5 Hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ và lôgarit Chú ý : Ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình , hệ bất phương trình như đối với hệ hữu tỉ đã biết và kết hợp với các phươ[r]
(1)Chuyên đề đại số V n Hoàng KIẾN THỨC CƠ BẢN nghiệm phân biệt Chuyển vế : b c a + b = c a = c – b; ab = c b ; a c / b a bc a/b = c ; b nghiệm a n 1 b a n 1 b ; Giao nghiệm : xa xa x max{a, b} ; x min{a, b} x b xb p xa a < x < b(neá u a < b) p q G ; x b G VN (neá u a b) q G Nhiều dấu V: vẽ trục để giao nghiệm Đổi biến : t ax b R, t x 0, t x 0, t x 0, t a 0, t log a x R b Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện t Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định f c Lượng giác:t = sinx, cosx, tgx, cotx Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện t d Hàm số hợp : bước làm theo các cách trên Xét dấu : a Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu b Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < hay f(x) > c Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm : xét tính liên tục và đơn điệu f, nhẩm nghiệm pt f(x) = 0, phác họa đồ thị f , suy dấu f So sánh nghiệm phương trình bậc với : f(x) = ax2 + bx + c = (a 0) * S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm Với đẳng thức g 0 g(x1,x2) = không đối xứng, giải hệ pt: S x1 x2 P x1 x2 Biết S, P thỏa S – 4P 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = Dùng , S, P để so sánh nghiệm với : x1 < < x2 P < 0, 0 0 < x1 < x2 P ; x1 < x2 < P S 0 S 0 Phương trình bậc : ax + bx + cx + d = a Viet : A = x1 + x2 + x3 = – b/a , B = x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , C = x1.x2.x3 = – d/a x1, x2, x3 là nghiệm phương trình : x3 – Ax2 + Bx – C = b Số nghiệm phương trình bậc : x = f(x) = ax2 + bx + c = (a 0) : : H ph ng trình ph ng trình i s x Bất phương trình, bất đẳng thức : Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng , , log, mũ có thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu tích A.B Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều; số âm: có đổi chiều (Chia bất phương trình : tương tự) Chỉ nhân bất pt vế theo vế , vế không âm ab ab Bất đẳng thức Côsi : a, b : Dấu = xảy a = b abc a, b, c : abc Dấu = xảy a = b = c Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d (ac + bd)2 (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy a/b = c/d Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm : Nếu tách m, dùng tương giao (C) : y = f(x) và (d) : y = m Số nghiệm số điểm chung Nếu có điều kiện x I, lập BBT f với x I 9.Tìm m để bpt vô nghiệm, luôn có nghiệm, có nghiệm xI Nếu tách m, dùng đồ thị, lập BBT với x I f(x) m : (C) (d) (hay cắt); f(x) m : (C) trên (d) (hay cắt) nghiệm phân biệt a 2n b a 2n b ; b a 2n b a a 2n b a b ; a a0 a Đơn giản: Trần Chơn ax by c Hệ phương trình bậc : a'x b' y c' a b c b a c Tính : D = , Dx = , Dy = a' b' c' b' a' c' D : nghiệm x = Dx/D , y = Dy/D D = 0, Dx Dy : VN D = Dx = Dy = : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết) Hệ phương trình đối xứng loại : Từng phương trình đối xứng theo x, y Đạt S = x + y, P = xy ĐK : S2 – 4P Tìm S, P Kiểm tra đk S2 – 4P 0; Thế S, P vào pt : X2 – SX + P = 0, giải nghiệm là x và y ( , ) là nghiệm thì ( , ) là nghiệm; Nghiệm = m = ? Thay m vào hệ, giải xem có nghiệm không Hệ phương trình đối xứng loại : Phương trình này đối xứng với phương trình Trừ phương trình, dùng các đẳng thức đưa phương trình tích A.B = Nghiệm làm hệ đối xứng loại ax bxy cy d Hệ phương trình đẳng cấp : 2 a ' x b ' xy c ' y d ' Xét y = Xét y : đặt x = ty, chia phương trình để khử t Còn phương trình theo y, giải y, suy t, suy x Có thể xét x = 0, xét x 0, đặt y = tx Hệ đối xứng I xy x y 11 p s 11 s 5; p ; hpt 1) 2 p.s 30 hay p 5; s x y xy 30 ĐS: (2; 3);(3;2);(1;5);(5;1) Lop12.net (2) Chuyên đề đại số H V n Hoàng Trần Chơn x y xy 30 2) hpt s 5; p KQ : (2;3); (3; 2) x y 35 2 (0;1) x y p s 11 s 3) ; hpt p p 0; (1;0) x y ( s p ) p x y y x 30 4) HD : x; y 0; s x y ; p x y x x y y 35 p.s 30 s 125 s p KQ: (4;9),(9;4) 3 s 3sp 35 5( x y ) xy 5) Cho: x y xy m a) Tìm m để hpt có nghiệm (HD: Giải hệ S; P ta S = 4m; m 1) P = 5m −1;ĐK: S2 − 4P m b) Tìm m để hệ có nghiệm ĐS: m = 1/4, m = x y xy 2m có nghiệm với m 6) a) Cmr: Hệ 2 x y xy m m b) Tìm m hpt có nghiện P S 2m a)Hệ S1 m; P1 m S m 1; P2 m P.S m m ĐS: hệ S1, P1 vn; S 22 P2 (m 1) Vậy Hệ có nghiệm m hpt b) Hệ có nghiệm S 22 P2 (m 1) m Suy x = y = Vậy : (1;1) Hệ đối xứng II y x 3y x3 3x y 2 x 3x y x ; 2) ; 3) 1) x y y 8x 2 y y x y 3x y t 4t m y (t 4t 1) m 3t (I) y (1 3t ) y (1 3t ) t 4t 1 a) Với m = ta có hệ : 3t kq : (1 ; 4), (-1 ; -4) y (1 3t ) 4(t 4t 1) m(1 3t ) b) Ta có :(I) y (1 3t ) ĐS: (0;0), ( 11; 11), ( 11; 11) ( x y )( x y 4) 2) ĐK:x 0; y Hệ ĐS(-2;-2) x y xy 4( x y ) 3)Lấy (1) − (2) có 3(x − y)(x + y −1) = y = x y = − x Kết hợp (1) y = x : (1;1) ; (2;2); y = − x VN HD: Lấy (1) − (2) có (x − y)(2 + 4/xy ) = 2x y x y = x ; y = −2/x 4) 1 y = x : (1;1) ; (-1;-1) ; 2y x y y = -2/x : ( 2; 2);( 2, 2) Hệ nửa đối xứng VD Giải hệ x y 1 x y x y 2 x y x y x y xy x y 3 2 y x 2 y x 2 y x x y 1 (I ) y ( II ) ( x y )( xy 1) x y x 3 2 y x x 2x x x x y x xy y m (1) VD Cho hệ phương trình : (2) y xy a) Giải hệ pt‘ với m = 1; b) Tìm a để hệ có nghiệm Cách 1: Dễ thấy y = không phải là nghiệm hpt t y 4ty y m Đặt x = ty, ta có : Hệ 2 y 3ty Do y nên từ y2(1 - 3t) = - 3t > t < ( x y )( x y xy 5) x y HD:1) x 3x y x 3x y x y x y x y 1 + Ta có I): ( x y (I ) x y x 2x 1 x y x y 1 + Ta có II) : ( II ) y x 1 ( x ) ( x ) 0;(VN ) 2 Hệ đẳng cấp 4t (16 3m)t m (*) Đặt f(t) = 4t2 −(16−3m)t+4−m y (1 t ) thì hệ có nghiệm (*) có nghiệm thoả mãn t < Ta lại có af ( ) m nên hệ luôn có nghiệm thoả mãn t1 < < t2 Vậy hệ luôn có nghiệm với m Cách : Khử ẩn x2 m x xy m y Hệ x y xy x m) x (4 m) (*) (8 (x = thoả mãn hệ m = 4) Với m đặt : f(t) = 2t2 + (8 - m)t - (4 - m)2 ta có f(0) = -(4 - m)2 < nên phương trình f(t) = luôn có nghiệm t > hay phương trình (*) luôn có nghiệm với m Các bài tập luyện tập : Bài 1: Một số hệ dạng xy ( x 1)( y 1) m 1) Cho hệ phương trình 2 x y x y a) Giải hệ m=12 b)Tìm m để hệ có nghiệm 1 a 2) Cho hệ phương trình x y 2 x y a Lop12.net (3) Chuyên đề đại số Tìm a để hệ phương trình có đúng nghiệm phân biệt x xy y 3) Tìm m để hệ có nghiệm 2 x 3xy y m H V n Hoàng Trần Chơn x y x y (1) 4) đổi biến theo v,u từ ph trình số (1) 2 2 x y x y 4 x 2 y 4) y 2 x x 1 y 1 5) x y 1 y x 1 x 1 y 1 m a) Giải hệ m = b)Tìm m để hệ có nghiệm y 2 3y HD: TH1 x=y suy x=y=1 x2 Bài 2: (B 2003) TH2 chú ý: x>0 , y> x 2 3x suy vô nghiệm y2 2 x y xy 15 Bài 3: HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt 8 x y 35 S=2x+y và P= 2x.y Đs : (1,3) và (3/2 , 2) x3 3x y y (1) HD: từ (2) : -1 ≤ x , y ≤ Bài 4: 6 x y (2) Xét hàm số: f t t 3t trên [-1,1] áp dụng vào ph trình (1) Bài 5: CMR hệ phương trình sau có nghiệm a2 2x y x y y HD: xét f ( x) x x lập BBT 2 2 x x a a y2 x x x 2 y HD Bình phương vế,đối xứng loại Bài 6: y 2 x xy x a ( y 1) Bài 7: xác định a để hệ có nghiệm xy y a ( x 1) HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8 xy 10 20 x (1) Bài 8: xy y (2) HD : Rút x y2 5 y Cô si x y y y y 1 x y 19 x 5) 2 y xy 6 x Đặt x =1/z thay vào hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2) Ch : Phương trình và bất phương trình phương trình đại số 1) Bất phương trình bậc hai ; Định lý dấu tam thức bậc hai; Phương pháp hàm số 2) Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối B A B ; A B A2 B 2 A B A B A B ; A B B A B A B 3) Phương trình, bất phương trình chứa thức *PT chứa thức: B A 0(hayB 0) * AB ; * A B A B A B A * A B C B A B AB C * Bất phương trình chứa thức: A A * A B B * A A B A B A A B B * A B * A B B B A B A B Ví dụ Hd : chia khoảng 1) x x x 2) x 20 theo (1) x 20 suy x,y x y x y (1) (KB 2002) Bài 9: x y x y HD: từ (1) đặt nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2) x 1 y a Bài 10: Tìm a để hệ có nghiệm x y 3a x 1 HD: x t; t t : x 2; 4 x 1 3) x x x 30 4) 3x2- x > 9x –2.Chia hai trường hợp : x>3 ; x< 5) Giải x x Áp dụng : A HD: từ (1) đặt u x 1, v y hệ dối xứng với u, - v Chỉ hệ có nghiệm thì phương trình bậc hai tương ứng có nghiệm trái dấu x3 y 7( x y ) 2 x y x y ( x y ) y 2) HD: tách thành nhân tử nghiệm đặt t = x/y có nghiệm 3 x y 19 x( x 2)(2 x y ) 3) đặt X=x(x+2) và Y=2x+y x 4x y 3x B B A A B B Hpt A B x Ví dụ 2: Bình phương hai vế : a) x + x Hd: pt Bài 10: 1) B B b)pt: ĐK: x ≥ x 3x x Chuyển vế, bình phương vế : x = 2; x = 2/11( loại ) Vậy x = ĐK x ≥ − c) x x Bình phương hai lần ta có :ĐS x = d) 16 x x KQ : x 0; 7 e) (4 x 1) x x x Bình phương hai lần ta có :ĐS x = 4/3 Ví dụ 3: Đặt ẩn số phụ : Lop12.net ĐK x ≥ ¼ (4) Chuyên đề đại số H V n Hoàng a) x 3x x 3x Đặt : t = x − 3x +3 ≥ ¾ Phương trình t t t 1.KQ : x 1; 2 b) 2 x x2 x x ĐK ≤ x ≤ t 1 pt t2 − 3t +2 = t =1 V t = Vn t =1 < x = V x = Đặt : t x x ; t x x x x 3x 2 x x 16 c) x 1; t x x t x 2 x x pt t x x(9 x) t Bài 7: x2 (1 x 1) x x x x m có nghiệm 2( x 16) x3 b) HD: đặt -Đặt : Pt 5) ( x 1) x (2 x) x x 6) x x ( x 2) x 8) a) 2) x x ĐK : x u x u v u 0;1; 2; v 1;0;3 u v v x 1;v KQ: x 1; 2;10 Bất phương trình Bài 1: Tìm m để ( x 1)( x 3)( x x 6) m Tìm m để bất phương trình trên nghiệm đúng với x HD: sử dụng hàm số tam thức : m ≤ −2 Bài 2: Tìm a để x: f ( x) ( x 2) x a ĐS a≥4Va ≤ Bài 3: Giải các phương trình ,bất phương trình sau 1) 2) 8x2 x x x 1 x 1 2x 3) 2( x x) x x 4) (KA 2004) x3 7) Cho phương trình x x x x m a) Giải phương trình m=6 b) Tìm m để phương trình có nghiệm (2 x) (7 x) (7 x)(2 x) x3 t x x coi là phương trình bậc hai ẩn t x x m m x x 16 Lập BBT : m >19 VN; m =19: ngh; m< 19 ngh Ví dụ 5: 7x 4) 2(1 x) x x x x m 10 x3 x x x 12 x 16 x 12 x x 3) a) t 3l Đặt : t x x m 0; pt : t t t 1) x4 Bài tập áp dụng x2 y 2x 1) Tìm a để hệ có nghiệm x y a Tìmnghiệm ĐS a = −1 và a=3 2) Tìm m để bất p trình x 16 x m có nghiệm 9/2 9 KQ: Giải bất phương trình Bài 9: Giải bất ptrình x x x x m ĐK ≤ x ≤ AD BĐT cô si suy ĐK HD Bình phương vế chú ý ĐK Đặt t= tích t.Tìm ĐK t Sử dụng BBT suy KQ 2) x x m x x m Bài 8: Tìm m để ptrình Ví dụ 4: x x ( x 1)(3 x) m a) Giải pt m=2 b) Tìm m để pt có nghiệm ĐK: −1 ≤ x ≤ Đặt t x x t 2 (vì ) t 0(l ) a) m : t 2t KQ: x 1, x t b) Xét f(t) = − t2/2 + t + = m (1) Lập bảng biến thiên : Tacó : 2 m KsHS f (t ) t 2t 9; t HD Xét trường hợp chú ý ĐK x ≥ −1 Trong trường hợp x ≥4 tiến hành nhân và chia cho biểu thức liên hợp mẫu VT pt t t 3t 13 t 4.KQ : x 1; x 2 Bình phương : Đặt t = d) x x x x x x 19 Đặt t x x / Ví dụ 5: 1) Bài 5: Giải bất phương trình x x x HD nhân vế với biểu thức liên hợp VT Biến đổi BPT tích Chú ý ĐK Bài 6: Giải bất phương trình x 2x 7 2x x HD Đặt Trần Chơn x 10 x ĐS m ≥ Bài 4: Tìm m để hệ có nghiệm x 2x m ĐS: x = ĐS: x x x x x tích nhân tử suy cách giải 51 x x 1 1 x b) x x x Ch : PHƯƠNG TRÌNH − BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa và các tính chất luỹ thừa và lôgarit Tính chất hàm số mũ, hàm số lôgarit Các phương trình, bất phương trình bản: Với m > 0, < a thì: ax = m x = logam x log a m;(a 1) ax > m ax với x R x log a m;(0 a 1) Với số thực m và < a thì: x am ; a 1 logax = m x = am logax > m m 0 x a ; a MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1) Phương pháp đưa cùng số af(x) = ag(x) f(x) = g(x); Với < a thì: f(x) g(x) a > a f(x) > g(x) a > hay f(x) < g(x) < a <1 logaf(x) = logag(x) 5) ( x x) x x KD 2002 Lop12.net (5) Chuyên đề đại số logaf(x) > logag(x) logaf(x) > logag(x) H V n Hoàng log x ; a > ; < a < Ví dụ Giải PT: 2x+1 5x = 2.102x+5 (1) LG: (1) 10x = 102x+5 x = 2x +5 x = - Ví dụ Giải PT: log3 (2x+1) - log (1 x) (2) Đkiện 2x+1 > và 1- x > 0 (2) log3(2x+1)= x=0; x=2(loại) PT có nghiệm x = Ví dụ Giải BPT: log5(4x +144) – 4log52 < 1+ log5(2x-2 +1) (3) LG: Đkiện: x R (3) log5(4x +144) < log580(2x-2+1) 4x -20.2x +64 < < 2x < 16 2< x < x 1 ( 2) x 1 (4) Ví dụ Giải BPT: ( 2) x 1 LG: Do ( 2) 1 , (4) 52 x 1 x 1 ( 2)1 x x 1 x x − x 1 2) Phương pháp đặt ẩn phụ (5) Ví dụ Giải PT: 3.49x + 2.14x – 4x = x < −1 x 7! HD: Chia hai vế PT cho 4x đặt t = " KQ : x log 2# Ví dụ Giải PT: x - 53 x = 20 (6) LG: Đkiện x 0, phương trình chứa căn, đặt t = x 125 (5) t − − 20 = 0 t2 – 20t −125 = t = −5 (l), t = 25 t t = 25 x 25 52 x x Ví dụ Giải BPT: 4x – 2.52x < 10x HD: Chia hai vế cho 10x , ta x x 2! 5! " " , Đặt t = # 2# x t2 t 2! 0 " , t BPT t 5# x 2! Với đkiện t > ta có < t < " x log 2 , 5# (Chú ý số < 1) (8) Ví dụ Giải BPT: log 2 x log x HD: Đkiện < x 1/2 và Đặt t = log2x , t 1 t 3t 5t 0 (8) 3; t (1 t ) t 1 ! Suy tập nghiệm (8) là : ; " 1; 2 2# * Dạng nếu(a+ )(a- ! * Dạng au2f(x)+b(uv)f(x)+cv2f(x) = 0, nên chia hai vế cho v2f(x), đặt t = " # x Ví dụ Giải PT: 3x x (9) LG: Đkiện x -2 Lôgarit số hai vế ta có 3x log ! x 0 log log ( x 1) 1 x2 x "# x = x = − (1+log32) log 32 x log 32 x 2m (16) (m là tham số) Giải PT m =2 Tìm m để PT (16) có ít nghiệm thuộc đoạn 1;3 $ & )=1, đặt t = 3) Phương pháp logarit hoá Trần Chơn Đkiện x > Ví dụ 10 Giải BPT: x 32 (10) LG: Lấy logarit số hai vế ta có : (log2x +4)log2x < 5, Đặt t = log2x PT t2+4t −5 < 0 −5 < t < 1 −5 < log2x < 2-5 < x < 4) Phương pháp sử dụng tính chất hàm số a > 1, thì af(x) > ab f(x)>b ; logaf(x) > logab f(x) > b >0 0<a<1, thì af(x) > ab f(x)<b ; logaf(x) > logab 0<f(x) < b Ví dụ 11 Giải PT: 3x = – log5x (11) LG: Ta có x = là nghiệm phương trình (11) Với x > thì 3x > 31 = và - log5x < log51 = 3x > – log5x Với x < thì 3x < 31 = và - log5x > log51 = 3x < – log5x Vậy x =1 là nghiệm phương trình Ví dụ 12 GPT: 3x + 2x = 3x +2 LG: Dễ thấy PT có nghiệm x = , x = (PT không có nghiệm nhất) Xét hàm số: f(x) = 3x + 2x – 3x+2 ta có : f’(x) = 3xln3 + 2xln2 – f’’(x) = 3xln23 + 2xln22 > R hàm số đồng biến trên R Mặt khác hàm số f’(x) liên tục trên R và f(-1).f(1) < PT f’(x)=0 có nghiệm x0 (-1; 1) Ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có không quá nghiệm Vậy nghiệm phương trình là: x = 0; x = 5) Hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ và lôgarit Chú ý : Ta dùng các phương pháp giải hệ phương trình , hệ bất phương trình hệ hữu tỉ đã biết và kết hợp với các phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit để giải hệ PT, Hệ BPT mũ và lôgarit Ví dụ 13 (ĐH K B-2005) Giải HPT: x y (1) Đkiện x > và < y 3log (9 x ) log y (2) (2) 3(1+ log3x) – 3log3 y = log3x = log3 y x = y Thay x = y vào phương trình (1) ta có (1) (x-1)(2-x) = x = ; x = Từ đó HPT có hai nghiệm là (1 ; 1) và (2; 2) 23 x y y (1) Ví dụ 14 (ĐH KD-2002 ).Giải HPT: x x 1 y (2) 2x x LG: Từ PT(2) = y, y > 0; Thế vào PT(1) ta PT :y3 -5y2 +4y = y = 0, y = 1, y = Hệ PT có nghiệm (0; 1) ; (2; 4) 6) Các bài toán tổng hợp (Hay và khó) Ví dụ 15 (996) Tìm nghiệm dương PT: x x log2 x log2 HD: Biến đổi PT dạng: 2log2 x 3log2 x 5log2 x Đặt t = log2x, PT 2t + 3t = 5t Bằng phương pháp hàm số có nghiệm t = x = Ví dụ 16 (ĐH KA-2002) Cho PT: Đk x > 0, Đặt t = log 32 x ta có PT t2+t-2m-2 = (*) (16) có nghiệm thuộc 1;3 $ (*) có nghiệm thuộc [1; 2] & Xét hàm số f(t) = t2+t trên [1; 2] ta PT (16) có nghiệm 1;3 $ m [0 ; 2] & Ví dụ 17.(ĐHQGHN-1997) Giải và BL BPT theo tham số a: x loga ( ax ) (ax) (17) HD: Điều kiện a > 0, a 1, x > Lop12.net (6) Chuyên đề đại số Với < a < Lấy lôgarit số a hai vế PT (1+logax)logax 4(1+logax) (logax+1)(logax-4) -1 logax a4 x a-1 Với a > 1, Biến đổi trên với chú ý số > ta log x 1 0 x (logax+1)(logax-4) a a log a x x a Ví dụ 18.(ĐHQG HN - 2000) Giải PT: (2 2)log2 x x(2 2)log2 x x HD: Đkiện x > 0, đặt t = log2x x = 2t , H V n Hoàng Trần Chơn ĐS: x=0 Bài (ĐHQG-KB.1998) Giải PT: 125x +50x = 23x+1 x x Bài (ĐHQG-1997) Giải PT: (5 21) 7.(5 21) x ĐS: x = ; x = log 5 21 Bài (ĐH Y-2000) Giải PT: 23 x 6.2 x 12 ĐS:x= 23( x 1) x sau đó biến đổi ta có: Bài (ĐHTL 2000) Giải PT: 22 x 1 9.2 x x 22 x ĐS: x = -1; x = Bài (ĐHTCKT-1997) 25x -2(3-x)5x + 2x -7 = ĐS: x = Bài (ĐH NT-1997) Giải PT: 2x+1 – 4x = x-1 ĐS: x =1 Bài (ĐHSP 2001) Giải PT: 3x + 5x = 6x+2 ĐS: x = 0; x =1 Bài 10 (ĐHNNHN-2000) Cho phương trình: (m+3).16x + (2m-1).4x +m +1 = [ (2 2) -4 ][ (2 2) -1] = t = x = Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu ĐS: 1 m ta có PT: (2 2)t 2t (2 2)t 22t Nhân hai vế với (2 2)t t t t Ví dụ 19 Giải PT: 22 x 1 23 x (19) log (4 x x 4) HD: Ta có 4x2 – 4x+4 = (2x-1)2 + log3(4x2-4x+4) 1, Suy VP Mặt khác theo BĐT Cô-si, ta có: VT (19) giải hệ ta có nghiệm là x = Ví dụ 20.(ĐH KD - 2006) Chứng minh với a > 0, hệ sau có e x e y ln(1 x) ln(1 y ) (1) nghiệm nhất: (2) y x a Đkiện x > -1, y > -1 Thế (2) y = x+a vào (1) ta có PT: ex+a- ex +ln(1+x) – ln(1+a+x) (3) với x > -1, a >0 hệ có nghiệm (3) có nghiệm x > -1 Xét hàm số f(x) = ex+a- ex +ln(1+x) – ln(1+a+x) ĐPCM C BÀI TẬP TỔNG HỢP I Các bài toán đề thi đại học từ năm 2002 đến 2008 Bài (A 2008) Giải PT: log2x-1(2x2+x-1) + log(x+1)(2x-1)2 = ĐS: x = 2; x = 5/4 x2 x ! Bài (B.2008) Giải BPT: log 0,7 log "0 x4 # ĐS: x (-4; -3) (8; + ) x 3x ! Bài (D.2008) Giải BPT: log "0 x # ĐS: $% & Bài (B.2007) Giải BPT: ( -1)x + ( +1)x - 2 = ĐS: x = 1; x = -1 Bài D.2007) Giải BPT: ! log (4 x 15.2 x 27) log " ĐS: x = log23 x 4.2 # Bài (A.2006) Giải PT: 3.8x+4.12x-18x -2.27x = ĐS x = Bài (B.2006) Giải BPT: log5(4x+144)-4.log52 < 1+ log5(2x-2+1) ĐS: x (2; 4) log ( y x) log y ĐS:(3; 4) Bài (A.2004) Giải HPT: x y 25 2 Bài 10 (D.2003) Giải PT: x x 22 x x ĐS: x= -1; x =2 Bài 11 (B.02) Giải BPT: logx(log3(9x-72)) 1ĐS: log973 < x II Các bài toán đề thi đại học trước năm 2002 Bài (HVQHQT-1999) Giải PT: 2 x 3 x x x 42 x x ĐS: x {-5; -1; 1; 2} Bài (ĐHQG-KD.2000) Giải PT: 8.3x + 3.2x = 24 +6x ĐS: x = 1; x = m>2 | x x 3| 1! Bài 12 (ĐH NT -1998) Tìm m để pt " m4 m2 5# có nghiệm phân biệt ĐS: m (-1 ; 1)\ {0} 2 x y ( y x)( xy 2) Bài 13 (QGHN- 1995) Giải HPT: x2 y ĐS: (1; 1); (-1 ; -1) x 3 x 1 Bài 14 (ĐHGT -1998) Giải BPT: ( 10 3) x 1 ( 10 3) x ĐS: x (-3; - ) (1; 5) Bài 15 (ĐH Dược HN -1997) Giải BPT: 2 x x.2 x 1 3.2 x x 2 x x 12 ĐS:(- ; -1) ( 2; 3) Bài 16 (ĐHQG HN-1996) Tìm tất các cặp số (x; y) thoả mãn 2 k phương trình : 8sin x 8co s x +cos2y ĐS: ( ; m ) 2 Bài 17 (ĐHQG HN-1999) Tìm tất các giá trị tham số m 2 để bất PT sau có nghiệm: 2sin x 3co s x m.3sin x ĐS: m Bài 18 (ĐHSP TPHCM-2000) Tìm tất các giá trị tham số m để bất PT sau có nghiệm: x m.2 x 1 2m ĐS: m ĐS: x (2 2;1) (2; 2 ) Bài (A07) Giải log (4 x 3) log x 3 Bài 11 (ĐHQG TPHCM.1996) Cho phương trình: (2+ )x + (2- )x = m Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài 19 (ĐH BKHN-1999) Giải PT: 4log10 x 6log x 2.3log100 x (Chia 4logx)ĐS: x = 10-2 Bài 20 (ĐH THHN-1994) Giải PT: 2.x log2 x 2.x 3log8 x Bài 21 (ĐH SPHN-1994) Giải PT: ĐS: x = 1/ ; x=2 3 ĐS: x = log ( x ) log ( x ) x x Bài 22 (ĐHSPHN-1990) Giải PT: 5 log (1 ) log (1 ) 2.log ( ) ĐS: x x5 x2 Bài 23 (ĐH Mỏ ĐC -1993) Giải BPT: log (1 x) log ( x 1) ĐS: Bài 24 (ĐH Luật HN-1997) Giải BPT: log ( x 1) log ( x 1)3 ĐS: -1 <x< 0; x > 0 x 3x Bài 25 (ĐH YHN-1997) Giải BPT: log x 64 log x2 16 1 ĐS: x ( ; ] (1; 4] Bài 26 (ĐH BKHN 2000) Giải PT: log4(x+1)2+2 = log x log (4 x)3 x {2,2– 24 } Lop12.net (7) Chuyên đề đại số Bài 27 (ĐH SPHN-2000) Tìm tất các giá trị tham số m để x [0; 2] thoả mãn bất phương trình log x x m log ( x x m) ĐS: m [2; 4] Bài 28 (ĐH Mỏ ĐC -1999) Giải hệ: log ( x y ) log (2 x) log ( x y ) x! log ( xy 1) log (4 y y x 4) log " y# ĐS: (a ; a), a > 0; (2; 1) log x log y Bài 29 (ĐH SPHN-1991) Giải hệ: y log x log y ĐS: (8; 2); (2; ) ĐS: (2; 1), log x log y log ( xy ) Bài 30 (ĐHSPNN-1998) Giải hệ: log ( x y ) log x.log y Lop12.net H V n Hoàng Trần Chơn (8)