Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H một vòng xung quanh trục hoành.. Gợi ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO.[r]
(1)Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 CÁC ĐỀ TÍCH PHÂN TUYỂN CHỌN TỪ TẠP CHÍ: “TOÁN HỌC TUỔI TRẺ” Đề 1: ( Sách 2010) Tính diện tích hình phẳng, giới hạn hai đường có phương trình: y - x + = và x - y + = Gợi ý: 2 x +2 S = ò x - 2dx - ò dx = (đ.v.d.t) 1 π æ + sin x ö x Đề 2: ( Sách 2010) Tính tích phân: I = ò ç ÷ e dx cos x + è ø Gợi ý: πæ ö π π 2ç x÷ xö æ x x x I = òçe + e tan ÷dx = ç e tan ÷ = e x 2÷ 2ø è 0ç cos è ø π Đề 3: ( Sách 2010) Tính tích phân: I = ò sin x ( sin x + cos x ) dx Gợi ý: πö æ Ta có sin x + cos x = 2sin ç x + ÷ 3ø è πö πö æ æ Phân tích: sin x = sin ç x + ÷ cos ç x + ÷ nên ta có : è 2ø 3ø è π π πö æ 2 cos ç x + ÷ dx dx 3 3 3ø è I= ò = + = ò π ö 16 πö 16 æ 12 12 æ sin ç x + ÷ sin ç x + ÷ 3ø 3ø è è Đề 4: ( Sách 2010) Tính tích phân: I = ò x - x3 dx x4 1 æ ö3 Gợi ý: I = ò ç - 1÷ dx Đặt t = - Đáp số: I = x ø x 1è x dx x +8 Đề 5: ( Sách 2010) Tính tích phân: I = ò Gợi ý: dx dx ( x - ) dx dx π I =ò = ò - ò + ò = ln + 12 x + 24 x - x + 4 x - x + 12 12 x +8 Hoặc: Đặt x = tan t Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Lop12.net (2) Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 Đề 6: ( Sách 2010) Tính tích phân: I = ò e x +1 dx t -1 Þ dx = t dt 3 t=2 2e Khi đó I = ò tet dt = = ( Tích phân phần) t =1 3 Gợi ý: Đặt t = x + ta có x = x = 1: x = 0: x x -1 dx x-5 Đề 7: ( Sách 2010) Tính tích phân: I = ò Gợi ý: Đặt t = x - Þ x = t + Þ dx = 2tdt x = 2: t =1 2t + 2t 32 = = - 10ln Khi đó: I = ò x = 1: t =0 t Đề 8: (Sách 2010) Cho hình phẳng (H) giới hạn ba đường: x - y + y - = 0; x = 0; y = Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình (H) vòng xung quanh trục hoành Gợi ý: Giao điểm các đường O(0;0), A(3;0), B(0;1) Từ x - y + y - = Þ y = - x + ( ) Do đó: V = π ò - x + dx = = 5π (đ.v.t.t) x3 Đề 9: ( Sách 2010) Tính tích phân: I = ò (1 + x ) dx Gợi ý: Đặt t = tan α Lúc đó: π I=ò π æ π ö tan α tan α ç tan α ÷ d α = d α = - cos α + cos3 α d cos α = ò ò 2 2÷ ç 16 ç + tan α + tan α + tan α ÷ è ø ( ) ( ) Đề 10: ( Sách 2010) Tính tích phân: I = ò -1 ( ) dx x2 + x + Gợi ý: Đặt t = x + x + x + Þ x = 0: x = -1: dx = 2dt 2t + x + x +1 t =1 2dt Khi đó: I = ò = = ln t =0 t + π Đề 11: ( THTT 400) Tính tích phân: I = ò 1+ cos x + sin x ) ( ln dx + cos x Gợi ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Lop12.net (3) Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG π 1+ cos x (1 + sin x ) I = ò ln + cos x §Æt x = Luyện thi Đại học 2011 π π π 0 dx = ò cos x ln (1 + sin x ) dx + ò ln (1 + sin x ) dx - ò ln (1 + cos x ) dx (1) π - t Þ dx = - dt π π π Suy ra: I = ò sin t ln (1 + cos t ) dt + ò ln (1 + cos t ) dt - ò ln (1 + sin t ) dt 0 π π π Hay I = ò sin x ln (1 + cos x ) dx + ò ln (1 + cos x ) dx - ò ln (1 + sin x )dx (2) 0 π π Céng (1) víi (2): 2I = ò cos x ln (1 + sin x )dx + ò sin x ln (1 + cos x )dx 0 J K π * Víi J = ò cos x ln (1 + sin x )dx = (tÝch ph©n tõng phÇn) =2ln2 - π * Víi K = ò sin x ln (1 + cos x )dx = (tÝch ph©n tõng phÇn) =2ln2 - Suy ra: 2I = 2ln2 - 1+2ln2 - Þ I = 2ln2 - π ( ) Đề 12: ( THTT 401) Tính tích phân: I = ò x cos x + sin x dx Gợi ý: π ) ( π π 0 Ta cã: I = ò x cos x + sin x dx = ò x cos xdx + ò x sin xdx π π ( ) = ò x cos xdx + ò x - 2cos x + cos x sin xdx J K π * TÝnh J = ò x cos xdx = (tÝch ph©n tõng phÇn) = - π ) ( * TÝnh K = ò x - 2cos x + cos x sin xdx ìu = x Þ du = dx ï §Æt í 2cos3 x cos5 x 2cos x cos x sin x x v v cos x + d = d chän = + ï î ( ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Lop12.net (4) Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG TÝnh ta ®îc K = Luyện thi Đại học 2011 8π 15 8π -2 15 Đề 13: ( THTT 402) Suy ra: I = x / Cho hàm số f ( x) = A.3 + B Tìm các số A, B f (0) = và ò f ( x)dx = 12 Gợi ý: ì f / ( x) = A.3x.ln ï f ( x) = A.3x + B Þ í A.3x + Bx + C ï f ( x ) dx = ln îò ì ì f / (0) = A= ì A.ln = ï ï ï ï ln Þ í 6A Þí Ta cã: í ï ò f ( x)dx = 12 îï ln + B = 12 ï B = 12 - 12 î1 ïî ln ì A = ïï ln VËy í ï B = 12 - 12 ïî ln π Đề 14: ( THTT 403) Tính tích phân: I = ò e x sin xdx Gợi ý: Tính tích phân phần lần và phối hợp e 2π - Kết quả: I = 8 Đề 15: ( THTT 10-2010) Tính tích phân: I = ò ln x dx x +1 Gợi ý: §Æt t = x + Þ t = x + Û 2t dt = dx ( ) tdt =2 ln t - t Þ I = 2ò ( ) 3 2 ò ln t - dt =2ò ln ( t - 1) dt + 2ò ln ( t + 1) dt TÝch ph©n tõng phÇn Đề 16: ( THTT 11-2010) Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đồ thị hàm số: x2 y = x2 - ; y = +4 Gợi ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Lop12.net (5) Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 π æ + sin x ö x Đề 17: ( Đề 02- 2009) Tính tích phân: I = ò ç ÷ e dx + cos x ø 0è Gợi ý: Đáp số: I = π e2 π sin x Đề 18: ( Đề 03- 2009) Tính tích phân: I = ò ( sin x + cos x ) dx Gợi ý: Đáp số: I = π ò Đề 19: ( Đề 01- 2003) Tính tích phân: I = π ( sin x cos x tan x - tan x + ) dx Gợi ý: Đáp số: I = - ln - 3π æ + x4 ö Đề 20: ( Đề 02- 2003) Tính tích phân: I = ò ç dx ÷ x + è ø Gợi ý: π Đáp số: I = ln (1 + x ) Đề 21: ( Đề 03- 2003) Tính tích phân: I = ò dx + x Gợi ý: π Đáp số: I = ln π Đề 22: ( Đề 04- 2003) Với n Î * , tính: I n = ò tan n xdx Gợi ý: Xét hiệu I k - I k -1 1 1 1 1 π Suy ra: I n = + + + + - + 4n - 4n - 4n - 4n - 4n - 4n - 11 Đề 23: ( Đề 05- 2011) Tính: I = ò ( x + 1) ( x + 3) dx Gợi ý: Biến đổi = = ( x + 1) ( x + 3) ( x + 1) ( x + 1) ( x + 3) ( x + 1) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO x + 4x + = ( x + 1) ( x + ) - Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Lop12.net (6) Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 Đề 24: ( Đề 03- 2004) Tìm x > cho: x ò t et ( t + 2) dt = Gợi ý: Đáp số: x = Đề 25: ( Đề 03- 2004) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình tròn ( x - ) + y £ Tính thể tích khối tròn xoay tạo quay hình tròn đó vòng quanh trục Oy Gợi ý: Đáp số: V = 4π x Đề 26: ( Đề 04- 2004) Giải phương trình: ò sin 2t + cos2t dt = 0 Gợi ý: Đáp số: x = kπ Đề 27: ( Đề 05- 2004) Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x) = x2 + x - 3x + Gợi ý: 1 u -1 Đáp số: I = ln + C với u = x - x u +1 Đề 28: ( Đề 01- 2005) Tính: I = ò x - x dx Gợi ý: Đặt x = 2sin t 2π Đáp số I = + 12 x2 - x - và trục Ox Đề 29: ( Đề 02- 2005) Tính diện tích hình phẳng giới hạn ( C ) : f ( x) = x-3 Gợi ý: 15 Đáp số: I = - 8ln Đề 30: ( Đề 03- 2005) Tính: I = ò ln -1 ( ) x + a + x dx Gợi ý: Đặt x = -t Sau vào, nhân lượng liên hợp Đáp số I = ln a π - sin x dx x (1 + cos x ) e Đề 31: ( Đề 04- 2005) Tính: I = ò Gợi ý: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Lop12.net (7) Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG π Luyện thi Đại học 2011 π π - sin x sin x dx = ò dx - ò dx = I1 - I x x x (1 + cos x ) e (1 + cos x ) e (1 + cos x ) e Biên đổi I = ò Đáp số I = π e2 4x + dx x + x + Đề 32: ( Đề 01- 2006) Tính: I = ò Gợi ý: Đáp số I = ln 27 Đề 33: ( Đề 02- 2006) Tính: I = ò e x +1 dx Gợi ý: Đáp số I = 2e Đề 34: ( Đề 03- 2006) Tính: I = ò x2 x +4 dx Gợi ý: Đáp số I = 1+ - 2ln 2 e æ ln x ö Đề 35: ( Đề 04- 2006) Tính: I = ò ç + ln x ÷ dx ø è x + ln x Gợi ý: Đáp số I = - + + e ( ) π cos3 x dx cos x - 3cos x + Đề 36: ( Đề 05- 2006) Tính: I = ò Gợi ý: Đáp số I = ln π π 2 sin x cos x Đề 37: ( Đề 01- 2007) Cho I = ò dx và J = ò dx 2cosx + 3sinx 2cosx + 3sinx 0 a) Tính I - J và I + J b) Từ đó suy kết I và J Gợi ý: ì9 I - J = x ï Đặt t = tan Ta tính được: í æ 13 - 13 - ö ï I + J = 13 ç ln 13 + - 13 + ÷ è ø î Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Lop12.net (8) Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 π Đề 38: ( Đề 02- 2007) Tính: I = ò π tan x cosx + cos x dx Gợi ý: Đặt t = + tan x Þ dt = ò dt = Đáp số: I = tan xdx cos2 x + tan x - 3 Đề 39: ( Đề 03- 2007) Tính tích phân: I = ò ( x3 + x2 ) dx Gợi ý: Đặt t = tan α Lúc đó: π I=ò π æ π ö tan α tan α tan α ç ÷ dα = - cos α + cos3 α d cos α = d α = ò ç + tan α ò 2÷ 16 0ç + tan α + tan α ÷ è ø ( ) ( ( ) ) Đề 40: ( Đề 04- 2007) Tính tích phân: I = ò -3 x + x + 1dx Gợi ý: Biến đổi: I = ò - ( x - 1) dx Đặt x - = 2π é π πù sin t , t Î ê - ; ú Khi đó: I = + (1 + cos2t ) dt = ò 3π 3 ë 2û Đề 41: ( Đề 01- 2008) Tính các tích phân sau: I = ò dx x + x3 π sin2x dx + cos x vµ J = ò Gợi ý: æ 3+ 2 ö π Đáp số: I = ln ç ÷; J = è ø 3 x (x - ) Đề 42: ( Đề 02- 2008) Tính tích phân: I = ò x4 dx Gợi ý: Đáp số I = é ù êex æ x öú Đề 43: ( Đề 03- 2008) Tính tích phân: I = ò ê + x ç + tan x ÷ ú dx è cos x øú 3π ê x û ë Gợi ý: π Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Lop12.net (9) Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 9π + e 3π - e π Đáp số I = π x æ ö Đề 44: ( Đề 04- 2008) Tính tích phân: I = ò ç 2cos + xcosx ÷ esin x dx ø 0è Gợi ý: π Đáp số I = e - + e π Đề 45: ( Đề 01- 2009) Tính tích phân: I = ò sin x ( sin x + cos x ) dx Gợi ý: Đáp số I = π æ + sin x ö x Đề 46: ( Đề 02- 2009 Tính tích phân: I = ò ç ÷ e dx cos x + è ø Gợi ý: πæ ö π π 2ç ÷ x xö æ x x x I = òçe + e tan ÷dx = ç e tan ÷ = e x 2÷ 2ø è 0ç cos 2 è ø π Đề 47: ( Đề 03- 2009 Tính tích phân: I = ò sin x ( sin x + cos x ) dx Gợi ý: Đáp số I = Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Lop12.net (10) Chuyên đề TÍCH PHÂN_ỨNG DỤNG Luyện thi Đại học 2011 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Lop12.net (11)