Giải toán hình học không gian bằng PP tọa độ

1 Hình chóp tam giác Bài (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối A năm 2002) Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh AB = a Gọi M, N trung điểm cạnh SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC) Gợi ý: Gọi O trung điểm BC, G trọng tâm tam giác ABC, ta có z S a a a OA = , OB = OC = , OG = 2 Đặt SG = z > Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho tia Ox chứa A, tia Oy chứa B tia Oz nằm đường thẳng qua O song song với SG (xem hình vẽ) Khi x A a   a   C  −a   a A ;0;0  , B  0; ;0  , C  0; ;0  , S  ;0; z          G O a a z a a z M ; ; , N  ; − ;  B 2 y  12   12 a 15 a 10 Tính z = Suy S AMN = 16 Bài (Trích đề dự bị – ĐH Khối B năm 2007) Trong nửa mặt phẳng (P) cho đường trịn đường kính AB điểm C nửa đường trịn cho AC = R Trên đường thẳng vng góc với (P) A lấy điểm S cho góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC) 60o Gọi H, K hình chiếu A SB, SC Chứng minh tam giác AHK vng tính thể tích khối chóp S ABC Gợi ý: Ta có AC = R, BC = R Đặt SA = z > z S Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O ≡ C , tia Ox chứa A, tia Oy chứa B tia Oz nằm đường thẳng qua O H song song với SA (xem hình vẽ) Khi đó: K C ( 0;0;0 ) , A ( R;0;0 ) , B 0; R 3;0 , S ( R;0; z ) Khi tính x B 2R y  8R R R   2R 2R  A H  ; ; ;0;  K   9     R3 C Thể tích khối chóp S ABC là: VS ABC = 12 Bài (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2003) Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với nhau, có giao tuyến đường thẳng ∆ Trên ∆ lấy hai điểm A,B với AB = a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, mặt phẳng (Q) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với ∆ AC = BD = AB = a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a Gợi ý: ( ) + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ, lúc A ( a;0;0 ) , B (0;0;0), C (a; a;0), D (0;0; a ) + Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm I ( a / 2; a / 2; a / ) bán kính R = a / + Mặt phẳng (BCD) có phương trình x − y = + Khoảng cách từ A đến (BCD) a d ( A,( BCD) ) = Q D z a B P a A x y a C Bài (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M, N hình chiếu vng góc A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM Gợi ý: + Gọi O trung điểm BC Chọn hệ trục tọa độ Oxyz S z hình vẽ, lúc a   a    a  a A ;0;0  , B  0; ;0  , C  0; − ;0  , S  ;0; 2a          2a  a 2a 2a  + Tìm tọa độ điểm M, N M  ; ;  N 10 5    a 2a 2a  x N ; − ;  A C 10 5   M a O 3a 3 + Thể tích khối chóp A.BCNM VA BCNM = 50 B y Bài (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối A năm 2011) Cho hình chóp S.ABC đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a , hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60o Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Gợi ý: +Đặt SA = z > Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ, lúc đó: z S A ( 2a;0;0 ) , B ( 0;0;0 ) , C ( 0;2a;0 ) , M ( a;0;0 ) , S (2a;0; z ) + Tìm điểm N ( a; a;0 ) + Vectơ pháp tuyến (SBC) n SBC = ( − z;0; 2a ) +Vectơ pháp tuyến (ABC) n ABC = ( 0;0;1) + Từ giả thiết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60 tìm z = 2a ⇒ S 2a;0; 2a ( o ) x y N A C M 2a 39 + Suy VSBCNM = a d ( AB, SN ) = B 13 Bài (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a , mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2a SBC = 30o Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a Gợi ý: + Kẻ SO ⊥ BC , SO ⊥ ( ABC ) Tính z SO = a 3, OB = 3a, OC = a + Chọn hệ tọa độ Oxyz hình A ( 3a;3a;0 ) , B ( 3a;0;0 ) , C ( −a;0;0 ) , S 0;0; a ( vẽ, lúc S đó: ) + Tính thể tích khối chóp S.ABC VS ABC = 2a 3 y + Phương trình mặt phẳng (SAC) là: −3x + y + 3z − 3a = + Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) 6a d ( B,( SAC ) ) = C A O 4a 3a B x Bài Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt phẳng (ABC), AD = 3a, AB = 2a, AC = 4a, BAC = 60o Gọi H, K hình chiếu vng góc B AC CD Đường thẳng HK cắt đường thẳng AD E Chứng minh BE vng góc với CD tính thể tích khối tứ diện BCDE theo a Giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với A trùng với gốc tọa z độ O ( D ) A(0;0;0), B(2a;0;0), C 2a;2a 3;0 , D(0;0;3a) a a  AH = AB.cos60o = a Suy tọa độ H  ; ;0  2  y 3a ( K H A 4a C 60o E 2a ) ) phương DC nên phương trình đường thẳng DC là:  x = 2t   y = 3t Vì K thuộc DC nên K 2t;2 3t;3a − 3t  z = 3a − 3t  ( ( Ta có BK = 2t − 2a;2 3t;3a − 3t B ( DC = 2a;2 a 3; −3a suy u = 2;2 3; −3 vecto ) )  26 a 26 a 36 a  13a Vậy K  ; ;  25 25 25 25   a a   27a 27a 36 a  Vì E thuộc trục Az nên E(0;0;z) EH =  ; ; − z  ; HK =  ; ; 50 25  2   50 4a 4a Vì E, H, K thẳng hàng nên EH; HK phương, suy z = − Vậy E(0;0; − ) 3 4a 4a   EB =  a;0;  DC = 2a;2 a 3; −3a nên EB DC = 2a.2a + 0.2 a + ( −3a ) = 3   Vậy BE vng góc với CD Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) bằ ng 60o Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a Giải: Gọi O trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ Oxyz z hình vẽ S a  a   a   Ta có: A  0; ;0  , B  0; − ;0  , C  ;0;0        a a OH = ⇒ CH = CO2 + OH = x o 60 a 21 B C ⇒ SH = CH.tan 60o = H O  a a 21  ⇒ S 0; − ;   A y   a3 • VS ABC = SH.S ABC = 12 x BK DC = ⇔ t = ( )  a a 21  a a  • AB = ( 0; − a;0 ) ; SA =  0; ; − ; ;0  ;  ; BC =     2     SA; BC  =  21 a ; a2 ; − a  ⇒  SA; BC  = 24 a  SA; BC  AB = − a3       3    SA; BC  AB a3 a 42   Suy ra: d ( SA; BC ) = ☺ = = 2  SA; BC  24a   Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA = 2a, AB = a Gọi H hình chóp vng góc A cạnh SC Chứng minh SC vng góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a Giải: Gọi K hình chiếu vng góc S lên (ABC) K tâm z S tam giác ABC Gọi O trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ  a  a   a   Ta có: A  0; − ;0  , B  0; ;0  , C  0; ;0        H  a a 33  a a 33 CK = ⇒ SK = SC − CK = ⇒ S  0; ;  3   y C A  a a 33  SC =  0; ;−  ; AB = ( 0; a;0 ) 3 K   O AB.SC = ⇒ AB ⊥ SC B AB ⊥ SC  x SK.OC a 11 =  ⇒ AB ⊥ ( ABH ) ⇒ OH = SC AB ⊥ OH  Giải: a2 2a a VABCD = S ACD d ( B,( ACD) ) ⇒ S ACD = Từ tính CD = ; hA = 3 3 Gọi O trung điểm CD Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ z  a  a   a   a   B Ta có: A  0; ;0  , C  ;0;0  , D  ;0;0  , B  x; y;  vớ i y > 3 3         a Từ giả thiết BC = BD = a ta giải x = 0; y = 2   y A D Vậy B  0; a ; a   BC; BD  =  0; a ; − a      3    O n( ACD) = ( 0;0;1) ; n( BCD) = ( 0;1; −1) C x Gọi α góc hai mặt phẳng (ACD) (BCD) ( ) Ta có: cos α = cos n( ACD) ; n( BCD) = 0.0 + 0.1 + 1.(−1) 02 + 02 + 12 02 + 12 + 12 = ⇒ α = 45o Bài 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, BC = a ABC = 30o Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) tạo với đáy góc 60o Biết hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) thuộc cạnh BC Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với gốc tọa độ O z trùng điểm A S a   a  A(0;0;0), B  ;0;0  , C  0; ;0  , S ( x; y; z ) với     x > 0; y > 0; z > ; H ( x; y;0 ) với H hình chiếu vng góc của S (ABC) y x n1 = ( 0;0;1) vectơ pháp tuyến (ABC) H C B  a a  n2 =  AB; AS  =  0; − z; y  vectơ pháp tuyến 2   (SAB) A a  a n3 =  AC; AS  =  z;0; − x  vectơ pháp tuyến (SAC)  2 • cos ( ( SAB ),( ABC ) ) = • cos ( ( SAC),( ABC) ) = n1.n2 ⇔ n1 n2 n1.n3 ⇔ n1 n3 = = y z +y ⇔ z = y2 (1) x ⇔ z = x (2) z2 + x  a a  a   Từ (1), (2) ta có x = y Nên H ( x; x;0 ) Vì H thuộc BC nên BC =  − ; ;0  , CH =  x; x − ;0     2  a x− x 3a ⇔x= a phương, suy thay vào (1), ta z = = a a 1+ 1+ − 2 ( • VS ABC ) ( ( ) ) − a3 1 3a a2 = SH.S∆ABC = = ☺ 3 1+ 32 ( ) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với gốc tọa độ O trùng với điểm A Ta có A(0;0;0), B(8a;0;0), C(0;6a;0), S(x;y;z) với z>0 SA=7a ⇔ x + y + z = 49a2 (1) z S SB=9a ⇔ ( x − 8a ) + y + z = 81a2 C A B x y (2) SC=11a ⇔ x + ( y − a ) + z = 121a (3) Giải hệ (1), (2) (3), ta S(2a;-3a;6a) Suy đường cao hình chóp S.ABC h = zS = a S ABC = AB AC = 24a2 VS ABC = 48a3 Hình chóp tứ giác Bài (Trích đề dự bị – ĐH Khối B năm 2006) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAD = 60o , SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD) SA = a Gọi C’ trung điểm SC Mặt phẳng (P) qua AC ' song song với BD cắt SB, SD B ', D ' Tính thể tích khối chóp S AB ' C ' D ' Gợi ý: Gọi O giao điểm AC DB S a a z Vì tam giác ABD nên OB = OD = , OA = 2 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho tia Ox chứa A, tia Oy chứa B tia Oz nằm đường thẳng qua O song song với SA (xem hình vẽ) Khi đó: C D a   a   a   a  A ;0;0  , B  0; ;0  , C  − ;0;0  , D  0; − ;0  , 2  O        A B  x a a  y C '  0;0;  , S  ;0; a  2    a a a a a a Tìm B '  ; ;  D '  ; − ;  3 3    Thể tích khối chóp S AB ' C ' D ' là: 1 a3 a3 a3     VS AB ' C ' D ' = VS AB ' C ' + VS AC ' D ' =  SA, SC ' SB ' +  SA, SC ' SD ' = + = 6 6 6 18 Bài (Trích đề ĐH Khối B năm 2006) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, SA = a SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD) Gọi M, N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Gợi ý: +Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O ≡ A, tia Ox chứa B, tia z Oy chứa D tia Oz chứa S (xem hình vẽ) Khi đó: S ( ) ( ) A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C a; a 2;0 , D 0; a 2;0 , S ( 0;0; a ) ;  a  a a a M  0; ;0  , N  ; ;  2 2    N  a  AS ( 0;0; a ) , AC a; a 2;0 , SM =  0; ; −a  , SB = ( a;0; −a )   Vectơ pháp tuyến (SAC)  AS , AC  = −a 2; a ;0 ( M A ) ( B )  a2  Vectơ pháp tuyến (SBM)  SM , SB  =  − ; −a ;0    4 Vì  AS , AC   SM , SB  = a − a = nên ( SAC ) ⊥ ( SBM ) a a  IC BC Ta có = = ⇒ IC = −2 IA Từ tìm I  ; ;0  IA AM 3   1 a a3 Thể tích khối tứ diện ANIB VANIB =  AN , AI  AB = = 6 36 y I x D C Bài (Trích đề ĐH Khối A năm 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vng góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP Gợi ý: Gọi O trung điểm AD, SO ⊥ ( ABCD) Chọn z hệ trục tọa độ Oxyz cho tia Ox chứa A, tia Oy S chứa N tia Oz chứa S (xem hình vẽ) Khi đó:  a 3 a  a  A  ;0;0  , B  ; a;0  , N ( 0; a;0 ) , S  0;0; ,  2  2   M a a a 3  a a  P  − ; ;0  , M  ; ;   2  4  C P D  a a a 3 a   Ta có: AM =  − ; ;  , BP =  −a; − ;0     2  O N y A a B Thể tích khối tứ diện CMNP VCMNP = x 96 Bài (Trích đề ĐH Khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC Gợi ý: Gọi O giao điểm AC BD Chọn hệ trục tọa độ z Oxyz cho tia Ox chứa A, tia Oy chứa B tia Oz S chứa S (xem hình vẽ) Đặt SO=z, Khi đó: a   a   a  A ;0;0  , B  0; ;0  , D  0; − ;0  , S ( 0;0; z ) , E 2       I  a   a a  a z Ta C− ;0;0  , N  − ; ;0  , I  ;0;  , C 4 2 M D      a a  a a z E ; ; z ; M  ; ;  N O 2 2    a B x A  3a  y z a  có MN =  ;0;  , BD =  0; − ;0  4    + MN BD = ⇒ MN ⊥ BD a + Khoảng cách MN AC d ( MN , AC ) = Bài (Trích đề ĐH Khối D năm 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, ABC = BAD = 90o , AB = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Gợi ý: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O ≡ A, tia Ox chứa B, tia Oy chứa D tia Oz chứa S (xem hình vẽ) ( z S ) A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C ( a; a;0 ) , D ( 0; 2a;0 ) , S 0;0; a Tìm  2a a  H  ;0;    Phương trình mặt phẳng (SCD) là: x + y + z − 2a = a Khoảng cách từ H đến (SCD) d ( H ,( SCD) ) = H A 2a D a B x a y C Bài (Trích đề ĐH Khối B năm 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN Gợi ý: Gọi O hình chiếu S AB Ta có: z a a 3a S SO = , OA = , OB = 2 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho tia Ox chứa A, tia Oy vng góc với AB tia Oz chứa S (xem hình vẽ) Khi a N B đó: C M a   3a   3a  a  A  ;0;0  , B  − ;0;0  , C  − ;2a;0  , D  ;2a;0  , 2      2  y O A 2a D  x a 3  a   3a  S  0;0;  , M  − ;0;0  , N  − ; a;0        + Thể tích khối chóp S.BMDN VS BMDN = a3 Bài (Trích đề ĐH Khối A năm 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 60o Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Gợi ý: Từ giả thiết suy SI ⊥ ( ABCD ) Đặt SI = z > z Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O ≡ I , tia Ox chứa D, S tia Oy vng góc với AB tia Oz chứa S (xem hình vẽ) Khi đó: A ( −a;0;0 ) , B ( −a; 2a;0 ) , C ( a; a;0 ) , D ( a;0;0 ) , S ( 0;0; z ) + Từ giả thiết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 2a A B 3a 15 60o ta tìm z = I 2a y 3a 15 + Thể tích khối chóp S.ABCD VS ABCD = a D C + cosin góc hai đường thẳng SM, DN cos( SM , DN ) = x Bài (Trích đề ĐH Khối A năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN với DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a Gợi ý: Trước hết chứng minh DM ⊥ CN z 1 a S + = + = + = ⇒ DH = HD DN DC a a a a 3a + DM = ⇒ HM = DM − DH = 10 a 2a + HN = ;.HC = B 10 C + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O ≡ H , tia M a Ox chứa N, tia Oy chứa D tia Oz chứa S (xem hình H vẽ) Khi đó: A N D a   a   2a  y N ;0;0  , D  0; ;0  , C  − ;0;0  , x 10 5        3a  M  0; − ;0  , S 0;0; a 10   ( ) + Thể tích khối chóp S.CDNM VS CDNM = 5a 3 24 2a 57 19 Bài (Trích đề ĐH Khối D năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a cạnh bên SA = a, hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn AC, AC AH = Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a Gợi ý: + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O ≡ H , tia z Ox song song với tia AB, tia Oy song song với tia S AD tia Oz chứa S (xem hình vẽ) Khi đó: + Khoảng cách hai đường thẳng DM SC là: d ( DM , SC ) = a 2 a 14 SH = SA − AH = a −   = 4    a a   3a a   3a 3a  A  − ; − ;0  , B  ; − ;0  , C  ; ;0  ,   4   4   2 M a A a a 14   a 3a   D  − ; ;0  , S  0;0;    4   B x D y H C Ta có SC = SH + CH = a = AC nên tam giác SAC cân C M trung điểm SA Suy  a a a 14  a 14 M − ;− ;  Thể tích khối chóp S.BMC VS BMC = 48  8  Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD bình hành, AD = 4a, cạnh bên hình chóp a Tìm cơsin góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) thể tích khối chóp S.ABCD lớn Gợi ý: + Gọi O giao điểm AC BD; M,N z AB AD Từ giả thiết suy S SO ⊥ AC   ⇒ SO ⊥ ( ABCD) SO ⊥ BD  OA = OB = OC = OD = 6a − SO nên ABCD hình chữ nhật B Đặt ON = x > Khi OA = x + 4a SO = SA2 − OA2 = 2a − x + Thể tích khối chóp S.ABCD VS ABCD = AB AD.SO = ax 2a − x 3 x C O M A y N 4a D + Bằng cách xét hàm số f ( x) = ax 2a − x với x ∈ 0; a áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta suy VS ABCD lớn x = a Suy SO = a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi ( a   a   a   đó: B  2a; − ;0  , C  −2a; − ;0  , D  −2a; ;0  , S ( 0;0; a )       Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) cos ϕ = ***** 10 ) Hình lăng trụ tam giác Bài (Trích đề Dự bị 1- ĐH Khối A năm 2007) Cho hình lăng trụ đứng ABC A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a BAC = 120o Gọi M trung điểm cạnh CC1 Chứng minh MB ⊥ MA1 tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( A1 BM ) Giải: a) Kẻ AO ⊥ BC Ta có z BC = a + 4a − 2.a.2a cos120o = a AB AC sin120o a 21 AO.BC = AB AC sin120o ⇒ AO = = BC C1 B1 A1 21a 2a OB = AB − AO = a − = ; 49 2 5a Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ Khi  a 21   2a  A ;0;0  , B  0; ;0  ,        a 21  5a M  0; − ; a  , A1  ;0; 2a       a 21 5a  Ta có MA1 =  ; ; a  , MB = 0; a 7; − a   2 MA1.MB = 5a − 5a = ⇒ MA1 ⊥ MB ⇒ MA1 ⊥ MB OC = BC − OB = ( y B a 2a A x )  2a  b) Phương trình mặt phẳng ( A1BM ) là: 12 x − 15  y −  − 21z =   a Khoảng cách từ A đến ( A1BM ) là: d ( A,( A1BM ) ) = Bài (Trích đề dự bị – ĐH Khối D năm 2007) Cho lăng trụ đứng ABC A1B1C1 có tất cạnh a, M trung điểm đoạn AA1 Chứng minh BM ⊥ B1C tính khoảng cách hai đường thẳng BM B1C Gợi ý: Gọi O trung điểm BC chon hệ trục tọa độ Oxyz có tia Ox chứa z C1 A, tia Oy chứa C tia Oz chứa trung điểm B1C1 (xem hình vẽ) B1 Khi đó: A1 a a a  a    a   B  0; − ;0  , C  0; ;0  , M  ;0;  vµ B1  0; − ; a  a  2       a a a Ta có BC = ( 0; a;0 ) , BM =  ; ;  , B1C = ( 0; −a;0 ) 2 2  a2 a2 + BM B1C = − + = ⇒ BM ⊥ B1C 2  a a 3 +  BM , B1C  =  a ; − ;−  2   2 O C B x y a a A a3  BM , B1C  BC a 30   d ( BM , B1C ) = = 22 = 10 a 10  BM , B1C    11 Bài (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối D năm 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA ' = 2a, A ' C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A ' C ' , I giao điểm AM A ' C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) Giải: Ta có z AC = A ' C − AA '2 = a 5; BC = AC − AB = 2a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O ≡ B, tia Ox chứa A, tia Oy chứa C tia Oz chứa B’ (xem hình vẽ) Khi đó: a  B (0;0;0), A(a;0;0), C (0;2a;0), M  ; a;2a  2   2a 2a 4a  Gọi I ( x; y; z ) , IA = −2 IM ⇒ I  ; ;   3  Thể tích khối tứ diện IABC là: 1 8a 4a3  VIABC =  BA, BC  BI = = 6 C' B' M A' I 3a 2a B C a y A x  8a 4a    + Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng (IBC) Khi n =  BI , BC  =  − ;0;  phương với   n ' = ( −2;0;1) Mặt phẳng (IBC) qua B có vectơ pháp tuyến n ' = ( −2;0;1) nên có phương trình: −2 x + z = Vậy khoảng cách từ A đến (IBC) d ( A,( IBC ) ) = | −2a | = 2a (−2)2 + Bài (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối A năm 2008) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vng góc đỉnh A mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A ' ABC cosin góc hai đường thẳng AA ' B ' C ' Giải: + Gọi O trung điểm BC, H trung điểm AB, K trung z C' B' điểm AC OHAK hình chữ nhật Ta có: BC BC = AB + AC = 2a, OA = = a, OA ' = A' AA '2 − OA2 = 4a − a = a a2 a OH = OA − AH = a − = ; 2 2 B O C 3a a H OK = OA − AK = a − = x A + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho tia Ox chứa H, tia Oy chứa K tia Oz chứa A’ (xem hình vẽ) Khi đó: a a  a a   a a  A ' 0;0; a , A  ; ;0  , B  ; − ;0  , C  − ; ;0   2   2    ( 2 K y ) + Thể tích khối chóp A ' ABC VA ' ABC = ( 1 3a 3a a  A ' A, A ' B  A ' C = − − =  6 2 ) + BC = −a 3; a;0 Gọi ϕ góc AA ' B ' C ' Khi đó: cos ϕ = cos( AA ', BC ) = 12 AA '.BC = AA '.BC Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng B, góc ACB = 60o , biết AA ' = BA ' = a 7, mặt bên ( ABB ' A ') vng góc với mặt phẳng (ABC) Mặt phẳng ( ACC ' A ') tạo với (ABC) góc 60o Tính thể tích khối lăng trụ cho Gợi ý: + Gọi O trung điểm AB, M trung điểm AC Khi A ' O ⊥ AB, A ' O ⊥ OM , OM ⊥ AB x Đặt OA = x > 0, OA ' = a − x ; OM = + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho tia Ox chứa A, tia Oy z C' A' chứa M tia Oz chứa A’ (xem hình vẽ) Khi đó:  x  A( x;0;0), M  0, ;0  , A ' 0;0; a − x B'   Theo giả thiết cos ϕ = ⇒ x = 2a y x M A 4a Suy AB = 4a, BC = ; OA ' = a Thể tích khối lăng trụ C O cho B 1 4a V = S ABC OA ' = AB.BC.OA ' = 4a .a = 8a 2 Bài (Trích đề dự bị – ĐH Khối D năm 2007) Cho lăng trụ đứng ABC A1B1C1 đáy ABC tam giác ) ( vuông, AB = AC = a, AA1 = a Gọi M, N trung điểm đoạn AA1 BC1 Chứng minh MN đường vng góc chung AA1 BC1 Tính thể tích khối chóp MA1 BC1 Gợi ý: + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O ≡ A , tia Ox chứa B, z tia Oy chứa C tia Oz chứa A’ (xem hình vẽ) Khi đó: C1 A1 B ( a;0;0 ) , C ( 0; a;0 ) , A1 0;0; a , B1 a;0; a , ( ) ( )  a 2 a a a 2 C1 0; a; a , M  0;0; , N  ; ;  2 2     a a  + MN =  ; ;0  , AA1 = 0;0; a , BC1 = − a; a; a 2  MN AA1 =   ⇒ MN ⊥ AA1 MN ⊥ BC1 MN MN BC1 =  đường vng góc chung AA1 BC1 ( ) ( ) ( B1 M N ) a B A a C y x a3 12 Bài (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối D năm 2008) Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng, AB = BC = a, AA ' = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách hai đường thẳng AM , B ' C Gợi ý: + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O ≡ B , tia Ox chứa A, tia Oy chứa C tia Oz chứa B’ (xem hình vẽ) Khi đó:  a  A ( a;0;0 ) , B ( 0;0;0 ) , C ( 0; a;0 ) , A ' a;0; a , B ' 0;0; a , C ' 0; a; a , M  0; ;0    + Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' V = a3 Tính thể tích khối chóp MA1BC1 VMA1BC1 = ( ) ( ) ( 13 ) + Ta có: a   AM =  −a; ;0  , B ' C = 0; a; − a , AB ' = −a;0; a   ( ) ( z C' B' ) A'  a2  2  AM , B ' C  =  − ; − a 2; − a      + Khoảng cách hai đường thẳng AM , B ' C B  AM , B ' C  AB ' a   d ( AM , B ' C ) = =  AM , B ' C    M a C y a A x Bài (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối B năm 2009) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có BB ' = a ; góc đường thẳng BB’ mặt phẳng (ABC) 60o ; tam giác ABC vuông C BAC = 60o Hình chiếu vng góc điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A ' ABC theo a Gợi ý: Gọi G trọng tâm tam giác ABC Đặt AC = x , suy A' B' z BC = x 3, AC = x Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Ta có x x  C' A ( x;0;0 ) , B 0; x 3;0 , C ( 0;0;0 ) , G  ; ;0  3  ( )  x −2 x  x 13 BG =  ; ;0  ⇒ BG = 3 3  y a x A B G ⇒ GB ' = a − 13x C 3a 13 26 3a 13 3a 39 a 9a Vậy AC = ; BC = ; OB ' = Thể tích khối tứ diện A ' ABC VA ' ABC = 208 26 26 Bài (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối B năm 2010) Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có AB = a , góc (A’BC) (ABC) 60o Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a Gợi ý: Gọi O trung điểm BC Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho, tia z C' A' Ox chứa A, tia Oy chứa B tia Oz song song với tia AA’ (xem a   a  a   hình vẽ) Khi đó: A  ;0;0  , B  0; ;0  , C  0; − ;0    B'     Sử dụng giả thiết góc BB’ mặt phẳng (ABC) B ' BO = 60o suy x =  a 3a   a a  A ' ;0;  , G  ;0;    2  G x a3 Thể tích khối lăng trụ cho là: VABC A ' B ' C ' = 7a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC R = 12 14 C A O y B Bài 10 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có BC = 2AB, AB ⊥ BC Gọi M, N 2a trung điểm A'B' BC Khoảng cách hai đường thẳng AM B'C Góc hai mặt phẳng (AB'C) (BCC'B') 60o Tính thể tích khối chóp MABC bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B'ANC theo a Giải: z C' A' M B' y x A C N B  AM; B ' C  AC   d ( AM, B ' C ) = ⇔  AM; B ' C    Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với gốc tọa độ O trùng điểm B Đặt AB = x (x>0) BC = 2x Ta có B(0; 0; 0), C(2x; 0; 0), A(0; x; 0), N(x; 0; 0) x A'(0; x; y) (y>0), B'(0; 0; y), C'(2x; 0; y), M(0; ; y) x   AM =  0; − ; y  , B ' C = ( x;0; − y )    xy  ⇒  AM; B ' C  =  ;2 xy; x    AC = ( x; − x;0 ) −x2y = 2a ⇔ xy = a (1) x y2 x + 17 y 2 + 4x y + x AB ' = ( 0; − x; y ) AC = ( x; − x;0 ) nên  AB ', AC  = xy;2 xy;2 x nên (AB'C) có vectơ pháp tuyến ( ) n = ( y;2 y;2 x ) (vì n phương với  AB ', AC  ) (BCC'B') có vectơ pháp tuyến j = ( 0;1;0 ) cos ( ( AB ' C),( BCC ' A ') ) = n j ⇔ n j 2y 11 = ⇔ y + x = 16 y ⇔ x = y 2 2 5y + x Thế (2) vào (1), giải phương trình ta kết y = (2) 4a x = a 11 1  a 16 11a Vậy VMABC = S ABC AA'=  a.4 a  = ☺ 3 33  11 • Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B'ANC theo a Phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp khối chóp B'ANC có dạng: ( S ) : x + y + z + 2a1 x + 2by + 2cz + d = với tâm T ( −a1 ; −b; −c ) , R = a12 + b + c − d Vì B', A, N, C thuộc mặt cầu (S) nên tọa độ chúng thỏa phương trình mặt cầu, ta có hệ: 16 11 a1 = −3a a.c + d =  a +  11 b = −3a  11 31 4 a2 + 4a.b + d =  ⇔ ☺ 13a ⇒ R = 3a  11 4 a2 + 4a.a + d = c = − 11   16a + 8a.a1 + d = d = 8a 15 Lăng trụ tứ giác Bài (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối B năm 2011) Cho lăng trụ ABCD A1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a Hình chiếu vng góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng ( ADD1 A1 ) ( ABCD) 60o Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng ( A1BD ) theo a Gợi ý: Gọi O giao điểm AC BD Chọn hệ trục tọa C1 B1 z độ Oxyz hình vẽ Khi đó: a a  a a   a a  A ; ;0  , B  ; − ;0  , C  − ; − ;0  ,  2   2     a a  D − ; ;0  2   A1 Từ giả thiết góc hai mặt phẳng ( ADD1 A1 ) B   ( ABCD ) 60o tìm A1  0;0; a   D1 C O a  x   Suy B1  0; −a; a    A D y Thể tích khối lăng trụ cho VABCD A1B1C1D1 = 3a a Bài Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng, tam giác A’AC vng cân, A’C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a Giải: z a a Từ giả thiết ta tính AC = AA ' = AB = 2 B' A' Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với gốc tọa độ O trùng với D' C' điểm A  a  a a  a  Ta có: A(0;0;0), B  0; ;0  , C  ; ;0  , D  ;0;0    2  2  y A a  a    a a  a a a  a A '  0;0; B  , B '  0; ;  , C ' ; ;  , D '  ;0;  2 2 2 2     D C x  a a  a a a   a  AB =  0; ;0  ; AB ' =  0; ; ; AC ' =  ; ;      2 2 2 Khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng ( A1BD ) d ( B1 ,( A1BD) ) = 3    AB; AB ' =  a ;0;0  ⇒  AB; AB ' AC ' = a ⇒ VABB ' C ' =  AB; AB ' AC ' = a      6 48 2   a2 a2  a a    a    • CB =  − ;0;0  , CD ' =  0; − ; ⇒ CD ; CD ' =    0; 2 ;  ⇒ n = 0; 2;1 VTPT mặt 2       ( 2.0 + − phẳng (BCD’) nên (BCD’): y + z − a = ⇒ d ( A,( BCD ') ) = HẾT 16 ) a 2 ( 2)2 + 12 = a ☺