Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường thẳng... Nguyễn Phú Khánh.[r]
(1)Nguyễn Phú Khánh HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TỌA ĐỘ OXY Dạng Tọa độ vectơ Định nghĩa: Hệ trục tọa độ gồm hai trục vuông góc Ox và Oy với hai vectơ đơn vị là i, j Điểm O gọi là gốc tọa độ, Ox gọi là trục hoành và Oy gọi là trục tung ( Kí hiệu Oxy hay O; i, j ) Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ + Trong hệ trục tọa độ O; i, j u = xi + yj thì cặp số ( x; y ) gọi là tọa độ ( ) ( ) vectơ u , kí hiệu là u = ( x; y ) hay u ( x; y ) x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ vectơ u + Trong hệ trục tọa độ O; i, j , tọa độ vectơ OM gọi là tọa độ điểm M , kí hiệu là M = ( x; y ) hay M ( x; y ) x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ điểm M Nhận xét: Gọi H, K là hình chiếu M lên Ox và Oy thì M ( x; y ) ⇔ OM = xi + yj = OH + OK Như OH = xi, OK = yj hay x = OH, y = OK Tọa độ trung điểm đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm tam giác + Cho A(xA ; y A ), B(x B ; y B ) và M là trung điểm AB Tọa độ trung điểm xA + x B y + yB , yM = A 2 + Cho tam giác ABC có A(x A ; y A ), B(x B ; y B ), C ( xC ; yC ) Tọa độ trọng tâm M ( xM ; yM ) đoạn thẳng AB là x M = G ( xG ; y G ) tam giác ABC là xG = x A + x B + xC , yG = y A + y B + yC Biểu thứ tọa độ các phép toán vectơ Cho u = (x; y) ; u' = (x'; y') và số thực k Khi đó ta có : x = x' y = y' + u = u' ⇔ + u ± v = (x ± x'; y ± y ') + k.u = (kx; ky) x' = kx + u ' cùng phương u ( u ≠ ) và có số k cho y' = ky 505 Lop12.net (2) Nguyễn Phú Khánh + Cho A(xA ; y A ), B(x B ; y B ) thì AB = ( x B − xA ; y B − y A ) Ví dụ Cho các vectơ a = ( −2; ) , b = ( 1; −2 ) ,c = ( −3; −5 ) Tìm các số m, n cho : c = ma + nb Tìm vectơ u cho : a.u = 15 và b.u = −11 Lời giải Ta có ma = ( −2m; 3m ) , nb = ( n; −2n ) ⇒ ma + nb = ( −2m + n; 3m − 2n ) −2m + n = −3 m = 11 Vậy c = ma + nb ⇔ ⇔ − = − 3m n n = 19 Gọi u ( x; y ) a.u = 15 −2x + 3y = 15 x = ⇔ ⇔ ⇒ u = ( 3;7 ) y = b.u = −11 x − 2y = −11 Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy Cho A ( 2; ) , B ( 5; −2 ) Tìm trên trục hoành điểm C để ∆ABC vuông Tìm trên trục hoành điểm A , cách B ( 2; −)3 ) , khoảng Tìm trên trục tung điểm C cách điểm D ( −8;13 ) khoảng 17 Tìm điểm M trên trục tung cách điểm A ( −1; ) và B ( 1; ) Lời giải Gọi C ( x0 ; ) ∈ Ox ⇒ AC = ( x0 − 2; −2 ) , BC = ( x0 − 5; ) , AB = ( 3; −4 ) * ∆ABC vuông A ⇔ AB ⊥ AC ⇔ AB.AC = ⇔ C − ; 22 * ∆ABC vuông B ⇔ AB ⊥ BC ⇔ AB.BC = ⇔ C ; * ∆ABC vuông C ⇔ CA ⊥ CB ⇔ AC.CB = ⇔ C ( 1; ) ,C ( 6; ) Gọi A ( x0 ; ) ∈ Ox ⇒ AB = ( − x0 ; −3 ) , AB = x = −2 2 ⇔ ( − x0 ) + ( −3 ) = 52 ⇔ ⇒ A ( −2; ) , A ( 6; ) x0 = Gọi C ( x0 ; y ) ∈ Oy : CD = ( −8;13 − y ) ,CD = 17 506 Lop12.net (3) Nguyễn Phú Khánh y = −2 2 ⇔ ( 13 − y0 ) + ( −8 ) = 17 ⇒ ⇒ C ( 0; −2 ) ,C ( 0; 28 ) y0 = 28 Gọi M ( 0; y0 ) ∈ Oy Khi đó : MA = MB ⇔ MA = MB2 ⇔ ( −1) + ( − y0 ) = 12 + ( − y0 ) ⇒ y = 2 7 ⇒ M 0; 2 Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm A ( 4; ) Tìm tọa độ điểm B cho OAB là tam giác đều, OA; OB = 600 OAB là tam giác cân, OA; OB = 450 ) ) ( ( Lời giải ( ) Ta có : tan ( Ox;OA ) = tan α + 600 = tan α + tan 600 − tan α.tan 600 1+ ⇒ tan ( Ox;OA ) = 2− 1+ 1+ Từ đó : ( OB ) : y = x0 x ⇒ B x0 ; 2− 2)− tan α = 1+ x = 20 ⇔ x02 = − Khi đó OA = OB ⇔ x02 + 2− 0 ( Vì y0 > ⇒ x0 > ⇒ x0 = − ⇒ B − 3;1 + ( ) Tương tự tan ( Ox;OB ) = tan α + 450 = ( 3) ) tan α + tan 450 =3 − tan α.tan 450 ⇒ ( OB ) : y = 3x ( AB ) qua A và vuông góc OA nên ( AB ) có phương trình : ( x − ) + ( y − ) = ⇔ 2x + y − 10 = y = 3x B là giao điểm OB và AB nên B : ⇒ B ( 2; ) 2x + y − 10 = Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ∆ABC biết A ( 1;1) ; B ( −3; −2 ) ; C ( 0;1) Tìm tọa độ trực tâm H ∆ABC ; Tìm tọa độ chân đường cao A' vẽ từ A 507 Lop12.net (4) Nguyễn Phú Khánh Lời giải AH.BC = Gọi H ( x; y ) là trực tâm ∆ABC ⇔ (I) BH.AC = AH = ( x − 1; y − 1) , BH = ( x + 3; y + ) , BC = ( 3; ) , AC = ( −1; ) x = −3 ( x − 1) + ( y − 1) = Khi đó ( I ) ⇔ ⇔ ⇒ H ( −3; ) y = − ( x + ) = Gọi A' ( a; b ) là chân đường cao AA' ⇔ AA'.BC = và BA ' cùng phương BC AA' = ( a − 1; b − 1) , BA ' = ( a + 3; b + ) , BC = ( 3; ) a= ( a − 1) + ( b − 1) = 3 Khi đó, ta có hệ: ⇔ ⇒ A' ; 3 b + − a + = ) ( ) 2 2 b = ( Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho A ( 2;1) , B ( 3; −1) , C ( −2; ) Tìm điểm E ∈ Oy để ABEC là hình thang có đáy AB và CE với K là giao điểm K AC và BE ) Lời giải • Gọi E ( 0,e ) ∈ Oy • ABEC là hình thang có đáy AB và CE ⇒ AB cùng phương CE ( * ) AB = ( 1; −2 ) ,CE = ( 2; e + ) Thì ( * ) ⇔ e + + = ⇒ e = −7 = E ( 0; −7 ) AC ↑↑ AK K = AC ∩ BE ⇒ A,C,K thẳng hàng và B,E,K thẳng hàng ⇔ BE ↑↑ BK AC = ( −4; −4 ) , AK = ( xK − 2; y K − 1) , BE = ( −3; −6 ) , BK = ( xK − 3; yK + 1) Khi đó −4 ( yK − 1) + ( xK − ) = x − yK = x = ⇔ K ⇒ K 2xK − yK = yK = −3 ( y K +1) + ( xK − ) = (∗ ∗) ⇔ ⇒ K ( 6; ) Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy Cho A ( 3; ) và C ( −4;1) là đỉnh đối hình vuông Tìm đỉnh còn lại Cho A ( 2; −1) và B ( −1; ) là đỉnh liên tiếp hình vuông Tìm đỉnh còn lại 508 Lop12.net ( ∗ ∗) (5) Nguyễn Phú Khánh Cho A ( 2; ) ; B ( 1;1) Tính tọa độ C, D biết ABCD là hình vuông Lời giải 1 Gọi I − ; là trung điểm AC , gọi B ( a; b ) 2 BI.AC = BI ⊥ AC ⇒ Ta có ( I ) , đó BI = a + 21 ; b − 21 , AC = ( −7;1) 1 2 BI = AC BI = AC 1 −7 a + + b − = 2 a = 0, y = a + a = Từ ( I ) ⇔ ⇔ ⇔ 2 1 1 b = 7a + a = −1, b = −3 a + + b − = Vậy B ( 0; ) B ( −1; −3 ) ; D ( 0; ) D ( −1; −3 ) ( ) AB2 = BC2 AB = BC Gọi C ( c; d ) là đỉnh đối diện A Ta có ⇔ ( II ) AB ⊥ BC AB.BC = AB = ( −3; ) , BC = ( c + 1; d − ) c + + d − = 25 c = 3,d =6 C ( 3; ) ) ⇔ ⇒ ( II ) ⇔ ( ) ( ) c = −5,d = C ( −5; ) −3 ( c + 1) + ( d − ) = Vì ABCD là hình vuông AD = BC x − = BC = ( 4; −3 ) * C ( 3; ) , ta có: ⇒ D ( 6; ) ⇒ AD = ( x − 2; y + 1) y + = x − = −4 BC = ( −4; −3 ) * C ( −5; ) , ta có: ⇒ D ( −2; −4 ) ⇒ AD = ( x − 2; y + 1) y + = −3 Vậy, C ( 3; ) ; D ( 6; ) C ( −5; ) , D ( −2; −4 ) Gọi C ( x; y ) , ta có: BA = 10, BC = ( x − 1) + ( y − 1) BA ⊥ BC 1 ( x − 1) + ( y − 1) = ABCD là hình vuông ⇒ ⇒ 2 BA = BC ( x − 1) + ( y − 1) = 10 x = x = −2 ⇔ y = y = TH1 : C ( 4; ) ⇒ AB = DC ⇒ D ( 5; ) 2 509 Lop12.net (6) Nguyễn Phú Khánh TH2: C ( −2; ) ⇒ AB = DC ⇒ D ( −1; ) Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm M ( 1;1) , N ( 7; ) và đường thẳng ( d ) : x + y − = Tìm điểm P ∈ ( d ) cho ∆PMN cân đỉnh P Tìm điểm Q ∈ ( d ) cho ∆QMN vuông đỉnh Q P ( x0 ; y0 ) ∈ ( d ) : x0 + y0 − = Lời giải ∆PMN cân đỉnh P ⇔ PM = PN ⇔ ( x0 − 1)2 + ( y0 − 1)2 = ( x0 − )2 + ( y0 − )2 x0 + y0 − = x0 = Ta có hệ : ⇒ P ( 2; ) 2 2 ⇔ y0 = ( x0 − 1) + ( y0 − 1) = ( x0 − ) + ( y0 − ) Q ( x1 ; y1 ) ∈ ( d ) : x1 + y1 − = QM = ( − x1 ;1 − y1 ) , QN = ( − x1 ; − y1 ) ∆QMN vuông đỉnh Q ⇔ QM ⊥ QN ⇔ ( − x1 )( − x1 ) + ( − y1 )( − y1 ) = x1 + y1 − = x = ) Ta có hệ ⇔ ⇒ Q ( 7;1) ( − x1 )( − x1 ) + ( − y1 )( − y1 ) = y1 = Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ∆ABC biết A ( 3;1) , B ( 1; −3 ) trọng tâm G ∆ABC nằm trên Ox Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích ∆ABC Lời giải * G ( x; ) ∈ Ox , G là trọng tâm ∆ABC ⇔ AG = AM ⇔ 3AG = 2AM ⇔ 2AG = 3AM ; AG = ( x − 3; −1) , AM = ( xM − 3; yM − 1) x = ( x − 1) 3 1 3 ( x − ) = ( xM − ) M 2AG = 3AM ⇔ ⇔ ⇒ M ( x − 1) ; − 2 2 y = − −3 = ( yM − 1) M * Mặt khác M là trung điểm BC 510 Lop12.net (7) Nguyễn Phú Khánh 3 x B + xC + xC xM = ( x − 1) = 2 ⇔ xC = 3x − ⇒ C 3x − 4; ⇔ ⇔ 2 ( ) yC = y = y B + yC − = −3 + yC M 2 3 x B + xC + xC xM = ( x − 1) = 2 ⇔ xC = 3x − ⇒ C 3x − 4; ⇔ ⇔ 2 ( ) yC = y = y B + yC − = −3 + yC M 2 CA = ( − 3x; −1) ,CB = ( − 3x; −5 ) S ∆ABC = ⇔ = det CA,CB ⇔ = −5 ( − 3x ) + ( − 3x ) ⇔ 2x − = ⇔ x = x = ( ) Vậy, C ( 2; ) C ( 3; ) là tọa độ cần tìm Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hình thoi ABCD biết A ( 3;1) , B ( −2; ) và giao điểm I đường chéo nằm trên Ox Hãy xác định tọa độ điểm C và D Lời giải ) Gọi I ( x0 ; ) ∈ Ox ⇒ AI = ( x0 − 3; −1) , BI = ( x0 + 2; −4 ) I là giao điểm đường chéo hình thoi ⇔ AI ⊥ BI ⇔ ( x − )( x + ) + ( −1)( −4 ) = ⇔ x = −1, x = ⇒ I ( −1; ) I' ( 2; ) x = 2x I − x A = −5 ⇒ C ( −5; −1) * I ( −1; ) I là trung điểm AC ⇔ C yC = 2yI − y A = −1 x = 2xI − x B = và I là trung điểm BD ⇔ D ⇒ D ( 0; −4 ) y D = 2yI − y B = −4 * I ( 2; ) ⇒ C ( 1; −1) , D ( 6; −4 ) Ví dụ 10 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy Cho tứ giác ABCD có A ( −2;14 ) , B ( 4; −2 ) ,C ( 6; −2 ) , D ( 6;10 ) Tìm tọa độ M giao điểm đường chéo AC và BD , AD là trung tuyến Cho ∆ABC với A ( 3; ) , B ( −5;1) ,C ( 5; −9 ) Tính góc BAD 511 Lop12.net (8) Nguyễn Phú Khánh Lời giải BM = ( x − 4; y + ) M M ⇒ 12 ( xM − ) − ( y M + ) = ⇔ 6xM − y M − 26 = BD = ( 2;12 ) CM = ( x − 6; y + ) M M ⇒ 16 ( xM − ) + ( yM + ) = ⇔ 2xM + yM − 10 = CA = ( −8;16 ) 6x − yM − 26 = xM = 9 Ta có : M ⇒ ⇒ M ;1 2 2xM + yM − 10 = y = M D ( 1; −4 ) có AB = ( −8; −4 ) , AD = ( −3; −9 ) AB.AD 24 + 36 = 450 cos BAD = cos AB; AD = = = ⇒ BAD AB.AD 5.3 10 ) ( Ví dụ 11 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm A ( a; b ) và ( ) b 0; a − b với a, b ≠ Tìm điểm C trên trục Ox cho ∆ABC cân C Khi đó chứng tỏ ABC còn là tam giác Lời giải ) Gọi C ( x0 ; ) ∈ Ox Do ABC là tam giác cân C ⇔ AB = BC ⇔ AC2 = BC2 ( ⇔ ( x0 − a ) + ( − b ) = ( x0 − ) + − a + b 2 ) ( ⇔ x0 = 3b − a ⇒ C b − a; ) AB2 = 4a − 4ab + 4b Với C b − a; ⇒ ⇒ AB2 = AC ⇒ AB = AC 2 AC = 4a − 4ab + 4b Vậy ∆ABC là tam giác ( ) Ví dụ 12 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy Cho điểm A ( −2; −6 ) , B ( 4; −4 ) ,C ( 2; −2 ) , D ( −1; −3 ) Chứng minh tam giác ABC vuông và tứ giác ABCD là hình thang Cho M ( 1;1 − cosa ) , N ( 3; ) Tính OM,MN Tính giá trị lớn và nhỏ y = cos2 a − cos a + + cos a + cos a + 13 Lời giải 512 Lop12.net (9) Nguyễn Phú Khánh AC = ( 4; ) ⇒ AC.BC = ( −2 ) + 4.2 = ⇒ AC ⊥ BC hay ∆ABC vuông C BC = ( −2; ) AB = ( 6; ) = ( 3;1) Ta có ⇒ AB = 2DC ⇒ AB CD hay ABCD là hình thang DC = ( 3;1) 2 OM = + ( − cos a ) = cos a − cos a + 2 MN = ( − 1)2 + ( − + cos a )2 = cos a + cos a + 13 Vì ≤ − cos a ≤ nên M di động trên M1M với M1 ( 1; ) ,M ( 1; ) và y = OM + MN ≥ ON ⇒ y = ON = 32 + = : O,M, N thẳng hàng OM1 + M1N = + ( − 1)2 + 42 = + OM + M N = 12 + 2 + 20 ( − 1)2 + ( − )2 = 5+ y = OM + MN ≤ OM1 + M1 N = + 20 = + ⇒ Max y = + Khi M ≡ M1 ( 1; ) Ví dụ 13 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy Cho ∆ABC có các đỉnh A ( 2; ) , B ( −3; −4 )) ,C ( 5; ) Xác định tọa độ chân đường phân giác AD cho ∆ABC có A ( 5; ) , B ( −1;1) ,C ( 3; −2 ) ,M là điểm di động thỏa α MA + βMB = α + β2 > Xác định M để MA + MC nhỏ ( ) Lời giải , AC = ( ) + ( −6 ) = BD AB 5 = = ⇒ DB = − DC , D chia BC theo tỉ k = − DC AC 3 −3 + =2 x D = 1+ 3 ⇒ D 2; − Vậy 2 −4 + y = =−3 D 1+ AB = ( −5 )2 + ( −10 )2 = 2 513 Lop12.net (10) Nguyễn Phú Khánh α + β AB = − MA β ≠ β Nếu thì nằm trên AB ⇒ M α ≠ AB = α + β MB α Gọi I là trung điểm AC thì MA + MC = 2MI ⇒ MA + MB nhỏ 2MI nhỏ Do I cố định nên MI nhỏ M là hình chiếu I trên AB x − yM − AM AB ⇔ M = ⇒ xM − 2yM + = −6 −3 IM ⊥ AB ⇒ IM.AB = 0; I ( 4;1) ⇔ 2xM + yM − = ( ) x − 2yM + = x = Vậy , tọa độ điểm M là nghiệm hệ: M ⇔ M ⇒ M ( 3; ) 2xM + yM − = yM = Ví dụ 14 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường thẳng ( d ) : 2x − y + = và điểm A ( 4; ) , B ( 0; −4 ) Tìm trên đường thẳng ( d ) điểm M cho vectơ : AM + BM có độ dài nhỏ Lời giải Gọi M ( x0 ; y ) ∈ ( d ) : 2x0 − y + = ⇒ y = 2x0 + ⇒ M ( x0 ; 2x0 + ) AM = ( x0 − 4; y0 − ) ) Ta có ⇒ AM + BM = ( 2x0 − 4; 2y0 − ) BM = ( x0 ; y0 + ) 2 ⇒ AM + BM = ( 2x0 − ) + ( 2y0 − ) = 20x02 − 32x0 + 20 Cách : f ( x0 ) = 20x02 − 32x0 + 20 là hàm bậc 2, có hệ số a = > nên f ( x0 ) ⇔ x0 = x = − b 32 18 18 = = ⇒ y0 = ⇒ M ; 2a 20 5 5 Cách : Đặt f ( x0 ) = 20x02 − 32x0 + 20 có f ' ( x0 ) = 40x0 − 32 = ⇔ x0 = x0 −∞ f ' ( x0 ) f ( x0 ) − +∞ + +∞ ⇒ f ( x0 ) = +∞ 36 36 18 x = ⇒ y0 = 5 514 Lop12.net (11) Nguyễn Phú Khánh 18 36 Vậy M ; thì độ dài AM + BM = đạt giá trị nhỏ = 5 5 Bài tập tự luyện Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy a Cho A ( 1; ) , B ( 3; −1) và hình vuông ABCD theo chiều dương Tìm tọa độ đỉnh C, D b Cho điểm A ( 4; ) , B ( 2; ) Tìm mặt phẳng điểm C để tam giác ABC là tam giác vuông cân Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy a Cho tam giác ABC có A ( 1; −1) , B ( 5; −3 ) và C ∈ Oy , trọng tâm G tam giác trên Ox Xác định tọa độ C và G b Cho điểm A ( 3; ) , B ( 7; ) ,C ( 4; ) , D ( 2; ) Chứng minh ABCD là hình thang vuông Tính chu vi và diện tích ABCD Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm A ( −3; ) , B ( 4; ) a Tìm điểm M ∈ Ox cho ∆MAB vuông M ) b Gọi C là điểm nằm trên Oy và G là trọng tâm ∆ABC Tìm tọa độ điểm C , biết G nằm trên Ox Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm B ( 2;1) ,C ( 6;1) a Tìm điểm A ( x; y ) , ( x > 0, y > ) cho tam giác ABC b Tìm A' đối xứng với A qua C c Tìm tọa độ điểm D cho AD − 3BD + 4CD = d Tìm điểm M cho tứ giác ABCM là hình bình hành Xác định tâm nó Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tứ giác ABCD có A ( −2;14 ) , B ( 4; −2 ) ,C ( 5; −4 ) , D ( 5; ) Tìm tọa độ giao điểm đường chéo AC và BD Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, tam giác ABC có trung điểm các cạnh BC, AC, AB là M ( 2; ) , N ( −3; ) ,P ( 2;1) a Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC b Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC ; chứng mình G là trọng tâm tam giác MNP 515 Lop12.net (12) Nguyễn Phú Khánh Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm A ( 1; −2 ) , B ( 2; ) , C ( −1; −2 ) Tìm điểm D trên Oy cho ABCD là hình thang có cạnh đáy là AD Tìm giao điểm I đường chéo Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm A ( −2; −3 ) , B ( 4; −1) , C ( 2;1) , D ( −1; ) a Chứng minh ABCD là hình thang b Tìm giao điểm AB với Ox c Tìm điểm M trên đường thẳng CD , biết yM = Khi đó ABMD là hình gì ? d Tìm giao điểm AC và BD Bài tập Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ∆ABC , biết A ( 4; ) , B ( −4; ) ,C ( −1; −4 ) a Tìm tọa độ trực tâm H , trọng tâm G , tâm I và bán kính R đường tròn ngoại tiếp ∆ABC b Kẻ đường cao AD Tìm tọa độ D c Tìm độ dài trung tuyến BE Bài tập 10 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho A ( −2; ) , B ( 2; ) ) Đỉnh C nằm trên đường thằng x − 3y = Tâm I ( 1; ) đường tròn ngoại tiếp tam giác a Tìm tọa độ C b Tìm tọa độ trọng tâm G , trực tâm H Chứng minh : G,H,I thằng hàng Bài tập 11 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm A ( 2;1) Tìm tọa độ điểm B biết đường thẳng AB cắt Oy C chia đoạn AB theo tỉ số 3 và đường thẳng AB cắt Ox D chia đoạn AB theo tỉ số − Bài tập 12 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm A ( −3; ) , B ( 1; −2 ) , C ( 6; ) a Chứng minh A, B,C là đỉnh tam giác b Tìm tọa độ chân đường cao A' xuất phát từ A c Tính tọa độ trọng tâm G , trực tâm H và tâm I tam giác ABC Có nhận xét gì điểm G,H,I ? Bài tập 13 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm A ( 0; ) , và 516 Lop12.net (13) Nguyễn Phú Khánh đường thẳng y = Tìm trên đường thẳng y = điểm B ( x B ; ) và trên đường thẳng y = điểm C ( xC ; ) cho AB = AC và tam giác ABC có diện tích 24 Bài tập 14 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, điểm A ( 3; ) , B ( 1; ) ,C ( 5;1) a Tìm tọa độ trọng tâm G , trực tâm H , tìm chân đường cao A' AA' b Xác định tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Chứng minh G,H,I thẳng hàng Bài tập 15 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm A ( 3;1) , B ( −1; −1) , C ( 6; ) Tìm tọa độ đỉnh D hình thang cân cạnh đáy AB,CD Bài tập 16 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy a Cho điểm A ( a; ) ,C ( 2a; 3a ) Đường thẳng qua A và vuông góc với AC cắt đường thẳng x + 2a = điểm B Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân b Cho đường thẳng 3x − 4y + = và 4x − 3y − = Tìm điểm M trên trục Oy cách đường thẳng c Cho ∆ABC với A ( 1; ) , B ( 0;1) ,C ( −4; −1) Tìm tọa độ chân đường cao H kẻ từ A d Tìm tọa độ A, B , biết đường thẳng ( d ) qua M ( −4; ) và cắt trục hoành, trục ) tung A, B thỏa AM : MB = : Bài tập 17 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy a Cho điểm A ( 2; ) , B ( −1; ) ,C ( x; −2 ) Xác định hoành độ điểm C để tổng AC + CB đạt giá trị nhỏ b Cho điểm A ( 1; −1) , B ( 5; −3 ) và đường thẳng ( ∆ ) : 5x − 12y + 32 = Tìm M để MA = MB và khoảng cách từ M đến ( ∆ ) Bài tập 18 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường thẳng ( ∆ ) : 2x + y − = và điểm A ( 8;1) , B ( −3; ) C (1; ) a Tìm trên ( ∆ ) điểm M để tổng MA + MB có độ dài nhỏ b Tìm trên ( ∆ ) điểm N để tổng NA + NC có độ dài nhỏ Bài tập 19 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy a Trên đường thẳng x − 2y + 10 = , tìm điểm M cho AM + BM có độ dài nhỏ ( ) ( nhất, với A 6; , B −4; ) 517 Lop12.net (14) Nguyễn Phú Khánh b Cho A ( 1; ) , B ( 2; ) Tìm trên trục hoành điểm P cho ( AP + PB ) nhỏ c Cho đường thẳng ( d ) : x − 2y + = và A ( 0; ) , B ( 2; ) Tìm trên ( d ) điểm M cho MA − MB lớn nhất; ( MA + MB ) nhỏ Bài tập 20 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho A ( 1; ) , B ( −3; −4 ) và đường thẳng ( ∆ ) : 2x − y − = Tìm điểm M trên ( ∆ ) cho vectơ : AM + BM có độ dài nhỏ Bài tập 21 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ( ∆ ) : 2x + y + = , M ( 0; ) ,N ( 1; ) a Tìm I ∈ ∆ cho : ( IM + IN ) b Tìm J ∈ ∆ cho : JM − JN max Bài tập 22 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường thẳng ( T ) : 2x − y − = và điểm A ( 0; −1) , B ( 2; ) ,C 12 ; ,E (1; ) ,F ( −3; −4 ) a Tìm trên ( T ) điểm D cho điểm A, B,C, D lập thành hàng điểm điều hòa ) b TÌm điểm M trên ( T ) cho EM + FM có độ dài nhỏ Bài tập 23 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy a Cho điểm A ( 1; −3 ) , B ( 5; −1) Tìm M trên Ox cho AM + BM ngắn b Tìm trên trục hoành cho tổng khoảng cách từ M đến điểm A ( 1; ) , B ( 3; ) là nhỏ c Cho điểm A ( 0; ) , B ( 4;1) và đường thẳng ( ∆ ) : x − 4y + = Tìm điểm C trên ( ∆ ) cho ∆ABC là tam giác cân, đáy AB Bài tập 24 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC , biết A ( 6; ) , B ( −4; −1) ,C ( 2; −4 ) a Tìm tọa độ chân đường phân giác AD góc A Tính độ dài AD b Tìm tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài tập 25 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy 518 Lop12.net (15) Nguyễn Phú Khánh a Cho tam giác ABC với A ( 1; ) , B ( −4; −5 ) ,C ( 4; −1) Tìm tọa độ chân đường phân giác và ngoài góc A Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC = π b Cho điểm A ( 4; −3 ) , B ( 3;1) Tìm điểm M trên trục Ox cho AMB c Cho các điểm A ( 2;1) , B ( 0;1) ,C ( 3; ) , D ( −3; −1) Tính tọa độ các đỉnh hình vuông có cạnh song song qua A và C , cạnh song song còn lại qua B và D , biết tọa độ các đỉnh hình vuông dương Bài tập 26 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ∆ABC có A ( −3; ) , B ( 1; −2 ) Đỉnh C có tọa độ thỏa xC − 2yC = Tâm đường tròn ngoại tiếp là I ( 1; ) Tìm tọa độ đỉnh C và bán kính nội tiếp ∆ABC Bài tập 27 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ∆ABC, A ( 1; ) , B ( −4; −4 ) , C ( 4; ) Tìm tọa độ chân đường phân giác và ngoài góc A và tọa độ tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC Hướng dẫn giải AD = AB x = Bài tập a AB = ( 2; −3 ) mà ⇒ AD = ( 3; ) ⇒ D ⇒ D ( 4; ) AD ⊥ AB y D = x = ) DC = AB ⇒ C ⇒ C ( 6;1) yC = CA.CB = CA ⊥ CB b * ∆ABC vuông cân C ⇔ ⇔ 2 CA = CB CA = CB x + y − 6x − 8y + 23 = ⇔ ⇒ C ( 4; ) và C' ( 2; ) x − y + = C ( 6; ) CA ⊥ BA * ∆ABC vuông A ⇔ ⇔ CA = BA C' ( 2;1) * ∆ABC vuông cân B ⇔ C ( 0; ) ,C' ( 4; ) Bài tập a Gọi G ( x; ) ,C ( 0; y ) Trung điểm I AB : ⇒ I ( 3; −2 ) −3 = ( x − ) x = G ( 2; ) Ta có IC = 3IG ⇔ ⇔ ⇒ y = C ( 0; ) y + = ( + ) 519 Lop12.net (16) Nguyễn Phú Khánh AB = 2DC b AB = ,CD = AD = , BC = 10 ⇒ ⇒ ABCD là hình thang AD.AB = vuông 15 P = AB + BC + CD + AD = + 10 ,S = ( AB + CD ) AD = 2 Bài tập a M ∈ Ox ⇒ M ( m; ) ⇒ MB = ( − m; ) ,MA = ( −3 − m; ) ∆MAB vuông M ⇔ MA.MB = ⇔ ( − m )( −3 − m ) + = M ( 4; ) m = ⇔ m − m − 12 = ⇔ ⇒ m = −3 M ( −3; ) b C ∈ Oy ⇒ C ( 0; yC ) , G ∈ Ox ⇒ G ( xG ; ) 3xG = x A + x B + xC 3xG = −3 + xG = G là trọng tâm ∆ABC , ta có ⇔ ⇒ 0 = + + yC 3yG = y A + y B + yC y = −5 C 1 ⇒ G ; ,C ( 0; −5 ) 3 ) 2 AB2 = BC ( x − ) + ( y − 1) = Bài tập 4.a Tam giác ABC ⇔ ⇔ 2 2 ( x − ) + ( y − 1) = AC = BC x = ⇔ ⇒ A 4;1 + y = + x A + x A' xC = b A' đối xứng A qua C ⇔ C ( 6;1) là trung điểm A' ⇔ y + y = A yA ' c x A ' = ⇒ y A' = − c AD = x − 4; y − − , BD = ( x − 2; y − 1) ,CD = ( x − 6; y − 1) AD − 3BD + 4CD = ⇔ x = 11, y = −1 − d ABCM là hình bình hành ⇔ AM = BC, AM = x − 4; y − − 2 , BC = ( 4; ) Vậy AM = BC ⇔ x = 8, y = + Gọi I là tâm hình bình hành ABCM I là trung điểm AC ( ( ) ) ( 520 Lop12.net ) (17) Nguyễn Phú Khánh x A + xC xI = xI = ⇔ ⇔ ⇒ I 5;1 + y = y A + yC yI = + I ( ) Bài tập Gọi I ( x; y ) là giao điểm đường chéo AC, BD AI ↑↑ AC ⇔ BI ↑↑ BD AI = ( x + 2; y + ) , AC = ( 7; −18 ) với BI = ( x − 4; y + ) , BD = ( 1;10 ) 89 x= 7 ( y − 14 ) + 18 ( x + ) = 22 ⇒ I 89 ; − 17 ⇔ ⇔ 22 11 10 ( x − ) − ( y + ) = y = − 17 11 x A − = −3 − x = −3 ⇔ A y A − = − y A = −3 Bài tập 6a Ta có PA = MN ⇔ : A ( −3; −3 ) ; B ( 7; ) ; C ( −3; ) − ( −3 ) = ( − xG ) 1 5 b Gọi M là trung điểm BC Ta có : AM = 3GM ⇔ ⇒ G ; − − = − y ( G) 3 3 ( ) ) GM + GN + GP = ⇒ G là trọng tâm ∆MNP AB = ( 1; ) −2 Bài tập Ta có ⇒ ≠ ⇒ AB không cùng phương AC Do đó A, B,C AC = ( −2; ) không thẳng hàng D ( 0; y0 ) ∈ Oy CB = ( 3; ) ; AD = ( −1; y0 + ) * ABCD là hình thang có đáy AD ⇔ AD cùng phương CD −11 −11 ⇔ ( y0 + ) − ( −1) = ⇒ y0 = ⇒ D 0; 3 Gọi I ( a, b ) là giao điểm đường chéo AC và BD −20 Ta có : AC = ( −2; ) ; AI = ( a − 1; b + ) ; BD = −2; ; BI = ( a − 2; b − ) I là giao điểm AC và BD ⇔ A,I,C thẳng hàng và B,I, D thẳng hàng ⇔ AC cùng phương AI và BD cùng phương BI 521 Lop12.net (18) Nguyễn Phú Khánh −2 ( b + ) − ( a − 1) = 1 a = ⇔ ⇔ ⇒ I ; −2 20 −2 ( b − ) + ( a − ) = b = −2 AB = ( 6; ) ⇒ AB = 2DC ⇒ AB, DC cùng phương hay ABCD là hình Bài tập 8a DC = ( 3;1) thang b ( AB ) ∩ Ox = N ( x0 ; ) ⇔ AN cùng phương AB với AN = ( x0 + 2; ) ; AB = ( 6; ) AN AB ⇔ ( x0 + ) − 3.6 = ⇔ x0 = ⇒ N ( 7; ) c M ∈ ( CD ) ⇔ CM cùng phương CD với CM = ( x − 2;1) ; CD = ( −3; −1) x−2 = ⇔ x = ⇒ M ( 5; ) ⇒ DM = ( 6; ) = AB −3 −1 ⇒ ABMD là hình bình hành −1 d Tương tự trên I ; 3 Bài tập 9a * H ( x; y ) là tọa độ trực tâm H ∆ABC , ta có AH.BC = AH ⊥ BC ⇔ BH ⊥ AC BH.AC = AH = ( x − 4; y − ) mà ; BC = ( 3; −4 ) (I) ) BH = ( x + 4; y ) AC = ( −5; −4 ) ( x − ) − ( y − ) = và ( I ) ⇔ −5 ( x + ) − 10y = x = −4 ⇔ ⇒ H ( −4; ) : H ≡ B ⇒ ∆ABC vuông B y = xG + x B + xC =− xG = 3 ⇒ G − ; * Trọng tâm G : 3 y = y A + y B + yC = G 3 * Tọa độ tâm I ( a; b ) đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là giao điểm đường trung trực xM = ( x A + x B ) = Gọi M, N là trung điểm AB, BC , ta có y = ( y + y ) = B M A 522 Lop12.net (19) Nguyễn Phú Khánh x N = ( x B + xC ) ⇒ M ( 0; ) ; N − ; −2 y = ( y + y ) C N B MI.AB = MI ⊥ AB Theo bài toán ta có : ⇔ NI ⊥ BC NI.BC = AB = ( −8; −6 ) ; BC = ( 3; −4 ) MI = ( a; b − ) ( II ) mà NI = a + ; b + 4a + ( b − ) = 3 a = Vậy ( II ) ⇔ ⇔ ⇒ I ;1 5 + − + = a b ( ) 2 b = 2 5 AC = 2 AD ⊥ BD b Gọi D là tọa độ chân đường cao thì : AD ⊥ CD * Do ∆ABC vuông B nên R = x − 16 = AD.BD = ( x − )( x + ) + y ( y − ) = Ta có hệ ⇔ ⇔ y = + x ( x − )( x + 1) + ( y + )( y − ) = AD.CD = ) x = −4; y = 0; B ( −4; ) ⇒ ⇒ D ≡ B = ( −4; ) x = 4; y = 6; A ( 4; ) Cách khác : Do ∆ABC vuông B , nên D ≡ B 11 3 c E là trung điểm BC nên E ;1 ; E ≡ I và BE = ;1 ⇒ BE = =R 2 Chú ý : học sinh làm lại bài này thay tọa độ A, B,C là A ( 2; ) , B ( −5;1) ,C ( 3; −5 ) Bài tập 10 C ( xC ; yC ) ∈ x − 3y = ⇒ xC = + 3yC ⇒ C ( + 3yC ; yC ) a I là tâm đường ngoại tiếp ∆ABC ⇔ IA = IC IA = 10, IC = ( + 3yC ) + ( yC − ) (1) (1) 2 ⇔ IA = IC ⇔ ( + 3yC ) + ( yC − ) = 10 ⇔ yC + 2yC + = 2 ⇔ y C = −1 ⇒ xC = ⇒ C ( 2; −1) xG = 2 7 b Trọng tâm G : ⇒ G ; 3 3 y = G 523 Lop12.net (20) Nguyễn Phú Khánh AH.BC = y = 6 ( yH − ) = Trực tâm H : ⇔ ⇔ H ⇒ H ( 0; ) ⇔ xH = BH.AC = 4 ( xH − ) − ( yH − ) = 1 IG = − ; = ( −1;1) 3 ⇒ GH = 2IG ⇒ I,H,G thẳng hàng 2 GH = − ; = ( −1;1) 3 Bài tập 11 Gọi C ( 0; c ) ∈ Oy, ta có : − x B x A − k.x B CA ⇔0= ⇒ xB = = ⇒ xC = k − CB 1− y − ky B DA 4 D ( d; ) ∈ Ox , ta có: = − ⇒ yD = A ⇔ y B = − ⇒ B 3; − DB 1− k 3 AB = ( 4; −8 ) −8 Bài tập 12a và ≠ ⇒ A, B,C không thẳng hàng −3 AC = ( 9; −3 ) BC = ( 5; ) b BA ' = ( a − 1; b + ) ; A' ( a; b ) ) − + a b = a = BC BA' ⇔ ⇔ ⇒ A' ( 3; ) Vì b = AA'.BC = ( a + ) + ( b − ) = AH.BC = AH ⊥ BC 5 ( xH + ) + ( yH − ) = c ⇔ ⇔ ⇒ H ( 2;1) BH ⊥ AC 9 ( xH − 1) + ( −3 )( yH + ) = BH.AC = x A + x B + xC = xG = 3 ⇒ G ; 3 3 y = y A + y B + yC = G 3 I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ⇒ IA = IB = IC IA = IB2 x = ⇔ ⇔ I ⇒ I ( 1; ) 2 yI = IA = IC IH = ( 1; −2 ) Ta có : −2 1 ⇒ IG IH Hay G,H,I thẳng hàng IG = ; = ( 1; −2 ) = IH 3 524 Lop12.net (21)