Đại cương về hàm số – Chuyên đề đại số 10 - Hoc360.net

Chú ý : Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ Đồ thị hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.. * Quy trình xét hàm số ch[r]

CHƯƠNG II:HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI §1: ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ

A TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa

• Cho D ,D Hàm số f xác định D qui tắc đặt tương ứng số x D với số y

• x gọi biến số (đối số), yđược gọi giá trị hàm số f x Kí hiệu: y f x

• D gọi tập xác định hàm số f

2 Cách cho hàm số

• Cho bảng • Cho biểu đồ • Cho công thức y f x

Tập xác định hàm số y f x tập hợp tất số thực x cho biểu thức f x có nghĩa

3 Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số y f x xác định tập D tập hợp tất điểm M x f x; ( ) mặt phẳng toạ độ với x D

Chú ý: Ta thường gặp đồ thị hàm số y f x đường Khi ta nói y f x phương trình đường

4 Sư biến thiên hàm số

Cho hàm số f xác định K

• Hàm số y f x đồng biến (tăng) K x x1, 2 K x: 1 x2 f x( )1 f x( )2

• Hàm số y f x nghịch biến (giảm) K x x1, 2 K x: 1 x2 f x( )1 f x( )2

5 Tính chẵn lẻ hàm số

Cho hàm số y f x có tập xác định D

• Hàm số f gọi hàm số chẵn với x D x D f –x f x

• Hàm số f gọi hàm số lẻ với x D x D f –x f x

Chú ý: + Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng + Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng 6: Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ

Định lý: Cho G đồ thị y f x p 0,q 0; ta có Tịnh tiến G lên q đơn vị đồ thị y f x q Tịnh tiến G xuống q đơn vị đồ thị y f x –q Tịnh tiến G sang trái p đơn vị đồ thị y f x p Tịnh tiến G sang phải p đơn vị đồ thị y f x – p

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

➢ DẠNG TOÁN 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH 1 Phương pháp giải

Chú ý : Nếu P x( ) đa thức thì: *

( )

P x có nghĩa P x( )

* P x( ) có nghĩa P x( ) *

( )

P x có nghĩa P x( ) 2 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Tìm tập xác định hàm số sau a)

2

1

3

x y

x x b)

1

1

x y

x x x

c)

2

3

2

5

x x

y

x x x d) ( 2 )2 2

1

x y

x x

=

− −

Lời giải

a) ĐKXĐ:

3

4

x

x x

x   + −   

 −



Suy tập xác định hàm số D= \ 1; 4 −  b) ĐKXĐ: ( )( )

1

x+ x + x+    −x Suy tập xác định hàm số D= \ −1 c) ĐKXĐ:

2

5 3 5

2

x

x x x

x   

+ − −    −  



Suy tập xác định hàm số D \ 2; 5;

2

 − − − + 

 

=  

 

 

d) ĐKXĐ: ( )2 ( )( )

1 2

x − − x   x − x− x + x− 

2

2

2 2

2

2

x

x x

x x

x

 

 

 − − 

 

 

+ −  − 

 

 



Suy tập xác định hàm số

2 7 7

D \ ; ; ;

2 2

 − + − − − + 

 

=  

 

 

Ví dụ 2: Tìm tập xác định hàm số sau

a)

( 3) x

y

x x b)

2

4

x y

x x x

c) 2

4

x y

x x d)

4 16 x y

Lời giải

a) ĐKXĐ:

3

1

2

2 x x x x       −     

Suy tập xác định hàm số D 1; \ 3 

 

= +

 

b) ĐKXĐ: 2 ( )2

0

0

2

4

2

2 2

x

x x

x

x x x

x x x            − +  −      +    −   −  

Suy tập xác định hàm số D= − + 2; )  \ 0;

c) ĐKXĐ: 2

5

5

5

3

3

5

1 3

1

4

1 3 x x x x x x x x x x x    −      −    −     −   + +    −       −   −   −   

Suy tập xác định hàm số D 5; \ 1 3

 

= −  −

 

d) ĐKXĐ:

16

4 x x x x   −       − 

Suy tập xác định hàm số D= − − ( ; 4) (4;+)

Ví dụ 3: Tìm tập xác định hàm số sau a) 2 x y

x x b)

x y

x x

c) y= x+ −2 x+3 d)

1

1

1

khi x

y x

x khi x

Lời giải

a) ĐKXĐ:

2

x + x+  với x Suy tập xác định hàm số D= b) ĐKXĐ: 0 x x x x x x x x           −      − −       

Suy tập xác định hàm số D=0;+)  \

c) ĐKXĐ: 2

3

x x x x x +   −      −  +    −  

Suy tập xác định hàm số D= − + 2; ) d) Khi x1 hàm số y

x

Khi x1 hàm số y= x+1 xác định

1

1

1

x x

x

x x

 

   −  

 +    −

 

Do hàm số cho xác định x −1 Suy tập xác định hàm số D= − + 1; )

Ví dụ 4: Cho hàm số:

2 mx

y

x m với m tham số

a) Tìm tập xác định hàm số theo tham số m b) Tìm m để hàm số xác định ( )0;1

Lời giải

a) ĐKXĐ 2

1

2

x m x m

x m x m

− + 

   −

 

   −

− + 

 



Suy tập xác định hàm số D=m− +2; ) \ m−1

b) Hàm số xác định ( ) ( )0;1  0;1 m−2;m− 1) (m− +1; )

( )  )

( ) ( )

0;1 2; 2

0;1 1; 1

m m m m

m m m

  − −  =  =

 

  − +  −   

 



Vậy m − ( ;1  2 giá trị cần tìm

Ví dụ 5: Cho hàm số

1 x

y x m

x m với m tham số

a) Tìm tập xác định hàm số m=1 b) Tìm m để hàm số có tập xác định 0;+)

Lời giải

ĐKXĐ:

3

2

2

1

1

m

x m x

x m

x m

− 

− +  

 

 + −  

   −

a) Khi m=1 ta có ĐKXĐ :

1

x x

  −     

Suy tập xác định hàm số D 1; \ 0 

 

= − + 

b) Với

2

m

m − m

−    tập xác định hàm số D 4; \ 1 

m

m −

 

= + −

  Do

6

m

khơng thỏa mãn yêu cầu toán Với

5

m tập xác định hàm số D 4;

m−

 

= + 

Do để hàm số có tập xác định 0; ) 4

2

m

m

−

+  =  = (thỏa mãn)

Vậy

3

3 Bài tập luyện tập :

Bài 2.0. Tìm tập xác định hàm số sau:

a)

2 x y

x b)

2

1

y x

x

c)

3

1 x y

x x d)

2 4 4

y x x x

e) 2

6 x y

x x f)

1

1

( )

2

khi x

y f x x

x khi x Bài 2.1: Tìm tập xác định hàm số sau:

a) y 3x x b) y x x

x

c)

4

x x

y

x d)

2

6

1

x

y x

x

e)

4

x y

x x f)

2 2 3

3

x x

y

x x

g) ( )

1

f x

x h)

2

2

3

x y

x x

Bài 2.2: Tìm giá trị tham số m để: a) Hàm số y x 2m

x m xác định 1;0

b) Hàm số

1 x y

x m có tập xác định 0;+) Bài 2.3: Tìm giá trị tham số m để:

a) Hàm số

2 x

y x m

x m xác định 1;3

b) Hàm số y x m 2x m xác định 0; c) Hàm số y x 2m

x m xác định 1;0

 DẠNG TOÁN 2: XÉT TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ 1 Phương pháp giải

* Sử dụng định nghĩa

Hàm số y f x( ) xác định D :

Hàm số chẵn

( ) ( )

x D x D

Hàm số lẻ

( ) ( )

x D x D

f x f x

Chú ý : Một hàm số không chẵn không lẻ Đồ thị hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

* Quy trình xét hàm số chẵn, lẻ

B1: Tìm tập xác định hàm số B2: Kiểm tra

Nếu x D x D Chuyển qua bước ba

Nếu x0 D x0 D kết luận hàm không chẵn không lẻ B3: xác định f( )−x so sánh vớif x( )

Nếu kết luận hàm số chẵn Nếu đối kết luận hàm số lẻ

Nếu tồn giá trị x0 D mà f x0 f x0 , f x0 f x0 kết luận hàm số không chẵn không lẻ

2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau:

a) f x( ) 3x3 23 x b) f x( ) x4 x2 c) f x x 5 x d) ( )

2

f x x

x Lời giải

a) Ta có TXĐ: D=

Với x ta có − x f( x) x 23 x 3x3 23 x f x( ) Do f x( ) 3x3 23 x

hàm số lẻ b) Ta có TXĐ: D=

Với x ta có − x f( x) x x x4 x2 f x( ) Do f x( ) x4 x2 1

hàm số chẵn

c) ĐKXĐ: 5 5

5

x x

x

x x

+   −

 

  −  

 −   

 

Suy TXĐ: D= − 5;5

Với x − 5;5 ta có −  −x  5;5 f( x) x 5 x x 5 x f x( ) Do f x x 5 x hàm số chẵn

d) ĐKXĐ: 2 2

2

x x

x

x x

+   −

 

  −  

 −   

 

Suy TXĐ: D= − 2; 2)

Ta có x0 = −  −2  2; 2) − =  −x0  2; 2)

Vậy hàm số ( )

2

f x x

Ví dụ 2: Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau:

a) f x( ) x4 4x b) f x x x

c)

2

2

1

( )

1

x x

f x x

x x d)

1

( ) 0

1

Khi x

f x Khi x

Khi x Lời giải

a) Ta có TXĐ: D=

Ta có ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1 7, 1

1

f f

f f

f f

−  

− = = −  

−  −



Vậy hàm số không chẵn không lẻ b) Ta có TXĐ: D=

Với x ta có − x f( x) x x x x Suy f ( )− =x f x( )

Do f x x x hàm số chẵn

c) Ta có x2+ 1 x2 = x  x x2+ − 1 x với x Suy TXĐ: D=

Mặt khác 2

1

x +  x = x  − x x + + x

2

2

2

1

( ) 2

1

x x

f x x x x

x x x x

Với x ta có − x f( x) x x 2x x2 f x Do

2

2

1

( )

1

x x

f x x

x x hàm số lẻ

d) Ta có TXĐ: D= Dễ thấy x ta có − x

Với mọix0 ta có − x suy f ( )− = −x 1, f x( )= 1 f ( )− = −x f x( ) Với x0 ta có − x suy f ( )− =x 1,f x( )= − 1 f ( )− = −x f x( ) Và f ( )− = −0 f ( )0 =0

Do với x ta có f ( )− = −x f x( ) Vậy hàm số

1

( ) 0

1

Khi x

f x Khi x

Khi x

hàm số lẻ

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số:

2 2

2

2 2

1

x x m x

f x

x m hàm số chẵn Lời giải

ĐKXĐ:

1

Giả sử hàm số chẵn suy f ( )− =x f x( ) với x thỏa mãn điều kiện (*)

Ta có ( ) ( ) ( )

2 2

2

2 2

1

x x m x

f x

x m

− − −

− =

+ −

Suy f ( )− =x f x( ) với x thỏa mãn điều kiện (*)

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2

2 2 2

1

x x m x x x m x

x m x m

− − − − + −

 =

+ − + − với x thỏa mãn điều kiện (*)

( )

2 2m x

 − = với x thỏa mãn điều kiện (*)

2

2m

 − =  = m * Với m=1 ta có hàm số

2 2

2 1 x x

f x

x

ĐKXĐ :

1

x +   x

Suy TXĐ: D= \ 0 

Dễ thấy với x \ 0  ta có − x \ 0  f ( )− =x f x( ) Do

2 2

2 1 x x

f x

x hàm số chẵn

* Với m= −1 ta có hàm số

2 2

2 1 x x

f x

x

TXĐ: D=

Dễ thấy với x ta có − x f ( )− =x f x( ) Do

2 2

2 1 x x

f x

x hàm số chẵn

Vậy m= 1 giá trị cần tìm

3 Bài tập luyện tập

Bài 2.4:: Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau:

a)

3

5

x x

f x

x b)

2

5 x f x

x c) f x x 1 x

d)

1 x f x

x e)

2

3

f x x x f)

3

1 x f x

x

g) ( ) 1

2

x x

f x

x x h)

2

( )

1

x x

f x

x x

Bài 2.5: Tìm m để hàm số:

2 2 2 1

2

x x m

y f x

x m hàm số chẵn

b) Nếu hai hàm số chẵn lẻ hàm số y f x g x hàm số lẻ

Bài 2.7: a) Tìm m để đồ thị hàm số sau nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

3 ( 9) ( 3) 3

y x m x m x m

b) Tìm m để đồ thị hàm số sau nhận trục tung làm trục đối xứng

2

4 ( 3 2) 1

y x m m x m

Bài 2.8: Chứng minh đồ thị hàm số sau nhận trục tung làm trục đối xứng:y x2 x x

➢ DẠNG TỐN XÉT TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN(ĐƠN ĐIỆU) CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG

1 Phương pháp giải

C1: Cho hàm số y f x( ) xác định K Lấy x x1, 2 K x; 1 x2, đặt T f x( )2 f x( )1

Hàm số đồng biến K T

Hàm số nghịch biến K T

C2: Cho hàm số y f x( ) xác định K Lấy x x1, 2 K x; 1 x2, đặt 2

( ) ( ) f x f x T

x x

Hàm số đồng biến K T

Hàm số nghịch biến K T

2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét biến thiên hàm số sau khoảng 1;

a)

1 y

x b)

1

y x x

= +

Lời Giải

a) Với x x1, 2 +(1; ), x1 x2 ta có ( ) ( )

( )

( 1)( )

2

2

3

3

1 1

x x f x f x

x x x x

−

− = − =

− − − −

Suy ( ) ( )

( )( )

2

2

3

1

f x f x

x x x x

−

= −

− − −

Vì 1 2 ( )2 ( )1

2

1, f x f x

x x

x x −

   

− nên hàm số

3 y

x nghịch biến khoảng 1;

b) Với x x1, 2 +(1; ), x1 x2 ta có

( )2 ( )1 ( 1)

2 1

1 1

1

f x f x x x x x

x x x x

     

− = +  − + = −  − 

     

Suy ( )2 ( )1

2 1

1

f x f x

x x x x

−

= − −

Vì 1 2 ( )2 ( )1

2

1, f x f x

x x

x x −

   

− nên hàm số

1

y x x

= + đồng biến khoảng 1;

Ví dụ 2: Cho hàm số y x2

b) Lập bảng biến thiên hàm số 1;3 từ xác định giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số

1;3

Lời Giải

TXĐ: D R

a) x x1, 2 ,x1 x2 x2 x1

Ta có T f x2 f x1 x22 x12 x22 x12 x2 x1 x1 x2 Nếu x x1, 2 ;0 T Vậy hàm số y f x nghịch biến ;0 Nếu x x1, 2 0; T Vậy hàm số y f x đồng biến 0; b) Bảng biến thiên hàm số y x2 4 1;3

x −1

2

4

y=x −

3

−

−4 Dựa vào bảng biến thiên ta có

 1;3

max y

− = x=3, min−1;3 y= −4 x=0

Ví dụ 3: Xét biến thiên hàm số y 4x x tập xác định Áp dụng giải phương trình

a) 4x x

b) 4x x 4x2 x

Lời Giải

* ĐKXĐ:

5

4

1

1

1

x x

x x

x



+   −

   

 −  

  

Suy TXĐ: D= +1; )

Với x x1, 2 +1; ), x1x2 ta có

( ) ( )

( )

( )

2 2 1

2

2

2

2

4 5

4

4 5 1

4

4 5 1

f x f x x x x x

x x x x

x x x x

x x

x x x x

− = + + − − + − −

− −

= +

+ + + − + −

 

= −  + 

+ + + − + −

 

Suy ( )2 ( )1

2 2

4

0

4 5 1

f x f x

x x x x x x

−

= + 

− + + + − + −

Nếu x 1 f x( ) f ( )1 hay 4x x Suy phương trình 4x x vô nghiệm Nếu x 1 f x( ) f ( )1 hay 4x x Suy phương trình 4x x vơ nghiệm Với x=1 dễ thấy nghiệm phương trình cho Vậy phương trình có nghiệm x=1

b) ĐKXĐ: x1

Đặt 2

1 , 1

x + =t t x = −t phương trình trở thành

4x x 4t t f x f t

Nếu x t f x( ) f t( ) hay 4x x 4t t Suy phương trình cho vô nghiệm

Nếu x t f x( ) f t( ) hay 4x x 4t t Suy phương trình cho vơ nghiệm

Vậy f x f t x t hay x2+ = 1 x x2− + =x (vô nghiệm) Vậy phương trình cho vơ nghiệm

Nhận xét: • Hàm số y= f x( ) đồng biến (hoặc nghịch biến) phương trình f x( )=0 có tối đa nghiệm

• Nếu hàm số y f x( ) đồng biến (nghịch biến) D f x( ) f y( ) x y x ( y)

( ) ( ) ,

f x f y x y x y D Tính chất sử dụng nhiều toán đại số giải phương trình , bất phương trình , hệ phương trình tốn cực trị

3 Bài tập luyện tập

Bài 2.9: Xét biến thiên hàm số sau:

a) y 3x b) y x2 4x

c)

2 y

x ;2 2; d)

x y

x ;1 Bài 2.10: Chứng minh hàm số y=x3+x đồng biến

Áp dụng giải phương trình sau 3

2 1

x − =x x+ +

Bài 2.11: Cho hàm số y= x− +1 x2−2x

a) Xét biến thiên hàm số cho 1;+)

b) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số đoạn  2;5

• Cho hàm số y f x( ) xác định D Đồ thị hàm số f tập hợp tất điểm M x f x( ; ( )) nằm mặt phẳng tọa độ với x D

Chú ý : Điểm M x y( ; )0 0 C _đồ thị hàm số y f x( ) y0 f x( )0 • Sử dụng định lý tịnh tiến đồ thị hàm số

2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai hàm số f x 2x2 3x

2 1 2

2 2

6

x x

g x x x

x x

a) Tính giá trị sau f g ,g ,g b) Tìmx f x

c) Tìmx g x

Lời giải

a) Ta có f 2 1 0, g( )− = − − =3 5( )3 21, g( )2 =2.2 3− = ,

( )

3 10

g = + =

b) * Ta có f x 2x2 3x 1

2

0

2 3

2

x

x x

x

=  

 + = 

 = − 

* Với x2 ta có 2 2

0 1

x x

g x

x

x vô nghiệm

Với 2−  x ta có 2 2

2 1

x x

g x x

x x

Với x −2 ta có 2

6 1

x x

g x

x x vô nghiệm

Vậy g x x

Ví dụ 2: Cho hàm số y mx3 2(m2 1)x2 2m2 m a) Tìm m để điểm M(−1; 2) thuộc đồ thị hàm số cho

b) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số cho qua với m

Lời giải

a) Điểm M(−1; 2) thuộc đồ thị hàm số cho

2

Vậy m= −2 giá trị cần tìm

b) Để N x y( ); điểm cố định mà đồ thị hàm số cho qua, điều kiện cần đủ 2( 1) 2 ,

y mx m x m m m

( ) ( )

2

2

2

2 1 0,

1

1

2

2

m x m x x y m

x

x x

y x y

 − + − − − = 

 − =

=

 

 −  = −   + = 

Vậy đồ thị hàm số cho qua điểm N(1; 2− )

Chú ý: Nếu đa thức a xn n a xn 1 n a x1 a0 với x K

n n

a a a

Ví dụ 3: Chứng minh đồ thị C hàm số

2 1

1

x x

y

x tồn hai điểm A x y( ; )A A ( ; )B B

B x y thỏa mãn:

2

A A

B B

x y

x y

Lời giải

Ta có

2 1

1

A A

A

A

x x

A C y

x ,

2 1

1

B B

B

B

x x

B C y

x

Do

2

2

1

2

2 1

2

2

1

A A

A

A A A

B B B B

B

B

x x

x

x y x

x y x x

x

x

(*)

Với xA  −1, xB  −1 ta có

( ) 22

1

3 2 3

*

3 2 1 7

3

A

A A

B B

B

x

x x

x x

x

 

= 

 − − = 

 

− − = 

  =



(thỏa mãn)

Suy tồn hai điểm A x y( ; )A A B x y( ; )B B thuộc đồ thị ( )C thỏa mãn:

2

A A

B B

x y

x y

Ví dụ 4: Tìm đồ thị hàm số y x3 x2 3x hai điểm đối xứng qua gốc tọa độ

Lời giải

Gọi M N, đối xứng qua gốc tọa độ O M x y0; 0 N x0; y0 Vì M N, thuộc đồ thị hàm số nên

3

0 0

3

0 0

3

3

y x x x

y x x x

3

0 0 0 0

2

0

3 4

2

2

y x x x y x x x

0

2

x y

= 

  = −



0

2

x y

= − 

 =



Vậy hai điểm cần tìm có tọa độ (2; 2− ) (−2; 2)

Ví dụ 5: a) Tịnh tiến đồ thị hàm số

1

y=x + liên tiếp sang phải hai đơn vị xuống đơn vị ta đồ thị hàm số nào?

b) Nêu cách tịnh tiến đồ thị hàm số y= −2x2 để đồ thị hàm số y= −2x2−6x+3

Lời giải

a) Ta tịnh tiến đồ thị hàm số

1

y=x + sang trái hai đơn vị ta đồ thị hàm số y=(x−2)2 +1 tịnh tiến lên đơn vị ta đồ thị hàm số ( )2

2

y= x− hay y=x2−4x+4 Vậy hàm số cần tìm

4

y=x + x+ b) Ta có

2

2 15

2

2

x x x 

− − + = −  +  +

 

Do tịnh tiến đồ thị hàm số

2

y= − x để đồ thị hàm số

2

y= − x − x+ ta làm sau Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số

2

y= − x sang bên trái

2 đơn vị lên 15

2 đơn vị

3 Bài tập luyện tập:

Bài 2.12: Cho hàm số y f x 3x2 m x2 m 1(với m tham số) a) Tìm giá trị m để f

b) Tìm giá trị m để đồ thị hàm sốy f x qua điểm A 1;0

Bài 2.13: Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số sau qua với m a) y x3 2(m 1)x2 (m2 4m 1)x 2(m2 1)

b) ( 1)

2

m x m

y

x m

− + +

=

+ +

Bài 2.14: Cho hàm số f x( ) 2x4 (m 1)x3 (m2 1)x2 2(m2 3m 2)x Tìm m để điểm M(1; 0) thuộc đồ thị hàm số cho

Bài 2.15: a) Tịnh tiến đồ thị hàm số y= − +x2 liên tiếp sang trái đơn vị xuống

2 đơn vị ta

đồ thị hàm số nào?

b) Nêu cách tịnh tiến đồ thị hàm số

oup: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/