• Chủ biên: Nguyễn Anh Huy 10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM • Phụ trách chuyên đề: Nguyễn Anh Huy 10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM, Nguyễn An Vĩnh Phúc TN Phổ thông Năng kh[r]
(1)Diễn đàn MATHSCOPE CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH Évariste Galois (1811-1832) Niels Henrik Abel (1802-1829) Gerolamo Cardano (1501-1576) THÁNG 6/2012 Lop12.net (2) Diễn đàn MATHSCOPE PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH Chủ biên: Nguyễn Anh Huy 26 - - 2012 Lop12.net (3) Lop12.net (4) Mục lục Lời nói đầu Các thành viên tham gia chuyên đề ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ 10 Phương trình bậc ba 10 Phương trình bậc bốn 16 Phương trình dạng phân thức 23 Xây dựng phương trình hữu tỉ 27 Một số phương trình bậc cao 29 PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ THAM SỐ 32 Phương pháp sử dụng đạo hàm 32 Phương pháp dùng định lý Lagrange - Rolle 42 Phương pháp dùng điều kiện cần và đủ 46 Phương pháp ứng dụng hình học giải tích và hình học phẳng 55 Hình học không gian và việc khảo sát hệ phương trình ba ẩn 76 Một số bài phương trình, hệ phương trình có tham số các kì thi Olympic 81 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 93 Phương pháp đặt ẩn phụ 93 Một số cách đặt ẩn phụ 93 Đặt ẩn phụ đưa phương trình tích 94 Đặt ẩn phụ đưa phương trình đẳng cấp 101 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn 103 Phương pháp sử dụng hệ số bất định 108 Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình 109 Phương pháp lượng giác hóa 117 Phương pháp biến đổi đẳng thức 121 Phương pháp dùng lượng liên hợp 124 Phương pháp dùng đơn điệu hàm số 138 Phương pháp dùng bất đẳng thức 146 Một số bài toán chọn lọc 154 Lop12.net (5) 4 PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT 158 Lý thuyết 158 Phương pháp đặt ẩn phụ 158 Phương pháp dùng đơn điệu hàm số 166 Phương pháp biến đổi đẳng thức 170 Bài tập tổng hợp 173 HỆ PHƯƠNG TRÌNH 177 Các loại hệ 177 Hệ phương trình hoán vị 184 Phương pháp đặt ẩn phụ giải hệ phương trình 206 Phương pháp biến đổi đẳng thức 213 Phương pháp dùng đơn điệu hàm số 222 Phương pháp hệ số bất định 231 Kĩ thuật đặt ẩn phụ tổng - hiệu 240 Phương pháp dùng bất đẳng thức 246 Tổng hợp các bài hệ phương trình Hệ phương trình hữu tỉ Hệ phương trình vô tỉ 258 258 277 SÁNG TẠO PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH 297 Xây dựng số phương trình giải cách đưa hệ phương trình 297 Sử dụng công thức lượng giác để sáng tác các phương trình đa thức bậc cao 307 Sử dụng các hàm lượng giác hyperbolic 310 Sáng tác số phương trình đẳng cấp hai biểu thức 312 Xây dựng phương trình từ các đẳng thức 318 Xây dựng phương trình từ các hệ đối xứng loại II Xây dựng phương trình vô tỉ dựa vào tính đơn điệu hàm số Xây dựng phương trình vô tỉ dựa vào các phương trình lượng giác Sử dụng bậc n số phức để sáng tạo và giải hệ phương trình Sử dụng bất đẳng thức lượng giác tam giác Sử dụng hàm ngược để sáng tác số phương trình, hệ phương trình 321 324 328 331 338 345 Sáng tác hệ phương trình 349 Kinh nghiệm giải số bài hệ phương trình 353 Phụ lục 1: GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH 362 Phụ lục 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ CÁC NHÀ TOÁN HỌC NỔI TIẾNG 366 Lịch sử phát triển phương trình Có cách giải phương trình bậc hai? Cuộc thách đố chấn động giới toán học Những vinh quang sau đã qua đời Lop12.net 366 366 368 372 (6) Tỉểu sử số nhà toán học tiếng Một đời trên bia mộ Chỉ vì lề sách quá hẹp! Hai gương mặt trẻ Sống hay chết 376 376 376 377 378 381 Tài liệu tham khảo Lop12.net (7) Lời nói đầu Phương trình là phân môn quan trọng Đại số vì có ứng dụng lớn các ngành khoa học Sớm biết đến từ thời xa xưa nhu cầu tính toán người và ngày càng phát triển theo thời gian, đến nay, xét riêng Toán học, lĩnh vực phương trình đã có cải tiến đáng kể, hình thức (phương trình hữu tỉ, phương trình vô tỉ, phương trình mũ - logarit) và đối tượng (phương trình hàm, phương trình sai phân, phương trình đạo hàm riêng, ) Còn Việt Nam, phương trình, từ năm lớp 8, đã là dạng toán quen thuộc và yêu thích nhiều bạn học sinh Lên đến bậc THPT, với hỗ trợ các công cụ giải tích và hình học, bài toán phương trình - hệ phương trình ngày càng trau chuốt, trở thành nét đẹp Toán học và phần không thể thiếu các kì thi Học sinh giỏi, thi Đại học Đã có nhiều bài viết phương trình - hệ phương trình, chưa thể đề cập cách toàn diện phương pháp giải và sáng tạo phương trình Nhận thấy nhu cầu có tài liệu đầy đủ hình thức và nội dung cho hệ chuyên và không chuyên, Diễn đàn MathScope đã tiến hành biên soạn sách Chuyên đề phương trình - hệ phương trình mà chúng tôi hân hạnh giới thiệu đến các thầy cô giáo và các bạn học sinh Quyển sách này gồm chương, với các nội dung sau: > Chương I: Đại cương phương hữu tỉ cung cấp số cách giải tổng quát phương trình bậc ba và bốn, ngoài còn đề cập đến phương trình phân thức và cách xây dựng phương trình hữu tỉ > Chương II: Phương trình, hệ phương trình có tham số đề cập đến các phương pháp giải và biện luận bài toán có tham số ,cũng số bài toán thường gặp các kì thi Học sinh giỏi > Chương III: Các phương pháp giải phương trình chủ yếu tổng hợp phương pháp quen thuộc bất đẳng thức, lượng liên hợp, hàm số đơn điệu, với nhiều bài toán mở rộng nhằm giúp bạn đọc có cách nhìn tổng quan phương trình Chương này không đề cập đến Phương trình lượng giác, vì vấn đề này đã có chuyên đề Lượng giác Diễn đàn > Chương IV: Phương trình mũ – logarit đưa số dạng bài tập ứng dụng hàm số logarit, với nhiều phương pháp biến đổi đa dạng đặt ẩn phụ, dùng đẳng thức, hàm đơn điệu, > Chương V: Hệ phương trình là phần trọng tâm chuyên đề Nội dung chương Lop12.net (8) bao gồm số phương pháp giải hệ phương trình và tổng hợp các bài hệ phương trình hay kì thi học sinh giỏi nước quốc tế > Chương VI: Sáng tạo phương trình - hệ phương trình đưa cách xây dựng bài hay và khó từ phương trình đơn giản các công cụ số phức, hàm hyperbolic, hàm đơn điệu, Ngoài còn có hai phần Phụ lục cung cấp thông tin ứng dụng phương trình, hệ phương trình giải toán và lịch sử phát triển phương trình Chúng tôi xin ngỏ lời cảm ơn tới thành viên Diễn đàn đã chung tay xây dựng chuyên đề Đặc biệt xin chân thành cảm ơn thầy Châu Ngọc Hùng, thầy Nguyễn Trường Sơn, anh Hoàng Minh Quân, anh Lê Phúc Lữ, anh Phan Đức Minh vì đã hỗ trợ và đóng góp ý kiến quý giá cho chuyên đề, bạn Nguyễn Trường Thành vì đã giúp ban biên tập kiểm tra các bài viết để có tuyển tập hoàn chỉnh Niềm hi vọng người làm chuyên đề là bạn đọc tìm thấy nhiều điều bổ ích và tình yêu toán học thông qua sách này Chúng tôi xin đón nhận và hoan nghênh ý kiến xây dựng bạn đọc để chuyên đề hoàn thiện Mọi góp ý xin vui lòng chuyển đến anhhuy0706@gmail.com Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 11 tháng năm 2012 Thay mặt nhóm biên soạn Nguyễn Anh Huy Lop12.net (9) Các thành viên tham gia chuyên đề Để hoàn thành các nội dung trên, chính là nhờ cố gắng nỗ lực các thành viên diễn đàn đã tham gia xây dựng chuyên đề: • Chủ biên: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM) • Phụ trách chuyên đề: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM), Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếu- TP HCM) • Đại cương phương trình hữu tỉ: Huỳnh Phước Trường (THPT Nguyễn Thượng Hiền – TP HCM), Phạm Tiến Kha (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM) • Phương trình, hệ phương trình có tham số: thầy Nguyễn Trường Sơn (THPT Yên Mô A – Ninh Bình), Vũ Trọng Hải (12A6 THPT Thái Phiên - Hải Phòng), Đình Võ Bảo Châu (THPT chuyên Lê Quý Đôn - Vũng Tàu), Hoàng Bá Minh ( 12A6 THPT chuyên Trần Đại Nghĩa - TP HCM), Nguyễn Hoàng Nam (THPT Phước Thiền - Đồng Nai), Ong Thế Phương (11 Toán THPT chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai) • Phương pháp đặt ẩn phụ: thầy Mai Ngọc Thi (THPT Hùng Vương - Bình Phước), thầy Nguyễn Anh Tuấn (THPT Lê Quảng Chí -Hà Tĩnh), Trần Trí Quốc (11TL8 THPT Nguyễn Huệ - Phú Yên), Hồ Đức Khánh (10CT THPT chuyên Quảng Bình), Đoàn Thế Hoà (10A7 THPT Long Khánh - Đồng Nai) • Phương pháp dùng lượng liên hợp: Ninh Văn Tú (THPT chuyên Trần Đại Nghĩa TPHCM) , Đinh Võ Bảo Châu (THPT - chuyên Lê Quý Đôn, Vũng Tàu), Đoàn Thế Hòa (THPT Long Khánh - Đồng Nai) • Phương pháp dùng bất đẳng thức: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếuTP HCM), Phan Minh Nhật, Lê Hoàng Đức (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM), Đặng Hoàng Phi Long (10A10 THPT Kim Liên – Hà Nội), Nguyễn Văn Bình (11A5 THPT Trần Quốc Tuấn - Quảng Ngãi), • Phương pháp dùng đơn điệu: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM), Hoàng Kim Quân (THPT Hồng Thái – Hà Nội), Đặng Hoàng Phi Long (10A10 THPT Kim Liên – Hà Nội) • Phương trình mũ – logarit: Võ Anh Khoa, Nguyễn Thanh Hoài (Đại học KHTN- TP HCM), Nguyễn Ngọc Duy (11 Toán THPT chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai) • Các loại hệ bản: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM) Lop12.net (10) • Hệ phương trình hoán vị: thầy Nguyễn Trường Sơn (THPT Yên Mô A – Ninh Bình), Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM), Nguyễn Đình Hoàng (10A10 THPT Kim Liên - Hà Nội) • Phương pháp biến đổi đẳng thức: Nguyễn Đình Hoàng (10A10 THPT Kim Liên - Hà Nội), Trần Văn Lâm (THPT Lê Hồng Phong - Thái Nguyên), Nguyễn Đức Huỳnh (11 Toán THPT Nguyễn Thị Minh Khai - TP HCM) • Phương pháp hệ số bất định: Lê Phúc Lữ (Đại học FPT – TP HCM), Nguyễn Anh Huy, Phan Minh Nhật (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM) • Phương pháp đặt ẩn phụ tổng - hiệu: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM) • Tổng hợp các bài hệ phương trình: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM), Nguyễn Thành Thi (THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp), Trần Minh Đức (T1K21 THPT chuyên Hà Tĩnh – Hà Tĩnh), Võ Hữu Thắng (11 Toán THPT Nguyễn Thị Minh Khai – TP HCM) • Sáng tạo phương trình: thầy Nguyễn Tài Chung (THPT chuyên Hùng Vương – Gia Lai), thầy Nguyễn Tất Thu (THPT Lê Hồng Phong - Đồng Nai), Nguyễn Lê Thuỳ Linh (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM) • Giải toán cách lập phương trình: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếuTP HCM) • Lịch sử phát triển phương trình: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếuTP HCM), Nguyễn Hoàng Nam (THPT Phước Thiền - Đồng Nai) Lop12.net (11) Chương I: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA Một số phương pháp giải phương trình bậc ba F Phương pháp phân tích nhân tử: Nếu phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = có nghiệm x = r thì có nhân tử (x − r) đó có thể phân tích ax3 + bx2 + cx + d = (x − r)[ax2 + (b + ar)x + c + br + ar2 ] Từ đó ta đưa giải phương trình bậc hai, có nghiệm là √ −b − ± b2 − 4ac − 2abr − 3a2 r2 2a F Phương pháp Cardano: Xét phương trình bậc ba x3 + ax2 + bx + c = (1) a Bằng cách đặt x = y − , phương trình (1) luôn biến đổi dạng chính tắc: y + py + q = 0(2) a2 2a3 − 9ab ,q = c + 27 Ta xét p, q 6= vì p = hay q = thì đưa trường hợp đơn giản Đặt y = u + v thay vào (2), ta được: Trong đó: p = b − (u + v)3 + p(u + v) + q = ⇔ u3 + v + (3uv + p)(u + v) + q = (3) Chọn u, v cho 3uv + p = (4) Như vậy, để tìm u và v, từ (3) và (4) ta có hệ phương trình: u3 + v = −q u3 v = − p 27 Theo định lí Viete, u3 và v là hai nghiệm phương trình: X + qX − Đặt ∆ = p3 = 0(5) 27 q p3 + 27 10 Lop12.net (12) 11 > Khi ∆ > 0, (5) có nghiệm: q √ q √ u3 = − + ∆, v = − − ∆ 2 Như vậy, phương trình (2) có nghiệm thực nhất: r r q √ q √ y = − + ∆+ − − ∆ 2 r q > Khi ∆ = 0, (5) có nghiệm kép: u = v = − Khi đó, phương trình (2) có hai nghiệm thực, đó nghiệm kép r r q q y1 = − , y2 = y3 = 2 > Khi ∆ < 0, (5) có nghiệm phức p Gọi u30 là nghiệm phức (5), v03 là giá trị tương ứng cho u0 v0 = − Khi đó, phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt y1 = u0 + v0 √ y2 = − (u0 + v0 ) + i (u0 − v0 ) √2 (u0 − v0 ) y3 = − (u0 + v0 ) − i 2 F Phương pháp lượng giác hoá - hàm hyperbolic: Một phương trình bậc ba, có nghiệm thực, biểu diễn dạng thức liên quan đến số phức Vì ta thường dùng phương pháp lượng giác hoá để tìm cách biểu diễn khác đơn giản hơn, dựa trên hai hàm số cos và arccos Cụ thể, từ phương trình t3 + pt + q = (∗) ta đặt t = u cos α và tìm u để có thể đưa (∗) dạng cos3 α − cos α − cos 3α = r −p u3 Muốn vậy, ta chọn u = và chia vế (∗) cho để r r 3q 3q −3 −3 = ⇔ cos 3α = cos α − cos α − 2p p 2p p Vậy nghiệm thực là r r −p −3 3q 2iπ ti = cos arccos − với i = 0, 1, 3 2p p Lưu ý phương trình có nghiệm thực thì p < (điều ngược lại không đúng) nên công thức trên không có số phức Khi phương trình có nghiệm thực và p 6= ta có thể biểu diễn nghiệm đó công thức hàm arcosh và arsinh: r r −3|q| −3 −2|q| −p >t = cosh arcosh p < và 4p3 + 27q > q 3 2p p Lop12.net (13) 12 r r p 3q >t = −2 sinh arsinh p > 3 2p p Mỗi phương pháp trên có thể giải phương trình bậc ba tổng quát Nhưng mục đích chúng ta bài toán luôn là tìm lời giải ngắn nhất, đẹp Hãy cùng xem qua số ví dụ: Bài tập ví dụ Bài 1: Giải phương trình x3 + x2 + x = − Giải Phương trình không có nghiệm hữu tỉ nên không thể phân tích nhân tử Trước nghĩ tới công thức Cardano, ta thử quy đồng phương trình: 3x3 + 3x2 + 3x + = Đại lượng 3x2 +3x+1 gợi ta đến đẳng thức quen thuộc x3 +3x2 +3x+1 = (x+1)3 Do đó phương trình tương đương: (x + 1)3 = −2x3 hay √ x + = − 2x −1 √ Từ đó suy nghiệm x = 1+ 32 ~ Nhận xét: Ví dụ trên là phương trình bậc ba có nghiệm vô tỉ, và giải nhờ khéo léo biến đổi đẳng thức Nhưng bài đơn giản này không có nhiều Sau đây ta sâu vào công thức Cardano: Bài 2: Giải phuơng trình x3 − 3x2 + 4x + 11 = Giải Đặt x = y + Thế vào phương trình đầu bài, ta phương trình: y + 1.y + 13 = 4567 Tính ∆ = 132 + 13 = >0 27 27 Áp dụng công thức Cardano suyvra: v q q u u u u 4567 4567 −13 + −13 − t t 27 27 y= + 2 v v q q u u u u 4567 4567 −13 + −13 − t t 27 27 Suy x = + + 1. 2 ~ Nhận xét: Ví dụ trên là ứng dụng công thức Cardano Tuy nhiên công thức này không dễ nhớ và dùng các kì thi Học sinh giỏi Vì thế, có lẽ chúng ta cố gắng tìm đường “hợp thức hóa” các lời giải trên Đó là phương pháp lượng giác hoá Đầu tiên xét phương trình dạng x3 + px + q = với p < và có nghiệm thực: Lop12.net (14) 13 Bài 3: Giải phương trình x3 + 3x2 + 2x − = Giải Đầu tiên đặt x = y − ta đưa phương trình y − y − = (1) Đến đây ta dùng lượng giác sau: √ √ 3 y < Do đó tồn α ∈ [0, π] cho y = cos α Nếu |y| < √ suy 2 Phương trình tương đương: √ cos3 α − √ cos α − = 3 hay √ 3 cos 3α = (vô nghiệm) 2 1 Do đó |y| > √ Như luôn tồn t thoả y = √ (t + ) (∗) Thế vào (1) ta phương t 3 trình t3 √ + √ −1=0 3 3t3 Việc giải phương trình này không khó, xin dành cho bạn đọc Ta tìm nghiệm: √ 3 √ −1 r x= √ − 23 + √ √ 3 3 − 23 ~ Nhận xét: Câu hỏi đặt là: “Sử dụng phương pháp trên nào?” Muốn trả lời, ta cần làm sáng tỏ vấn đề: 1) Có luôn tồn t thoả mãn cách đặt trên? Đáp án là không Coi (∗) là phương trình bậc hai theo t ta tìm điều kiện |y| > √ Thật có thể tìm nhanh cách dùng AM-GM: 1 1 |y| = √ t + = √ |t| + >√ t |t| 3 r Vậy trước hết ta phải chứng minh (1) không có nghiệm |y| < √ 2) Vì có số √ ? Ý tưởng ta là từ phương trình x3 + px + q = đưa phương trình trùng phương theo r −p t3 qua cách đặt x = k t + Khai triển và đồng hệ số ta k = t 3 Sau đây là phương trình dạng x + px + q = với p < và có nghiệm thực: Bài 4: Giải phương trình x3 − x2 − 2x + = Giải Đặt y = x − Phương trình tương đương: 7 y3 − y + = 0(∗) 27 Lop12.net (15) 14 √ √ 3y cos α 3y Với |y| < thì √ < Do đó tồn α ∈ [0, π] cho cos α = √ hay y = 3 7 Thế vào (∗), ta được: √ 14 Đây là phương trình lượng giác Dễ dàng tìm ba nghiệm phương trình ban đầu: √ ! √ arccos − 14 + x1 = cos 3 cos 3α = − √ ! √ ± arccos − 14 2π + cos + = 3 3 x2,3 Do phương √ trình bậc ba có tối đa ba nghiệm phân biệt nên ta không cần xét trường hợp Bài toán giải |y| > √ ~ Nhận xét: Ta có thể chứng minh phương trình vô nghiệm |y| > cách đặt √ y= (t + ) giống bài 3, từ đó dẫn tới phương trình trùng phương vô nghiệm t r −p t+ (∗) sau: Tổng kết lại, ta dùng phép đặt ẩn phụ y = t r −p > Nếu phương trình có nghiệm thực, chứng minh phương trình vô nghiệm |y| < , trường hợp còn lại dùng (∗) để đưa phương trình trùng phương theo t r −p > Nếu phương trình có nghiệm thực, chứng minh phương trình vô nghiệm |y| > r −p phép đặt (∗) (đưa phương trình trùng phương vô nghiệm theo t) Khi |y| thì |y| đặt r = cos α, từ đó tìm α, suy nghiệm y −p Còn p > không khó chứng minh phương trình có nghiệm nhất: Bài 5: Giải phương trình x3 + 6x + = Giải ~ Ý tưởng: Ta dùng phép đặt x = k t − để đưa phương trình trùng phương Để ý t phép đặt này không cần điều kiện x, vì nó tương đương k(t2 − 1) − xt = Phương trình trên luôn có nghiệm theo t Như từ phương trình đầu ta 1 3 k t − − 3k t − + 6k t − +4=0 t t t Lop12.net (16) 15 √ Cần chọn k thoả 3k = 6k ⇒ k = Vậy ta có lời giải bài toán sau: ~ Lời giải: √ Đặt x = t − ta có phương trình t s √ √ √ 3 −1 ± √ 2 t − + = ⇔ t − + 2t = ⇔ t1,2 = t Lưu ý t1 t2 = −1 định lý ta nhận giá trị x là s theo √ sViete nên √ ! √ −1 + −1 − √ √ x = t1 + t2 = + 2 Bài 6: Giải phương trình 4x3 − 3x = m với |m| > Giải Nhận xét |x| thì |V T | < |m| (sai) nên |x| > Vì ta có thể đặt 1 x= t+ t Ta có phương trình tương đương: t + =m t Từ đó: p p √ √ √ p 3 m + m2 − + m − m2 − t = m ± m2 − ⇒ x = Ta chứng minh đây là nghiệm Giả sử phương trình có nghiệm x0 thì x0 6∈ [−1, 1] vì |x0 | > Khi đó: 4x3 − 3x = 4x30 − 3x0 hay (x − x0 )(4x2 + 4xx0 + 4x20 − 3) = Xét phương trình: 4x2 + 4xx0 + 4x20 − = có ∆0 = 12 − 12x20 < nên phương trình bậc hai này vô nghiệm Vậy phương trình đầu bài có nghiệm là p √ √ p 3 2 x= m + m − + m − m − Bài tập tự luyện Bài 1: Giải các phương trình sau: a) x3 + 2x2 + 3x + = b) 2x3 + 5x2 + 4x + = c) x3 − 5x2 + 4x + = Lop12.net (17) 16 √ d) 8x3 + 24x2 + 6x − 10 − = Bài 2: Giải và biện luận phương trình: 4x3 + 3x = m với m ∈ R Bài 3: Giải và biện luận phương trình: x3 + ax2 + bx + c = PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN [1] Phương trình dạng ax4 + bx3 + cx2 + bkx + ak = (1) Ta có (1) ⇔ a(x4 + 2x2 k + k ) + bx(x2 + k) + (c − 2ak)x2 = ⇔ a(x2 + k)2 + bx(x2 + k) + (c − 2ak)x2 = Đến đây có hai hướng để giải quyết: Cách 1: Đưa phương trình dạng A2 = B : Thêm bớt, biến đổi vế trái thành dạng đẳng thức dạng bình phương tổng, chuyển các hạng tử chứa x2 sang bên phải Cách 2: Đặt y = x2 + k ⇒ y > k Phương trình (1) trở thành ay + bxy + (c − 2ak)x2 = Tính x theo y y theo x để đưa phương trình bậc hai theo ẩn x Ví dụ: Giải phương trình: x4 − 8x3 + 21x2 − 24x + = (1.1) Cách 1: (1.1) ⇔ (x4 + + 6x2 ) − 8(x2 + 3) + 16x2 = 16x2 − 21x2 + 6x2 ⇔ (x2 − 4x + 3)2 = x2 √ " " − 13 x2 − 4x + = x x2 − 5x + = x= 2√ ⇔ ⇔ ⇔ + 13 x2 − 4x + = −x x2 − 3x + = x= Cách 2: (1.1) ⇔ (x4 + 6x2 + 9) − 8x(x2 + 3) + 15x2 = ⇔ (x2 + 3)2 − 8x(x2 + 3) + 15x2 " =0 y = 3x Đặt y = x2 + (1.1) trở thành: y − 8xy + 15x2 = ⇔ (y − 3x)(y − 5x) = ⇔ y = 5x Với y = 3x: Ta có x + = 3x: Phương trình vô nghiệm √ − 13 x= 2√ Với y = 5x: Ta có x2 + = 5x ⇔ x2 − 5x + = ⇔ + 13 x= ( √ √ 2) + 13 − 13 Vậy phương trình (1.1) có tập nghiệm: S = ; 2 Nhận xét: Mỗi phương pháp giải có lợi riêng Với cách giải 1, ta tính trực tiếp mà Lop12.net (18) 17 không phải thông qua ẩn phụ Với cách giải 2, ta có tính toán đơn giản và ít bị nhầm lẫn Bài tập tự luyện Giải các phương trình sau: 1) x4 − 13x3 + 46x2 − 39x + = 2) 2x4 + 3x3 − 27x2 + 6x + = 3) x4 − 3x3 − 6x2 + 3x + = 4) 6x4 + 7x3 − 36x2 − 7x + = 5) x4 − 3x3 − 9x2 − 27x + 81 = [2] Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = ex2 (2) với ad = bc = m Cách 1: Đưa dạng A2 = B (2) ⇔ (x + px + m)(x2 + nx + m) = ex2 (ad = bc = m, p = a + d, n = b + c) ! ! p + n n − p n − p p + n ⇔ x2 + x+m− x x+m+ x = ex2 x2 + 2 2 !2 " # n−p p+n x+m = + e x2 ⇔ x2 + 2 Cách 2: Xét xem x = có phải là nghiệm phương trình không Trường hợp x 6= 0: ! ! m m +p x+ +n =e (2) ⇔ x + x x p m Điều kiện: |u| > |m| x (2) trở thành (u + p)(u + n) = e Đến đây giải phương trình bậc hai theo u để tìm x Đặt u = x + Ví dụ: Giải phương trình: (x + 4)(x + 6)(x − 2)(x − 12) = 25x2 (2.1) Cách 1: (2.1) ⇔ (x2 + 10x + 24)(x2 − 14x + 24) = 25x2 ⇔ (x2 − 2x + 24 + 12x)(x2 − 2x + 24 − 12x) = 25x2 " x2 − 2x + 24 = 13x ⇔ (x2 − 2x + 24)2 = 169x2 ⇔ x2 − 2x + 24 = −13x x = −8 " x − 15x + 24 = x = −3 ⇔ ⇔ √ x2 + 11x + 24 = 15 ± 129 x= Cách 2: (2.1) ⇔ (x2 + 10x + 24)(x2 − 14x + 24) = 25x2 Nhận thấy x = không phải là nghiệm phương trình Lop12.net (19) 18 24 24 + 10 x+ − 14 = 25 x 6= : (2.1) ⇔ x + x x √ 24 Đặt y = x + ⇒ |y| > (2.1) trở thành: x " y = −11 (y + 10)(y − 14) = 25 ⇔ (y + 11)(y − 15) = ⇔ y = 15 Với y = −11: Ta có phương trình: " x = −3 24 = −11 ⇔ x2 + 11x + 24 = ⇔ x+ x x = −8 Với y = 15: Ta có phương trình: √ 24 15 ± 129 x+ = 15 ⇔ x − 15x + 24 = ⇔ x = x ( ) √ √ 15 − 129 15 + 129 Phương trình (2.1) có tập nghiệm S = −3; −8; ; 2 ~ Nhận xét: Trong cách giải 2, có thể ta không cần xét x 6= chia mà có thể đặt ẩn phụ y = x2 + m để thu phương trình bậc hai ẩn x, tham số y ngược lại Bài tập tự luyện Giải các phương trình sau: 1) 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2 2) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) = 168x2 3) (x + 3)(x + 2)(x + 4)(x + 6) = 14x2 4) (x + 6)(x + 8)(x + 9)(x + 12) = 2x2 19 5) 18(x + 1)(x + 2)(x + 5)(2x + 5) = x2 [3] Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (3) với a + b = c + d = p Ta có (3) ⇔ (x2 + px + ab)(x2 + px + cd) = m Cách 1: ! ! ab + cd ab − cd ab + cd ab − cd (3) ⇔ x2 + px + + x2 + px + − =m 2 2 !2 !2 ab − cd ab + cd ⇔ x2 + px + =m+ 2 Bài toán quy giải hai phương trình bậc hai theo x Cách 2: p2 Đặt y = x + px Điều kiện: y > − (3) trở thành:(y + ab)(y + cd) = m Giải phương trình bậc ẩn y để tìm x Ví dụ: Giải phương trình: x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = (3.1) Cách 1: Lop12.net (20) 19 Ta có (3.1) ⇔ (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = ⇔ (x2 + 3x + − 1)(x2 + 3x + + 1) = " x2 + 3x + = ⇔ (x2 + 3x + 1)2 = ⇔ x2 + 3x + = −3 " √ x2 + 3x − = −3 ± 17 ⇔ ⇔x= x2 + 3x + = Cách 2: (3.1) ⇔ (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = Đặt y = x2 + 3x ⇒ y > − (3.1) trở thành: " y(y + 2) = ⇔ y + 2y − = ⇔ y=2 ⇔y=2 y = −4(loại) Với y = 2: Ta có phương trình: √ 17 −3 ± x2 + 3x − = ⇔ x = ( √ ) √ −3 + 17 −3 − 17 ; Phương trình (3.1) có tập nghiệm: S = 2 Bài tập tự luyện Giải các phương trình sau: (x + 2)(x + 3)(x − 7)(x − 8) = 144 (x + 5)(x + 6)(x + 8)(x + 9) = 40 39879 x + x+ x+ x+ = 20 40000 (6x + 5) (3x + 2)(x + 1) = 35 (4x + 3)2 (x + 1)(2x + 1) = 810 Nhận xét: Như dạng (2), ngoài cách đặt ẩn phụ trên, ta có thể đăt các dạng ẩn phụ sau: > Đặt y = x2 + px + ab > Đặt y = x + cd + px p 2 > Đặt y = x + ab + cd > Đặt y = x + px + [4] Phương trình dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c (c > 0) (4) a+b Đặt x = y − (4) trở thành: 4 4 a−b a−b y+ + y− =c 2 Lop12.net (21)