Chuyên đề hình học giải tích trong không gian

Trong đề thi minh họa cũng nhƣ đề thi thực nghiệm của bộ giáo dục và đào tạo có xuất hiện các bài toán hình học không gian tổng hợp (cổ điển) mà ở đó lời giải đòi hỏi vận dụng khá [r]

MỖI THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ Chuyên đề hình học giải tích

Mở đầu

Trong chƣơng trình Hình học 12, dạng toán liên quan đến đƣờng thẳng, mặt phẳng, mặt cầu khơng gian dạng tốn hay khơng q khó Để làm tốt tốn địi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức hình học không gian, mối quan hệ đƣờng thẳng, mặt phẳng mặt cầu Là dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều đề thi trung học phổ thông quốc gia nên yêu cầu học sinh phải làm tốt đƣợc dạng toán cần thiết

Trong trình giảng dạy, tơi nhận thấy cịn nhiều bạn học sinh lúng túng nhiều q trình giải tốn liên quan đến đƣờng thẳng, mặt phẳng, mặt cầu Nhằm giúp em giảm bớt khó khăn gặp dạng tốn tơi mạnh dạn đƣa chun đề : “ Hình học giải tích khơng gian” Trong chun đề, tơi tóm tắt lý thuyết, phân loại dạng tập từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận cách đơn giản, dễ nhớ bƣớc giúp học sinh hình thành tƣ tự học, tự giải vấn đề Bên cạnh đó, chuyên đề giới thiệu lại số dạng tốn khó, lạ đƣợc sử dụng kỳ thi năm gần để bạn đọc có nhìn tổng qt hình học giải tích khơng gian

Mặc dù q trình biên soạn tác giả cố gắng để chuyên đề đƣợc hồn thiện nhƣng có câu, từ làm bạn đọc thấy không hợp lý, tác giả mong nhận đƣợc góp ý từ phía bạn đọc để viết đƣợc hồn thiện

Chuyên đề gồm phần: Phần A: Kiến thức cần nhớ Phần B: Bài tập minh họa

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I.TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ

1.Hệ trục toạ độ Đề Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đơi vng góc với với ba vectơ đơn vị i j k, , i  j  k 1 Các mặt phẳng Oxy , Oxz , Oyz đơi vng góc với đƣợc gọi mặt phẳng tọa độ

2 a a a a 1; ;2 3a a i1 a j2 a k3 ; M(x;y;z)OM xi y j zk 3 Tọa độ vectơ: cho u x y z v x y z( ; ; ), ( '; '; ')

a. u  v x x y'; y z'; z' b. u v  x x y'; y z'; z' c. ku( ;kx ky kz; )

d. u v xx'yy'zz'

e. u v xx'yy'zz' 0 f 2

u  x y z

g. , ; ;  ' ' ; ' ' ; ' ' 

' ' ' ' ' ' yz y z zx z x xy x y y z z x x y

u v

y z z x x y

 

      

   

 



h. u v, phƣơng[ , ] 0u v  k. cos ,

u v u v

u v



4.Tọa độ điểm: cho A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) a.AB(xB xA;yB yA;zB zA)

b. 2

( ) ( ) ( )

 B  A  B  A  B  A

AB x x y y z z

c.G trọng tâm tam giác ABC ta có: xG=

3

A B C

x x x ;yG=

3

A B C

y  y y

; zG=

A B C

z z z

d.M chia AB theo tỉ số k: ; ; ;

1 1

  

  

  

A B A B A B

M M M

x kx y ky z kz

x y z

k k k

Đặc biệt: M trung điểm AB: ; ;

2 2

A B A B A B

M M M

x x y y z z

x   y   z  

e.ABC tam giácABAC0 S=1

2 ABAC f. ABCD tứ diệnABAC.AD0, VABCD=1  ,

6 ABAC AD , VABCD=

3SBCD h (h đƣờng cao tứ diện hạ từ đỉnh A)

II PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

O

z

x

Mặt phẳng  đi qua điểm M(x0;y0;z0) có véc tơ pháp tuyếnlà n( ; ; )A B C đƣợc xác định phƣơng trình tổng quát A x x0B y y0C z z0 0 AxByCz D

Bên cạnh đó, mặt phẳng đƣợc xác định điểm M(x0;y0;z0) cặp véc tơ phƣơng u v,

* Một số mặt phẳng thƣờng gặp:

1.Mặt phẳng (Oxy): z=0; mặt phẳng (Oxz): y=0; mặt phẳng (Oyz): x=0 2.Mặt phẳng qua ba điểm A,B,C: có n(ABC) [AB AC, ]

3.Mặt phẳng song song với mặt phẳng n n

4.Mặt phẳng  vng góc với mặt phẳng n u ngƣợc lại 5 Mặt phẳng  song song với đƣờng thẳng du ud

6.Mặt phẳng  vuông góc với đƣờng thẳng dn ud

7 Phƣơng trình mặt phẳng đoạn chắn qua ba điểm A a ,0,0 , B 0, ,0 ,b  C 0,0,cvới a b c 0 x y z

a  b c

* Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Mặt phẳng  đƣợc xác định phƣơng trình tổng quát AxByCz D Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng  đƣợc xác định công thức d(M,)=

2 2

M M M

Ax By CZ D

A B C

  

 

Chú ý: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đến mặt phẳng Từ nhận xét trên, ta rút cơng thức tính khoảng cách hai mặt phẳng song song   AxByCz D 0và

  AxByCzD0 là:    

2 2

, D D

d

A B C

      * Góc hai mặt phẳng

Góc hai mặt phẳng   AxByCz D 0và   A x B y C z D0 đƣợc xác định công thức cos   ,  '

' n n n n

   nA B C n, , , A B C  , ,  * Vị trí tƣơng đối hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng   AxByCz D 0và   A x B y C z D0 Khi đó, vị trí tƣơng đối hai mặt phẳng   ,  xãy trƣờng hợp sau:

Trƣờng hợp 1:     A B C D

A B C D

Trƣờng hợp 3:       A B C: : A B C : :  Trƣờng hợp 4:       A A B B C C 0

III PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG

*Đƣờng thẳng qua điểm M(x0;y0;z0) có véc tơ phƣơng u =(a;b;c) đƣợc xác định bởi:

i.Phƣơng trình tham số:

0 0

x x at y y bt z z ct

  

   

   

;

ii.Phƣơng trình tắc:x x0 y y0 z z0

a b c

  

 

iii.Đƣờng thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng: 1 1

2 2

0 A x B y C z D A x B y C z D

   



    



1 ( 1; 1; 1)

n  A B C ,n2 (A B C2; 2; 2)là hai VÉC TƠ PHÁP TUYẾNvà VÉC TƠ CHỈ PHƢƠNG

[ ] u n n

* Một số dạng đƣờng phẳng thƣờng gặp:

1.Đƣờng thẳng Ox: 0  x t

y t

z  

   

  

; Oy:  

0 x y t z

t   



 



 ; Oz:  

0 x

y t

z t  

   

  

2.Đƣờng thẳng qua hai điểm A B có véc tơ phƣơng uAB AB 3.Đƣờng thẳng 1 song song với đƣờng thẳng 2u1 u2;

4.Đƣờng thẳng 1 vng góc với đƣờng thẳng 2

1

u n 5 Mặt phẳng  song song với đƣờng thẳng du ud

6.Mặt phẳng  vng góc với đƣờng thẳng dn ud * Bài toán khỏang cách

Đƣờng thẳng d đƣợc xác định phƣơng trình tổng quát  d x x0 y y0 x z0

a b c

  

 

Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0;z0) đến đƣờng thẳng d đƣợc xác định công thức d(M,d)= [MM u1, ]

u

Khoảng cách hai đƣờng thẳng  d x x0 y y0 x z0

a b c

  

   d x x0 y y0 x z0

a b c

  

  

  

  

đƣợc xác định công thức d(d,d’)= [ , '] '0 [ , '] u u M M

u u

* Bài toán xác định góc

Góc hai đƣờng thẳng  d x x0 y y0 x z0

a b c

  

   d x x0 y y0 x z0

a b c

  

  

  

   đƣợc xác định công thức c ( ) '

o ,

' s d u u

u u

d  ua b c u, , , a b c  , ,  Góc hai đƣờng thẳng  d x x0 y y0 x z0

a b c

  

  mặt phẳng   AxByCz D đƣợc xác định công thức cos( )

, u n

u d d

n

  ua b c n, , , A B C, ,  * Vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng

Cho hai đƣờng thẳng d qua A, có véc tơ phƣơng u1a b c, ,  đƣờng thẳng d’

đi qua B có véc tơ phƣơng u2 a b c', ', ' Khi đó, vị trí tƣơng đối hai đƣờng

thẳng sảy trƣờng hợp sau:

Trƣờng hợp 1: d d’cùng nằm mặt phẳng u u1, 2.AB0

Trƣờng hợp 2: d d’ cắt

1

,

,

u u AB u u             

Trƣờng hợp 3: d d’ song song với

1 , , u u u AB              Trƣờng hợp 4: d d’ trùng với

1 , , u u u AB             

Trƣờng hợp 4: d d’ chéo nhauu u1, 2.AB0

Khi hai đƣờng thẳng d:   x a bt

y c dt z e ft

t          

 d’:  

x a b t y c d t z e f t

t                  

 cắt số giao

điểm d d’ số nghiệm hệ phƣơng trình   a bt a b t

c dt c d t e ft e f t

t                      

Cho hai đƣờng thẳng d qua A, có véc tơ phƣơng u1a b c, ,  mặt phẳng (P)

qua B có véc tơ pháp tuyến nA B C, ,  Xét phƣơng trình

      ( )

A x at B y bt C z ct  D  ẩn t,

+ / /   phƣơng trình (*) vơ nghiệm u n 0,M0  

+     phƣơng trình (*) có vơ số nghiệm u n 0,M0  

+    cắt điểm phƣơng trình (*) có nghiệm u n 0

IV PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) bán kính R có thểđƣợc viết dƣới dạng sau:

Dạng 1: x a  2 y b  2 z c2R2.

Dạng x2y2z22ax2by2cz d 0 với R= 2 a b c d *Vị trí tƣơng đối mặt cầu mặt phẳng:

Chomặt cầu (S) có tâm I(a;b;c), bán kính R và mặt phẳng 1.d(I, )>R: (S)=

2.d(I, )=R: (S)=M (M gọi tiếp điểm).Hay nói cách khác, điều kiện để mặt phẳng



n IM

a.Tìm r = 2

- ( , ) R d I 

b.Tìm H: +Viết phƣơng trình đƣờng thẳng  qua I, vng góc với 

+H= (toạ độ điểm H nghiệm hệ phƣơng trình  với  *Vị trí tƣơng đối mặt cầu đƣờng thẳng:

Cho đƣờng thẳng thẳng

0 0

:

x x at

y y bt

z z ct

  



       

và mặt cầu (S):  2  2 2

x a  y b  z c R

Gọi  

, ,

u M I

d d I

u

   

   , M x y z0( ;0 0; 0),u( ; ; )a b c VTCP 

+ Nếu d R  (S) khơng có điểm chung

+ Nếu d R  tiếp xúc với (S) ( tiếp tuyến mặt cầu (S))

+ Nếu d  R  cắt (S) tai hai điểm A, B ( gọi cát tuyến mặt cầu (S))

B BÀI TẬP MINH HỌA

Dạng 1: Tìm tọa độ điểm ,véc tơ độ dài véc tơ

Bài 1: Trong không gian Oxyz cho ba véc tơ a  2,1,0 , b1,3, ,  c2, 4,3  Tìm tọa 3.Nếu d(I, )<R  cắt mc(S) theo đƣờng trịn (C) có phƣơng trình giao của (S) Để tìm tâm H bán kính r (C) ta làm nhƣ sau:

độ véc tơ p  2a 2b c

Hƣớng dẫn: Đặt px y z, , , ta có

     

   

      2.1 2.3 2 x

y z

        

     



         

Vậy p4,0, 7 

Bài 2: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1, 2,3 , B 1, 2, ,  C 7, 4, 2  Tìm tọa độ điểm D cho ACBD

Hƣớng dẫn: Đặt D x y z , , suy AC6, 2, ,  BDx1,y2,z3  ACBD nên

1

2

3

x x

y y

z z

  

 

    

 

      

 

Vậy D7, 4, 8 

Bài 3: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1, 2, ,  B 2, 1,3 ,  C 4,7,5tạo thành tam giác Tìm tọa độ điểm D chân đƣờng phân giác kẻ từ đỉnh B tam giác ABC Hƣớng dẫn: Ta có AC1, 3, ,  BD  6,8, 2suy AC 26,BD2 26

Đặt D x y z , ,  Áp dụng tính chất đƣờng phân giác ta có DA BA

DC  BC  Do

1 DA  DC Vậy điểm D chia đoạn AC theo tỷ lệ

2

k   Do vậy, tọa độ điểm D là:

;

1

11 ;

1

1;

A C

D

A C

D

A C

D

x kx x

k y ky y

k z kz z

k 

   

 





  

 



 

 

 



Bài 4: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1, 2, ,  B 2, 1,3 ,  C 4,7,5tạo thành tam giác Tìm tọa độ điểm D chân đƣờng phân giác kẻ từ đỉnh B tam giác ABC Hƣớng dẫn: Ta có AC1, 3, ,  BD  6,8, 2suy AC 26,BD2 26

Đặt D x y z , ,  Áp dụng tính chất đƣờng phân giác ta có DA BA

DC  BC  Do

Vậy điểm D chia đoạn AC theo tỷ lệ

k   Do vậy, tọa độ điểm D là:

;

1

11 ;

1

1;

A C

D

A C

D

A C

D

x kx x

k y ky y

k z kz z

k 

   

 





  



 

 

 

 



Bài 5: Trong không gian Oxyz cho ba véc tơ a1, , ,m  bm1, 2,1 , c0,m2, 2 Tìm m để ba véc tơ a b c, , đồng phẳng

Hƣớng dẫn: Ba véc tơ a b c, , đồng phẳng nên ,

a b c m

      

Vậy

m thỏa yêu cầu bai tốn

Bài 6: Trong khơng gian Oxyz cho ba điểm A2,1, ,  B 3,0,1 , C 2, 1,3  Tìm tọa độ điểm D nằm trục Oy cho thể tích tứ diện ABCD đơn vị thể tích

Hƣớng dẫn: Vì điểm D nằm trục Oy nên tọa độ điểm D có dạng D0, ,0y  Khi đó, AB1, 1, ,  AC0, 2, ,  AD  2,y1,1

Suy . , 11

6

D ABC

V  AB AC AD   y

Từ suy có hai điểm D D0, 7,0 ,  D 0,8,0 Dạng 2: Viết phƣơng trình mặt phẳng

Một số lƣu ý giải toán

Để viết pt măt phẳng có cách :

<1> Xác định điểm VÉC TƠ PHÁP TUYẾN

<2> Hoặc gọi phương trình mặt phẳng dạng Ax+By+Cz+D=0 dựa vào giả thiết tìm A,B,C,D

Vậy sử dụng cách , sử dụng cách em phân biệt dạng đề sau:

Dạng 1: Viết Phương trình mặt phẳng qua A(x0; y0 ;z0) có VÉC TƠ PHÁP TUYẾNn=(A;B;C)

A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0Ax + By + Cz + D = Dạng 2:Viết pt mặt phẳng qua A(x0; y0 ;z0) song song mặt phẳng (Q)

- Mặt phẳng (Q) có véc tơ pháp tuyếnlà nQA B C, , 

- Vì (P) song song (Q) nên có véc tơ pháp tuyếnlà nPnQ A B C, , 

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng qua A(x0; y0 ;z0) vng góc với đường

thẳng d

- Đƣờng thẳng d có véc tơ phƣơng làud A B C, , 

- Vì (P) vng góc với (d) nên có véc tơ pháp tuyến nPud A B C, , 

Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) qua A có véc tơ pháp tuyến nP

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với mặt phẳng (Q) , (R)

- Từ phƣơng trình mặt phẳng (Q) (R), suy véc tơ pháp tuyến nQ; véc tơ pháp tuyến nR

- Vì    P  Q    P  R nên véc tơ pháp tuyến nP nQvà nPnRnên có véc tơ pháp tuyến nP n nQ, R

- Vậy phƣơng trình mặt phẳng (P) qua A có véc tơ pháp tuyến nP n nQ, R Dạng 5: Viết Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A,B,C khơng thẳng hàng - Tính véc tơ AB, AC a AB AC, 

- Phƣơng trình mặt phẳng (P) qua A có véc tơ pháp tuyến nP  a AB AC, 

Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A,B vng góc với mặt phẳng (Q) - Tính AB , véc tơ pháp tuyếnnQvà tính AB n, Q

- Vì A B,  Q    P  Q nên chọn nP AB n, Q - Viết phƣơng trình mặt phẳng (P)

Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với mặt phẳng (Q) song song với đường thẳng (d)

- Tính véc tơ pháp tuyến nQcủa mặt phẳng (Q); VÉC TƠ CHỈ PHƢƠNG ud đƣờng thẳng (d)

- Tính n uQ, d

- Vì (P) vng góc với(Q) song song với(d) nên véc tơ pháp tuyến nP n uQ, d - Từ viết đƣợc phƣơng trình mặt phẳng (P)

Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) trung trực AB - Tìm trung điểm I ABvà véc tơAB

- Mặt phẳng (P) qua I nhận AB làm véc tơ pháp tuyến Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) qua A

- Tính AM ud,AM

- Phƣơng trình mặt phẳng (P) qua A có véc tơ pháp tuyến nP ud,AM

Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) song song với đường thẳng ( )

- Từ đƣờng thẳng (d) suy VÉC TƠ CHỈ PHƢƠNG ud điểm M d - Từ đƣờng thẳng ()suy VÉC TƠ CHỈ PHƢƠNG u tính u ud,  - Phƣơng trình mặt phẳng (P) qua M có véc tơ pháp tuyến n u ud, 

Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) vàvng góc với mặt phẳng (Q) - Từ đƣờng thẳng (d) suy VÉC TƠ CHỈ PHƢƠNG ud điểm M d

- Từ mặt phẳng (Q) suy véc tơ pháp tuyến nQvà tính u nd, Q

- Phƣơng trình mặt phẳng (P) qua M có véc tơ pháp tuyến n u nd, Q

Dạng 12:Viết phương trình mặt phẳng (P) Ax  By Cz  D00song song với (Q) khoảng cách d(A;(P))=h

- Vì (P) // (Q) nên phƣơng trình mặt phẳng (P) có dạng Ax  By Cz  D0 (trong D DQ)

Dạng 13: Viết Phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) d(A,(P))=h

- Gọi véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (P) nA B C, , với điều kiện A2B2C20 - Từ (d) suy VÉC TƠ CHỈ PHƢƠNG ud điểm M d

- Vì (d) nằm (P) nên u nd 0 1 

- Phƣơng trình mặt phẳng (P) qua M: A x x0  B y y0  C z z0  - Lai có d(A,(P)) = h (2)

- Giải (1);(2) ta tìm đƣợc A,B theo C từ chọn A,B,C tỉ lệ , ta viết đƣợc phƣơng trình mặt phẳng(P)

Dạng 14:Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) hợp với mặt phẳng (Q) góc

0

90 

- Gọi véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (P) nA B C, , với điều kiện 2

0 A B C  - Từ (d) suy VÉC TƠ CHỈ PHƢƠNG ud điểm M d

- Vì (d) nằm (P) nên u nd 0 1 - - Tính cos    P , Q  (2)

- Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm đƣợc D

- Từ (1) (2) ta tìm đƣợc A,B theo C từ chọn A,B,C tỉ lệ , ta viết đƣợc phƣơng trình mặt phẳng(P)

Dạng 15:Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) hợp với đường thẳng ()một góc  900

- Gọi véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (P) nA B C, , với điều kiện 2

0 A B C  - Từ (d) suy VÉC TƠ CHỈ PHƢƠNG ud điểm M d

- Vì (d) nằm (P) nên u nd 0 1 - - Tính sin    P ,   (2)

- Từ (1) (2) ta tìm đƣợc A,B theo C từ chọn A,B,C tỉ lệ , ta viết đƣợc phƣơng trình mặt phẳng(P)

Dạng 16: Cho A (d) , viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) cho d(A,(P)) là lớn nhất

- Gọi H hình chiếu vng góc A lên (d)

- Ta có : d(A,(P)) = AK AH (tính chất đƣờng vng góc đƣờng xiên) -Do d(A(P)) max AK = AH KH

- Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) qua H nhận AH làm véc tơ pháp tuyến

0

Ax  By Cz  D  và

- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax  By Cz  D0 ( D' DQ) - Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R suy D

- Từ ta có phƣơng trình mặt phẳng (P) cần tìm

Dạng 18: Viết Phương trình mặt phẳng (P) song song (Q) Ax  By Cz  D00 và cắt

mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn(C) có bán kính r ( diện tích, chu vi cho trước)

- Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S)

- Áp dụng công thức : Chu vi đƣờng trịn C 2r diện tích S r2 tính r - Từ suy dI P,   R2 r2

- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax  By Cz  D0 (trong D' DQ) - Suy khoảng cách d (I,(P)) tìm đƣợc D

- Viết đƣợc phƣơng trình (P)

Dạng 19: Viết Phương trình mặt phẳng(P) chứa (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) - Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S)

và điểm   Dạng 17: Viết Phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S)

- Vì (d) nằm (P) nên u nd 0 1 

Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(A,(P))= R (2) - Giải hệ (1) (2) tìm đƣợc A,B theo C - Suy phƣơng trình mặt phẳng(P) Bài tập minh họa

Bài 1: Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) qua điểm M( 2;3;1) vng góc với đƣờng thẳng qua hai điểm A(3;1; 2) : (4; 3;1) B 

Hƣớng dẫn: : mặt phẳng ( )P qua M( 2;3;1) có véc tơ pháp tuyếnlà AB (1; 4;3) nên có phƣơng trình 1(x 2) 4(y 3) 3(z 1) 0 hay ( ) :P x4y3z11 0 Bài 2: Trong không gian Oxyz viết phƣơng trình mặt phẳng (P) qua điểm M0( 2;3;1) song song với mặt phẳng (Q): 4x2y3z 5 0

Hƣớng dẫn: : mặt phẳng ( )P qua M0( 2;3;1) có véc tơ pháp tuyếnlà

( )P ( )Q (4; 2;3)

n n nên có phƣơng trình

( ) : 4(P x 2) 2(y 3) 3(z 1) hay ( ) : 4P x2y3z 11

Bài 3: Trong không gian Oxyz viết phƣơng trình mặt phẳng trung trực (P) đoạn AB biết A(1;1; 1); (5;2;1). B

Hƣớng dẫn: : mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB qua trung điểm 0 3; ; 03 M  

  đoạn AB nhận véc tơAB(4;1; 2) véc tơ pháp tuyếnnên có phƣơng trình

3 27

4( 3) 2( 0) hay

2

x y  z  x y z 

 

Bài 4: Trong khơng gian Oxyz viết phƣơng trình mặt phẳng (P) qua điểm M0( 2;3;1) vng góc với đƣờng thẳng (d): 1 3 4

2 1 3

x  y  z



Hƣớng dẫn: Vì  P ( ) suy d VTPT n( )P VTCPu( )d  ( 2;1;3)

Do ( ) : 2(P  x 2) (y 3) 3(z 1) hay ( ) : 2P   z y 3z100

Bài 5: Trong không gian Oxyz viết phƣơng trình mặt phẳng (P) qua điểm M0( 2;3;1) vng góc với hai mặt phẳng  Q : x3y2z 1 0;  R : 2x   y z

Hƣớng dẫn:

Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) (1; 3; 2)

, (1;5; 7)

( ) ( ) (2;1; 1)

P Q

P Q R

P R

P Q VTPT n VTPT n

VTPT n n n

P Q VTPT n VTPT n



     

 

  

  

     

Bài 6: Trong không gian oxyz cho hai đƣờng thẳng (d):

1 x  y z

; ( ) 1 1

2 1 1

 

  

x y z

Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) chứa (d) song song với ( ) Hƣớng dẫn:

Mặt phẳng (P)có cặp véc tơ phƣơng

( )

( ) ( ) ( ) ( )

(1;1; 2)

, ( 1; 5;3) ( 2;1;1)

d

P d

u

VTPT n u u

u 

 

     

  

  

Lại có M0 (0;0;0) d

Do ( ) : 1(P  x 0) 5(y 0) 3(z 0) hay ( ) :P x y 3z0

Bài 7: Trong không gian Oxyz viết phƣơng trình mặt phẳng (P) chứa đƣờng thẳng (d):

1 1 12

1 1 3

x  y  z

  qua điểm A(1;1; 1)

Hƣớng dẫn:

Ta có M0(1; 1;12)  d và VTCP u( )d (1; 1; 3)  Mặt phẳng (P)có cặp véc tơ phƣơng

0

( ) ( ) ( )

(0; 2; 13)

, ( 19; 13; 2)

(1; 1; 3) P d

d

M A

VTPT n M A u

u

  

      

  

   

Do ( ) : 19(P  x 1) 13(y 1) 2(z 1) hay ( ) :19P x13y2z300 Bài 8: Trong không gian oxyz cho đƣờng thẳng (d):

3

2

   

 y z

x

mặt phẳng (Q) : 2x y z 0    Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) chứa (d) vng góc với mặt phẳng (Q)

Hƣớng dẫn:

Ta có M(1;0; 2)  d và VTCP u( )d (2;1; 3)

Mặt phẳng (P)có cặp véc tơ phƣơng

( )

( ) ( ) ( ) ( )

(2;1; 3)

, (4; 8; 0) (2;1;1)

d

P d Q

Q u

VTPT n u n

n

  

    

  

 

Do ( ) : 4(P x 1) 8(y 0) 0(z2) 0 ( ) : 2P x4y 2 0

Bài 9: Trong không gian oxyz , viết phƣơng trình mặt phẳng (P) qua hai điểm 3, 0, ; 0, 0,1

M N tạo với mặt phẳngOxy góc

 Hƣớng dẫn:

Giả sử phƣơng trình mặt phẳng (P) có dạng  2 

0

Lại có M3, 0, ; N 0, 0,1   P nên

0 A D

C D

  

  

 hay

3

D A

C A

     

mặt phẳng (P) mặt phẳng Oxy có véc tơ pháp tuyến lần lƣơt

 , , , 0, 0,1 n A B C k 

Mà mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳngOxy góc



nên cos

n k n k



Suy

2 2

1 C

A B C



  hay

2 2

4C A B Ta chọn A1 suy C3,D 3,B  26

Vậy có hai mặt phẳng cần tìm x 26y3z 3

Bài 10: Trong không gian oxyz , viết phƣơng trình mặt phẳng (P) qua hai điểm 2, 1, ; 5,1,1

A  B khoảng cách từ điểm 0, 0,1 M 

 đến măt phẳng  P

7 18 Hƣớng dẫn:

Giả sử phƣơng trình mặt phẳng (P) có dạng  2 

0

AxBy Cz  D A B C  Lại có A2, 1, ;  B 5,1,1   P nên

5

A B D

A B C D

   

    

 hay

2

3

D B A

C A B

  

    

Mà khoảng cách từ điểm 0, 0,1 M 

 đến măt phẳng  P

7

18 nên 2

1

7

18

C D

A B C

   Suy  2  2 2

27 C2D 49 A B C Do 17

B  A BA Với BA , ta chọn A1 suy C 5,D 1,B1

Với 17

B  A , ta chọn A5 suy C19,D 27,B 17

Vậy có hai mặt phẳng cần tìm x y 5z 1 0,5x17y19z270

Bài 11: Trong không gian oxyz , cho mặt cầu   S : x3 2  y2 2 z 12 9.Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) qua điểm M  1, 2, 3 cắt mặt cầu  S theo đƣờng trịn có bán kính nhỏ

Hƣớng dẫn:

Ta cóIM 0, 1,1 suy IM  2R

Do đó, mặt phẳng (P) qua M ln cắt mặt cầu  S theo đƣờng tròn Gọi r bán kính đƣờng trịn H hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng (P) Vì tam giác IHM vng H nên IHIM  Dấu sảy M H Khi IM  P nên véc tơ IM 0, 1,1  pháp tuyến mặt phẳng (P) Từ suy phƣơng trình mặt phẳng y  z

Bài 12: Trong không gian Oxyz cho hai đƣờng thẳng (d) ( ) lần lƣợt có phƣơng trình: (d): x y z

  

1

( ) :

1

2

    

 z

y x

Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) chứa (d) hợp với ( ) góc

30

Hƣớng dẫn:

Gọi véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (P) nA B C, , với điều kiện 2

0 A B C  Đƣờng thẳng (d) có véc tơ phƣơng ud 1, 1,1  điểm M0,2,0   d

Suy M0,2,0   P hay 2B D 0 tức D 2B

Đƣờng thẳng ( ) có véc tơ phƣơng u2,1, 1 và điểm M3,2, 5     Vì (d) nằm (P) nên u nd 0 Suy A  B C 0hayB A C

Lại có

2 2

2 1

sin

6 6

n u A B C

n u A B C

 

   

  Suy

       

  

2 A C

2A AC C 1

A C

2

Với C A , ta chọn A1 suy C1,D 4,B2 Với A 1C

2 , ta chọn A1 suy C 2,D2,B 1

Vậy có hai mặt phẳng cần tìm x2y  z 0,x y 2z 2 Bài 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):

x2y2z22x4y 4 mặt phẳng (P):x z  3 Viết phƣơng trình mặt phẳng (Q) qua điểm M(3;1; 1) vng góc với mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Hƣớng dẫn

PT (Q) qua M có dạng: A x(  3) B y(  1) C z( 1) 0,  A2B2C2 0

Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S)  d I Q( ,( ))  R 4A B C  3 A2B2C2 (*) Lại có ( ) ( )Q  P n nQ P       0 A C C A (**)

Từ (*), (**) suy B5A 3 2A2B2 8B27A210AB0 

A2B  7A 4B

Với A2B Chọn B = 1, A = 2, C = –2 suy phƣơng trình (Q): 2x y 2z 9

Với 7A 4B Chọn B = –7, A = 4, C = –4 suy phƣơng trình (Q):

x y z

4 7 4  9

Vậy có hai mặt phẳng cần tìm 2x y 2z 9 0,4x7y4z 9

Bài 14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz., cho mặt cầu (S) có phƣơng trình

x2y2z22x4y6 11 0z  mặt phẳng () có phƣơng trình 2x + 2y – z + 17 = Viết phƣơng trình mặt phẳng () song song với () cắt (S) theo giao tuyến đƣờng trịn có chu vi p6



(S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = Đƣờng trịn có chu vi 6 nên có bán kính r = Khoảng cách từ I tới () h = R2r2  5232 4

Do đĩ D D DD (loại)

2 2

2.1 2( 2) 7

4 12 17

2 ( 1)

      

           

Vậy () có phƣơng trình 2x2 – –7 0y z 

Bài 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,cho ba điểm A(1;1; 1) ,B(1;1;2),

C( 1;2; 2)  mặt phẳng (P): x2y2 0z  Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) qua A vng góc với mặt phẳng (P) cắt đƣờng thẳng BC I cho IB2IC

Hƣớng dẫn

Phƣơng trình ( ) có dạng: ax by cz d   0, với a2b2c20 Do A(1;1; 1) ( )   nên: a b c d   0 (1);

Vì ( ) ( )  P nên a2b2c0 (2)

Lại cóIB2IC  d B( ,( )) ( ;( ))  d C   a b c d a b c d

a2 b2 c2 a2 b2 c2

2 2

2

      



   

a b c d

a b c d

3 (3)

5

          

Từ (1), (2), (3) ta có trƣờng hợp sau : Hƣớng dẫn

TH1 :

a b c d

a b c b a c a d a

a b c d

0 1 3

2 ; ;

2

3

      

        



    



Chọn a   2 b 1;c 2;d 3 ( ) : 2x y 2z 3 TH2 :

a b c d

a b c b a c a d a

a b c d

0 3 3

2 ; ;

2

5

     

       



     

Chọn a  2 b 3;c2;d 3 ( ) : 2x3y2z 3 Vậy: ( ) : 2x y 2z 3 0hoặc ( ) : 2x3y2z 3

Bài 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đƣờng thẳng (d) có phƣơng trình tham sx  2 ;t y 2 ;t z 2 2t Gọi  đƣờng thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d) I(–2;0;2) hình chiếu vng góc A (d) Viết phƣơng trình mặt phẳng chứa  có khoảng cách đến (d) lớn

Hƣớng dẫn

Gọi (P) mặt phẳng chứa , ( ) ( )P d ( ) ( )P  d Gọi H hình chiếu vng góc I (P) Ta ln có IH IA IH AH

Mặt khác d d P d I P IH

H( ,( ))( )P ( ,( ))

  

  

Trong (P), IH IA ; maxIH = IAH A Lúc (P) vị trí (P0)  IA A Vectơ pháp tuyến (P0) n IA 6;0; 3 , phƣơng với v2;0; 1 

Phƣơng trình mặt phẳng (P0) là: 2(x 4) 1.( 1) 2z  x z  9

Bài 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x2y z  5 đƣờng thẳng d: x y z

2 1

    

Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) chứa đƣờng thẳng d tạo với mặt phẳng (Q) góc nhỏ

Hƣớng dẫn

Phƣơng trình mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d   0 (a2b2c20) Gọi

P Q

(( ),( )) 

a

Chọn hai điểm M( 1; 1;3), (1;0;4)  N d Ta có: M P c a b

N ( )( )P d 7a 4b

          

 

(P): ax by   ( 2a b z) 7a4b0  a b

a2 ab b2

3

cos

6 5 4 2

 

 

TH1: Nếu a = b

b2

3

cos

2 2

TH2: Nếu a 

b a

b b

a a

2

3

cos

6

5

  

       

Đặt x b a

 f x( ) cos 2

Xét hàm số f x x x

x x

2

2

9

( )

6

  

 

Dựa vào BBT, ta thấy ( ) 0f x  cos  0 a 900 300

Do có trƣờng hợp thoả mãn, tức a = Khi chọn b1,c1,d4 Vậy: (P): y z  4

Bài 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đƣờng thẳng d: x y z

2

    điểmA(2;5;3) Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn

Hƣớng dẫn

Phƣơng trình mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d   0 (a2b2c2 0) (P) có VTPT n( ; ; )a b c , d qua điểm M(1;0;2) có VTCP u(2;1;2) Vì (P)  d nên M P

n u ( )0

   

 

a c d

a b2 c

2

       

 

c a b

d a b

2 (2 )

      

 Xét trƣờng hợp: TH1: Nếu b = (P): x z  1 Khi đó: d A P( ,( )) 0

TH2: Nếu b  Chọn b1 ta đƣợc (P): 2ax2y(2a1)z2a 2 Khi đó: d A P

a a

a

2

9

( ,( ))

8 1 3

2

2

  

   

 

 

 

Vậy max ( ,( )) 2d A P   2a a

2

     Khi đó: (P): x4y z  3 0 Dạng 3: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng

Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x0; y0 ;z0) có VTCP u=(a,b,c) Phƣơng trình tham số đƣờng thẳng d là:

(d):

0 0

x x at

y y bt

z z ct

 



   

   

với t R

* Chú ý : Nếu a, b, c 0 (d) có PT tắc x x0 y y0 z z0

a b c

* Chú ý: Đây toán Về nguyên tắc muốn viết PT dt(d) cần phải biết yếu tố tọa độ điểm thuộc d toạ độ VTCP d.

Dạng 2: Viết pt dt(d) qua điểm A,B - Tính AB

- Viết PT đƣờng thăng qua A, nhận AB làm VTCP Dạng 3: Viết PT dt (d) qua A // với đường thẳng () - Từ phƣơng trình () suy VTCP u

- Viết phƣơng trình dt(d) qua A nhận u  làm VTCP Dạng 4: Viết PT dt(d) qua A (P)

- Tìm VTPT mp(P) nP

- Pt dt(d) qua A Có VTCP ud nP

Dạng 5: Viết Pt dt(d) qua A vng góc với dt (d1),(d2)

- Từ (d1),(d2) suy véc tơ phƣơng d d1, 2 lần lƣợt u , u1 2

- tính  u , u1 2

- Vì (d) (d1),(d2) nên có VTCP ud   ,u u1 2 - Pt dt(d) qua A có VTCP ud   ,u u1 2

Dạng 6: Viết PT dt (d) giao tuyến mp (P) (Q) - Từ (P) (Q) suy véc tơ pháp tuyến nP ,nQ

- Tính ud  n nP, Q

- Chọn điểm M x y z 0, 0, 0   d Khi đó, ba (x0; y0 ;z0) thỏa mãn hệ phƣơng trình

'

' ' '

Ax + By + Cz +D =0 Ax B y C z D 0 



   



- Pt dt(d) qua M có VTCP ud =[nP ,nQ] Dạng 7: Viết PT hình chiếu d lên mp(P)

Cách 1: - Viết ptmp(Q) chứa d vng góc với mp(P) - Hình chiếu cần tìm d' = (P) (Q)

Cách : * Viết pt mặt phẳng ( ) qua điểm A chứa đƣờng thẳng d1 * Tìm B = ( ) d2

* Đƣờng thẳng cần tìm qua A, B

Cách : - Viết pt mặt phẳng () qua điểm A chứa đƣờng thẳng d1 - Viết pt mặt phẳng () qua điểm B chứa đƣờng thẳng d2 - Đƣờng thẳng cần tìm d =  

Dạng 9: Viết pt đường thẳng d song song d1 cắt d2 , d3

- Viết phƣơng trình mp (P) song song d1 chứa d2 - Viết phƣơng trình mp (Q) song song d1 chứa d3 - Đƣờng thẳng cần tìm d = ( )P ( )Q

Dạng 10 : Viết ptđt d qua A vng góc đường thẳng d1 cắt d2

Cách 1 : - Viết pt mp( ) qua A vng góc d1 - Tìm giao điểm B = ( ) d2

- Đƣờng thẳng cần tìm qua A, B Cách 2 : * Viết pt mp( ) qua A vng góc d1

* Viết pt mp( ) qua A chứa d1 * Đƣờng thẳng cần tìm d =  

( ) ( ) - Viết ptmp(Q) qua A chứa d'

- Đƣờng thẳng cần tìm d = ( )P ( )Q

Cách 2 : * Viết ptmp(P) qua A song song với ( ) * Tìm B = ( )P d'

* Đƣờng thẳng cần tìm qua điểm A,B

Dạng 12 : Viết ptđt d nằm mp(P) cắt đường thẳng d1, d2 cho trước - Tìm giao điểm A=d1 ( )P B=d2 ( )P

- Đƣờng thẳng d qua điểm A, B

Dạng 13 : Viết ptđt d nằm mp(P) vng góc với đường thẳng d' giao điểm I của (P) d'

- Tìm giao điểm I' = d' ( )P

-Tìm VTCP ucủa d' VTPT n (P) tính v[u,n] - Viết ptđt d qua I có VTCP v

Dạng 14 : Viết ptđt vng góc chung d dường thẳng chéo d1, d2 :

- Gọi M x( 0 at y, 0 bt z, 0 ct)d1 N x( 0' a t y' ', 0' b t z' ', 0' c t' ')d2 chân đƣờng vng góc chung d1, d2

- Ta có hệ 1

2

. 0

, ' . 0

MN d MN u

t t

MN d MN u



 

  

  



 

- Thay t, t' tìm M, N Viết ptđt qua M,N

Dạng 15 : Viết pt đường thẳng d vng góc với mp(P) cắt đường thẳng d1,d2

- Viết ptmp(Q) chứa d1 vuông góc với mp(P) - Viết ptmp(R) chứa d2 vng góc với mp(P) - Đƣờng thẳng d = ( )Q ( )R

Dạng 16 : Viết ptđt d qua điểm A , cắt vng góc với đường thẳng d1

- Viết pt mp( ) qua A vng góc d1 - Tìm giao điểm B = ( ) d1

- Đƣờng thẳng cần tìm qua A, B

Dạng 17 : Viết ptđt d qua A ,vng góc với d1,tạo với d2 góc (0 ;90 )0 (= 300, 450,

600)

- Gọi VTCP d u( ; ; ),a b c dk a: 2b2c2 0 - Vì d d1u u 10=>phƣơng trình (1)

- Vì

2

u u cos

u u

  => phƣơng trình (2)

-Thế (1) vào (2) => a,b,c => ptđt d

( ý : thay giả thiết d tạo với mp(P) góc (0 ;90 )0 thì có

P

P

u u sin

u u

  )

Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d1 góc (0 ;90 )0

- Gọi VTCP d u( ; ; ),a b c dk a: 2b2c2 0 - Vì d//(P) nên u n. p 0=> phƣơng trình (1)

- Vì

1

1

( , )

u u

cos d d cos

u u 

  nên có phƣơng trình (2)

Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm mp(P) , tạo với d1 góc (0 ;90 )0 . - Gọi VTCP d u( ; ; ),a b c dk a: 2b2c2 0

- Vì d(P) nên u n. p 0=> phƣơng trình (1)

- Vì

1

1

( , )

u u

cos d d cos

u u 

  nên có phƣơng trình (2)

- Giải hệ phƣơng trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c - viết ptđt d qua A, có vtcp u( ; ; )a b c

Dạng 20: Viết ptđt d di qua A , vng góc d1 khoảng cách từ M đến d h

- Gọi VTCP d u( ; ; ),a b c dk a: 2b2c2 0 - Vì dd1 nên u n. 1 0=> phƣơng trình (1)

- Vì ( , ) [ , ] u u AM

d M d  h h => phƣơng trình (2)

- Giải hệ phƣơng trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c - viết ptđt d qua A, có vtcp u( ; ; )a b c

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đƣờng thẳng d:x y z

2

  

 

mặt phẳng P: x y z   1 Viết phƣơng trình đƣờng thẳng  qua A(1;1; 2) song song với mặt phẳng ( )P vng góc với đƣờng thẳng d

Hƣớng dẫn: Đƣờng thẳng d:x y z

2

    

có véc tơ phƣơng ud (2,1,3)và mặt phẳng P: x y z   1 0có véc tơ pháp tuyến nP  (1; 1; 1)

Suy  nhận uu nd; P(2;5; 3) làm VTCP

Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng là: :x y z

2

     



Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) đƣờng thẳng :

x y z

2 1

 

 

Hƣớng dẫn: Đƣờng thẳng x y z

2 1

   

 có véc tơ phƣơng ud (2,1, 1) Gọi H = d  Giả sử H(1 ; ; ) t   t t Khi đó, MH(2 1;t t 2; )t

Vì d nên MH u   2(2 1) ( 2) ( ) 0t     t t  t

3  Suy ud 3MH(1; 4; 2)  phƣơng trình đƣờng thẳng d:

x t

y t

z t

2

         

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi A, B, C lần lƣợt giao điểm mặt phẳng

 P : 6x2y3z 6 với Ox,Oy, Oz Lập phƣơng trình đƣờng thẳng d qua tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC đồng thời vng góc với mặt phẳng (P)

Hƣớng dẫn

Ta có: ( )P Ox A (1;0;0); ( )P Oy B (0;3;0); ( )P Oz C (0;0;2)

Gọi  đƣờng thẳng vng góc (OAB) trung điểm M AB; () mặt phẳng trung trực cạnh OC; I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Ta có: I   ( )a  I 3; ;1

2

      Gọi J tâm đƣờng tròn ngoại tiếp ABC IJ  (ABC) , nên d đƣờng thẳng IJ

Phƣơng trình đƣờng thẳng d:

x t

y t

z t

1 2 

  



   

   

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;2; 1), (2;1;1); (0;1;2) B C đƣờng thẳd: x y z

2

    

 Lập phƣơng trình đƣờng thẳng qua trực tâm tam giác ABC nằm mặt phẳng (ABC) vng góc với đƣờng thẳng d

Hƣớng dẫn

Ta có AB (1; 1;2),AC  ( 1; 1;3)AB AC,    ( 1; 5; 2) phƣơng trình mặt phẳng (ABC): x5y2z 9

Gọi trực tâm tam giác ABC H a b c( ; ; ), ta có hệ:

 

BH AC a b c a

CH AB a b c b H

a b c c

H ABC

2 3 2

(2;1;1)

5

                

  

        

Do đƣờng thẳng  nằm (ABC) vng góc với (d) nên: ABC

ABC d d

u n u n u

u u  , (12;2; 11) 

     

   

Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng : x y z

12 11

     



Bài5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2; 1; 0) đƣờng thẳng d có phƣơng trình d:x y z

2 1

 

 

 Viết phƣơng trình đƣờng thẳng  qua điểm M cắt vng góc với đƣờng thẳng d

Hƣớng dẫn

Ta có u(2;1; 1) Gọi H = d  Giả sử H(1 ; ; ) t   t t  MH(2 1;t t 2; )t .

MH u   2(2 1) ( 2) ( ) 0t     t t  t

3

  ud 3MH(1; 4; 2) 

 d:

x t

y t

z t

2

   

     

Bài 6: Trong không gian Oxyz cho đƣờng thẳng d:x y z

1  2  1 hai điểm

A(1;1; 2) ,B( 1;0;2) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng b qua A vng góc với d cho khoảng cách từ B tới b nhỏ

Hƣớng dẫn

d có VTCP ud (1;2; 1) Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với d Gọi H hình chiếu vng góc B lên (P) đƣờng thẳng b qua A H thỏa YCBT Ta có: (P): x2y z  5 Giả sử H x y z( ; ; )

Ta có:

d

H P

BH u phương

( ) ,   

 H

1 2; ; 3

 

 

  u3AH  ( 2;5;8) Vậy phƣơng trình b: x y z

2

  

 



Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1; 5; 0) B(3; 3; 6) đƣờng thẳng :x y z

2

 

 

 Viết phƣơng trình đƣờng thẳng dđi qua điểm B cắt đƣờng thẳng  điểm C cho diện tích tam giác ABC có giá trị nhỏ

Hƣớng dẫn

Phƣơng trình tham số :

x t

y t

z t

1 2

    

     

Điểm C thuộc  nên C( ;1 ;2 )  t t t

AC AB, 18t2 36 216t

 

      S 21 AC AB,  = 18( 1) 198t 2 ≥ 198

Vậy Min S = 198 t1 hay C(1; 0; 2) Phƣơng trình BC: x y z

2

    

  

Bài 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(3; 1;1) đƣờng thẳng

x y z

:

1 2

    mặt phẳng ( ) : –P x y z   5 Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua điểm A nằm ( P) hợp với đƣờng thẳng  góc 450

Hƣớng dẫn

Gọi u ud,  lần lƣơt VTCP d ; nPlà VTPT ( P) Đặt ud ( ; ; ), (a b c a2b2c2 0) Vì d nằm ( P) nên ta có : nP ud

 a b c–  0  b a c  ( )

Theo gt: ( , ) 45d              

a b c a b c a b c

a b c

2 2 2 2

2 2 2( 2 ) 9( )

2

.3 (2)

Thay (1) vào ( 2) ta có : 14c2 30ac c 0;c 15a

7

     

+ Với c0: chọn a b 1, PTTS d :

x t

y t

z

3 1–

   

      + Với c 15a

7

  : chọn a7,c 15, b 8 ,.PTTS d là:

x t

y t

z t

3 1–8 1–15

         

Bài 9: Trong không gian toạ độ Oxyz cho đƣờng thẳng d: x y z

2 1

  

 

 mặt phẳng (P): x y z   2 Gọi M giao điểm d (P) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng  nằm mặt phẳng (P) vng góc với d đồng thời khoảng cách từ M tới  42

Hƣớng dẫn

PTTS d:

x t

y t

z t

3 2        

    

M(1; 3;0)

  (P) có VTPT nP (1;1;1), d có VTCP ud (2;1; 1) Vì  nằm (P) vng góc với d nên VTCP uu nd, P(2; 3;1)

Ta có

MN u

N P

MN

( ) 42

   

    

 x y zx y z

x y z2

2

2 11

( 1) ( 3) 42

          

      

 N(5; –2; –5) N(–3; – 4; 5)

Với N(5; –2; –5)  Phƣơng trình : x y z

2

  

  



Với N(–3; – 4; 5)  Phƣơng trình : x y z

2

  

  



Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (): x y z   1 0, hai đƣờng thẳng (): x y z

1 1



 

  , ():

x y z 1



  Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d) nằm mặt phẳng ( ) cắt (); (d) () chéo mà khoảng cách chúng

2 Hƣớng dẫn

() có VTPT n(1;1; 1) , () có VTCP u   ( 1; 1;1) ()  ()

Gọi A( ) ( )  a  A(0;0; 1) ; B( ) ( )  a  B(1;0;0)  AB(1;0;1)

Vì (d)  () (d) cắt () nên (d) qua A ()  () nên đƣờng thẳng nằm () không qua B chéo với ()

Gọi ud ( ; ; )a b c VTCP (d)  u n a b cd    0 (1) ud không phƣơng với AB (2)

Ta có: d d( , ) d B d( , )  d d

AB u u

, 6

2

 

    b a c

a b c

2

2 2

2 ( )

2  



  (3)

Từ (1) (3)  ac0  a

c 00

    

Với a0 Chọn b c 1  ud (0;1;1) 

x d y t

z t

0 :

1

  

 

    

Với c0 Chọn a  b 1 ud  (1; 1;0) 

x t

d y t

z

:

1

         

Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua điểm M 4; 5;3 cắt hai đƣờng thẳng:

x t

d y t

z t

1

1 :     

  

d2:x y z

2

      Hƣớng dẫn

Viết lại phƣơng trình đƣờng thẳng:

x t

d y t

z t

1

1

:

           , x t

d y t

z t

2

2

2 2

:

1            

Gọi A d d B d d  1,   2 suy A(5 ; ; ) t1   t t1 1 , B(2 ; ;1 ) t2   t2  t2

MA ( 3t19;2t12;t13), MB(2t26;3t2 4; 5t22)

MA MB, ( 13t t1 2 8t1 13t2 16; 13t t1 2 39 ; 13t2 t t1 2 24t1 31t2 48)

            

 

M, A, B thẳng hàng  MA MB, phƣơng  MA MB,  0  tt1

2       A( 1; 3;2), (2; 1;1)  B   AB(3;2; 1)

Đƣờng thẳng d qua M(–4; –5; 3) có VTCP AB(3;2; 1) hay

x t

d y t

z t

4

:

3              Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đƣờng thẳng  1, 2

 ) có phƣơng trình

x t x y z

y t x y z

z t

1

2 1 1 2

: , : , ( ) :

1

                  



Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua giao điểm 1với ( ) đồng thời cắt 2 vng góc với trục Oy

Hƣớng dẫn

Toạ độ giao điểm A () 1 thoả mãn hệ

x t t

y t x A

z t y

x y z z

2

5 (1;2; 1)

2

2

                              

Trục Oy có VTCP j(0;1;0) Gọi d đƣờng thẳng qua A cắt 2

B(1 ; ; 2 )    t t t AB( ; 3;2 1);t t t d Oy AB j   0 t AB(3;0;5)

Đƣờng thẳng d qua A nhận AB(3;0;5) làm VTCP có phƣơng trình

Bài 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đƣờng thẳng

x t

d y t

z t

1

1

:

1

          

đƣờng

thẳng d2 giao tuyến hai mặt phẳng (P): – –1 0x y  (Q): 2x y 2 –5 0z  Gọi I giao điểm d d1 2, Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d3 qua điểm A(2; 3; 1) đồng thời cắt hai đƣờng thẳng d d1 2, lần lƣợt B C cho tam giác BIC cân đỉnh I Hƣớng dẫn

PTTS d2:x t y ';   1 ';t z 3 't I d 1d2 nênI(1;1;1) Giả sử: B(1 ;1 ;1 )t  t  t d C t1, ( '; ';3 ')  t  t d t2 ( 0, ' 1)t 

BIC cân đỉnh I  IB IC

AB AC

[ , ]  

 

 

t t' 21

   

 Phƣơng trình d3:x2;y3;z 1 2t Bài 14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai mặt phẳng hai đƣờng thẳng có phƣơng trình (P): 3x12y3z 5 (Q): 3x4y9z 7 0(d1): x y z

2

     

(d2):

x y z

2

  

 

 Viết phƣơng trình đƣờng thẳng () song song với hai mặt phẳng (P), (Q) cắt (d1), (d2)

Hƣớng dẫn

(P) có VTPT nP (1; 4; 1) , (Q) có pháp vectơ nQ(3; 4; 9) (d1) có VTCP u1(2; 4; 3) , (d2) có VTCP u2 ( 2; 3; 4)

Gọi:

P Q

P d P P

Q d Q Q

u u

1

1

1 1

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( ) ( ),( ) ( )

 

  

 



 

  

() = (P1)  (Q1) () // (1)

() có vectơ phƣơng u [ ; ] (8; 3; 4)n nP Q

4

   

(P1) có cặp VTCP u1 u nên có VTPT: nP1[ ; ] (25; 32; 26)u u1 

Phƣơng trình mp (P1): 25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) = 25x32y26z55 0 (Q1) có cặp VTCP u2 u nên có VTPT: nQ1[ ; ] (0; 24; 18)u u2  

Phƣơng trình mp (Q1): 0(x 3) 24(y 1) 18(z 2) 4y3x10 0 Ta có: ( ) ( ) ( )  P1  Q1  phƣơng trình đƣờng thẳng () : x y z

y z

25 32 26 55 10

        



x y z

d1:

2

  

  d2: x y z

2

  

 

Viết phƣơng trình đƣờng thẳng  song song với (P)vng góc với d1 cắt d2 điểm E có hoành độ

Hƣớng dẫn

d1 có VTCP u1(2;1;3), d2 có VTCP u2(2;3;2), (P) có VTPT n(2; 1;1) Giả sử  có VTCP u( ; ; )a b c , E d 2 có xE 3 suy E(3; 1;6)

Ta có: dP u nu u

1

( )

 

  

   



 

a b c a b c

2

2

       

 

a c

b c

     

 Chọn u(1;1; 1) PT đƣờng thẳng : x 3 ;t y  1 ;t z 6 t.

Bài 16: Trong không gian Oxyz cho hai đƣờng thẳng ( ),( )d1 d2 mặt phẳng (P) có phƣơng trình:( ) :d1 x y z

1

 

 

x y z

d2 1

( ) :

2 1

  

  ; ( ) :P x y 2z 5 Lập phƣơng trình đƣờng thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) cắt( ),( )d1 d2 lần lƣợt A, B cho độ dài đoạn AB nhỏ

A( 1   a; 2 ; ), (2 ;1a a B  b b;1b) AB  ( a 2b      3; 2a b 3; a b 1) P

AB n (1;1; 2)   b a AB    (a 5; a 1; 3)

AB (a5)2  ( a 1)2 ( 3)2  2a28a35 2(a2)227 3 Suy ra: AB a

b

min 3 3     2

 , A(1;2;2), AB   ( 3; 3; 3) Vậy d: x y z

1 1

    

Bài 17: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua

A(0; 1;2) cắt đƣờng thẳng 1: x y z

2 1

    

 cho khoảng cách d đƣờng thẳng 2: x y z

2

   

 lớn Hƣớng dẫn

Gọi M d 1 Giả sử M( ; ;2 )  t t t VTCP d : ud  AM(2 1; 1; )t t t

2

 qua N(5;0;0) có VTCP v (2; 2;1) ; AN (5;1; 2) ; v u; d   ( 1;4 1;6 )t t t Hƣớng dẫn

Đặt

d d

v u AN t

d d f t

v u t t

2

2 2

, (2 )

( , ) 3 ( )

, 53 10

 

      

   

 

Xét hàm số f t t

t t

2

(2 ) ( )

53 10

 

  Ta suy đƣợc f t f

4 26 max ( ) ( )

37

 

Ta có max( ( , ))d  d  26 Phƣơng trình đƣờng thẳng d: x29 ;t y  1 41 ;t z 2 4t Bài 18: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; –1; 1),đƣờng thẳng :

x y z

1 2



  mặt phẳng (P): x y z   5 Viết phƣơng trình tham số đƣờng thẳng d qua Anằm (P) hợp với đƣờng thẳng  góc 450

Hƣớng dẫn

Gọi u u nd, , P lần lƣợt VTCP d,  VTPT (P) Giả sử ud ( ; ; ) (a b c a2b2c2 0)

+ Vì d  (P) nên ud nP  a b c  0  b a c  (1) +  d, 450  a b c

a2 b2 c2

2 2

2

  

   a b c a b c

2 2 2( 2  ) 9(   ) (2)

Từ (1) (2) ta đƣợc: 14c230ac0  c

a0 c

15

 

   

+ Với c = 0: chọn a = b =  PTTS d: x 3 ;t y  1 ;t z1 + Với 15a + 7c = 0: chọn a = 7, c = –15, b = –8

PTTS d: x 3 ;t y  1 ;t z 1 15t

Bài 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua

A( 1;0; 1)  cắt đƣờng thẳng 1: x y z

2 1

     

 cho góc d đƣờng thẳng

x y z

2: 13 22 23

     

 lớn (nhỏ nhất) Hƣớng dẫn

Gọi M d 1 Giả sử M(1 ;2 ; ) t   t t

VTCP d : ud  AM(2 2;t t  2; )t Gọi a ( , )d 2

t f t

t t

2

2

cos ( )

3 6 14 9

 

 

Xét hàm số f t t

t t

2

( )

6 14

 Ta suy đƣợc max ( )f t f( 9)

a) min(cos ) 0   t Phƣơng trình đƣờng thẳng d : x y z

2

 

   b) max(cos )

5

  t

7

   Phƣơng trình đƣờng thẳng d : x y z

4

    Bài 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ABC với A(1; 1;1) hai đƣờng trung tuyến lần lƣợt có phƣơng trình d1:x y z

2

 

 

  ,

x t

d y

z t

2

1

:

1

   

     

Viết phƣơng trình đƣờng phân giác góc A

Hƣớng dẫn

Ta có A d A d 1,  2 Gọi M d N d 1,  2 lần lƣợt trung điểm AC, AB

N(1– ;0;1 )t t B(1–2 ;1;1 )t  t B d1 t

2

   B(0;1;2)

M t(2 ;1 ;2 ) t  t C t(4 –1;3 –6 ;3 –4 )t t C d2 t C(1;0;1)

2

   

Ta có: AB 6, AC1 Gọi AD đƣờng phân giác góc A DB  6DC

D ; ;2

1 6; 6

  

 

    

  , AD

1 ;2 6;

1 6

   

  

  

 

Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng AD là: x y z

1 2 6

  

 

 

Dạng 4: Phƣơng trình mặt cầu

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; 2;3) Viết phƣơng trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với trục Oy.

Hƣớng dẫn: Gọi M hình chiếu I(1; 2;3) lên Oy, ta có: M(0; 2;0)

IM ( 1;0; 3)  R IM 10 bán kính mặt cầu cần tìm Kết luận: PT mặt cầu cần tìm (x1)2 (y 2)2 (z 3)2 10

Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1; –2; 3) đƣờng thẳng d có phƣơng trình x y z

2 1

    

 Viết phƣơng trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với d. Hƣớng dẫn: Ta cód(A, (d)) = BA a

a

, 4 196 100 2 1

   

   

 

PT mặt cầu tâm A (1; –2; 3), bán kính R = 2: ( –1)x 2 (y 2)2( –3)z 250 Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đƣờng thẳng d:x y z

2

   

điểm M(4;1;6) Đƣờng thẳng d cắt mặt cầu (S) có tâm M hai điểm A, B cho

AB6 Viết phƣơng trình mặt cầu (S)

Hƣớng dẫn: d qua N( 5;7;0) có VTCP u(2; 1;1) ; MN ( 9;6; 6) Gọi H chân đƣờng vuông góc vẽ từ M đên đƣờng thẳng d MH = d M d( , ) 3 Bán kính mặt cầu (S): R MH AB

2

2 18

2  

   

 

PT mặt cầu (S): (x4)2 (y 1)2 (z 6)218

Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phƣơng trình mặt cầu (S) biết mặt phẳng Oxy mặt phẳng (P): z2 lần lƣợt cắt (S) theo hai đƣờng trịn có bán kính

Hƣớng dẫn: Từ giả thiết ta có vơ số mặt cầu (S) thoả YCBT Gọi (S0) mặt cầu có tâm

I0(0;0; )m thuộc trục Oz Khi mp(Oxy) mp(P) cắt (S0) theo đƣờng tròn tâm

O O1 (0;0;0), bán kính R12 tâm O2(0;0;2), bán kính R28

Gọi R bán kính mặt cầu R m m m m

R m

2 2

2

2 2

2 4 64 ( 2) 16

8

          

   

 R2 65 I0(0;0;16) Suy mặt cầu (S) có tâm I a b( ; ;16) (a, b  R), bán kính

R2 65

Vậy phƣơng trình mặt cầu (S): (x a )2 (y b)2 ( 16)z 2260 (a, b R)

Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x y 2z 2 đƣờng thẳng d: x y z

1

 

 

 Viết phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, I cách (P) khoảng (P) cắt (S) theo đƣờng trịn (C) có bán kính 3.

Hƣớng dẫn: Giả sử I t t( ;2 1;  t 2) d, R bán kính (S), r bán kính (C)

Ta có: d I P( ,( )) 2    6 6t hay

t t

1

11 

      

R2 d I P( ,( )2r2 13 + Với t

6

 , I 1; 13;

6

  

 

  , (S): x y z

2 2

1 13 13

6

     

     

     

     

+ Với t 11

6

  , I 11 14 1; ;

6

  

 

  ,(S): x y z

2 2

11 14 13

6

     

     

     

Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đƣờng thẳng d: x y z

3  1 1 mặt

phẳng (P): 2x y 2z 2 Lập phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm nằm đƣờng thẳng d có bán kính nhỏ tiếp xúc với (P) qua điểm A(1; –1; 1)

Hƣớng dẫn:

Gọi I tâm (S) I  d  I(1 ; ; ) t  t t Bán kính R = IA = 11t2 2 1t Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên: d I P( ,( )) 3t R

3 

 

 37t224t0  tt 024 RR 177

37 37

    

   



Vì (S) có bán kính nhỏ nên chọn t = 0, R = Suy I(1; –1; 0) Vậy phƣơng trình mặt cầu (S): (x1)2 (y 1)2z21

Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x2y2 10 0z  ; hai đƣờng thẳng (1):

x y z

1 1

     (2): x y z

1

   

Viết phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm thuộc (1) tiếp xúc với (2) mặt phẳng (P).

Hƣớng dẫn: y tx t

z t

1

2 :

1

        

; 2 qua điểm A(2;0; 3) có VTCP u2(1;1;4) Giả sử I(2 ; ;1 )t t  t 1 tâm R bán kính mặt cẩu (S)

Ta có: AI ( ; ;4 )t t t AI u, 2 (5 4;4 ;0)t  t d I AI u t

u 2

2

, 5 4

( , )

3       Hơn nữa, d I P( ,( )) t 2(1 ) 10t t t 10

3 4

     

 

 

(S) tiếp xúc với 2 (P) d I( , )2 d I P( ,( )) suy 4t  t 10 t

t

7

      

Với t

2

 , I 11 7; ;

2 2

  

 

 , R

 PT mặt cầu (S): x y z

2 2

11 81

2 2

     

     

     

     

giác ABC vuông A,đỉnh A trùng với gốc tọa độ O,B(1; 2; 0) tam giác ABC có diện tích Gọi M trung điểm CC’ Biết điểm A(0; 0; 2) điểm C có tung độ dƣơng Viết phƣơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCM.

Hƣớng dẫn: Ta có: AB SABC 5 nên AC2 Vì AA’  (ABC) A, B  (Oxy) nên C  (Oxy)

Gọi C x y( ; ;0) AB(1;2;0),AC( ; ;0)x y

Ta có: AB AC x y yx xy

AC x2 y2

2 4

2

2 20



         

         

 

  Vì yC 0 nên C(–4; 2; 0)

Do CC'AA' nên C(–4; 2; 2), BB'AA' suy B(1; 2; 2) M trung điểm CC nên M(–4; 2; 1)

PT mặt cầu (S) qua A, B’, C’ M có dạng: ( ) :S x2y2z22x2by2cz d 0

A S

B S a b c d

C S

M S

(0;0;0) ( )

3 3

'(1;2;2) ( ) ; ; ; 0

'( 4;2;2) ( ) 2

( 4;2;1) ( )

 

        

  



 



(thoả a2b2c2 d 0)

Vậy phƣơng trình mặt cầu (S) là: ( ) :S x2y2z23x3y3z0

-Cần nhớ sử dụng thành thạo cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách hai mặt phẳng song song

-Áp dụng lý thuyết tƣơng đối đƣờng thẳng, mặt phẳng, mặt cầu Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz, tìm m để hai mặt phẳng

 P : 5x y 3z 2 0, Q : 2x my 3z 1 0vng góc với

Hƣớng dẫn: Hai mặt phẳng  P : 5x y 3z 2 0, Q : 2x my 3z 1 0có véc tơ pháp

tuyến lần lƣợt nP 5,1, ,  nQ 1, ,1m 

Để    P  Q thìnP nQ Từ suy n nP Q 0và giá trị m cần tìm m 19

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – = mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đƣờng tròn Xác định tọa độ tâm tính bán kính đƣờng trịn đó. Hƣớng dẫn:

Dạng 5: Vị trí tƣơng đối hai mặt phẳng, hai đƣờng thẳng, đƣờng thẳng mặt phẳng, đƣờng thẳng mặt cầu, mặt phẳng mặt cầu.

Mặt cầu cóI (1; 2; 3); R = 11 5    ; d (I; (P)) = 2(1) 2(2)

4

  



  < R = Vậy (P) cắt (S) theo đƣờng tròn (C)

Phƣơng trình d qua I, vng góc với (P) :

x t

y t

z t

1 2           

Gọi J tâm, r bán kính đƣờng trịn (C) J  d  J (1 + 2t; – 2t; – t) J  (P)  2(1 + 2t) – 2(2 – 2t) – + t – =  t =

Vậy tâm đƣờng tròn J (3; 0; 2) , bán kính r = R2IJ2 4

Bài 3: Trong không gian tọa độ Oxyz, tìm m để góc tạo hai mặt phẳng  P :mx2y mz 120, Q :x my   z 0có giá trị

4



Hƣớng dẫn: Hai mặt phẳng  P :mx2y mz 120, Q :x my   z 0có véc tơ pháp

tuyến lần lƣợt nP m, 2,m n, Q 1, ,1m 

Để góc tạo hai mặt phẳng    P , Q



2

4 cos

4 2 4 1

m

m m

 

 

Từ suy ra4m m22 giá trị m cần tìm m  2

Bài 4: Trong không gian tọa độ Oxyzcho hai đƣờng thẳng

1

x y z (d ) :

2

  

 



x y z (d ) :

2

  

 

 .

Chứng minh (d )1 ,(d )2 chéo Tính khoảng cách hai đƣờng thẳng Hƣớng dẫn:

Ta có a2;1; , b  2; 2;1  lần lƣợt VTCP (d )1 (d )2 Ta có: A 2;1;3  (d )1 B 3; 1;1  (d )2 AB 1; 2; 2   

Do đó:

1 2

a,b AB 2 21

2

 

     

 



Suy ra: AB, a, b không đồng phẳng Vậy (d )1 (d )2 chéo

Ta có:

2 2

2 2 2

a,b 81 a,b

2 1 2

 

         

Vậy:  1 2

a,b AB 7

d d , d

3 a,b

   

 

   

Bài 5: Trong không gian cho hai mặt phẳng  P  Q lần lƣợt có phƣơng trình là:  P :2x my 3z  6 m   Q : m3x2y5m1z100 Với giá trị m hai mặt phẳng song song?

Hƣớng dẫn:

Để hai mặt phẳng song song thì:

2

1

3

2 6

5

3 10

10 12

1

; ;

m m

m m

m m

m m m m

m m

m m

m

   

     

 

           

   

 

  

vô nghiệm

Vậy không tồn giá trị m để hai mặt phẳng  P  Q song song Bài 6: Cho hai mặt phẳng  P họ mặt phẳng Q , có phƣơng trình:

 P :x   y z 0;Q , :x y 2z 5 x2y z 40

Chứng tỏ  P vàQ , ln vng góc với với và

Hƣớng dẫn:

Ta có:

 P :x   y z 0có VTPT n1,1,1

Q , :x y 2z 5 x2y z 40

Q , :  x  2 y 2 z 5 4

Khi Q , có VTPT là: n'   , 2 , 2    

Ta thấy: n n ' 1    1 2  1 2  0

Suy ra:  P Q , với và (đpcm)

Dạng 6: Bài toán điểm Bài 1: Trong không gian với

hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) B(3;4;1) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x y z   1 để MAB tam giác

Hƣớng dẫn:

Gọi (Q) mặt phẳng trung trực đoạn AB  (Q): x y z   3 Vì d giao tuyến (P) (Q) nên d: x2;y t 1;z t

Do M  d  M t(2; 1; ) t AM 2t2 8 11t Vì AB = 12 nên MAB MA = MB = AB

t2 t t 18

2

2 

      M 2;6 18 4; 18

2

   

  

 

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(3;5;4) , (3;1;4)B Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng( ) :P x y z   1 cho tam giác ABC cân C có diện tích 17

Hƣớng dẫn:

Giả sử: C x y x y( ; ;   1) ( )P AB4

Mà AC BC  (x3)2 (y 5)2(x y 5)2  (x3)2 (y 1)2(x y 5)2  y Gọi I trung điểm AB, I(3;3;4)

IAB

S 2 17CI AB 4 17CI  17suy (3x)2 (8 x)2  17   xx 47  + Với x 4 C(4;3;0)

phẳng ( ) : 2P x   y z Tìm điểm M thuộc (P) cho MA =MB (ABM)( )P Hƣớng dẫn:

Gọi (Q) mặt phẳng trung trực AB (1;1;1)

nQ  AB VTPT (Q) GọiI(1; 1;2) trung điểm AB Phƣơng trình ( ) :Q x y z   2

Gọi (R) mặt phẳng qua A, B vng góc với (P) nRn nP; Q(0;3; 3) VTPT (R) Phƣơng trình ( ) :R y z  3

Toạ độ M nghịêm cuả hệ:

x y z

x y z M

y z

2 2 17

2 ; ;

3 6

      

        

  

    

Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0),B(3;3;6) đƣờng thẳng  có phƣơng trình tham số x  1 ;t y 1 ;t z2t Một điểm M thay đổi đƣờng thẳng ,xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ Hƣớng dẫn:

Gọi P chu vi tam giác MAB P = AB + AM + BM

Vì AB khơng đổi nên P nhỏ AM + BM nhỏ

Điểm M nên M 1 ;1 ;2t t t AM BM  (3 )t 2(2 5)2  (3 6)t 2(2 5)2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ u3 ;2 5t  v   6;2 5t  Ta có u  (3 )t 2(2 5) ;2 v  (3 6)t 2(2 5)2

 AM BM u | | | | v u v (6;4 5) |  u v| 29 Mặt khác, ta ln có | | | | |u  v  u v| Nhƣ AM BM 2 29 Đẳng thức xảy u v, hƣớng t t

t

3 1

3

   

 

M(1;0;2)

 min(AM BM ) 29 Vậy M(1;0;2) minP = 2( 11 29) Bài 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x3y3 11 0z  hai điểm A(3; 4;5) ,B(3;3; 3) Tìm điểm M( )P cho MA MB lớn Hƣớng dẫn:

Nếu A, B phía so với (P) MA MB AB 

Nếu A, B khác phía so với (P), ta lấy điểm A đối xứng với A qua (P) Khi MA MA  MA MB  MA MB A B  

ĐS: M 31 31; ;

7 7

  

 

Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x2y2z80 điểm A(–1;2;3), (3;0;–1)B Tìm điểm M (P) cho 2

MB

MA  nhỏ Hƣớng dẫn:

Gọi I trung điểm AB , I(1; 1; 1) Ta có: MA MB MI AB

2 2 2

2

  

Do đó: MA2MB2 nhỏ IM2nhỏ M hình chiếu vng góc I (P) P

IM n phương

M P

, ( ) 

  

x t t

y t x

z t y

x y z z

1

1

1

2

     

 

    

 

  

 

     

 

 

Vậy M(0; 3; –1)

Bài 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x y z   4 điểm A(1;2;1),B(0;1;2) Tìm điểm M( )P cho MA22MB2 nhỏ

Hƣớng dẫn:

Gọi G trọng tâm ABC  G 8; ;3

3

 

 

 ; GA GB GC

2 2 56 32 104 64

9 9

     

Ta có F MA 2MB2MC2MG GA  2 MG GB  2 MG GC 2

MG2 GA2 GB2 GC2 MG GA GB GC MG2 GA2 GB2 GC2

3 ( )

          

F nhỏ  MG2 nhỏ  M hình chiếu G lên (P)

 MG d G P

7 3

3 19

( ,( ))

1 1 3   

  

  Vậy F nhỏ

2

19 64 553

3

3

 

 

 

  M hình chiếu G lên (P)

Bài 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; 1; 1),B(7; 3; 9),C(2; 2; 2) mặt phẳng (P) có phƣơng trình: x y z   3 Tìm (P) điểm M cho

MA2MB3MC nhỏ Hƣớng dẫn:

Gọi I điểm thoả: IA2IB3IC0  I 23 13 25; ;

6 6

 

 

 

Ta có: T = MA2MB3MC  MI IA  2 MI IB 3MI IC   6MI 6MI

Do đó: T nhỏ  MI nhỏ  M hình chiếu I (P) Ta tìm đƣợc:

M 13 16; ; 9

 



 

  Khi T

43

3

Bài 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x3y2z37 0 điểm A(4;1;5), (3;0;1), ( 1;2;0)B C  Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: S = MA MB MB MC MC MA  

Hƣớng dẫn:

Giả sử M x y z( ; ; ) ( ) P  3x3y2z37 0 (1) Khi S3 ( x2)2 (y 1)2 (z 2)25 Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho (1) ta đƣợc:

x y z x y z

2 2

( 44) 3(  2) 3(  1) 2( 2)   (9 4) ( 2)  ( 1)  ( 2) 

 (x 2)2 (y 1)2 (z 2)2 442 88

22

      

Dấu "=" xảy  x y z

3

    

 

x y z

4

2

   

     

 M(4;7; 2) Vậy minS3.88 259  M(4;7; 2)

A(0;1;2), ( 1;1;0)B 

x y z  0

M x y z( ; ; ) ( ) P BA(1;0;2),MB(x1;y1; )z

Ta có:

M P

BA BM BA BM

( )

  

 

  

 xx y zz

x y z2

1 0

( 1) ( 1)

        

     





x x

y y

z z

1 10 10

3

4 10 10

6

2 10 10

6

     

 

 

 

     

    

 

      

 

 

PHẦN D: ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN THUẦN TÚY

Trong đề thi minh họa nhƣ đề thi thực nghiệm giáo dục đào tạo có xuất tốn hình học khơng gian tổng hợp (cổ điển) mà lời giải địi hỏi vận dụng phức tạp kiến thức hình học không gian nhƣ: chứng minh quan hệ song song, quan hệ vng góc, dựng hình để tính góc khoảng cách, tính thể tích khối đa diện… Việc tiếp cận lời giải cách nhanh hiệu nhất, khoảng thời gian ngắn khó khăn cho học sinh, chí giáo viên, chẳng hạn tốn tính khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo Trong đó, bỏ qua yêu cầu bắt buộc phải dựng hình mà dừng mức độ tính tốn rõ ràng phƣơng pháp tọa độ tỏ hiệu Hƣớng dẫn:

Giả sử

quả tất tính tốn đƣợc cơng thức hóa Tất nhiên, khơng phải tốn hình học khơng gian cổ điển sử dụng phƣơng pháp tọa độ hóa tối ƣu nhƣng với việc thời gian làm ngắn việc kết hợp phƣơng pháp tọa độ hóa máy tính cầm tay lựa chọn hang đầu giải tốn hình học khơng gian cổ điển Nhìn chung,giải tốn hình học không gian tổng hợp phƣơng pháp tọa độ gồm

ba bƣớc bản sau đây:

+ Xây dựng hệ trục tọa độ thích hợp + Xác định tọa độ điểm liên quan

+ Chuyển tốn hình khơng gian tổng hợp tốn tương ứng không gian tọa độ vận dụng cơng thức thích hợp (chứng minh vng góc, song song, tính thể tích, góc, khoảng cách…)

Dƣới số ví dụ minh họa việc tọa độ hóa số hình Ví dụ 1: Toạ độ hố hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a,BC = b,AA’ = c Hƣớng dẫn

Chọn hệ toạ độ Axyz nhƣ sau:

* A gốc toạ độ  A(0; 0; 0)

* Ax+ AB, Ay+ AD, Az+ AA’ Khi vào độ dài ta có:

A(0; 0; 0), B(a; 0; 0) D(0; b; 0), C(a; b; 0) A’(0; 0; c), B’(a; 0; c) D’(0; b; c), C’(a; b; c)

* So với toạ độ điểm A, B, C, D A’, B’, C’, D’ khác có cao độ z = c * Với hình lập phƣơng ta chọn hệ toạ độ tƣơng tự

Ví dụ 2: Toạ độ hố hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a,đƣờng cao SO= h

Hƣớng dẫn

A B

C C' D'

A' B'

D z

x y

a c

Gọi O tâm tam giác ABC

Ta chọn hệ toạ độ Oxyz nhƣ sau:(hình vẽ) Ox+ OA

Oz+ OS

Khi đó, ta có toạ độ điểm nhƣ sau: * O(0; 0; 0)

* OA = a a 3 

 

 

 

 

a A ; 0;

3

* OI = a

6 ,   a IB IC

2 (hình vẽ)



 

   

 

a a a a

B( ; ; 0), C ; ;

2 3

* S(0; 0; h)

Ví dụ 3: Toạ độ hố hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi với đƣờng chéo vng O góc; AC = 2a, BD = 2b, đƣờng cao SO = h

Hƣớng dẫn

A B

S

O I

z

x y

A B

C

O

I

a a 33 a

2

Chọn hệ toạ độ Oxyz hình vẽ: O tâm hình thoi gốc toạ độ Ox+ OA

Oy+ OB Oz+ OS

Khi đó, toạ độ đỉnh là:

* OA = OC = AC a

2 A(a; 0; 0), C(–a; 0;

0)

* OB = OD = BD b

2 B(0; b; 0), D(0; –b;

0)

* S(0; 0; h)

Ví dụ 4: Toạ độ hóa hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a AC  BD = O đƣờng cao SO = h

Hƣớng dẫn

Ta có cách toạ độ hố hình chóp này:

Cách Cách

S

C

B

A D

O

y x

z

a 2

y

x A B

C

D O

a a

b b

S

C

B

A D

O

y x

z

a 2

S

C B

A D

O

y x

z

OA = OB = OC = OD = a

2

 

 

 

 

a A ; 0;

2 ,

 

 

 

 

a B 0; ;

2 ,

 



 

 

 

a C ; 0;

2

 



 

 

 

a D 0; ;

2 , S(0; 0; h)

OH = OI = OJ = OK = a

2

 

 

 

a a A ; ;

2 ,

  

 

 

a a B ; ;

2 ,

  

 

 

a a C ; ;

2

D 

 

a a ; ;

2 , S(0; 0; h)

Ví dụ 5: Toạ độ hố hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B,cạnh SA  (ABC),BA = a,BC = b,SA = h

Hƣớng dẫn

Chọn hệ toạ độ Bxyz nhƣ sau:(hình vẽ)

Bz+ AS

Khi đó, toạ độ điểm nhƣ sau:

B(0; 0; 0), C(a; 0; 0), A(0; b; 0), S(0; b, h)

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD nửa hình lục giác đều, AB đáy lớn SA  (ABCD),SA = AB Hãy toạ độ hố hình chóp

Hƣớng dẫn

Chú ý nửa lục giác hình thang cân

Đặt AB = 2R  AD = DC = CB = R, theo giả thiết SA = 2R z

x

y B

S

A

C

a b

h

Chọn hệ toạ độ Axyz nhƣ sau:(hình vẽ) A gốc toạ độ,Ax+ AB,Az+  AS Khi đó, toạ độ điểm nhƣ sau:

* A(0; 0; 0) B(2R; 0; 0)

* AI = AD.cos 60o R

2 , AJ =   3R AI IJ

2 , AK =  

o R

DI AD.sin 60

    

   

R R 3R R

D ; ; , C ; ;

2 2

* S(0; 0; 2R)

Một số tập minh họa

Bài 1: Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ cạnh

a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) (C’BD) song song với Tính khoảng cách hai mặt phẳng này;

b) Chứng minh A’C vng góc với mặt phẳng (AB’D’) A’C vng góc với IJ (I, J lần lƣợt trung điểm cạnh BB’ AD);

c) Gọi K trung điểm cạnh CC’ Chứng minh hai mặt phẳng (A’BD) (KBD) vng góc

Giải

Do cạnh AB, AD, AA’ đôi vng góc nên ta chọn hệ trục Oxyz cho:

OA, tia ABtia Ox, tia ADtia Oy, tia AA’tia Oz Khi đó, ta có:

A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1), C(1;1;0), B’(1;0;1), D’(0;1;1), C’(1;1;1)

a) Chứng minh (AB’D’) (C’BD) song song với Khoảng cách chúng z

x

A y

B C

D S

x y

A

B C

D

I J

R

R

K A

B C

D A

B C

D

x

y z

I

Dễ dàng thiết lập đƣợc phƣơng trình hai mặt phẳng:

(AB’D’): x + y – z = (C’BD): x + y – z – = Do (AB’D’) // (C’BD) d((AB’D’),(C’BD)) = d(A,(C’BD)) =

3

b) Chứng minh A’C vng góc với mặt phẳng (AB’D’) A’C vng góc với IJ

Ta có A C' = (1;1;–1) vectơ pháp tuyến (AB’D’): x + y – z = 0, A’C(AB’D’)

Mặt khác, I, J lần lƣợt trung điểm cạnh BB’ AD nên I(1;0;1 2), J(0;

1 2;0) 1

( 1; ; ) 2 IJ

    ' ( 1).1 1.1 ( 1).( 1) '

2

IJ A C A C IJ

          c) Chứng minh hai mặt phẳng (A’BD) (KBD) vng góc

Ta có phƣơng trình mặt phẳng (A’BD) x + y + z – = (VTPT n1(1;1;1)) K trung điểm CC’ (1;1; )1 ( ) :

2

K KBD x y z

      (VTPT n2 (1;1; 2) ) Dễ thấy n n1 2 1.1 1.1 1.( 2)    0 ( 'A BD)(KBD)

Giải

Tƣơng tự ví dụ 1, ta chọn hệ trục Oxyz cho: OA, tia ABtia Ox, tia ADtia Oy, tia AA’tia Oz

Khi đó, ta có:

A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1), C(1;1;0), B’(1;0;1), D’(0;1;1), C’(1;1;1) a) Tính góc hai đường thẳng MP, C’N và góc hai mặt phẳng (PAI, (DCC’D’).

Vì M, N, P lần lƣợt trung điểm B’B, CD A’D’ nên M(1;0;1 2), N(

1

2;1;0), P(0; ;1)

A

B C

D A’

B’ C’

D’

x

y z

I P

M

N

a) Tính góc hai đƣờng thẳng MP, C’N góc hai mặt phẳng (PAI), (DCC’D’);

Khi đó, ta có ( 1; ; ),1 ' ( 1;0; 1)

2 2

MP  C N   

'

cos( , ' )

' MP C N MP C N

MP C N

  

góc MP C’N 900

Mặt khác, I tâm ABCD ( ; ;0)1 2 I



 (PAI) có VTPT , 4.( ;1 1; ) (2; 2;1) 2

n AI AP   

(DCC’D’) có VTPT n' AD(0;1;0)

Gọi  góc hai mặt phẳng (PAI) (DCC’D’) Ta có: cos ' arccos2 48 11' 23''

3

' n n n n

     

b) Tính khoảng cách cặp đường thẳng A’B, B’D cặp đường thẳng PI, AC’ Ta có: A B' (1;0; 1), ' B D ( 1;1; 1), ' A B'(1;0;0)

' , ' ' ' 6

( ' , ' )

6 ' , '

A B B D A B d A B B D

A B B D

 

 

  

 

 

Mặt khác, ( ;0; 1),1 ' (1;1;1), (0; ;1)1

2

PI   AC  AP

, ' 14

( , ')

28

, '

PI AC AP

d PI AC

PI AC

 

 

  

 

 



Bài 3: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc nhau, OA = a, OB = b, OC = c

a) Tính độ dài đƣờng cao tứ diện kẻ từ đỉnh O; b) Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn;

c) Gọi   , , lần lƣợt góc (ABC) mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) Chứng minh rằng: 2

cos cos cos  1 Giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho tia OAtia Ox, tia OBtia Oy, tia OCtia Oz Khi đó: A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)

a) Tính độ dài đường cao tứ diện kẻ từ đỉnh O.

2 2 2

( , ( ))

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

abc abc

h d O ABC

ab bc ca ab bc ca



  

   

b) Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn. Ta có:

2

2 2

( ; ;0), ( ;0; ) cos cos( , )

a

AB a b AC a c BAC AB AC

a b a c

       

 

BAC

 nhọn

Tƣơng tự,

2 2

cos cos( , )

b

ABC BA BC

a b b c

  

  ABC nhọn

2

2 2

cos cos( , )

c

ACB CA CB

a c b c

  

   ACB nhọn Vậy tam giác ABC có ba góc nhọn

2 2 2

cos cos 1

    

, ,

  

(bc ca ab; ; )

 i(1;0;0), j(0;1;0),k(0;0;1)

2 2

cos

( ) ( ) ( ) bc

bc ca ab

 

  ,

2 2

cos

( ) ( ) ( ) ca

bc ca ab

 

  ,

2 2

cos

( ) ( ) ( ) ab

bc ca ab

 

  Suy ra: 2

cos cos  cos  1



Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SC = CA = AB = a 2, SC(ABC), tam giác ABC vuông A Các điểm M, N lần lƣợt di động tia AS CB cho AM = CN = t (0 < t < 2a)

a) Tính độ dài đoạn MN theo a t Tìm t cho MN ngắn nhất;

b) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN đƣờng vng góc chung BC SA

O

A

B C

x

y z

s co

c) Chứng minh

Với lần lƣợt góc (ABC) mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) Dễ thấy mặt phẳng (ABC), (OBC), (OCA), (OAB) có VTPT lần lƣợt

,

Giải

Tại vị trí điểm A điểm C ta nhận thấy có cặp cạnh vng góc (ABAC, CS CA, CSCB) nhƣng chƣa đạt đủ điều kiện cần thiết phải có ba cạnh đơi vng góc xuất phát từ đỉnh, ta dựng đường thẳng qua A vng góc với (ABC) (đƣờng thẳng song song với SC)

Khi đó, chọn hệ trục Oxyz nhƣ hình vẽ, với AO(0;0;0), B(a 2;0;0),

C(0; a 2;0), S(0; a 2;a 2)

a) Tính độ dài đoạn MN theo a t. Tìm t cho MN ngắn

Theo giả thiết M thuộc tia AS AM = t

2

(0; ; )

2 2

t t t

AM AS M

a

  

Tƣơng tự, Nthuộc tia CB CN = t

2

( ; ;0)

2 2

t t t

CN CB N a

a

   

Vậy ta có

2

2 2

( 2)

2

t t

MN   a t   a  at t

Hơn nữa, 2 2 2

2 ( )

3

3

a a a

MN  a  at t  t   , dấu đẳng thức xảy

3 a

t (thỏa < t < 2a) Vậy min

3

a a

MN   t

b) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN đường vng góc chung BC và SA.

Khi MN ngắn nhất, ta có

a

t nên (0; 2; 2), ( 2; 2;0)

3 3

a a a a

M N

2 2

( ; ; )

3 3

a a a

MN

  

Mặt khác AS (0;a 2;a 2),CB(a 2;a 2;0)

,

MN AS MN CB MN AS MN CB

     

hay MN đƣờng vng góc chung SA BC

Bài 5: (Đề thi Cao đẳng năm 2009) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi M, N, P lần lƣợt trung điểm cạnh SA, SB CD Chứng minh đƣờng thẳng MN vng góc với đƣờng thẳng SP Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP

O AA

B

x

C y

z

S

M

Giải

Gọi O tâm ABCD Chọn hệ trục Oxyz nhƣ hình vẽ với O(0;0;0), C(

2 a

;0;0), A( 2 a

 ;0;0), D(0; 2 a

;0),

B(0; 2 a

 ;0), S(0;0; a

) ( 2

2 a

SO SA OA  )

M, N, P lần lƣợt trung điểm cạnh SA, SB CDM(

4 a

 ;0; a

),

N(0; a

 ; a

), P( a ; a ;0) Khi 2

( ; ;0)

4

a a

MN   ,

2

( ; ; )

4

a a a

SP 

2

2

0.( )

16 16

a a a

MN SP MN SP

       

Mặt khác, ta lại có

2

( ;0; )

4

a a

AM  , (3 2; 2;0)

4

a a

AP , ( 2; 2; 6)

2 4

a a a

AN  

3

6

,

8 a AM AP AN

 

     ,

6 48

AMNP

a

V AM AP AN

    

Bài 6: (ĐH khối D – 2007). Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, 90

ABCBAD , BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy, SA = a Gọi H hình chiếu vng góc A lên SB

Chứng minh tam giác SCD vuông tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz nhƣ hình vẽ, với AO(0;0;0), B(a;0;0), D(0;2a;0), C(a;a;0), S(0;0;a 2) Khi SC( ; ;a a a 2),CD ( a a; ;0)SC CD  0 SCCD, hay tam giác SCD vuông C

Mặt khác (SCD) có VTPT 2

, ( 2; 2;2 )

SC CD a a a

  

 

(SCD) :1.(x a) 1.(y a) 2.(z 0)

      

hay (SCD): x y 2z2a0

Đƣờng thẳng SB có phƣơng trình tham số

O A

B C

0

x a t

y z t          

( ;0; ) HSBH at  t

3 a AH SBAH SB   t Vậy (2 ;0; 2)

3

a a

H

Từ suy khoảng cách từ H đến (SCD)

2

2

3

( , ( ))

3 1

a a

a a d H SCD

 

 

  

Bài 7: (ĐH khối D – 2008). Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vng, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách hai đƣờng thẳng AM, B’C

Giải

 a

Dễ thấy / / /

3 / ( ) 2

ABC A B C

a

V BB BA BC 

Bây ta tính khoảng cách AM B’C M trung điểm BC

( ;0;0) ( ; ;0)

2

a a

M AM a

   

Mặt khác, B C' ( ;0;a a 2)

2

2 2

, ' ( 2; ; )

2 a

AM B C a a

 

 

Lại có AC ( ;a a;0)

3

2

2

, ' 7

2 ( , ' ) 7 , ' a

AM B C AC a

d AM B C

a AM B C

            

Bài 8: (ĐH khối B – 2007). Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính (theo a) khoảng

B x y z D C O A H

S

O B

x y z C C’ A A’ B’ M Từ giả thiết ta có tam giác đáy ABC vuông

Giải

Gọi O tâm đáy ABCD Vì hình chóp cho hình chóp nên SO(ABCD)

Ta chọn hệ trục Oxyz với O gốc tọa độ, tia OCtia Ox, tia ODtia Oy,

tia OStia Oz Khi ta có O(0;0;0), A(

2 a

 ;0;0), C( 2 a

;0;0),

B(0; 2 a

 ;0), D(0; 2 a

;0), Stia OzS(0;0; )x (x > 0)

E đối xứng với D qua trung điểm SA

ADSE hình bình hành ( 2; 2; )

2

a a

E x

  

M trung điểm AE ( 2; 2; )

2

a a x

M

  

N trung điểm BCN(a 2;a 2;0) (3 2;0; )

4

a x

MN

  

Mặt khác BD(0;a ;0)MN BD  0 MNBD Lại có AC(a 2;0;0) , (0; 2;0)

2 ax MN AC

 

 

Mà (3 2; 2;0)

4

a a

AN  

2

, 2

4

( , )

4 ,

2 a x

MN AC AN a

d MN AC

ax MN AC

 

 

   

 

 



Bài 9: (ĐH khối B – 2007). Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính (theo a) khoảng cách hai đƣờng thẳng MN AC

Giải

Gọi O tâm đáy ABCD Vì hình chóp cho hình chóp nên SO(ABCD)

Ta chọn hệ trục Oxyzvới O gốc tọa độ,

O B

x

y z

C C’

A A’ B’

M

4

tia OCtia Ox, tia ODtia Oy, tia OStia Oz

Khi ta có O(0;0;0), A(

2 a

 ;0;0), C( 2 a

;0;0),

B(0; 2 a

 ;0), D(0; 2 a

;0), Stia OzS(0;0; )x (x > 0)

E đối xứng với D qua trung điểm SA

ADSE hình bình hành ( 2; 2; )

2

a a

E x

  

M trung điểm AE ( 2; 2; )

2

a a x

M

  

N trung điểm BCN(a 2;a 2;0) (3 2;0; )

4

a x

MN

  

Mặt khác BD(0;a ;0)MN BD  0 MNBD Lại có AC(a 2;0;0) , (0; 2;0)

2 ax MN AC

 

 

Mà (3 2; 2;0)

4

a a

AN  

2

, 2

4

( , )

4 ,

2 a x

MN AC AN a

d MN AC

ax MN AC

 

 

   

 

 



Bài 10: (ĐH khối D – 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn AC, AH =

4 AC

Gọi CM đƣờng cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a

Giải

Chọn hệ trục Oxyz với A gốc tọa độ, tia AB tia Ox, tia AD tia Oy, tia Oz tia Az song song hƣớng với tia HS

Ta có

A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0)

( ; ;0)

4 4

a a

AH AC H

  

O A

B C

x

D

y

S

z

N M

E

S

z

H M

A D

AH = AC

= a

, SA = a

2 14

4 a

SH SA AH

   

14 ( ; ; )

4 4 a a a S



Vậy ta có SC = 2 14

( ) ( ) ( )

4 4

a a a

a  a   a CA SAC cân C nên đƣờng cao CM đƣờng trung tuyếnM trung điểm SA ( ; ; 14)

8 8 a a a

M

Vì M trung điểm SA nên VSMBC VAMBC Ta có:

14 ( ;0;0), ( ; ;0), ( ; ; )

8 8 a a a

AB a AC  a a AM 

3

1 14

,

6 48

SMBC AMBC

a

V V AB AC AM

      



3 a

Chọn hệ trục Oxyz với O gốc tọa độ, tia OAtia Ox, tia OCtia Oy, tia Oz song song hƣớng với tia AA’ Khi A(

2 a

;0;0), B(0; a

 ;0), C(0; a

;0), A’( a

;0;3

a ) Dễ thấy góc mặt phẳng (A’BC) (ABC) góc ' 60 ' tan 60

2 a

A OA  AA OA 

2

' ' '

3 3

'

2

ABC A B C ABC

a a a

V AA S

   

G trọng tâm tam giác A’BC nên G( a

;0; a

) Bây giờ, ta xác định tâm bán kính

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC, với A

x y

z

B’

C C’ A’

O G

Bài 11: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ cho bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a

Giải

G( a ;0; a

), A( a ;0;0), B(0; a

 ;0), C(0; a

;0)

Giả sử mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC có phƣơng trình 2

2 2

x  y z  px qy rz k

Thay lần lƣợt tọa độ G, A, B, C vào phƣơng trình ta có

2 2 2 3 3 3 12 0 4 a a

p ar k a

p a

a a p k

r a q aq k a k a aq k                                         

Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC có tâm I( 3; ;0 12

a a

 ) bán kính

2 2

7

0 ( )

12 144 12

a a a a

R      

DM Biết SH(ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM khoảng cách hai đƣờng thẳng DM SC theo a

Giải

Dễ thấy VS CDNM. VS ABCD. VS BCM. VS AMN.

.( )

3SH SABCD SBCM SAMN

  

2

2

1

3( )

3 24

a a a

a a

   

Bây ta tính khoảng cách hai đƣờng thẳng DM SC phƣơng pháp tọa độ

Chọn hệ trục Oxyz nhƣ hình vẽ, ta có CO(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A(a;a;0) M trung điểm AB ( ; ;0)

2 a M a



C O

A B D H x y S z M N

N trung điểm AD ( ; ;0) a

N a

 H(Oxy)H x y( ; ;0)

H DMCN ,

CH CN

 phƣơng DH DM, phƣơng

2

x y

a a

 

2

x y a

a a

 



2

,

5

a a

x y

   Vậy H(2 ;4 ;0 5

a a

) (2 ;4 ; 3) 5

a a

S a



Khi đó, (2 ;4 ; 3), ( ; ;0)

5

a a a

CS a DM  a 

2

2

3

, ( ; 3; )

2 a

CS DM a a

 

  

Mặt khác ( ; ;0) a CM  a

3

, 3 2 57

( , )

19 19

,

2

CS DM CM a a

d SC DM

a CS DM

 

 

   

 

 



2a 30

SBC Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a

Giải

Gọi H chân đƣờng vuông góc kẻ từ S lên BC Vì (SBC)(ABC) nên SH(ABC)

Mặt khác SB = 2a SBC30 SH SB.sin 30 a 3, BH SB.cos30 3a

Dễ thấy

1 1

3.( )

3

S ABC ABC

V  SH S  a a a  a

Bây ta tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) phƣơng pháp tọa độ

Chọn hệ trục Oxyz với B gốc tọa độ, tia BA tia Ox, tia BC tia Oy, tia Oz tia Bz song song hƣớng với tia HS

Khi đó: B(0;0;0), A(3a;0;0), C(0;4a;0), S(0;3a;a 3)

O B C y

S

H

z

( ;3 ; 3), ( ;4 ;0)

AS a a a AC a a

    

 2 2

, 3; 3; 3 (4;3; 3)

AS AC a a a a

 

      

 mặt phẳng (SAC) có phƣơng trình

4(x3 )a 3(y 0) 3(z0) 0 4x3y 3z12a0 Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC)

2 2

12

( ,( ))

7

4 ( 3)

a a

d B SAC   

  

Bài 14: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a Hình chiếu vng góc A’ (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD’A’) (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (A’BD) theo a

Giải

Gọi I = ACBD Ta có A I' (ABCD)

Chọn hệ trục Oxyz với B gốc tọa độ, tia BA tia Ox, tia BC tia Oy, tia Oz tia Bz song song hƣớng với tia IA’

Khi

B(0;0;0), A(a;0;0), C(0;a 3;0), D(a; a 3;0), I( ; 3;0

2 a a

)

A’ có hình chiếu lên (Oxy) I nên A’( ; 3;

2 a a

z) (z0) Ta tìm z:

+ Mặt phẳng (ABCD) mặt phẳng (Oxy) nên có VTPT k(0;0;1)

+ (0; 3;0), ' ( ; 3; ) 2 a a

AD a AA   z

2

3

, ' ( 3;0; ) (2 ;0; )

2

a a

AD AA az z a

 

  

mặt phẳng (ADD’A’) có VTPT n(2 ;0; )z a

+ Góc hai mặt phẳng (ADD’A’) (ABCD) 600 nên ta có A

B O C

D

x

y

A’

B’ C’

D’

z

2

1 1 3

cos 60

2 2

k n a a

z

k n z a

     

 (z > 0) Vậy A’( ; 3;

2 2

a a a

)

Do ' ' ' ' ' 3

2

ABCD A B C D ABCD

a a

V  A I S  a a 

Mặt phẳng (A’BD) có VTPT

2 2

3

', ( ; ;0) (3; 3;0)

2 2

a a a

BA BD

      

 

( 'A BD) : 3x 3y 3x y

     

Mặt khác ' ' '( ; 3; 3)

2 2

a a a

BB  AA B 

Vậy khoảng cách từ B’ đến (A’BD)

3

2

( ', ( ' ))

a a

a

d B A BD

 

 

Bài 15: (ĐH khối A – 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.BCNM

ng cách hai đƣờng thẳng AB SN theo a Giải

Theo giả thiết (SAB), (SAC) vng góc với (ABC) nên SA(ABC)

Góc (SBC) (ABC) 60

SBA tan 60

SA AB a

  

Mặt phẳng qua SM, song song BC, cắt AC NMN // BCN trung điểm AC Do tam giác AMN vng cân M Khi đó, ta có

1

.( )

3

S BCNM BCNM ABC AMN

V  SA S  SA S S

2

1

.2 3.( )

3 2

a a

a a

  

Bây ta tính khoảng cách hai đƣờng thẳng AB, SN phƣơng pháp tọa độ Chọn hệ trục Oxyz nhƣ hình vẽ, với B gốc tọa độ, C(2 ;0;0), (0;2 ;0), (0;2 ;2a A a S a a 3) N trung điểm ACN a a( ; ;0)SN( ;a  a; 2a 3)

B O

C

x A

y

N M

S z

2

Mặt khác 2

(0;2 ;0) , (4 3;0;2 )

BA a SN BA a a

Lại có BN ( ; ;0)a a

3

, 4 3 2 39

( , )

13

2 13

,

SN BA BN a a

d SN AB

a SN BA

 

 

   

 

 

PHẦN C: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. xyz, v x

A. 0;0;1  B. 1; 0;  C. 0; 1;  D 0; 1; 

Câu 2. xyz y

A. 0;0;1  B. 1; 0;  C. 0; 1;  D 0; 1; 

Câu 3. xyz z

A. 0;0;1  B. 1; 0;  C. 0; 1;  D 0; 1; 

Câu 4. xyz x 3

3

x i  j k x

A. 3; 3;

3 x  

  B.

1 3; ;

3 x   

  C.

1 3; ;

3 x  

  D

1 3; ;

3 x  

 

Câu 5. xyz

7 3

OK  i  j k K

A. 7; ; 3 K 

  B.

3 ; ; 3 K  

  C.

3 ; ; 3 K  

  D

3

; ;

7 3

K   

 

Câu 6. xyz A3;1;0, B7;7;2, C1; 2; 1   Trong

A. B. AC 14

C. OA3i  j D BC    6; 9; 

Câu 7. xyz A3;2;2,B 1; 5;13,C4;2;1, 6; 1; 3

D   , E2;17; 8  ?

A. BC AE  12 B.

C. OD6i  j k D AB AC,     1; 2; 

Câu 8. xyz 4; 1; 5 M  

 ,

3 7; ;

5 N   

 

MN

A. 31; 2; 11

5 5

MN    

  B.

31 11 ; ; 5 MN   

 

C. 39; 9;

5 5

MN   

  D

39

; ;

5 5

MN    

Câu 9. xyz b a1; 1;2 , b   1; 1;2, 1; 1; 2

c  

A. a  b c B. cos ,

b c   C. a c 2 D a b

Câu 10. xyz 4; 2;

5

a   

 ,

1 11; 2;

3 b   

 

m10a3b

A. m41; 10;  B. m41; 10;   C. m41; 10; 9  D m41; 10;9 

Câu 11. xyz 4; 2;

5 a   

 ,

1 11; 2;

3 b   

 

m10a3 b

A. m 10 26 B. m 7 38 C. m 10 15 D m 10 17

Câu 12. xyz a1; 2; 4 ,

 5; 7; 11

b m m  m ,a b

A. m 1 B. m 1 C. m1 D m1,m 2

Câu 13. xyz A1; 1;2 , B4;2;7, C4; 2;1 , 1;3;8

D , E7;1;6 ?

A. B D E, , B. A C D, , C. B C D, , D A B, , E

Câu 14. xyz A1;1;2, B5; 3;2 ,  7; 1;12

C   , D0;3;1, E6;1; 1 

A. B C D E, , , B. A C D E, , , C. A B C D, , , D A B, , D, E

Câu 15. xyz a7; 1; 3 

 

10 m; 2; 10

b  m m 

A. m4 B. m 4 C. m 2 D m2

Câu 16. xyz am 4;13 m; 1  m 8; 1; 

b  m m

A. m10 B. m 10 C.

10

m D

Câu 17. xyz am 4;13 m; 1  m 8; 1; 

b  m m

A. m9 B. m14 C. m7 D m 7

Câu 18. xyz a1; 1; 2, 5; 7; b  

 

a b, 

A. 59 43; ; 4

  

 

  B.

59 43 ; ; 4

 

 

  C.

59 43

; ;

4

   

 

  D

59 43 ; ;

4

  

 

 

Câu 19. xyz 1; 1;

a  

 ,

1 16; 3;

5 b  

 

T .a b

A. a b 4 B. a b  4 C. a b 5 D a b 14

Câu 20. xyz, cho tam  4; 1; 5

A   , B2; 12;2, C m 2; 1m m; 5

A. m3 B. m4 C. m 4 D m 3

Câu 21. xyz b M2; 1; 7,N1; 1; 3, 4; 2; 1

K  

A. 1; 2;1

  

 

  B.

1

; ; 3

  

 

  C.

2

; 1;

3

  

 

  D

1 2 ; ; 3

  

 

 

Câu 22. xyz b A2; 1; 1 , B1; 3; 1 , 5; 3; 4

C  AB BC

A. AB BC 48 B. AB BC  48 C. AB BC 52 D AB BC  52

Câu 23. xyz, cho A8; 9; 3, B12; 3; 0 b

A. 4; 0; 0 B. 4; 0;  C. 0; 0;4 D 0; 0; 

Câu 24. xyz G3; 1; 1 2; 1; 1

A  ,B10;2; 3

A. 1 B. 21 C. 17 D 6

Câu 25. xyz, cho t

 

A. A1; 0;   B. A1; 0;  C. A1; 0;   D A1; 0; 

Câu 26. xyz a  1; 1; 2, b3; 1; 17  a b,  b

A. 895 B. 894 C. 886 D 19; 23;2

Câu 27. xyz A1; 2; 1 , B14; 13; 4

A. M4;3;  B. M4; 3;  C. M 4; 3;  D M4; 3; 

Câu 28. xyz, cho b A1; 2; 1, B0; 1; 0 , C3;3; 3

A. 4; 1; 4 B. 4; 0;4 C. 4; 0;  D 4; 0;2

Câu 29. b A 2, 5,1  , B 0, 1, 2  , C 1, 0,3 Có ba   q b

A. B. C. V D 3

Câu 30. xyz M1; 5;3, N7; 2; 5

A. MN  13 B. MN 3 13 C. MN  109 D MN 2 13

Câu 31. xyz A1; 4;2

A. 0; 4;2 B. 1; 4; 0 C. 1; 0;2 D 0; 4; 

Câu 32. xyz b a3; 2; , b 9; 4; 2  ,  6;2;1

c  

A. a b c, , B. a b,  0;3; 6

C. b c 60 D cos , 64

4141

b c  

Câu 33. xyz b a   4; 3; , b 8;2; 4 , 1; 1; 2

c  

Câu 34. Tron xyz M8;2; 3 S

A. S  217 B. S 2 217 C. 217

S  D 217

4 S 

Câu 35. xyz b A3; 1;1 , B1; 2; 3  ,  2; 3;5

C   , D2k 3; k 1; k   b :

: AB    2; 1; , AC   5; 2;4 , AD2k 6; k2;k   : AB AC,   12;28; ,  AB AC AD,  3k17

: , 17 17

3

AB AC AD k k

 

        

: V 17

3

k 

b

A. B. b C. b D b

Câu 36. xyz A1; 2; 3,  3; 10; 4

B   , C7; 2; 1 

A. 457 ABC

S  B. SABC 8 46 C. SABC 24 D SABC 48

Câu 37. xyz a

A. H0;2;1  B. H3; 0;  C. H3; 2;  D H3; 0; 

Câu 38. xyz xy a

A. H0;2;1  B. H3; 0;  C. H3; 2;  D H3; 0; 

Câu 39. xyz, cho tam A1; 2; 3,  3; 10; 4

B   , C7; 2; 1 

A. 12 745

149 B.

24 745

149 C.

48 745

149 D

36 745 149

Câu 40. xyz  4; 9; 1

A. 14 13 B. 13 C. 13

3 D

7 13

Câu 41. xyz  4; 9; 1

A   , B2;3; 3, C7;9; 2

A. 13

2 B. 13

4 C. 13 D

13

Câu 42. xyz A6; 1;4,  18; 15; 12

B   , C2; 2; 4

A. H0; 3; 0 B. H0;3; 0 C. H1;3; 1 D H1; 3; 0

Câu 43. xyz A 7; 4; 1,B1;3; 7, 1; 1; 4

C  , D2; 6;12 V

A. 917

6

V  B. 917

3

V  C. 1093

6

V  D 1093

3 V 

Câu 44. Oxyz b A a , 0, ; B 0, , ;b  C 0, 0,c , ,

a b c sai?

A. é OA OB OC, ,

B. Tam giác ABC b

C. ABC b a b2 2b c2 2c a2

D. OABC b abc

Câu 45. xyz A4; 1; 2 ,B3;2; 1,  7; 2; 3

C   , D4; 1; 1 

A. B. 10 C. D 18

Câu 46. xyz b A1m; 5m 7; m, B3; 0; 1 ,  1; 5; 1

C  , D11; 5;2 b 27

A. m 1 B. m1 C. m2 D m 2

Câu 47. xyz A4; 1; 2 ,B3;2; 1,  7; 2; 3

A. 74

74 B.

27 74

74 C.

9 129

43 D

9 129 86

Câu 48. Tron xyz A 7; 4; 1,B1;3; 7, 1; 1; 4

C  , D2; 6;12

A. 131 611

611 B.

262 611

611 C.

2186 611

4277 D

4372 611 4277

Câu 49. xyz M 3; 2; 4 z, Ozx t

A. 32 B. C. 16 D 8

Câu 50. xyz M8;2; 3

A. 217

217 B.

8 217

217 C.

16 217

217 D

24 217 217

Câu 51. xyz 5; 14; 1

A  , B8; 1; 2 , C2;2; 1, D1; 1; 3 

A. H6; 1;   B. H6; 1;  C. H6; 1;   D H6; 1;   

Câu 52. xyz  2; 5; 9

A   , B4; 3; 15 , C11; 2; 1, D5; 13; 6

A. I1; 1;   B. I1; 1;  C. I1; 1;   D I1; 1; 

Câu 53. xyz 2; 2;6

A , B 2; 1; 9, C1;2;5, D2; 2; 8 b

A. R B. R3 C. R13 D R169

Câu 54. xyz  11; 7; 10

A    , B3;9;4, C13; 1; 4 , D5; 0; 5 V

Câu 55. Trong không gian v xyz

7x5y3z 1

A. 3; ; 2 m  

  B. c7;5;3  C. h14;10;6  D f    7; 5;3 

Câu 56. xyz

3

x y z  q

A. 5; 1; M   

  B.

1 5;1;

5 N  

  C.

1 5; 1;

5 K  

  D

1 5;1;

5 H 

 

Câu 57. xyz

2

x y z 

A. 3x3y4z 6 B.   x y 2z 3

C. 2x2y4z 6 D 5x5y10z250

Câu 58. xyz

2

x y z 

A. x   y z B. 4x   y z C. x2y 6 D 4x   y z

Câu 59. xyz, cho  Q : 2x3y  z nP

A. nP 3; 2;0   B. nP 3;2;0  C. nP 2;3;0  D nP 2; 3;0  

Câu 60. xyz   :x2y3z 4 0,   :x2y  z

A.     / /  B.      

C. n 1; 2;3  

D   q M2;7;  

Câu 61. xyz  P : 4x   y z

1 1

; ; , ; ;

2 4

A    B   

A. nP 4; 1;    B. AB P

C. AB/ / P D (P) q E1; 2;11  

Câu 62. xyz, cho hai  P :x  y z 100,  Q :x3y2z0 M7;12;5 , N 6;13;6

A.    P  Q B. MN / / Q C.    P / / Q D M P

Câu 63. xyz x2y2z 3 0,m1 x m5y4mz  1 m

A. m1 B. m 1 C.

3

m D

3 m 

Câu 64. xyz b  P : 2x   y z 0,  Q : 2x   y z 0,  R : 3x5y z 170 é :

A. B.

C. D Câu 65. xyz

   2

2x3y  z 0,mx m 1 y 3 m z  m

A. m2 B.

2

m  C. 2,

2

m m  D 1, m

2

m  

Câu 66. xyz, cho

     

3 0, 11

x   y z m x m  m y m z 

A. m1,m 5 B. m 1,m5 C. m1,m5 D m 1,m 5

A. qua M B. q C  P / / Q qua M D.  P / / Q q

Câu 68. xyz 3x2y  z 0, 2x2y2z 15

A. q B.    P  Q q

C    P  Q q D.    P / / Q qua M

Câu 69. xyz – x 2 0,z 3

A.    P  Q q B.  P Ox  Q Oz

C    P  Q q D.  P Ox  Q / /Oxy

Câu 70. H2, 1, 2   hình O  P  Q :x  y     P , Q  ?

A.  600 B.  450 C 300 D. 900

Câu 71. xyz b A3; 2; 1 , B 4; 2; 5, 1; 1; 2

C  q b V

A. 4x y 7z170 B. 4x y 7z170

C 4x y 7z170 D. 4x y 7z170

Câu 72. xyz M1; 4; 7  V

A. 28x7y4z0 B. x7y4z280

C. 28x7y4z280 D 28x7y4z 1

Câu 73. xyz K4; 1; 1 V (ABC)

A. x4y4z 8 B. x4y4z 8

Câu 74. xyz M8;2; 3 V (ABC)

A. 3x2y8z240 B. x12y8z240

C. 3x12y8z0 D 3x12y8z240

Câu 75. xyz q : – – V

A. 2x   y z B. 2x   y z C. 2    x y z D     2x y z

Câu 76. xyz M5; 1; 3 , N7; 5; 1  V

A. 2x4y2z 5 B. 2x4y2z 5

C. x2y z 100 D x2y z 100

Câu 77. xyz M5; 1; 3 , N7; 5; 1  MK 2KN V b

A. x2y z 120 B. x2y z 120 C. x2y z 120 D x2y z 120

Câu 78. xyz M5; 1; 3 , N7; 5; 1  V

A. 2x4y2z150 B. 2x4y2z 3

C. x2y z 160 D x2y z 180

Câu 79. xyz, b A3,1, ,  B1,1, 2, C1, 2, 2 

q x2y2z 1 ắ IB2IC

A.   2x y 2z 5 B. 2x   y z

C. 2x  y z 100 D   2x y 2z100

Câu 80. xyz, q 3, 0, ,

A I1,1,1 ắ Oy Oz, OC3OB

A. x3y  z B. 2x   y z

Câu 81. xyz – – – – – q V

A. 2x  y z B. 2x   y z C. 2x  y z 100 D 2x  y z 100

Câu 82. xyz –

– – q V

A. 4y3z 1 B. 4x3y 1 C. 4y3z170 D 4x3y 2

Câu 83. xyz q –3)

V

A. 3x2z0 B. 3x2z0 C. 3x2z 2 D 3x2z 2

Câu 84. xyz q –

V

A. 2x2y 1 B. 2x2z 1 C. x y D x y

Câu 85. xyz q –

V

A. 3y2z 1 B. 3y2z0 C. 3y2z0 D 3y2z 1

Câu 86. xyz

– – – q V

A. 3x2y 7 B. 3x2y 1 C. 2y3z130 D 2y3z 5

Câu 87. xyz M5; 1; 3 , N7; 5; 1  : – q V

A. 7x2y3z420 B. 7x2y3z420

C. 7x2y3z460 D 7x2y3z460

Câu 88. xyz A1; 1; 2 , B2; 1; 1  q V

A. 3y2z 1 B. 3y2z 7 C. 3y2z 1 D 3y2z 7

Câu 90. xyz ắ 7;0;0

A , B0;9;0, C0;0; 2 

A.

7

x y z

   

B. nP 7;9;  

C 18x + 14y – 63z – 126 = D q D7;9;  

Câu 91. xyz b A1;1; 2 , B1;2; 1 , C1;1;2,  1; 1;2

D   V

A. x  y z B. x   y z C. 2x   y z D x2y2z 1

Câu 92. xyz b A1; 3;7 , B2; 6;12 , 4; 1; 1

C   , D1;0; 1  V

A. 33x8y3z360 B. x16y6z 7

C. 33x8y3z320 D x16y6z 7

Câu 93. xyz b A1; 2;7, B0; 2; 3 , 4; 1; 2

C   , D1; 2; 5  q V

A. 2x8y  z 11 B. 2x8y z 110

C. 2x8y z 210 D 2x8y z 210

Câu 94. xyz, cho – – – – q

A. 2x2y z 180 B. 2x2y z 320

C. 2x2y z 360 D 2x2y z 240

Câu 95. Trong xyz – –

– – – q

A. x2y3z300 B. x2y3z 3

Câu 96. xyz – b

3 V

A. x2y2z 7 0,x2y2z 5 B. x2y2z 7

C. x2y2z 7 0,x2y2z 5 D x2y2z 7 0, x2y2z 5

Câu 97. xyz

– V b b

A. x2y  z B.x2y  z 0,x2y z 100

C. x2y  z 0, x2y z 100 D x2y z 100

Câu 98. xyz : – b

9 V

A 5x   y z 0, 5x   y z B.5x   y z 0, 5x   y z

C. 5x   y z 0, 5x   y z D 5x   y z 0, 5x   y z

Câu 99. xyz   :x   y z   b 11

3 V

A x  y z 100, x  y z 120 B.x  y z 100, x  y z 120

C. x  y z 100, x  y z 120 D x  y z 100, x  y z 120

Câu 100. xyz :

1 2

x y z

d    



A. m1; 2;  B. 1; 1;

a   

  C. u   1; 2;2  D. v  1; 2; 

Câu 101. xyz

 

: 1, , ,

d x t y  t z  t t

Câu 102. xyz :

2

x y z

d     



A. M5; 8;   B. N1; 6;  C. T 7; 9;  D. V1; 5; 10 

Câu 103. xyz  

1

:

2020

x t

d y t t

z

  

   

   

?

A. q M1; 3;0  

B.

C ' :

1

x y z

d     

D. ad 3; 7;0 

Câu 104. xyz

 

: 1, , ,

d x t y t z  t t

A. M  2; 2;  B. N1; 2;  C. T7; 4;9  D. V4; 2;5 

Câu 105. xyz

 

: , , ,

d x t y  t z  t t

A.  P :10x2y7z 1 B.  P : 4x  y z 150

C.  P :x2y2z 1 D.  P : 2x4y8z 7

Câu 106. xyz :

2 12

x y z

d    

A.  P :x3y6z 1 B.  P : 3x  y z 120

C.  P :x2y2z 5 D.  P :x3y8z 7

Câu 107. Trong khô xyz A3; 2;4, B1; 1; 9  V p

A.

1 13

x t

y t

z t

  

    

   

B.

1 13

x t

y t

z t

  

    

   

C.

1 13

x t

y t

z t

  

    

   

D.

1 13

x t

y t

z t

  

    

Câu 108. xyz q ud   1;2; 2  V

A.

1 2

x y z

 

  B.

1

1 2

x y z

 

C.

1 2

x  y  z

  D

1

1 2

x  y  z



Câu 109. xyz : 1

2

x y z

  



3

' :

2

x y z

  



A. ∆ ∆’ é B. ∆ ắ ∆’ C.   ' D ∆ ∆’

Câu 110. xyz :

2

x y z

  

 

' : x t, y t, z 12 4t, t

        

A. ∆ ∆’ é B.   ' C. ∆ ắ ∆’ D   '

Câu 111. xyz :

7

x y z

  



' : x t, y 1, z t, t

      

A. ∆ ∆’ é B.   ' C. ∆ ắ ∆’ D   '

Câu 112. xyz :

2

x y z

  



: – 4y + 14z – = ?

A.   P B. / / P C.   P D ∆ ắ

Câu 113. xyz :

2

x y z

  



: – 4y + 14z – = Tro

A.   P B. / / P C.   P D ∆ ắ

Câu 114. xyz :

3

x y z

  

(P): –3x – 2y – z + 10

A.   P B. / / P C.   P D ∆ ắ

Câu 115. xyz : – y – –

12

A. ad 2;2;1

B. nP 1; 1; 1  

C. D d  P

Câu 116. xyz : – –

d : 1

10

x  y  z

, d' :x 3 t y,  2 ,t z2t3,t é sau:

’

A. B.

C. D

Câu 117. xyz –

1

:

4 1

x y z

  

  V q

∆

A. d :

4 1

x  y  z

  B.

7

d :

4 1

x  y  z

 

C. d :

4 1

x  y  z

  D

7

d :

4 1

x  y  z

 

Câu 118. xyz –

 

: x ,t y ,t z 5t 1,t

        V q

∆

A. d : 1

4

x  y  z

 B.

1

d :

4

x  y  z

 

C. d : 1

4

x  y  z

 D

1

d :

4

x  y  z

 

Câu 119. xyz –1;–

 P : 5x3y z 120 V q

A. d : 1

5

x y z

 

  B.

1

d :

5

x y z

 

 

C. d : 1

5

x y z

 

  D

1

d :

5

x y z

 

Câu 120. xyz – –  P :x3y4z 1 V q

A. d :

1

x y z

 

  B.

2

d :

1

x y z

 

 

C. d :

2

x y z

 

  D

1

d :

2

x y z

 

 

Câu 121. xyz, 1;2;3 ,  3; 5; ,  1; 4; 1

A B  C    V

A. d : 1

2

x y z

 

 B.

1

d :

2

x y z

 

C. d : 1

2

x y z

  D d : 1

2

x y z

 



Câu 122. xyz, – –  P :x   y z 0, Q : 3x2y z 110 q V

A. d :

1

x  y  z

 B.

1

d :

1

x  y  z



C. d :

1

x  y  z

  D

1

d :

1

x  y  z



Câu 123. xyz  1;2; , 5; 1; ,  1; 1;1 , 3;2; 1

A   B  C  D 

V

A. d :

1

x  y  z

B. d :

1

x  y  z

C. d :

1

x  y  z

 D

1

d :

1

x  y  z



Câu 124. xyz – –

A. : 3

2

x y z

  

  B.

2 3

:

2

x y z

  

 

C. : 3

2

x y z

  

 D

2 3

:

2

x y z

  



Câu 125. xyz – –

 P : 4x   y z d :

1

x  y  z

 ∆ q

V ∆

A. :

1

x y z

  

 B.

5

:

1

x y z

  



C. :

1

x y z

   D :

1

x y z

  

Câu 126. xyz, cho (1;1;–1)

 P : 2x2y  z d :x 1 t y;  4 ; zt  1 t, t  ∆ q V ∆

A. : 1

4

x y z

  

 B.

1 1

:

4

x y z

  

C. : 1

4

x y z

   D : 1

4

x y z

  



Câu 127. xyz – –

 

d :x 5 t y; 2 ; zt  3t t , d ' :

5 1

x y z

 

 ∆ q

’ V ∆

A. :

5 14 11

x y z

   B. :

5 14 11

x y z

  



C. :

5 14 11

x y z

  

 D

1

:

5 14 11

x y z

  

Câu 128. xyz – –

1 1

d :

4

x y z

A.  

3

:

3 x t y t z t              

B.  

3

:

3 x t y t z t             

C.  

3

:

3 x t y t z t             

D  

3

:

3 x t y t z t             

Câu 129. xyz  P :x2y  z  Q : 2x2y3z110 V

A. d :

4

x  y  z

B. d :

4

x  y  z



C. d :

4

x  y  z

D d :

4

x  y  z



Câu 130. xyz  P :x   y z  Q :x2y3z 8 V

A. d : 1

5

x  y  z

 B.

3 1

d :

5

x  y  z



C. d : 1

5

x  y  z

  D

3 1

d :

5

x  y  z

 

Câu 131. xyz  P :x2y  z

:

2

x y z

   ắ ∆ V

A. : 1

5

x y z

d      B. : 1

5

x y z

d     

 

C. : 1

5

x y z

d     

 D

1 1

:

5

x y z

d     



Câu 132. xyz  P :x   y z

: 5

3

x y z

   , ' :

2

x y z

  



ắ ∆ ∆’ V

A. : 1

1

x y z

d     

 B.

1

:

1

x y z

d     



C. : 1

1

x y z

d      D : 1

1

x y z

Câu 133. Trong khôn d: x y z

2

  

 

P: x y z   1 V ắ  q A(1;1; 2) , song song ( )P d

A. 1

2

: y z

d x    

 B.

1

1

:

1

d x  y  z

 

C. d:x1y1z2

2 D

     

x y z

d: 1

2

Câu 134. , V ắ d ,d b 1 2

(P): 4x 3y 11z 26 0     d :1 x y z & d : 2 x y z

1 1

   

   



A. x y z

5

  

 

  B.

   



x y z

4

C.     

 

x y z

4 11 D

   



x y z

4 11

Câu 135. xyz –

5

:

4 1

x y z

  

  ,

1 1

' :

2

x y z

   q

∆ ắ ∆’ V

A. :

1 2

x y z

d      B. :

1 2

x y z

d     

 

C. :

1 2

x y z

d      D :

1 2

x y z

d     

Câu 136. xyz

10 15

:

7

x y z

   , ' : 1

3

x y z

  

 q

∆ ắ ∆’ V

A. : 1

1 1

x y z

d     

  B.

1

:

4

x y z

d     

 

C. : 1

1 1

x y z

d     

  D

1

:

4

x y z

d     

 

Câu 137. Oxyz –

1

:

3

x y z

  

  P :x2y2z150 q

A. : 1

4 1

x y z

d     

  B.

1

:

4

x y z

d     

 

C. : 1

4 1

x y z

d     

 D

1

:

4

x y z

d     

 

Câu 138. xyz V –1;4;–2

1

:

5

x y z

  

  P : y z 20170 q

V ắ ∆ V

A. :

17 6

x y z

d     

  B.

1

:

4 1

x y z

d     

C. :

17 6

x y z

d     

  D

1

:

4 1

x y z

d     

Câu 139. Trong không gian v xyz, cho 1: 10

2

x y z

d     

 ,

2

1

:

1

x y z

d      : – ắ d1 d2 V

A. :

3

x y z

d      B. :

3

x y z

d     



C. :

3

x y z

d     

 D

4

:

3

x y z

d     

Câu 140. xyz T4;10;14

 

1: , 10, ,

d x  t y  t z  t t , 2:

1

x y z

d     

q ắ d1,d2 V

A. : 10 14

4

x y z

d      B. : 10 14

4

x y z

d     



C. : 10 14

4

x y z

d     

  D

4 10 14

:

4

x y z

d     



Câu 141. xyz U27;8;84

1

1 1

:

2

x y z

d     

 ,d2:x 1 ,t y 3t 1, z12 ,t t 

A. : 27 84

4 12

x y z

d     

 B.

27 84

:

4 12

x y z

d     



C. : 27 84

4 12

x y z

d     

  D

27 84

:

4 12

x y z

d     

Câu 142. xyz V3;3; 8 

1

1 1

:

2

x y z

d     

 q V ắ

1,

d Oz V

A. : 3

1

x y z

d     

 B.

3

:

1

x y z

d     

C. : 3

1

x y z

d     

  D

3

:

1

x y z

d     



Câu 143. xyz K14;7;26

1

3

:

2

x y z

d      q ắ

1,

d Oy V

A. : 14 26

7 13

x y z

d      B. : 14 26

7 13

x y z

d     



C. : 14 26

7 13

x y z

d     

 D

14 26

:

7 13

x y z

d     

 

Câu 144. xyz  P : 2x2y5z200

1

:

2

x y z

d     , 2: 1

4

x y z

d      ắ d1,d2 V

A. :

2

x y z

d     

 B.

4

:

2

x y z

d     

C. :

2

x y z

d      D :

2

x y z

d     



Câu 145. xyz  P : 7x12y23z 1

3

:

2

x y z

d    

 ,

2 1

:

1

x y z

d     



A. : 11

7 12 23

x y z

d    

  B.

5 11

:

7 12 23

x y z

d    



C. : 11

7 12 23

x y z

d    

 D

1 11

:

7 12 23

x y z

d     

 

Câu 146. xyz b 1:

2

x y z

d    

 ,

2

2 1

:

1

x y z

d     

 , d3:x4t2, y 5t 1, z  9 t 1, t 

ắ d1,d2 d3 V

A. : 7 12

4

x y z

d     

 B.

7 12

:

4

x y z

d     



C. : 7 12

4

x y z

d      D : 7 12

4

x y z

d     

 

Câu 147. Oxyz : 2

1

x y z

d     

 

 

:

P x y m z m

A. m 1 B. m1 C

8

m  D. 1;

8 m m 

Câu 148. xyz

3 2

:

4

x y z

d     

 ,

 

2: 15 , , 2,

d x  t y t z t t ắ d1 , Ox d2 V

A. :

3

x y z

d   

 B.

8

:

3

x y z

d   



C. :

3

x y z

d   

 D

8

:

3

x y z

d   



Câu 149. xyz 1: 4

1

x y z

d     

 ,

2

2

:

1 2

x y z

d    

 ∆

1 ,

d d ∆ d1,d2 ∆ ắ

1 ,

A. :

8

x y z

  

 B.

4

:

9

x y z

  



C. :

2

x y z

   D :

2

x y z

  

Câu 150. xyz 1: 2

7

x y z

d    

 ,

 

2: 16 , 4, 4,

d x   t y t z t t ∆ d1 ,d2 ∆ d1 ,d2 ∆ ắ

d1 ,d2 V ∆

A. :

1

x y z

  

 B.

3

:

1

x y z

  

C. :

1

x y z

  

 D

3

:

1

x y z

  

Câu 151. xyz

2 2

1

196

2

x y z

         

     

      b

A. 1; 3; , 14

2

I    R

  B.

1

; ; , 196

2

I    R

 

C. 1; ; , 14 2

I  R

  D

1

; ; , 196 2

I  R

 

Câu 152. xyz

2 2

6 11

x y z  x y  b

A. I3;4;0 , R6 B. I 3; 4;0 , R6

C. I6;8;0 , R6 D I3; 4;0 ,  R6

Câu 153. xyz ’

  2  2 2

1 16

x  y  z  , x2 y2z22x8y8z240

A. ’ I' 1;4;4  b R'3

B. q –1;7;–6)

Câu 154. xyz

2 2

0

x y z     x y z b

A. 1; ; ,

2 2 I   R

  B.

1 1

; ; , 2

I  R

 

C. 1 1; ; , 2

I  R

  D

1 1

; ; , 2

I   R

 

Câu 155. xyz

2 2

2 2

x y z  x y z  : – 3y – 6z + :

A. ắ B.

C. – – b D – b

Câu 156. xyz

2 2

6

x y z  x y  : – – – :

A. ắ n B.

C. – b D – b

Câu 157. xyz

2 2

2

2

x y z   x y z  : – – – :

A. ( 1; 1;

2

I   

  b

B. (P)

C. ắ b D (P) nP2;2; 1 

Câu 158. xyz

  2  2 2

1 2

x  y  z  : – – – :

Câu 159. xyz   2  2 2

9 49

x  y  z  :

2

x y z

d     

:

A. b B. ad 2; 3; 6

C. d ắ b D

Câu 160. xyz

2 2

2

x y z  x y z  : 18

1

x y z

d     

:

A. – b B. q K3; 5; 18

C. ắ D

Câu 161. xyz, cho I(1;–2; q M(–1;0;1) V

A. x1 2  y2 2 z22 9 B. x1 2 y2 2 z22 9

C. x1 2 y2 2  z22 9 D x1 2  y2 2  z22 3

Câu 162. xyz, cho A1;2;3  P : x   y z V

A. x1 2 y2 2 z32 9 B. x1 2 y2 2 z32 3

C. x1 2  y2 2  z32 9 D x1 2  y2 2  z32 3

Câu 163. xyz A4; 11;5   P : 3x12y4z 5 V

A. x4 2  y11 2 z52 13 B. x4 2  y11 2 z52 169

C. x4 2  y11 2  z52 169 D x4 2 y11 2  z52 13

Câu 164. xyz I1;0;7 q K( – V

A. x12 y2 z72 13 B. x12 y2 z72 169

Câu 165. xyz H2;12; 1  V

A. x2 2 y12 2 z12 144 B. x2 2 y12 2 z12 12

C. x2 2  y12 2  z12 144 D x2 2  y12 2 z12 12

Câu 166. xyz V26; 12;2015  V (S)

A. x26 2  y12 2  z20152 676 B. x26 2  y12 2  z20152 26

C. x26 2 y12 2  z20152 676 D x26 2 y12 2  z20152 26

Câu 167. xyz M2; 4; 6   V

A. x2 2  y4 2  z62 6 B. x2 2  y4 2  z62 36

C. x2 2 y4 2  z62 36 D x2 2 y4 2  z62 6

Câu 168. xyz   S : x1 2 y2 2 z32 9 M3;0;2 V

A.  P : x y z 4   0 B.  P : x y z 4   0

C.  P : x y z 8   0 D  P : x y z 8   0

Câu 169. xyz   S : x32 y2 z2 49 : – –

A. M5; 1;    B. M6; 1;1   C. M3;2;   D M3;5;  

Câu 170. Trong xyz M4; 1; , N 2; 2; 3 V

A.    

2

2 2

: 49

2

S x y  z 

  B.    

2

2 2 49

:

2

S x y  z 

 

C.    

2

2 2

:

2

S x y  z 

  D    

2

2 2

:

2

S x y  z 

 

A.   : 1 2 2 2 12 169

S x  y  z  B.   : 1 2 2 2 12 169

S x  y  z 

C.   : 1 2 2 2 12 13

S x  y  z  D   : 1 2 2 2 12 13

S x  y  z 

Câu 172. xyz K9;3;7

:

2

x y z

d      V

A.   S : x9 2  y3 2  z72 49 B.   S : x9 2  y3 2 z72 7

C.   S : x9 2  y3 2 z72 49 D   S : x9 2  y3 2 z72 7

Câu 173. xyz I0; 3;2  d:x 2 t y;  3 ;t z 4 ,t t  V

A.  S :x2 y2 z2 6y4z630 B.  S :x2 y2z2 6y4z630

C.  S :x2 y2 z2 6y4z610 D  S :x2 y2 z26y4z630

Câu 174. xyz T1; 2;3 , V 1; 0;2 V V

A.    

2

2

:

2

S x  y z  

  B.    

2

2

:

2

S x  y z  

 

C.    

2

2

:

2

S x  y z  

  D    

2

2

:

2

S x  y z  

 

Câu 175. xyz : 2

3

x y z

d     



T1; 2; , K 7; 1; 3  q V

A.   S : x1 2  y4 2  z12 49 B.   S : x1 2 y4 2  z12 49

C.   S : x1 2 y4 2  z12 49 D   S : x1 2 y4 2  z12 49

Câu 176. xyz B1; 2; , T 4; 6; 2  q V

A.    2 2

:

S x  y z  B.    2 2

: 36

S x  y z 

Câu 177. xyz B2; 2; 3 , C 1;2; 6  q V

A.  S :x2 y2 z2 8z 7 B.  S :x2 y2 z2 4z 7

C.  S :x2 y2 z2 8z250 D  S :x2 y2z24z250

Câu 178. xyz K2; 0; 2 , H 1;1;2 q V

A.  S :x2 y2 z2 2y 8 B.  S :x2 y2 z2 2y 8

C.  S :x2 y2 z2 2y 8 D  S :x2 y2 z22y 8

Câu 179. xyz, : – – – b 0; 1;13 , 1; 2; 11 ,  8;6;4

M  N   K  q b V

A.  S :x2 y2 z2 8x4y2z1480 B.  S :x2y2z22x2y4z190

C.  S :x2 y2 z2 2x4y2z 2 D  S :x2 y2z22x6y8z 1

Câu 180. xyz b E3;0; 1 , F6; 4; 2  , 7; 1;2

G  q b V

A.   S : x7 2 y22z2 25 B.   S : x5 2  y22 z2 9

C.     2 2

: 36

S x  y z  D     2 2

: 49

S x  y z 

Câu 181. xyz b A2;4; 3 , B6;9;6, C3;5;9 q b V

A.  S :x2 y1 2 z22 9 B.  S :x2 y7 2  z32 49

C.  S :x2 y2 2 z52 169 D  S :x2 y6 2  z12 36

Câu 182. xyz, cho b A1; 1;2 , B1;3;0, C3;1;4 q b V

A.   S : x52 y2z12 11 B.   S : x72 y2 z62 11

   2 2  2

        2 2  2

Câu 183. xyz b A6;2;1, B2;4;3, C4;0;5, 0;0;1

D q V

A.  S :x2 y2 z2    x y z 340 B.  S :x2 y2 z2 6x2y4z 3

C.  S :x2 y2 z2 4x y 190 D  S :x2 y2 z22y z 460

Câu 184. xyz 5;0; 1

A  , B2;2; 8 , C7;2; 3 , D0; 5; 1   V (S)

A.   S : x1 2 y1 2 z22 38 B.   S : x4 2 y1 2  z42 27

C.   S : x4 2 y1 2  z52 38 D  S :x2 y1 2 z22 27

Câu 185. xyz, cho : – – : – – : 14

3

x y z

d      V

A.  S :x2 y2 z2 10x28y6z 1 B.   S : x8 2 y21 2  z52 9

C.  S :x2 y2 z2 2x2z 7 D   S : x2 2 y7 2 z12 49

Câu 186. xyz, cho : – 3y – 6z + = 0, (Q): 6x + 3y – 2z – d:x 1 t y,  1 t z,  11 ,t t  V b

A.   S : x4 2 y2 2  z172 16 B.   S : x1 2 y1 2 z112 169

C.   S : x2 2 y4 2 z52 144 D   S : x1 2 y3 2  z72 49

Câu 187. xyz : – 2y + z – 10 d:x4t1, y2t3,z  t 6,t  V

A.  S :x2 y2 z2 2x6y12z 7 B.  S :x2y2z22x16y8z 2

C.  S :x2 y2 z2 6x4y12z 5 D  S :x2 y2 z26x10y14z340

Câu 188. xyz –

2

:

2 1

x y z

A.  S :x2 y2 z2 6x2y4z 3 B.  S :x2y2z26x2y4z 1

C.  S :x2 y2 z2 6x2y4z 2 D  S :x2 y2z26x2y4z 1

Câu 189. xyz – –

 

: , , ,

d x t y   t z   t t ắ MN  102 V

A.   S : x1 2 y1 2 z22 27 B.   S : x1 2 y1 2  z22 37

C.   S : x1 2 y1 2 z22 28 D   S : x1 2 y1 2  z22 38

Câu 190. xyz  P : 12x3y4z 1  Q : 2x2y  z φ b cos 

A. cos

3

 B. cos 39

  C. cos

 D cos 26 39

 

Câu 191. xyz  P : x   y z  1; 3; 7

K    d K P , 

A. , 

3

d K P   B d K P ,   C. , 

d K P   D ,  3 d K P  

Câu 192. xyz, ch  P : x  y z 150  Q : x   y z α b cos 

A. cos

3

  B. cos

  C. cos

  D cos

2

 

Câu 193. xyz, :

2

x y z

d    



 P : 2x2y  z b

3 b

A. M1;2;0  B M3;3;   C. M1;1;7  D M5;4; 14  

Câu 194. xyz φ φ b  P : x2y2z 3

A. sin

  B. sin

3

 C. sin

  D sin 2

Câu 195. xyz

: 3 , , ,

d x  t y t z   t t g  P : x  y z 140 b , b

A. M0;0;7  B. M3;1;   C. M 6; 2;25  D M 3; 1;16 

Câu 196. xyz φ φ b  P : 2x3y6z 1 ng Oxz

A. tan 10

20

 B. tan 10

10

 C. tan 10

5

  D tan 10

3

 

Câu 197. xyz  P : x y 2z 3 b b –2

A. K9;0;0  B. K3;0;0  C. K4;0;0  D K7;0;0 

Câu 198. xyz  P : 2x   y z b b –

A. T0;19;0  B. T0; 9;0   C. T0; 5;0   D T0; 11;0  

Câu 199. T xyz, cho :

5

x y z

d     

 P : 2x3y4z170

A. b

B. b

C. b

D b

Câu 200. xyz φ i φ b  P : x y 5z 7

A. cot

9

  B. cot 26

26

 C. cot 78

9

  D cot 26

A. sin

  B sin

  C. sin

  D sin 2

 

Câu 202. xyz cosφ φ b  P : 2x3y6z170

A. cos

7

 B cos 10

7

 C. cos 10

 D cos 40 49



Câu 203. xyz φ b

1

:

2

x y z

d     ' : 1

1

x y z

d     

 tan 

A. tan 17 B. tan 66

6

 C. tan 66 11

  D tan 102 17

 

Câu 204. xyz  P : x  y z 120 d:x 3 ,t yt z,  2 t t,   α b sin

A. sin

3

  B. sin

  C. sin

   D sin

 

Câu 205. xyz  P : x   y z

: 17

3

x y z

d      φ b sin

A. sin

21

  B. sin

 C. sin 10

  D sin

15



Câu 206. xyz φ φ b  P : x y 5z 2

A. tan 26 B. tan 78

9

 C. tan

  D tan 26

26

 

Câu 207. xyz :

1

x y z

  



 2; 4; 3

M  ∆

A. M,  826

d   B. M,  826

14

d  

Câu 208. xyz :

7

x y z

  

1; 8; 7

K ∆

A. dK,  11 B dK,  22 C. K,  22 22

d   D K,  11

11

d  

Câu 209. xyz ng d :

1

x y z

 



1; 1; 1

H  

A. H,  107

3

d d  B H,  107

6

d d  C. dH,d 107 D H,  107

d d 

Câu 210. xyz d : 1 14

1

x  y  z



 2; 6; 1

M 

A. dM,d B M, 

6

d d  C. dM,d3 D dM,d6

Câu 211. xyz :

1

x y z

  



3

' :

3

x y z

  

 ∆ ∆’

A.  , ' 19

19

d    B.  , ' 19

d    C. d  , ' 19 D d  , ' 19

Câu 212. xyz :

1

x y z

  



3

' :

3

x y z

  

 b ∆ ∆’ cos

A. cos

14

  B. cos 14

  C. cos 14

  D cos

14

 

Câu 213. xyz :

2

x y z

  

 

' :x 4t 3, y ,t z 12t t

       b ∆ ∆’

cos

A. cos 75

91

 B. cos 73 91

  C. cos 71 91

  D cos 69 91

Câu 214. xyz

1

:

2

x y z

   ' :x4t3, y 1 ,t z12t t  

A.  , ' 10

10

d    B.  , ' 10 10

d    C.  , ' 11 10 10

d    D  , ' 17 10 10 d   

Câu 215. xyz  P : 3x5y  z

d : 12

4

x y z

  T

A. M21; 40;12  B. M21;40;12 C. M21;40; 12  D M21;40; 12 

Câu 216. xyz d :

3

x  y  z

 

1;7;3

A V b q

A.  P : 3x2y z 140 B.  P : 3 x 2y z 140

C.  P : 3x2y z 110 D  P : 3 x 2y z 110

Câu 217. xyz  P : 2x3y  z 11     2  2 2

: 14

S x  y  z 

A. M0;3;2  B. M1;1;6  C. M3;1;2  D M2;2;1 

Câu 218. xyz  P : 2x3y  z 3;5;0

A V q

A. :

2

x y z

d    

 B.

3

:

2

x y z

d    



C. :

2

x y z

d    

  D

3

:

2

x y z

d    

 

Câu 219. xyz  P : x   y z d :x 3t 7, y2t5,z 6t 17,t 

Câu 220. Trong không xyz  P : 3x5y  z

d : 12

4

x y z

  V

A. 5x y 6z0 B. 5x y 6z 2 C 5x y 6z 7 D.5x y 6z170

Câu 221. xyz d :

1

x  y z



1

d' :

2

x  y  z

 V ’

A.  P y: 2z 2 B.  P y: 2z 2 C  P y: 2z 2 D.  P y: 2z 2

Câu 222. xyz A1; 1;2 ,  B 2; 1;0 

d : 1

2 1

x y z

 



b

A M5; 3;2   B. M1; 1;0   C M1;0;   D. M11; 6;5  

Câu 223. xyz A  1; 1; , B 0;1;1 : – q V

A.  P :x2y  z B.  P :x   y z

C  P : 2x   y z D.  P : 3x y 2z0

Câu 224. xyz d :

3

x  y  z

 

1;7;3

A AB2 30 b

A. B3; 3;    B. B6; 1;    C B0; 5;0   D. B 9; 11;3 

Câu 225. xyz, cho   S : x2 2  y1 2 z32 49 : – – ắ b r 2 10 V (Q)

A. 2x2y z 140 , 2x2y  z B. 2x2y z 140 , 2x2y  z

Câu 226. xyz,

1

2

2 :

    

 x y z

: x + 2y – 3z + = 0 V d cho d ắ ∆

A. d : 1

1

x y z

 

  B.

3 1

d :

5

x y z

 

C d : 1

3

x y z

  D d : 1

8

x y z

  

Câu 227. xyz  S :x2y1 2  z22 5

ng d : 1

1 1

x y z

  ắ b 20 V

A  P :x   y z B.  P :x y 5z110

C  P :x2y  z D  P :x2y3z 8

Câu 228. xyz

 P : 2x y 2z100 ắ b V

A.  S :x2y2z24x2y6z 11 B.  S :x2 y2 z24x2y6z 7

C  S :x2y2z24x2y6z 1 D  S :x2 y2 z24x2y6z 9

Câu 229. xyz b –2;3), C(1;1;1 q b

3 V

A. x   y z 0, 23x37y17z230 B. x   y z 0, 23x37y17z230

C x   y z 0, 23x37y17z230 D x   y z 0, 23x37y17z0

Câu 230. xyz  P : 2x3y z 550 1; 1;0

A 

A. H 9; 11; 106  B. H9;11; 4  C H1;1; 50  D H20;5;0

A.   S : x12 y2 z2 17 B.   S : x5 2  y2 2 z42 17

C   S : x3 2 y2 2 z42 17 D   S : x1 2 y1 2  z22 17

Câu 232. xyz  P : 2x3y  z 3;2; 1

M  H

A. H1; 1;0  B. H1;1;2 C H  1; 1; 4 D H1;1;6

Câu 233. Trong không xyz M7;1; 1 , N 2; 2;2

  2

:

S x y z  y z q ắ b V

A  P :x   y z B.  P :x y 5z110

C  P :x2y  z D  P :x2y3z 8

Câu 234. xyz :

7

x y z

  

1; 8; 7

K ∆

A. 10; 5; 1   B. 11;10;8  C 4; 5;  D 18;15;11 

Câu 235. xyz,

1

2

:

2 1

x y z

d     



1 1

:

1

x y z

d     

 V ∆

q ắ

A. : 1

3

x y z

  

 B.

1

:

1

x y z

  

 

C : 1

2

x y z

   D : 1

1

x y z

  



Câu 236. xyz d :

1

x  y  z



1; 1; 1

B   T C

A. C0; 0;2 B. C1;2;3 C C2; 0; 2 D C1; 2; 1

Câu 237. xyz d :

1

x  y  z



 2; 6; 1

M  q T

Câu 238. xyz  P : x2y5z190  3; 7; 6

E  q

A. F25;3;2 B. F23; 3; 4   C F1; 5;4 D F31; 5; 6  

Câu 239. xyz  P : 6x3y2z 1

  2

: 11

S x  y z  x y z  ắ

A. 1; 1; J  

  B.

5

; 5;

2

J  

  C.

1 0; 0;

2 J  

  D

3 13 ; ; 7

J 

 

Câu 240. xyz M5; 2; 7

  2

: 2

S x  y z  x y z  q ắ b KH2 V

A. :

4

x y z

d     

  B.

5

:

8

x y z

d     

C. :

2

x y z

d      D :

1

x y z

d     



Câu 241. xyz  P : x2y  z 0; 0; 2

C q

A. D2; 2; 4 B. D2; 2; 4   C D6;4;4 D D8; 10; 22 

Câu 242. xyz  P : x y 2z 3

:

3

x y z

  



ắ ∆

A. d : 1

9

x  y  z

B. d : 1

9

x  y  z



C d : 1

9

x  y  z

D d : 1

9

x  y  z



Câu 243. xyz A1; 1;1 ,  B 1;2;3

d : 1

2

x  y  z

 ’ q

A. d' : 1

4

x  y  z

B. d' : 1

2 1

x  y  z

C d' : 1

7

x  y  z

D d' : 1

5 13

x  y  z

 

Câu 244. xyz A2;1;1, B 3; 1;2

d :

1

x  y  z



b b

A. M1;4;   B. M  3; 2;  C M0;7;   D M2;1;  

Câu 245. xyz A1;0; 1 

1

d :

2

x  y  z



A. H1; 1;0   B. 7; 3;

5 5

H   

  C

5 1

; ;

3 3 H   

  D H 1; 3;1 

Câu 246. Trong không xyz  P : 2x y 4z130

:

4

x y z

  



ắ ∆

A. d : 5

11 18 10

x y z

  B. d : 5

11 18 10

x y z

 

C d : 5

11 18 10

x  y  z

 D

5

d :

11 18 10

x  y  z



Câu 247. xyz, 1:x3t, yt, zt

2

1

2 :

2

z y

x   

 M ∆1 M ∆2

b b

A. M5;2;2  B. M6;3;3  C M7;4;4  D M4;1;1 

Câu 248. xyz, cho hai –1;2;3), B(1;0;– : 2x + y – 3z – =

Câu 249. Trong không gian xyz   S : x1 2  y1 2  z12 1

d :

18 10

x y z

 

 q K24; 12;1 

V

A. x2y2z 2 0; 2x3y6z 6 B.   x y 8z 2 0; 2x3y6z 6

C x2y2z 2 0; 2x3y6z 6 D x2y2z 2 0; 2x3y6z 6

Câu 250. xyz :

2 1

x y z

d    

 P :x y 2z 5 v A1; 1;2  ∆ ắ V ∆

A. : 1

2

x y z

  

 B.

1

:

2

x y z

  

C :

2

x y z

   D :

2

x y z

  

Câu 251. Oxyz, : –2y +2z –

2 1

3

1 : ,

9

1

:

1 

     

   

 x y z x y z ∆1

∆2 b b

A. M1;0;   B. M2;3;9  C M  2; 1; 15  D M0;1;  

Câu 252. xyz  P : 2x   y z 2;0;1 , 0; 2;3

A B  AM BM 3 b

A. 12; ; 7 M 

  B. M5;11;3  C M7; 1;19   D M0;1;3 

Câu 253. xyz, :

1

x y z

d    

0;0;3

I ắ V

A.  : 2  32

3

S x y  y  B.  : 2  32

3

S x  y  y 

C  : 2  32

3

S x y  y  D  : 2  32

Câu 254. xyz A0;0;3 , M1;2;0 q ắ V

A.  P :6x3y4z120 B.  P : 2x   y z

C  P :x   y z D  P :x4y7z210

Câu 255. xyz A4;4;0  S : x2  y2 z2 4x4y4z0 V b

A. x  y z 0, x  y z B. x  y z 0, x  y z

C x2y2z0, x  y z D x  y z 0,x2y2z 0

Câu 256. xyz  P :x   y z

:

1

x y z

d    

 

MI 4 14 b

A. M2;3;2  B. M 3; 7;13  C M 1; 2;6  D M 1; 7;11 

Câu 257. xyz

1

3

1

: x  y  z



: x – y + 2z ∆ b b V

A.   S : x5 2 y11 2  z22 1;  S : x1 2  y1 2 z12 1

B.   S : x5 2 y11 2  z22 1;  S : x1 2  y1 2 z12 1

C   S : x5 2 y11 2  z22 1;  S : x1 2  y1 2 z12 1

D   S : x5 2 y11 2 z22 1;  S : x1 2  y1 2  z12 1

Câu 258. Oxyz, cho A(1;2;3)

2

2 :

   

 y z

x

d

V ∆ q A, d ắ x.

A. :

2

x y z

   B. :

2

x y z

  



C :

2

x y z

  

 D

1

:

2

x y z

Câu 259. Oxyz,

1

1

1

:  

  

 y z

x

d V

–3) ắ d A, B sao cho

26



AB

A. x1 2 y2 2  z32 16 B. x1 2 y2 2  z32 9

C x1 2 y2 2  z32 18 D x1 2 y2 2  z32 25

Câu 260.  :

1

x y z

  

 hai

-2; 1; 1); B (-3; -   cho tam giác b

A M2;1; 5  M14; 35;19  B M1;4; 7  M3;16; 11 

C M2;1; 5  M3;16; 11  C M1;4; 7  ho M14; 35;19 

Câu 261. Oxyz A0;1;0 , B(2;2;2)

3

:

1

x y z

  

  cho  ấ

A 26 7; ; 9

M 

  B

36 51 43

; ;

29 29 29

M 

  C M4; 1;7  D

5 25

; ;

13 13 13

M  

 

Câu 262. Oxyz, A(0;1;0), (2;2;2), ( 2;3;1)B C 

1

:

2

x y z

d     

 T d b

A 1; 5;

2

M  

  M5;4; 7 B

5 19

; ;

3 3

M  

 

7 11 17

; ;

5 5

M  

 

C 5; 19;

3 3

M  

  M3; 0; 1  D

3

; ;

2

M  

 

15 11

; ;

2

M  

 

Câu 263.  1

3 :

x t

y t z t

  

   

  

 2

2

:

2

x y z

   M 1 M

2

C M10;7;7 M0; 3; 3   D M  2; 5; 5 M1; 2; 2  

Câu 264. Oxyz  :

2 1

x y z

  

  P x: 2 y z C  P), M  b

6

MC

A M1;0; 2  M5;2; 4  B M3;1; 3  M 3; 2;0

C M1;0; 2  M 3; 2;0 D M3;1; 3  M  1; 1; 1

Câu 265.  :

2

x y z

   M

M Δ b OM

A M1;0;0 M2;0;0 B M3;0;0 M1;0;0

C M1;0;0 M2;0;0 D M4;0;0 M2;0;0

Câu 266.  P : – x y – z 

1:

1

x y z

   , 2:

2

x y z

  

 M

1 M 2 M (P)b

A M1;2;3 1; ; 57

7 7

M  

  B M0;1; 3 

18 53

; ;

35 35 35

M 

 

C M2;3;9 11 4; ; 111

15 15 15

M  

  D M  2; 1; 15 M1;2;3

Câu 267.

    

   

1 :

z t y

t x

A(1,0,1) Tìm 

A E1; 2;3 , 2 2, ,1

5

F   

  B

1 2

, ,1

5

E   

  ,

1 2

, ,1

5

F   

 

C 2 2, ,1

5

E   

  ,F1; 2;3 D

1 2

, ,1

5

E   

  F1; 2;3

Câu 268. Oxyz, M(1;1;0),

1 1

1

2

:  

   

 x y z

(P):x yz20 A (P) b

A A( 1;1; 4) 23 17; ; 7

A 

  B A(1;1;4)

23 17

; ;

7 7

A  

 

C A(1;1; 4) 23 8; ; 17

7 7

A  

  D

23 17

; ;

7 7

A 

  A1; 2;3

Câu 269.  P :x   y z

3;3;1 , 0;2;1

A B b

A I A B I3;1;1 C 2; ;18 I 

  D

3 ; ;1 2 I 

 

Câu 270. Oxyz A(1;2;1) , 1 1 :     

 x y z

2

1

:

2  

 

 x y z M, N 1 2 MN A 1

A M(1; 2; 5), N(2; 3; 4). B M(1; 0; 1), N( 2; 3; 4)

C M( 1; 2; 5), N(2; 3; 4). D M( 1; 0; 1),  N( 2; 3; 4)

Câu 271. Oxyz, (P):2xy2z90 ), ; ; ( 

A B(1;5;0) M P) cho MA.MB ấ

A M( 1; 3; 4)   B M(2;1;3) C M1; 13;1  D M( 2; 1; 3)  

Câu 272. Oxyz,

2

4

1

:x y z

d   

 

A(1;2;7), ) ; ; ( ), ; ; ( C

B M d cho MA2MB2MC2 ấ

A M(1,3, 2) B M( 1; 4;0) C M3,5,2 D M(0; 1;3)

Câu 273. xyz, tìm Ox

 

:

1 2

x y z

d      P : – – x y z

A M3;0;0 B M3;0;0 C M2;0;0 D M2;0;0

Câu 274. xyz –

1

x y z

A M( 1;0;4) B M2; 3; 2   C M1; 2;0  D M3; 4; 4  

Câu 275. Oxyz :

1 1

x y z

d   A(0;0;3), (0;3;3)

B : MA MB ấ

A 1 1; ; 2 M 

  B

3 3 ; ; 2 M 

  C

2 2 ; ; 3 M 

  D M  1; 1; 1

Câu 276. Oxyz (4;3;9), (2;1;5)A B

:

3

x t

d y t

z t           

d cho MAMB ấ

A M2; 5;0  B M3; 10; 3   C M1;0;3 D M1;10;6

Câu 277. Oxyz A1;1;2 , B 0; 1;3 ,  C 2; 3; 1   , : x y t z t          

 cho:

2 19

MA MB  MC 

A M1;2; 1  M1;2; 1  B M1;0;3 1; 1;4 M  

 

C 1; ;1

3 M 

 

1 1; ;5

2 M 

  D M1;2; 1 

1

1; ;4

2 M  

 

Câu 278. Oxyz A0;0;2 , B 1; 1;1 ,  C 2;2; 1  ,

:

2 1

x y z

    cho:

2

MA MB MC ấ

A 7; ; 3 M 

  B

7

; ;

3 3

M  

  C

1 2; ;

2 M 

  D M3;1;3

Câu 279. Oxyz 1:

2 1

x y z

d   



1

x t

d y t

z t          

d1 d2 ấ

A 1; ;1 , 1;0;0 2

M  N

C 2;0;1 , 1; ;

2 2

M N  

  D

1 1

1; ; , ; ;

2 3

M  N  

   

Câu 280.

1

1

:

2 1

x y z

d    

 ,

1

:

2

x t

d y t

z t

  

    

   

d1 d2

b

A M0;1; ,  N 3; 5;4  B M2;2; ,  N 2; 3;3 

C M0;1; ,  N 0;1;1 D M0;1; ,  N 2; 3;3 

Câu 281.

 P :x  y z 200 CD

A 3; ;1

2 D 

  B

5 ; ; 3 D 

  C

5 ; ; 2 D  

  D D1;4;6

Câu 282. Oxyz A0;1;1,B1;0; 3 ,C  1; 2; 3

  2

: 2

S x y z  x z  D  S ABCD ấ

A 4; ;

3 3 D  

  B

4 1; ;

3 D 

  C

7

; ;

3 3

D   

  D D1; 4;0

Câu 283. Oxyz  S :x2y2 z2 4x2y6z 5  P : 2x2y z 160 M  S N

 P ắ ấ MN M N,

A 0; 3; , 4; 13 14;

3 3

M  N  

  B M2; 2; ,  N  4; 4;0

C M0; 3; ,  N  4; 4;0  D M0;1; ,  N 2; 3;3 

Câu 284. Oxyz, cho b A0,0,a B, 0, ,0 ,b  C0,0,c

b 1

a  b c q

M M

A 1 1; ; 3 M 

  B

1 1 ; ; 2 M 

  C M0,1,1 D M2;0; 1 

A C2,3, 7  B C1,1, 1  C C0, 0,3 D C1, 1, 5  

Câu 286. Oxyz, cho b A1,2,3 , B 1, 4,2   P x y z:    1 b

A 1 B 0 C 2 D 4

Câu 287. Oxyz, cho A2,0,1 , B 0, 2,3   P : 2x y z   4 MA MB 3

A M0,1,3 12 7 7, ,

M 

  B M0,1,3

6 12 7 7, ,

M   

C M0,1,3 12 7 7, ,

M 

  D M0,1,3

6 12 7 7, ,

M   

Câu 288. Oxyz, cho A2,0,1 , B 0, 2,3  V

q OI ấ

A x1 2 y1 2 z 3235 B x1 2 y 1 2 z 32 35

C x1 2 y 1 2 z 32 35 D x1 2 y 1 2 z 32  35

Câu 289. Oxyz, cho b A1,1,2 , B 4,1,2 , C 1,4,2

tam giác MAABC

M ABC x y  4

A M1,1,8 M1,1, 4  B M1,1,3 h M1 4, , 

C M0,1,3 M1,1, 4  D M0,1,3 M1,1,8 BẢNG ĐÁP ÁN CÁC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án

1 B C A A

5 C B B A

9 B 10 C 11 B 12 C

13 A 14 C 15 B 16 A

17 C 18 C 19 A 20 C

21 A 22 D 23 D 24 B

25 D 26 B 27 A 28 C

29 C 30 B 31 C 32 C

33 D 34 A 35 C 36 C

37 A 38 C 39 C 40 B

45 C 46 A 47 B 48 A

49 D 50 D 51 B 52 B

53 B 54 A 55 A 56 C

57 D 58 D 59 B 60 A

61 C 62 C 63 A 64 C

65 A 66 B 67 A 68 B

69 C 70 D 71 B 72 C

73 A 74 D 75 C 76 D

77 C 78 C 79 A 80 D

81 D 82 A 83 B 84 C

85 C 86 A 87 B 88 A

89 C 90 C 91 A 92 B

93 A 94 B 95 C 96 C

97 A 98 D 99 A 100 B

101 D 102 A 103 D 104 C

105 B 106 B 107 B 108 A

109 D 110 D 111 A 112 B

113 A 114 C 115 C 116 B

117 C 118 C 119 C 120 B

121 D 122 A 123 B 124 C

125 B 126 D 127 B 128 B

129 B 130 A 131 D 132 A

133 D 134 A 135 A 136 D

137 D 138 C 139 B 140 C

141 D 142 A 143 A 144 D

145 B 146 B 147 B 148 C

149 C 150 B 151 A 152 D

153 D 154 D 155 B 156 A

157 C 158 C 159 C 160 D

161 B 162 A 163 B 164 D

165 C 166 A 167 B 168 B

169 C 170 B 171 A 172 C

173 B 174 D 175 A 176 D

177 A 178 A 179 A 180 B

181 B 182 C 183 B 184 A

185 C 186 D 187 D 188 A

189 D 190 A 191 A 192 B

193 C 194 B 195 A 196 D

197 B 198 C 199 B 200 B

201 C 202 C 203 B 204 B

205 A 206 D 207 B 208 B

209 C 210 C 211 A 212 B

213 C 214 C 215 D 216 A

217 B 218 B 219 C 220 B

229 A 230 B 231 D 232 A

233 C 234 C 235 D 236 A

237 D 238 C 239 D 240 A

241 B 242 C 243 C 244 D

245 C 246 B 247 C 248 C

249 C 250 D 251 D 252 D

253 B 254 A 255 B 256 B

257 B 258 A 259 D 260 A

261 B 262 D 263 A 264 C

265 C 266 B 267 B 268 B

269 D 270 A 271 D 272 A

273 A 274 A 275 B 276 C

277 D 278 B 279 A 280 C

281 C 282 C 283 A 284 B

285 A 286 C 287 A 288 A