:

1 1

0

2

5

3

5

2 3

1

t

t

t

t

t

t

 











 



 







 









(Vô lý) Loại đáp án A

Thay tọa độ điểm

N

vào phương trình đường thẳng

d

, ta có:

1 1

5

5

0

2

2 3

t

t

t

t

 





 

 



  



Nhận đáp án B

Câu 77 Chọn B

Đường thằng : 2

1

x y z

d      qua điểm





2;1; 2





Câu 78 Chọn A

Ta thấy với

t



0

ta

M



2; 1; 0







d

Câu 79 Chọn C

Câu 80 Với

t

 

2

, ta có





 





1 2

3

1

x y z

     



    



    

Vậy

M





3;5;3





d

Câu 81 Chọn A

Ta có :

M



d

nên  t :M



1t; 2t; 2 t



.Đk :1 1

 

*

t t 

2 28

MA MB 

 

t



t



2



1 2t



2



t



2

 

t



2 2t



2 28

              

2

12t 2t 10

   

 





1

5

/

6

t

L

t

T m

 





  



Với

t  , ta có 7; ; 6

M  

 

Câu 82 Thay tọa độ

K



1; 1;1





vào PTTS

d

ta

1

1 :

1

t t

t t

t t

 

 

 

    

 

     

 

khơng tồn t

Do đó,

K



d

.

Thay tọa độ

E



1;1; 2



vào PTTS

d

ta

1

1 :

2

t t

t t

t t

 

 

 

   

 

    

 

khơng tồn t

Do đó,

E d



.

Thay tọa độ

H



1; 2;0



vào PTTS

d

ta

1

1 :

0 2

t t

t t

t t

 

 

 

    

 

     

 

không tồn t

Do đó,

H



d

.

Thay tọa độ

F



0;1; 2



vào PTTS

d

ta

0

1 0

2

t t

t t t

t t

 

 

 

     

 

    

 

Câu 83 Xét điểm N



1; 1; 2



ta có 1 1 2

2

   

 

 nên điểm

N



1; 1; 2

 



thuộc đường thẳng cho Câu 84 Phương trình tham số đường thẳng 1





1

:

5

2

 











  





x

t

d

y

t

t

z

t

, với vectơ phương

u







1;1; 2





Giả sử đường thẳng

d

cắt đường thẳng

d

1 B Khi

B



1



t t

; ;5 2



t





; ;3 2









AB

t t

t

Vì đường thẳng

d

vng góc với đường thẳng

d

1 nên

AB



d

1



 

AB u

.



0



3 2

 

2

0

1

  

t

t



t





 

t

Khi

B



2;1;3



Phương trình đường thẳng

d

qua

A



1;0; 2



và có vectơ phương



AB





1;1;1



là:

1

1 1

 

 

x y z

Nhận thấy

Q



0; 1;1







d

Với





0 1; 5;

2   

    

  

x

t y N d

z

Câu 86 Đáp án A nhầm vectơ phương Đáp án B nhầm dấu tọa độ điểm Đáp án D nhầm vectơ phương Câu 87 Chọn D

Đường thẳng

:

1

2

3

3

4

5















x

y

z

d

qua điểm A



1; 2;3



Câu 88 Xét đáp án A Thay tọa độ điểm

A



3; 2;1





vào phương trình đường thẳng ta

0 0

1 1 Suy đường thẳng

3

1

x y z

  qua điểm

A



3; 2;1





Câu 89 Chọn C

Với





1

0 1; 5;

2   

    

  

x

t y N d

z

Câu 90 Thay tọa độ điểm P



7 ; ;1



vào phương trình đường thẳng d ta có 2

3

  

 

 nên điểm



7 ; 2;1



P d

Câu 91 Đường thẳng



có vtcp u 



1; ; 3



và có phương trình tham số là:

2





3

x

t

y

t

t

z

t













 





Gọi

N t



; ;3

t

t



 

hình chiếu vng góc

M

lên



, đó:

2

( 1) (2 0).2 (3 1).3 14 ; ;

7 7

MN u  t  t  t   t   t N 

 

  Câu 92 Chọn B

Gọi

H

hình chiếu

M

lên



nên tọa độ H có dạng

H

(1

  

t

; ; )

t



t



MH





u



11 22

14 11 ( ; ; )

14 14 14 14





           

 

MH u t t H a b c

Câu 93 Đường thẳng d có vectơ phương

u = (1 ; ; 1).



Do

H



d



H(1 + t ; + t ; t)

Ta có:

AH

= (t ; t ; t - 1).



Do H hình chiếu điểm A lên đường thẳng d nên suy

1

4 4

= 0

t + t + t - = 0

t =

( ; ;1).

3

3 3

AH



u



AH u







H

 

 

Câu 94 Ta có

A



 

d

nên gọi

A





6 ; 2



t

   

t

; 2

t



;

AA

 



5 ; 3



t

   

t

; 2

t





; đường thẳng

 

d có vectơ phương

u



 



4; 1; 2





 

.

0



5

   

4

3

   

.

1

2 2



0

1

AA





d



 

AA u



 



t



  

t

   

t

  

t



2; 3;1



A







Vậy

A





2; 3;1





6

3

6

2

1

2

x



y



z









Điểm

D

thuộc đường thẳng

d

nên gọi tọa độ

D

D



 

6 ;3

t



t

; 2



t



Tứ giác

ABCD

hình thang cân nên ta có:

AD  BC

 

2

8

12

0

t

t









2

6

t

t

 



 

 



Với t  2



D

1





2;1; 2



, tứ giác hình bình hành nên loại Với t  6



D

2



6; 3; 6







thỏa mãn, nên

6 6

   

3

Câu 96 Chọn C

Phương trình tham số đường thẳng

1 2

:

2

x

t

d

y

t

z

t

  









  



Vì





1 2

:

1 ;

2

x

t

C

d

y

t

c

t t

z

t

  













 

  



Ta có



AB





1; 1; ;

 





AC

  



1 ; ; 2

t t



t









 

AB AC

,









3

t



7; 3



t



1;3

t



3



Diện tích tam giác ABC , 27 54 59

2

ABC

S   AB AC  t  t

1

2 27 54 59 2

2

ABC

S   t  t   t



C



1;1;1



m n p3

Câu 97 Gọi

 

P

mặt phẳng qua A vng góc với đường thẳng d Phương trình mặt phẳng

 

P

là:













1

x



3



2

y



2



2

z



0



0

x2y2z 7

Gọi H hình chiếu A lên đường thẳng

d

,

H



d



 

P

Suy

H



d



H



   

1

t

; ; 2

t

 

t



, mặt khác

H



 

P

    1 t 4t 4 4t 7

t

  Vậy

H



1;1; 2



Gọi A điểm đối xứng với A qua đường thẳng d, Hlà trung điểm AA suy

A

 



1; 0; 4



Câu 98 Chọn C

Đường thẳng



qua

N



0; 2;3



, có véc tơ phương

u







1; 1; 2







2; 6; ;



,



16;8; 4



MN

 





MN u











 



,



, 336 14

6 MN u

d M

u

 

 

   

  

Câu 99

M

  

M t



; ;



t

 

2 3

t



Ta có



;







2

2

2

1 2

2

t

t

d M Oyz

t

t

t



 









 

   

 



Suy t 2 Do

M





2; 3; 8







Vậy a 2; b 3; c  8 T a b c   13 Dạng 3.2 Bài toán cực trị

Đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz cách trục Oz khoảng 3nên d nằm mặt trụ trịn xoay có trục Oz bán kính

Gọi

I

hình chiếu

A

lên

Oy

, khoảng cách từ

A

đến d nhỏ d qua giao điểm

Oy

với mặt trụ điểm

I



0;3;0



nên d qua điểm

N



0;3; 5





Câu 101 Chọn A

Vì

d

song song với Oz cách Oz khoảng nên

d

thuộc mặt trụ trục Oz bán kính Có

H



0;0 ; 2





hình chiếu vng góc

A



0;3; 2





Oz

Có HA



0;3;0



HA3 

nên A nằm mặt trụ

Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với Oz M hình chiếu vng góc A

d

Gọi K giao điểm AH mặt trụ (K nằm A H)

Dễ thấy

d A d



;





AM



AK AK

;



AH



d A d



;





1

Dấu xảy M K

Khi ta có:





0

2

0;2; 2

:

2

(

)

3

2

x

HK

HA

K

d

y

t

R

z

t

 









 







  







Với

t



3

ta thấy

d

đi qua điểm Q Câu 102 Chọn B

Vì

d

thay đổi, song song với trục

Oz

cách trục

Oz

khoảng nên

d

đường sinh hình trụ có trục

Oz

có bán kính đáy

r



3

Gọi H x y z



; ;



hình chiếu A lên

d

AH lớn A, A, H thẳng hàng

AH



AA





A H





AA



   

r

4 3

7

Khi

7

4

AH



AA









; 4; 3



7



0; 4; 0



4

x y z

    

0 3 x y z

     

   



0; 3; 3



H







Vậy

d

qua

H



0; 3; 3







có vectơ phương

k







0; 0;1



nên có phương trình

3 x y

z t

  

  

    

suy

d

đi qua điểm

M



0; 3; 5







.

Câu 103 Chọn C

Do đường thẳng d/ /Oz nên d nằm mặt trụ có trục Oz bán kính trụ R2 Gọi H hình chiếu A trục Oz, suy tọa độ

H



0; 0;





Do

d

A Oz, 



AH



3.

Gọi B điểm thuộc đường thẳng AH cho

AH  AB

 



0; 2;



B







Vậy





max

,

5

d A d

 

d

là đường thẳng qua B song song với Oz Phương trình tham số

0

:

2

.

2

x

d

y

z

t







 



   



Kết luận: d qua điểm

P



0; 2;







Câu 104 Vì Md nên giả sử

M



1



t

;2

 

t t

;



Ta có:

MA

2



3

t

2



14

t



29;

MB

2



3

t

2



4

t



2;

MC

2



3

t

2



10

t



21





2

2 2

2

3

18

36

96 18

1

78

78

P

MA

MB

MC

t

t

t























Do P MA22MB23MC2 đạt giá trị nhỏ t 1, đó:



2;1;1



4

M

   

a b c

Câu 105 Gọi I trung điểm AB, ta có

I





2; 1; 4





Khi đó:

MA

2



MB

2



MA



2



MB



2





MI

 



IA

 

2



MI

 



IB



2





2 2

2MI IA IB 2MI IA IB

       



2

MI

2



IA

2



IB

2 MI26

Phương trình mặt phẳng

 

P

qua I vng góc với đường thẳng d













1.

x



2



2.

y



1



2.

y



4



0

hay

 

P

:

x



2

y



2

z



12



0

Phương trình tham số đường thẳng d là:

1

2 2

3 2

x

t

y

t

z

t

 





 



  



Tọa độ điểm M cần tìm nghiệm



x y z

; ;



hệ phương trình:

1

2 2

3 2

2

2

12

0

x

t

y

t

z

t

x

y

z

 





 





 



 









2

0

5

1

x

y

z

t











 





 



Vậy

M



2; 0;5



Câu 106 Do M thuộc  nên M t



;1t t;



Khi MA 3t26t27  1



t



2 24,MB 3t26 Do MA MB  1



t



224 3t2 6

Xét hai véc tơ

u







3 1





t



; 24



v







3 ;

t



6



Ta có

u







v



u

 



v



3

nên

T

max



3

Dấu xảy

u







3 1





t



; 24



v







3 ;

t



6



ngược hướng hay t1 Câu 107

M



d



M



 

1 ;1

t



t t

; 2



Chu vi tam giác MAB là: AMBM AB Vì ABconst nên chu vi nhỏ



AM



BM



nhỏ



2

2;

4; 2



AM

t



 

t

t



,

BM





2

t



4;

 

t

2; 2

t



6



 

2





2





2





2

2

9

20

9

36

56

3

2 5

6 3

2 5

AM



BM



t





t



t





t







t



Đặt

u







3 ; ,

t





v





6 ; 5



t



  

u

 

v



6; 5



Áp dụng bất đẳng thức vectơ: u  v  u v Dấu xảy

u



,

v



hướng

Ta có:





2

6 29

AM



BM



u







v



u

 

  

v





Do



AM



BM



nhỏ tồn số k dương cho

u





k v



3



6 3



2 5

2 5

t

k

t

k









 







1

1

t

k





 





Khi

M



1; 0; 2



Vậy Pa b c    1 23

Câu 108 Gọi I trung điểm AB Khi ta có





2

2

2

4 2 2 2

4

4 2 2

2

4

4 2

2

.

2

2

2

4

4

2

2

4

8

3

7

2

3

2

4

4

10

AB

AB

MA

MB

MA

MB

MA MB

MI

MI

AB

AB

MI

MI AB

MI

MI AB

AB

AB

MI

MI AB

MI

AB









































































Do đó,

MA

4



MB

4 đạt GTNN MI nhỏ



M hình chiếu vng góc I lên d Điểm

I



2; 1; 0





Lấy

M



2

  

t

; ;3

t t





d

IM







t

; ;3

t t



.

0

4

9

0

0

d d

IM



u



IM u



 

t

t



t



 

t





 

Suy M I Vậy

x

0



2

Câu 109 Gọi I trung điểm AB, suy

I



1;1;1



;



AB





4; 2; 0



Phương trình mặt phẳng trung trực AB:

 



: 2

x

  

y

3

0

Vì



2.3 1.2 2.5 1.3 3





 









50



0

nên B,

C

nằm phía so với

 



, suy A,

C

nằm hai phía so với

 



Điểm M thỏa mãn MAMB

M



 



Khi

MB MC





MA MC





AC

MB MC



nhỏ

AC

M



AC



 



Phương trình đường thẳng

AC

:

1 2

1 2

x

t

y

t

z

t

  









  



, tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình

1 2

1 2

2

3

0

x

t

y

t

z

t

x

y

  











 







 



1

1

1

3

t

x

y

z











 





 



Do

M



1;1;3



,

a b c

  

5

Dạng Một số toán liên quan đường thẳng với mặt phẳng Dạng 4.1 Bài tốn liên quan khoảng cách, góc

Câu 110 Chọn A

( )P có vecto pháp tuyến

 



(2; 2; 1)

n

đường thẳng  có vecto phương

u



(2;1; 2)

thỏa mãn n u  0 nên //( )P  ( )P

Do đó: lấy A(1; 2;1)   ta có: ( ( )) ( ;( )) 2.1 2.( 2) 1 4

d  P d A P      

 

Câu 111 Đường thẳng

d

qua M



1; 0; 0



có vec-tơ phương

a







1;1; 2





Mặt phẳng

 

P có vec-tơ pháp tuyến

n







1;1;1



Ta có:

 

 

.

1.1 1.1 2.1

0

/ /

.

a n

d

P

M

P























 

 



,





,

 



1 0 2

2 2 2

3.

1

1

1

d d P



d M

P



  







Câu 112 Xét phương trình

2 2





t

 



5 4



t





2 2





t



 

0

0

t

 

3 0

Phương trình vơ nghiệm nên



//

 

P

Chọn

M



2;5; 2



 

Khi đó:

 







 



 

2

2

2.2 2.2

, ,

2

1

2

d



P



d M

P



 



Câu 113 Chọn A

Đường thẳng

d

có véc tơ phương

u



 



1; 2;1



Mặt phẳng

 

P

có véc tơ pháp tuyến

n







1; 1; 0





Gọi



là góc Đường thẳng

d

và Mặt phẳng

 

P

Khi ta có

 

 

2 2

 

2

.

1.1 2.

1

1.0

3

3

sin

2

2 3

1

2

1 1

1

0

u n

u n









 













 



 

 

Do  600 Câu 114 Cách 1:

Gọi

  

Q



d d

1

,

1

'



 

Q

có vectơ pháp tuyến nQ n uP, 1



5;5;15



 

  

Đường thẳng d1' có vectơ phương u1'n u P, 1



22;11; 11



hay vecto phương khác



2;1; 1



u 

Vì  n up 2 04a7b c 0c7b4au2 



a b b; ; 4a



Ta lại có



d d1; 2

 

 d1';d2



 cos



u u 1, 2



 cos



u u 1', 2



2

4

7

2

4

7

5

5

6

6

0

a

b

a

b

a b

a

b

a

b

a

b

a b

a

b











 





















Chọn

a

1

b

1,

c

3

a

2

b

1

c



 



 



Cách 2:

Gọi

  

Q



d d

1

,

1

'



   

P



Q

Các đường thẳng nằm

 

P

mà vng góc với

 

Q

vng góc với tất đường thẳng

 

Q

hay chúng tạo với d d1, 1' góc

90

 Do đó, đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề Chúng có vectơ phương

u

n

Q



1;1;3



a

2

b

1

c









 

Câu 115 * Ta có : AB



2; 4; 6



2 1; 2; 3







Gọi

I



4;3; 4



trung điểm AB

Phương trình mặt phẳng trung trực

 

Q

AB :



x



4





2



y



3





3



z



4





0

2

x y z

    

Gọi

d



   

P



Q

Đường thẳng d có vpcp

u





n

 P

,

n

 Q







1;1;1









 

qua điểm

N





2; 0; 0



, có phương trình

2

:

x

t

d

y

t

z

t

  









 



* Gọi

M



 

P

:

MA



MB

Khi Mdvà

M



 

2

t t t

; ;



Theo giả thiết, ta có :

MA



35





t



5



2





t



1



2





t



7



2



35

2

3t 26t 40

   





20

2 0; 2;

t

t

M

















Vậy

OM



2 2

,

Mặt phẳng

 

P

qua

d

1



n u

 

.

1

  

0

2 2

b c

 

0 1

 

 





2 2

 

2 2 2

2

.

1

2

sin

,

sin 45

1

1

2

0 2

.

1 2

2

u n

c

d

P

c

b

c

b

c

u

n

b

c







 



 





 









 





Từ

 

1

 

2

2

.

4.

2

b

b c

c











 

 



Câu 117 Đường thẳng

d

1

d

2 có véctơ phương

u



1





2; 2; 1







u



2





1; 0; 1





Mặt phẳng

 

P

có véctơ pháp tuyến

n







1; ;

b c



Từ giả thiết ta có: o 2 sin 45 | | | | u n u n u n             



2 2 2

1.1 ( 1)

2 ( 1)

u n b c b c                   







2 2

2

2 2 2 2

2

2

0

1

1

1

1

b c

b c

b c

b

c

b

c

c

b

c

c

b

c



 

 







 























 







 























Vậy

b c

.

 

4

Câu 118 u1 



2; 2; , 



u2 



1;0; 1



vectơ phương d1, d2 Theo ta có







 



1

2

cos ; sin ;

n u

n u d P

          





 

 

2

2.1

1.1 1

2

1

b c b c b c                





2 2

2

2

1

1

c

b

c

b

c









 



 







2

2

b

c





 

 



Dạng 4.2 Bài tốn phương trình mặt phẳng, giao tuyến mặt phẳng Câu 119 Chọn A

Mặt phẳng qua

A



1; 2; 2





nhận

u









2;1;3



làm VTPT

Vậy phương trình mặt phẳng là:

2



x



1

 



y



2





3



z



2





0

2x y 3z

    

Câu 120 Chọn C

Mặt phẳng cần tìm qua M



3; 1;1



nhận VTCP  











3; 2;1

u

làm VTPT nên có phương trình:

3

x



2

y z

 

12 0.



Câu 121 Chọn A

Đường thẳng : 10 2

5 1

x y z

   có vectơ chỉ phương

u







5;1;1



Mặt phẳng

 

P

:10

x



2

y



mz



11 0



có vectơ pháp tuyến

n







10; 2;

m



Để mặt phẳng

 

P

vuông góc với đường thẳng  thì

u



phải phương với

n



5 1

2

10 m m

    

Câu 122 Mặt phẳng

 

P

vng góc với  nên

 

P

nhận vtcp  u



2 ; 1; 3





làm vtpt



Phương trình mặt phẳng

 

P

là:

2



x



1





1



y



1





3



z



2





0

hay 2xy3z 9 Câu 123 Ta có: Đường thẳng :

2

x y z

d     

Vì

 

P



d

nên vectơ pháp tuyến mặt phẳng

 

P



n

( )P =

a



d





2; 1; 2





Câu 124 Mặt phẳng ( )P vng góc với đường thẳng ( ) :

1 1

x y z

d   nên nhận véc tơ phương

u

d





1;1;1





làm véc tơ pháp tuyến, suy phương trình mặt phẳng ( )P có dạng:x   y z D 0, mặt khác ( )P qua gốc tọa độ nên

D



0

Vậy phương trình ( )P là: x  y z

Câu 125 Ta lấy điểm



  





 





 





2; 0;3

2;1;3 , 3;1;

1; 1;1 AM

M n AM u

vtcp u 

 

  

      

 

 

 



   

Mặt phẳng cần tìm qua

A



0;1;0



nhận n



3;1; 2



làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình là:













3.

x



0



1.

y



1



2.

z



0

 

0

3

x

 

y

2

z

 

1 0

Câu 126 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng vectơ phương đường thẳng phương với vectơ pháp tuyến mặt phẳng

Đường thẳng

d

có vectơ phương

u







1 ; ; 1





Mặt phẳng

 

T

có vectơ pháp tuyến

n

T





1 ; ; 2





Do

1



  nên

u



khơng phương với

n



T Do

d

khơng vng góc với

 

T

Mặt phẳng

 

P

có vectơ pháp tuyến

n



P





1 ; -2 ; 1



Do

1



 

 nên

u



phương với

P

n



Do

d

vng góc với

 

P

Mặt phẳng

 

Q

có vectơ pháp tuyến

n



Q





1 ; -2 ; -1



Do

1



 

  nên

u



không phương với

n



Q Do

 

d

khơng vng góc với

 

Q

Mặt phẳng

 

R

có vectơ pháp tuyến

n



R





1 ; ; 1



Do

1 1



  nên

u



không phương với

n



R Do

 

d

khơng vng góc với

 

R

Câu 127 Chọn D

Tọa độ điểm thuộc giao tuyến

d

hai mặt phẳng thỏa mãn hệ phương trình:

3

1

0

2

7

0

x

y

z

x

y

z



  





   



Với y0

1

2



2; 0;3



2

7

3

x

z

x

A

d

x

z

z

  



















 







Với

3

10

0



0;3;10



2

10

10

x

z

x

y

B

d

x

z

z

  







 











 







Vậy đường thẳng

d

qua

A



2;0;3



nhận



AB

 



2;3; 7



làm vecto phương có phương trình tắc là:

2

x y z

 



Câu 128 Chọn C

 

P

:

x

  

z

5

0

có vtpt

n



1





1; 0;1



 

Q

:

x



2

y

  

z

3

0

có vtpt

n



2





1; 2; 1

 



Gọi  giao tuyến mặt phẳng  có vtcp

u





n n

1

,

2







2; 2; 2











 

Câu 129 u (1;1; 2)



(1;1; 2)

n  VTPT

 



;

( 4; 4; 0)

d

n





u n













 



 

 

(2;3; 0)

A d  A



Phương trình mặt phẳng ( ) : 4(



 x2)4(y3) 0( z0)0 4x4y 4 0xy 1 Giả sử M x y z( ; ; )

   







Khi tọa độ M thỏa mãn hệ

x-

1 0

2z 0

y

x

y

 





 

 



Thay đáp án vào hệ ta thấy M(2;3;3) thỏa mãn Chọn đáp án B Câu 130

 

P

:

x

  

z

5

0

có vectơ pháp tuyến



n

1





1; 0;1



 

Q

:

x



2

y

  

z

3

0

có vectơ pháp tuyến

n



2





1; 2; 1







Ta có:





n n

 

1

,

2

 





2; 2; 2





Gọi

u



vectơ phương ,

u





n



1

u





n



2 Suy

u



phương với



n n

1

,

2







 

Chọn

u







1;1; 1





Lấy

M



2;1;3



thuộc mặt phẳng

 

P

 

Q

Đường thẳng  qua

M



2;1;3



có véctơ phương

u







1;1; 1





Vậy phương trình  là:

1 1

x y z

 



Câu 131 Chọn véc tơ pháp tuyến mặt phẳng cần tìm là:

n



u

d





3; 2;1





 

Mặt khác mặt phẳng qua A nên có phương trình là:







 



3

0

2

3

1

0

3

2

7

0

x

y

z

x

y

z

















  

Câu 132  có VTCP

u



 



1; 2; 3





 

P

có VTPT

n







1; 1;1





 



qua O nhận



n

  





u n

 

;









1; 2;1



Suy

 



:

x



2

y

 

z

0

Dạng 4.3 Bài tốn giao điểm (hình chiếu, đối xứng) đường thẳng với mặt phẳng Câu 133 Chọn A

Đường thẳng

d

có vtcp

u



1; 3; 1









Mặt phẳng

 

P

có vtpt

n





3; 3; 2





Ta có u n     3 10 0 nên loại trường hợp

d

/ /

 

P

d



 

P

Lại có

u



n



khơng phương nên loại trường hợp

d



 

P

Vậy

d

cắt không vuông góc với

 

P

.

Câu 134 Cách 1: Lấy









0; 2; 1

2;3; 2

A

B



 









 





Mà

 

 

P

 

 

A

P

B

P







 







 

2 16 10

11 16

m n m

m n n

  

  



 

     

 



14

T

m n





 

Mặt phẳng

 

P

có VTPT

n







11; ;

m n



 

 

0

A

P

P

n.u







 

 







 

2

16

0

10

22

3

0

4

m n

m

m

n

n

 































14

T

m n





 

Câu 135 Tọa độ điểm M nghiệm hệ:

2

3

1

1

1

2

2

3

2

0

x

y

y

z

x

y

z







 



























3

2

2

1

2

3

2

x

y

y

z

x

y

z

















 



 



1

1

1

x

y

z

 











 



Vậy

M





1;1;1



Câu 136 Gọi

H

hình chiếu

A



3; 2; 1





lên mặt phẳng

 



:

x



y



z



0

Khi đó:

AH

nhận

n



1;1;1





vectơ phương suy phương trình :

1 1

x y z

AH     

Do

H



AH



H



3



t

; 2

  

t

; 1

t



Do

 

2; ;

3 3

H



  t    t t   t H  

 

Câu 137

Đường thẳng

d

qua M



1; 0;3



, có véctơ phương v 



1; 2;1



có phương trình tham số

1

2

3

  





 



  



x

t

y

t

z

t

Gọi

M



hình chiếu điểm M



1; 0;3



theo phương véctơ v



1; 2;1



mặt phẳng

 

P

:

x

   

y

z

2

0

 

M



d

P









tọa độ

M



là nghiệm hệ phương trình:





1

1

2

2

2

2

2; 2; 2

3

3

2

2

0

1

2

3

2

0

1

x

t

x

t

x

y

t

y

t

y

M

z

t

z

t

z

x

y

z

t

t

t

t

  

  

 













 

 

























 

 













 





  

  





 







Câu 138 M  M



124 ;9 ;1t  t t



 

12





3



 

1



M P   t   t  t     t



0; 0; 2



0

M   x y z  

d

P

M' M

Câu 139 Mặt phẳng (ABC)qua điểm

A



1;0; ,



B



0; 2;0 ,



C



0;0;3



nằm trục

Ox

,Oy,

Oz

có phương trình là:

1

x y z

  

ĐiểmM a b c( ; ; )là tọa độ giao điểm của d mặt phẳng

Suy

1

t t t

t

  

     suy

6

8

9

a

b

c

 









 



Vậy

S

    

6 11.

Câu 140 Chọn C

+A đối xứng với A qua

 

P

nên AA vng góc với

 

P

+Suy phương trình đường thẳngAA:

1 6

3 2

6

x

t

y

t

z

t

  





 



  



+Gọi H giao điểm AA mặt phẳng

 

P



H



 

1 ;3 t;6 t

t







+ Do H thuộc

 

P



6



 

1 6

t





2 2





t





1 6





t





35



0



41

t



41 0



  

t

1

H



5;1;7



+A đối xứng với A qua

 

P

nên H trung điểm củaAA





 

2

11; 1;8

11

1

8

186

A



OA











 





Câu 141 Chọn B

Cách 1: Đường thẳng d qua điểm

M

0

(1; 5;3)



có VTCP

u



d





2; 1; 4





Gọi

 

Q

mặt phẳng chứa d vng góc với

 

P

:

x

 

3

0

Suy mặt phẳng

 

Q

qua điểm

M

0

(1; 5;3)



có VTPT



n u

 

P

;

d







0; 4;1



 

Q

: 4

y

z

17

0



 



Phương trình hình chiếu vng góc d mặt phẳng

 

P

4

17

0

3

0

y

z

x

 







 



hay

3

6

7 4

x

y

t

z

t

 





  



  



Cách 2: Ta có

M

 

d

M



1 ; 5



t

 

t

;3 4



t



Gọi

M



hình chiếu

M

 

P

:

x

 

3

0

Suy

M

   



3; 5

t

;3 4



t



Suy

3

:

5

3 4

x

d

y

t

z

t

 









  

  



So sánh với phương án, ta chọn D đáp án Câu 142 Chọn A

Gọi

M

giao điểm

d

với

 

P

Tọa độ M nghiệm hệ:

3

3

2 1

1

2

1

x y z x

x y z

x y y

x y z

x z z

   

 

    

  

    

    

 

     

   



1;1;1



M 

Lấy điểm N



0; 1; 2



d

Một vec tơ pháp tuyến mặt phẳng

 

P là:

n







1;1;1



Gọi  đường thẳng qua

N

nhận

n







1;1;1



làm vec tơ phương Phương trình đường thẳng

:

1

2

1

1

1

x

y



z









Gọi

N



giao điểm  với

 

P

Tọa độ

N



nghiệm hệ:

2 3

3

1

1

3

1 1

8 x

x y z

x y z

x y y

x y z

x z

z 

 

  

 

   



  

     

    

 

     

 

   

2 ; ; 3

N  

 





1

; ; 1; 4;

3 3

MN      u 

 

 

Đường thẳng cần tìm qua điểm M



1;1;1



nhận

u







1; 4; 5





làm vec tơ phương nên có phương

trinh

1

1

1

1

4

5

x



y



z









Câu 143 Mặt phẳng

 



: 2

x

   

y

z

3

0

có vectơ pháp tuyến

n





2;1;1



Gọi tọa độ giao điểm

d

 



I

I





22;39;8



Lấy

A





4;3; 2





d

Gọi  đường thẳng qua A vng góc với

 



Suy phương trình đường thẳng 

4 2

3

2

x

t

y

t

z

t

  





 



  



Gọi H hình chiếu A lên

 



H

  

 





H





2; 4;3



'

A đối xứng với A qua

 

 

H trung điểm AA'



A

' 0;5; 4





Đường thẳng

d

'

đối xứng với đường thẳng

d

qua mặt phẳng

 





d

'

qua điểm I A, 'có vectơ phương



A I

'





22; 34; 4









2 11; 17; 2









có phương trình là:

5

4

11

17

2

x



y





z







Câu 144 Chọn C

Gọi  đường thẳng qua M vng góc với

 



 Phương trình tham số  là:

2

3 2

1

x

t

y

t

z

t

 





 



  



Ta có

M

   

 



Xét phương trình:

2

 

t

2 2





t



  

1

t

0

2 t   Vậy 5; 2;3

2

M 

 

MM



vuông góc với mặt phẳng

 



nên đường thẳng

MM



nhận n



2;1; 2



làm vectơ phương

Phương trình đường thẳng

MM



là:

1 2

2

4 2

x

t

y

t

z

t

 





 



  



Gọi

H

giao điểm đường thẳng

MM



mặt phẳng

 



H



MM





H



1 ; 2



t



t

; 2



t



 

H







2 2





t



  

2

t

2 2





t



 

3

0



9

t

 

9

0

  

t

1



H





1;1; 2



M



đối xứng với điểm

M

qua mặt phẳng

 



nên

H

trung điểm

MM





M







3;0;0



Câu 146 Chọn D

Ta gọi AB cắt

d

điểm

M



1 ; 1



m

 

m

; 2



m





d



2 ;

3;3



AM

m m





m



, theo u cầu tốn AB vng góc

d

, ta có

.

d

0

2.2

3

3

0

1

(2; 2; 2)

AM u

 

m m



 

m

  

m

 

AM





 



Đường thẳng AB qua A nhận



1; 1;1



u AM   VTCP, ta có phương trình AB

1

:

1 1

x y z

AB     

 Gọi

B



1



t

; 2

  

t

; 1

t





AB

Lại có điểm B( )P     1 t t 2( 1 t) 1 0  t Vậy B(0; 3; 2) Câu 147 Chọn C

Gọi

M

giao điểm

d

với

 

P Tọa độ M nghiệm hệ:

3

3

2 1

1

2

1

x y z x

x y z

x y y

x y z

x z z

   

 

    

  

    

    

 

     

   



1;1;1



M 

Lấy điểm N



0; 1; 2



d

Một vec tơ pháp tuyến mặt phẳng

 

P là:

n







1;1;1



Gọi  đường thẳng qua

N

nhận

n







1;1;1



làm vec tơ phương Phương trình đường thẳng

:

1

2

1

1

1

x

y



z









Gọi

N



giao điểm  với

 

P

Tọa độ

N



nghiệm hệ:

2 3

3

1

1

3

1 1

8 x

x y z

x y z

x y y

x y z

x z

z 

    

 

   



  

     

    

 

     

 

   

2 ; ; 3

N  

 





1

; ; 1; 4;

3 3

MN      u 

 

 

Đường thẳng cần tìm qua điểm M



1;1;1



nhận

u







1; 4; 5





làm vec tơ phương nên có phương

trinh

1

1

1

1

4

5

x



y



z









Gọi M d( )P Suy Md M(3 ; 2 t    t; t M); ( )P    t M(1; 3; 0)

( )P có véc tơ pháp tuyến

n



P



(1;1;1)

dcó véc tơ phương

a



d



(2;1; 1)



có véc tơ phương



d

,

P



(2; 3;1)

a







a n

 





Gọi N x y z( ; ; ) hình chiếu vng góc M , ( 1; 3; )

MN  x y z

Ta có

2 2

2

3

11

0

( )

2

0

(

1)

(

3)

42

42

MN

a

x

y

z

N

P

x

y

z

x

y

z

MN











 













  





























Giải hệ ta tìm N(5; 2; 5)  N( 3; 4;5)  Với N(5; 2; 5)  , ta có : 5

2

x y z

  



Với N( 3; 4;5)  , ta có :

2

x y z

  



Câu 149 Đường thẳng

d

2 có véctơ phương

v







1; 2;3





qua điểm

N





3;1; 4





Ta có:







 

v u

,



 





4;5; 2





0



;

MN



 



4; 4; 6





;







v u MN

  

,







.

  

16

20 12



  

8

0



d

1

d

2 chéo

Mặt phẳng

 

P

cách hai đường thẳng

d

1

d

2 nên

 

P

nhận







 

v u

,



 





4;5; 2



làm vectơ pháp tuyến qua trung điểm

I



  

1; 1; 1



đoạn MN

Suy phương trình

 

P

:

4



x

 

1



5



y

 

1



2



z

  

1



0

4

x



5

y



2

z

 

11

0

4;

5;

2

a

b

c

 





 a 2b3c20 Câu 150 Đường thẳng d có phương trình tham số:

1

2

x t

y t

z t

    

  

   

Điểm

M

thuộc đường thẳng dnên

M



 

1

2 ; ; 2

t t



t



Điểm

A

trung điểm MN nên:









2; 1;3

2

2 ; ;

2

N A M

N A M

N A M

A

x x x t

y y y t N t t t

z z z t



    



          



    



Mặt khác điểm

N



 

P

nên: 5    2t t 2t   8 t Suy ra:

M



5;3;5



Đường thẳng



có véc tơ phương



AM



3; 4; 2



qua điểm

M



5;3;5



nên có phương trình:

5

3

x y z

 

nQ

Q

P d

Chọn A



1; 2; 1



d u;d 



2;1;3 ;



u i,



0;3; 



Ta thấy u id;.OA70d Ox chéo Gọi

 

Q

mặt phẳng chứa d song song với Ox

Một vectơ pháp tuyến mặt phẳng

 

Q

nQ u id;



0;3; 



Hình chiếu d d mặt phẳng

 

P

đường giao tuyến hai mặt phẳng

 

P

 

Q

.

d có vectơ phương n nQ; P 



4;1;3



u 673nQ;nP 



2692; 673; 2019



    

vectơ phương

Vậy ab 2019

Câu 152 Gọi

A



d



 

P

Vì :



; ;



x t

A d y t A t t t

z t

  

        

   

Mặt khác

A



 

P

  

t

1 2

t

   

2

t

3

0

 

t

1

Vậy

A



1;1;1



Lấy

B



0; 1; 2







d

Gọi  đường thẳng qua B vng góc

 

P

Thì :

2

x t

y t

z t

   

     

    

Gọi Clà hình chiếu B lên

 

P

Suy

C

  

C t





; 1

 

t



; 2



t





Mặt khác

 

3

C P t     t t t Vậy 2; 8; 3

C  

 

Lúc d qua

A



1;1;1



có vectơ phương 1; 5; 3

AC   

 



Hay dnhận



1; 4; 5



u  làm vectơ phương

Suy

1

:

1

x s

d y s

z s

       

   

Vậy điểm thuộc đường thẳng d

M



2;5; 4





Câu 153

 

P

có véctơ pháp tuyến

n







1;1;1



d

có véctơ phương

u







1; 2; 1





I



d



 

P



I



1;1;1



Vì

 

 

P

;

 

d

 

có véctơ phương

u





n u

,



 



3; 2;1











 

Mặt phẳng

 

Q

nhận

u





 



3; 2;1



làm véctơ pháp tuyến nên ta có phương trình

 

Q

: 3





x



1





2



y



1





1



z



1





0



3

x



2

y

 

z

0

Gọi

d

1



   

P



Q



d

1 có véctơ phương

v









u n

 



,









1; 4; 5





d

1 qua I, phương trình

1

:

1

x t

d y t

z t

   

      

Mặt khác

M

  

M



 

P



M



d

1

Giả sử

M



1



t

;1 ;1 5



t



t







IM





t

; ; 5

t



t



Ta có:

IM



42



t

2



16

t

2



25

t

2



42

  

t

1

+) Với

t

 

1

M



2;5; 4





+) Với

t

  

1

M



0; 3; 6





Vì

M a b c



; ;



( với

a b

 

c

) nên

M



2;5; 4





Cách 2: Vì

M a b c



; ;



hình chiếu vng góc I lên  Khi ta có

 







 







2





2





2





2





2





2

3

0

3

0

3

1

2

1

1

0

3

2

0

42

1

1

1

42

1

1

1

42

M

P

a b c

a b c

IM

u

a

b

c

a

b c

IM

a

b

c

a

b

c









   



   















 













 



 



























































2





2





2





2





2





2

4

3

4

3

3

0

5

6

1

1

1

42

1

1

1

42

a b

b

a

a b c

c

a

a

b

c

a

b

c



 



















   





 







































0

3

6

2

5

4

a

b

c

a

b

c











 







































 



Vì

M a b c



; ;



( với

a b

 

c

) nên

M



2;5; 4





Câu 154 Mặt phẳng

 



:

x

   

y

z

1 0

có vectơ pháp tuyến

n





1;1; 1





Đường thẳng

:

1

4

2

3

5

x

y

z

d









có vectơ phương

u





2;3;5



Vì

 

n u

.



1.2 1.3



 

 

1 5



0

nên

d

/ /

 



Gọi

d

'

hình chiếu vng góc

d

 





d

'/ /

d

Lấy

A



1; 4;0







d

Gọi  đường thẳng qua A vng góc với

 



Suy phương trình đường thẳng 

1

4

x

t

y

t

z

t

 





  



  

Gọi A' hình chiếu A lên

 



A

'

  

 





A

' 0; 5;1







Đường thẳng

d

'

đường thẳng qua

A

' 0; 5;1







, có vectơ phương

u





2;3;5



có phương trình

5

1

2

3

5

x



y





z



Câu 155 Chọn B

+) Phương trình tham số

2 2

:

4 2

1

x

t

d

y

t

z

t

  





 



   



, tR Gọi

M

  



2 ; ; 1

t



t

 

t



giao điểm d

 

P

  



2 2

t

 



4 2



t

 

  

1

t



 

1 0

 t



M





2; 0;1



+) Mặt phẳng

 

P

có vector pháp tuyến

n



P





1;1; 1





Điểm

N





0; 2; 0



d Gọi



đường thẳng qua

N



0; 2; 0



vng góc với mặt phẳng

 

P





nhận vector



1;1; 1



P

n







làm vector phương Suy phương trình



là:

 

:

0

2

0

 

:

2

1

1

1

x

c

x

y

z

y

c

z

c



















 



 



  



, cR Gọi

M

 



c

; 2



c

;



c



giao điểm



với mặt phẳng

 

P



2

  

1 0

1

3

c

c

c

c

 



 

 

  

1; ;

3 3

M 

  

 

+) 5; ; 3 MM    

 



, đường thẳng d hình chiếu vng góc d mặt phẳng

 

P

nên d đường thẳng

MM

'

, suy d qua

M



2;0;1



nhận vector

u



 

3



MM







7; 5; 2





làm vector phương nên phương trình d là:

2

1

:

7

5

2

x

y

z

d













d' d

P

M

N

Câu 156

 Mặt phẳng

 

P

có véctơ pháp tuyến

n



 P





1;1;1



Đường thẳng

d

có véctơ phương

u



d





2;1;3



, đường thẳng chứa trục

O

x

có có véctơ phương

i







1; 0;0



 Gọi

 

Q

mặt phẳng chứa đường thẳng

d

song song (hoặc chứa) trục

O

x

Khi

 

Q

có véctơ pháp tuyến n Q ud, i



0;3; 1



 Đường thẳng

d

'

giao tuyến

 

P

 

Q



Vectơ phương

d

'

u

1







n

 P

,

n

 Q





 



4;1;3









Suy ra:

u







2692; 673; 2019



phương

d

'

Ta có:

a b

  

2692 673



 

2019

Dạng 4.4 Bài toán cực trị Câu 157 Chọn D

Gọi

I a b c



; ;



điểm thỏa mãn IA2IB3IC 0

Ta có



IA



1



a

; 2



b

;3



c IB



,







a

;1



b

;1



c IC



,





1



a

;



b

; 2

 

c



2

3

1

2

3 3

0

6

4

2

2

3

0

2

2 2

3

0

6

4

3

3

2 2

6 3

0

6

1

1

6

a

a

a

a

a

IA

IB

IC

b

b

b

b

b

c

c

c

c

c







 

 





















 



  



















  

 





 









 









 

2 2 1

; ; 3

I  

 

Ta chứng minh T6MI2IA22IB23IC2 Do T đạt GTNN MI đạt GTNN  M hình chiếu vng góc I mặt phẳng (P)

Ta có

2

3

2

:

3

1

6

x

t

MI

y

t

z

t























  





, 2; 2; ,

 

19 19

3 6 18

MMIM t  t t  M P  t    t

 

 





7

7

22

3

7

7

11

9 18

9

91

;

;

;

18

18

9

3

54

M

d M Q

 































Câu 158 Đường thẳng :

2

x y z

   viết lại dạng tham số

2

:

x t

y t

z t

     

  

Xét hệ phương trình

2

2

0

2 0

x t t

y t x

z t y

x y z z

 

 

   

 



 

 

 

     

 

Do



cắt

 

P

điểm A



0; 0; 0



O

Lại có



 

P khơng vng góc nên ta chứng minh góc nhỏ

 

P

 

Q góc



 

P Thật



lấy

B

khác

A

, kẻ

BH

vng góc với

 

P

H

BK

vng góc d

K

(d giao tuyến

 

P

 

Q )

K

Khi góc

 

Q

 

P góc

BKH



HA HK  tanBKH BH BH tanBAH

HK HA

  

 

 

 

 



, 90

, arcsin

tan tan

BKH BAH

BKH BAH P

BKH BAH

 

  

    

  

 

 





Đẳng thức xảy  K  A  d

Do đó, góc hai mặt phẳng

 

P

 

Q nhỏ khi

 

Q chứa

 

 cắt

 

P theo giao tuyến vng góc



*)Viết phương trình

 

Q

Đường thẳng



có vectơ phương 1



2; 2;1





u



,

 

P

có vectơ pháp tuyến 1



1; 2; 2





n





nên d có vectơ phương u2 u n 1, 1  



6; 5; 2



 

 

Q

chứa



d nên nhận n2 u u 2; 1 



1;10; 22



  làm vectơ pháp tuyến

Vậy mặt phẳng

 

Q

qua A



0; 0; 0



nhận

n



2





1;10; 22





làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x10y22z 0

Câu 159 Gọi

I x y z



; ;



điểm thỏa mãn IA2IB3IC0    

Ta có IA 



10x; 5 y;8z



, IB



2x;1y; 1 z



, IC



2x;3y;z



d

Q

P

Δ

A

H

B

Khi đó,

































 

10

2 2

3 2

0

5

2 1

3 3

0

8

2

1

3

0

x

x

x

y

y

y

z

z

z



















 



















 









0

1

1

x

y

z













 





I



0;1;1



Với điểm

M

thay đổi

 

P

, ta có

2 2

2

MA  MB  MC





MI

 



IA



2



2



 

MI



IB



2



3



MI

 



IC



2





2 2

6

MI

IA

2

IB

3

IC

2

MI IA

2

IB

3

IC











 









2 2

6MI IA 2IB 3IC

    (Vì IA2IB3IC0    

) Ta lại có IA2 2IB23IC2



185 2.8 3.9







228

Do đó, MA22MB23MC2 đạt giá trị nhỏ



MI

đạt giá trị nhỏ



M

hình chiếu vng góc

I

 

P

Khi đó,

MI



d I P



,

 





3

Vậy giá trị nhỏ MA22MB23MC2

6MI 228



6.9 228





282

Giá trị nhỏ MA22MB23MC2 đạt

M

hình chiếu vng góc

I

 

P

Lưu ý thêm cách tìm điểm

M

sau:

Gọi



đường thẳng qua

I

vng góc với

 

P

Phương trình



:

1 2

1 2

x

t

y

t

z

t







 



  



Ta có

M

  

 

P

Xét phương trình









2 2

2 2

9

0

t





t





t

 



9

t

 

9

0

 

t

1



M



1;3; 1





Câu 160

Gọi

C

ABM chu vi tam giácABM



2; 3; 10



AB

  





113

AB







2; 3; 10



AB

  





,

CD







1; 4;1







 

AB CD

.

  

2 12 10





0



AB



CD

Gọi

 

P mặt phẳng chứa đường thẳng AB vng góc với đường thẳng

CD

H giao điểm

 

P đường thẳng

CD

Phương trình mặt phẳng

 

P qua A



1;1; 6



có véc tơ pháp tuyến

CD







1; 4;1





là:

4

1 0

x



y

  

z

Phương trình đường thẳng

CD

:

2

x t

y t

z t

   

  

    

A

B



1 ; ;



HCD H t  t  t

 

4





1

H P   t  t    t

1

2

t

 

3; 0;

2

H 

   

 

Với



M



CD

, ta có

AM

AH

BM

BH











AM

BM

AH

BH









113

ABM

C  ABAM BM  AHBH,



M



CD

Suy minCABM  113AHBH, đạt M H 3; 0;

2

M 

   

 

Vậy

a b c

  

1

Câu 161 Ta có

C

ABM



AM



BM



AB

mà AB không đổi suy

C

ABMnhỏ AM BM nhỏ Ta có



AB

   



2; 3; 10 ,



CD







1; 4;1





Xét

 

AB CD

.

 

0

AB



CD

Gọi

 



qua AB vng góc với

CD

 



qua

A





1;1; 6



nhận



CD





1; 4;1





làm véc tơ pháp tuyến Suy

 



có phương trình là: x4y  z

Vì điểm M thuộc

CD

cho AM BM nhỏ nên

M



CD



 



 



:x4y  z 0,

CD

có phương trình:

1

2 4

1

x

t

y

t

z

t

 





 



   



 

M



CD





3; 0;

2

M  

  

 

3

0

2

a b c 

      

Câu 162 + Gọi

I x y z



; ;



điểm thỏa mãn



IA



2

IB





3

IC

 



0

Ta có













3 ;1 ;1

7 ;3 ;9

2 ; ;

IA x y z

IB x y z

IC x y z

    

 

   

 

   

 

 



+

23 6

0

2

3

0

13 6

0

25 6

0

x

IA

IB

IC

y

z



































 

23

6

13

6

25

6

x

y

z



























23 13 25 ; ; 6

I 

  

 





2

3

6

2

3

6

6

MA



MB



MC



MI



IA



IB



IC



MI



MI

















2

MA



MB



MC







đạt giá trị nhỏ



M hình chiếu I lên mặt phẳng

 

P

+ Gọi đường thẳng

 

d

qua I vng góc

 

P

Ta có

 

d

qua 23 13 25; ; 6

I 

  nhận

n

p





1;1;1





Suy phương trình

 

23

6

13

:

6

25

6

x

t

d

y

t

z

t































 

23 ;13 ;25

6 6

M d M t t t

 

 

M



P

23 13 25

6 t t t

        43

18

t 

  13; 16;

9 9

M  

  

 

Do

13

9

2

9

16

9

a

b

c





























10 62

9

a b c 

Câu 163 Cách 1:

Ta có



 















2

2 2

1 2

1

3

1

;

2

1

1

1

m

m

m

d A P

m

m

m

m

  















 

Xét

 









 











2

2

2 2

1

3

0

2 2 1

5

m m m m

f m f m

m m m m

m 

    



    



   

 

Vậy

max



;

 



14

3

d A P



m 5



2;6



Cách 2:

Ta tìm đối tượng cố định mặt phẳng

 

P

:

  

P

:

m



1



x

 

y mz

  

1 0



x



z m x



   

y

1 0

Với

m





mặt phẳng

 

P

qua giao tuyến hai mặt phẳng

0

1 0

x

z

x

y

 





 

 



tức

qua đường thẳng

 

:

1

x

t

d

y

t

z

t







 



  



Gọi

H t



;1

  

t

;

t

  

d





AH





t



1; ;

t

 

t

2



Để khoảng cách từ A đến

 

P

lớn

 

AH



P





AH

phương với VTPT

 

P

n

P





m



1;1;

m





, suy ra:





1

1

1

2

3

2

1

1

5

2;6

t

mt t

t

t

t

t

mt

t

m

m

m



 

  





 



 









  







 



Câu 164

Gọi ( ')P chứa

A

song song ( )P suy ( ') :P  x y2z40 Ta thấy B( ')P d B d( , ) đạt giá trị lớn

AB

.

Khi

d

vng góc với

AB

và

d

vng góc với giá

n



VTPT ( )P Suy VTCP

d

u









n AB



,









(2; 2; 2)



Kết hợp với điểm

A

thuộc

d

nên ta chọn đáp án C Câu 165 Gọi

M



( ; ; )

a b c

Ta có

   

MA MC

.



MA MB

.



34



  

MA MC MB









34



MA BC

 

.



34

Mặt khác MA  ( a;1b;1c) 

, BC (4; 3; 3) 

Suy

4( 8

 

a

) 3(1





b

) 3(1





c

)



34

 

4

a



3

b



3

c



66



0

Vậy

M



( )

P

có phương trình



4

x



3

y



3

z



66



0

Ký hiệu f M( ) f x y z( ; ; ) 4x3y3z66, với M x y z( ; ; )

Ta có f A f B( ) ( )  ( 4( 8) 3.1 3.1 66)(( 4.2 3.1 3.3 66)        ( 34).( 68) 23120 Suy điểm A( 8;1;1) điểm B(2;1;3)nằm phía so với mặt phẳng

( )

P

Khi

MA MB





AB

(tính chất cạnh tam giác) suy

MA MB



đạt giá trị lớn

, ,

M A B

thẳng hàng

M

nằm đoạn thẳng

AB

hay

M

là giao điểm đường thẳng

AB

với

( )

P

Đường thẳng

AB

có véc tơ phương AB(10; 0; 2)và qua điểm B(2;1;3) nên có phương trình

1

x t

y

z t

   

     

Suy



4(2 ) 3.1 3(3



t







t

) 66



  

0

17

t



68

  

t

4

Vậy

M

( 18;1; 1)





hay

x y z

0 0 0



18.

Câu 166 Với điểm I ta có



 

2

 

2



2

2 2

2

2

S



NA



NB



NC



NI





IA





NI





IB





NI





IC







2 2

4

NI

2

NI IA

2

IB

IC

2

IA

IB

IC





 















Chọn điểm I cho

2

IA



IB



IC



0









2

IA





IB





IC



 

0



4

IA





AB





AC





0



Suy tọa độ điểm I I



0;1;2



d

P'

B

Khi

S



4

NI

2



2

IA

2



IB

2



IC

2, S nhỏ N hình chiếu I lên mặt phẳng

 

P

Phương trình đường thẳng qua I vng góc với mặt phẳng

 

P

0

1

2

x

t

y

t

z

t

  



  



  



Tọa độ điểm N t



;1t;2t

  

 P

         

t

1

t

2

t

2

0

t

1

N



1;2;1



Câu 167 Chọn A

1

2

:

1

2

1

x

y

z

d











có VTCP

u





1; 2; 1

 





 

Q : 2xy2z20 có VTPT

n







2; 1; 2

 



Gọi  góc tạo

d

 

Q , ta có sin cos

 

, u n



   

Từ hình vẽ, ta có



d P,

 



MBH



   

P , Q



MCH

Ta thấy sin

3

MH MH

MCH

MC MB

  

Vậy góc



   

P , Q



MCH nhỏ sin

MCH  hay cos 3

MCH 

*Viết phương trình mặt phẳng (P) -CÁCH 1:

Mặt phẳng

 

P :AxByCzD0

Ta có  

 





2

2

0

.

0

2

2

3

3

cos

,

3

3

3

Q

Q

A

B C

n

u

A B

C

n n

A

B

C











































 

 





2 2 2

 

2 2

6 12

3

A B C A B C

B C BC

B B C B C

 

   

 

 

  

    

 

Nếu

B



0

suy

A



C



0

loại Nếu

B



0

từ

 

1 suy

2

2 1

C C C

C B

B B B

 

        

   

suy AB Mặt phẳng

 

P :BxByBzD0 qua điểm N



0; 1; 2



d suy

D



3

B

Vậy phương trình mặt phẳng

 

P :xy  z Suy

d A P



;

 





3

-CÁCH

M

H B

Gọi

 

( )

P



( )

Q

góc

( )

P

( )

Q

nhỏ

 

d

Do đó, mặt phẳng (P) thỏa đề mặt phẳng chứa

d

cắt (Q) theo giao tuyến  cho

 

d

  

  

   

 (Q)

d

nhận 













 

u

u ,n

d Q

làm vec tơ phương



(Q)

chứa

d





(P)

qua

M( ; - ; ) d

0 2



nhận   6 6

  

d

n u ,u ( ; ; )

làm vectơ pháp tuyến



(P) : x y z

   

3

0

.

Vậy

d A P



;

 





3

Câu 168 Chọn C

Ta có:

2.

 



2



2.

 



2

  

1 9

0



B

 

 

Gọi H hình chiếu A

 



AH MB, AM MB



MH



MB

MB

BH





Dấu xảy M H , lúc M hình chiếu A

 



Gọi

H x y z



; ;



,



AH





x



1;

y



2;

z



3



Ta có hệ phương trình

2

2

9

0

1

2

3

2

2

1

x

y

z

x

y

z



  





 















2

2

9

1

2

5

x

y

z

x

y

x

z



  











 

 

 



3

2

1

x

y

z

 









 

  





3; 2; 1



M



  



MB







1; 0; 2



2

:

2

1 2

x

t

MB

y

z

t

  









 

  



Câu 169 AM 



6 ; ;1



, vectơ pháp tuyến

 



n(3; 4;1) Gọi H hình chiếu vng góc A a



;



86

d A a  AH AM 



d A a



;



lớn H M

Khi a đường thẳng qua M , song song với

 



vuông góc với AM Gọi

u



vectơ phương a

u

n

u

AM

 



 















;





AM n

,

   





3; 3; 3





 

3 1;1;1





 

Chọn u



1;1;1



Đáp án D thỏa mãn

-Câu 170

Đường thẳng

d

có vectơ phương

u







0; 3; 2





Mặt phẳng

 



có vectơ pháp tuyến

n







1;1; 1





Vì

u n

 

.



0.1 3.1



 



2

  



1

 

5

0

nên

d

cắt

 



Gọi

d

1 đường thẳng qua M

d

1//

d

, suy

d

1 có phương trình:

3

1 3

1 2

x

y

t

z

t







 



  



Lấy

N



3; 4; 1







d

1 Gọi K, H hình chiếu vng góc

N

mặt phẳng

 



đường thẳng 

Ta có:





d

,

 





NMH

sinNMH NH NK

MN MN

 

Do





d

,





nhỏ K H hay  đường thẳng MK Đường thẳng

NK

có phương trình:

3

4

1

x

t

y

t

z

t

 





 



   



Tọa độ điểm K ứng với t nghiệm phương trình:



3

 

4

 



3

t t t t

           Suy 2; ; 3

K 

 

Câu 171

Gọi  đường thẳng qua I vng góc với mặt phẳng

 



Khi  nhận n  



1; 2; 3



làm

vectơ phương Do  có phương trình

3

1 2

4 3

x

t

y

t

z

t

 





 



  





3

;1 ; 3



H

  

H



t



t



t

 



3



2 2





3 3





7

0

H









t





t





t

 

  

t

1

H



4;3;1



Vậy

M



4;3;1



Câu 172 Gọi ( )Q chứa



song song với ( )P Suy ( )Q có phương trình:

1 2( 1)

x  y  x y 

Khi d B



;



min BH với

H

hình chiếu

B

lên mặt phẳng ( )Q

Đường thẳng

BH

qua

B

, vng góc với mặt phẳng ( )Q có phương trình

1

2

,

2

x

t

y

t

t

z

  











 





Tọa độ giao điểm

H

đường thẳng

BH

mặt phẳng ( )Q nghiệm hệ:

1

2

2

2

3

0

x

t

y

t

z

x

y

  



















 

 



Giải hệ ta

1 8

; ;2

5 5

H















Do



đường thẳng

AH

có

6

;

3

; 1

5

5

AH





















Suy u



6; 3; 5 





vecto phương



Câu 173 Gọi I m n p( ; ; ) điểm thỏa mãn:

3

IA





2

IB

 



0.

Ta có



IA



(1



m n

;



;2



p IB

);





(3



m

;1



n

; 1

 

p

).

3(1

) 2(3

)

0

3

3

2

0

3(

) 2(1

)

0

2

( 3; 2;8).

3(2

) 2( 1

)

0

8

m

m

m

IA

IB

n

n

n

I

p

p

p









 











 















  

 







 













 

Ta có

3

MA





2

MB





3(

 

MI



IA

) 2(



 

MI



IB

)



MI





MI

.

Khi đó,

3

MA





2

MB



đạt giá trị nhỏ nhất, M( )P  MI nhỏ nhất, M( )P

M



hình chiếu vng góc

I

( ).P

Gọi



đường thẳng qua

I

vng góc với ( ).P Khi



nhận vectơ pháp tuyến ( )P

(1;1;1)

n





làm vecto phương

3

:

2

.

8

x

t

y

t

z

t

  





Tọa độ

M

nghiệm hệ

11

3

11

3

2

3

8

9a 3

6

3.

8

8

3

22

3

1 0

22

2

3

3

3

a

x

t

x

y

t

b

S

b

c

z

t

y

x

y

z

c

z

t







 





  





 





  











 

















 





 





   















 



 

Câu 174

Gọi H hình chiếu A lên đường thẳng d Ta suy

H



1;1;1



Gọi

 

P

mặt phẳng qua điểm A

 

P

song song với đường thẳng d Gọi K hình chiếu H lên mặt phẳng

 

P

Do

d

//

 

P

nên ta có

d d P



,

 





d H P



,

 





HK

Ta ln có bất đẳng thức HK HA Như khoảng cách từ

 

d

đến

 

P

lớn AH Và

 

P

nhận AH  



1; 2;3





làm vectơ pháp tuyến

Do

 

P

qua

A



2; 1; 2

 



nên ta có phương trình

 

P

là: x2y3z100 Do

 

P

vng góc với mặt phẳng có phương trình: 3x z 20

Câu 175 Phương trình tham số đường thẳng AB

1

7

2

8

x

t

y

t

z

t

 





  



   



Gọi H, K hình chiếu M

 

P

đường thẳng AB

Ta tìm điểm

K



3; 3; 10

 



Ta ln có bất đẳng thức

d M



,

 

P





MH



MK

Dấu xảy H K Khi

MH



   



4; 2; 8



 

2 2;1; 4





Mặt phẳng

 

P

có vectơ pháp tuyến

n







2;1; 4



Vậy ta có a b 3 Câu 176 Gọi H K, hình chiếu A lên

 



d Khi ta có AH  AK

Vì Hd nên

H



2



t

; ;1

 

t



t







AH

  



1

t

; ;1

t



t



Do

AH



d

nên ta có

  



1

t





2.2

t

  

1

t

0

3 t

   Khi 2; 2; 3

AH    

 



Khoảng cách từ A đến

 



lớn AH AK Do

 



có vectơ pháp tuyến



1;1; 1



n







Vậy

 



:

1



x



2





1



y



1





1



z



1





0

xy z

Vẫn đánh giá bất đẳng thức AH AK nói trên, tốn sau lại phát biểu khác chút

d

P A

Câu 177

Ta thấy d qua A d song song với

 

P

nên d nằm mặt phẳng

 

Q

qua A

 

Q

//

 

P

Như ta chuyển xét mặt phẳng

 

Q

để thay cho

 

P

Ta lập phương trình mặt phẳng

 

Q

:

x



2

y



2

z

 

1 0

Gọi H K, hình chiếu B lên

 

Q

d Ta tìm 11 7; ; 9

H 

  Ta ln có bất đẳng thức

d B d



;





BK



BH

nên khoảng cách từ B đến d bé BH

Đường thẳng d qua A H, nên có phương trình

26 11

x y z

 

 Câu 178 Chọn A

Gọi điểm I x y z



; ;



thỏa mãn

 

IA IB





3

 

IC



0.

Mà

























1

; 4

;5

1

; 4

;5

3

; 4

;

3

; 4

;

2

; 1

;

3

6 ; 3 ; 3



























































 







 























IA

x

y

z

IA

x

y

z

IB

x

y

z

IB

x

y

z

IC

x

y

z

IC

x

y

z





3

10 ;5 ;5 5



 

IA IB







IC





x



y



z

Do đó:





2

3 2;1;1

1   

     

       x

IA IB IC y I

z

Mặt khác:



 







2 2

2 2

3

       

     

MA MB MC MI IA MI IB MI IC

2 2

0

5 . 

       

  

   

MI MI IA IB IC IA IB IC

Vì

I A B C

, , ,

cố định nên

IA

2



IB

2



3

IC

2 khơng đổi

Do đó:

MA

2



MB

2



3

MC

2 nhỏ



MI

2 nhỏ



MI

nhỏ  M hình chiếu I mặt phẳng

 



Phương trình đường thẳng

d

qua I vng góc với mặt phẳng

 



là:

2

1

1

.

3

3

2















x

y

z

d

Q

P

B

H

Gọi

 

M d

 



Tọa độ M nghiệm hệ phương trình:

2

3 3

2 1

1

2 3 ; ;

3

2 2

3 12 3 3 2 12 0

0 

 

   



   



 

    

         

 

    

 

          

  

   x

x y

x y z

x z y M

x y z x y z

z

Vậy

7

1

,

,

0

3.

2

2



 

 

   

a

b

c

S

a b c

Câu 179 Chọn D

Ta có:

2

ABM

S  AB MH với H hình chiếu vng góc M lên AB

Do AB không đổi nên

S

ABM nhỏ MH nhỏ









4; 8; 4

.

0

//( )

1;1; 1

P

P

AB

AB n

AB

P

n





 





 













 



MH nhỏ M nằm giao tuyến mặt phẳng

 

Q

 

P

; với

 

Q

mặt phẳng chứa AB vuông góc với mp

 

P













4; 8; 4

3;0;3

1;1; 1

Q

P

AB

n

n





 

























phương trình mp

 

Q

x

  

z

4

0

M nằm giao tuyến mặt phẳng

 

Q

 

P

nên tọa độ M nghiệm hệ phương trình





4

0

2 2

; 2 ; 4

2

0

4

x

t

x

z

y

t

M t

t

t

x

y

z

z

t





  







 













  



  



với

t



2

Ta có



AM





t



3; 2 ;3

 

t



t



;



BM





t



7; ; 7



t



t



Tam giác ABM vuông M nên





 



 





.

0

3

7

2 2

6 2

3

7

0

AM BM





t



t



  

t



t





t



t



 



















 

 

3

3 3 5

3

t n

t

t

t

t

t

t

t

l































 



+

t

 

3

M



3; 4;1





      

a b c

3 0

Câu 180 Gọi

n







a b c

; ;



vectơ pháp tuyến

 

P

, với

a

2



b

2



c

2



0

Điểm

M



1; 0; 2



 

d

M



 

P

Phương trình

 

P

:

ax by cz









a



2

c





0

Một vectơ phương d

u







2;1; 2





n





u





n u

 

.



0



2

a b

 

2

c



0







 







2 2 2 2

| | | |

2 ,

4

a b c a c

b a c d A P

a b c a c a c

  

      

    

Ta có













2

2 2 2 2 2

2

a

c

Suy ra:

















2 2

2

9

4

4

.

2

2

a

c

a



c



a



c







a



c



a c



Do



 







2





2 2

9 |

|

9 |

|

9 |

| 2

,

3 2.

3 |

|

9

4

2

a c

a c

a c

d A P

a c

a

c

a c

a c

























 



,



3 2

4

a

c

Max d A P

b

a









 

 



Chọn ac 1 b 4

Phương trình

 

:



,

 



P

x



y

   

z

d O P



Câu 181 Do mặt phẳng

 

P

qua

Ox

nên phương trình mặt phẳng

 

P

có dạng bycz0



2



b c 

 

 ,   ,  2 2 2 2

4

4

6

4

2

3

2

2.

4

4

6

8

7

0

0

B P A P

b c

b

c

b c

b

c

d

d

b c

b

c

b

c

b

c

b

c

c



 

















 



  















 





Trường hợp 1:

8

b



7

c



0

chọn b7;c 8

 

P

: 7

y



8

z



0

Xét

f y z



,





7

y



8

z

Thay tọa độ A B, vào ta



7.2 8.3 7.







 



4



8.

 



1





0

suy A B, nằm phía so với

 

P

(loại)

Trường hợp 2:

c



0

suy phương trình

 

P

:

y



0

Thay tọa độ A B, vào ta

2.

 



4



0

suy A B, nằm khác phía so với

 

P

Do đường thẳng AB cắt

 

P

I nằm AB

Phương trình tham số đường thẳng AB:





1 4

2 6

3 4

x

t

y

t t

z

t

 





 





  





Tọa độ điểm I nghiệm hệ phương trình

1

3

1 4

7

2 6

7

5

; 0;

3

3 4

3

3

0

0

5

3

t

x

t

y

t

x

I

z

t

y

y

z







 







 

























 







 









 





Vậy

3

a b c     

Câu 182 Gọi I điểm thỏa mãn: 2  IA IC IB02(OA OI  ) ( OC OI) ( OB OI  )0





2

1; 2; 2

OA OC OB

OI   I

   

   

Ta có





2

2 2

2

2

MA



2



MA



2

 

MI



IA



2

MI





2



IA



4

MI IA

 

.





2

2 2

2

2

.





2

2 2

2

2

.

MC





MC



MI

 



IC



MI





IC





MI IC

 

Suy

2

MA

2



MB

2



MC

2



2

MI

2



2

IA

2



IC

2



IB

2



2

MI

   



2

IA IC





IB



Suy 2MA2 MB2MC2 2MI22IA2IC2IB2 Do I cố định nên 2IA2IC2IB2 không đổi Vậy 2MA2MB2MC2 nhỏ



MI

nhỏ nhất



MI

nhỏ



M

hình chiếu I

trên (P)

 Đường thẳng  qua

I



1; 2; 2





vng góc với

 

P

là:

1 3

2 3

2 2

x

t

y

t

z

t

 





 



   



Suy tọa độ điểm M nghiệm hệ





1 3

4

2 3

1

4; 1; 0

2 2

0

3

3

2

15

0

1

x

t

x

y

t

y

M

z

t

z

x

y

z

t

 











 

 















  

























Suy

a b c

  

3

Câu 183

Gọi H hình chiếu vng góc A lên đường thẳng d, gọi K hình chiếu vng góc A lên ( )P Do khoảng cách từ A đến ( )P là:

d A P



; ( )





AK

.

Ta có

2

1

:

1

x

t

d

y

t

z

t

 











  



Vì

H



d

nên

H





2

t



1; ;

t t



1





2

2;

2;

2



AH



t



t



t





, VTCP đường thẳng d

u

d





2;1;1





.

0

2( t 2)

t t 2

0

0

d d

AH



u



AH u



  



    

 

t





 

Do

H





1; 0;1





AH



  

2; 2; 2





AH



2 3

(khơng đổi)

Vì AK AH ( đường vng góc ln ngắn đường xiên) nên AK lớn AK  AH hay

K H

Câu 184

Gọi mặt phẳng

 

Q

mặt phẳng qua A song song với mặt phẳng

 

P

Khi phương trình mặt phẳng

 

Q

1



x



3





2



y



0





2



z



1





0

x2y2z 1

Gọi H hình chiếu điểm B lên mặt phẳng

 

Q

, đường thẳng BH qua

B



1; 1;3





nhận  Q



1; 2; 2



n







làm vectơ phương có phương trình tham số

1

1 2

3

2

x

t

y

t

z

t

 





  



  



Vì

H



BH



 

Q

HBH



H



1

  

t

; ;3

t



2

t



H



 

Q

nên ta có



1



t





2



 

1 2

t





2 3





2

t



 

1

0

10

9 t

   11 7; ;

9 9

H 

  

 

26 11 ; ; 9

AH   

   

 







1

26;11;

 

Gọi K hình chiếu B lên đường thẳng d,

Ta có

d B d



;





BK



BH

nên khoảng cách từ B đến d nhỏ BK BH, đường thẳng d qua A có vectơ phương

u







26;11; 2





có phương trình tắc: :

26 11

x y z

d    



Câu 185

Đường thẳng d qua

M



1; 1; 3





có véc tơ phương

u

1





2;



1; 1





Nhận xét rằng, Ad

d



 

P



I





7; 3;



1



Gọi

 

Q

mặt phẳng chứa d song song với  Khi

d





,

d





d





,

 

Q





d A Q



,

 



Gọi H, K hình chiếu vng góc A lên

 

Q

d Ta có AH  AK

Do đó,

d





,

d



lớn



d A Q



,

 



lớn



AH

max H K Suy AH đoạn vng góc chung d 

d

d

(Q)

(P) A

I

A

Mặt phẳng

 

R

chứa A d có véc tơ pháp tuyến

n



 R







 

AM u

,

1





 



2; 4; 8



Mặt phẳng

 

Q

chứa d vng góc với

 

R

nên có véc tơ pháp tuyến

n

 Q





n

 R

,

u

1









 



12; 18;

6







Đường thẳng  chứa mặt phẳng

 

P

song song với mặt phẳng

 

Q

nên có véc tơ phương  P

,

 R

u





n

n









 



66;

42; 6









6 11;





7; 1



Suy ra, a11;b 7 Vậy a2b 3

Câu 186

x



my





2

m



1



z



m

 

2

0



m y





2

z



1



   

x

z

2

0

(*) Phương trình (*) có nghiệm với m

2

1

0

2

0

y

z

x

z



 



 

  



Suy

 

P

qua đường thẳng

2

:

1 2

x

t

d

y

t

z

t

 





 



 





2

;1 ;



K



d



K



t



t t

,



AK



 

t

; ;

t t



3



Đường thẳng d có VTCP

u





 

1; 2;1



1

; 0;

2 2

AK u  t t  t  t K 

 

 

Ta có AH AK



AH

max



AK

H K

Vậy

2

a b 

Câu 187 Vì



1 2.1 2



 





 

1 2.

 



1

 

3 2





0

nên A B nằm hai phía so với

 

P

Do

MA MB  AB nên MA MB nhỏ AB

M



AB



 

P

Phương trình đường thẳng AB:

1

1

1

x

t

y

t

z

t

 





 



  



, tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình

1

1

1

2

2

0

x

t

y

t

z

t

x

y

z

 





 





 



 

  







1 1

1 1

x t

y t

z t

t t t

        

  

        

0

0

2

1

x

y

z

t











 





 



Vậy

M



0; 0; 2



Câu 188 Gọi E điểm thỏa mãn

 

EA EB





2

EC

 



0



E



3; 0;1



Ta có: S MA2MB2 2MC2 MA2MB22MC2



ME

EA

 

2

ME

EB



2

2



ME

EC



2



 





 





 



4ME2EA2EB22EC2 Vì EA2EB22EC2 khơng đổi nên

S

nhỏ

ME

nhỏ

M

 hình chiếu vng góc E lên

 

Q

Phương trình đường thẳng ME:

3 3

1

x

t

y

t

z

t

 









  



Tọa độ điểm

M

nghiệm hệ phương trình:

3 3

1

3

3

0

x

t

y

t

z

t

x

y

z

 











 







  



0

1

2

1

x

y

z

t







 



 





  





0; 1; 2



M





a0, b 1, c2 5.2

a b c

      9 Câu 189 Với điểm I ta có



 

2

 

2



2

2 2

2

           

S NA NB NC NI IA NI IB NI IC





2 2

4

2

2

2



NI



   

NI

IA



IB



IC



IA



IB



IC

Chọn điểm I cho

2

IA IB

   





IC



0

2

   

IA IB





IC

 

0

4

   

IA



AB



AC



0

Suy tọa độ điểm I là:

I



0;1; 2



Khi S4NI22IA2IB2IC2,

S

nhỏ

N

hình chiếu I lên mặt phẳng

 

P

Phương trình đường thẳng qua I vng góc với mặt phẳng

 

P

là:

0

1

2

 





 



  



x

t

y

t

z

t

Tọa độ điểm

N t



;1



t

; 2



t

  



P

         

t

1

t

2

t

2

0

t

1



N





1; 2;1



Dạng Một số toán liên quan đường thẳng thẳng với đường thẳng

Câu 190 Chọn D

Ta thấy hai đường thẳng

d

và

d



có cùng véctơ chỉ phương hay

d

/ /

d



Vậy đường thẳng cần tìm có véctơ chỉ phương là











3;1; 2

u

và qua trung điểm I



3; 2; 2



của AB với A



2; 3; 4



d và B



4; 1; 0



d

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là













2

3

2

3

1

2

y

x

z

Câu 191

d

1 qua

M



0;3; 2



có vtcp

u







1; 2;1



,

d

2 qua

N



3; 1; 2





có vtcp

v







1; 2;1







u v

 

,

 



4;0; 4





,



MN





3; 4; 0







1

,

2



d d d











,

, u v MN

u v 

  

  12

2

4 2



Câu 192 Chọn C

1

:

2

x y z

d    





u

1





2;1; 2







; 2:

2

x y z

d    

 



u

2

  



2; 1; 2





1 1

/ /

2

u



 

u





d

d



d



d

Điểm

M



1;0; 2







d

1;

M



d

2 nên

d

1

/ /

d

2 Câu 193 Vì

2

2

1



2





nên vectơ phương u1



2; 2; 3





đường thẳng



1 không phương với vectơ phương u2   



1; 2;1





2 Tức



1 chéo với



2



1 cắt



2

Lấy

M



1; 1; 0





 

1,

N



3;3; 2





 

2 Ta có: MN



2; 4; 2



Khi đó:





u u

  

1

;

2





.

MN



0

Suy

u u MN

  

1

,

2

,

đồng phẳng

Câu 194 Gọi

A



 

1 ; 2

t

 

t

;1



t



B



 

2 ;1

t





t



; 2

 

t





hai điểm thuộc



1



2



1 2

4 ;3

; 3



AB

  

t



t



 

t t



  

t t







1 có VTCP

u







2;1;1



;



2 có VTCP

u



  



4;1; 1





AB

đoạn vng góc chung



1



2

.

0

.

0

AB u

AB u







 

 





 

 



 

 





 

 



2

1 2

4

3

3

0

6

8

2

1

8

18

10

1

4

1 2

4

3

3

0

t

t

t t

t t

t

t

t

t

t

t

t

t

t t

t t







 





 

   







































 

 









 





 

   











Suy

A



1; 1;2







AB





1;1; 3





Phương trình đường thẳng chứa đoạn vng góc chung



1



2 là:

1 1

1

1

2 3

x

t

y

t

z

t

 





  



  



Chỉ có điểm

Q



3;1; 4





có tọa độ thỏa mãn phương trình Câu 195

d

1 qua điểm M



1;0;0



, có vectơ phương u1



2;1;3



2

d

qua điểm N



1; 2;m



, có vectơ phương u2 



1;1;0





u u1, 2



 



3;3;1



 

;

MN







0; 2;

m



d

d

2 chéo



u u 1, 2



.MN0m 6 Mặt khác



1

,

2



19

d d d











1

,

.

5

,

19

u u

MN

u u







 

 

19 19

m

 

1

11

m

m

 



 

 



Khi tổng phần tử m



12

Câu 196 Phương trình tham số đường thẳng

d

1 là:

2

x t

y t

z t

   

  

   

Phương trình tham số đường thẳng

d

2 qua điểm A có vectơ phương

v







a

;1; 2



là:

1

:

1

x at

d y t

z t

    

   

     

1

d

nhận

u







1; 2;1





làm vectơ phương

d

2 nhận

v







a

;1; 2



làm vectơ phương Đường thẳng

d

1 cắt đường thẳng

d

2 hệ phương trình

1

2

3

t at

t t

t t

    





  



      

có nghiệm

Ta có:

1 0

2 2 2

3 2 0

t at t at t t

t t t t t t

t t t t a a

 

      

   

   

   

            

   

              

   

Vậy

a



0

Câu 197 Chọn A





1

3 ; ;1

Ta có



HK





m



2

t



2; 2

m t

 

2;

m t

 

1



Đường thẳng

d

có VTCP

u



d





1;1; 2





d

 



u HK

d

.



0

 





2

0

2

4;

2;

m t

m

t

HK

t

t



 





  



  





Ta cóHK2   



t 4



2



t2



2 

 

3 2



t1



22727, t  27 ,

minHK

  đạt

t

 

1

Khi ta có

HK



   



3; 3; 3



, suy

u





1;1;1





h



k

 

1

h k





0.

Câu 198 d qua

A



2;1; 4



và có véc tơ phương

u

1

 



1; 2; 2







d qua

B



4; 1; 0





có véc tơ phương

u



2





1; 2; 2





Ta có

u



1

 

u



2 1

1 2

 

 

 nên d d// 

Đường thẳng  thuộc mặt phẳng chứa d dđồng thời cách hai đường thẳng









// //

, ,

d d

d d d d

    



  

 

hay  qua trung điểm

I



3; 0; 2



có véc tơ phương

u







1; 2; 2





Khi phương trình :

1 2

x y z

 



Câu 199 Đường thẳng

d

1 qua điểm

M

1





3; 1; 1

 



có véctơ phương

u

1





1; 2;1







Đường thẳng

d

2 qua điểm

M

2





0; 0;1



có véctơ phương

u



2





1; 2;1





Do

u

1



u

2

 

M

1



d

1 nên hai đường thẳng

d

1

d

2 song song với Ta có

M M



1 2

 



3;1; 2



,



u M M

1

,

1 2

    



5; 5; 5







 





5 1;1;1;

 

Gọi

 



mặt phẳng chứa

d

1

d

2

 



có véctơ pháp tuyến

n







1;1;1



Phương trình mặt phẳng

 



xy  z

Gọi

A



d

3



 



A



1; 1;1





Gọi

B



d

4



 



B





1; 2; 0



Do



AB

 



2;3; 1





không phương với

u



1





1; 2;1





nên đường thẳng AB cắt hai đường thẳng

d

1

d

2

Câu 200 Đường thẳng

d

1 qua điểm

M

1





1; 0; 0



có VTCP

u



1





2;1;3



Đường thẳng

d

2 qua điểm

M

2





1; 2;

m



có VTCP

u



2





1;1; 0



Ta có:

M M



1 2





0; 2;

m



;



u u

1

,

2

  



3;3;1







 

Do



u u M M

1

,

2





1 2



m



6

Điều kiện cần đủ để

d

1

d

2 chéo khoảng cách chúng

19

6

5

19

19

m







m



6



5

6

5

6

5

m

m

 



 

  



1

11

m

m

 



 

 



Câu 201 Gọi

A B

;

hai điểm thuộc



1và



2 cho

AB

là đoạn thẳng vng góc chung đường Gọi

M

trung điểm

AB

Dễ có mặt cầu tâm

M

bán kính

2

AB

R



tiếp xúc với hai đường thẳng



1và



mặt cầu có bán kính bé

Ta có tọa độ theo tham số

A B

;

là:

1 1

(2

1;

1; 2

1)

A t



t



t



B t

(2

2



1; 2

t

2



1;

t

2



1)

 AB(2t22t12; 2t2t12;t22t12) 

Có u1(2;1; 2)



và u2(2; 2;1) 

lần lươt vectơ phương



1và



2nên

AB

u

AB

u























2 2

2 2

(2 2).2 (2 2).1 ( 2).2

(2 2).2 (2 2).2 ( 2).1

t t t t t t

t t t t t t

        

  

        



1

2

2

2 10

8

9

10

0

17

9

8

10

0

10

17

t

t

t

t

t

t











































3

7 3

(

;

;

)

17 17 17

A





;

B(

3

;

3 7

;

)

17 17 17





6 4

4

(

;

;

)

17 17 17

AB





2 2

( 6) 4

1 17

.

2

2

17

17

AB

R













Diện tích mặt cầu cần tính 2 17 17

S



R 







(đvdt) Câu 202 Đường thẳng

d

1 có vectơ phương

u

1



(2;1; 0)



Đường thẳng

d

2 có vectơ phương

u



2

 

( 1;1; 0)

Để phương trình mặt cầu

 

S

có bán kính nhỏ đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng

d

1

d

2 khi:

Tâm mặt cầu

 

S

nằm đoạn thẳng vng góc chung đường thẳng

d

1

d

2, đồng thời trung điểm đoạn thẳng vng góc chung

Gọi điểm

M



2 ; ; 4

t t



thuộc

d

1; gọi điểm N(3t t'; '; 0) thuộc

d

2 với

MN

đoạn vng góc chung

d

d

2

Ta có

MN







3

 

t

' ; '

t t

 

t

; 4



MN

đoạn thẳng vng góc chung

.

0

.

0

MN u

MN u







 







 

 





  



2 3

2

0

1 3

2

0

t

t

t

t

t

t

t

t











 





 













 





5

6

1

2

3

1

t

t

t

t

t

t

 



















 









(2;1; 4)

(2;1; 0)

M

N



 



Gọi điểm

I

tâm mặt cầu

 

S

, điểm

I

trung điểm

MN



2;1; 2



I





R



IM



IN



2

Mặt cầu

 

S

có tâm

I



1; 2; 3





bán kính

R



1

2



2

2

 

 

3



13



3 3

Gọi

 

C

đường tròn giao tuyến mặt phẳng



ABC



mặt cầu

 

S

Đặt

MA



MB



MC



x

ABx BC; x 2;CAx tam giác

ABC

vng B nên trung điểm H

AC

tâm đường tròn

 

C

H I M, , thẳng hàng

Vì



AMC



120

0 nên tam giác

AIC

x

3



R



x



3

suy

IM



2

AM



2

x



6

Lại có

M



d

nên

M



   

1

t

; 2

t

;1



t

 

,

t



1



mà

IM



6

nên



t2



2



t4



2



t4



2 36

2

3t 4t

  

0 t

t    

  

Mà a > nên

t suy 1; 7; 3

H  

 

nên 3 112

a b c 

Dạng Một số toán liên quan điểm – mặt – đường – cầu Dạng 7.1 Bài tốn tìm điểm

Câu 204 Chọn D

Tọa độ điểm H hình chiếu điểm I mặt phẳng

 

P

Phương trình đường thẳng

d

qua I vng góc với mặt phẳng

 

P là:

   

  

   

1 2

x t

y t

z t

Tọa độ điểm H giao điểm

d

 

P , ta có:













 

 



   

2 2t 2 2t t t

Vậy H



3; 0; 2



Câu 205

n

P





1 2

;



;





véc tơ phương đường thẳng OH 2 :

x t

OH y t

z t

  

   

  



; 2;



H t t t

 

 

H P  t 2.



2t



2 t90 t 1 H



1 2; ;2



 abc 1 Câu 206 Chọn A

Khoảng cách từ điểm I đến mp(P) là:





2 2

5 2.( 3) 2.5 3

; ( )

6

1

( 2)

2

d I P













 



AB

tiếp xúc với ( )S

B

nên tam giác

AIB

vuông B, ta có:





2





2 2 2

2 ; ( )

IA IB AB  R AB    d I P



A

hình chiếu I lên (P)

H M A

I

Đường thẳng IA qua

I



5; 3;5





có VTCP

u

 



n

( )P





1; 2; 2





có phương trình

5

3 2

5 2

x

t

y

t

z

t

 





  



  



Có AIA( )P   5 t 2( )  t 2(5 ) 3 t  0   t A(3;1;1)



OA



11

Câu 207 Chọn B

Mặt cầu

 

S

có tâm

O



0; 0; 0



bán kính R Gọi

M



1



t

0

;1 ; 3



t

0



t

0





d

Gỉa sử

T x y z



; ;

  



S

tiếp điểm tiếp tuyến MT với mặt cầu

 

S

Khi

2 2

OT MT OM



0





0







0





2



0



2



0



2



0



2

9

x

1

t

y

1 2

t

z

2 3

t

1

t

1 2

t

2 3

t

 















































1

t

0



x



1 2

t

0

 

2 3

t

0



z

9

0













 

Suy phương trình mặt phẳng



ABC



có dạng



1



t

0



x





1 2



t

0



y





2 3



t

0



z

 

9

0

Do

D



1;1; 2

 



ABC



nên

1



t

0

 

1 2

t

0



2 3





t



 

9

0



t

0

 

1



M



0; 1;5





Vậy T 02 

 

1 252 26

Câu 208 Gọi

 

P

mặt phẳng trung trực AB, phương trình

 

P

là: xz 1 Ta có nP 



1; 0;1 ,



n 



2; 1; 2



nên n nP,  



1; 0; 1



 

Gọi d giao tuyến mặt phẳng

 

P với mặt phẳng

 



Chọn ud 



1; 0; 1



và điểm M



1;10; 0



dnên phương trình tham số d là:

10

x t

y

z t

   

     

Do tam giác ABC nên CACB hay Cthuộc mặt phẳng trung trực ABmà C

 



nên

   

C P 



d suy tọa độ C có dạng C



1t;10;t



Do ABC nên AC  AB , thay tọa độ điểm ta có:



1 t 0



2



100



2  



t 3



2 



 2 0



2



00



2



1 3



2  t24t510 *

 

Do phương trình

 

* vơ nghiệm nên khơng tồn điểm Cthỏa mãn yêu cầu toán

Câu 209 Mặt cầu

 

S

1

:

2

9

x



y



z



có tâm

O



0; 0; 0



, bán kính

R

1



3

M



d



M



1



a

; ; 3



a



a



Do MA, MB,

MC

tiếp tuyến A, B,

C

với mặt cầu

 

S

1 Suy MA2 MB2 MC2 OM29

Khi A, B,

C



 

S

2 có tâm M , bán kính

2

2

R  OM 

Ta có phương trình

 

S

2

:



x





a



1





2





y





2

a



1





2





z





2 3



a





2



OM

2



9



 

S

2

:

x

2



y

2



z

2



2



a



1



x



2 2



a



1



y



2 3





a z



 

9

0

Mặt khác theo giả thiết A, B,

C

thuộc mặt cầu

 

S

1

Suy tọa độ A, B,

C

thỏa mãn hệ:













2 2

2 2

9

0

2

1

2 2

1

2 3

9

0

x

y

z

x

y

z

a

x

a

y

a z







 





















 





Do phương trình mặt phẳng



ABC



là:

2



a



1



x



2 2



a



1



y



2 3





a z





18



0





Với

a

 

1

, ta có

M



0 ; 1;5





Khi T x02y02z02 26

Câu 210

Mặt cầu ( )S tâm (1; 0; 1)I  , bán kính

R



1

2



0

2

 

( 1)

2

 

1 1

Gọi

K

hình chiếu vng góc

I

lên d

Kd nên ta giả sửK t( ; 2t;t)

(

1; 2

;

1)

IK



t



  

t

t



,

u



d



(1;1; 1)



véctơ phương đường thẳng d IK d



 

IK u

.

d

       

0

t

1 2

t t

1 0

 t 0.K(0; 2; 0)

ITK



vuông T có TH đường cao nên IT2 IH IK

6

IH







IK



6



1

6

IH

IK









Giả sửH x y z( ; ; )

1

1

.( 1)

6

1

0

.2

6

1

1

.1

6

x

y

z



 













 





 





5

6

1

3

5

6

x

y

z





























Vậy 1; ; 6

H  

 

Câu 211 Do

d



hình chiếu

d

lên mặt phẳng

 

P

d



giao tuyến mặt phẳng

 

P mặt phẳng

 



chứa

d

vng góc với mặt phẳng

 

P



vec tơ pháp tuyến mặt phẳng

 



n



 







u n

 

d

,

P





 



3;2; 1





Phương trình mặt phẳng

 



qua A



2;0; 2



có vec tơ pháp tuyến

n



 

 



3;2; 1





3x2y  z

Do





hình chiếu



lên mặt phẳng

 

P





giao tuyến mặt phẳng

 

P mặt phẳng

 



chứa



vng góc với mặt phẳng

 

P



vec tơ pháp tuyến mặt phẳng

 



n



 







u n

 



,

P









0; 2; 2

 



Phương trình mặt phẳng

 



qua B



3;1; 4



có vec tơ pháp tuyến

n



 





0; 2; 2

 



y  z

Tọa độ điểm

M

nghiệm hệ phương trình

2

0

1

3

2

4

0

2

5

0

3

x

y

z

x

x

y

z

y

y

z

z



  

 











  











  









Dạng 7.2 Bài tốn tìm mặt phẳng

Câu 212 Chọn C

 

S

có tâm

I



2;3; ;





bán kínhR4



1; 1; 1





3; 4; 0



A

  



IA



  

, tính

IA



5

Mặt phẳng cố định qua điểm H hình chiếu M xuống IA nhận

IA



  



3; 4; 0



làm vectơ pháp tuyến

Do hai tam giác MHI AMI đồng dạng nên tính

2

2 16

.

5

IM

IM

IH IA

IH

IA









, từ tính 16

25

IH  IA

 

tìm 11; ; 25 25

H  

 

Mặt phẳng cần tìm có phương trình là: 11

25 25

x y x y

   

          

   

Câu 213 Chọn B

Mặt cầu

 

S

có tâm

I





1;1 2





; R Véctơ phương

d

:

u

d





1; 2; 1







Véctơ phương :

u







1;1; 1







Gọi

 

P

mặt phẳng cần viết phương trình

Ta có





u u

d

,



  





1;0; 1





 

nên chọn véctơ pháp tuyến

 

P

n







1; 0;1



Mặt phẳng

 

P

có phương trình tổng quát dạng:

x z

 

D



0

Do

 

P

tiếp xúc với

 

S

nên



;

 



1 2

2

2

D

d I P



R



  



5

3

2

1

D

D

D











 





Chọn

 

P

:

x

  

z

1 0

Câu 214 Cách 1:

Gọi

n







2 ; ;

a b c



véctơ pháp tuyến mặt phẳng

 

P

cần lập, a2b2c2 0 Đường thẳng  có vectơ phương

u



 



3; 2; 2



Mặt phẳng

 

P

song song với  nên ta có

n u

 

.

  

0

6

a



2

b



2

c



0

 

c

3

a b



Mặt phẳng

 

P

qua Mvà có vectơ pháp tuyến

n



nên phương trình có dạng:







 





Mặt cầu

 

S

có tâm

I



1; 2;3



và bán kính R1 Mặt phẳng

 

P

tiếp xúc với mặt cầu

 

S



 







2

2

3

, 1

4

3

b

d I P

a

b

a b



 









2

2

3

1 13

13

2

6

b

b

a

b

ab

a

b

ab



 











2 2 2

9b 13a 2b 6ab 13a 6ab 7b

       





13

7



0

13

7

a

b

a b

a

b

a

b













 

 



Với ab, chọn a1,b1, thay vào

 

*

ta pt

 

P

1

: 2

x

 

y

2

z



13



0

Ta có

N



6; 2; 2



 

Dễ thấy

N



 

P

1 , suy

 

P

1

: 2

x

 

y

2

z



13



0

song song với  Với

13

a

 

7

b

, chọn a7,b 13, thay vào

 

*

ta pt

 

P

2

:14

x



13

y



34

z



51 0



Ta có

N



6; 2; 2



 

, dễ thấy

N



 

P

2 , suy

 

P

2

:14

x



13

y



34

z



51 0



song song với  Vậy chọn B

Cách 2: ( Trắc nghiệm)

Gọi

 

P

mặt phẳng thỏa mãn u cầu tốn có vectơ pháp tuyến

n



Vì

 

P

qua

M



4;3;1



nên phương án A, C bị loại

Đường thẳng có vectơ phương

u



 



3; 2; 2



 

P

song song với đường thẳng  nên

n u

 

.



0

Do phương án D bị loại

Vậy phương án B phương án thỏa mãn yêu cầu tốn Câu 215 Chọn C

 

S

có tâm

I



2;3; ;





bán kínhR4



1; 1; 1





3; 4; 0



A

  



IA



  

, tính

IA



5

Mặt phẳng cố định qua điểm H hình chiếu M xuống IA nhận

IA



  



3; 4; 0



làm vectơ pháp tuyến

Do hai tam giác MHI AMI đồng dạng nên tính

2

2 16

.

5

IM

IM

IH IA

IH

IA









, từ tính 16

25

IH  IA

 

tìm 11; ; 25 25

H  

 

Mặt phẳng cần tìm có phương trình là: 11

25 25

x y x y

   

          

   

Câu 216 Chọn B

Mặt cầu

 

S

có tâm

I





1;1 2





; R Véctơ phương

d

:

u

d





1; 2; 1







Véctơ phương :

u







1;1; 1







Gọi

 

P

mặt phẳng cần viết phương trình Ta có





u u

d

,



  





1;0; 1





 

nên chọn véctơ pháp tuyến

 

P

n







1; 0;1



Mặt phẳng

 

P

có phương trình tổng qt dạng:

x z

 

D



0

Do

 

P

tiếp xúc với

 

S

nên



;

 



1 2

2

2

D

d I P



R



  



5

3

2

1

D

D

D











 





Chọn

 

P

:

x

  

z

1 0

Câu 217 Chọn D

Véc tơ phương dlà u



3;1; 4





, véc tơ pháp tuyến mặt phẳng

 

P n Mặt cầu

 

S có tâm I



3; 3;1



bán kính R3

Vì

 

P chứa d nên u n  0

 

P tiếp xúc với

 

S nên d I P



;

 



3

Ta xét phương trình u n  0 Lấy hai điểm nằm đường thẳng dlà M



4;0; 4





1; 1;0



N 

Ta nhận thấy: M



4;0; 4



N



1; 1;0



không thỏa mãn đáp án A B C; ; Vây, đáp án D

Câu 218 Chọn B

Đường thẳng

d

1 có vtcp

u



1



3; 1; 1

 



, đường thẳng

d

2 có vtcp

u



2



1;1; 1





Gọi

n



vtpt mặt phẳng

 



cần tìm Do

 



song song với hai đường thẳng

d d

1

,

2 nên

n u

 



1

n u

 



2 , từ ta chọn





1

,

2; 2; 4

n









u u

 







Suy

 



:

x

 

y

2

z c

 

0

Mặt cầu

 

S

có tâm

I



1; 0; 2





, bán kính R

 



tiếp xúc với

 



;

 



6

3

6

3

6

3

6

c

c

c

S

d I

c

c

 



























  

 





Dạng 7.3 Bài toán tìm đường thẳng

Câu 219 Chọn C

Ta có tâm bán kính mặt cầu

 

S I



3; 2;5 ;



R6

1 4

6

IE



 





R

Gọi  đường thẳng qua E

Dây cung nhỏ khoảng cách từ tâm tới đường thẳng  lớn Ta có d I



, 



IH IE

Vậy dây cung nhỏ đường thẳng  vng góc với



IE

  



1; 1;; 2





Dựa vào đáp án ta thấy vecto phương

u



1





9;9;8



u



3

 



5;3;0



u



3





1; 1;0









4

4;3; 3

u







Thì có u IE 3 0

Nhận xét: ta hồn tồn viết pt đường thẳng  cách viết pt mặt phẳng

 

Q qua E nhận



IE

  



1; 1;; 2





làm vecto pháp tuyến,  

   

P  Q

Câu 220 Mặt cầu

 

S

1 có tâm

O



0;0;0



, bán kính

R

1



5

Mặt cầu

 

S

2 có tâm

I



0;0;1



, bán kính

R

2



2

Có

OI

 

1

R

1



R

2 nên

 

S

2 nằm mặt cầu

 

S

1

Giả sử

d

tiếp xúc với

 

S

2 H cắt mặt cầu

 

S

1 M ,

N

Gọi K trung điểm

MN

Khi

IH



R

2



2

OH



OK

Theo giả thiết

MN

 

8

MK



4



OK



R

12



MK

2



5

2



4

2



3

Có

OI



1

, IH 2



OK



OI



IH



OH



OK

Do

OH



OK

, suy H K, tức

d

vng góc với đường thẳng

OI

(S2)

(S1)

M

N

H

Đường thẳng

d

cần tìm vng góc với véc tơ

u







1; 1;0





vng góc với

OI







0; 0;1



nên có véc tơ phương

u

3





OI u

,







1;1; 0













Câu 221 Ta có: Mặt cầu

 

S có tâm I



2;3;5



, bán kính

R



10

 





 

2

2

2.2 2.3 15

,

6

2

2

1

d I







 





R

 



   



S C H r



;



   ,H hình chiếu I lên

 



Gọi 1 đường thẳng qua I vng góc với

 



 1 có VTCP u1 



2; 2;1







PTTS 1

2 2

:

3 2

5

x

t

y

t

z

t

 









 

  



Tọa độ H nghiệm hệ:

2

2

3 2

5

2

2

15

0

x

t

y

t

z

t

x

y

z







  





 







 





2 x y z

     

  



2; ;3



H

 

Ta có AB có độ dài lớn



AB

đường kính

 

C

  

MH

Đường thẳng MH qua M



3;3; 3



có VTCP MH



1; ; 6



Suy phương trình : 3

1

x y z

  

Dạng 7.4 Bài tốn tìm mặt cầu

Câu 222 Chọn D

Gọi I trung điểm AB



I



3; 2;1



 



;



3 1

2 3

3

d I P



 



Gọi

 

S

mặt cầu có tâm

I



3; 2;1



bán kính 2

AB

R  

Ta có

H



 

S

Mặt khác

H



 

P

nên

H



     

C



S



P

Bán kính đường trịn

 

C

 



 





 



2

2

;

3 2

2 3

6

R



R





d

I P







Câu 223 Chọn B

 

P Oz A



0; 0; 3



Tọa độ

B

nghiệm hệ phương trình:





2

2

2 10 4; 2;

5

2 12

1

x y z x

x y z

x y y B

x y z

y z z

    

 

   



  

        

    

 

      



  

Gọi

I

trung điểm



2; 1;5



4 4

3.

AB



I





IA



 



Câu 224

Gọi H trung điểm đoạn thẳng

AB



IH



AB HA

,



4

Mặt cầu

 

S

có tâm

I





2 ; ; 0



, bán kính R 13m,



m13



Đường thẳng  qua

M



4 ; ; 3



có véc tơ phương u 



2 ; ; 2



Ta có:













,

6 ; ; 3

,

3; ; 6

,

3

IM u

IM

IM u

IH

d I

u





















 







 



 



 



Ta có:

R

2



IH

2



HA

2



13



m



3

2



4

2



m

 

12

Câu 225 Chọn C

Ta có:

I



 

d



I



2 ;3

t



t

; 2



t



 

 

: 2

2 3





2 2





0

1



2; 4;3



I



P



P

t





t





t



  

t

I

 

Q

tiếp xúc với

 

S

nên



,

 



2

7

R



d I Q



Vậy

  

: 2



2



4



2



3



2

7

S x  y  z 

Câu 226  Mặt cầu

 

S

có tâm

I



3; 2;1





; R10

 Khoảng cách từ I đến

 

P



;

 



IK



d I P



  



 Đường thẳng qua

I



3; 2;1





vuông góc với

 

P

có phương trình tham số

3 2

2 2

1

x

t

y

t

z

t

 





  



  



Tọa độ

tâm K nghiệm hệ phương trình





3 2

2 2

1; 2;3

1

2

2

9

0

x

t

y

t

K

z

t

x

y

z

 





  









 







  



R

B

I

A H

 Bán kính:

r



R

2



IK

2



100 36





8

Câu 227 Chọn B

Gọi

d

trục



ABC

, ta có



ABC



:xy z 20

Do



ABC

nên

d

qua trọng tâm 2; 2;

3 3

G   

 

có VTCP u (1;1;1), suy

2 :

3

x t

d y t

z t



   

 

   

 

   



Ta thấy



DAB

 

DBC

 

DCA

, suy

DA



DB



DC



D d



nên giả sử

2 2

; ;

3 3

D  t  t t

 

Ta có ; ; ; ;4 ; ; ; ;4

3 3 3 3 3

AD  t  t t BD  t  t t CD   t t t

     

  

Có





2 4

; ;

3 3 3 3

2

0; 0; ( )

t D

AD BD AD CD

t D loai

  

       

 

   



  

  

   

 

Ta có ; ;

3 3

Id I  t  t t

 

, tứ diện

ABCD

nội tiếp mặt cầu tâm I nên

1 1

; ;

3 3

IAID t  I   S  

 

Câu 228 Chọn D

Gọi I trung điểm AB



I



3; 2;1



 



;



3 1

2 3

3

d I P



 



Gọi

 

S

mặt cầu có tâm

I



3; 2;1



bán kính 2

AB

R  

Ta có

H



 

S

Mặt khác

H



 

P

nên

H



     

C



S



P

d A

D

C

M

B I

Bán kính đường trịn

 

C

 



 





 



2

2 2

;

3 2

2 3

6

R



R





d

I P







Câu 229 Cách 1:

Ta có



AB



3;1; 2





là véc tơ phương đường thẳng

AB

Phương trình tham số đường thẳng AB

3

4

x t

y t

z t

  

     

Giả sử

AB

cắt

 

P T



3 ; ; 4t t 2t



Do

T



 

:2

2

1 0

7

3

P

x



y



z

   

t



Khi

7 26 14 14 10 20 10 14

7;

;

;

7; ;

;

10;

;

3

3

3

3

3

3

3

3

T













TA













TA



TB













TB



















Ta có

.

980

14 5

9

3

TC



TA TB





TC



Điểm Cthuộc mặt phẳng

 

P cách điểm

T

cố định khoảng

14 5

3

Vậy C ln thuộc đường trịn cố định bán kính

r



14 5

3

Cách 2:

Ta có



 



 





,

7

;

14

,

10

d A P

TA

AB

TB



d B P





Giả sử

AB

cắt

 

P T Suy A nằm B

T

(

A B

,

phía so với

 

P ) Khi ta có

7

14

14

3

10 14

3

7

10

T

TB TA

TA

TB

A

TB





































2

980

14 5

.

9

3

TC

TA TB

TC











Câu 230 Chọn B

Ta có:



AB





2; 1; 1







,



AD





1;1;1



DC







2; 1; 1







Ta thấy:

 

AB AD

.



2.1 1.1 1.1 0







 

AB



DC

nên tứ giác

ABCD

hình chữ nhật Gọi M trung điểm

AC

Ta có: 5; 2;3

2

M 

Gọi

d

đường thẳng qua M vng góc với mặt phẳng



ABCD



Ta có:





 

AB AD

,

 





0; 3;3





Vectơ phương đường thẳng

d

là:

u







0; 1;1





Phương trình tham số đường thẳng

d

là:

5 2 x

y t

z t

   

       

Ta có:

SA







0;3; 3





Ta thấy



SA

phương với

u



nên suy

SA





ABCD



Gọi

N

trung điểm

SA

, ta có: 1; ;1

2

N 

 

Do

I x y z



; ;



tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABCD

.

nên

5

; ;3

2

I t t

I d

NI d

NI u

  

 



   

  

 



  

   Mà: 3; ;

2 2

NI  t  t

 



Suy ra: 3 9; ;

2 2 2

NI u  t  t   t  I 

 

 

Ta có:





SA AD

 

,

 





6; 3; 3







Một vectơ pháp tuyến



SAD



là:

1

,



2; 1; 1



6

n







SA AD







 

 



Phương trình tổng quát mặt phẳng



SAD



là:



 

 



2

x



1



y



2



z



3



0



2

x

   

y

z

3

0

Vậy









5

1

9

2.

3

6

2

2

2

,

2

4 1

d I

SAD











 

Câu 231 Có A(1;1;1), (2; 2;1)B



Phương trình AB:

1

1

1

x

t

y

t

z

 





 



 



Gọi

K

giao điểm

AB

 

P



K



 1; 1;1



Có Mặt cầu

 

S tiếp xúc với

 

P

H



HK

tiếp tuyến

 

S



12

KH KA KB KH 

 

không đổi



Biết

H

chạy đường trịn bán kính 3 khơng đổi Câu 232 Chọn C

Gọi

I a b c



; ;



tâm mặt cầu

Mà



 







2

2

1

1

,

1

1

1

1

a

b

c

m

m

d I

m

m



 













Ta có

















2

2

2

1 1 1

1

1

1

1 1

2 1(do 0;1

1

1

1

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m







 

































 















Nên





























 









 

2

2

2 2

2 2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0 1

1

1

0 2

a

m

bm cm

m

m

m

m

m

R

m

m

a am bm cm cm

m m

R

m

m

R

Rm

Rm

a am bm cm cm

m m

R

Rm

Rm

a am bm cm cm

m m

m

R c

m a b c

R

R a

m

R c

m b c a

R

R

a









































 

















 

 





















 



  









 

 



  











Xét (1) mặt cầu tiếp xúc với tiếp xúc đồng thời với hai mặt phẳng

   



,



với

m





0;1



nên pt (1) nghiệm với

m





0;1







1 0

1 0

; ;1

0

1

R c

a

R

a b c

R

b

R

I R R

R

R a

c

R

  















  

 



















 





Mà



,

 



2

2 1





10

3

12

3

6( )

3

R

R

R

R

R

d I

R

R

R

R

l



























 

 



Xét (2) tương tự ta





1 0

1 0

;

;

1

0

1

R c

a

R

b c a

R

b

R

I

R

R R

R

a

c

R

  

 













  

 





 

























Mà



,

 



2

2 1





10

3

12

6

3( )

3

R

R

R

R

R

d I

R

R

R

R

l





























 

 



Vậy

R

1



R

2



9

Gọi

d

trục



ABC

, ta có



ABC



:xy z 20

Do



ABC

nên

d

qua trọng tâm 2; 2;

3 3

G   

 

có VTCP u (1;1;1), suy

2 :

3

x t

d y t

z t



   

 

   

 

   



Ta thấy



DAB

 

DBC

 

DCA

, suy

DA



DB



DC



D d



nên giả sử

2 2

; ;

3 3

D  t  t t

 

Ta có ; ; ; ;4 ; ; ; ;4

3 3 3 3 3

AD  t  t t BD  t  t t CD   t t t

     

  

Có





2 4

; ;

3 3 3 3

2

0; 0; ( )

t D

AD BD AD CD

t D loai

  

       

 

  

  

  

  

   

 

Ta có ; ;

3 3

Id I  t  t t

 

, tứ diện

ABCD

nội tiếp mặt cầu tâm I nên

1 1

; ;

3 3

IAID t  I   S  

 

Dạng 7.5 Bài toán cực trị Câu 234 Chọn C

d A

D

C

M

B I

Mặt phẳng có vtpt n



1; 2; 2



Mặt cầu

 

S có tâm I



1; 2; 1



bán kính

r



1

Nhận thấy góc

u



n



45

ο Vì

d I



;

 

P





2 1

 

r

nên

 

P không cắt

 

S

Gọi H hình chiếu

N

lên

 

P NMH45ο ο

2

sin 45

NH

MN





NH

nên

MN

lớn

NH

lớn Điều xảy

N



N



HH với

N



giao điểm đường thẳng

d

qua I, vng góc

 

P H hình chiếu I lên

 

P

Lúc

NH

max



N H

 

 

r d I



;

 

P





3

max max

ο

sin 45 NH

MN





Câu 235 Ta có tâm

I



1; 2; 0





bán kính R2

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng

 

P

ngắn M hình chiếu I lên mặt phẳng

 

P

Đường thẳng qua I vng góc với mặt phẳng

 

P

có phương trình tham số

1 2

2

2

x

t

y

t

z

t

 





  



 



Khi

tọa độ M nghiệm hệ phương trình

1 2

2 2

x t

y t

z t

x y z

  

    

  

    





 



 

1 2

2 2 2

x t

y t

z t

t t t

   

   

   

       



1 4 3 x

y

z

t 

         

        

Câu 236 Chọn C

Mặt phẳng có vtpt n



1; 2; 2



Mặt cầu

 

S có tâm I



1; 2; 1



bán kính

r



1

Nhận thấy góc

u



n



45

ο Vì

d I



;

 

P





2 1

 

r

nên

 

P không cắt

 

S

Gọi H hình chiếu

N

lên

 

P NMH45ο ο

2

sin 45

NH

MN





NH

nên

MN

lớn

NH

lớn Điều xảy

N



N



HH với

N



giao điểm đường thẳng

d

qua I, vng góc

 

P H hình chiếu I lên

 

P

Lúc

NH

max



N H

 

 

r d I



;

 

P





3

max max

ο

sin 45 NH

MN





Câu 237

 

S

có tâm

I





1; 2;1



bán kính

R



1

Ta có:



 



2 2

1 2.2 2.1

d ,

1 2

I P



 









R





Gọi H hình chiếu vng góc

N

mặt phẳng

 

P



góc

MN

NH

Vì MN phương với u nên góc



có số đo khơng đổi,





HNM



Có cos

cos

HN MN



MN HN



   nên

MN

lớn



HN

lớn



 



,



3

HN



d I P



R



Có

cos

cos



,



1

2

P

u n





 



nên

cos

MN HN



 

Câu 238

Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2; 1)  , bán kính

R



3

;

d I P



; ( )





4



R



mặt cầu ( )S mặt phẳng ( )P khơng có điểm chung

Dựng IH ( ), (P H( ))P Ta có:

MN

nhỏ M giao điểm đoạn IH với ( )S

N



H

Phương trình đường thẳng IH:





1 2

2

;

1 2

x

t

y

t

t

z

t

 





  





   





Điểm

M



1 ; 2



t

   

t

; 2

t





( )

S

nên



x1



2



y2



2



z1



2 9

 

2t

 

t

 

2t t

        Khi

M

1



3; 3;1 ,





M

2



  

1; 1; 3



Thử lại:

d M



1

;( )

P





1

;

d M



2

;( )

P





7



IH



4

(loại)

Vậy

MN

min



MH



1



3; 3;1 ; N



11; 10 5;

3 3

M    

 

Câu 239 Gọi H



2 ;1 ; 1t  t  t



hình chiếu I lên đường thẳng

d

Ta có: 2



1



2



 



4; 1;

3 3

d

IH u   t   t   t   t H   

 

 

Vì

IH



10



4



R



d

cắt mặt cầu

 

S điểm phân biệt

Mặt phẳng

 

Q chứa

d

ln cắt

 

S theo đường trịn bán kính

r

Khi

r

2



R

2



d

2



I Q

,

 





R

2



d

2



I d

,





16 10





6

Do mặt phẳng

 

P chứa

d

cắt mặt cầu theo đường trịn có diện tích nhỏ

 



,





,



d I P d I d hay mặt phẳng

 

P qua H nhận 5; ;

3 3

IH   

 



làm vectơ pháp tuyến,

 

P có phương trình

x



5

y



8

z



13 0



Khi điểm O



0; 0; 0



có khoảng cách đến

 

P lớn Câu 240 Gọi

I



d



 

P



I



1; 2



t

;1



 

2

1

0

1



1;1;1



I



P



  

t

  

t

I

Ta có

d



 

P



M

thuộc đường tròn tâm I



1;1;1 ,



R1 2

P

M I

























2

2 2 2

2 2

2 2

1

; ; ; y;11 ; ; ;8

2

2 11

2

3 3 6 42 126

2 14 42

N x y z NA x z NB x y z

NA NB x y z x y z

x y z x y z

x y z x y z

 

          

 

  

              

 

 

 

       

       

 

Vậy

N



S J





1;1;7 ;



R

2



3



J

 

P :y1 Nên

N

thuộc đường tròn tâm

J



1;1;7 ;



R

2



3

Ta có

IJ



6



R

1



R

2



MN

min



IJ



R

1



R

2



1

Câu 241 Xét điểm I sao cho:

2

  

IA IB





0.

Giả sử

I x y z



; ;



,

ta có:



4

;3

;1



,



3

;1

;3



.

IA



x



y



z

IB



x



y



z





Do đó:

















2 4

3

2

0

2 3

1

5;5;

2 1

3

x

x

IA IB

y

y

I

z

z



 















 









 



  

Do đó:

P



2

MA

2



MB

2



2



 

MI



IA

 

2



MI

 



IB



2





2 2

2MI 2IA 4MI IA MI IB 2MI IB

           





2 2

2 2

MI IA IB MI IA IB

    

     





2 2

2

2

2

MI

IA

IB

MI

IA IB









  



2 2

2

MI IA IB

  

Do I cố định nên

IA IB

2

,

không đổi Vậy P lớn (nhỏ nhất) MI2 lớn (nhỏ nhất)



MI

lớn (nhỏ nhất)



M

giao điểm đường thẳng IK (với

K



1; 2; 1





tâm mặt cầu (S)) với mặt cầu (S)

Ta có: MI qua

I



5;5; 1





có vectơ phương

KI





4;3;



Phương trình MI là:

1 4

2 3

1.

x

t

y

t

z

 





 



  



Tọa độ điểm M cần tìm ứng với giá trị t nghiệm phương trình:





2





2





2

3

1 4

1

2 3

2

1 1

9

25

9

3

.

5

t

t

t

t

t

















  







 

  



Với 1 17 19; ; 1 (min)

5 5

t M   M I 

 

Với 1 1; ; 2 (max)

5 5

t  M   M I 

  Vậy

max

48

60.

12

m

P

m n

n

P









 





 



Câu 242 Gọi

N

điểm thỏa mãn

   

NA NB NC







0

, suy

N





2;0;1



Khi đó:



 

 

 



MA MB MC







MN



NA



MN



NB



MN



NC



NA NB





NC



MN



MN

  

 

 

 

  



Suy

MA MB

  





MC

nhỏ

MN

nhỏ Mặt cầu

 

S

có tâm

I



2; 4; 1





, suy ra:



4; 4; 2

 

2; 2; 1



NI    



Phương trình

2 2

4 2

1

x

t

NI

y

t

z

t

 









 

   



Thay phương trình NI vào phương trình

 

S

ta được:

 

2

 

2

 

2

9

1

1

1

t

t

t

t

t

t







 

 

  

 



Suy

NI

cắt

 

S

hai điểm phân biệt

N

1



3; 6; ,





N

2



0; 2;0



Vì

NN

1



NN

2 nên MN nhỏ

M



N

2 Vậy

M



0; 2; 0



điểm cần tìm Suy ra:

a b

 

2.

Câu 243 Mặt cầu

 

S

có tâm

I



3;1;0



bán kính R 2 Gọi H hình chiếu I

d



1 ; 1

;



H

 

d

H



t

  

t

t

; IH  



2 ; 2t   t; t



Véctơ phương

d

ud 



2;1; 1





d

IH u 

 









2

2 2

t

1

2

t

t

0



 



 

 

 

t

1

Suy

H



3; 0; 1







IH



2

Gọi

 

P

mặt phẳng chứa đường thẳng

d

cắt mặt cầu

 

S

theo đường trịn có bán kính

r

Ta có

 







 



2

,

4

,

r



R







d I P













d I P





Mà d I



,

 

P



IH  nên



 



 

2 2

4 , 4 2

r d I P   IH   

Suy min r 2, đạt

IH



 

P

Câu 244

Mặt cầu

 

S

có tâm

I



1; 2;3 ,



bán kính R5 Mặt phẳng

 

P

có vec-tơ pháp tuyến

n



P





a b c

; ;



Theo giả thiết

B



0;1; 0

  



P

:

b

 

2

0



b



2.

Ta có:



AB

 



3;3; 6





phương với

u







1; 1; 2





Phương trình đường thẳng

:

1

2

x

t

AB

y

t

z

t







 



 



Gọi r bán kính đường trịn giao tuyến K hình chiếu vng góc I lên đường thẳng AB, H hình chiếu vng góc I lên

 

P

Ta có:

K



AB



K t



;1



t

; 2

t







IK





t

  

1;

t

1; 2

t



3







.

0

1

0; 2; 1

IK



AB



 

AB IK

   

t

IK





 

 







 



2 2

,

25

,

25

r



R



d

I P





d

I P





IH

Ta có:

r

min



IH

max

Mà

IH



IK



IH

max



IK



H



K



 

P



IK



n



P IK phương

0

0

0

.

2

1

1

1

P

a

a

a

n

k IK

b

k

k

c

c

k

c

























 





  









 













0

t a b c

       

Câu 245 Chọn C

Ta có: AB(2; 2; 0), AC(-2; 2; 4) AB AC   ABC suy vng Gọi hình chiếu vng góc điểm mặt phẳng Ta có:

H I

K A

B

H

B

A

C

M

ABC



A

Theo giả thiết

Do đó: nên tâm đường trịn ngoại tiếp Suy ra: trung điểm



Ta có: , Chọn vecto phương đường thẳng

Phương trình đường thẳng có dạng:

Mặt cầu có tâm bán kính

Gọi hình chiếu vng góc điểm đường thẳng Ta có:

Do nên , ta được: Khi đó:

Do IK > R nên đường thẳng MH khơng cắt mặt cầu Ta có:

Vậy giá trị nhỏ độ dài đoạn Câu 247 Gọi điểm

I

thỏa mãn

3

IA IB

  



 

0

I



6 ; ; 1





Khi

3

MA

2



MB

2



3



 

MI



IA

 

2



 

MI



IB



2



4

MI

2



3

IA

2



IB

2



2



MI

3



IA IB

 





2 2

4

MI

3

IA

IB







Do

3

IA

2



IB

2 không đổi ba điểm

A B I

; ;

cố định nên

3

MA

2



MB

2 đạt giá trị nhỏ

MI

nhỏ Khi

M

giao điểm đường thẳng

IJ

với mặt cầu

 

S , (J



2 ; ; 3



tâm mặt cầu

 

S )











































,

,

,

,

,

,

MA ABC

MA HA

MAH

MB ABC

MB HB

MBH

MC ABC

MC HC

MCH













  



.



MAH MBH MCH  MAH  MBH  MCH g c g

HA



HB



HC

H



ABC

H

BC

H



1; 2; 2







,

8; 8;8

AB AC



 







 

MH

u



MH





1; 1;1





MH

1 ,

x t

y t t

z t

   

  

    



( )S

I



3; 2;3



2

R

N

M

I



1

; 2

; 2



K



t



t



t

I MH



2;

;

1 ,



MH



1; 1;1



IK



t





t t



u









IK MH

IK u

 

.

MH



0

t



1

K



2;1;3



IK



2



,



2

MNd I MH INIKIN 

MN

Ta có phương trình đường thẳng

IJ

2

x t

y t

z t

   

      

 









1

4; ; 1

0 ; ; 5

M

IJ

S

M







 



Kiểm tra IM1IM2



39



nên M1



4; 2;1



điểm cần tìm Vậy

T



a b c

.



8

Câu 248

Mặt cầu

 

S

có tâm

I



  

3; 4; 5



bán kính

R



27

Đường thẳng

d

có véc-tơ phương

u







2;3; 4





d



 

P

Gọi K giao điểm mặt phẳng

 

P

đường thẳng

d

Vì

I



d

nên K tâm đường trịn giao tuyến

KB



d

Ta có



IA





1; 2; 2







IA



3

IA u 0IAd  

Ta tính



 



 

 

 

2 2

2.

3

3.

4

4

5

107

d

,

5 29

2

3

4

IK



I P





















KB R2IK2 2 Do M di động đường thẳng

d

(trục đường tròn giao tuyến) B thuộc đường tròn giao tuyến nên biểu thức MAMB nhỏ

M



AB



d

Khi đó, ta có

MI IA

MK  KB  MIMK IK 5 29

Suy MI 3 29, MK 2 29

Ta có

AM



IA

2



MI

2



3 30

2 30

BM AM

  

Vậy giá trị nhỏ MAMB AM BM 3 302 305 30 Cách 2:

 

S

I



  

3; 4; 5



R



27

d

M K

I

Dễ thấy

d

đi qua

I



  

3; 4; 5



vng góc với

 

P

 

P

cắt

 

S theo đường trịn có bán kính

r



2



1 ; ;3 4



M



d



M



t



t



t

Ta có T MAMBMA MH2r2

Lại có

(

;( ))

29

87

29

3 29

29

t

MH



d M P







t



Suy

T



29

t

2



116

t



125



29



t



3



2



4

29



2



2

9

29



3



2

4

.

29

29

t

t













Xét

2;

3

29

u







t













,

2

3

;

29

v









t











5

5;

29

u v





   







 

Do

T



29



u





v







29

u

 



v



5 50

Câu 249

- Đường thẳng d qua

A

có vectơ phương

u







3; 4;



4



có phương trình là:

1

3 4

x y z

 





giao điểm d

 

P

B

  



2; 2;1



- Do

M

ln nhìn đoạn AB góc 90 nên

M

nằm mặt cầu

 

S

đường kính AB Gọi E trung điểm AB 1; 0;

2

E  

    

 

2 41 AE

 

 

2

:

2

9

0

S

x

y

z

x

z







 

 

- Lại

M



 

P

nên M nằm đường tròn giao tuyến mặt phẳng

 

P

mặt cầu

 

S

, gọi đường tròn

 

C

- Mặt khác B điểm cố định đường tròn

 

C

nên độ dài MB lớn MB đường kính đường tròn

 

C

- Gọi F tâm

 

C

F hình chiếu vng góc E

 

P

1

1

:

2

x

y z

EF 



  



5 ; 2;

F  

    

  (là giao điểm

 

P

EF)

- Vì MB đường kính

 

C

nên

M

   



3; 2; 1



MB



1; 0; 2



vectơ phương đường thẳng MB  phương trình đường thẳng MB là:

2

2

1 2

x

t

y

z

t

  





 



  





t







- Trong điểm cho đáp án A, B, C, D có điểm

I



 

1; 2;3



(đáp án D) thuộc đường thẳng

MB

Câu 250

Mặt cầu

 

S

có tâm

I



4;3; 2





bán kính R5

Gọi H trung điểm AB IH  AB IH 3 nên H thuộc mặt cầu

 

S



tâm I bán kính

R 

Gọi M trung điểm A B  AABB2HM , M nằm mặt phẳng

 

P

Mặt khác ta có



;

 



3

d I P  R nên

 

P

cắt mặt cầu

 

S

sin



;

 



sin

3

d P 



 Gọi K hình chiếu H lên

 

P

HK HM.sin



Vậy để AABB lớn HK lớn HK

 qua I nên max



;

 



4 3

3

HK Rd I P    

Vậy AABB lớn 3 3 24 18

5

3

   



 

 

 

Câu 251

Mặt phẳng thiết diện qua tâm I M N, , cắt đường thẳng

d

H



IH



d d I d

,



,





IH

Ta có MN 2MK 2.MH MI

IH

 

2

.

2.

IH

r r

IH





 

2

4

IH

4

4

x

4

f x

IH

x











với

x



IH



2

Ta có

 

2

0,

4

f x x

x x

    



, suy hàm số đồng biến



2;





Do

MN

min



IH

min Ta có

u

d





1;



m m

;



1 ,



A



1; 0; 0





d



, suy





, ,

d

d

u IA

d I d

u











 



2

25

20

17

2

2

2

m

m

m

m









Xét hàm số

 

2

25 20 17

2 2

m

m

f m

m

m











có bảng biến thiên

Suy

IH

min

m Đường thẳng

d

có phương trình





1 :

5

x t

d y t t

z t

     

  

  

   



Khoảng cách





, 416 4 273

,

21

42

d

d

AB u

d B d

u















 