Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O.. Tính kho ng cách gi a IK và AD.[r]
(1)Tác gi : ThS Đoàn Vả ương Nguyên CHUYÊN Đ Ề
GI I HÌNH H C KHÔNG GIAN B NGẢ Ọ Ằ
PHƯƠNG PHÁP T A ĐỌ Ộ
I PHƯƠNG PHÁP GI I TOÁNẢ
Đ gi i để ả ược toán hình khơng gian b ng phằ ương pháp t a đ ta c n ph i ch n h tr c t aọ ộ ầ ả ọ ệ ụ ọ đ thích h p L p t a đ đ nh, m liên quan d a vào h tr c t a đ ch n đ dài c nhộ ợ ậ ọ ộ ỉ ể ự ệ ụ ọ ộ ọ ộ c a hình.ủ
Ta thường g p d ng sauặ 1 Hình chóp tam giác a D ng tam di n vngạ ệ
Ví d 1.ụ Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đơi m t vng góc Đi m M c đ nhộ ể ố ị thu c tam giác ABC có kho ng cách l n lộ ả ầ ượ ết đ n mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) 1, 2, Tính a, b, c đ th tích O.ABC nh nh t.ể ể ỏ ấ
Hướng d n gi iẫ ả Ch n h tr c t a đ nh hình v , ta có:ọ ệ ụ ọ ộ ẽ
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) d[M, (OAB)] = Þ zM =
Tương t ự Þ M(1; 2; 3) pt(ABC): xa +yb +zc =1
1
M (ABC)
a +b +c =
ẻ ị (1)
O.ABC
V abc
6
= (2)
3
1 3
(1)
a b c a b c
= + +
Þ ³
1abc 27
Þ ³
(2)
1 V 27
a b c
= = = =
Þ Û
(2)Ví d ụ T di n S.ABC có c nh SA vng góc v i đáy ứ ệ DABC vuông t i C Đ dài c a cácạ ộ ủ c nh SA = 4, AC = 3, BC = G i M trung m c a c nh AB, H m đ i x ng c a C quaạ ọ ể ủ ể ố ứ ủ M
Tính cosin góc ph ng nh di n [H, SB, C]ẳ ị ệ
Hướng d n gi iẫ ả Ch n h tr c t a đ nh hình v , ta có:ọ ệ ụ ọ ộ ẽ
A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) H(1; 0; 0)
mp(P) qua H vng góc v i SB t i I c t đớ ắ ường th ng SC t i K, d th y ẳ ễ ấ
[H, SB, C] = (IH, IKuur uur) (1) SBuur = -( 1; 3; 4)- , SCuur =(0; 3; 4)- suy ra: ptts SB:
x t y 3t z 4t ìï =
-ïï
ïï = -íï
ïï =
ïïỵ
, SC:
x y 3t z 4t ìï =
ïï
ïï = -íï
ïï =
ïïỵ
và (P): x + 3y – 4z – =
(5 15 3) ( 51 32)
I ; ; , K 0; ; 8 25 25 Þ
IH.IK cos[H, SB, C]
IH.IK
=
Þ
uur uur = …
Chú ý: N u C H đ i x ng qua AB C thu c (P), ta khơng c n ph i tìm K.ế ố ứ ộ ầ ả
Ví d ụ (trích đ thi Đ i h c kh i A – 2002) Cho hình chóp tam giác đ u S.ABC có đ dài c nh đáyề ọ ố ề ộ a G i M, N trung m SB, SC Tính theo a di n tích ọ ể ệ DAMN, bi t (AMN) vng góc v iế (SBC)
(3)G i O hình chi u c a S (ABC), ta suy Oọ ế ủ tr ng tâm ọ DABC G i I trung m c aọ ể ủ BC, ta có:
3 a AI BC
2
= =
a a OA , OI
3
= =
Þ
Trong mp(ABC), ta v tia Oy vng góc v i OA.ẽ Đ t SO = h, ch n h tr c t a đ nh hình v taặ ọ ệ ụ ọ ộ ẽ được:
O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A a 3; 0; ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ çè ø a I ; 0;
6
ổ ửữ
ỗ
-ị ỗỗố ữữứ, B a a; ;
ỉ ư÷
ỗ- ữ
ỗ ữ
ỗố ứ,
a a C ; ;
6
ổ ửữ
ỗ- - ữ
ỗ ữ
ỗố ứ,
a a h M ; ;
12
ổ ửữ
ỗ- ữ
ỗ ữ
ỗố ứ
v N a 3; a h; 12
ỉ ư÷
ỗ- - ữ
ỗ ữ
ỗố ứ
2
(AMN) ah 5a
n AM, AN ; 0; 24
ỉ
é ự ỗ ữ
= =
ị r ờởuuur uuurỳỷ ốỗỗ ữữứ,
2
(SBC) a
n SB, SC ah; 0;
ỉ ư÷
ộ ự ỗ
= ờởuur uurỳỷ ỗố= -ỗ ữữứ
r
2
2
(AMN) (SBC) AMN
5a a 10
(AMN) (SBC) n n h S AM, AN
12 D é ù 16
^ Þ r r = Þ = Þ = êëuuur uuurúû= 2 Hình chóp t giácứ
a) Hình chóp S.ABCD có SA vng góc v i đáy đáy hình vng (ho c hình ch nh t) Ta ch nớ ặ ữ ậ ọ h tr c t a đ nh d ng tam di n vuông.ệ ụ ọ ộ ệ
b) Hình chóp S.ABCD có đáy hình vng (ho c hình thoi) tâm O đặ ường cao SO vng góc v i đáy.ớ Ta ch n h tr c t a đ tia OA, OB, OS l n lọ ệ ụ ọ ộ ầ ượt Ox, Oy, Oz Gi s SO = h, OA = a, OB = b ta cóả O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h)
c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình ch nh t ABCD AB = b ữ ậ DSAD đ u c nh a vng góc v iề đáy G i H trung m AD, (ABCD) ta v tia Hy vng góc v i AD Ch n h tr c t a đọ ể ẽ ọ ệ ụ ọ ộ Hxyz ta có:
H(0; 0; 0), A(a; 0; , B) (a; b; 0)
2 ( ) ( )
a a a
, C ; b; , D ; 0; , S 0; 0;
2 2
ỉ ư÷
ỗ
- - ỗ ữữ
ỗố ứ
3 Hình lăng tr đ ngụ ứ
Tùy theo hình d ng c a đáy ta ch n h tr c nh d ng trên.ạ ủ ọ ệ ụ
Chú ý
+ Hình chóp tam giác đ u có đáy tam giác đ u c nh bên b ng nhau, nh ng không nh t thi tề ề ằ ấ ế ph i b ng đáy Chân đả ằ ường cao tr ng tâm c a đáy.ọ ủ
+ T di n đ u hình chóp tam giác đ u có c nh bên b ng đáy.ứ ệ ề ề ằ
(4)II CÁC D NG BÀI T PẠ Ậ
1 CÁC BÀI TỐN V HÌNH CHĨP TAM GIÁCỀ
Bài (trích đ thi Đ i h c kh i D – 2002) Cho t di n ABCD có c nh AD vng góc (ABC), AC =ề ọ ố ứ ệ AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính kho ng cách t đ nh A đ n (BCD).ả ỉ ế
Bài Cho ABCD vng t i A có đạ ường cao AD AB = 2, AC = Trên đường th ng vng gócẳ v i (ABC) t i A l y m S cho SA = G i E, F trung m c a SB, SC H hình chi uớ ấ ể ọ ể ủ ế c a A EF.ủ
1 Ch ng minh H trung m c a SD.ứ ể ủ
2 Tính cosin c a góc gi a hai m t ph ng (ABC) (ACE).ủ ữ ặ ẳ Tính th tích hình chóp A.BCFE.ể
Bài Cho hình chóp O.ABC có c nh OA = OB = OC = 3cm vng góc v i t ng đơi m t.ạ ộ G i H hình chi u c a m O lên (ABC) m A’, B’, C’ l n lọ ế ủ ể ể ầ ượt hình chi u c a H lênế ủ (OBC), (OCA), (OAB)
1 Tính th tích t di n HA’B’C’.ể ứ ệ
2 G i S m đ i x ng c a H qua O Ch ng t S.ABC t di n đ u.ọ ể ố ứ ủ ứ ỏ ứ ệ ề
Bài Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đơi m t vng góc G i ộ ọ a b g l n l, , ầ ượt góc nhị di n c nh AB, BC, CA G i H hình chi u c a đ nh O (ABC).ệ ọ ế ủ ỉ
1 Ch ng minh H tr c tâm c a ứ ự ủ DABC Ch ng minh ứ 2 2
1 1
OH = OA +OB +OC Ch ng minh ứ cos2a +cos2b+cos2g= 1. Ch ng minh ứ cosa +cosb+cosg £
Bài Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vng góc v i t ng đơi m t G i M, N,ớ ộ ọ P l n lầ ượt trung m BC, CA, AB.ể
1 Tính góc j gi a (OMN) (OAB).ữ
2 Tìm u ki n a, b, c đ hình chi u c a O (ABC) tr ng tâm ề ệ ể ế ủ ọ DANP
3 Ch ng minh r ng góc ph ng nh di n [N, OM, P] vuông ch ứ ằ ẳ ị ệ ỉ 2 1 a = b +c Bài Cho hình chóp S.ABC có ABCD vng cân t i A, SA vng góc v i đáy Bi t AB = 2,ạ ế
·
(ABC),(SBC) =60 Tính đ dài SA.ộ
2 Tính kho ng cách t đ nh A đ n (SBC).ả ỉ ế Tính góc ph ng nh di n [A, SB, C].ẳ ị ệ
Bài Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vng góc v i t ng đơi m t.ớ ộ Tính bán kính r c a m t c u n i ti p hình chóp.ủ ặ ầ ộ ế
2 Tính bán kính R c a m t c u ngo i ti p hình chóp.ủ ặ ầ ế
Bài (trích đ thi Đ i h c kh i D – 2003) Cho hai m t ph ng (P) (Q) vng góc v i nhau, giaoề ọ ố ặ ẳ n đế ường th ng (d) Trên (d) l y hai m A B v i AB = a Trong (P) l y m C, (Q)ẳ ấ ể ấ ể l y m D cho AC, BD vng góc v i (d) AC = BD = AB Tính bán kính m t c u ngo iấ ể ặ ầ ti p t di n ABCD kho ng cách t đ nh A đ n (BCD) theo a.ế ứ ệ ả ỉ ế
Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông t i B, AB = a, BC = 2a C nh SA vng gócạ v i đáy SA = 2a G i M trung m c a SC.ớ ọ ể ủ
1 Tính di n tích ệ DMAB theo a
2 Tính kho ng cách gi a MB AC theo a.ả ữ Tính góc ph ng nh di n [A, SC, B].ẳ ị ệ
(5)1 Ch ng minh HK vng góc v i CS.ứ
2 G i I giao m c a HK BC ọ ể ủ Ch ng minh B trung m c a CI.ứ ể ủ Tính sin c a góc gi a SB (AHK).ủ ữ
4 Xác đ nh tâm J bán kính R c a m t c u ngo i ti p S.ABC.ị ủ ặ ầ ế
Bài 11 Cho hình chóp S.ABC có ABCD vng t i C, AC = 2, BC = C nh bên SA = vngạ góc v i đáy G i D trung m c nh AB.ớ ọ ể
1 Tính cosin góc gi a hai đữ ường th ng AC SD.ẳ Tính kho ng cách gi a BC SD.ả ữ
3 Tính cosin góc ph ng nh di n [B, SD, C].ẳ ị ệ
Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác đ u c nh a SA vng góc v i đáy ề SA =a
1 Tính kho ng cách t đ nh A đ n (SBC).ả ỉ ế
2 Tính kho ng cách gi a hai đả ữ ường th ng AB SC.ẳ
Bài 13 Cho hình chóp tam giác đ u S.ABC có đ dài c nh đáy a, đề ộ ường cao SH = h M t ph ngặ ẳ ( )a qua AB vng góc v i SC.ớ
1 Tìm u ki n c a h theo a đ ề ệ ủ ể ( )a c t c nh SC t i K.ắ ạ Tính di n tích ệ DABK
3 Tính h theo a đ ể ( )a chia hình chóp thành hai ph n có th tích b ng Ch ng t r ngầ ể ằ ứ ỏ ằ tâm m t c u n i ti p ngo i ti p trùng nhau.ặ ầ ộ ế ế
2 CÁC BÀI TỐN V HÌNH CHĨP T GIÁCỀ Ứ
Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng c nh a, SA = a vng góc v i đáy G i E làạ ọ trung m CD.ể
1 Tính di n tích ệ DSBE
2 Tính kho ng cách t đ nh C đ n (SBE).ả ỉ ế
3 (SBE) chia hình chóp thành hai ph n, tính t s th tích hai ph n ầ ỉ ố ể ầ
Bài 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng c nh a C nh bên SA vng góc v i đáy vàạ SA = a
1 Tính kho ng cách t đ nh C đ n (SBD).ả ỉ ế
2 Tính kho ng cách gi a hai đả ữ ường th ng SD AC.ẳ Tính góc ph ng nh di n [B, SC, D].ẳ ị ệ
Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng c nh 3cm C nh bên SA vng góc v i đáy vàạ SA = 2cm Mp( )a qua A vng góc v i SC c t c nh SB, SC, SD l n lớ ắ ầ ượ ạt t i H, M, K
1 Ch ng minh AH vuông góc v i SB, AK vng góc v i SD.ứ ớ Ch ng minh BD song song v i ứ ( )a
3 Ch ng minh HK qua tr ng tâm G c a ứ ọ ủ DSAC Tính th tích hình kh i ABCDKMH.ể ố
Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình ch nh t, AB = a, AD = b C nh bên SA vng góc v iữ ậ đáy SA = 2a G i M, N trung m c nh SA, SD.ọ ể
1 Tính kho ng cách t A đ n (BCN).ả ế Tính kho ng cách gi a SB CN.ả ữ
3 Tính góc gi a hai m t ph ng (SCD) (SBC).ữ ặ ẳ Tìm u ki n c a a b đ ề ệ ủ ể cos CMN·
3
= Trong trường h p tính th tích hình chópợ ể S.BCNM
Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng c nh a ạ DSAD đ u vng góc v i (ABCD).ề G i H trung m c a AD.ọ ể ủ
1 Tính d(D, (SBC)), d(HC, SD)
(6)Bài 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O SO vng góc v i đáy ớ SO =2a 3, AC = 4a, BD = 2a M t ph ng ặ ẳ ( )a qua A vuông góc v i SC c t c nh SB, SC, SD t i ắ ạ B ', C', D'
1 Ch ng minh ứ DB ' C ' D ' đ u.ề
2 Tính theo a bán kính m t c u n i ti p S.ABCD.ặ ầ ộ ế
Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình ch nh t v i AB = a, AD = 2a Đữ ậ ường cao SA = 2a Trên c nh CD l y m M, đ t MD = m ấ ể ặ (0 £ m £ a)
1 Tìm v trí m M đ di n tích ị ể ể ệ DSBM l n nh t, nh nh t.ớ ấ ỏ ấ Cho m a
3
= , g i K giao m c a BM AD Tính góc ph ng nh di n [A, SK, B].ọ ể ủ ẳ ị ệ
3 CÁC BÀI TỐN V HÌNH H P – LĂNG TR Đ NGỀ Ộ Ụ Ứ
Bài 21 Cho hình l p phậ ương ABCD.A’B’C’D’ c nh a G i I, K, M, N l n lạ ọ ầ ượt trung m c aể ủ A’D’, BB’, CD, BC
1 Ch ng minh I, K, M, N đ ng ph ng.ứ ẳ Tính kho ng cách gi a IK AD.ả ữ Tính di n tích t giác IKNM.ệ ứ
Bài 22 (trích đ thi Đ i h c kh i A – 2003) Cho hình l p phề ọ ố ậ ương ABCD.A’B’C’D’ Tính góc ph ngẳ nh di n [B, A’C, D].ị ệ
Bài 23 Cho hình l p phậ ương ABCD.A’B’C’D’ c nh a Tìm m M c nh AA’ cho (BD’M)ạ ể c t hình l p phắ ậ ương theo thi t di n có di n tích nh nh t.ế ệ ệ ỏ ấ
Bài 24 Cho hình l p phậ ương ABCD.A’B’C’D’ c nh a Ch ng minh A’C vng góc v i (AB’D’).ứ Tính góc gi a (DA’C) (ABB’A’).ữ
3 Trên c nh AD’, DB l y l n lạ ấ ầ ượt m M, N th a AM = DN = k ể ỏ (0< k < a 2) a Ch ng minh MN song song (A’D’BC).ứ
b Tìm k đ MN nh nh t Ch ng t MN đo n vng góc chung c a AD’ DB.ể ỏ ấ ứ ỏ ủ Bài 25 Cho hình h p ch nh t ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2, AD = 4, AA’ = Các m M, N th aộ ữ ậ ể ỏ
AMuuur = mAD, BNuuur uuur = mBB' (0uuur ££m 1) G i I, K trung m c a AB, C’D’.ọ ể ủ Tính kho ng cách t m A đ n (A’BD).ả ể ế
2 Ch ng minh I, K, M, N đ ng ph ng.ứ ẳ
3 Tính bán kính đường trịn ngo i ti p ế DA ' BD
4 Tính m đ di n tích t giác MINK l n nh t, nh nh t.ể ệ ứ ấ ỏ ấ
Bài 26 Cho hình l p phậ ương ABCD.A’B’C’D’ có đ dài c nh 2cm G i M trung m AB, N làộ ọ ể tâm hình vng ADD’A’
1 Tính bán kính R c a m t c u (S) qua C, D’, M, N.ủ ặ ầ
2 Tính bán kính r c a đủ ường trịn (C) giao c a (S) m t c u (S’) qua A’, B, C’, D.ủ ặ ầ Tính di n tích thi t di n t o b i (CMN) hình l p phệ ế ệ ậ ương
Bài 27 (trích đ thi Đ i h c kh i B – 2003) Cho hình lăng tr đ ng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoiề ọ ố ụ ứ c nh a, BAD· =60 0 G i M, N trung m c nh AA’, CC’ ọ ể
1 Ch ng minh B’, M, D, N thu c m t m t ph ng ứ ộ ộ ặ ẳ Tính AA’ theo a đ B’MDN hình vng.ể
Bài 28 Cho hình lăng tr đ ng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng t i A Cho AB = a,ụ ứ AC = b, AA’ = c M t ph ng ặ ẳ ( )a qua B vng góc v i B’C.ớ
1 Tìm u ki n c a a, b, c đ ề ệ ủ ể ( )a c t c nh CC’ t i I (I không trùng v i C C’).ắ ạ Cho ( )a c t CC’ t i I.ắ
a Xác đ nh tính di n tích c a thi t di n.ị ệ ủ ế ệ
(7)