25 bài toán xác suất tuyển chọn

SƠ ĐỒ GIẢI BÀI TOÁN XÁC SUẤT LỜI GIẢI Bài Một nhóm lớp học có nữ nam xếp hàng chụp ảnh kỉ niệm nhân tháng học chung thầy giáo theo dãy hàng ngang Tính xác suất để việc xếp theo dãy hàng ngang đảm bảo nam có nữ đứng cạnh bên (biết thầy giáo chuẩn Men  ) Giải Số cách xếp 10 học sinh thầy giáo theo dãy hàng ngang là: n()  11! Gọi T biến cố “xếp 10 học sinh thầy giáo theo dãy hàng ngang đảm bảo nam có nữ đứng cạnh bên” Bước 1: Xếp nữ theo dãy hàng ngang, số cách xếp là: 8! (cách) Bước 2: Giữa nữ có khoảng trống Lúc này, ta xếp nam (gồm thầy giáo) vào khoảng trống (1 khoảng trống xếp không nam), Số cách xếp là: A73 (cách) Suy n(T )  8! A73 (cách) Vậy xác suất cần tính là: P(T )  n(T ) 8! A73   n() 11! 33 Bài Trong khóa học PenC – N3 hai thầy Lê Anh Tuấn Nguyễn Thanh Tùng Ở cuối khóa học có kiểm tra gồm 12 câu dành cho ba chuyên đề khó nhất, có câu thuộc chủ đề hình học Oxy, câu thuộc chủ đề PT, BPT, HPT câu thuộc chủ đề BĐT, GTLN, GTNN Thầy Tùng “ưu ái” chọn trước câu để chữa cho học sinh (6 câu lại thầy Tuấn đảm nhiệm) Tính xác suất để sau thầy Tùng chọn số câu lại có mặt đủ ba chủ đề dành cho thầy Tuấn chữa Giải Số cách thầy Tùng chọn câu từ 12 câu là: n( )  C126  924 Gọi T biến cố sau thầy Tùng chọn số câu lại có mặt đủ chủ đề Suy T biến cố sau thầy Tùng chọn số câu lại không đủ chủ đề Trường hợp 1: Thầy Tùng chọn câu thuộc chủ đề hình học Oxy câu không thuộc chủ đề Oxy Số cách chọn: C33 C93  84 (cách) Trường hợp 2: Thầy Tùng chọn câu thuộc chủ đề PT, BPT, HPT câu không thuộc chủ đề PT, BPT, HPT Số cách chọn: C44 C82  28 (cách) Trường hợp 3: Thầy Tùng chọn câu thuộc chủ đề BĐT, GTLN, GTNN câu không thuộc chủ đề BĐT, GTLN, GTNN Số cách chọn: C55 C71  (cách) Suy n(T )  84  28   119 Cách trình bày 1: Khi P(T )  n(T ) 119 17 115   , suy xác suất cần tìm là: P (T )   P (T )  n() 924 132 132 Cách trình bày 2: Khi n(T )  n()  n(T )  924  119  805 n(T ) 805 115   Suy xác suất cần tìm là: P(T )  n() 924 132 Bài Trung tâm abcdè có nam giáo viên trẻ, có giáo viên thuộc cung Bọ Cạp nữ giáo viên trẻ, có giáo viên thuộc cung Bọ Cạp Tính xác suất để giáo viên vinh dự cử tham gia vào “Lễ tuyên dương tân sinh viên năm 2016”, cho có đủ giáo viên nam, nữ có người thuộc cung Bọ Cạp Giải Số cách cử giáo viên từ 17 giáo viên là: n()  C174  2380 Gọi T biến cố cử giáo viên có đủ nam, nữ có người thuộc cung Bọ Cạp Bước 1: Ta tính số cách cử giáo viên có đủ nam nữ Số cách là: C174  C94  C84  2184 (ta dùng phương pháp phần bù) Bước 2: Ta tính số cách cử giáo viên có đủ nam nữ người thuộc cung Bọ Cạp  Cử nam giáo viên nữ giáo viên người thuộc cung Bọ Cạp, số cách : C81.C63  160  Cử nam giáo viên nữ giáo viên người thuộc cung Bọ Cạp, số cách là: C82 C62  420 Cử nam giáo viên nữ giáo viên người thuộc cung Bọ Cạp, số cách là: C83 C61  336 Vậy số cách thỏa mãn: 160  420  336  916 Suy n(T )  2184  916  1268 n(T ) 1268 317   Khi xác suất cần tính là: P(T )  n() 2380 595 Chú ý: Ở toán Bước 1, ta tính trực cách sau  Cử nam giáo viên nữ giáo viên, số cách : C91.C83  504   Cử nam giáo viên nữ giáo viên, số cách là: C92 C82  1008  Cử nam giáo viên nữ giáo viên, số cách là: C93 C81  672 Vậy số cách thỏa mãn: 504  1008  672  2184 Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Ở góc phần tư thứ I, thứ II, thứ III, thứ IV cho 1, 2, điểm phân biệt (các điểm không nằm trục tọa độ ba điểm không thẳng hàng) Ta chọn điểm 10 điểm Tính xác suất để điểm chọn tạo thành tam giác: 1) cạnh cắt trục tọa độ 2) có cạnh cắt trục tọa độ 3) cạnh cắt trục tọa độ Giải Số tam giác tạo thành chọn điểm từ 10 điểm số phần tử không gian mẫu: n( )  C103  120 1) Gọi A biến cố “3 điểm chọn tạo thành tam giác cạnh cắt trục tọa độ” Khi điểm chọn phải thuộc góc phần tư thứ III thứ IV Suy n( A)  C33  C43  y n( A)   Vậy xác suất cần tìm là: P( A)  II I n() 120 24 2) Gọi B biến cố “3 điểm chọn tạo thành tam giác có cạnh cắt trục tọa độ” Khi điểm chọn phải lấy từ điểm x A góc phần tư điểm không thuộc góc phần tư Suy ra: n( B )  C22 C81  C32 C71  C42 C61  65 n( B) 65 13   Vậy xác suất cần tìm là: P( B)  IV III n() 120 24 3) Gọi C biến cố “3 điểm chọn tạo thành tam giác cạnh cắt trục tọa độ” Do tam giác tạo thành cạnh cắt trục tọa độ có cạnh cắt trục tọa độ cạnh cắt trục tọa độ Do đó, ta có: n( )  n( A)  n( B )  n(C )  n(C )  n( )  n( A)  n( B )  50 n(C ) 50   Vậy xác suất cần tìm là: P(C )  n() 120 12 Bài Gọi S tập hợp số có chữ số lập từ chữ số 1, 9,8 Người ta chọn số từ tập S để tạo mã đề thi trắc nghiệm môn Vật lí kì thi THPT Quốc gia năm 2016 Tính xác suất để mã đề chọn, mã đề có tổng chữ số số lẻ Giải Gọi số có chữ số dạng a1a2 a3 Bước 1: Mỗi chữ số a1 , a2 , a3 có cách chọn, nên số số thuộc tập S 3.3.3  27 số Bước 2: Ta tính số số thuộc tập S mà có tổng chữ số số chẵn  Trường hợp 1: a1 , a2 , a3 chẵn, suy số 888 , có số  Trường hợp 2: a1 , a2 , a3 có chữ số chẵn chữ số lẻ khác nhau, có 3!  số  Trường hợp 3: a1 , a2 , a3 có chữ số chẵn chữ số lẻ giống nhau, có 3.1  số Vậy có    10 số thỏa mãn bước Suy số số thuộc tập S mà có tổng chữ số số lẻ 27  10  17 số Bước 3: Số cách chọn số từ tập S là: C276 (cách) Số cách chọn số từ 17 số mà có tổng chữ số số lẻ là: C176 (cách) Vậy xác suất cần tính là: C176 6188  C17 148005 Bài Từ 16 chữ chữ “ KI THI THPT QUOC GIA” chọn ngẫu nhiên chữ Tính xác suất để chọn chữ đôi phân biệt Giải Số cách chọn chữ từ 16 chữ là: n()  C165  4368 Chữ “ KI THI THPT QUOC GIA” có chữ xuất lần chữ : K, P, Q, U, O, C, G, A có chữ xuất lần chữ: H có chữ xuất lần chữ: I, T Gọi B biến cố chữ chọn đôi phân biệt Gọi tập X  {K; P; Q; U; O; C; G; A}, ta có trường hợp sau: Trường hợp 1: Trong chữ chọn thuộc tập X , số cách chọn: C85  56 Trường hợp 2: Trong chữ chọn có chứa chữ thuộc tập X  chữ H, số cách chọn: C84 C21  140  chữ I, số cách chọn: C84 C31  210 chữ T, số cách chọn: C84 C31  210 Vậy số cách chọn trường hợp là: 140  210  210  560 Trường hợp 3: Trong chữ chọn có chứa chữ thuộc tập X  chữ H, chữ I số cách chọn: C83 C21 C31  336   chữ H, chữ T, số cách chọn: C83 C21 C31  336 chữ I, chữ T, số cách chọn: C83 C31 C31  504 Vậy số cách chọn trường hợp là: 336  336  504  1176 Trường hợp 4: Trong chữ chọn có chứa chữ thuộc tập X , chữ H, chữ I , chữ T Số cách chọn: C82 C21 C31 C31  504 Khi n( B )  56  560  1176  504  2296 n( B) 2296 41   Vậy xác suất cần tìm là: P( B)  n() 4368 78  Bài Cho đa giác 12 đỉnh Chọn ngẫu nhiên đỉnh 12 đỉnh đa giác Tính xác suất để đỉnh chọn tạo thành tam giác 1) 2) không cân 3) cạnh cạnh đa giác cho Giải Số cách chọn đỉnh (chính số tam giác) từ 12 đỉnh là: n()  C123  220 1) Gọi A biến cố mà đỉnh chọn tạo thành tam giác Để đỉnh tạo thành tam giác đỉnh phải nằm vị trí cách nhau, nên số cách chọn n( A) 12   tam giác là: n( A)   Khi xác suất cần tính là: P( A)  n() 220 55 2) Gọi B biến cố mà đỉnh chọn tạo thành tam giác không cân Gọi đa giác cho A1 A2 A12 Vì A1 A7 trục đối xứng đa giác nên số tam giác cân đỉnh A1 tam giác ( A1 A2 A12 , A1 A3 A11 , A1 A4 A10 , A1 A5 A9 , A1 A6 A8 ) có tam giác A1 A5 A9 Hay với đỉnh A1 ta có tam giác cân không Tượng tự có tam giác cân (không đều) ứng với đỉnh A2 , A3 , , A14 Suy số tam giác cân mà tam giác là: 12.4  48 Mà theo ý 1) ta có số tam giác là: Do số tam giác cân là: 48   52 Vậy số tam giác không cân là: n( B )  220  52  168 n( B) 168 42   Khi xác suất cần tính là: P( B)  n() 220 55 3) Gọi C biến cố mà đỉnh chọn tạo thành tam giác cạnh cạnh đa giác cho Số tam giác có cạnh cạnh đa giác cho : 12 Số tam giác có cạnh cạnh đa giác cho : 12.8  96 (ứng với cạnh có tam giác tạo thành) Suy n(C )  220  (12  96)  112 n(C ) 112 28   Vậy xác suất cần tính là: P(C )  n() 220 55 Bài Để làm đề toán gồm 10 câu hỏi phục vụ cho kì thi THPT Quốc Gia Hội đồng đề chọn từ ngân hàng gồm 30 câu hỏi gồm 16 câu hỏi dễ, 10 câu hỏi trung bình câu hỏi khó Tính xác xuất để đề thi chọn thiết phải có đủ loại câu hỏi (dễ, trung bình, khó), số câu hỏi khó số câu hỏi dễ không Giải 10 Số cách chọn 10 câu hỏi từ ngân hàng gồm 30 câu hỏi là: n()  C30 Gọi A biến cố mà 10 câu hỏi chọn có đủ loại câu hỏi (dễ, trung bình, khó), số câu hỏi khó số câu hỏi dễ không Khi ta có:  Trường hợp 1: Chọn câu hỏi dễ, câu hỏi trung bình câu hỏi khó Số cách chọn là: C166 C103 C41  Trường hợp 2: Chọn câu hỏi dễ, câu hỏi trung bình câu hỏi khó Số cách chọn là: C166 C102 C42  Trường hợp 3: Chọn câu hỏi dễ, câu hỏi trung bình câu hỏi khó Số cách chọn là: C167 C102 C41  Trường hợp 4: Chọn câu hỏi dễ, câu hỏi trung bình câu hỏi khó Số cách chọn là: C168 C101 C41 Suy n( A)  C166 C103 C41  C166 C102 C42  C167 C102 C41  C168 C10 C41 n( A) C166 C103 C41  C166 C102 C42  C167 C102 C41  C168 C101 C41 4000 Vậy xác suất cần tính là: P ( A)    10 n ( ) C30 14007 Bài Gọi M tập hợp số tự nhiên chẵn gồm bốn chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số từ tập M Tính xác suất để số chọn có mặt chữ số chữ số Giải Gọi số tập M có dạng: a1a2 a3a4 với a4  0; 2; 4;6;8 +) Với a4   a1a2 a3 có số cách chọn: A93  504 , suy có : 504 số +) Với a4  2;4;6;8 : cách chọn, suy a1 có cách chọn a2 a3 có A82  56 Suy số lập được: 4.8.56  1792 số Vậy n( )  n( M )  504  1792  2296 Gọi A biến cố mà số chọn từ tập M có mặt chữ số chữ số Suy số chọn có dạng a1a2 a3a4 có mặt chữ số 6, chữ số a4  0; 2; 4;6;8 Khi ta có trường hợp:  Trường hợp 1: a4  , suy số cách chọn a1a2 a3 có mặt chữ số 6, chữ số là: A32  42  Trường hợp 2: a4  a1a2 a3 có mặt chữ số +) a1   a2 a3 có số cách chọn là: A82 +) a1  9;0;6 : có cách chọn a2 a3 có: 2.7  14 cách chọn Suy số lập trường hợp là: A82  7.14  154  Trường hợp 3: a4  2;4;8 : có cách chọn a1a2 a3 có mặt chữ số +) a1  6;9 : có cách chọn; a2 a3 có số cách chọn là: 2.7  14 +) a1  6;9;0; a4  : có cách chọn; a2 a3  96;69 : có cách chọn Suy số lập trường hợp là: 3.(2.14  6.2)  120 Khi ta có n( A)  42  154  120  316 n( A) 316 79   Vậy xác suất cần tính là: P( A)  n() 2296 574 Bài 10 Tuấn Tùng tham gia kì thi THPTQG có môn thi trắc nghiệm Vật Lý Hóa Học Đề thi môn gồm mã đề khác môn khác có mã khác Đề thi xếp phát cho thí sinh cách ngẫu nhiên Tính xác suất để môn thi Tuấn Tùng có chung mã đề thi Giải Số cách chọn mã đề hai môn thi Tuấn là: 6.6  36 Số cách chọn mã đề hai môn thi Tùng là: 6.6  36 Suy số phần tử không gian mẫu là: n( )  36.36  1296 Gọi A biến cố “Tuấn Tùng có chung mã đề thi”  Trường hợp 1: Tuấn Tùng có chung mã đê thi Vật Lý Khi số cách nhận mã đề thi là: 6.6.1.5  180  Trường hợp 2: Tuấn Tùng có chung mã đê thi Hóa Học Khi số cách nhận mã đề thi là: 6.6.5.1  180 n( A) 360   n() 1296 18 Bài 11 Một lớp học có 30 học sinh Chọn ngẫu nhiên học sinh để tham gia hoạt động Đoàn trường Xác suất 12 chọn nam nữ Tính số học sinh nữ lớp 29 Giải Suy n( A)  180  180  360 Vậy xác suất cần tính là: P( A)   Gọi số học sinh nữ lớp n (n  * , n  28) (1)  Số cách chọn ba học sinh là: C303 cách  Số cách chọn ba học sinh có nam nữ là: C302  nCn1 cách   n  14 C302 n Cn1 12 Theo ta có:   (n  14)(n  45n  240)     n  45  1065 C30 29   Từ (1) (2) suy ra: n  14 Vậy số học sinh nữ lớp 14 học sinh (2) Bài 12 Tại hội làng, có trò chơi quay số trúng thưởng với mâm quay đĩa tròn chia thành 10 ô đánh số từ đến 10 Ở lượt chơi, người chơi quay liên tiếp mâm quay lần, mâm quay dừng kim quay tương ứng với ô đánh số Người chơi trúng thưởng tổng hai số kim quay mâm quay dừng số chia hết cho Tính xác suất để người chơi trúng thưởng Giải Ở lượt chơi, số khả người chơi có là: n()  10.10  100 Ta chia 10 số từ đến 10 thành tập: X  3;6;9 : Tập số chia hết cho 3, Y  1;4;7;10 : Tập số chia dư Z  2;5;8 : Tập số chia dư Gọi A biến cố người chơi trúng thưởng Khi ta có trường hợp:    Trường hợp 1: Cả hai lần kim quay vào số thuộc tập X , suy số cách: 3.3  Trường hợp 2: Lần quay số thuộc tập Y , lần quay số thuộc tập Z , số cách: 4.3  12 Trường hợp 3: Lần quay số thuộc tập Z , lần quay số thuộc tập Y , số cách: 3.4  12 n( A) 33  n() 100 Chú ý: Trong toán phần tử lập lại (vì lần quay trùng với số lần quay 1) Vậy n( A)   12  12  33 Vậy xác suất cần tính: P( A)  Bài 13 Từ hộp chứa 16 thẻ đánh số từ đến 16 1) Chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để thẻ chọn a) đánh số chẵn (A, A1 – 2014) b) có tổng số lẻ 2) Chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để tích hai số ghi hai thẻ số phương 3) Tính xác suất để thẻ chọn có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có thẻ chia hết cho Giải 1) Số cách chọn thẻ từ 16 thẻ n( )  C164  1820 Trong 16 thẻ đánh số, có số chẵn số lẻ a) thẻ chọn đánh số chẵn (A, A1 – 2014) Gọi A biến cố chọn thẻ đánh số chẵn Suy số cách chọn thẻ đánh số chẵn từ thẻ đánh số chẵn là: n( A)  C84  70 n( A) 70   n() 1820 26 b) thẻ chọn có tổng số lẻ Trường hợp 1: Chọn thẻ đánh số lẻ thẻ đánh số chẵn, số cách chọn: C81.C83  448 Vậy xác suất cần tính P( A)  Trường hợp 2: Chọn thẻ đánh số lẻ thẻ đánh số chẵn, số cách chọn: C81.C83  448 Suy n( B )  448  448  896 n( B) 896 32   n() 1820 65 2) Chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để tích hai số ghi hai thẻ số phương Số cách chọn thẻ từ 16 thẻ n( )  C162  120 Vậy xác suất cần tính P( B)  Gọi C biến cố mà tích hai số ghi hai thẻ số phương Ta có cặp số mà tích số phương là: (1; 4), (1;9), (1;16), (4;9), (4;16), (9;16), (2;8), (3;12) n(C )   n() 120 15 3) Tính xác suất để thẻ chọn có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có thẻ chia hết cho Số cách chọn thẻ từ 16 thẻ là: C167  11440 Suy n(C )  Vậy xác suất cần tìm là: P(C )  Gọi D biến cố thẻ chọn, có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có thẻ chia hết cho Trường hợp 1: Có thẻ mang số 10, có thẻ mang số lẻ (bỏ số 15 có thẻ chia hết cho 5) thẻ mang số chẵn (bỏ 10) Số cách chọn: 1.C63 C73  C63 C73 Trường hợp 2: Có thẻ mang số 15, có thẻ mang số lẻ (bỏ 15) thẻ chẵn (bỏ số 10) Số cách chọn: 2.C62 C74 Suy n( D)  C63 C73  2.C62 C74  1750 Vậy xác suất cần tính là: P( D)  n( D) 1750 175   n() 11440 1144 Bài 14 Có Nhà Toán học nam, Nhà Toán học nữ, Nhà Vật lí nam Tính xác suất để lập đoàn công tác người đảm bảo cần có nam nữ, Nhà Toán học Nhà Vật lí Giải Số cách lập đoàn công tác người từ 11 người là: n( )  C113  165 Gọi A biến cố mà đoàn người chọn có nam nữ, nhà toán học nhà vật lí học Chỉ có cách lập đoàn công tác sau:  Gồm Nhà Vật lí nam, Nhà Toán học nữ Số cách chọn là: C42 C13  6.3  18  Gồm Nhà Vật lí nam, Nhà Toán học nữ Số cách chọn là: C41.C32  4.3  12  Gồm Nhà Vật lí nam, Nhà Toán học nữ, Nhà Toán học nam Số cách chọn là: C41 C13 C16  4.3.6  72 Suy : n( A)  18 + 12 + 72 = 102 Khi xác suất cần tính là: P( A)  n( A) 102 34   n() 165 55 Bài 15 Một đoàn tàu có toa tàu đỗ sân ga có hành khác từ sân ga lên tàu Mỗi người lên tàu độc lập với chọn toa cách ngẫu nhiên Tính xác suất để đoàn tàu có toa có người, toa có người, toa có người toa lại người Giải Mỗi người có cách chọn toa tàu, nên số cách lên tàu hành khách là: n()  7.7.7.7.7.7.7  7  823543 Gọi A biến cố “có toa có người, toa có người, toa có người toa lại người nào” Bước 1: Chọn toa cho người chọn người từ người, có: 7.C74  245 cách Bước 2: Chọn toa cho người toa lại chọn người từ người lại, có: 6.C32  18 cách Bước 3: Chọn toa toa lại cho người cuối lên, có: cách Suy n( A)  245.18.5  22050 n( A) 22050 450   Vậy xác suất cần tính là: P( A)  n() 823543 16078 Bài 16 Gọi T tập hợp số tự nhiên gồm chữ số khác Chọn ngẫu nhiên số từ tập T Tính xác suất để số chọn có chữ số đứng liền sau lớn chữ số đứng liền trước có mặt chữ số Giải Gọi số tự nhiên gồm chữ số khác có dạng: a1a2 a3a4 a5 Ta có a1  1;2;3; 4;5;6;7;8;9 : có cách chọn a2 , a3 , a4 , a5  0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 \ a1  a2 a3a4 a5 : có A94  3024 cách chọn Suy số phần tử tập T là: n()  n(T )  9.3024  27216 Gọi X biến cố “chọn số từ tập T ta số có chữ số đứng liền sau lớn chữ số đứng liền trước có mặt chữ số 5” Như số chọn có dạng a1a2 a3a4 a5 thỏa mãn  a1  a2  a3  a4  a5  có mặt chữ số Bước 1: Ta tính số a1a2 a3a4 a5 thỏa mãn  a1  a2  a3  a4  a5  (*) Chọn chữ số từ tập 1; 2;3;4;5;6;7;8;9 , có C95  126 cách chọn Ứng chữ số chọn, ta thu số thỏa mãn (*), suy có: 126 số thỏa mãn (*) Bước 2: Ta tính số a1a2 a3a4 a5 thỏa mãn  a1  a2  a3  a4  a5  mà mặt chữ số (2*) Chọn chữ số từ tập 1;2;3;4;6;7;8;9 , có C85  56 cách chọn Ứng chữ số chọn, ta thu số thỏa mãn (2*), suy có: 56 số thỏa mãn (2*) Khi n( X )  126  56  70 n( X ) 70   Suy xác suất cần tính là: P( X )  n() 27216 1944 Bài 17 Một hộp đựng 10 thẻ đánh số từ đến Lấy ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để chữ số thẻ lấy ghép thành số chia hết cho Giải Số cách lấy thẻ từ 10 thẻ là: C103  120 Gọi A biến cố thẻ lấy ghép thành số chia hết cho Khi A biến cố mà thẻ lấy phải có chữ số chữ số Suy A biến cố thẻ lấy mặt thẻ mang số số Suy n( A)  C83  n( A)  n()  n( A)  C103  C83 n( A) C103  C83 Vậy xác suất cần tính là: P ( A)    n ( ) C103 15 Bài 18 Gọi T tập hợp số tự nhiên gồm ba chữ số chia hết cho Chọn ngẫu nhiên số từ tập T Tính xác suất để tổng số chọn số lẻ Giải Các số có ba chữ số chia hết cho là: 105 , 112 , 119 , …, 987 , 994 Chúng lập thành cấp số cộng với số hạng đầu 105 , số hạng cuối 994 công sai 994  105 Suy số phần tử tập hợp T là: n(T )    128 Số cách chọn số từ 128 tập T là: n( )  C128 Gọi A biến cố mà tổng số chọn từ tập T số lẻ Trong tập T với số liên tiếp chia hết cho có số chẵn số lẻ Do số hạng đầu (nhỏ nhất) lẻ số hạng cuối (lớn nhất) số chẵn nên lượng số chẵn lẻ tập T là: 128 :  64  Trường hợp 1: Chọn số lẻ, số cách chọn: C64  Trường hợp 2: Chọn số lẻ số chẵn, số cách chọn: C64 C642 Suy n( A)  C64  C64 C642 Vậy xác suất cần tính là: P ( A)  C642 n( A) C643  C64    0, n ( ) C128 Bài 19 Một ngân hàng đề thi gồm 20 câu hỏi Mỗi đề thi gồm câu lấy ngẫu nhiên từ 20 câu hỏi Thí sinh A học thuộc 10 câu ngân hàng đề thi Tìm xác suất để thí sinh A rút ngẫu nhiên đề thi có câu thuộc Giải Số cách chọn câu hỏi từ 20 câu hỏi là: n()  C204  4845 Gọi X biến cố mà thí sinh A rút đề thi có câu thuộc Khi ta có trường hợp: Trường hợp 1: Thí sinh A rút câu thuộc câu không thuộc, số cách: C102 C102  2025 Trường hợp 2: Thí sinh A rút câu thuộc câu không thuộc, số cách: C103 C101  1200 Trường hợp 3: Thí sinh A rút câu thuộc, số cách: C104  210 Suy n( X )  2025  1200  210  3435 n( X ) 3435 229   Vậy xác suất cần tính là: P( X )  n() 4845 323 Bài 20 Một người bỏ ngẫu nhiên thư vào phong bì ghi địa Tính xác suất để có thư bỏ vào phong bì Giải Số cách bỏ thư vào phong bì là: n( )  3!  Gọi A biến cố có thư bỏ vào phong bì Suy A biến cố thư bỏ vào phong bì Ta đánh số thứ tự thư 1, 2, tương ứng với phong bì địa a1 , a2 , a3 Khi ta có khả thuận lợi cho A là: 2a1 , 3a2 ,1a3 3a1 ,1a2 , 2a3 n( A) 2   Vậy xác suất cần tính là: p( A)   P ( A)  n ( ) 3 Bài 21 Đội niên xung kích trường phổ thông có 12 học sinh gồm học sinh lớp A , học sinh lớp B học sinh lớp C Chọn ngẫu nhiên học sinh làm nhiệm vụ Tính xác suất để học sinh chọn hai ba lớp Giải Số cách chọn học sinh từ 12 học sinh là: n()  C124  495 Gọi X biến cố mà học sinh chọn hai ba lớp Khi X biến cố học sinh chọn có đủ lớp Trường hợp 1: Chọn học sinh lớp A , học sinh lớp B học sinh lớp C Ta có: C52 C41 C31  120 cách chọn Trường hợp 2: Chọn học sinh lớp A , học sinh lớp B học sinh lớp C Ta có: C51.C42 C31  90 cách chọn Trường hợp 3: Chọn học sinh lớp A , học sinh lớp B học sinh lớp C Ta có: C51.C41 C32  60 cách chọn 270 Suy n X  120  90  60  270 , suy P X   495 11 Vậy xác suất cần tìm P  X    P X    11 11 Suy n( A)   P( A)        Bài 22 Trong thi “Rung chuông vàng”, có 20 bạn lọt vào vòng chung kết , có bạn nữ 15 bạn nam Để xếp vị trí chơi, ban tổ chức chia thành nhóm A, B, C , D cho nhóm có bạn Việc chia nhóm thực cách bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để bạn nữ thuộc nhóm Giải Số phần tử không gian mẫu số cách xếp 20 bạn vào nhóm: n( )  C20 C155 C105 C55 Gọi T biến cố có bạn nữ thuộc nhóm, đó: Số cách xếp bạn nữ vào nhóm là: Số cách xếp 15 bạn nam vào nhóm lại là: C155 C105 C55 Suy n(T )  4.C155 C105 C55 Vậy xác suất cần tìm là: P (T )  4.C C C n(T )  155 105 5   n() C20 C15 C10 C5 C20 3876 Bài 23 Có đoạn thẳng có độ dài 1cm, 2cm, 3cm, 4cm, 5cm Lấy ngẫu nhiên đoạn thẳng, tính xác suất để đoạn thẳng chọn độ dài cạnh tam giác Giải Số cách chọn đoạn thẳng từ đoạn thẳng là: n( )  C53  10 Gọi A biến cố mà đoạn thẳng chọn tạo thành độ dài cạnh tam giác Ta có đoạn thẳng có độ dài cạnh tam giác (2;3; 4), (2; 4;5), (3; 4;5) Suy n( A)  n( A)  Vậy xác suất cần tìm là: P( A)  n() 10 Bài 24 Gọi A tập hợp tất số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập A, tính xác suất để chọn số chia hết cho chữ số hàng đơn vị Giải  Số số tự nhiên có chữ số 9.104  90000 số  Gọi số tự nhiên có chữ số mà chia hết cho có chữ số hàng đơn vị là: a1a2 a3a41  a1    Ta có biến đổi sau: a1a2 a3a41  3.a1a2 a3a4   7.a1a2 a3a4 (*) Từ (*) ta có nhận xét: Để a1a2 a3a41 chia hết cho 3.a1a2 a3a4  phải chia hết cho Đặt: 3.a1a2 a3a4   x  x    Suy ra: a a a a   7x 1 x 1  2x  (**) 3   Từ (**) ta suy x  phải chia hết cho Đặt x   3t  x  3t  t   Khi đó: a1a2 a3a4  7t   1000  7t   9999  t  143,144, ,1428 Vậy số cách chọn t cho số a1a2 a3a41 chia hết cho có chữ số hàng đơn vị 1286 cách (ứng với t ta số a1a2 a3a41 )  Từ ta có xác suất cần tính là: P  1286 643    0, 0143 90000 45000 Bài 25 Từ chữ số 0;1; 2;3; 4;5 lập n số tự nhiên lẻ có chữ số, đôi khác Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên số n số vừa lập thỏa mãn tổng ba chữ số đầu lớn tổng ba chữ số cuối đơn vị Giải Gọi số có chữ số đôi khác lập từ chữ số 0;1; 2;3; 4;5 có dạng: A  a1a2 a3a4 a5a6 +) A số lẻ : a6 {1;3;5}: Có cách chọn a1 {1; 2;3; 4;5} \{a6 }: Có cách chọn a2 a3a4 a5 : Có 4!  24 cách Vậy số cách chọn A số lẻ là: n  3.4.24  288 (số) +) A số lẻ thỏa mãn : a1  a2  a3  a4  a5  a6   2(a1  a2  a3 )  a1  a2  a3  a4  a5  a6   16  a1  a2  a3  ( Vì a1  a2  a3  a4  a5  a6        15 ) Khi (a1 ; a2 ; a3 ) thuộc số sau : (0;3;5) , (1; 2;5) , (1;3; 4) *) Với (a1 ; a2 ; a3 ) chọn từ (0;3;5) , suy (a4 ; a5 ; a6 ) chọn từ (1; 2; 4) (Với a1  a6 chữ số lẻ ) nên số cách chọn A : 2.2.1.1.2.1  *) Với (a1 ; a2 ; a3 ) chọn từ (1; 2;5) , suy (a4 ; a5 ; a6 ) chọn từ (0;3; 4) (Với a6 chữ số lẻ ) nên số cách chọn A : 3!.1.2.1  12 *) Tương tự với (a1 ; a2 ; a3 ) chọn từ (1;3; 4) ta có số cách chọn A là: 3!.1.2.1  12 Vậy A số lẻ thỏa mãn : a1  a2  a3  a4  a5  a6  gồm:  12  12  32 (số) 32 Khi xác suất thỏa mãn điều đề là:  288 Biên so n: GV Nguy n Thanh Tùng [...]... C105 C55 Vậy xác suất cần tìm là: P (T )  4.C 5 C 5 C 5 n(T ) 4 1  5 155 105 5 5  5  n() C20 C15 C10 C5 C20 3876 Bài 23 Có 5 đoạn thẳng có độ dài lần lượt là 1cm, 2cm, 3cm, 4cm, 5cm Lấy ngẫu nhiên ra 3 đoạn thẳng, tính xác suất để 3 đoạn thẳng được chọn ra là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác Giải Số cách chọn 3 đoạn thẳng từ 5 đoạn thẳng là: n( )  C53  10 Gọi A là biến cố mà 3 đoạn thẳng chọn được... 9999  t  143,144, ,1428 Vậy số cách chọn t sao cho số a1a2 a3a41 chia hết cho 7 và có chữ số hàng đơn vị bằng 1 là 1286 cách (ứng với mỗi t ta được một số a1a2 a3a41 )  Từ đó ta có xác suất cần tính là: P  1286 643    0, 0143 90000 45000 Bài 25 Từ các chữ số 0;1; 2;3; 4;5 lập ra được n số tự nhiên lẻ có 6 chữ số, đôi một khác nhau Tính xác suất để có thể chọn ngẫu nhiên một số trong n số vừa... (1;3; 4) *) Với (a1 ; a2 ; a3 ) chọn từ (0;3;5) , suy ra (a4 ; a5 ; a6 ) chọn từ (1; 2; 4) (Với a1  0 và a6 là chữ số lẻ ) nên số cách chọn A là : 2.2.1.1.2.1  8 *) Với (a1 ; a2 ; a3 ) chọn từ (1; 2;5) , suy ra (a4 ; a5 ; a6 ) chọn từ (0;3; 4) (Với a6 là chữ số lẻ ) nên số cách chọn A là : 3!.1.2.1  12 *) Tương tự với (a1 ; a2 ; a3 ) chọn từ (1;3; 4) ta có số cách chọn A là: 3!.1.2.1  12 Vậy A là... tam giác Ta có bộ 3 đoạn thẳng có độ dài là 3 cạnh của tam giác là (2;3; 4), (2; 4;5), (3; 4;5) Suy ra n( A)  3 n( A) 3  Vậy xác suất cần tìm là: P( A)  n() 10 Bài 24 Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 Giải  Số các số tự nhiên có 5 chữ số là 9.104  90000 số  Gọi số... cuối một đơn vị Giải Gọi số có 6 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 0;1; 2;3; 4;5 có dạng: A  a1a2 a3a4 a5a6 +) A là số lẻ thì : a6 {1;3;5}: Có 3 cách chọn a1 {1; 2;3; 4;5} \{a6 }: Có 4 cách chọn a2 a3a4 a5 : Có 4!  24 cách Vậy số cách chọn A là số lẻ là: n  3.4.24  288 (số) +) A là số lẻ thỏa mãn : a1  a2  a3  a4  a5  a6  1  2(a1  a2  a3 )  a1  a2  a3  a4  a5  a6  1  16.. .Bài 22 Trong cuộc thi “Rung chuông vàng”, có 20 bạn lọt vào vòng chung kết , trong đó có 5 bạn nữ và 15 bạn nam Để sắp xếp vị trí chơi, ban tổ chức chia thành 4 nhóm A, B, C , D sao cho mỗi nhóm có 5 bạn Việc chia nhóm được thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm Giải 5 Số phần tử của không... 12 *) Tương tự với (a1 ; a2 ; a3 ) chọn từ (1;3; 4) ta có số cách chọn A là: 3!.1.2.1  12 Vậy A là số lẻ thỏa mãn : a1  a2  a3  a4  a5  a6  1 gồm: 8  12  12  32 (số) 32 1 Khi đó xác suất thỏa mãn điều đề bài là:  288 9 Biên so n: GV Nguy n Thanh Tùng