* ý nghĩa : Phương pháp này nhằm đưa tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hoặc để khử bớt hàm số dưới dấu tích phân cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số dưới dấu tích phân * Chú ý: Ta[r]
(1)PhÇn I A ) C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n : nguyªn hµm Cho hàm số y=f(x) xác định trên a, b và có đạo hàm trên đoạn đó ta có 1) Vi ph©n cña hµm sè y=f(x) kÝ hiÖu lµ : dy hoÆc df ( Vi ph©n cña biÕn lµ dx) 2) C«ng thøc tÝnh : dy= y dx hoÆc df= f dx ( Muốn tính vi phân hàm số ta lấy đạo hàm hàm số đó nhân với vi phân biến sè) 3) Vi phân các hàm số thường gặp : d(ax3+bx2+cx+d) = (3ax2+2bx+c)dx d(sinx)=cosx.dx d[sin(ax+b)] = a.cos(ax+b).dx d(ex)=ex.dx dx d(tanx) = cos2 x dx d( x ) = x d( ln x ) = dx x d(xm+1) = (m+1)xm ( xdx = dx ) d(ax+b) = a.dx d(ax2+bx+c) = (2ax+b)dx d(cosx) =- sinx.dx d[cos(ax+b)] =- a.sin(ax+b)dx (eax+b) = a.eax+b.dx dx sin x a dx d( ax b ) = ax b xdx d( )= x2 a x2 a d(cotx) = 4) Nguyªn hµm cña hµm sè y=f(x) kÝ hiÖu lµ: F(x) hoÆc f ( x )dx Đó là hàm số cho đạo hµm cña nã b»ng f(x).VËy th× ( f ( x )dx )’ = f(x) Ta gäi F(x) + C lµ mét hä nguªn hµm cña hµm sè y=f(x)(LÊy nguyªn hµm céng víi h»ng sè C) 5) C¸c c«ng thøc tÝnh nguyªn hµm: f ( x ) g ( x )dx f ( x )dx g ( x )dx kf ( x )dx k f ( x )dx (víi k lµ h»ng sè) b) C¸c d¹ng bµi tËp : D¹ng1: TÝnh nguyªn hµm cña c¸c hµm sè ®a thøc (¸p dông trùc tiÕp b¶ng nguyªn hµm) TÝnh nguyªn hµm cña c¸c hµm sè sau (m lµ h»ng sè) x 3x x m y x x 3x y x x y x y x x3 x m x y ( p qx )3 x y 2m ln x x x Dạng2:Tính nguyên hàm hàm số lượng giác, hàm mũ, hàm logarit TÝnh nguyªn hµm cña c¸c hµm sè sau (m,n, p, q lµ c¸c h»ng sè) y= sin2x 8.y= cos3x 9.y=sin3x.cos4x 10.y= cospx.cosqx 11 y= sinmx.cosnx 12.y=tanx+cotx 13.y=cos22x 14.y= sin2(3x/2) 15 y= sin3x.cos3x+cos3x.sin3x Lop12.net (2) e x e x e x lg x 18 y 2 D¹ng3: TÝnh nguyªn hµm cña c¸c hµm sè b»ng c¸ch ®a mét biÓu thøc vµo dÊu vi ph©n 19.y=(mx+n)2007 20.y=3x x 21 y mx n x 2ax b 2x 22 y 23 y 24 y 2007 ( ax bx c )3 x 2x x x a 17 y 16.y=logax + lnx ln n x x 26 y=cosx.sinpx 27 y 29.y=cos5x 30.y=sin7x 31.y=tan2x+ cot2x 32.y=tanx 33.y=cotx 34.y= sin ( x 35.y=cosx esin 25.y=sinx.cospx 28 y (ln x 1) m x 37 y ) cos x sin x (sin x cos x ) 2008 39 y=tan5x x 3x 44 y cos2 x 43 y=sin2x.cos2007x 49 y 36.y=x e x 1 x 38.y=tan4x 41 y 40 y=(3x+5)10 46 y=x2 e 3x 42 y=x2 x x3 3x x 48 y ( x 1) 2007 45 y 47.y=cot3x x x 4 x 50 y ex 3e x 51 y x.ln x.ln(ln x ) **************************************** tÝch ph©n PhÇn ii A) C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n : 1-C«ng thøc newton – leipnitz ( Niut¬n – laipnit ) b f ( x )dx F ( x ) NÕu F(x) lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x) th× ta cã c«ng thøc b a = F(b) - F(a) a Giải thích: Muốn tính tích phân hàm số ta tìm nguyên hàm hàm số đó cận 2-TÝnh chÊt: b a b 2.2-PhÐp nh©n víi mét h»ng sè kh¸c 0: b a a b k f ( x )dx k f ( x )dx a 2.3-Phép đảo cận tích phân: b f ( x ) g ( x ) dx f ( x )dx g ( x )dx 2.1-PhÐp céng: a b a a b f ( x )dx f ( x )dx a ; f ( x )dx a Lop12.net (3) b 2.4-C«ng thøc t¸ch cËn tÝch ph©n: c b a c f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx (Dùng để tính các tiích phân a có chứa dấu giá trị tuyệt đối) b) C¸c d¹ng bµi tËp : D¹ng1: ¸p dông trùc tiÕp c«ng thøc Newton-Laipnit vµ c¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n Bµi 1: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: x2 x 1) I dx x3 2) I (3x e )dx 7) I 10) I 1 7x x dx 1 x 3) I (3x x )dx e2 4) I x 5) I x 1 x dx 8) I (3x 5x 1 )dx e x dx 3e x 11) I 9) I x 1dx xdx 12) I x ( x 1) n dx x2 1 dx x2 x2 1 x dx x x ln x 6) I Bµi 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 15) J tan x.dx 14) J sin x.dx 13) J sin x cos 3x.dx 0 16) J cos x.cos 3xdx 17) J dx sin x dx sin x 18) J sin xdx cos x 19) J 20) J (sin x cos x )dx sin x cos x 21) J sin10 x.sin x.dx 22) J cos x.e sin x e e tan x dx 23) J cos2 x dx 24) J cos(ln x )dx x e2 Bµi 3: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau b»ng c¸ch t¸ch cËn tÝch ph©n 25) I 28) I x dx 3 3 26) I x 3x dx 1 27) I ( x x x x )dx cot x tan x dx 29) I 12 cos x.cos( x ).cos( x ) dx 30) I x m x dx Dạng2: Tính tích phân phương pháp tích phân phần b * C«ng thøc tÝnh : a b b f ( x )dx udv uv a vdu a b a * Nhận dạng : Hàm số dấu tích phân thường là tích loại hàm số khác Lop12.net (4) * ý nghĩa : Phương pháp này nhằm đưa tích phân phức tạp tích phân đơn giản để khử bớt hàm số dấu tích phân (cuối cùng còn lại loại hàm số dấu tích phân) * Chú ý: Ta cần chọn u và dv cho : du đơn giản , dễ tính v , tích phân vdu đơn giản tích phân udv Ta ®a c¸ch chän nh sau: A, GÆp d¹ng: P( x ) f ( x )dx ( P(x) lµ ®a thøc cßn f(x) lµ mét c¸c hµm sè sin(ax+b) , cos(ax+b) ea x+b , ax) Thì ta đặt : u=P(x) và dv = cos(ax+b).dx * Chó ý: NÕu P(x) cã bËc n th× ta ph¶i tÝnh tÝch ph©n tõng phÇn n lÇn (mçi lÇn P(x) sÏ gi¶m bËc) x f ( x )dx ( Trong đó f(x) là các hàm số sin(lnx) , cos(lnx) ) Thì ta đặt k B, GÆp d¹ng: u = cos(lnx) vµ dv = xkdx P( x ) f ( x )dx (Trong đó P(x) là ea x+b, ax còn f(x) là sin(ax+b) , cos(ax+b) ) Thì ta đặt C, GÆp d¹ng: u=P(x) vµ dv = f(x).dx Chó ý: Trong d¹ng B vµ d¹ng C ta sÏ gÆp tÝch ph©n lu©n håi (sau tÝnh hai lÇn l¹i trë vÒ tÝch ph©n ban ®Çu) P( x ).ln E, GÆp d¹ng: x a D, GÆp d¹ng: n xdx Thì ta đặt u= lnnx vµ dv = P(x).dx ( TÝnh n lÇn) dx Thì ta đặt u= x a vµ dv = dx TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 31) I ( x x ).sin xdx ( I ) 32) I x.sin x.dx ( I 2 0 1 33) I x e3 x dx ( I e3 e ) 27 27 35) I x 3.ln x.dx ( I ln e 37) I x sin(ln x ).dx 34) I x.3x dx ( I 15 ) 16 e 3 38) I co s(ln x ).dx ( I (I e ) ) ) ln ln 36) I e x sin x.dx ( I ( e 1) ) 1 1 ( e 1) ) 3 40) I e x 39) I sin( x ).dx ( I 12 ) 0 1 42) I x 1dx ( I [ln(1 2) 2] ) ln(sin x )dx ln(cos x )dx 1.44) J sin x cos2 x dx sin x 1.48)) J sin x dx ( I e ) cos x 41) I x 3dx ( I ln ) 47) J 16 e2 43) J 2 cos2 x dx sin x 45) J xdx sin x 1.46) J xdx cos2 x 49) I x x a dx 1.50) J x ln 1 x dx 1 x Dạng3: Tính tích phân phương pháp đổi biến số Lop12.net (5) b f ( x )dx ta đặt A - §æi biÕn sè c¸ch 1: §Ó tÝnh t= g(x) ( g(x) chøa f(x).TiÕp theo biÓu diÔn a f(x)dx theo t và dt.Ta thu tích phân theo t ( Nhớ đổi biến thì phải đổi cận ) Dựa vào bảng sau để lựa chọn biến số D¹ng tÝch ph©n Hµm cã mÉu sè Hµm chøa g ( x ) Hµm cã d¹ng b - §æi biÕn sè c¸ch 2: §Ó tÝnh Cã thÓ chän t lµ mÉu sè t = g ( x) ( x a )( x b) t = xa xb b f ( x )dx ta đặt x= g(t) làm cách 1(cách này kết hợp a với phương pháp lượng giác hoá tích phân hàm vô tỉ) Dựa vào bảng sau để lựa chọn biến số D¹ng tÝch ph©n Chøa a x Chøa x2 a2 Chøa x2 a2 Chøa ax ax BiÕn cÇn chän x=asint x=a/cost t [0; ) x = atant x = acos2t Chøa ( x a )(b x ) ®iÒu kiÖn cña biÕn ; t 2 3 t [0; ) [ ; ) 2 t (0; ) t 0; 2 x = a+(b a)sin2t Bài 4: Dùng phương pháp đổi biến cách hãy tính các tích phân sau: 51) I x ( x 2)5dx 54) I x (1 x )10dx 60) J 63) J 0 55) I x (2 x ) dx 53) I sin x cos x ).dx 56) I cos x sin x ).dx sin x dx 57) J cos x 1 52) I x (1 x ) dx x dx 2 x x6 dx x sin x.cos3 x dx cos x 58) J 61) J 64) J x5 x2 dx x2 62) J x2 dx dx ex e 59) I e x e x 2e x 2dx x dx e 4e x 65) J x Lop12.net (6) x 3dx x8 66) J 2x 2x 1 x x 1 dx 69) J 70) J 2x 67) J dx dx ( x 1) x x dx 68) J ex x2 x2 71) Bài 5: Dùng phương pháp đổi biến cách hãy tính các tích phân sau: 72) I x dx 75) I 1 2 x x dx 73) I x x dx 78) J (4 x )3 81) I x x2 79) J x dx 1 x x3 x2 82) I x dx 9 2 x4 76) J dx 3 0 74) J dx 77) J dx (4 x )3 dx 2 x dx 2 x 80) J a b dx ( x a )(b x ) 3a b 83) I ( a b) 5 x dx 5 x C - Đổi biến số hàm lượng giác: Giả sử cần tính tích phân I R(sin x,cos x )dx , với R là hàm vôtỉ ta có thể chọn các hướng sau: Hướng1: Hướng2: Hướng3: Hướng4: Nếu R lẻ sinx , R(- sinx,cosx) = - R(sinx,cosx) thì đặt t = cosx Nếu R lẻ cosx , R(sinx,- cosx) = - R(sinx,cosx) thì đặt t = sinx Nếu R chẵn sinx và cosx , R(- sinx, - cosx) = R(sinx,cosx) thì đặt t = tanx (t = cotx) Có thể đặt biến số t=tg(x/2) để đưa tích phân hàm phân thức hữu tỉ Bµi 6: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 85) I cos x (1 sin x ) dx dx (t=sinx) 86) I sin x sin x.cos3 x 88) I 91) I cos2 xdx (t=cosx) sin x sin x cos xdx cos x sin x 89) I 87) I dx sin x.cos5 x (t= tanx) dx cos x sin xdx 90) I sin x 2sin x sin x 92) I sin xdx sin x 93) I dx sin x.cos4 x D¹ng4: TÝnh tÝch ph©n cña hµm sè ph©n thøc h÷u tØ Ta dựa vào đặc thù hàm,dùng phương pháp phân tích đồng thức để đưa nguyên hàm đã cho các nguyên hàm sau: a ae ( cx e) b ax b c dx a dx (b ae ) dx 1) I1 dx c cx e cx e c c cx e Lop12.net (7) ax bx c ax bx c dx hoÆc I dx th× ta chia tö cho mÉu ex f mx nx p dx 3) I thì ta xét trường hợp mx nx p TH1: MÉu cã nghiÖm x1 vµ x2 th× ®a vÒ d¹ng dx dx dx dx x x1 I4 ( ) ln C mx nx p m( x x1 )( x x2 ) m( x1 x2 ) x x1 x x2 m( x1 x2 ) x x2 TH2: MÉu cã nghiÖm kÐp th× ®a vÒ d¹ng dx dx 1 I4 C n n mx nx p m( x ) m( x ) 2m 2m dx dx TH3: MÉu v« nghiÖm th× ®a vÒ d¹ng I đặt x+q = a tant mx nx p ( x q)2 a m mb (2ax b) n ( mx n )dx m d ( ax bx c ) mb dx a a 4) I dx 2 ax bx c ax bx c 2a ax bx c 2a ax bx c p( x ) dx nÕu bËc cña tö lín h¬n bËc cña mÉu th× ta chia tö cho mÉu råi lµm nh trªn.NÕu 5) I q( x ) ngược lại thì ta sử dụng đồng thức Ngoài ta còn có thể sử dụng phương pháp đổi biến hay tính nguyên hàm phần Bµi 7: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: dx (2 x 1)dx dx xdx 94) I 95) I 96) I 97) I (3x 1)( x 1) ( x x 3) 2x x x x2 2) I x 3dx x2 x dx dx I dx 100) I 99) 101) I 2 x x 2 x x2 x 2x x 2x x 2x x 4x dx dx dx 102) I 103) I 104) I x 1 ( x 1)( x 2) ( x 3)3 x 1 98) I 105) I x 2dx (1 x ) 2007 106) I ( x x 2)dx x3 108) I (7 x 4)dx x 3x 109) I x 3dx x x 3x I dx 110) ( x 1)2000 x3 x4 D¹ng5: TÝnh tÝch ph©n nhê tÝch ph©n phô Bµi 8: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: sin xdx sin xdx 111) I 112) I cos x sin x cos4 x sin x 114) I sin x.cos xdx 115) I cos x.sin xdx 107) I dx ( x 2) ( x 3) 113) I ex dx e x e x ex dx 116) I x e ex Dạng6:Một số loại tích phân đặc biệt Khi gặp các loại sau cần chú ý tới cận và hàm số dấu tích phân a Lo¹i 1: NÕu hµm sè f(x) liªn tôc vµ lÎ trªn [-a; a] Th× f ( x )dx (§Æt x = - t) a Lop12.net (8) a Lo¹i 2: NÕu hµm sè f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn [-a; a] Th× a k Lo¹i 3: NÕu hµm sè f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn R Th× a f ( x )dx 2 f ( x )dx k f ( x) dx f ( x )dx (víi k R vµ a>0) x 1 a k Lo¹i 4: NÕu hµm sè f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn 0, Th× 2 f (sin x )dx f (cos x )dx Bµi 9: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: sin 2007 xdx cos2007 x sin 2007 x 118) x4 1 x dx x.sin x dx cos x 119) I 2 120) I 117) I 121) I ln x.cos3 x.dx 0 sin x dx cos x 122) I ln(1 tan x )dx 123) sin x dx cos x b 124) sin x dx sin x dx 1 (e x 1)( x 1) 125) ******************************** PhÇn iII A-tÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng : øng dông cña tÝch ph©n Loại :Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị: y=f(x) ; y=g(x) và đường thẳng b S f ( x ) g ( x ) dx x=a ; x=b(BiÕt cËn tÝch ph©n).Ta ¸p dông c«ng thøc: S f ( x ) g ( x ) dx (I) (trôc hoµnh vµ a trục tung có phương trình là : y = ; x = 126) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y x x ,trục Ox và x=-2 ; x=4(vẽ hình) 127) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y x 3x y=x-1và trục tung x=0(vẽ hình) 1 128)Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y ; y ; x ; x 2 cos x sin x 129) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y sin x.cos3 x trục Ox,Oy và x 130) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y trôc Ox; x=1; x=2 x (1 x ) 131) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y x ( x 1)( x 2) ; trục Ox; x=-2 ; x=2 a 132) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y x ( x 1)5 ; trục Ox;trục Oy và x=1 133) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị : xy=4 trục Ox; x=a; x = 3a(a>0) ln x 134) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y trôc Ox; x ; x Loại 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị: y =f(x) ; y =g(x) và đường thẳng x = a (BiÕt cËn tÝch ph©n).Ta t×m cËn cßn l¹i råi ¸p dông c«ng thøc (I) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng sau : 135) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y sin x cos4 x ; trục Ox x Lop12.net (9) 136) y = ex ; y= e-x ; x=1 137) y x x ; y=0 ; x=1 138) y x ln(1 x ) ; y= ; x=1 139) y x ;y = - x; x = 140) y = ex ; y= (x+1)5 ; x = Loại 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị: y =f(x) ; y =g(x);y =h(x)(Chưa biết cận).Ta giải các phương trình f(x)=g(x);g(x)=h(x);f(x)=h(x) để tìm cận lấy tích phân(Ta nên vẽ cụ thể đồ thị hàm số).Căn đồ thị để tính diện tích phần cộng lại 141) x y ; x+y-2=0, y = 142) y x ; y x ;y = 143) y x ;y = 2- x; y= 144) y x x ; y x x ;y=1 145) x-2y+2=0 ; y=0 ; y2=2x 146)y=x+3; y x x 147) 2x y ; 8( x 1)3 27 y 148) 2x y ; (4 x )3 y x2 x2 27 y 150) y x ; y ;y ;y 151) 2x y ; (4 x )3 y 27 x x x Loại 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị: y =f(x) ; y =g(x)(2 đường cong tự cắt,chưa biết cận).Ta giải phương trình f(x)=g(x) tìm cận áp dụng công thức(I) x3 2 x x 153) ) y x x ; y x x 154) y x ; y 152) y ; y x 1 149) y x y 155) x y ; y x 156) y ( x 2) ;y=4 2 159) y x ; y 158) x y ;y=x-1 x 4 x2 x2 y 157) y 4 160) y=x; y sin x x B-tÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ sinh quay mét h×nh ph¼ng quanh trôc ox hay oy : *NÕu h×nh D giíi h¹n bëi : y=f(x) ; y=0 ; x=a ; x=b quay xung quanh Ox ta ¸p dông c«ng b thøc: VOx f ( x )dx a *NÕu h×nh D giíi h¹n bëi : y=f(x) ; y=g(x)( f ( x ) g ( x ) ) ; x=a ; x=b quay xung quanh Ox ta ¸p dông c«ng thøc : b VOx f ( x ) g ( x ) dx a *NÕu h×nh D giíi h¹n bëi : x=g(y) ; x=0 ; y=a ; y=b quay xung quanh Oy ta ¸p dông c«ng thøc: b VOy g ( y )dy a *NÕu h×nh D giíi h¹n bëi : x=f(y) ; x=g(y)( f ( y ) g ( y ) ) ; y=a ; y=b quay xung quanh Oy ta ¸p dông c«ng thøc : b VOy f ( y ) g ( y ) dy a T×m thÓ tÝch cña vËt thÓ sinh quay miÒn D xung quanh trôc Ox,Oy 161) Cho miÒn D giíi h¹n bëi: y=sinx; y=0 ; x=0 ; x TÝnh SD vµ VD D quay quanh Ox 162) Cho miÒn D giíi h¹n bëi: y=lnx ; x=1;x=2;y=0.TÝnh SD vµ VD D quay quanh Ox 163) Cho miÒn D giíi h¹n bëi: y x.e x ; x=1;x=2;y=0.TÝnh SD vµ VD D quay quanh Ox 164) Cho miÒn D giíi h¹n bëi: y x2 ;y=2;y=4.TÝnh SD vµ VD D quay quanh Ox Lop12.net (10) x3 ; y x TÝnh SD vµ VD D quay quanh Ox 166) Cho miÒn D giíi h¹n bëi: y x ;y=0;x=1 TÝnh SD VD,Ox ; VD,Oy 167) Cho miÒn D giíi h¹n bëi: y ;x=1;Ox;Oy.TÝnh VD,Ox x2 165) Cho miÒn D giíi h¹n bëi: y 168) Cho miÒn D giíi h¹n bëi: y tan x ;y=0; x ;x TÝnh SD VD,Ox 4 169) Cho miÒn D giíi h¹n bëi: y x ;y=- x;x=5.TÝnh SD vµ VD,Oy x 170) Cho miÒn D giíi h¹n bëi: y cos x.sin ;y=0;x=0; x ; TÝnh SD VD,Ox 2 171) Cho miÒn D giíi h¹n bëi: y x ln(1 x ) ;Ox;x=1.TÝnh SD vµ VD,Oy 172) Cho miÒn D giíi h¹n bëi y=lnx ; y=0;x=2 TÝnh SD vµ VD D quay quanh Ox 173) Cho miÒn D giíi h¹n bëi:; y x x ; y = 0.TÝnh VD,Ox ; VD,Oy 174) Cho miÒn D giíi h¹n bëi: y ( x 2) ; y = TÝnh VD,Ox ; VD,Oy C – chứng minh đẳng thức Cnk b»ng tÝch ph©n: * Mô tả phương pháp : Dựa vào đặc thù đẳng thức ta xét khai triển nhị thức Newton tổng nào đó.Tiếp theo ta lấy tích phân vế đẳng thức đã khai triển ,rồi “khéo léo” làm xuất đẳng thức cần chứng minh * Hãy chứng minh các đẳng thức sau tích phân: 2n 1 1 1 1 Cnn = 175) 1+ Cn1 + Cn2 + Cn3 + Cn4 + + (Khai triÓn (1+x)n ) n 1 n 1 n 1 ( 1) 1 n Cnn = Cn - Cn + Cn - Cn + + 176) (Khai triÓn (1- x)n ) n 1 n 1 2n 1 1 1 n Cn + Cn + Cn + Cn + + Cn = 177) (Khai triÓn x2(1+x3)n) 3( n 1) 12 3n ( 1) n n 1 Cn = Cn + Cn - Cn + Cn + + n 1 n 1 n ( 1) n 1 1 Cn = 179) Cn0 - Cn1 + Cn2 - Cn3 + + n2 2( n 1) 178) 1- (Khai triÓn (1+x)n ) ( 1) n n 1 n ( 1) n 1 2 Cn = Cn + Cn - + n 1 n 1 n 1 1 1 n 1 n Cn = 181) 2Cn0 + 22 Cn1 + 23 Cn2 - + n 1 n 1 1 1 1 1 182) Cn1 - Cn2 + Cn3 - Cn4 + + (-1)n-1 Cnn = 1+ + + + n n 180) 2Cn0 - TÝch ph©n: TÝnh c¸c tÝch ph©n c¬ b¶n: 2 1/ I = (x x 1)dx 2/ I= ( x e x 1 )dx x 2 3/ I = x 1 dx x2 10 Lop12.net (11) 4/ I = 1 x 23 x 44 x dx 5/ I = x 2 4 dx x2 0 6/ I= sin 3x cos x dx cos 2 x 7/ I = sin(2 x )dx dx sin 2x 8/ §æi biÕn sè d¹ng 1 2 1/ I = x x dx 2 2/ I = 6/ I = x 2x 2 1 9/ I= dx 5/ I x 1 x 0 4 x 10/I = x dx 7/ I= 1 x (x 1 (x 0 x 1 dx x3 11/ I = 4/ I = dx dx 3/ I = x 3 xdx x2 1 dx 8/ I = dx 1)( x 2) 2 x dx 2 x 2 dx 1) 2 §æi biÕn sè d¹ng II 1/ I = x(1 x) dx 19 x5 2/ I= dx x 1 1 3/ I x x dx 4/ I x x dx 0 5/ I x x dx 6/ I = xdx 2x 7/ I= cos x sin x 8/ I = dx sin x dx x x2 ln sin x 9/ I = dx 2 sin x cos x 10/ I = ln dx 11/ I ex e x dx e 1 x e ln x ln x dx x 12/ I= ln 15/ I = ln ln 18/ I = e2x ex 1 e 13/ I = ln x dx 2x 14/ I = x e 1 ex 3 x x dx 16/ I = 17/ I = x 0 (1 x ) 19/ I = cos x sin x dx sin x x5 2x3 1 x2 20/ I= dx (2/3) dx x3 dx x 1 21/ I= x x 1dx 1 24/ I= x 2 dx (231/10) 1 x 22/ I= cos3 x sin x cos5 xdx 23/ ln 25/ dx ln e x 2e x 26/ dx x x 1 xdx x 1 IV TÝch ph©n tõng phÇn 11 Lop12.net (12) e 2 ln 1/ I = x ln xdx 2/ I = xe x dx 3/ I= x cos xdx 0 e e ln x dx x 5/ I = ln xdx 4/ I = e 2 6/ I = ln( x x)dx 7/ I = x cos x dx 8/ I = e x sin xdx 0 9/ I = x(e x x 1)dx 1 e 11/ I= x ln xdx 10/ I = x sin xdx 12/ I = ( x 2)e x dx 13/ I= e cos x sin xdx (2) e 16/ I= 15/ I= x 3e x dx x 1 ln x dx x 2 14/ I = ( x sin x) cos xdx 17/ I= ln(x x )dx e 18/ I= x ln x dx 19/ I= (x 2)e x dx ln 21/ I= 22/ I= x ln 1 x x 5e x dx 2 27/ dx 24/ I= x dx cos x 1 sin x ln(1 x ) dx x2 23/ I= 1 cos x 25/ ln cos x 20/ I= (x 1) sin 2xdx 26/ I= x sin x dx cos x 28/ I = ln(1 tan x )dx sin x dx 0 b 30/ I= ax 10 29/ I= x lg x dx ax dx V/ Tích phân các hàm chứa giá trị tuyệt đối: 1/ I = x dx 4/ I = x x x dx x dx 5/ I = 7/ I= x 6x 9dx 2 2/ I = cos x dx 8/ I= x x dx 3 3/ I = x x x dx 6/ I = sin 2x dx 0 TÝch ph©n hµm sè höu tû 1/ I = x 1 x 3 dx 5/ I= x dx 1 x 11/ I = dx x(x 1) 12 Lop12.net (13) x3 2x 4x dx 0 x2 2/ I = 3/ I = 3x 2 dx x 1 x dx 4/ I = x 2x 1 4 x 11dx x 9/ I = 5x 2 6/ I = dx 0 x 2x 2 dx 7/ I = x x dx dx 8/ I = x 5x 14/ I = dx 1 x (1 x) x 1 17/ I = dx x 1 (x 10/I = x 1 x 13/ I = dx 3x 1)(x 5x 1) 15/ I = (x 1)dx 0 x x 1 dx 16/ I = x (1 x ) x x 1 dx x 4 12/ I= 16/ I = x 1 1 x dx II TÝch ph©n c¸c hµm sè v« tû 2 1/ I = x x 1dx 2/ I = x 1 x 10 4/ I 5/ I= 4x 1 1 x 1 x 1 4x 3x 8/ I = x (x 3)dx 1 x x 11/ I = dx 12/ I = x x dx x 1 dx 13/ I= x 1dx dx x2 7/ I = dx x dx 2x 3/ I x x2 1 dx x3 6/ I = 9/ I = x x 1dx 10/ I= x 1 3x x 2x dx dx 14/ I = dx 4x dx 15/ I= x x 9 Tích phân các hàm số lương giác 1/ I = sin x cos xdx 6/ I= sin x cos xdx 2/ I = sin x 0 cos x dx 11/ I = tan xdx 7/ I = cos x sin x cos xdx 12/ xdx cos x 13 Lop12.net (14) 2 sin x cos x 8/ I = dx (2ln2-1) cos x 3/ I = sin xdx 13/ I = (2 x 1) cos xdx 4/ I = cos 3x sin x cos x sin x cos x dx 9/ I = x cos 14/ I = x dx 1 sin x sin xdx 5/ I= sin xdx 10/ I = 3 cos x 15/ I= tan x cos x dx 16/ I = I cos x dx cos x dx sin x cos x 17/ I= I 18/ I = sin x sin x cos x dx dx 0 cos x 19/ I = 4sin x dx 22/ I= cos x cos 2x dx sin 2x cos 2x 21/ I= (tan x e sin x cos x)dx 4 sin x dx sin x cos x 24/ I= dx 23/ I= sin x 2sin x cos x 8cos x 25/ I= 20/ I = sin x cos x dx 6x 6 26/ I= sin x cos x dx 4sin x 3cos x 27/ I= cos 2x dx (sin x cos x 2)3 2 sin x cos x dx 28/ I= b sin x a cos x 2 2 29/ I= x cos x dx 2 30/ I= cos x dx 31/ I= 2 4 x dx sin x (sin x sin 2x )dx 32/ I= (34/27) 3cos x 2 33/ I= e sin x cos x cos x dx (e 34/ I= tan x sin x dx (ln2- 3/8) 35/ I= (sin x cos x )dx sin 2x 36/ I= 1) cos 2x dx (sin x cos x 3)3 37/ I= tan x .cot x dx 3 6 5cos x 4sin x dx ( Đặt x t ) (sin x cos x ) 38/ I= cos xdx sin x 39/ I= sin 4x dx sin x cos x 40/ I= 41/ I= cos x sin x dx 2 cot xdx 42/ I= sin x sin 2x dx b 43/ I= cos x 44/ I= dx sin 2x 2s inx 14 Lop12.net (15) sin x dx 3sin 4x sin 6x 3sin 2x dx sin x cos x 45/ I= 46/ I= 47/ I= (sin x cos x )dx sin 2x TÝch ph©n hµm sè mò vµ logarit e2 e x dx 1/ I= x 1 e ln 2/ I = 3/ I = ln dx x e 5 ln ln x ln(ln x) dx e x 9/ I e 10/ I = ln x 11/ I= ln x ln x 4/ I = xe dx x 12/ I= ln ln x dx 5/ I= xe dx 19/ I= e3 e 1.e dx x 2x 20/ I= e dx 2x 21/ I= ln 14/ I = 0 ln(ln x ).dx x e2 e x e x 1 dx ex 3 ln e 6/ I = x ln1 x dx ln x dx x2 e2 13/ I = ln x ln x dx 1 x e ln 2x 18/ I= dx e 1 ex dx 1 ex ln x dx x e x ex 1 ln e 17/ I= x ln x dx 22/ I= ln(x 1).dx x 1 e dx 15/ I= x ln x 7/ I = e sin xdx x e 23/ I= ln x dx (x 1) 8/ I = (e x cos x) cos xdx 16/ I= e x dx ln x 24/ I= ln(sin x ).dx cos x e ln x 3ln x dx (116/135) x 25/ I= e 28/ I= ln x dx x ln x 26/ (x 2) ln x dx e 27/ I= (3 ln x )dx x ln x Tích phân các hàm số đặc biệt 15 Lop12.net (16) 1 x dx 2x 1/ I= 1 2/ I= x cos x dx sin x 3/ I= x sin x dx 4/ I= sin x 3x dx x sin x dx 2x 5/ I= 1 x sin x 6/ I= dx 1 x 1 7/ I= x 2 (e sin x e x )dx 1 8/ I= ln (x x 1) dx 9/ I= 1 dx 1 (1 x )(e x 1) 11/ 1 x dx x x 12 12/ 14/ I= sin x 0 cos7 x sin x dx sin x cos x 6x 6 13/ cos x dx sin x cos x 10/ I= sin x sin 2x cos 5x dx e x 1 15/ I= cos x ln(x x 1)dx 16 Lop12.net (17)