HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TỌA ĐỘ OXY dạng đường thẳng

Tìm tọa độ điểm M nằm trên 0 đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 2.. Trong mặt phẳng Oxy, tìm toạ độ các đỉnh của m

Dạng 2 Đường thẳng

Viết phương trình của đường thẳng

• Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ ta cần xác định

- Điểm A x ; y( 0 0)∈ ∆

- Một vectơ pháp tuyến n a; b
( ) của ∆

Khi đó phương trình tổng quát của ∆ là a x x( − 0) (+b y y− 0)= 0

• Để viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ ta cần xác định

- Điểm A x ; y( 0 0)∈ ∆

- Một vectơ chỉ phương u a; b
( ) của ∆

Khi đó phương trình tham số của ∆ là 0

- Một vectơ chỉ phương u a; b ,ab
( ) ≠0 của ∆

Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là x x0 y y0

=

Chú ý:

o Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTCP và VTPT

o Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia và ngược lại

o Phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M x ; y( 0 0) có dạng

∆: a x x( − 0) (+b y y− 0)= với 0 2 2

a +b > 0

o Phương trình đường thẳng đi qua A a; 0 , B 0; b( ) ( ) với ab≠ có dạng 0 x y 1

a+b=

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

+ Hệ ( )I vô số nghiệm suy ra d1≡d2

+ Hệ ( )I có nghiệm duy nhất suy ra d1và d2 cắt nhau và nghiệm của hệ là tọa

1 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho các đường thẳng

d : x y 3 0,1 + + = d : x y 4 0, d : x 2y2 − − = 3 − = Tìm tọa độ điểm M nằm trên 0 đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2

2 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d : 1 3x y 5 0+ + = , d : 2

3x y 1 0+ + = và điểm I 1; 2( − ) Viết phương trình đường thẳng đi qua I và

cắt d , d lần lượt tại A và B sao cho 1 2 AB=2 2

3 Trong mặt phẳng Oxy, tìm toạ độ các đỉnh của một tam giác vuông cân, biết đỉnh

Với = − ⇒ − = − ⇒t 2 b a 2 b=6,a= ⇒8

3 Gọi hai đỉnh còn lại là A, B Toạ độ điểm C không thoả mãn phương trình

cạnh huyền nên tam giác ABC vuông cân tại C

Gọi I là hình chiếu vuông góc của C lên cạnh huyền ( I là trung điểm của AB ) Phương trình đường thẳng CI là − = + ⇔ + =

1 Xác định tọa độ đỉnh C , biết H(− − hình chiếu vuông góc của C trên đường 1; 1)

thẳng AB , đường phân giác trong của góc A có phương trình x y 2 0− + = và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x 3y 1 0+ − =

2 Xác định tọa độ đỉnh B,C Phương trình đường trung trực d của cạnh BC , đường

trung tuyến CC' lần lượt là x y 6 0+ − = và 2x y 3 0− + =

3 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại C có phương trình cạnh AB là

−x 2y=0, điểm I 4; 2( )là trung điểm của AB , điểm  

điểm B lớn hơn hoặc bằng 3

Lời giải

1 Kí hiệu d : x y 2 0, 1 − + = d : 4x 3y 1 02 + − =

Gọi H' là điểm đối xứng với H qua d1 Khi đó H' AC∈

∆ là đường thẳng đi qua H và vuông góc với d1, nên có: : x y 2 0∆ + + =

Gọi I là giao điểm của d1 và ∆ nên tọa độ I thỏa: x y 2 0 I( 2;0)

Vì I là trung điểm của HH' nên H'(−3;1)

Đường thẳng AC đi qua H' và vuông góc với d2 nên có phương trình :

Do CH đi qua H và vuông với AH , suy ra phương trình của CH :3x 4y 7 0+ + =

Tọa độ điểm C là nghiệm hệ : 3x 4y 7 0 C 10 3;

Gọi M là trung điểm của BC, suy ra

3 cx

M :

y2

−

 =

+ − =

Vậy, tọa độ các đỉnh của tam giác ABC là: A 2;1 , B 6; 3 , C 2; 6 ( ) ( ) ( )

Ví dụ 3 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ABC∆ , biết:

1 A(−2;1 ,) B 2; 3 , ( ) C 1; 5( − Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm D,G )

với D là chân đường phân giác trong góc A và G là trọng tâm của ABC∆

2 A 4; 1( − , đường cao kẻ từ B có phương trình : 2x 3y 0) ∆ − = , trung tuyến đi qua đỉnh

C có phương trình ' : 2x 3y 0.∆ + = Lập phương trình các cạnh của ABC∆

• Dựng IH⊥AB⇒AD 2IH= ⇒AH 2HI 2d I;AB= = ( )= 5

• Xét tam giác vuông AIH : 2= 2+ 2=25

4

• Gọi A a;b ,( ) <a 0 thì +

=a 2b

2 Do ∈A AB Nên = −  + +  = ⇒ = − ⇒ (− )

Ví dụ 6 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ∆ABC vuông tại A ,

phương trình đường thẳng BC là : 3x y− − 3 0 , các đỉnh A và B thuộc trục = hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2 Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC

Lời giải Cách 1 : Vì B=( )BC ∩Ox nên B 1;0( )

3 a 1 3 a 1P

* Nếu A và O cùng phía đối với ⇒ = −B x 1 2 3⇒ = −a x 2

Ví dụ 7 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy

1 Cho ABC∆ với AB= 5 , đỉnh C(− − , đường thẳng 1; 1) ( )AB : x 2y 3 0+ − = và trọng tâm G của ABC∆ thuộc đường thẳng x y 2 0+ − = Xác định tọa độ A, B của tam giác

2 Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh AB : x 2y 1 0− − = , đường chéo

BD : x 7y 14− + = và đường chéo AC đi qua điểm 0 E 2;1( ) Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật

32y 1y

   hoặc ngược lại là tọa độ cần tìm

2 B AB= ∩BD⇒ toạ độ điểm B là nghiệm của hệ:

Ví dụ 8 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hai đường thẳng

d : x y 1 0,1 + − = d :3x y 5 02 − + = Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành ABCD , biết I 3;3( ) là giao điểm của hai đường chéo, hai cạnh của hình bình hành nằm trên hai đường thẳng d ,d1 2 và giao điểm của hai đường thẳng đó là một đỉnh của hình bình hành

Gọi d là đường thẳng đi qua I và

song song với AB , suy ra phương

trình d : x y 6 0+ − =

Tọa độ giao điểm của d và AD :

1x

y4

 =

+ − =

Ví dụ 9 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy

1 Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB : x 3y 5 0,− + = đường chéo BD :

x y 1 0− − = và đường chéo AC đi qua điểm M(−9; 2) Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD

2 Cho 3 đường thẳng d :x 3y1 − =0, d :2x y 5 0,2 + − = d : x y3 − = Tìm tọa độ các 0 điểm A d , B d , C, D d∈ 1 ∈ 2 ∈ 3 để tứ giác ABCD là một hình vuông

Ví dụ 10 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy

1 Cho đường thẳng ( )d : x 2y 1 0,+ − = ( )d' : 3x y 7+ − = cắt nhau tại I Viết 0phương trình đường thẳng đi qua M 1; 2( ), đồng thời cắt 2 đường thẳng ( )d và

( )d' lần lượt tại A và B sao cho AI= 2AB

2 Cho các điểm A 1; 0 , B( ) (−2; 4 ,C) (−1; 4 , D 3; 5) ( ) và đường thẳng d : 3x y 5 0− − = Tìm điểm M trên ( )d sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau

Lời giải

1 Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:

x 2y 1 03x y 7 0

Ví dụ 11 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy

1 Cho tam giác ABC có diện tích bằng 96 Gọi M 2; 0 là trung điểm của AB, ( )

phân giác trong của góc A có phương trình: ( )d : x y 10− − = Đường thẳng AB 0

2 Cho 3 điểm A 1;1 , ( ) B 3; 2 , ( ) C 7;10 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua ( )

A sao cho tổng các khoảng cách từ B và C tới đường thẳng ∆ lớn nhất

Lời giải

1 M' đối xứng với M 2; 0 qua ( ) ( )d : x y 10− − = 0 ⇒M' 10; 8( − )

Đường thẳng qua M 2; 0 với vectơ pháp tuyến ( ) n a; b( )

+

2 ∗ Nếu đường thẳng ∆ cắt đoạn BC tại 1 điểm M Khi đó:

d B, ∆ +  ∆ ≤  d C,  BM CM+ =BC Đẳng thức xảy ra khi đường thẳng ∆ vuông góc với BC

∗ Nếu đường thẳng ∆ không cắt đoạn BC Gọi I 5; 6( ) là trung điểm BC

Ta có: d B, ∆ +  ∆ ≤  d C,  2d I, ∆ ≤  2AI Đẳng thức xảy ra khi đường thẳng ∆ vuông góc với AI

1 Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA MB+ nhỏ nhất

2 Viết phương trình đường thẳng d' sao cho đường thẳng d :3x 4y 1 0+ + = là đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng d và d'

Lời giải

1 Nhận thấy A và B nằm về một phía so với đường thẳng ∆ Gọi A' là điểm

đối xứng với A qua ∆ Khi đó với mọi điểm M thuộc ∆ , luôn có: MA MA'=

Do đó: MA MB A'M MB A'B+ = + ≥ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M=A'B∩ ∆ Vì

⊥ ∆A'A nên AA' có phương trình: 2x y 8 0+ − =

19 2

y5

, khi đó phương trình A'B : 13x 14y 43 0+ − =

Tọa độ M thỏa hệ phương trình:

y10

Ví dụ 13 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC

1 M(− −1; 1 , N 0; 2) ( ) lần lượt là trung điểm của AB, AC và D 1; 0 là chân đường ( )

phân giác trong góc A Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác

2 M 1; 4 ,( ) N(−1; 3) là trung điểm của BC,CA và H 1; 5

3 D 2; 1 ,E 2; 2 ,F( − ) ( ) (−2; 2) là chân đường cao hạ từ A, B,C Xác định tọa độ các

đỉnh của tam giác ABC

Gọi M' là điểm đối xứng của M qua AD và AC M' N≡

Gọi N' là điểm đối xứng của N qua AD và AB MN'≡

3 Gọi H a; b( ) là trực tâm tam giác ABC

Ta có tứ giác BDHF, CDHE, BCEF là các tứ giác nội tiếp nên suy ra

HDF HBF; HDE= =HCE; HBF HCE= ⇒HDF HDE= ⇒AH là phân giác trong góc EDF

Tương tự, ta có BH là phân giác trong

của góc DEF Suy ra H là tâm đường

tròn nội tiếp tam giác DEF

( ) ( )

B 0; 3 ,C 4; 5

Chú ý: Ngoài cách trên, ta có thể giải theo cách khác như sau:

Tịnh tiến hệ trục tọa độ Oxy về hệ tục XAY theo véc tơ OA


, ta có công thức dời trục:  = +



y Y 2 Trong hệ trục mới, ta có phương trình của d : X Y 21 + + =0, d : X Y 42 + − = 0

Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên phép quay

Q , ta có phương trình ' − + =

1

d : X Y 2 0

Do đó tọa độ của C là nghiệm của hệ:  − + =  =  =

Ví dụ 15 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có diện

tích bằng 18, đáy lớn CD nằm trên đường thẳng có phương trình: x – y 2 + = 0.Biết hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại điểm I 3;1 Hãy ( )

viết phương trình đường thẳng BC biết điểm C có hoành độ âm