Giải hình không gian bằng cách gắn hệ trục Oxyz

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Bước Chọn hệ trục tọa độ Oxyz không gian Ta có: Ox, Oy, Oz vuông góc với đôi Do đó, hình vẽ toán cho có chứa cạnh vuông góc ta ưu tiên chọn cạnh làm trục tọa độ Cụ thể: Với hình lập phương hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Với hình lập phương Chọn hệ trục tọa độ cho: A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a; a; 0); D(0; a; 0) A’(0; 0; a); B’(a; 0; a); C’(a; a; 0); D’(0; a; a) Với hình hộp chữ nhật Chọn hệ trục tọa độ cho: A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a; b; 0); D(0; b; 0) A’(0; 0; c); B’(a; 0; c); C’(a; b; c); D’(0; b; c) Với hình hộp đáy hình thoi ABCD.A’B’C’D’ Chọn hệ trục tọa độ cho: • Gốc tọa độ trùng với giao điểm O hai đường chéo hình thoi ABCD • Trục Oz qua tâm đáy Mọi cố gắng không muộn quan trọng bạn có thật cố gắng hay không ^^Page Với hình chóp tứ giác S.ABCD Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Giả sử cạnh hình vuông a đường cao SO = h Chọn O(0;0;0) tâm hình vuông Khi A( − a ; 0; 0); C( a ; 0; 0); ; B(0; − a ; 0); D(0; a ; 0); S (0; 0; h) Với hình chóp tam giác S.ABC cách 1: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Giả sử cạnh tam giác a đường cao h Gọi I trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho I(0;0;0) Khi đó: a a a a A(− ; 0; 0); B ( ; 0; 0); C (0; ; 0); S (0; ; h) 2 Mọi cố gắng không muộn quan trọng bạn có thật cố gắng hay không ^^Page cách 2: chọn H trùng với gốc tọa độ O tính CI = a a a AB = => CH = , HI = 2 => suy dc tọa độ đỉnh a a a a a A(− ; − ;0) ∈ xy; B ( ; − ; 0) ∈ xy, C (0; ;0) ∈ oy; 6 a a S (0; − ; h) ∈ yz; I (0; − ;0) ∈ y 6 cách 3: từ A ta dựng đường thẳng Az // SH, Ax // BC chọn hệ trục cho A= O (0;0;0), a a B( ; ;0) ∈ xy; a a C (− ; ;0) ∈ xy , a S (0; ; h) ∈ oz Với hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật SA ⊥ (ABCD) ABCD hình chữ nhật AB = a; AD = b chiều cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) Khi đó: B(a;0;0); C(a;b;0); D(0;b;0); S(0;0;h) Mọi cố gắng không muộn quan trọng bạn có thật cố gắng hay không ^^Page Với hình chóp S.ABC có ABCD hình thoi SA ⊥ (ABCD) ABCD hình thoi cạnh a chiều cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho O(0;0;0) Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) Δ ABC vuông A Tam giác ABC vuông A có AB = a; AC = b đường cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) Khi đó: B(a;0;0); C(0;b;0); S(0;0;h) Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) Δ ABC vuông B Mọi cố gắng không muộn quan trọng bạn có thật cố gắng hay không ^^Page Tam giác ABC vuông B có BA = a; BC = b đường cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho B(0;0;0) Khi đó: A(a;0;0); C(0;b;0); S(a;0;h) Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), Δ SAB cân S Δ ABC vuông C ΔABC vuông C với CA = a; CB = b chiều cao h H trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho C(0;0;0) Khi đó: A(a; 0; 0); B (0; b;0); S(a/2; b/2; h) 10 Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), Δ SAB cân S Δ ABC vuông A hình a) ΔABC vuông A: AB = a; AC = b chiều cao h H trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) Khi đó: B(a;0;0); C(0;b;0); S(0; a/2; h) hình b) Tam giác ABC vuông cân C có CA = CB = a đường cao h H trung điểm AB Mọi cố gắng không muộn quan trọng bạn có thật cố gắng hay không ^^Page Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho H(0;0;0) A(0; Khi đó: a a a ;0), B(0, − ;0); C ( ;0;0) S (0;0; h) 2 11.Hình lăng trụ có đáy tam giác vuông O Bước 2: Sử dụng kiến thức tọa độ để giải toán: Các dạng câu hỏi thường gặp 1.khoảng cách điểm : (ý phụ)  Khoảng cách hai điểm A(xA;yA;zA) B(xB;yB;zB) là: AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( zB − z A )2 2.khoảng cách từ điểm đến đoạn thẳng:  Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng (d) r u Cách 1:( d qua M0 có vtcp ) uuuuur r [M M , u ] d (M , ∆) = r u Cách 2: Phương pháp :  Lập ptmp( α )đi qua M vàvuông gócvới (d)  Tìm tọa độ giao điểm H mp( α ) d  d(M, d) =MH Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0 cho côngthức Ax + By0 + Cz0 + D d (M ,α ) = A2 + B + C 4.khoảng cách mặt phẳng //: Định nghĩa: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng 5.khoảng cách đường thẳng A, Khoảng cách hai đường chéo Mọi cố gắng không muộn quan trọng bạn có thật cố gắng hay không ^^Page  Cách 1: (d) điqua M(x0;y0;z0);cóvtcp r a = (a1; a2 ; a3 ) (d’)quaM’(x’0;y’0;z’0) r uu r uuuuur [a, a '].MM ' Vhop d (d , d ') = = r uu r S day [a, a ']  Cách 2: r a = (a1; a2 ; a3 ) d điqua M(x0;y0;z0);có vtcpuu r a ' = (a '1 ; a '2 ; a '3 ) d’quaM’(x’0;y’0;z’0) ; vtcp Phương pháp :  Lập ptmp( α )chứa d songsong với d’ d(d,d’)= d(M’,( α )) ĐẶC BIỆT: Tính khoảng cách hai đường thẳng AB, CD biết tọa độ chúng uuu r uuur uuur  AB, CD  AC   d ( AB, CD) = uuu r uuur  AB, CD    B khoảng cách đường thẳng //: -Khoảng cách đường thẳng // khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng => quay dạng toán khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  góc đường thẳng  Góc hai đường thẳng r a = ( a1 ; a2 ; a3 ) (∆) qua M(x0;y0;z0) có VTCP uu r a ' = ( a '1; a '2 ; a '3 ) (∆’) qua M’(x’ ;y’ ;z’ ) có VTCP r 0uu r a.a ' r uu r cosϕ = cos(a, a ') = r uu r = a a' a1.a '1 + a2 a '2 + a3 a '3 a12 + a22 + a32 a '12 + a '22 + a '32 7.góc mặt phẳng  Gọiφ góc hai mặt phẳng (00≤φ≤900) (P):Ax+By+Cz+D=0 (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0 uur uur n P nQ uur uur cosϕ = cos(n P , nQ ) = uur uur = nP nQ A.A' + B.B '+ C.C ' A2 + B + C A '2 + B '2 + C '2 8.góc đường thẳng mặt phẳng r r n a (∆) qua M0 có VTCP , mp(α) có VTPT = ( A; B; C ) Gọi φ góc hợp (∆) mp(α) r r sin ϕ = cos(a, n) = Aa1 +Ba +Ca A + B + C a12 + a22 + a32 diện tích thiết diện  Diện tích tam giác : S ABC = r uuur uuu [ AB, AC ] Mọi cố gắng không muộn quan trọng bạn có thật cố gắng hay không ^^Page uuur uuur [ AB, AD]  Diện tích hình bình hành: SABCD= 10 thể tích khối đa diện r uuur uuur 1 uuu [ AB, AC ] AD - Thểtích chóp: Vchóp = Sđáy.h Hoặc VABCD= (nếu biết hết tọa độ đỉnh) uuu r uuur uuur [ AB, AD] AA ' - Thể tích khối hộp: VABCDA’B’C’D’ = BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1(THPTQG 2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy, SC tạo với mặt đáy góc 45° Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Tính khoảng cách hai đường thẳng SB AC a3 a 10 V= , d ( AC , SB ) = Đáp số Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B , AB = 2BC = 2a, AD = 3a Hình chiếu vuông góc H S mặt phẳng (ABCD) trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD ) biết SD = a 13 V = Đáp số 4a3 3a 30 d(A;(SCD)) = 10 Bài Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, biết AB = 2a , AD = a Trên cạnh AB lấy điểm M cho AM = a , cạnh AC cắt MD H Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S HCD tính khoảng cách hai đường thẳng SD AC theo a Đáp số VS.HCD = 4a 2a d ( SD; AC ) = 15 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA = SB = a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính theo a thể tích hình chóp S.ABCD bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Đáp số V= a3 a 21 R= 6 Mọi cố gắng không muộn quan trọng bạn có thật cố gắng hay không ^^Page Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc đỉnh S lên mp(ABCD) trùng với SA = a 2, AC = 2a, SM = giao điểm O hai đường chéo AC BD Biết a , với M trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SM AC Đáp số VS ABCD = 3 57 a d ( SM , AC ) = = a 19 MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO – GHI VÀO VỞ ĐỂ NHỚ ! 1.Hình chóp tam giác Bài (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối A năm 2002) Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh AB = a Gọi M, N trung điểm cạnh SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC) Gợi ý: Gọi O trung điểm BC, G trọng tâm tam giác ABC, ta có z S a a a OA = , OB = OC = , OG = 2 Đặt SG = z > Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho tia Ox chứa A, tia Oy chứa B tia Oz nằm đường thẳng qua O song song với SG (xem hình vẽ) Khi x A C a   a    −a   a A ;0;0 ÷, B  0; ;0 ÷, C  0; ;0 ÷, S  ;0; z ÷         G O a a z a a z B M ; ; ÷, N  ; − ; ÷ 12 12 y     a 15 a 10 z= S AMN = 16 Tính Suy Bài (Trích đề dự bị – ĐH Khối B năm 2007) Trong nửa mặt phẳng (P) cho đường tròn đường kính AB điểm C nửa đường tròn cho AC = R Trên đường thẳng vuông góc o với (P) A lấy điểm S cho góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC) 60 Gọi H, K hình chiếu A SB, SC Chứng minh tam giác AHK vuông tính thể tích khối chóp S ABC Gợi ý: Mọi cố gắng không muộn quan trọng bạn có thật cố gắng hay không ^^Page z Ta có AC = R, BC = R Đặt SA = z > S Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O ≡ C , tia Ox chứa A, H tia Oy chứa B tia Oz nằm đường thẳng qua O K song song với SA (xem hình vẽ) Khi đó: C ( 0;0;0 ) , A ( R;0;0 ) , B 0; R 3;0 , S ( R;0; z ) x B 2R Khi tính y A  8R R R   2R 2R  H ; ; K ;0; ÷ ÷ 9 3     C R3 VS ABC = S ABC 12 Thể tích khối chóp là: Bài (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2003) Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến đường thẳng ∆ Trên ∆ lấy hai điểm A,B với AB = a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, mặt phẳng (Q) lấy điểm D cho AC, BD vuông góc với ∆ AC = BD = AB = a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a Gợi ý: ( ) + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ, lúc A ( a;0;0 ) , B (0;0;0), C (a; a;0), D(0;0; a ) + Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm I ( a / 2; a / 2; a / ) bán kính R = a / + Mặt phẳng (BCD) có phương trình x − y = + Khoảng cách a d ( A,( BCD) ) = từ A đến (BCD) Q D z a B a A y a P C x Bài (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M, N hình chiếu vuông góc A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM Gợi ý: Mọi cố gắng không muộn quan trọng bạn có thật cố gắng hay không ^^Page 10 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với gốc tọa độ O trùng với điểm A Ta có A(0;0;0), B(8a;0;0), C(0;6a;0), S(x;y;z) với z>0 2 2 SA=7a ⇔ x + y + z = 49a (1) z S ⇔ ( x − 8a ) + y + z = 81a 2 SB=9a C A B x y (2) ⇔ x + ( y − a ) + z = 121a SC=11a (3) Giải hệ (1), (2) (3), ta S(2a;-3a;6a) Suy đường cao hình chóp S.ABC h = zS = 6a S ABC = 2 AB AC = 24a VS ABC = 48a Hình chóp tứ giác Bài (Trích đề dự bị – ĐH Khối B năm 2006) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình o · thoi cạnh a, góc BAD = 60 , SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) SA = a Gọi C’ trung điểm SC Mặt phẳng (P) qua AC ' song song với BD cắt SB, SD B ', D ' Tính thể tích khối chóp S AB ' C ' D ' Gợi ý: Gọi O giao điểm AC DB S a a z OB = OD = , OA = 2 Vì tam giác ABD nên Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho tia Ox chứa A, tia Oy chứa B tia Oz nằm đường thẳng qua O song C song với SA (xem hình vẽ) Khi đó: D a   a   a   a  A ;0;0 ÷, B  0; ;0 ÷, C  − ;0;0 ÷, D  0; − ;0 ÷, O 2         A B x   y a a   C '  0;0; ÷, S  ;0; a ÷ 2    a a a a a a B ' ; ; ÷ D ' ; − ; ÷ 3 3   Tìm  Thể tích khối chóp S AB ' C ' D ' là: uur uuur uuur uur uuur uuur a 3 a 3 a 3 VS AB ' C ' D ' = VS AB ' C ' + VS AC ' D ' =  SA, SC ' SB ' +  SA, SC ' SD ' = + = 6 6 6 18 Bài (Trích đề ĐH Khối B năm 2006) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, SA = a SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) Gọi M, N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Gợi ý: Mọi cố gắng không muộn quan trọng bạn có thật cố gắng hay không ^^Page 16 +Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O ≡ A, tia Ox chứa B, tia Oy chứa D tia Oz chứa S (xem hình vẽ) Khi đó: A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C a; a 2;0 , D 0; a 2;0 , S ( 0;0; a ) ; ( ) ( )  a  a a a M  0; ;0 ÷, N  ; ; ÷ 2 2    uuu r uuur uuur  a  uur AS ( 0;0; a ) , AC a; a 2;0 , SM =  0; ; − a ÷, SB = ( a;0; −a )   uuu r uuur  AS , AC  = − a 2; a ;0  Vectơ pháp tuyến (SAC)  uuur uur    SM , SB  =  − a ; −a ;0 ÷     Vectơ pháp tuyến (SBM) uuu r uuur uuur uur  AS , AC   SM , SB  = a − a =    Vì  nên ( SAC ) ⊥ ( SBM ) ( z S ) ( N A M D y I x B C ) a a  uur uu r IC BC I ;0 ÷  ; = = ⇒ IC = −2 IA 3  Ta có IA AM Từ tìm  r a a3  uuur uur  uuu VANIB =  AN , AI  AB = = 6 36 Thể tích khối tứ diện ANIB Bài (Trích đề ĐH Khối A năm 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP Gợi ý: Gọi O trung điểm AD, SO ⊥ ( ABCD ) Chọn z Oxyz Oy Ox S hệ trục tọa độ cho tia chứa A, tia chứa N tia Oz chứa S (xem hình vẽ) Khi đó:  a 3 a  a  A  ;0;0 ÷, B  ; a;0 ÷, N ( 0; a;0 ) , S  0;0; ÷, 2  2    M a a a 3  a a  P  − ; ;0 ÷, M  ; ; ÷ 4  2    C P D uuuu r  a a a  uuu r  a  AM =  − ; ; ÷, BP =  −a; − ;0 ÷   O N y  2  Ta có: A B a3 x VCMNP = 96 Thể tích khối tứ diện CMNP Bài (Trích đề ĐH Khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N Mọi cố gắng không muộn quan trọng bạn có thật cố gắng hay không ^^Page 17 trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC Gợi ý: Gọi O giao điểm AC BD Chọn hệ trục tọa độ z Oxyz cho tia Ox chứa A, tia Oy chứa B tia Oz S chứa S (xem hình vẽ) Đặt SO=z, Khi đó: a   a   a  E A ;0;0 ÷, B  0; ;0 ÷, D  0; − ;0 ÷, S ( 0;0; z ) , 2       I  a   a a  a z C− ;0;0 ÷, N  − ; ;0 ÷, I  ;0; ÷, C 4 2 M D      a a  a a z E ; ; z ÷; M  ; ; ÷ N O 2    a B x A uuuu r  3a y z  uuur  a  MN =  ;0; ÷, BD =  0; − ;0 ÷ 4    Taucó uuu r uuur + MN BD = ⇒ MN ⊥ BD a d ( MN , AC ) = + Khoảng cách MN AC Bài (Trích đề ĐH Khối D năm 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, ·ABC = BAD · = 90o , AB = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu A SB Chứng minh tam giác SCD vuông tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Gợi ý: z Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O ≡ A, tia Ox chứa B, tia Oy chứa D tia Oz chứa S (xem hình vẽ) S A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C ( a; a;0 ) , D ( 0;2a;0 ) , S 0;0; a Tìm  2a a  H  ;0; ÷ 3  H A 2a  D y a x + y + z − a = Phương trình mặt phẳng (SCD) là: ( a d ( H ,( SCD ) ) = Khoảng cách từ H đến (SCD) ) B x a C Bài (Trích đề ĐH Khối B năm 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN Gợi ý: Mọi cố gắng không muộn quan trọng bạn có thật cố gắng hay không ^^Page 18 Gọi O hình chiếu S AB Ta có: a a 3a SO = , OA = , OB = 2 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho tia Ox chứa A, tia Oy vuông góc với AB tia Oz chứa S (xem hình vẽ) Khi đó: a   3a   3a  a  A  ;0;0 ÷, B  − ;0;0 ÷, C  − ; 2a;0 ÷, D  ; 2a;0 ÷, 2      2   a 3  a   3a  S  0;0; ÷, M  − ;0;0 ÷, N  − ; a;0 ÷       + Thể tích khối chóp S.BMDN VS BMDN = z S a B N C M A y O 2a x D a3 + cosin góc hai đường thẳng SM, DN Bài (Trích đề ĐH Khối A năm 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang o vuông A D; AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 60 · , DN ) = cos( SM Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Gợi ý: z Từ giả thiết suy SI ⊥ ( ABCD ) Đặt SI = z > S Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O ≡ I , tia Ox chứa D, tia Oy vuông góc với AB tia Oz chứa S (xem hình vẽ) Khi đó: A ( −a;0;0 ) , B ( −a;2a;0 ) , C ( a; a;0 ) , D ( a;0;0 ) , S ( 0;0; z ) + Từ giả thiết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 2a A B 3a 15 z= I o 60 ta tìm 2a + Thể tích khối chóp S.ABCD VS ABCD 3a 15 = D x y a C Bài (Trích đề ĐH Khối A năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a Gợi ý: Mọi cố gắng không muộn quan trọng bạn có thật cố gắng hay không ^^Page 19 Trước hết chứng minh DM ⊥ CN 1 a = + = + = ⇒ DH = 2 HD DN DC a a a + + DM = z S a 3a ⇒ HM = DM − DH = 10 a 2a ;.HC = 10 + + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O ≡ H , tia Ox chứa N, tia Oy chứa D tia Oz chứa S (xem hình vẽ) HN = Khi đó: a   a   2a  N ;0;0 ÷, D  0; ;0 ÷, C  − ;0;0 ÷, 5  10      B M C a H A N D y x  3a  M  0; − ;0 ÷, S 0;0; a 10   ( ) + Thể tích khối chóp S.CDNM VS CDNM = 5a 3 24 2a 57 19 + Khoảng cách hai đường thẳng DM SC là: Bài (Trích đề ĐH Khối D năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a cạnh bên SA = a, hình chiếu vuông góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) điểm H AC AH = Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung thuộc đoạn AC, điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a Gợi ý: + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O ≡ H , tia Ox z Oy song song với tia AB, tia song song với tia AD S Oz tia chứa S (xem hình vẽ) Khi đó: d ( DM , SC ) = a 2 a 14 SH = SA − AH = a −  ÷ =    a a   3a a   3a 3a  A  − ; − ;0 ÷, B  ; − ;0 ÷, C  ; ;0 ÷,   4   4   2 M a 14   a 3a   D  − ; ;0 ÷, S  0;0; ÷   4   a A a B x D y H C Mọi cố gắng không muộn quan trọng bạn có thật cố gắng hay không ^^Page 20 2 Ta có SC = SH + CH = a = AC nên tam giác SAC cân C M trung điểm SA Suy  a a a 14  a 14 M − ;− ; ÷ VS BMC = 8  48  Thể tích khối chóp S.BMC Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD bình hành, AD = 4a, cạnh bên hình chóp a Tìm côsin góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) thể tích khối chóp S.ABCD lớn Gợi ý: + Gọi O giao điểm AC BD; M,N z AB AD Từ giả thiết suy S SO ⊥ AC   ⇒ SO ⊥ ( ABCD) SO ⊥ BD  2 OA = OB = OC = OD = 6a − SO nên ABCD hình chữ nhật B 2 Đặt ON = x > Khi OA = x + 4a C x O M SO = SA2 − OA2 = 2a − x + Thể tích khối chóp S.ABCD A N 4a D VS ABCD = AB AD.SO = ax 2a − x y 3 f ( x) = ax 2a − x x ∈ 0; a + Bằng cách xét hàm số với áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta suy VS ABCD lớn x = a Suy SO = a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz ( ) a   a   a   B  2a; − ;0 ÷, C  −2a; − ;0 ÷, D  −2a; ;0 ÷, S ( 0;0; a )      hình vẽ Khi đó:  cos ϕ = Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) ***** Mọi cố gắng không muộn quan trọng bạn có thật cố gắng hay không ^^Page 21 Hình lăng trụ tam giác Bài (Trích đề Dự bị 1- ĐH Khối A năm 2007) Cho hình lăng trụ đứng ABC A1B1C1 có · AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a BAC = 120o Gọi M trung điểm cạnh CC1 Chứng minh MB ⊥ MA1 tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( A1BM ) Giải: a) Kẻ AO ⊥ BC Ta có z BC = a + 4a − 2.a.2a cos120 = a AB AC sin120o a 21 o AO.BC = AB AC.sin120 ⇒ AO = = BC 2 o C1 B1 A1 21a 2a OB = AB − AO = a − = ; 49 2 5a Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ Khi  a 21   2a  A ;0;0 ÷, B  0; ;0 ÷, 7        a 21  5a M  0; − ; a ÷, A1  ;0;2a ÷     uuuu r  a 21 5a  uuur MA1 =  ; ; a ÷, MB = 0; a 7; − a   Ta có uuuu r uuur uuuu r uuur 2 MA1.MB = 5a − 5a = ⇒ MA1 ⊥ MB ⇒ MA1 ⊥ MB OC = BC − OB = ( y C B a 2a A x )  2a  12 x − 15  y − ÷− 21z = ( A BM )   b) Phương trình mặt phẳng là: a d ( A,( A1BM ) ) = ( A BM ) Khoảng cách từ A đến là: Bài (Trích đề dự bị – ĐH Khối D năm 2007) Cho lăng trụ đứng ABC A1B1C1 có tất cạnh a, M trung điểm đoạn AA1 Chứng minh BM ⊥ B1C tính khoảng cách hai đường thẳng BM B1C Gợi ý: Mọi cố gắng không muộn quan trọng bạn có thật cố gắng hay không ^^Page 22 Gọi O trung điểm BC chon hệ trục tọa độ Oxyz có tia Ox chứa A, tia Oy chứa C tia Oz chứa trung điểm B1C1 (xem hình vẽ) Khi đó: a a a  a    a   B  0; − ;0 ÷, C  0; ;0 ÷, M  ;0; ÷ vµ B1  0; − ; a ÷  2       z C1 B1 A1 a uuur uuuu r  a a a  uuur O BC = ( 0; a;0 ) , BM =  ; ; ÷, B1C = ( 0; − a;0 ) C y B  2 2 Ta có a a uuuu r uuur a2 a2 A BM B1C = − + = ⇒ BM ⊥ B1C x 2 + uuuu r uuur uuur a3  BM , B1C  BC a 30   = 22 = uuuu r uuur uuuu r uuur  a a  d ( BM , B1C ) = 10 a 10  BM , B1C   BM , B1C  =  a ; − ; − ÷     2   + Bài (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối D năm 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA ' = 2a, A ' C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A ' C ' , I giao điểm AM A ' C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) Giải: Ta có z 2 2 AC = A ' C − AA ' = a 5; BC = AC − AB = 2a C' B' M Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O ≡ B, tia Ox chứa A, tia Oy chứa C tia Oz chứa B’ (xem hình vẽ) Khi đó: A' a  B (0;0;0), A(a;0;0), C (0; 2a;0), M  ; a; 2a ÷ 2  uu r uuur  2a 2a a  IA = −2 IM ⇒ I  ; ; ÷ I x; y; z )  3  Gọi ( , Thể tích khối tứ diện IABC là: r uuur uuu r 8a 4a3 uuu   VIABC =  BA, BC  BI = = 6 I 3a 2a B a C A x r uur uuur  8a 4a    n = BI , BC = − ;0; r ÷    3   n + Gọi vectơ pháp tuyến mặt phẳng (IBC) Khi ur ur n ' = ( −2;0;1) n ' = ( −2;0;1) phương với Mặt phẳng (IBC) qua B có vectơ pháp tuyến nên có | −2a | 2a d ( A,( IBC ) ) = = ( − 2) + phương trình: −2 x + z = Vậy khoảng cách từ A đến (IBC) Bài (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối A năm 2008) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vuông góc Mọi cố gắng không muộn quan trọng bạn có thật cố gắng hay không ^^Page 23 y đỉnh A mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A ' ABC cosin góc hai đường thẳng AA ' B ' C ' Giải: + Gọi O trung điểm BC, H trung điểm AB, K trung z C' B' điểm AC OHAK hình chữ nhật Ta có: BC BC = AB + AC = 2a, OA = = a, OA ' = A' AA '2 − OA2 = 4a − a = a a2 a OH = OA − AH = a − = ; 2 2 B O 3a a H OK = OA − AK = a − = K x A y + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho tia Ox chứa H, tia Oy chứa K tia Oz chứa A’ (xem hình vẽ) Khi đó: a a  a a   a a  A ' 0;0; a , A  ; ;0 ÷, B  ; − ;0 ÷, C  − ; ;0 ÷  2   2    r uuuu r uuuur 3a 3a a uuuu VA ' ABC =  A ' A, A ' B  A ' C = − − = 6 2 + Thể tích khối chóp A ' ABC uuur BC = − a 3; a;0 ϕ B ' C ' AA ' + Gọi góc uuur uuur AA '.BC uuur uuur cos ϕ = cos( AA ', BC ) = = AA '.BC ( 2 C ) ( ) Khi đó: Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B, góc ·ACB = 60o , biết AA ' = BA ' = a 7, mặt bên ( ABB ' A ') vuông góc với mặt phẳng (ABC) o Mặt phẳng ( ACC ' A ') tạo với (ABC) góc 60 Tính thể tích khối lăng trụ cho Gợi ý: + Gọi O trung điểm AB, M trung điểm AC Khi A ' O ⊥ AB, A ' O ⊥ OM , OM ⊥ AB x OA ' = 7a − x ; OM = OA = x > 0, Đặt Mọi cố gắng không muộn quan trọng bạn có thật cố gắng hay không ^^Page 24 + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho tia Ox chứa A, tia Oy chứa M tia Oz chứa A’ (xem hình vẽ) Khi đó:  x  A( x;0;0), M  0, ;0 ÷, A ' 0;0; a − x   cos ϕ = ⇒ x = 2a Theo giả thiết 4a AB = 4a, BC = ; OA ' = a 3 Suy Thể tích khối lăng trụ cho 1 4a V = S ABC OA ' = AB.BC.OA ' = 4a .a = 8a 2 z C' A' ) ( B' y x A M C O B Bài (Trích đề dự bị – ĐH Khối D năm 2007) Cho lăng trụ đứng ABC A1B1C1 đáy ABC tam giác vuông, AB = AC = a, AA1 = a Gọi M, N trung điểm đoạn AA1 BC1 Chứng minh MN đường vuông góc chung AA1 BC1 Tính thể tích khối chóp MA1BC1 Gợi ý: + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O ≡ A , tia Ox chứa B, tia Oy chứa C tia Oz chứa A’ (xem hình vẽ) Khi đó: B ( a;0;0 ) , C ( 0; a;0 ) , A1 0;0; a , B1 a;0; a , ( ) ( ) ( ) ( C1 A1 )  a 2 a a a 2 C1 0; a; a , M  0;0; ÷, N  ; ; ÷  2 2   uuuu r  a a  uuur uuuu r MN =  ; ;0 ÷, AA1 = 0;0; a , BC1 = − a; a; a 2  + uuuu r uuur MN AA1 =  uuuu r uuuu r  ⇒ MN ⊥ AA1 MN BC1 =  MN ⊥ BC1 MN đường vuông góc chung AA1 BC1 ( z B1 M ) N a B A a C y x a3 = 12 VMA1BC1 Tính thể tích khối chóp MA1BC1 Bài (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối D năm 2008) Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, AA ' = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách hai đường thẳng AM , B ' C Gợi ý: + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O ≡ B , tia Ox chứa A, tia Oy chứa C tia Oz chứa B’ (xem hình vẽ) Khi đó:  a  A ( a;0;0 ) , B ( 0;0;0 ) , C ( 0; a;0 ) , A ' a;0; a , B ' 0;0; a , C ' 0; a; a , M  0; ;0 ÷   + Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' V = a ( ) ( ) ( ) Mọi cố gắng không muộn quan trọng bạn có thật cố gắng hay không ^^Page 25 + Ta có: uuuu r  uuuu r a  uuuur AM =  −a; ;0 ÷, B ' C = 0; a; − a , AB ' = −a;0; a   uuuu r uuuur  a 2  2  AM , B ' C  =  − ; − a 2; − a ÷     + Khoảng cách hai đường thẳng AM , B ' C uuuu r uuuur uuuu r  AM , B ' C  AB ' a   d ( AM , B ' C ) = = uuuu r uuuur  AM , B ' C    ( ) ( z ) C' B' A' B A a M C a y x Bài (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối B năm 2009) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có BB ' = a ; o góc đường thẳng BB’ mặt phẳng (ABC) 60 ; tam giác ABC vuông C · BAC = 60o Hình chiếu vuông góc điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A ' ABC theo a Gợi ý: Gọi G trọng tâm tam giác ABC Đặt AC = x , suy A' B' z BC = x 3, AC = x Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Ta có x x  A ( x;0;0 ) , B 0; x 3;0 , C ( 0;0;0 ) , G  ; ;0 ÷ 3   uuur  x −2 x  x 13 BG =  ; ;0 ÷⇒ BG = 3 3  ( 13x ⇒ GB ' = a − C' ) x y a A B G C 3a 13 x= ·B ' BO = 60o 26 Sử dụng giả thiết góc BB’ mặt phẳng (ABC) suy 9a 3a 13 3a 39 a VA ' ABC = AC = ; BC = ; OB ' = 208 26 26 Thể tích khối tứ diện A ' ABC Vậy Bài (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối B năm 2010) Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' o có AB = a , góc (A’BC) (ABC) 60 Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a Gợi ý: Mọi cố gắng không muộn quan trọng bạn có thật cố gắng hay không ^^Page 26 Gọi O trung điểm BC Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho, tia Ox chứa A, tia Oy chứa B tia Oz song song với tia AA’ (xem hình a   a  a   A ;0;0 ÷, B  0; ;0 ÷, C  0; − ;0 ÷ 2      vẽ) Khi đó:   a 3a   a a  A' ;0; ÷, G  ;0; ÷   2  z C A' B' x G A a3 VABC A ' B ' C ' = O Thể tích khối lăng trụ cho là: B y 7a R= 12 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC K2pi.net - 2013: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có BC = 2AB, AB ⊥ BC Gọi M, N lần 2a lượt trung điểm A'B' BC Khoảng cách hai đường thẳng AM B'C Góc hai mặt phẳng (AB'C) (BCC'B') 60o Tính thể tích khối chóp MABC bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B'ANC theo a Giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với gốc tọa độ O trùng điểm B Đặt AB = x (x>0) BC = 2x Ta có B(0; 0; 0), C(2x; 0; 0), A(0; x; 0), N(x; 0; 0) x A'(0; x; y) (y>0), B'(0; 0; y), C'(2x; 0; y), M(0; ; y) uuur  x  uuuur AM =  0; − ; y ÷, B ' C = ( x;0; − y )   uuur uuuu r  xy  ⇒  AM; B ' C  =  ;2 xy; x ÷   uuur AC = ( x ; − x;0 ) uuur uuuur uuur −x2y 2a xy a  AM; B ' C  AC ⇔ = ⇔ =   d ( AM, B ' C ) = uuur uuuur 7 x y2 x + 17 y + x y2 + x  AM; B ' C    (1) uuu r uuur uuur uuur  AB ', AC  = xy;2 xy;2 x AB ' = ( 0; − x; y ) AC = ( x ; − x;0 )  nên  nên (AB'C) có vectơ pháp uuu r uuur r r  AB ', AC  n = ( y;2 y;2 x )  ) (BCC'B') có vectơ pháp tuyến n phương với  tuyến (vì r j = ( 0;1;0 ) ( ) Mọi cố gắng không muộn quan trọng bạn có thật cố gắng hay không ^^Page 27 C rr n j 2y 11 cos ( ( AB ' C),( BCC ' A ') ) = r r ⇔ = ⇔ y + x = 16 y ⇔ x = y 2 2 n j 5y + x y= (2) 4a 11 x = a Thế (2) vào (1), giải phương trình ta kết 1  a 16 11a VMABC = S ABC AA'=  a.4 a ÷ = 3 33  11 Vậy  • Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B'ANC theo a Phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp khối chóp B'ANC có dạng: ( S ) : x + y + z + 2a1 x + 2by + 2cz + d = T −a ; −b; −c ) , R = a12 + b + c − d với tâm ( Vì B', A, N, C thuộc mặt cầu (S) nên tọa độ chúng thỏa phương trình mặt cầu, ta có hệ: 16 11 a1 = −3a a.c + d =  a +  11 b = −3a  11 31 4 a + a.b + d =  ⇔ 13a ⇒ R = 3a  11 4 a + a.a + d = c = − 11   16 a + 8a.a1 + d = d = 8a  Lăng trụ tứ giác Bài (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối B năm 2011) Cho lăng trụ ABCD A1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a Hình chiếu vuông góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng ( ADD1 A1 ) ( ABCD) 60o Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng ( A1BD) theo a Gợi ý: Mọi cố gắng không muộn quan trọng bạn có thật cố gắng hay không ^^Page 28 Gọi O giao điểm AC BD Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi đó: B1 a a  a a   a a  A ; ;0 ÷, B  ; − ;0 ÷, C  − ; − ;0 ÷, 2 2 2       C1 z A1 D1  a a  D− ; ;0 ÷ 2   Từ giả thiết góc hai mặt phẳng ( ADD1 A1 )  a 3 A1  0;0; ÷  ( ABCD) 60o tìm   a 3 B1  0; −a; ÷  Suy  Thể tích khối lăng trụ cho VABCD A1B1C1D1 B C O a x A y D 3a = a B ( A BD ) 1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng D12: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a Giải: a a AC = AA ' = AB = Từ giả thiết ta tính Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với gốc tọa độ O trùng với điểm A  a  a a  a  B  0; ;0 ÷ C  ; ;0 ÷ D  ;0;0 ÷  Ta có: A(0;0;0),   ,  2  ,  d ( B1 ,( A1BD ) ) = a  a    a a  a a a  a A '  0;0; ÷ B '  0; ; ÷ C ' ; ; ÷ D '  ;0; ÷ ,  ,  ,  2  r a a a  uuu r  a  uuur  a a  uuuu AC '= ; ; AB =  0; ;0 ÷ AB ' =  0; ; ÷ ÷  2 ; 2 2   ; uuu r uuur  uuu r uuur uuuu r  r uuur uuuu r  uuu a3  AB; AB ' =  a ;0;0 ÷ ⇒  AB; AB ' AC ' = a ⇒ V  AB; AB ' AC ' =   ABB ' C ' =   2  6 48 Mọi cố gắng không muộn quan trọng bạn có thật cố gắng hay không ^^Page 29 uuur uuuu r  a2 a2  r uuuu r  uuu r  a a a   CD  ⇒ CD ; CD '  =  0; ; ÷⇒ n = 0; 2;1 ' = 0; − ; CB =  − ;0;0 ÷  ÷   2 2      • , VTPT a 2y + z − =0 mặt phẳng (BCD’) nên (BCD’): ( ⇒ d ( A,( BCD ') ) = 2.0 + − a 2 ( 2)2 + 12 = a 6 )  HẾT Mọi cố gắng không muộn quan trọng bạn có thật cố gắng hay không ^^Page 30 [...]... & Tuổi trẻ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = a và · ABC = 30o Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với đáy một góc 60o Biết rằng hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) thuộc cạnh BC Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Giải: Mọi sự cố gắng không bao giờ là muộn quan trọng là bạn có thật sự cố gắng hay không ^^Page 14 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc... 1+ 3 8 32 ( x−  Mọi sự cố gắng không bao giờ là muộn quan trọng là bạn có thật sự cố gắng hay không ^^Page 15 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng với điểm A Ta có A(0;0;0), B(8a;0;0), C(0;6a;0), S(x;y;z) với z>0 2 2 2 2 SA=7a ⇔ x + y + z = 49a (1) z S ⇔ ( x − 8a ) + y 2 + z 2 = 81a 2 2 SB=9a C A B x y (2) ⇔ x + ( y − 6 a ) + z = 121a SC=11a (3) Giải hệ (1), (2) và (3), ta được... BM ) 3 1 Khoảng cách từ A đến là: Bài 2 (Trích đề dự bị 2 – ĐH Khối D năm 2007) Cho lăng trụ đứng ABC A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a, M là trung điểm của đoạn AA1 Chứng minh BM ⊥ B1C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và B1C Gợi ý: Mọi sự cố gắng không bao giờ là muộn quan trọng là bạn có thật sự cố gắng hay không ^^Page 22 Gọi O là trung điểm BC và chon hệ trục tọa độ Oxyz có tia Ox... giao điểm của AC và BD Góc giữa hai mặt phẳng ( ADD1 A1 ) và ( ABCD) bằng 60o Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng ( A1BD) theo a Gợi ý: Mọi sự cố gắng không bao giờ là muộn quan trọng là bạn có thật sự cố gắng hay không ^^Page 28 Gọi O là giao điểm của AC và BD Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ Khi đó: B1 a 3 a  a 3 a   a 3 a  A ; ;0 ÷, B  ; − ;0 ÷,... Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là Mọi sự cố gắng không bao giờ là muộn quan trọng là bạn có thật sự cố gắng hay không ^^Page 17 trung điểm của BC Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC Gợi ý: Gọi O là giao điểm của AC và BD Chọn hệ trục. .. tiếp tứ diện GABC là K2pi.net - 2013: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có BC = 2AB, AB ⊥ BC Gọi M, N lần 2a lượt là trung điểm của A'B' và BC Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C bằng 7 Góc giữa hai mặt phẳng (AB'C) và (BCC'B') bằng 60o Tính thể tích khối chóp MABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B'ANC theo a Giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng điểm B Đặt... S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN Gợi ý: Mọi sự cố gắng không bao giờ là muộn quan trọng là bạn có thật sự cố gắng hay không ^^Page 18 Gọi O là hình chiếu của S trên AB Ta có: a 3 a 3a SO = , OA = , OB = 2 2 2 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho tia Ox chứa A, tia Oy vuông góc với AB và tia Oz chứa S (xem hình vẽ) Khi đó: a   3a   3a  a  A  ;0;0 ÷, B  − ;0;0 ÷, C  − ;... 2 8  SA; BC  24 a 2   Suy ra:  B12: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a Gọi H là hình chóp vuông góc của A trên cạnh SC Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a Giải: ( ) Mọi sự cố gắng không bao giờ là muộn quan trọng là bạn có thật sự cố gắng hay không ^^Page 13 z S H C A K O B x y Gọi K là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) thì K là... tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a Gợi ý: Mọi sự cố gắng không bao giờ là muộn quan trọng là bạn có thật sự cố gắng hay không ^^Page 19 Trước hết chứng minh được DM ⊥ CN 1 1 1 4 1 5 a 5 = + = 2 + 2 = 2 ⇒ DH = 2 2 2 HD DN DC a a a 5 + + DM = z S a 5 3a 5 ⇒ HM = DM − DH = 2 10 a 5 2a 5 ;.HC = 10 5 + + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O ≡ H , tia Ox chứa N,... như hình vẽ Khi đó:  2 cos ϕ = 5 Gọi ϕ góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) thì ***** Mọi sự cố gắng không bao giờ là muộn quan trọng là bạn có thật sự cố gắng hay không ^^Page 21 3 Hình lăng trụ tam giác Bài 1 (Trích đề Dự bị 1- ĐH Khối A năm 2007) Cho hình lăng trụ đứng ABC A1B1C1 có · AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a 5 và BAC = 120o Gọi M là trung điểm của cạnh CC1 Chứng minh MB ⊥ MA1 và tính khoảng cách