Ôn thi đại học môn toán CÁC DẠNG TÍCH PHÂN ( LÝ THUYẾT + BÀI TẬP)

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN Bảng công thức tích phân bất định : 0dx C dx  x C 1 1 1        C n n x x dx n n dx x C x   ln  1 e dx  e C x x   C a a a dx x x ln sin xdx cosx C cosxdx sin x C  dx  x C x tan cos 1 2  dx   x C x cot sin 1 2     dx u x C u x u x ln ( ) ( ) ( )       C x a x a a dx x a ln 2 1 1 2 2      x  x  a C a x a x x adx 2 2 2 ln 2 2 Phương pháp biến số phụ : Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn a;b có nguyên hàm là F(x) . Giả sử u(x) là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn ,  và có miền giá trị là a;b thì ta có :  f u(x).u(x)dx  F(x)u(x)C BÀI TẬP Tính các tích phân sau : a)    1 0 1 2 x 1 xdx I b)    1 0 2 1 x x e e dx I c)    e x xdx I 1 3 1 ln Bài làm : a) Đặt 2 1 2 2 dt t  x   dt  xdx  xdx Đổi cận :          1 2 0 1 x t x t Vậy : ln 2 2 1 ln 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2        t t dt x xdx I b) Đặt t e dt e dx x x  1   Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3gmail.com STBS: Cao Văn Tú Page 2 Blog: www.caotu28.blogspot.com Đổi cận :            2 1 1 1 2 x t e x t e Vậy : ln ln( 1) 1 1 1 1 1 1 0 2 2 2             t e t dt e e dx I e e e e x x c) Đặt dx x t x tdt 1 1ln   Đổi cận :          2 1 1 x e t x t Tích phân lượng giác : Dạng 1 :     I sin mx.cosnxdx Cách làm: biến đổi tích sang tổng . Dạng 2 :     I x x dx m n sin .cos . Cách làm : Nếu m,n chẵn . Đặt t  tan x Nếu m chẵn n lẻ . Đặt t  sin x (trường hợp còn lại thì ngược lại) Dạng 3 :       a x b x c dx I .sin .cos Cách làm : Đặt :               2 2 2 1 1 cos 1 2 sin 2 tan t t x t t x x t Dạng 4 :       dx c x d x a x b x I . .sin .cos .sin .cos Cách làm : Đặt : c x d x B c x d x A c x d x a x b x .sin .cos ( .cos .sin ) .sin .cos .sin .cos       Sau đó dùng đồng nhất thức . Dạng 5:         dx c x d x n a x b x m I . .sin .cos .sin .cos Cách làm :

Chun đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com CHUN ĐỀ TÍCH PHÂN Bảng cơng thức tích phân bất định :  0dx  C n  x dx   dx  x  C x n 1  C n  1 n 1  x dx  ln x  C ax C ln a  cos xdx  sin x  C x x  e dx  e  C x  a dx   sin xdx   cos x  C  cos x dx  tan x  C  sin  u( x) dx  ln u( x)  C x u( x)  x2  adx  2 x dx   cot x  C 1 xa dx  ln C a 2a x  a x a x  a  ln x  x2  a  C 2 Phương pháp biến số phụ : Cho hàm số f (x) liên tục đoạn a;b có nguyên hàm F (x) Giả sử u (x) hàm số có đạo hàm liên tục đoạn  ,   có miền giá trị a;b ta có :  f u(x).u' (x)dx  F (x)u(x)  C BÀI TẬP Tính tích phân sau : xdx a) I1   x 1 e e x dx b) I   x e 1 c) I3   1  ln xdx x Bài làm : a) Đặt t  x2   dt  2xdx  xdx  x   t  x   t  dt Đổi cận :  2 xdx dt 1 Vậy : I1      ln t  ln 21 t 2 x 1 b) Đặt t  e x   dt  e x dx ST&BS: Cao Văn Tú Page Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com x   t  e  Đổi cận :  x   t  e  1 e x dx Vậy : I   x  e 1 e2 1 e2 1 dt 1 t  ln t  ln( e  1) e e1 c) Đặt t   ln x  tdt  dx x x   t  Đổi cận :  x  e  t  e I3    ln xdx 2   t dt  t  (2  1) x 3 Tích phân lượng giác :  Dạng : I   sin mx.cos nxdx  Cách làm: biến đổi tích sang tổng  Dạng : I   sin m x.cosn x.dx  Cách làm : Nếu m, n chẵn Đặt t  tan x Nếu m chẵn n lẻ Đặt t  sin x (trường hợp lại ngược lại)  dx  a sin x  b cos x  c Dạng : I   Cách làm : 2t  sin x   t x Đặt : t  tan    2 cos x   t  1 t2   a sin x  b cos x dx Dạng : I    c sin x  d cos x Cách làm : Đặt : a.sin x  b cos x B(c cos x  d.sin x)  A c.sin x  d cos x c.sin x  d cos x Sau dùng đồng thức  a sin x  b cos x  m dx  c sin x  d cos x  n Dạng 5: I   Cách làm : ST&BS: Cao Văn Tú Page Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com a sin x  b cos x  m B(c cos x  d sin x) C Đặt :  A  c sin x  d cos x  n c sin x  d cos x  n c sin x  d cos x  n Sau dùng đồng thức BÀI TẬP Tính tích phân :   2 cos xdx a) I1   (sin x  1)  b) I   cos xdx c) I   tan xdx 0 Bài làm : a) Đặt : t  sin x 1  dt  cosxdx x   t  Đổi cận :    x   t    cos xdx dt   Vậy : I1   3t (sin x  1) t 2  24 b) Đặt : t  sin x  dt  cosxdx x   t  Đổi cận :    x   t    Vậy :  I   cos xdx    t 0  dt   1  t 2   2t dt  t5     t3  t     15 0 c) Đặt : t  tan x  dt  (tan x  1)dx x   t  Đổi cận :    x   t    t dt     t  t 1 dt t  1 t 1 0 Vậy : I   tan xdx    t  t 13      t    du   5  15  0 ST&BS: Cao Văn Tú Page Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com Tính tích phân sau :   a) I1   sin x.cos x a sin x  b cos x 2 2 cos x dx  cos x b) I   dx Bài làm : a) Đặt : t  a sin x  b cos2 x  dt  2(b  a ) sin x.cos xdx x   t  a Đổi cận :    x   t  b  Nếu a  b  Vậy : sin x cos x dx  2 b  a2 a sin x  b cos x I1    t b  a2 b  a2  b2 dt a2 t  ab  2 ab b a Nếu a  b   Vậy : sin x cos x I1   a sin x  b cos2 x sin x cos xdx a dx     2 1  sin xdx   cos x   2a 4a 2a b) Đặt : t  sin x  dt  cosxdx x   t  Đổi cận :    x   t    Vậy : I   cos x dx   cos x  dt  2t   dt t 3 cos u  dt   sin udu 2   t   u   Đổi cận :  t   u     Đặt : t  ST&BS: Cao Văn Tú Page Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân I2   Vậy : Email: caotua5lg3@gmail.com  dt   2 t sin udu  cos u       du  u 2    4 Tính tích phân sau :   b) I   sin x  cos x  dx sin x  cos x  dx sin x  cos x  a) I1   Bài làm : x x  2dt   dt   tan  1dx  dx  2  t 1  x   t  Đổi cận :    x   t   1 dt 1 t I1   dt   2 2t 1 t 0 t  1 3 5 Vậy : 1 t 1 t a) Đặt : t  tan  1  t2 sin x  cos x  cos x  3sin x C  A B  sin x  cos x  sin x  cos x  sin x  cos x  Dùng đồng thức ta được: A  , B  , C  b)Đặt :  Vậy : I2    sin x  cos x  cos x  sin x   dx   1   dx sin x  cos x  sin x  cos x  sin x  cos x   0   x  ln sin x  cos x   02  I1    ln  Bạn đọc tự làm :   cos x a) I1   dx  sin x  b) I   cos x sin xdx dx sin x  c) I3   ST&BS: Cao Văn Tú Page Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com    sin x sin x  cos x  dx d) I5   dx d) I   dx c) I3   cos x  sin x  cos x  sin x  cos x  3 2 Tính nguyên hàm,tích phân hàm hữu tỷ dx 1   C với a, n C  N  0,1 ta có : n n  x  an1 x  a  dx Nếu n  , a  R ta có : I    ln x  C xa  ,  , a, b, c  R x   dx :  Dạng : I   n ax  bx  c   b  4ac  Dạng : I     * Giai đoạn :   ,làm xuất tử thức đạo hàm tam thức ax2  bx  c , sai khác số : I  2a 2ax  b  2a  ax   bx  c b  n dx   2a  ax 2ax  b  bx  c  n dx    2a dx   b   n 2a    ax  bx  c  * Giai đoạn : Tính I   dt  4a     n dx    b  t 2     2a t  2ax ax  bx  c dx  n    n  * Giai đoạn : Tính I   Dạng : I   Ta có : t  1 Pm x dx Qn x n dt tính hai phương pháp , truy hồi đặt t  tan  Pm x  am x m   a1x  a0  Qn x  bn x n   b1x  b0 Nếu : degP  degQ ta thực phép chia Rr x  có degR  degQ Qn x  Nếu : degP  degQ ta có qui tắc sau : P A An 1 An *Qt 1: m x  n    n 1  x  a  x  a  x  a x  an n P x  Ai Vdụ 1a : n m  i x  a i i1 x    i 1 Vdụ 1b : Pm x R x  phân số  Am n  x  r Qn x Qn x i Pm x A B C D     ( x  a)( x  b)( x  c) x  a x  b x  c x  c2 ST&BS: Cao Văn Tú Page Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com Pm x  An1 x  Bn1 An x  Bn A1 x  B1    n1 ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c m n Pt x  Ai Ai x  B1 *Qt 3: n  i  m x    ax  bx  c i 1 x    k 1 ax2  bx  c i Pt x  A Bx  C   Vdụ : ( x   ) ax  bx  c x   ax  bx  c Pt x  B x  C1 B2 x  C2 A   21  Vdụ : 2 x    ax  bx  c x    ax  bx  c ax  bx  c *Qt 2':     n             n với          BÀI TẬP Tính tích phân sau : 1 dx a) I1   x  3x  b) I   x dx  3x   Bài làm : a) I1   1 dx dx       dx x  3x  x  1x  2  x  x    ln x   ln x  0  ln 1   dx dx      dx b) I   2 2 x  1 x  2 x  1x  2 x  3x  2  0 1       2ln x   ln x    OK  x 1 x  0 Tính tích phân sau : 1 dx a) I1   x  3x  b) I   4x  dx x   x  2   Bài làm : dx x  arctan  C với a  x a a a 1 dx dx  1  I1       dx 2 x  3x  x  1x  3  x  x   a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh I    1 x     arctan x  arctan   92 2 30 ST&BS: Cao Văn Tú  Page Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com 4x  A Bx  C x  A  B  x2B  C   2C  A    x  2x  1 x  x  x  2x  1 A  B   A  2   Do ta có hệ : 2B  C   B  2C  A  C    b) Đặt : Vậy : I    4x  2 2x   dx      dx x  x 1 x   x  2 0      ln x   ln x2   2 ln  ln  ln  ln  ln Bạn đọc tự làm : a) I1   2 x 1 dx x x  1 dx x  2x  b) I   x3  c) I   dx 4x  x d) I  2 x x dx  3x  HD: x 1 A B C A B   2 b)   x 1 x x  1 x x x  2x  x 1 x  3  x 1  x4 x A B C D  1   c)  x2 x  12 x  1  d) x  3x   x   x    4x  x  x x  a) Đẳng thức tích phân : Muốn chứng minh đẳng thức tích phân ta thường dùng cách đổi biến số nhận xét số đặc điểm sau * Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hồn , cận + cận dưới, … Chúng ta cần phải nhớ đẳng thức nầy xem bổ đề áp dụng BÀI TẬP 1 Chứng minh :  x 1  x dx   x n 1  xm dx m n Bài làm : Xét I   x m 1  xn dx Đặt : t 1  x  dt  dx  dx  dt ST&BS: Cao Văn Tú Page Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com x   t  x   t  Đổi cận :  1 Vậy : I   x m 1  x n dx   1  t m t n dt   1  t m t n dt (đpcm) Chứng minh f (x) hàm lẻ liên tục đoạn  a, a : a I  f xdx  a Bài làm : I a  f ( x)dx  a Xét  a  f xdx a f x dx   f x dx 1 Đặt t  x  dt  dx  dx  dt a  x  a  t  a x   t  Đổi cận :  a a a V ậy : 0  f xdx   f  t dt   f t dt Thế vào (1) ta : I  (đpcm) Tương tự bạn đọc chứng minh : Nếu f (x) hàm chẳn liên tục đoạn  a, a I a  a a f x dx  2 f x dx Cho a  f x hàm chẵn , liên tục xác định R f x  Chứng minh :  x dx   f x dx a 1    f x  f x  f x  dx   x dx   x dx x 1 a 1 a 1  Xét   a   Bài làm : 1 f x  dx Đặt t  x  dt  dx  dx  dt x 1  a   x    t   x   t  Đổi cận :  f x  f  t  at f t  Vậy :  x dx   t dt   t a 1 a 1 a 1  0  ST&BS: Cao Văn Tú  Page Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com f x  a f x  f x  dx   x dx   x dx   f x dx (đpcm) x 1 a 1 a 1  0  Thế vào (1) ta :  a   x  Cho hàm số f x liên tục 0,1 Chứng minh :   x f sin xdx    2 f sin x dx Bài làm :  Xét  x f sin x dx Đặt t    x  dt  dx  dx  dt x   t   x    t  Đổi cận :     Vậy :  x f sin xdx     t  f sin   t dt     t  f sin t dt 0   0    f sin t dt   t f sin t dt    2 x f sin x dx    f sin x dx      x f sin xdx   f sin xdx 0 Từ toán , bạn đọc mở rộng tốn sau Nếu hàm số f x liên tục a, b f a  b  x  f x Thì ta ln có : b  x f xdx  a  ab f x dx  Cho hàm số f x liên tục,xác định , tuần hồn R có chu kì T T a Chứng minh : aT  f xdx   f xdx Bài làm : aT T aT a a T T aT 0 T  f xdx   f xdx   f xdx  f xdx   f xdx   f xdx a Xét a  f xdx Đặt aT Vậy ta cần chứng minh a T  f xdx   f xdx t  x  T  dt  dx ST&BS: Cao Văn Tú Page 10 Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com   Vậy : I1   e x sin xdx   e x cos x   e x cos xdx  e   J 1  0 u  e  du  e dx dv  cos xdx  v  sin x x Đặt :   x   Vậy : J   e x cos xdx  e x sin x   e x sin xdx   I 0 Thế vào (1) ta : 2I1  e   I1  e  u  x  du  dx b) Đặt :   dv  cos2 x dx  v  tan x     x   4 dx  x tan x   tan xdx   ln cos x   ln cos x 4 0 Vậy : I     u  cosln x   du   sin ln x dx c) Đặt :  x dv  dx  v  x  e e Vậy : I   cosln xdx  x cosln x1   sin ln xdx  e  1  J e 1  u  sin ln x   du  cosln x dx Đặt :  x dv  dx  v  x  e e Vậy : I   sin ln xdx  x sin ln x1   cosln xdx   I e Thế vào (1) ta : 2I  e  1  I   e  Bạn đọc tự làm : ln a) I1   x.e  x dx c) I     1   dx  ln x ln x  e e b) I   1  ln x2 dx   d) I   ln x   x dx  e) I   sin x ln tan x dx  e f) I   cos2 ln xdx   h) I 7   g) I 7   x cos x ST&BS: Cao Văn Tú  sin x x e dx  cos x Page 13 Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Tích phân hàm trị tuyệt đối, , max : Email: caotua5lg3@gmail.com b Muốn tính I   f x  dx ta xét dấu f x đoạn a, b, khử trị tuyệt đối a b Muốn tính I   max  f x, g xdx ta xét dấu f x  gx đoạn a, b a b Muốn tính I    f x, g xdx ta xét dấu f x  gx đoạn a, b a Tính tích phân sau : b) I1   x  x  dx a) I1   x  dx Bài làm : x a) x-2 - +   x2   x2 Vậy : I1   x  dx   2  xdx   x  2dx  2x      2x 1   2 1     4  2      8  8  2  4     4 b) Lập bảng xét dấu x  x  , x  0,2 tương tự ta     I1   x  x  dx   x  x  dx   x  x  dx 2  x   x  I1  3x  x     3x  x    0  1  Tính I a   x x  a dx với a tham số : Bài làm : x x-a  - a  + (Từ bảng xét dấu ta đánh giá ) ST&BS: Cao Văn Tú Page 14 Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Nếu a  Email: caotua5lg3@gmail.com I a   x x  a dx   0  x3 ax  a x  ax dx      0 3    Nếu  a  a     I a   x x  a dx   x  ax dx   x  ax dx a a  ax x3   ax x3  a a3           0  a 2  Nếu a  1  x3 ax2  a I a   x x  a dx   x  ax dx     3 2 0 3 0 1   Tính : a) I1   1, x dx   I   max x , x dx 0 Bài làm : a) Xét hiệu số : 1  x  x  0,2   2 x3 Vậy : I1   1, x dx   x dx   dx   x1  3 0 2 b) Xét hiệu số : xx  1 x 0,3 tương tự ta có   1 3 x2 x3 55 I   max x , x dx   xdx   x dx    31 0 2 Bạn đọc tự làm :  3 a) I1   x, x  3dx b) I   max sin x, cos xdx c) I   sin x  cos x dx 2 0 d) I   max x ,4x  3dx d) I     x  x   x  x  dx   2   Ngun hàm , tích phân hàm số vơ tỷ : Trong phần nầy ta nghiên cứu trường hợp đơn giản tích phân Abel   Dạng 1:  R x, ax  bx  c dx ta xét dạng hữu tỷ a      2ax  b    ax  bx  c    1    4a           ST&BS: Cao Văn Tú Page 15 Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân  Rx,   S t, ax  bx  c dx  Email: caotua5lg3@gmail.com   t dt Tới , đặt t  tan u 2 axb t  a      2ax  b    ax  bx  c  Dạng 2:    1   4a            Rx,  ax  bx  c dx    S t,  t dt Tới , đặt t  sin u axb t   a    2ax  b   ax  bx  c   Dạng 3:    1 4a            Rx, t t  dt Tới đây, đặt t  axb   x    Dạng (dạng đặc biệt) :   S t, ax  bx  c dx  dx Một số cách đặt thường gặp : 2 đặt x  a cost  S x, a  x dx   S x,  S x, a2  x x d a  x d đặt x  a tan t ax  bx  c   t x  sin u dt t  t   t    t   2 a  x2 đặt x  t   k cos t 2  ax  bx  c  xt  c ; c   S x, ax  bx  c dx đặt  ax  bx  c  t x  x0  ; ax0  bx0  c     ax  bx  c   a x  t ; a0   ax  b ax  b  ; ad  cb  đặt t  m  S  x, m cx  d    cx  d     Tính : I   x dx  4x   Bài làm :  x dx  4x     t  x2 t dt  3 Đặt : t  tan u  dt  3tan u  1du ST&BS: Cao Văn Tú Page 16 Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân   Email: caotua5lg3@gmail.com tan u  du  cos udu 3 tan u 3 tan u  1 t x2  sin u  C  C  C 2 3 t 1 x  4x  Ta có I   tan u Tính : a) I      xdx b) I   x  x 1 dx x x  2x  Bài làm : xdx a)  I x2  x  1  x 1 t  xdx   3t  t2 1 dt 1  x    2  3t  dt  t   ln t  t   C 2 t 1 x1 t   1    x  x    ln  x   x  x    C 2   dt b)Đặt : x   dx   t t dx dt t 1 I      arcsin C 2 x x  2x 1  t  1 x t 1 x  C   arcsin x   C   arcsin 2 Tìm nguyên hàm sau a) I   dx 1 x  1 x b) I   dx x 1 x 1 Bài làm : a)Đặt : t   x  t   x  6t 5dt  dx Vậy : I   dx t dt       t  t 1 dt  t 1  t t 1 x  1 x t 6 1 x t 6 1 x   2t  3t  6t  ln t   C   x  33  x  66  x  ln  x   C  dx 1 x  x 1   x 1  dx    x  1dx   dx    x x 1 x 1 x  ST&BS: Cao Văn Tú Blog: www.caotu28.blogspot.com b) I   Page 17 Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com 1 x 1 x x   dx 1 2 x x 1 2t x 1  x  dx   dt dx Đặt : t  x t 1 x t 12  Xét  Vậy : x 1 dx  2 x  t t dt x1 t  12  OK x Tìm nguyên hàm sau : a) I   x x  9dx b) I  16 x x  4dx Bài làm :  t2    t2   I1    .  2t   2t      Vậy : t2  t2   dx  dt 2t 2t 2 t2  t  81 dt    dt 4t 16 t5 x2   x  t  x  a)Đặt :       162 6561  t4 6561  dt     162 ln t    C t   t 4 16 t  16  4t      x  x2  6561    162 ln x  x   16  4 x  x2    x2   x  t  x  b)Đặt :   C    t2  t2   dx  dt 2t 2t    t2  4  t2  4 t2  t  16 .  I  16  dt   dt  2t   2t  4t t5    2 t4 36 256  64      t   dt     36 ln t    C 4 t t  t       x  x2        36 ln x  x    C  x x 4   64  Tính tích phân sau : a) I1   x  x dx ST&BS: Cao Văn Tú 8 dx dx x 1 x 3 b) I   Page 18 Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com Bài làm : I1   x  x dx  1  2 x  1 dx 2 2 Đặt : 2x   sin t  dx  cos tdt  x   t  Đổi cận :   x   t        12 1 Vậy : I1   cos tdt   1  cos 2t dt  1  sin 2t    40 80 8 0           0  0     16 b) Đặt : t   x   2tdt  dx  x  3  t   x  8  t  Đổi cận :  8 3 dx tdt dt dx  2  2 Vậy : I   1 t t 1 t 3 x  x 2   t 1     ln   ln  ln 1  ln t 1   Bạn đọc tự làm : a) I1   dx x x2  d) I    x dx c) I   b) I   x  x dx d) I 5    x2  1  x2  dx d) I 6  x dx 4  1  x2  dx Bất đẳng thức tích phân : b Nếu f x   x a, b   f x dx  a b b a a Nếu f x   g x  x a, b   f x dx   g x dx ST&BS: Cao Văn Tú Page 19 Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com b Nếu m  f x  x a, b  mb  a    f xdx  M b  a  a Trong trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GM Và bước chặn sinx,cosx BÀI TẬP Chứng minh bất đẳng thức sau : a)  x1  xdx  b)   c)    x   x dx  x dx  x 1 Bài làm: a)Áp dụng AM-GM ta có :  x  1  x  x1  x      x  0,1   1 1 Vậy :  x1  xdx   dx  (đpcm) 40 x b) Xét hàm số : f x  x  1,2 x 1 Đạo hàm : f x    x2 x  1 x  f x      x  1   f 1  Ta có :    f 2    x   x  1,2 x 1 2 2 x Vậy :   dx   dx   dx 51 x 1 21  2 x  dx  x 1 Áp dụng Bunhicopxki ta có :  x   x  12  12  x   x  x  0,1 Vậy :    x   x dx  21  0 ST&BS: Cao Văn Tú Page 20 Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân  Email: caotua5lg3@gmail.com  1  x   x dx  (đpcm) Chứng minh : e sin x  dx  x 1 12e x  Bài làm :   x  1,  e x sin x  2 x 1 ex  1 Xét  ex 1 e x e sin x  dx   dx x 1 1 ex  1   x  1  e  x   dx 1 Đặt : x  tan t  dx  tan t  1dt   x   t  Đổi cận :   x   t      Do :  tan t  1dt dt   etan t  1   e  12   Từ ta đpcm Bạn đọc tự làm : Chứng minh : dx   a)   16  cos x 10     3 sin x dx  b)    x   c)    x2  x3   6 d*) Cho hàm số liên tục : dx f : 0,1  0,1 ; g : 0,1  0,1 1 1  Chứng minh :  f x .g x dx   f x dx. g x dx 0 0  Một số ứng dụng tích phân thường gặp : 1)Tính diện tích : Cho hai hàm số f x& f x liên tục đoạn a, b Diện tích hình phẳng giới hạn đường : ST&BS: Cao Văn Tú Page 21 Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com x  a x  b ;    y  f x   y  g x  Được tính sau : b S   f x   g x  dx a 2)Tính thể tích : Nếu diện tích S x mặt cắt vật thể mặt phẳng vng góc với trục tọa độ , hàm số liên tục đoạn a, b thể tích vật thể tính : b V   f x dx a Nếu hàm số f x liên tục a, b (H) hình phẳng giới hạn đường: x  a , x  b   y  f x  Ox  Khi (H) quay quanh Ox ta vật thể trịn xoay Lúc thể tích tính : b V     f x  dx a Tương tự ta tính thể tích vật thể quay quanh oy 3)Tính giới hạn : b n  xi 1   i  x lim  f  i .xi   f x dx  n i 1 a  x  xi  xi 1 Từ ta xây dựng tốn giới hạn sau : n i i Viết dãy số thành dạng : Sn   f   sau lập phân hoạch 0,1, chọn i  xi    i 1 n n n n i ta có lim  f     f xdx   n i 1 n n 4)Tính độ dài cung đường cong trơn: Nếu đường cong trơn cho phương trinh y  f x độ dài đường cung tính sau : b l     y dx với a, b hoành độ điểm đầu cung a 4)Tính tổng khai triển nhị thức Newton Tìm cơng thức tổng qt , chọn số liệu thích hợp,sau dùng đồng thức, bước cuối tính tích phân ST&BS: Cao Văn Tú Page 22 Blog: www.caotu28.blogspot.com Chun đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com Hình1a hình1b hình1c hình1d BÀI TẬP Tính diện tích hình trịn , tâm O , bán kính R Bài làm : (hình 1a) Phương trình đường trịn có dạng : x2  y  R2  y   R2  x2 R Do tính đối xứng đồ thị nên : S  4 R  x dx Đặt : x  R sint  dx  R costdt x   t   Đổi cận :   x  R  t   x   t     x  R  t     S  4 R  sin t R cos tdt  2R Vậy :  1  cos 2t dt   2  2R  x  sin 2t   R 2  0 ST&BS: Cao Văn Tú 2 dvdt Page 23 Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com Xét hình chắn phía Parabol y  x , phía đường thẳng qua điểm A(1,4) hệ số góc k Xác định k để hình phẳng có diện tích nhỏ Bài làm (hình 1b) Phương trình đường thẳng có dạng y  k x  1  Phương trình hồnh độ giao điểm x  k x  1   x  kx  k   Phương trình ln có hai nghiệm , giả sử x1  x2 Vậy diện tích : x2 S x1  x2  x  1   x dx   x  k x  4  k x k     x1      x2  x1  x2  x1 x2  x12  k x2  x1   4  k     x2  x1  k  Với : x2 x1  k    x2  x1 2  x 2  x 21   x2 x1  k  4k  4  Thế vào * ta :   S  k  4k  16  k  4k  4  k  4  k     k  4k  16 k  4k  16 3 1 k  22  12   k  4k  16  6 Vậy : S  k     *  Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : ax  y   ay  x  Bài làm : (hình 1c) Do tính chất đối xứng đồ thị mà ta cần xét a  ax  y x  y x  y  a     Xét : ay  x  ay  x a  a    Với x  y ta : ST&BS: Cao Văn Tú Page 24 Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com x  y x  a  ay  x   x  a   n l  Với x  y  a  ta :  x  ax  a  x  y  a   x  a   ay  x  ay  x x  a  a    n l  Ta lại có :  y   ax ax  y   x2  ay  x   y  a a    a   Vậy diện tích cần tính : a a   x2  x2  S    ax  dx    a x  dx a a 0 0 a 3 x3    ax    a2 3a  2 dvtt Bạn đọc tự làm : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : x  y    a) x  y   x    y  x2  b)  y  x y   x  y  c)  x  y  0 y    x2 y2  1 d)  a b  a, b   Hình vẽ tương ứng ↓↓↓ hình a ST&BS: Cao Văn Tú hình b Page 25 Blog: www.caotu28.blogspot.com Chun đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com hình c hình d Với số nguyên dương n ta đặt : Sn  15  25  35   n n6 Tính lim Sn n Bài làm : Sn  n  5  5  5 n               n   n   n   n    i     i 1 n  n  n Xét hàm số f x   x   0,1 Ta lập phân hoạch 0,1 với điểm chia :  x0  x1  x2  .xn1  xn  chiều dài phân hoạch l  xi  xi1  n n i i Chọn i  xi  ta có lim  xi  xi1  f  i        n n i 1 i 1 n  n   lim S n  lim S n   x dx  l 0 n n Với số nguyên dương n ta đặt : Sn  1 1     n 1 n  n  nn Tính lim Sn n Bài làm : ST&BS: Cao Văn Tú Page 26 Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân Email: caotua5lg3@gmail.com   1 1 1   Sn       n  n  1 1 1  1  n n n  n   n 1      i  i 1 n    1 n  Xét hàm số f x    0,1 x 1 Ta lập phân hoạch 0,1 với điểm chia :  x0  x1  x2  .xn1  xn  chiều dài phân hoạch l  xi  xi1  n     i  Chọn i  xi  ta có lim  xi  xi1  f  i     n i n  i 1 i 1 n    1 n  1 dx  lim S n  lim S n    ln x   ln x 1 l 0 n n n ST&BS: Cao Văn Tú Lớp: CNTT_K12D Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Blog: www.caotu28.blogspot.com ST&BS: Cao Văn Tú Page 27 Blog: www.caotu28.blogspot.com ...  ln xdx 2   t dt  t  (2  1) x 3 Tích phân lượng giác :  Dạng : I   sin mx.cos nxdx  Cách làm: biến đổi tích sang tổng  Dạng : I   sin m x.cosn x.dx  Cách làm : Nếu m, n chẵn Đặt... x x  a) Đẳng thức tích phân : Muốn chứng minh đẳng thức tích phân ta thường dùng cách đổi biến số nhận xét số đặc điểm sau * Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận + cận dưới, … Chúng ta...  phân số  Am n  x  r Qn x Qn x i Pm x A B C D     ( x  a )( x  b )( x  c) x  a x  b x  c x  c2 ST&BS: Cao Văn Tú Page Blog: www.caotu28.blogspot.com Chuyên đề Tích phân