Ôn thi đại học môn toán (Nguyễn Tất Thu)

Nguyn Tt Thu Nguyn Tt Thu – Trng Lê Hng Phong – Biên Hòa 1 CHNG 1. HÀM S VÀ CÁC VN  LIÊN QUAN A. Tóm tt lí thuyt I. Tính đn điu ca hàm s 1. nh ngha : Gi s K là mt khong , mt đon hoc mt na khong . Hàm s f xác đnh trên K đc gi là : · ng bin trên K nu vi 1 2 1 2 , , x x K x x " Î < ( ) ( ) 1 2 f x f x Þ < · Nghch bin trên K nu vi 1 2 1 2 , , x x K x x " Î < ( ) ( ) 1 2 f x f x Þ > . 2. iu kin cn đ hàm s đn điu : Gi s hàm s f có đo hàm trên khong I . · Nu hàm s f đng bin trên khong I thì ( ) ' 0 f x ³ vi mi x I Î · Nu hàm s f nghch bin trên khong I thì ( ) ' 0 f x £ vi mi x I Î 3. iu kin đ đ hàm s đn điu : nh lý : Gi s I là mt khong hoc na khong hoc mt đon , f là hàm s liên tc trên I và có đo hàm ti mi đim trong ca I ( tc là đim thuc I nhng không phi đu mút ca I ) .Khi đó : · Nu ( ) ' 0 f x > vi mi x I Î thì hàm s f đng bin trên I · Nu ( ) ' 0 f x < vi mi x I Î thì hàm s f nghch bin trên khong I · Nu ( ) ' 0 f x = vi mi x I Î thì hàm s f không đi trên khong I . Chú ý : · Nu hàm s f liên tc trên ; a b é ù ë û và có đo hàm ( ) ' 0 f x > trên khong ( ) ; a b thì hàm s f đng bin trên ; a b é ù ë û www.VNMATH.com www.VNMATH.com Nguyn Tt Thu Nguyn Tt Thu – Trng Lê Hng Phong – Biên Hòa 2 · Nu hàm s f liên tc trên ; a b é ù ë û và có đo hàm ( ) ' 0 f x < trên khong ( ) ; a b thì hàm s f nghch bin trên ; a b é ù ë û . · Ta có th m rng đnh lí trên nh sau Gi s hàm s f có đo hàm trên khong I . Nu '( ) 0 f x ³ vi x I " Î ( hoc '( ) 0 f x £ vi x I " Î ) và '( ) 0 f x = ti mt s hu hn đim ca I thì hàm s f đng bin (hoc nghch bin) trên I . II. Cc tr hàm s 1. Khái nim cc tr hàm s : Gi s hàm s f xác đnh trên tp hp ( ) D D Ì ¡ và 0 x D Î 0 ) a x đc gi là mt đim cc đi ca hàm s f nu tn ti mt khong ( ) ; a b cha đim 0 x sao cho: ( ) ( ) { } 0 0 ; ( ) ( ) ; \ a b D f x f x x a b x ì Ì ï í < " Î ï î . Khi đó ( ) 0 f x đc gi là giá tr cc đi ca hàm s f . 0 ) b x đc gi là mt đim cc tiu ca hàm s f nu tn ti mt khong ( ) ; a b cha đim 0 x sao cho: ( ) ( ) { } 0 0 ; ( ) ( ) ; \ a b D f x f x x a b x ì Ì ï í < " Î ï î . Khi đó ( ) 0 f x đc gi là giá tr cc tiu ca hàm s f . Giá tr cc đi và giá tr cc tiu đc gi chung là cc tr Nu 0 x là mt đim cc tr ca hàm s f thì ngi ta nói rng hàm s f đt cc tr ti đim 0 x . Nh vy : im cc tr phi là mt đim trong ca tp hp ( ) D D Ì ¡ 2. iu kin cn đ hàm s đt cc tr: nh lý 1: Gi s hàm s f đt cc tr ti đim 0 x . Khi đó , nu f có đo hàm ti đim 0 x thì ( ) 0 ' 0 f x = . Chú ý : www.VNMATH.com www.VNMATH.com Nguyn Tt Thu Nguyn Tt Thu – Trng Lê Hng Phong – Biên Hòa 3 · o hàm ' f có th trit tiêu ti đim 0 x nhng hàm s f không đt cc tr ti đim 0 x . · Hàm s có th đt cc tr ti mt đim mà ti đó hàm s không có đo hàm . · Hàm s ch có th đt cc tr ti mt đim mà ti đó đo hàm ca hàm s bng 0 , hoc ti đó hàm s không có đo hàm . 3. iu kin đ đ hàm s đt cc tr: nh lý 2: Gi s hàm s f liên tc trên khong ( ) ; a b cha đim 0 x và có đo hàm trên các khong ( ) 0 ; a x và ( ) 0 ; x b . Khi đó : ) a Nu ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ' 0, ; ' 0, ; f x x a x f x x x b ì < Î ï í > Î ï î thì hàm s đt cc tiu ti đim 0 x . x a 0 x b ( ) ' f x - + ( ) f x ( ) f a ( ) f b ( ) 0 f x ) b Nu ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ' 0, ; ' 0, ; f x x a x f x x x b ì > Î ï í < Î ï î thì hàm s đt cc đi ti đim 0 x . x a 0 x b ( ) ' f x + 0 - ( ) f x ( ) 0 f x ( ) f a ( ) f b www.VNMATH.com www.VNMATH.com Nguyn Tt Thu Nguyn Tt Thu – Trng Lê Hng Phong – Biên Hòa 4 nh lý 3: Gi s hàm s f có đo hàm cp mt trên khong ( ) ; a b cha đim 0 x , ( ) 0 ' 0 f x = và f có đo hàm cp hai khác 0 ti đim 0 x . ) a Nu ( ) 0 '' 0 f x < thì hàm s f đt cc đi ti đim 0 x . ) b Nu ( ) 0 '' 0 f x > thì hàm s f đt cc tiu ti đim 0 x . Chú ý : Nu 0 x là mt đim cc tr ca hàm s f thì đim 0 0 ( ; ( )) x f x đc gi là đim cc tr ca đ th hàm s f . III. Tim cn 1. ng tim cn đng và đng tim cn ngang: · ng thng 0 y y = đc gi là đng tim cn ngang ( gi tt là tim cn ngang) ca đ th hàm s ( ) y f x = nu ( ) 0 lim x f x y ®+¥ = hoc ( ) 0 lim x f x y ®-¥ = . · ng thng 0 x x = đc gi là đng tim cn đng ( gi tt là tim cn đng) ca đ th hàm s ( ) y f x = nu ( ) 0 lim x x f x - ® = +¥ hoc ( ) 0 lim x x f x + ® = +¥ hoc ( ) 0 lim x x f x - ® = -¥ hoc ( ) 0 lim x x f x + ® = -¥ . 2. ng tim cn xiên: ng thng ( ) 0 y ax b a = + ¹ đc gi là đng tim cn xiên ( gi tt là tim cn xiên) ca đ th hàm s ( ) y f x = nu ( ) ( ) ( ) lim 0 x f x f x ax b ®+¥ é ù = - + = ë û hoc ( ) ( ) ( ) lim 0 x f x f x ax b ®-¥ é ù = - + = ë û . Trong đó ( ) ( ) lim , lim x x f x a b f x ax x ®+¥ ®+¥ é ù = = - ë û hoc ( ) ( ) lim , lim x x f x a b f x ax x ®-¥ ®-¥ é ù = = - ë û . Chú ý : Nu 0 a = thì tim cn xiên tr thành tim cn ngang. www.VNMATH.com www.VNMATH.com Nguyn Tt Thu Nguyn Tt Thu – Trng Lê Hng Phong – Biên Hòa 5 IV. Bài toán giao đim nh lí : S giao đim ca hai đ th hai hàm s ( ) y f x = và ( ) y g x = chính là s nghim ca phng trình: ( ) ( ) f x g x = . T đnh lí này s dn ti hai bài toán giao đim sau Bài toán 1: Bin lun s nghim ca phng trình: ( , ) 0 F x m = (m là tham s) Phng pháp gii: * Ta bin đi phng trình ( ) , 0 F x m = v dng ( ) ( ) f x g m = , trong đó ta đã bit đ th (C) ca hàm s ( ) y f x = hoc có th d dàng v đc *  bin lun s nghim ca phng trình, ta chuyn v bin lun s giao đim ca (C) và đng thng song song vi Ox: ( ) y g m = Bài toán 2:Bin lun s giao đim ca hai đ th ( ) : ( ) C y f x = và ( ') : ( ) C y g x = Phng pháp gii: Xét phng trình hoành đ giao đim ca (C) và (C’): ( ) ( ) (*) f x g x = . S giao đim ca (C) và (C’) chính là s nghim ca phng trình (*) V. Tip tuyn ca đ th hàm s 1.nh ngha: Cho hàm s ( ) y f x = . Mt cát tuyn 0 MM đc gii hn bi đng thng 0 M T khi M dn ti 0 M thì 0 M T gi là tip tuyn ca đ th. 0 M gi là tip đim. nh lí 1: o hàm ca ( ) f x ti 0 x x = là h s góc ca tip tuyn ti ( ) ( ) 0 0 ; M x f x . Nhn xét: H s góc ca mi tip tuyn đu có dng ( ) 0 ' f x . 2. Các bài toán v phng trình tip tuyn: Bài toán 1: Vit phng trình tip tuyn ca đ th hàm s ( ) y f x = ti đim 0 0 ( ; ( )) M x f x . Phng pháp: www.VNMATH.com www.VNMATH.com Nguyn Tt Thu Nguyn Tt Thu – Trng Lê Hng Phong – Biên Hòa 6 * Tip tuyn ca đ th hàm s ( ) y f x = ti 0 0 ( ; ) M x y là: 0 0 0 '( )( ) y f x x x y = - + vi 0 0 ( ) y f x = . Bài toán 2: Vit phng trình tip tuyn ca đ th hàm s ( ) y f x = , bit tip tuyn có h s góc k . Phng pháp: * Gii phng trình '( ) f x k = gii phng trình này ta tìm đc các nghim 1 2 , , , n x x x . * Phng trình tip tuyn: '( )( ) ( ) ( 1, 2, , ) i i i y f x x x f x i n = - + = . Chú ý: i vi bài toán này ta cn lu ý mt s vn đ sau: * S tip tuyn ca đ th chính là s nghim ca phng trình '( ) f x k = . * Cho hai đng thng 1 1 1 : d y k x b = + và 2 2 2 : d y k x b = + . Khi đó i) 1 2 1 2 tan 1 . k k k k a - = + , trong đó · 1 2 ( , ) d d a = . ii) 1 2 1 2 1 2 / / k k d d b b ì = ï Û í ¹ ï î iii) 1 2 1 2 . 1 d d k k ^ Û = - . Bài toán 3: Vit phng trình tip tuyn ca đ th hàm s ( ) y f x = , bit tip tuyn đi qua đim ( ; ) A A A x y . Phng pháp: Gi 0 0 ( ; ) M x y là tip đim. Khi đó tip tuyn có dng: 0 0 0 '( )( ) y f x x x y = - + Vì tip tuyn đi qua A nên ta có: 0 0 0 '( )( ) A A y f x x x y = - + , gii phng trình này ta tìm đc x 0 suy ra phng trình tip tuyn. Chú ý: S tip tuyn là s nghim ca phng trình 0 0 0 '( )( ) ( ) A A y f x x x f x = - + (vi n là x 0 ). B. Các ví d I. Tính đn điu ca hàm s Ví d 1.1. Tìm m đ hàm s sau đng bin trên R www.VNMATH.com www.VNMATH.com Nguyn Tt Thu Nguyn Tt Thu – Trng Lê Hng Phong – Biên Hòa 7 3 2 2 ( 2) ( 2) (3 1) 3 x y m m x m x m = + - + - - + . Li gii: Hàm s xác đnh trên R . Ta có: 2 ' ( 2) 2( 2) 3 1 y m x m x m = + - + - + . Hàm s đng bin trên ' 0 R y x R Û ³ " Î 2 ( 2) 2( 2) 3 1 0 m x m x m x R Û + - + - + ³ " Î (1) Và lúc này ta chuyn bài toán đn điu v bài toán du tam thc bc hai. C th là tam thc không đi du trên R , do đó ta cn nhc li chút xíu v du ca tam thc bc hai. Nhc li: Cho tam thc 2 ( ) , 0 f x ax bx c a = + + ¹ có 2 4 b ac D = - * Nu 0 . ( ) 0 a f x x R D < Þ > " Î * Nu 0 . ( ) 0 a f x x R D = Þ ³ " Î và . ( ) 0 2 b a f x x a = Û = - * Nu 0 ( ) f x D > Þ có hai nghim 1 2 x x < . · 1 2 . ( ) 0 ( ; ) ( ; ) a f x x x x > Û Î -¥ È +¥ · 1 2 . ( ) 0 ( ; ) a f x x x x < Û Î . T đnh lí v du ta có ngay: 0 ( 0) ( ) 0 ( ( ) 0) 0 a a f x f x x R ì > < ï ³ £ " Î Û í D £ ï î . Tr li bài toán: iu mà các bn hay nhm ln là áp dng ngay kt qu trên vào (1). Lu ý VT ca (1) cha phi là tam thc bc hai vì h s 2 a m = + nhn giá tr 0. Do đó ta cn chia làm hai trng hp. TH 1: Nu 2 m = - khi đó (1) 7 0 Û ³ luôn đúng vi mi x 2 m Þ = - tha bài toán TH 2: Nu 2 m ¹ - khi đó (1) tha vi mi 2 0 2 0 ' ( 2)(4 1) 0 4 1 0 a m m x R m m m ì ì = + > + > ï ï Î Û Û í í D = + + £ + £ ï ï î î 1 2 4 m Û - < £ - . Kt hp c hai trng hp, ta có: 1 2 4 m - £ £ - là nhng giá tr cn tìm. www.VNMATH.com www.VNMATH.com Nguyn Tt Thu Nguyn Tt Thu – Trng Lê Hng Phong – Biên Hòa 8 Nhn xét: Li gii trên xem ra có v đúng và hp lí, tuy nhiên v mt lí lun thì trình bày nh trên là cha tha đáng? Các bn th ngh xem cha tha đáng  ch nào ? Ta nên trình bày th nào cho cht ch ?. Ví d 2.1. Tìm m đ hàm s 2 sin 1 y x m x = + - nghch bin trên R . Li gii. Hàm s xác đnh trên R . Ta có: ' 2 cos y m x = + * Nu 2 2 ' 0 m y x R - < < Þ > " Î Þ hàm s đng bin trên R * Nu 2 2 2 cos 0 m x x R = ± Þ ± ³ " Î và ' 0 y = ti vô hn đim, do đó ta cha kt lun đc hàm s tng trên R . Ly hai giá tr 1 2 x x < , khi đó s có khong ( ; ) a b cha 1 2 , x x và ' 0 y = ch ti hu hn đim trên (a;b) nên hàm đng bin trên 1 2 ( ; ) ( ) ( ) a b y x y x Þ < Þ hàm s đng bin trên R . Vy | | 2 m £ là nhng giá tr cn tìm. Ví d 3.1. Tìm m đ hàm s sau đng bin trên ) 2; é +¥ ë 3 2 2 ( 1) (2 3 2) (2 1) y x m x m m x m m = - + - - + + - . Li gii. Hàm s xác đnh trên R. Ta có 2 2 ' 3 2( 1) (2 3 2) y x m x m m = - + - - + . Hàm đng bin trên ) 2; é +¥ ë ' 0 y Û ³ 2 x " ³ 2 2 ( ) 3 2( 1) (2 3 2) 0 [2; ) f x x m x m m x Û = - + - - + ³ " Î +¥ Vì tam thc ( ) f x có 2 ' 7 7 7 0 m m m D = - + > " Nên ( ) f x có hai nghim: 1 2 1 ' 1 ' ; 3 3 m m x x + - D + + D = = . Vì 1 2 x x < nên 1 2 ( ) 0 x x f x x x é £ ³ Û ê ³ ê ë . Do đó 2 ( ) 0 [2; ) 2 ' 5 f x x x m ³ " Î +¥ Û £ Û D £ - www.VNMATH.com www.VNMATH.com Nguyn Tt Thu Nguyn Tt Thu – Trng Lê Hng Phong – Biên Hòa 9 2 2 5 5 3 2 2 ' (5 ) 2 6 0 m m m m m m ì ì £ £ ï ï Û Û Û - £ £ í í D £ - + - £ ï ï î î . Vy 3 2 2 m - £ £ là nhng giá tr cn tìm. Ví d 4.1. Tìm m đ hàm s 3 2 1 ( 1) 3( 2) 1 3 y mx m x m x = - - + - + đng bin trên (2; ) +¥ . Gii. Vì hàm s liên tc trên R nên: Hàm s đng bin trên (2; ) +¥ Û hàm s đng bin trên [2;+ ) ¥ . Ta có : 2 ' 2( 1) 3( 2) y mx m x m = - - + - . C 1. Hàm đng bin trên [2; ) +¥ ' 0 [2; ) y x Û ³ " Î +¥ 2 ( ) 2( 1) 3( 2) 0 [2; ) f x mx m x m x Û = - - + - ³ " Î +¥ (3) TH 1: 0 m = khi đó (3) ch đúng vi mi 3 x ³ . TH 2: 0 m < ta thy trng hp này không tn ti m nên không tha mãn yêu cu bài toán. TH 3: 0 m > , ( ) f x có 2 ' 2 4 1 m m D = - + + * Nu 2 6 ' 0 2 m + D £ Û ³ (do 0 m > ) ( ) 0 f x x Þ ³ " Î ¡ * Nu 2 6 ' 0 0 2 m + D > Û < < (*). Khi đó ( ) f x có hai nghim 1 2 x x < và 1 2 2 ( ) 0 ( ) 0 2 2 x x f x f x x x x x é £ ³ Û Þ ³ " ³ Û £ ê ³ ê ë 2 1 ' 2 2 ' 1 3 2 0 3 m m m m m m - + D Û £ Û D £ + Û - ³ Û ³ Kt hp vi (*) 2 2 6 3 2 m + Þ £ < . Vy 2 3 m ³ là nhng giá tr cn tìm. C2: Hàm đng bin trên [2;+∞) ' 0 [2; ) y x Û ³ " Î +¥ www.VNMATH.com www.VNMATH.com Nguyn Tt Thu Nguyn Tt Thu – Trng Lê Hng Phong – Biên Hòa 10 2 2( 1) 3( 2) 0 mx m x m Û - - + - ³ [2; ) x " Î +¥ 2 6 2 ( ) [2; ) 2 3 x m g x x x x - Û ³ = " Î +¥ - + . Xét hàm s ( ) g x , ta có : 2 2 2 2( 6 3) '( ) ( 2 3) x x g x x x - + = - + '( ) 0 3 6 ( 2) g x x vi x Þ = Û = + ³ và lim ( ) 0 x g x ®+¥ = . Lp bng bin thiên ta có 2 2 max ( ) (2) 3 x g x g ³ = = 2 2 ( ) [2; ) max ( ) 3 x m g x x m g x ³ Þ ³ " Î +¥ Û ³ = . II. Cc tr hàm s Ghi nh: Cho hàm s ( ) y f x = , xác đnh trên D . * 0 x D Î là đim cc tr ca khi và ch khi ti 0 x đo hàm trit tiêu hoc không xác đnh và qua đó đo hàm đi du. * 0 0 ( ) y f x = : Cc tr hàm s * im 0 0 ( ; ) x y : im cc tr ca đ th hàm s. Ví d 5.1. Tìm m đ hàm s: 3 2 3 ( 1) 1 y mx mx m x = + - - - cc tr. Li gii. Hàm s xác đnh trên R Ta có: 2 ' 3 6 1 y mx mx m = + - + . Hàm s có đo hàm ti mi đim nên 0 x là đim cc tr ca hàm s thì đo hàm ti đó phi bng 0. Vy hàm s có cc tr khi và ch khi ' 0 y = phi có nghim và y’ đi du qua nghim đó. * Nu 0 ' 1 0 m y x R = Þ = > " Î Þ hàm s không có c tr * Nu 0 m ¹ . Khi đó ' y là mt tam thc bc hai nên ' 0 y = có nghim và đi du khi qua các nghim ' 0 y Û = có hai nghim phân bit hay 2 1 ' 12 3 0 0 v 4 m m m m D = - > Û < > . Vy 1 0 v 4 m m < > là nhng giá tr cn tìm. www.VNMATH.com www.VNMATH.com . tha yêu cu bài toán. * 2 '(1) 1 0 1 m y x = - Þ = - < Þ = là đim cc đi 2 m Þ = - không tha yu cu bài toán. KL: 0 m = . Nhn xét: Nhiu bn đã gii bài toán trên bng cách. hai, do đó nhng bài toán liên quan đn đim cc tr ca đ thi hàm s thng chuyn v bài toán liên quan đn nghim cu mt phng trình bc hai và đnh lí Viet là công c tt nht đ gii. m x R Û + - + - + ³ " Î (1) Và lúc này ta chuyn bài toán đn điu v bài toán du tam thc bc hai. C th là tam thc không đi du trên R , do đó ta cn nhc li chút xíu v du