Hình học giải tích toán

TIỂU LUẬN Hình học giải tích MỤC LỤC I Chủ đề 1: Khơng gian vectơ Phương trình đường thẳng Vị trí tương đối đường thẳng, chùm đường thẳng Góc hai đường thẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Hệ tọa độ đêcac không gian, tọa độ vecto điểm II Chủ đề 2: Đường bậc Vấn đề 1: Phân loại đường bậc 2, dạng đường tắc Vấn đề 2: Viết phương trình đường cong bậc (C) với điều kiện cho trước III: Tài liệu tham khảo CHỦ ĐỀ 1: KHÔNG GIAN VECTO I) PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1) Định nghĩa: Cho cácvectơ  u vectơ phương đường thẳng d vec tơ u nằm đường thẳng song songhoặc trùng với d Mọi vectơ phương d có dạng k.u, (k  0)  n vectơ pháp tuyến đường thẳng d vec tơ n nằm đường thẳng vng gócvới vectơ phương u d Mọi vectơ pháp tuyến d có dạng k.n, (k  0)  Một đường thẳng d hoàn toàn xác định biết M d vectơ pháp tuyến n d 2) Phương trình tổng quát đườngthẳng: 2 a) Định lý: Phương trình tổng quát đường thẳng d códạng AxByC0, A B  Chúý:d có vtpt n(A;B),vtcpu(B;A)u(B;A) b) Hệ quả: Phương trình đường thẳng dqua M (x ;y )và có vtptn(A;B) là: 0 2 A(x x ) B( y y )  0, A B  0 3) Phương trình tham số- tắc đường thẳng: a) Phương trình tham số đườngthẳng: Phương trình tham số đường thẳng d M (x0; y0 ) có vtcp u  (a;b) là: qua x x0 at , a2 b2  0, t   y y bt b) Phương trình tắc đường thẳng: M (x0; y0 ) có vtcp u  (a;b) là: Phưowng trình tắc đường thẳng d qua x x0 y y0 2  , a b  a b II) VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG, CHÙM ĐƯỜNGTHẲNG 1) Vị trí tương đối đường thẳng 2 2 Cho đường thẳng d : A x B y C  (1), d : A x B y C  (2) ( A B  0, A B  0) 1 1 2 2 Giải hệ (1), (2) ta có kết sau: -Hệ có nghiệm A1B2 A2B1   d1 d2 cắtnhau -Hệ vô nghiệm A1B2 A2B1  B1C2 B2C1  d1 //d -Hệ có vơ số nghiệm A1B2 A2B1 B1C2 B2C1 C1A2 C2 A1  d1 d2 2) Chùm đường thẳng: 2 Hai hay nhiều đường thẳng qua điểm I, tạo nên chùm đường thẳng có tâm I Nếu d1 : A1x B1 y C1  0, d2 : A2 x B2 y C2  cắt I ( A1B2 A2B1) phương trình 2 chùm đường thẳng tâm I là: m( A1 x B 1y C 1) n( A 2x B y2 C ) 2 0, m n  III) GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG, KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNGTHẲNG 1) Góc đường thẳng: 0 Cho đường thẳng d : A x B y C  , d : A x B y C  Nếu gọi (0  90 ) góc d1 1 2 2 A1 A2 B1B2 d2 :cos A2 B2 1122A2 B2 Hệ : d1 d2 A1A2 B1B2  2) Khoảng cách từ điểm đến đườngthẳng: a) Công thức: Khoảng cáchtừ M (x0; y0 ) đến d : Ax By C  là: Ax0 By0 C 2 d(M,d) , A B 0 A2 B2 b) Hệ quả: Nếu d1 : A1x B1 y C1  , d2 : A2 x B2 y C2  cắt I ( A1B2 A2B1) phương trình phân giác tạo d1 d2là: A1x B1 y C1 A2 x B2 y C2  A2 B A2 B 11 22 IV) HỆ TỌA ĐỘ ĐÊCAC TRONG KHÔNG GIAN, TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀĐIỂM: ■ Hệ tọa độ đêcac vng góc khônggian: Ba trục tọa độ x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc đơi tạo nên hệ trục tọa độ Oxyz với Ox trục hoành , Oy trục tung Oz trục cao.trên Ox, Oy, Oz có vectơ đơn vị i  (1; 0; 0), j  (0;1; 0), k  (0; 0;1) - Tọa độ véctơ: u (x; y; z) u xi y j zk - Tọa độ củađiểm: M  (x; y; z) OM  (x; y; z) x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ M hay OM ● Các kết quả:trong hệ Oxyz A  xA;y A ;zA vàBxB;yB;zB cho a x1; y1; z1 và b x2; y2; z2  Ta có: ● ● abx1x2;y1y2;z1z2 k a  kx1;ky1;kz1 ●Tích vơ hướng: a.b x1.x2 y1.y2 z1.z2 Chủ đề 2: ĐƯỜNG BẬC Vấn đề 1: Phân loại đường bậc 2, dạng phương trình tắc Cho (C): ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = Hãy xác định (C) thuộc loại đường nào? * Phương pháp 1:  a b d Đặt ac b b d c e e f    Elip (thực, ảo) Parabol  Hypebol  đường thẳng ảo cắt điểm thực đường thẳng (thực, ảo) song song đường thẳng thực trùng đường thẳng rhực cắt Ví dụ 1:Xác định đường bậc sau thuộc loại gì: 2 2 1).x  6xy y 6x  y 1  4).x  4xy  y 2x  y 1  2 2).3x 2xy3y 4x4y40 2 3).x  4xy  3y 2x  y  Giải: 2 1).x  6xy y 6x  y 1  Ta có: a = 1, b = 3, c = 1, d = 3, e = 1, f = 1 3 ac b2 = -8 0, 1 2 64 0 4 Vậy (C ) elip 3).x  4xy  3y 2x  y  2 ac b2 = -1