Sai lam khi tinh tich phan

Vấn đề: Dự kiến sai lầm khi tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân.... Sử dụng công thức bỏ giá trị tuyệt đối:.[r]

www.VNMATH.com Vấn đề1: Sai lầm tính tích phân Đổi biến số không đổi cận  VD1: tÝnh tÝch ph©n I    x dx Gi¶i: Lời giải sai: đặt x  sin t suy dx=costdt    4 0  cos 2t  dt   4 I    sin t cos t.dt   cos t.dt   Lời giải đúng: ĐÆt x = sint suy dx=costdt x   t       x   t  arc sin arcsin I   arcsin  sin t cos t.dt    arcsin cos t.dt      arcsin  sin  arcsin  4  4 Khi đổi biến không tính vi phân dx (2 x  1)5 VD2: tÝnh I   Gi¶i: Lêi gi¶i sai: đặt t = 2x + x   t   x   t  I  dt t 4 1  20       1  t 43  81 Lời giải đúng: đặt t= 2x+1 suy dt= 2dx x   t   x   t  dt t 4 1  10 I       1  2t 83  81    cos 2t dt www.VNMATH.com TÝnh nguyªn hµm sai, hiÓu sai b¶n chÊt c«ng thøc VD1: TÝnh I   x.e x dx Gi¶i: * lêi gi¶i sai: u  x u '   đặt  x x v '  e v  e x  I   xe    e x dx  e  0 *Lời giải đúng: u  x du  dx  đặt   x x dv  e v  e x  I   xe    e x dx  e  0 Vấn đề 2: sai lầm chứng minh đẳng thức tích phân 2 vÝ dô 1: cho n  N ; CMR I   sin  sin x  nx  dx  0 * Lêi gi¶i sai: xÐt f(x)=sin(sinx+nx) trªn  0; 2  ta cã: f(x) lµ hµm liªn tôc trªn  0; 2  vµ f(-x) = sin(sin(-x)-nx) = - f(x) vËy f(x) lµ hµm lÎ  I=0 *Nguyên nhân sai lầm: Học sinh hiểu sai định lý “ Nếu hàm số f(x) là hàm lẻ,liên tục trên a [-a;a] th×  f  x  dx =0” a * Lời giải đúng: Đặt x    y 2 I    sin  sin x  nx  dx   sin  sin y  ny  n  dx =  1   n  sin  ny  sin y  dx  Mặt khác ta có: g(y)=sin(ny-siny) xác định trên   ,   là hàm liên tục va g(-y)=sin(-ny-sin(-y))=-sin(ny-siny)=-g(y)  g(y) lµ hµm lÎ VËy th× I=0 VÝ dô 2: cho hµm sè f liªn tôc trªn  0,   H·y so s¸nh   I   xf  sin x  dx vµ J   f  sin x  dx 0 *Lêi gi¶i sai: u  x du  dx TÝch ph©n tõng phÇn:   dv  f  sin x  dx v   f  cos x   I   xf  cos x      f  cos x  dx www.VNMATH.com  Do f liªn tôc /[0;  ]  f  cos    f     I   f  cos x  dx (1)   f  sin x  dx (2) 0 Tõ (1) vµ (2) ta cã I  J * Nguyªn nh©n sai lÇm: Häc sinh kh«ng hiÓu vÒ hµm liªn tôc, tÝch ph©n vµ vi ph©n * Lời giải đúng: §Æt x    t ta cã: Mµ J     0 I   xf  sin x  dx      t  f  sin   t   dt    f  sin x  dx   xf  sin x  dx    I    f  sin x  dx  I    0 f  sin x  dx VËy ta cã I=J vÝ dô 3: Cho hµm sè f liªn tôc trªn [a,b] CMR tån t¹i Ýt nhÊt ®iÓm C   a, b  cho: c b a c   f  x   f  c dx    f  c   f  x  dx * Lêi gi¶i sai Do f liªn tôc trªn [a,b]  f(x)-f(c)/ [a,c] b»ng f(x)-f(c) trªn [b,c] vËy ta cã: c c b a b c   f  x   f  c  dx    f  x   f  c  dx    f  c   f  x  dx * Nguyªn nh©n sai lÇm: Kh«ng hiÓu vÒ hµm liªn tôc lªn tÝnh tÝch ph©n sai * Lời giải đúng: áp dụng định lí giá trị trung bình tích phân   ít điểm C   a, b  cho: b  a b f  x  dx  f  c  b  a    f  c  dx a b c b    f  x   f  c   dx    f  x   f  c   dx    f  x   f  c   dx  a Hay ta cã: a c c b a c   f  x   f  c dx    f  c   f  x  dx (§PCM) Vấn đề: Sai lầm tính diện tích hình phẳng tích ph©n I KiÕn thøc chung - Cho hàm số y  f  x  khả tích trên  a; b  Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ox, b y = f(x) , x = a, x = b lµ : S   f  x  dx a II Những sai lầm thường gặp Sö dông sai c«ng thøc www.VNMATH.com  y   x2 VD1: tÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi   y  0; x  1; x  Lêi gi¶i sai: DiÖn tÝch h×nh ph¼ng lµ: 4  S   (9  x )dx   x  x3   1  Sai lÇm: ¸p dông sai c«ng thøctÝnh diÖn tÝch Lời giải đúng: DiÖn tÝch h×nh ph¼ng lµ: y S    x dx   (9  x )dx    x  dx  1 38   65   x  x3    x3  x   9  1 3  3 o Xác định không chính xác hình cần tính giới hạn  y  0; y  VD: tÝnh diÖn tÝch h×nh giíi h¹n bëi:   y  x  1; x  Lêi gi¶i sai: y  x   y   x  y   x 1 y 1 x  VËy diÖn tÝch h×nh ph¼ng cÇn t×m lµ: 2 S   x  1dx   x  1  3 Sai lầm: xác định sai hình cần tính diện tích không vẽ đường giới hạn Lời giải đúng: VÏ h×nh giíi h¹n: VËy diÖn tÝch h×nh giíi h¹n lµ: S  S1  S víi : S1  12     2  S    x  dx   x   x  1    1  S 3 Xác định sai hình cần tính giới hạn VD: T×m diÖn tÝch h×nh giíi h¹n bëi: x www.VNMATH.com   y  x2  2x    y  x  6x   x  ; x   2 Lêi gi¶i sai: C1  C2   2;1  C1   C2  y x VËy diÖn tÝch cña h×nh giíi h¹n lµ: S   x  1 dx  2   x  3 dx 2 1 3  x  1   x  3 2 1   1         24   24  12 Sai lầm: Xác định sai hình cần tính giới hạn Lời giải đúng: C1  C2   2;1 DiÖn tÝch h×nh giíi h¹n lµ: S  S1  S  y=(x-1)2 y=(x-3)2   x  3   x  1 S1   dx  2    4 x  8 dx   2 x  x  3   x  1   x  3 S2   2  2  dx    x  8 dx  (2 x  x) VËy S = 21 2 1  1 2 Vấn đề: Dự kiến sai lầm tính thể tích khối tròn xoay tích phân I, c«ng thøc: x www.VNMATH.com b   y  f  x   Vox f  x  dx    y   Cho h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi   b x  a Voy  2 xf x dx 0   x  b     x  f  y   x1  d  x  g  y   x2  Voy    x12  x22 dx NÕu h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi  c c  y  d  f  y  g  y    II, Một số sai lầm thường gặp: Sử dụng công thức bỏ giá trị tuyệt đối: TÝnh thÓ tÝch h×nh xuyÕn g©y bëi h×nh trßn x   y  b   a quanh trôc 0x * Lêi gi¶i sai: Phương trình đường tròn (C): x   y  b   a có thể viết vÝ dô 1:  y  b  y  b  a2  x2 a x   y  b  a2  x2  2   a  b  quay y  C1   x  a  C2  VËy thÓ tÝch cña h×nh xuyÕn lµ: a 2   Vox     b  a  x  b  a  x  dx  2 a 2b  a  * Sai lầm: mặc dù kết đúng sai công thức thể tích:    x  b b Vox     y12  y22  dx mµ Vox    y12  y22 dx a a  a * Lời giải đúng: Vox   b  a2  x2 a    b  a2  x2  dx  2 a 2b Sö dông nhÇm Voy  y  x2  vÝ dô: TÝnh Voy cña h×nh  x  x   * Lêi gi¶i sai: Voy    x dx   x5 31  5 b * Sai lÇm: §· sö dông c«ng thøc Voy    y dx ®©y lµ c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch Vox Vëy a lêi gi¶i bÞ sai * Lời giải đúng Voy  2  x.x dx  15 2