1. Trang chủ
  2. » Mẫu Slide

Chuyên đề Đường tròn

20 9 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 20
Dung lượng 246,21 KB

Nội dung

Vị trí tương đối giữa hai đường tròn và số tiếp tuyến tuyến chung A.. Vị trí tương đối.[r]

(1)Đường tròn Loại Phương trình đường tròn A Tóm tắt lý thuyết 2 * Phương trình chính tắc: Phương trình  x  a    y  b   R ( R  ) là phương trình chính tắc đường tròn tâm I  a;b  , bán kính R * Phương trình tổng quát: Phương trình x2  y  2ax  2by  c  ( a  b  c  ) là phương trình tổng quát đường tròn tâm I  a;b  , bán kính R  a  b  c * Chú ý (điều kiện tiếp xúc đường thẳng và đường tròn): Cho đường tròn  C  có tâm I , bán kính R và đường thẳng  Khi đó:  C tiếp xúc với   R  d  I,   B Một số ví dụ Ví dụ Lập phương trình đường tròn  C  tâm I  1; 2  các trường hợp sau 1)  C  có bán kính 2)  C  qua điểm A  2;7  3)  C  tiếp xúc với đường thẳng  : 3x  2y  12  Giải 2 1)  C  có tâm I  1; 2  , bán kính   C  :  x  1   y    25 2) Gọi R là bán kính  C  A   C   R  IA  32  92  90 2 Vậy  C  :  x  1   y    90 3) Gọi R là bán kính  C   C  tiếp xúc với   R  d  I,    3.1 2. 2   12  22  19 13 Vậy  C  :  x  1   y    361 13 Ví dụ Lập phương trình đường tròn qua ba điểm A  2;0  , B  3; 1 , C  3; 3  Giải Gọi  C  là đường tròn qua ba điểm A  2;0  , B  3; 1 , C  3; 3  Lop12.net (2) I  a;b  là tâm  C  IA  IB   IB  IC2  a    b   a     b  1     a     b  1   a     b  2 a  b     b  2 a     b  2  I  1; 2  2 R là bán kính  C   R  IA  Vậy  C  :  x  1   y    Ví dụ Lập phương trình đường tròn qua hai điểm A  1;4  , B  1;6  và có tâm thuộc đường thẳng  : x  2y   Giải Giả sử  C  là đường tròn cần lập phương trình và  C  có tâm I , bán kính R Cách 1: I    tọa độ I có dạng I  2a  4;a   2 Ta có IA  2a  3; a    IA   2a     a    5a2  20a  25  2 IB  2a  5;  a    IB   2a     a    5a  32a  61 Từ A , B   C   IA  IB (cùng R )  5a  20a  25  5a  32a  61  a3  I  2;3  2 Lại có R  IA  32  12  10 Vậy  C  :  x     y    10 Cách 2: Gọi M là trung điểm AB  IM  AB (bán kính qua trung điểm dây cung thì vuông góc với dây cung)  Ta có M là trung điểm AB  M  0;5  , AB  2;2  Lop12.net (3) B M I IM qua M  0;5    IM  AB  2;2    1; 1 A  IM : x   y     IM : x  y   Δ x  y   I  IM    I :   I  2;3   x  2y   2 R  IA  32  12  10 Vậy  C  :  x     y    10 Ví dụ Lập phương trình đường tròn qua hai điểm A  2;9  , B  3;10  và tiếp xúc với đường thẳng  : 3x  2y   Giải Giả sử  C  là đường tròn cần lập phương trình và  C  có tâm I  a;b  , bán kính R  2 Ta có IA    a;9  b   IA   a     b   ,  2 IB   3  a;10  b   IB   a     b  10  , d  I,    Từ 3a  2b  13 IA  IB (cùng R )   a     b     a     b  10   b  5a  12  1 Lại có IA  d2  I,   (cũng cùng R )  2  a  2   b  9   3a  2b   13  2 Thay  1 vào   ta thu  3a  2 5a  12     a     5a  12      13 2   a     5a    13  a    a  2a   a  1   a  +) Thay a  1 vào  1 ta có b   I  1;7  R  IA  32  22  13 Vậy trường 2 hợp này  C  có phương trình  x  1   y    13 Lop12.net (4)  1 +) Thay a  vào ta có b  27  I  3;27  R  IA  12  182  325 Vậy 2 trường hợp này  C  có phương trình  x     y  27   325 2 2 Tóm lại  C  :  x  1   y    13  C  :  x     y  27   325 Lop12.net (5) C Bài tập Bài Lập phương trình đường tròn  C  biết 1)  C  có tâm I  1;3  , bán kính R  2)  C  có tâm I  2;3  , A  1; 2    C  3)  C  qua các điểm A  1;2  , B  2; 3  và tâm I thuộc đường thẳng d : x  3y   4)  C  qua các điểm A  1;4  , B  4;0  và C  2; 2  5)  C  Có đường kính là đoạn thẳng AB với A  3;4  , B  2;7  6)  C  có tâm I  1;2  , tiếp xúc với đường thẳng d : 3x  4y   7)  C  có tâm I  2;3  , cắt đường thẳng d : 3x  4y   theo dây cung có độ dài 8)  C  qua A  2; 1 và tiếp xúc với các trục tọa độ 9)  C  là đường tròn ngoại tiếp tam giác có các cạnh nằm trên các đường thẳng 5y  x  , y  x  và y   x 10)  C  nội tiếp tam giác OAB với A  4;0  , B  0;3  Bài [ĐHA07] Cho tam giác ABC có A  0;2  , B  2; 2  và C  4; 2  Gọi H là chân đường cao kẻ từ B ; M và N là trung điểm các cạnh AB và BC Viết phương trình đường tròn qua các điểm H , M , N Bài Cho ABC có AB : x  y   , AC : 2x  6y   và M  1;1 là trung điểm cạnh BC Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC Bài [ĐHB09Chuẩn] Cho  C  :  x    y  45 và hai đường thẳng 1 :x – y  ,  :x – 7y  Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính đường tròn  C' biết  C' tiếp xúc với các đường thẳng 1 ,  và tâm K thuộc (C) Bài [ĐHB05] Cho hai điểm A  2;0  và B  6;4  Viết phương trình đường tròn  C  tiếp xúc với trục hoành điểm A và khoảng cách từ tâm  C  đến điểm B Bài Cho A  3;1 , B  0;7  , C  5;2  1) Chứng minh ABC vuông và tính diện tích tam giác 2) Giả sử điểm M chạy trên đường tròn ngoại tiếp ABC Chứng minh đó trọng tâm G MBC chạy trên đường tròn, viết phương trình đường tròn đó Lop12.net (6) Bài [ĐHA10Chuẩn] Cho hai đường thẳng d1 : 3x  y  và d : 3x  y  Gọi  T  là đường tròn tiếp xúc với d1 A , cắt d hai điểm B và C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình  T  , biết tam giác ABC có diện tích và điểm A có hoành độ dương Bài [ĐHD09NC] Cho  C  :  x  1  y  Gọi I là tâm  C  Tìm tọa độ điểm M   30o thuộc  C  cho IMO D Đáp số Bài 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) Bài x2  y  x  y   Bài x2  y  x  3y  65  Bài  C'  :  x  85  Bài  C :  x     y    49 Bài 1) S ABC  15 Bài  T  :  x   Bài M  ;    2   5  y  25 2  C  :  x     y  1      y  32  2  y  7 2 2) x   25 18  Lop12.net (7) Loại Vị trí tương đối điểm, đường thẳng với đường tròn A Tóm tắt lý thuyết * Vị trí tương đối điểm và đường tròn: Xét đường tròn  C  có tâm I , bán kính R và điểm M Đặt d  IM Ta có +) M nằm ngoài  C   d  R +) M   C   d  R +) M nằm  C   d  R * Vị trí tương đối đường thẳng và đường tròn: Xét đường tròn  C  có tâm I , bán kính R và đường thẳng  Đặt d  d  I,   Ta có +)  không có điểm chung với  C   d  R +)  tiếp xúc với  C  (  là tiếp tuyến  C  )  d  R +)  cắt  C  điểm phân biệt  d  R * Chú ý: Xét đường tròn  C  và điểm M Ta có mối liên hệ vị trí tương đối M và  C với số tiếp tuyến qua M  C  : +) M nằm ngoài  C  : qua M tồn hai tiếp tuyến  C  +) M   C  : qua M tồn tiếp tuyến  C  Tiếp tuyến này nhận M làm tiếp điểm +) M nằm  C  : qua M không tồn tiếp tuyến  C  B Một số ví dụ 2 Ví dụ Cho đường tròn  C  :  x  1   y    16 và điểm A  1;6  Chứng minh A nằm ngoài  C  và viết phương trình các tiếp tuyến qua A  1;6   C  Giải Ta có  C  là đường tròn tâm I  1;2  , bán kính R   IA  2;4   IA   16   R  qua A có hai tiếp tuyến  C   là đường thẳng qua A  phương trình  có dạng:  : a  x  1  b  y      : ax  by  a  6b  ( a  b  ) Lop12.net (8) Có d  I,    a  2b  a  6b d  I,    R  a2  b2  a  2b a2  b2  là tiếp tuyến  C  và a  2  4b   a  4ab     3a  4ab  4b  b2 2 a   a  a b  a  2b +) a    : b  y      : y   ( a   b  ) +) Từ a   4b , cho b  3  a    : 4x  3y  22  Vậy  : y    : 4x  3y  22  Ví dụ Cho  C  : x  y  2x  6y   Viết phương trình các tiếp tuyến (C) biết: 1) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x  y  2) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : 3x  4y  3) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : 2x  y  góc 45 Giải 2 Ta có  C  :  x  1   y      C có tâm I  1;3  , bán kính R  Gọi  là tiếp tuyến cần tìm 1)   d  phương trình  có dạng  : x  y  c  Ta có d  I,    1  c  c 2 Do đó:  là tiếp tuyến  C  và d  I,    R  c 2 1  c2  c      c    c   2    c   2  : x  y   2      : x  y   2  Vậy  : x  y   2   : x  y   2  2)   d  phương trình  có dạng  : 4x  3y  c  Lop12.net (9) Ta có d  I,    4 9 c c  13  Do đó:  là tiếp tuyến  C  và 5 d  I,    R  c  13 1  c  13   c  13     c  13  5 c  8    c   18   : 4x  3y       : 4x  3y  18  Vậy  : 4x  3y    : 4x  3y  18   3) Xét đường thẳng  nhận n  a;b  ( a  b  ) là véc-tơ pháp tuyến Ta có   ,d   45  cos   ,d   cos 45  2a  b  a2  b   2 2  4a  4ab  b   a2  b   3a2  8ab  3b   1 * Thay b  vào  1  a  (loại) * b  : chia hai vế  1 cho b , đặt t  a ta b 3t  8t   t     t   +) t   a   a  3b Cho b   a   Phương trình  có dạng b  : 3x  y  c   d  I,    3 3 c 10  c 10 Lop12.net (10) Do đó:  là tiếp tuyến  C  và d  I,    R  c 10 1  c   10  c   10    c    10  c  6  10    c  6  10   : x  3y   10      : x  3y   10  +) t    a    b  3a Cho a   b  3  Phương trình  có dạng b  : x  3y  c   d  I,    1  c 10  c8 10 Do đó:  là tiếp tuyến  C  và d  I,    R  c 10 1  c   10  c   10    c    10  c   10    c   10   : x  3y   10      : x  3y   10  Vậy  : 3x  y   10  ,  : x  3y   10  ,  : 3x  y   10  , x  3y   10  Ví dụ Cho A  0; 3  và đường tròn  C  : x  y  6x  6y   Lập PTĐT qua A , cắt  C theo dây cung có độ dài 10 10 Lop12.net (11) Giải 2 Ta có  C  :  x     y    25   C có tâm I  3;3  , bán kính R   là đường thẳng qua A  phương trình  có dạng:  : ax  b  y    I N hay  : ax  by  3b  ( a  b  ) E Giả sử  cắt  C  M , N Lấy I là trung M điểm MN  IE   (bán kính qua Δ trung điểm dây cung thì vuông góc với dây A cung) Ta có: d  I,    IE  IM  ME  25   210   210   Lại có d  I,    3a  3b  3b Từ  1 ,   suy a2  b  a  2b a  b2  1  2  4b  10  a  4ab  52  3a  8ab  3b2    2 a b a2  b a  2b * Thay b  vào    a  (loại) * b  : chia hai vế   cho b , đặt t  a ta b 3t  8t   t     t   +) t   a   b  3a Cho a   b    : x  3y   b +) t    a  3  a   3b Cho b  1  a    : 3x  y   b Vậy  : x  3y    : 3x  y   11 Lop12.net (12) Ví dụ [ĐHA09NC]  C : x  y  4x  4y   Cho và đường thẳng  : x  my  2m   , với m là tham số thực Gọi I là tâm đường tròn  C  TÌm m để  cắt  C  hai điểm phân biệt A và B cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn Ví dụ [ĐHD11NC] Cho A  1;0  và đường tròn  C  : x  y  2x  4y   Viết PTĐT  cắt  C  hai điểm M và N cho tam giác AMN vuông cân A Giải 2 Ta có  C  :  x  1   y    10  A  C IM  IN   AM  AN (C) I N M có tâm I  1; 2  , bán kính R  10 Δ  cuøng baèng R   giaû thieát   IA là đường trung trực MN     IA  0;2   phương trình  có dạng y  m Trước hết ta tìm điều kiện để  cắt  C  hai điểm phân biệt  1 Xét hệ  x  y  2x  4y     y  m Thay   vào   ta có  2  3 x2  m  2x  4m    x2  2x  m  4m     (  '   m  4m  ) Do đó:  1    có hai nghiệm phân biệt   '   m  4m      x1  x  Gọi x1 , x là các nghiệm      6  x1x  m  4m  Khi đó M  x1;m    N  x2 ;m    AM   x1 ;  m      AN   x2 ;  m     AM.AN    x1   x2    m   m   x1x   x1  x2    m   12 Lop12.net (13)   Thay   vào   ta có AM.AN  m  4m    m  2m  4m    Do đó  AMN vuông A    AM.AN   2m  4m   m    (thỏa mãn   )  m  3  : y    (thỏa mãn   )   : y  3 Vậy  : y   : y  3 Ví dụ [ĐH11A11Chuẩn] Cho  C : x  y  4x  2y  Gọi đường thẳng :xy2  và đường tròn I là tâm  C  , M là điểm thuộc  Qua điểm M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến  C  ( A và B là các tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M biết tứ giác MAIB có diện tích 10 Giải M 2 Ta có  C  :  x     y  1   x x A  C có tâm I  2;1  , bán kính R  Đặt x  MA  MB Theo tính chất tiếp tuyến đường tròn B   MBI   90 Do đó thì MAI I SMAIB  2SMAI  MA.IA  x Từ giả thiết suy ra: x  10  x2  MI  IA  MA  25  1 M    tọa độ M có dạng M  m;  m     IM  m  2; m   2  MI   m     m    2m  2m  13  2 13 Lop12.net (14)  M  2;   m  Từ  1 và   suy ra: 2m  2m  13  25  m  m        m  3  M  3;1 Vậy M  2; 4  M  3;1 2 Ví dụ [ĐHD07] Cho  C  :  x  1   y    và d : 3x  4y  m  Tìm m để trên d có điểm P cho từ P kẻ đúng hai tiếp tuyến PA , PB tới  C  ( A , B là các tiếp điểm) cho PAB Giải Ta thấy  C  có tâm là I  1; 2  , bán kính R  Theo tính chất hai tiếp tuyến kẻ từ điểm nằm ngoài đường tròn tới đường (C') tròn thì PAB là tam giác cân P P A 30o Ta có   60 PAB  APB (C) o 60   30  API I d B   60  AIP  IP  2AI  2R   P thuộc đường tròn  C' có tâm I , bán kính R '  Như P  d   C' Do đó điểm P tồn  d tiếp xúc với  C'  d  I,d   R '   8 m 6  11  m  30 11  m  30   11  m  30 14 Lop12.net (15)  m  19    m  41 Vậy m  19 m  41 15 Lop12.net (16) C Bài tập Bài Xét vị trí tương đối điểm M và đường tròn (C) 1) M  1;2  ,  C  : x  y  2x  4y   , 2) M  0; 1 ,  C  : x  y  2x  4y   , 3) M  1;2  ,  C  : x  y  2x  4y  20  Bài Xét vị trí tương đối đường thẳng  và đường tròn (C) 1)  : 3x  4y   ,  C  : x  y  4x  6y  12  2)  : 3x  4y  23  ,  C  : x  y  4x  6y  12  3)  : 3x  4y  20  ,  C  : x  y  4x  6y  12  Bài Cho (C) : x  y  2x  8y   Viết phương trình các tiếp tuyến (C) biết: 1) Tiếp tuyến qua A  4;0  2) Tiếp tuyến qua A  4; 6  Bài Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với Ox và qua điểm  0;1 Tìm quỹ tích tâm đường tròn đó D Đáp số Bài 1) 2) 3) Bài 1) 2) 3) Bài 1) 3x  4y  12  2) 3x  4y  12  , x   Bài  P  : x2  2y   Ví dụ m  m  15 16 Lop12.net (17) Loại Vị trí tương đối hai đường tròn và số tiếp tuyến tuyến chung A Tóm tắt lý thuyết Xét hai đường tròn  C1  có tâm I1 , bán kính R1 ;  C2  có tâm I , bán kính R Đặt d  I1I Ta có: d Vị trí tương đối Số tiếp tuyến chung d  R1  R  C1  ,  C2  d  R1  R  C1  ,  C2  tiếp xúc ngoài ngoài R1  R  d  R  R  C1  ,  C2  d  R1  R  C1  ,  C2  tiếp xúc d  R1  R  C1  ,  C2  nằm ngoài cắt hai điểm phân biệt lồng B Một số ví dụ Ví dụ Tìm các giao điểm A , B hai đường tròn  C2  : x2  y  4x  2y  Viết PTĐTR qua  C1  : x2  y  4x  6y  , A , B và C  3;1 Giải * Tọa độ giao điểm  C1  ,  C2  là nghiệm hệ  x  y  4x  6y     x  y  4x  2y   1  2 Trừ vế  1 và   ta có 8x  8y   y  x    3  x   y  Thế   vào  1 ta 2x  2x     3   x   y  Vậy các giao điểm  C1  ,  C2  là A  0;0  và B  1;1 *  C3  là đường tròn qua A , B , C  phương trình  C3  có dạng  C3  : m  x2  y  4x  6y   n  x2  y  4x  2y   , m  n  17 Lop12.net (18)  C3  qua C  8m  24n   m  3n   Từ   cho n   m  Do đó  C3  :  x2  y  4x  6y    x2  y  4x  2y     C3  : 4x  4y  8x  16y    C3  : x  y  2x  4y  2   C3  :  x  1   y    Ví dụ Cho hai đường tròn  C1  : x  y  4x  2y   ,  C2  : x  y  6x  8y   Chứng tỏ  C1  ,  C2  cắt hai điểm phân biệt Viết PTĐT qua các giao điểm  C1  ,  C2  Giải * Ta có  C1  :  x  2   y  12  10   C1  có tâm I1  2;1 , bán kính R1  10  C2  :  x     y  2  16   C1  có tâm I  3;4  , bán kính R   I1I  5;3   I1I  25   34  R1  R  I1I  R1  R   C1  ,  C2  cắt hai điểm phân biệt * M  x0 ;y    C1    C2   x  y  4x  2y   0 0    x02  y 02  6x0  8y     x02  y02  4x0  2y0     x02  y02  6x0  8y0  9   10x0  6y  14   5x0  3y    tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình 5x  3y   Vậy PTĐTR qua các giao điểm  C1  ,  C2  là 5x  3y   Ví dụ [ĐHB06] Cho đường tròn  C  : x  y – 2x – 6y   và điểm M  3;1 Gọi T1 và T2 là các tiếp điểm các tiếp tuyến kẻ từ M đến  C  Viết phương trình đường thẳng T1T2 Giải 2 *  C  :  x  1   y      C có tâm I  1;3  18 Lop12.net (19) Ta thấy I  MT I  90 MT  T1 , T2 thuộc đường tròn  C' đường kính MI (  C' là đường tròn tâm I ' là trung điểm MI , bán kính R '  MI )  T1 , T2 là các giao điểm  C  và  C'  Ta có I '  1;  , IM  4; 2   IM  16    R '  2 Do đó  C' :  x  1   y      C' : x  y  2x  4y  * M  x0 ;y    C1    C2   x  y  2x  6y   0 0   2  x0  y  2x0  4y    x02  y02  2x0  6y0     x02  y02  2x0  4y    4x0  2y    2x0  y    tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình 2x  y   Vậy PTĐTR qua các giao điểm  C1  ,  C2  là 2x  y   2 Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến chung các đường tròn  C1  :  x  1   y  1  ,  C2  :  x     y  12  ĐS: (b) x  , 3x  4y  12  Ví dụ [ĐHD06] Cho  C  : x  y  2x  2y   và d : x  y   Tìm điểm M nằm trên d cho đường tròn tâm M có bán kính gấp đôi bán kính  C  tiếp xúc ngoài với  C ĐS: M  1;4  M  2;1 Giải 19 Lop12.net (20) C Bài tập Bài Xét vị trí tương đối các đường tròn  C1  ,  C2  143 1)  C1  : x  y  4x  6y   ,  C2  : x2  y  12x   0, 2)  C1  : x  y  4x  6y   ,  C2  : x2  y  12x  35  , 3)  C1  : x  y  4x  6y   ,  C2  : x2  y  12x  27  Bài Cho  C1  có tâm A  1;0  , bán kính R1  và  C2  có tâm B  1;0  , bán kính R  Tìm quỹ tích tâm I đường tròn tiếp xúc với hai đường tròn nói trên Bài Viết phương trình tiếp tuyến chung các đường tròn  C1  : x2  y  4x   ,  C2  : x2  y  8x  12  ĐS: x  3y  , x  3y  , x  35y   , x  35y   2 Bài [ĐHD03] Cho đường tròn  C  :  x – 1   y –   và đường thẳng d : x – y –  Viết phương trình đường tròn  C' đối xứng với đường tròn  C  qua đường thẳng d Tìm tọa độ các giao điểm  C  và  C' ĐS:  C'  :  x    y  , các giao điểm  C  và  C' là A  1;0  và B  3;2  20 Lop12.net (21)

Ngày đăng: 01/04/2021, 06:38

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w