GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ I PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Để giải tốn hình khơng gian phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ chọn độ dài cạnh hình PHƯƠNG PHÁP: Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vò trí gốc O) Bước 2: Xác đònh toạ độ điểm có liên quan (có thể xác đònh toạ độ tất điểm số điểm cần thiết) Khi xác đònh tọa độ điểm ta dựa vào : • Ý nghóa hình học tọa độ điểm (khi điểm nằm trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ) • Dựa vào quan hệ hình học nhau, vuông góc, song song ,cùng phương , thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ • Xem điểm cần tìm giao điểm đường thẳng, mặt phẳng • Dưạ vào quan hệ góc đường thẳng, mặt phẳng Bước 3: Sử dụng kiến thức toạ độ để giải toán Các dạng toán thường gặp: • Độ dài đọan thẳng • Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng • Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng • Khoảng cách hai đường thẳng • Góc hai đường thẳng • Góc đường thẳng mặt phẳng • Góc hai mặt phẳng • Thể tích khối đa diện • Diện tích thiết diện • Chứng minh quan hệ song song , vuông góc • Bài toán cực trò, quỹ tích Bổ sung kiến thức : 1) Nếu tam giác có diện tích S hình chiếu có diện tích S ' tích S với cosin góc ϕ mặt phẳng tam giác mặt phẳng chiếu S ' = S cos ϕ 2) Cho khối chóp S.ABC Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A ', B', C' khác với S Ta có: V ' ' ' SA ' SB ' SC ' S.A B C = V S ABC SA SB SC Ta thường gặp dạng sau Hình chóp tam giác a Dạng tam diện vng Ví dụ Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đơi vng góc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) 1, 2, Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) d[M, (OAB)] = Þ zM = Tương tự Þ M(1; 2; 3) x y z pt(ABC): + + = a b c M Ỵ (ABC) Þ + + = (1) a b c VO.ABC = abc (2) 3 (1) Þ = + + ³ 33 a b c a b c Þ abc ³ 27 = = = (2) Þ Vmin = 27 Û a b c Ví dụ: 1) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) tam giác ABC vuông A, AD = a, AC = b, AB = c Tính diện tích S tam giác BCD theo a, b, c chứng minh : 2S ≥ abc ( a + b + c ) (Dự bò – Đại học khối D – 2003) Giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có tọa độ điểm :A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a) uuur uuur uuur uuur BC = ( −c; b; ) , BD = ( − c; 0;a ) , BC, BD = ( ab;ac; bc ) uuur uuur 2 SBCD = BC,BD = a b + a2 c2 + b c2 2 z D y A C B x đpcm ⇔ a2 b2 + a2 c2 + b2 c2 ≥ abc(a + b + c) ⇔ a2 b2 + a2 c2 + b2 c2 ≥ abc(a + b + c) Theo BĐT Cauchy ta : a2 b2 +b2 c2 ≥ 2ab2 c b2 c2 +c2 a2 ≥ 2bc2 a Cộng vế : a2 b2 + a2 c2 + b2 c2 ≥ abc(a + b + c) c2 a2 + a2 b2 ≥ 2ca2 b b Dạng khác Ví dụ Tứ diện S.ABC có cạnh SA vng góc với đáy D ABC vng C Độ dài cạnh SA = 4, AC = 3, BC = Gọi M trung điểm cạnh AB, H điểm đối xứng C qua M Tính cosin góc phẳng nhị diện [H, SB, C] Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) H(1; 0; 0) mp(P) qua H vng góc với SB I cắt đường thẳng SC K, dễ thấy uur uur [H, SB, C] = ( IH, IK ) (1) uur uur SB = (- 1;- 3; 4) , SC = (0;- 3; 4) suy ra: ïìï x = - t ïìï x = ïï ïï ptts SB: í y = - 3t , SC: í y = - 3t ïï ïï ïï z = 4t ïï z = 4t ïỵ ïỵ (P): x + 3y – 4z – = 15 51 32 Þ I ; ; , K 0; ; 8 25 25 uur uur IH.IK =… Þ cos[H, SB, C] = IH.IK Chú ý: Nếu C H đối xứng qua AB C thuộc (P), ta khơng cần phải tìm K ( ) ( ) Ví dụ (trích đề thi Đại học khối A – 2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích D AMN, biết (AMN) vng góc với (SBC) Hướng dẫn giải Gọi O hình chiếu S (ABC), ta suy O trọng tâm D ABC Gọi I trung điểm BC, ta có: a AI = BC = 2 a a Þ OA = , OI = Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vng góc với OA Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta được: ỉa ; 0; 0÷ O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A ç ÷ ç ÷ ç è ø ỉa ỉa a ÷ çÞ Iç ; 0; B ; ; 0÷ , ÷ ÷ ç ÷ ç ÷, ç ç ø è ø è ỉa a ỉ a a hư Cç ; - ; 0÷ ; ; ÷ , Mç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ø è 12 ø è ỉa a hư ; ; ÷ N ç ÷ ç ÷ ç 2ø è 12 uuur uuur uur uur ỉ r r ah 5a2 a2 ù= ỉ ÷ ÷ é ù ç ç Þ n(AMN) = é AM, AN ; 0; n = SB, SC = ah; 0; (SBC) , ÷ ÷ ç ê ú ç ê ú ç ÷ ë û ÷ ç ë û 24 ø ø è4 è r r 5a2 uuur uuur ù a2 10 (AMN) ^ (SBC) Þ n(AMN).n(SBC) = Þ h2 = Þ SDAMN = é ëAM, AN ú û = 16 12 2ê Hình chóp tứ giác a) Hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy đáy hình vng (hoặc hình chữ nhật) Ta chọn hệ trục tọa độ dạng tam diện vng b) Hình chóp S.ABCD có đáy hình vng (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vng góc với đáy Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS Ox, Oy, Oz Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h) c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD AB = b D SAD cạnh a vng góc với đáy Gọi H trung điểm AD, (ABCD) ta vẽ tia Hy vng góc với AD Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta có: ỉ a a a a a 3ư ÷ 0; 0; H(0; 0; 0), A ; 0; , B ; b; , C - ; b; , D - ; 0; , Sç ÷ ç ÷ ç 2 2 ø è ( ) ( ) ( ) ( ) Hình lăng trụ đứng Tùy theo hình dạng đáy ta chọn hệ trục dạng Ví dụ: Cho h×nh lËp phư¬ng ABCD A'B'C'D' CMR AC' vu«ng gãc mp’ (A'BD) Z D' C' I' A' B' D Y O C I A B X Lêi gi¶i: Chän hƯ trơc täa ®é Oxyz cho O ≡ A; B ∈ Ox; D ∈ Oy vµ A' ∈ Oz Gi¶ sư h×nh lËp ph¬ng ABCD A'B'C'D' cã c¹nh lµ a ®¬n vÞ ⇒ A(0;0;0), B (a;0;0), D(0;a;0), A' (0;0;a) C'(1;1;1)⇒ Phư¬ng tr×nh ®o¹n ch¾n cđa mỈt ph¼ng (A'BD): x + y + z = a hay x + y + z –a = ⇒ Ph¸p tun cđa mỈt ph¼ng (A'BC): n (A'BC) = (1;1;1) mµ AC' = (1;1;1) VËy AC' vu«ng gãc (A'BC) Tø diƯn ABCD: AB, AC, AD ®«i mét vu«ng gãc víi nhau; AB = 3; AC = AD= TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A tíi mỈt ph¼ng (BCD) z B O A C y D x Lêi gi¶i: + Chän hƯ trơc Oxyz cho A ≡ O D ∈Ox; C ∈ Oy vµ B ∈ Oz ⇒ A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0) ⇒ Phư¬ng tr×nh ®o¹n ch¾n cđa (BCD) lµ: x y z + + = ⇔ 3x + 3y + 4z – 12 = 4 Kho¶ng c¸ch tõ A tíi mỈt ph¼ng (BCD) lµ: Nhấn mạnh cho học sinh: II Ph¬ng ph¸p gi¶i: §Ĩ gi¶i mét bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian b»ng ph¬ng ph¸p sư dơng täa ®é §Ị c¸c kh«ng gian ta lµm nh sau: * Bíc 1: ThiÕt lËp hƯ täa ®é thÝch hỵp, tõ ®ã suy täa ®é c¸c ®iĨm cÇn thiÕt * Bíc 2: Chun h¼n bµi to¸n sang h×nh häc gi¶i tÝch kh«ng gian B»ng c¸ch: + ThiÕt lËp biĨu thøc cho gi¸ trÞ cÇn x¸c ®Þnh + ThiÕt lËp biĨu thøc cho ®iỊu kiƯn ®Ĩ suy kÕt qu¶ cÇn chøng minh + ThiÕt lËp biĨu thøc cho ®èi tỵng cÇn t×m cùc trÞ + ThiÕt lËp biĨu thøc cho ®èi tỵng cÇn t×m q tÝch v.v… III Lun tËp Bµi 1: Cho h×nh chãp SABC, c¸c c¹nh ®Ịu cã ®é dµi b»ng 1, O lµ t©m cđa ∆ABC I lµ trung ®iĨm cđa SO MỈt ph¼ng (BIC) c¾t SA t¹i M T×m tØ lƯ thĨ tÝch cđa tø diƯn SBCM vµ tø diƯn SABC H lµ ch©n ®êng vu«ng gãc h¹ tõ I xng c¹nh SB CMR: IH ®i qua träng t©m G cđa ∆SAC Lêi gi¶i: Chän hƯ trơc Oxyz cho O lµ gèc täa ®é A∈Ox, S ∈Oz, BC//Oy Täa ®é c¸c ®iĨm: A( ;0;0) ; B (− ; − ;0) ; C ( − ; ;0) ; S (0;0 ) ; I (0;0; ) 6 uuur uur uuur uur 6 Ta có: BC = (0;1;0) ; IC = (− ; ;− ) ; ⇒ BC , IC = ( − ;0; ) 6 6 ⇒ Phư¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (IBC) lµ: 6 − ( x − 0) + 0( y − 0) + (z − )=0 6 uur uur r 6 Hay: − + z − = mà ta lại có: SA = ( ;0; − ) ⇒ SA // u SA (1;0; − 2) 3 Phư¬ng tr×nh ®ưêng th¼ng SA: x = + t ; y = 0; z = − 2t +t (1) x = (2) y = + Täa ®é ®iĨm M lµ nghiƯm cđa hƯ: Thay (1) (2) (3) vµo (4) cã: y = − t (3) − x + z − = (4) uuur uur uuur 6 ⇒x= ; y = 0; z = ⇒ M ( ;0; ) ; ⇒ SM = ( ;0; − ) ⇒ SA = 4SM 12 12 12 12 V( SBCM ) SM = = ⇒ ⇒ M n»m trªn ®o¹n SA vµ V ( SABC ) SA Do G lµ träng t©m cđa ∆ASC ⇒ SG ®i qua trung ®iĨm N cđa AC ⇒ GI ⊂ (SNB) ⇒ GI vµ SB ®ång ph¼ng (1) uur Ta l¹i cã täa ®é G ( ; ; ) ⇒ GI = (− ; − ; ) 18 18 18 u u r u u r uur ⇒ GI = (− ;− ; ) ⇒ GI SB = ⇒ GI ⊥ SB (2) 18 18 Tõ (1) vµ (2) ⇒ GI ⊥ SB = H z z S S M H I I B G C y O O A A N x x Bµi 2: Cho h×nh l¨ng trơ ABCD A1B1C1 cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Ịu c¹nh a AA1 = 2a vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (ABC) Gäi D lµ trung ®iĨm cđa BB1; M di ®éng trªn c¹nh AA1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cđa diƯn tÝch ∆MC1D Lêi gi¶i: + Chän hƯ trơc täa ®é Oxyz cho A ≡ O; B ∈ Oy; A1 ∈ Oz Khi ®ã.A(0;0;0), B(0;a;0); A1 (0;0;2a) a a ; ; 2a) vµ D(0;a;a) 2 Do M di ®éng trªn AA1, täa ®é M (0;0;t)víi t ∈ [0;2a] uuur uuuur Ta cã : S ∆DC1M = DC1 , DM 2 uuur a a uuur uuuur DC = ( ; − ; a) −a ⇒ DG, DM = = (t − 3a; 3(t − a ); a 3) 2 Ta có: uuuur DM = (0; −a; t − a ) uuur uuuur a ⇒ DG, DM = (t − 3a ) + 3(t − a ) + 3a 2 a z = 4t − 12at + 15a 2 a S ∆DC1M = 4t − 12at + 15a 2 A C1 ( C1 M A x B1 D B C C y Gi¸ trÞ lín nhÊt hay nhá nhÊt cđa S DC1M tïy thc vµo gi¸ trÞ hµm sè XÐt f(t) = 4t2 – 12at + 15a2 f(t) = 4t2 – 12at + 15a2 (t ∈[0;2a]) f'(t) = 8t – 12a 3a f '(t ) = ⇔ t = a 15 Lập BBT gi¸ trÞ lín nhÊt cđa S DC1M = t =0 hay M≡ A Chú ý + Hình chóp tam giác có đáy tam giác cạnh bên nhau, khơng thiết phải đáy Chân đường cao trọng tâm đáy + Tứ diện hình chóp tam giác có cạnh bên đáy + Hình hộp có đáy hình bình hành khơng thiết phải hình chữ nhật II CÁC DẠNG BÀI TẬP CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH CHĨP TAM GIÁC Bài (trích đề thi Đại học khối D – 2002) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) Bài Cho D ABC vng A có đường cao AD AB = 2, AC = Trên đường thẳng vng góc với (ABC) A lấy điểm S cho SA = Gọi E, F trung điểm SB, SC H hình chiếu A EF Chứng minh H trung điểm SD Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (ACE) Tính thể tích hình chóp A.BCFE Bài Cho hình chóp O.ABC có cạnh OA = OB = OC = 3cm vng góc với đơi Gọi H hình chiếu điểm O lên (ABC) điểm A’, B’, C’ hình chiếu H lên (OBC), (OCA), (OAB) Tính thể tích tứ diện HA’B’C’ Gọi S điểm đối xứng H qua O Chứng tỏ S.ABC tứ diện Bài Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi a, b, g góc nhị diện cạnh AB, BC, CA Gọi H hình chiếu đỉnh O (ABC) Chứng minh H trực tâm D ABC 1 1 Chứng minh = + + OH OA OB OC2 Chứng minh cos2 a + cos2 b + cos2 g = Chứng minh cosa + cosb + cos g £ Bài Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vng góc với đơi Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Tính góc j (OMN) (OAB) Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu O (ABC) trọng tâm D ANP 1 Chứng minh góc phẳng nhị diện [N, OM, P] vng = + a b c Bài Cho hình chóp S.ABC có D ABC vng cân A, SA vng góc với đáy Biết AB = 2, · (ABC),(SBC) = 600 Tính độ dài SA Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC) Tính góc phẳng nhị diện [A, SB, C] Bài Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vng góc với đơi Tính bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bài (trích đề thi Đại học khối D – 2003) Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với nhau, giao tuyến đường thẳng (d) Trên (d) lấy hai điểm A B với AB = a Trong (P) lấy điểm C, (Q) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với (d) AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, AB = a, BC = 2a Cạnh SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SC Tính diện tích D MAB theo a Tính khoảng cách MB AC theo a Tính góc phẳng nhị diện [A, SC, B] Bài 10 Cho tứ diện S.ABC có D ABC vng cân B, AB = SA = Cạnh SA vng góc với đáy Vẽ AH vng góc với SB H, AK vng góc với SC K Chứng minh HK vng góc với CS Gọi I giao điểm HK BC Chứng minh B trung điểm CI Tính sin góc SB (AHK) Xác định tâm J bán kính R mặt cầu ngoại tiếp S.ABC Bài 11 Cho hình chóp S.ABC có D ABC vng C, AC = 2, BC = Cạnh bên SA = vng góc với đáy Gọi D trung điểm cạnh AB Tính cosin góc hai đường thẳng AC SD Tính khoảng cách BC SD Tính cosin góc phẳng nhị diện [B, SD, C] Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a SA vng góc với đáy SA = a Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC Bài 13 Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a, đường cao SH = h Mặt phẳng (a ) qua AB vng góc với SC Tìm điều kiện h theo a để (a ) cắt cạnh SC K Tính diện tích D ABK Tính h theo a để (a ) chia hình chóp thành hai phần tích Chứng tỏ tâm mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp trùng CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH CHĨP TỨ GIÁC Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA = a vng góc với đáy Gọi E trung điểm CD Tính diện tích D SBE Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE) (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần Bài 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD) Tính khoảng cách hai đường thẳng SD AC Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D] Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 3cm Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = cm Mp (a ) qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD H, M, K Chứng minh AH vng góc với SB, AK vng góc với SD Chứng minh BD song song với (a ) Chứng minh HK qua trọng tâm G D SAC Tính thể tích hình khối ABCDKMH Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, AD = b Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M, N trung điểm cạnh SA, SD Tính khoảng cách từ A đến (BCN) Tính khoảng cách SB CN Tính góc hai mặt phẳng (SCD) (SBC) · Tìm điều kiện a b để cosCMN Trong trường hợp tính thể tích hình chóp = S.BCNM Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a D SAD vng góc với (ABCD) Gọi H trung điểm AD Tính d(D, (SBC)), d(HC, SD) Mặt phẳng (a ) qua H vng góc với SC I Chứng tỏ (a ) cắt cạnh SB, SD Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D] Bài 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O SO vng góc với đáy SO = 2a , AC = 4a, BD = 2a Mặt phẳng (a ) qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD B ', C', D' Chứng minh D B 'C 'D ' Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a Đường cao SA = 2a Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0 £ m £ a) Tìm vị trí điểm M để diện tích D SBM lớn nhất, nhỏ a Cho m = , gọi K giao điểm BM AD Tính góc phẳng nhị diện [A, SK, B] 3 CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG Bài 21 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I, K, M, N trung điểm A’D’, BB’, CD, BC Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng Tính khoảng cách IK AD Tính diện tích tứ giác IKNM Bài 22 (trích đề thi Đại học khối A – 2003) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính góc phẳng nhị diện [B, A’C, D] Bài 23 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tìm điểm M cạnh AA’ cho (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ Bài 24 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Chứng minh A’C vng góc với (AB’D’) Tính góc (DA’C) (ABB’A’) Trên cạnh AD’, DB lấy điểm M, N thỏa AM = DN = k (0 < k < a 2) a Chứng minh MN song song (A’D’BC) b Tìm k để MN nhỏ Chứng tỏ MN đoạn vng góc chung AD’ DB Bài 25 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2, AD = 4, AA’ = Các điểm M, N thỏa uuur uuur uuur uuur AM = mAD, BN = mBB' (0 £ m £ 1) Gọi I, K trung điểm AB, C’D’ Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BD) Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp D A 'BD Tính m để diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ Bài 26 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh 2cm Gọi M trung điểm AB, N tâm hình vng ADD’A’ Tính bán kính R mặt cầu (S) qua C, D’, M, N Tính bán kính r đường tròn (C) giao (S) mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D Tính diện tích thiết diện tạo (CMN) hình lập phương Bài 27 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh · a, BAD = 600 Gọi M, N trung điểm cạnh AA’, CC’ Chứng minh B’, M, D, N thuộc mặt phẳng Tính AA’ theo a để B’MDN hình vng Bài 28 Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng A Cho AB = a, AC = b, AA’ = c Mặt phẳng (a ) qua B vng góc với B’C Tìm điều kiện a, b, c để (a ) cắt cạnh CC’ I (I khơng trùng với C C’) Cho (a ) cắt CC’ I a Xác định tính diện tích thiết diện b Tính góc phẳng nhị diện thiết diện đáy Bài tập : MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA= a vuông góc với đáy 1) Tính khỏang cách từ A đến mặt phẳng (SBC) 2) Tính khỏang cách từ tâm O hình vuông ABCD đến mặt phẳng (SBC) 3) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC) Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O cạnh a, SO vuông góc với đáy.Gọi M,N theo thứ tự trung điểm SA BC Biết góc MN (ABCD) 60 1) Tính MN SO 2) Tính góc MN mặt phẳng (SBD) Bài 3: Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh a AC=a, Từ trung điểm H cạnh AB dựng SH ⊥ (ABCD) với SH=a 1) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Bài 4: Cho góc tam diện Oxyz, Ox, Oy, Oz lấy điểm A,B,C 1) Hãy tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo OA=a, OB=b, OC=c 2) Giả sử A cố đònh B, C thay đổi thỏa mãn OA=OB+OC Hãy xác đònh vò trí B C cho thể tích tứ diện OABC lớn Bài 5: Cho tứ diện OABC (vuông O), biết OA,OB,OC hợp với mặt phẳng (ABC) góc α , β , γ Chứng minh rằng: 2 1) cos α + cos β + cos γ = 2 2 2) S ∆OAB + S ∆OBC + S ∆OCA = S ∆ABC Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, sa vuông góc với đáy Gọi a 3a M,N hai điểm theo thứ tự thuộc BC,DC cho BM = , DN = CMR hai mặt phẳng (SAM) (SMN) vuông góc với Bài 7: Cho tam giác ABC cạnh a Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng vuông a góc với mặt phẳng (ABC) D lấy điểm S cho SD = , CMR hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với Bài 8: Trong không gian cho điểm A,B,C theo thứ tự thuộc tia Ox, Oy, Oz vuông góc với đôi cho OA=a , OB= a OC=c (a,c>0) Gọi D điểm đối diện với O hình chữ nhật AOBD M trung điểm đọan BC (P) mặt phẳng qua A,M cắt mặt phẳng (OCD) theo đường thẳng vuông góc với AM a) Gọi E giao điểm (P) với OC , tính độ dài đọan OE b) Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện tạo thành cắt khối chóp C.AOBD mặt phẳng (P) c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P) Bài 9: Cho tứ diện SABC có SC=CA=AB= a , SC ⊥ ( ABC ) , ∆ ABC vuông A, điểm M thuộc SA N thuộc BC cho AM=CN=t (0[...]... của BC và SA Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi có AC=4, BD=2 và tâm O.SO=1 vuông góc với đáy Tìm điểm M thuộc đoạn SO cách đều hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) Bài 11: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AD,CD Lấy P ∈ BB ' sao cho BP=3PB' Tính diện tích thiết diện do (MNP) cắt hình lập phương Bài 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'...Bài tập : MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA= a 3 và vuông góc với đáy 1) Tính khỏang cách từ A đến mặt phẳng (SBC) 2) Tính khỏang cách từ tâm O hình vuông ABCD đến mặt phẳng (SBC) 3) Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC) Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SO vuông góc với đáy.Gọi... với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = , CMR hai mặt phẳng (SAB) và 2 (SAC) vuông góc với nhau Bài 8: Trong không gian cho các điểm A,B,C theo thứ tự thuộc các tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một sao cho OA=a , OB= a 2 OC=c (a,c>0) Gọi D là điểm đối diện với O của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm của đọan BC (P) là mặt phẳng qua A,M và cắt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng... 13: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a Gọi M, N là trung điểm của BC và DD' ' ' 1) CMR AC ⊥ ( A BD) ' 2) CMR MN //( A BD) 3) Tính khoảng cách giữa BD nà MN theo a Bài 14: Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh bằng a, góc A=600 B'O vuông góc với đáy ABCD, cho BB'=a 1) Tính góc giữa cạnh bên và đáy 2) Tính khoảng cách từ B, B' đến mặt phẳng (ACD') Bài 15: Cho hình. .. M,N Đặt AM=x, CN=y 1) Tính thể tích hình chóp ABCMN 2) CMR điều kiện cần và đủ để góc MIN=900 là 2xy=a2 Bài 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân ABC với cạnh huyền AB = 4 2 Cạnh bên SC ⊥ (ABC) và SC = 2 Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm AB 1) Tính góc của hai đường thẳng SM và CN 2) Tính độ dài đọan vuông góc chung của SM và CN Bài 17: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh... tại O), biết rằng OA,OB,OC lần lượt hợp với mặt phẳng (ABC) các góc α , β , γ Chứng minh rằng: 2 2 2 1) cos α + cos β + cos γ = 2 2 2 2 2 2) S ∆OAB + S ∆OBC + S ∆OCA = S ∆ABC Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, sa vuông góc với đáy Gọi a 3a M,N là hai điểm theo thứ tự thuộc BC,DC sao cho BM = , DN = CMR hai mặt phẳng 2 4 (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau Bài 7: Cho tam... 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết rằng SA= a 6 2 Bài 19: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA;OB;OC đôi một vuông góc Gọi α; β; γ lần lượt là các góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC);(OCA) và (OAB).Chứng minh rằng : cos α + cos β + cos γ ≤ 3 Bài 20: Cho hình chóp... hình vuông tâm O cạnh bằng a, SO vuông góc với đáy.Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm SA và BC Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng 60 0 1) Tính MN và SO 2) Tính góc giữa MN và mặt phẳng (SBD) Bài 3: Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a và AC=a, Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH ⊥ (ABCD) với SH=a 1) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Bài 4: Cho góc... OA;OB;OC đôi một vuông góc Gọi α; β; γ lần lượt là các góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC);(OCA) và (OAB).Chứng minh rằng : cos α + cos β + cos γ ≤ 3 Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a Gọi E là trung điểm của cạnh CD Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam ... 16 12 2ê Hình chóp tứ giác a) Hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy đáy hình vng (hoặc hình chữ nhật) Ta chọn hệ trục tọa độ dạng tam diện vng b) Hình chóp S.ABCD có đáy hình vng (hoặc hình thoi)... hay M≡ A Chú ý + Hình chóp tam giác có đáy tam giác cạnh bên nhau, khơng thiết phải đáy Chân đường cao trọng tâm đáy + Tứ diện hình chóp tam giác có cạnh bên đáy + Hình hộp có đáy hình bình hành... H hình chiếu A EF Chứng minh H trung điểm SD Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (ACE) Tính thể tích hình chóp A.BCFE Bài Cho hình chóp O.ABC có cạnh OA = OB = OC = 3cm vng góc với đơi Gọi H hình